“计数原理、概率与统计” B
概率与统计初步(含习题训练)
第九章 概率与统计初步一、计数原理1、 （分类计数）加法原理：完成一件事情,有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法，……在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有:n m m m N +++= 21种不同的方法；2、 (分步计数）分步乘法原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法，……做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事情，共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法;3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步"主要看能否一步做完,能够一步做完的就是分类(用加法原理），不能一步做完的，就是分步（用乘法原理）;二、排列与组合1、 排列数公式：从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n mA 表示，且：2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，记作：!n ,且：3、 组合数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数，用符号n mC 表示，且:组合数公式也可写为：4、 组合数的两个性质：()()n m n m n n m n mn n m C C C C C 1121--+-+==5、 排列与组合的区别:排列与顺序有关；组合与顺序无关。
()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121 ()()10,1221!=⋅--=！规定： n n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤⋅--+---==n n m nmC n m m m m m n n n n m A C 规定： ()!!!m n m n C n m -⋅=()!!m n n A nm -=为：易知排列数公式也可写三、概率1、 基本概念（1） 随机现象：在相同的条件下，具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象;（2） 随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行；试验的所有可能结果是可以明确知道的，并且这些可能结果不止一个；每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生；（3） 随机事件：随机试验的结果叫做随机事件，简称事件，常用大写字母A 、B 、C表示； （4） 必然事件:在一次随机试验中必然要发生的事件，用Ω表示（Ω读作“omiga",Ω对应的小写希腊字母是“ω”）； （5） 不可能事件：在一次随机试验中不可能发生的事件，用φ表示(φ读作“fai ”)； （6） 基本事件：随机事件中不能分解的事件称为基本事件,即：最简单的随机事件；（7） 复合事件：由若干个基本事件组成的事件称为复合事件; 2、 频数与频率（1） 频数：在n 次重复试验中，事件A 发生了m 次()n m ≤≤0，m 叫做事件A 发生的频数；（2） 频率：在n 次重复试验中，事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例nm ,叫做事件A 发生的频率； 3、 概率（1） 一般地,当试验的次数充分大时，如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件发生的概率，记作：; （2） 概率的性质：i. 对于必然事件Ω：()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ：()0=φP iii. ()10≤≤A P4、 古典概型（1） 古典概型：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性相同,那么称这个随机试验属于古典概型；（2） 概率:设试验共有n 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件发生的概率为:（3） 事件的“交”:“B A ”表示B A 、同时发生,记作：AB ；（4） 事件的“并”：“B A ”表示B A 、中至少有一个会发生,又称为事件A 与事件B 的和事件；()nA A P m==基本事件总数包含的基本事件（5） 事件的“否”：A 表示事件A 的对立事件；（A 读作a bar ，“A 拔”)（6） 互为对立的事件：若事件A 是事件B 的对立面,且Ω==B A B A ,φ；（对立事件的理解：在任何一次随机试验中，事件A 与B 有且仅有一个发生） （7） 互斥事件(互不相容事件）：不可能同时发生的两个事件，即：φ=B A ；（对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件)（8） 相互独立事件:在随机试验中，如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性的大小，即在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率，那么称事件A 与事件B 相互独立;（事件A 发生与否，不影响事件B 的概率) （9） 若A 、B 是互斥事件，则：()()()B P A P B A P +=（10） 若A 、B 是对立事件，则：()()B P A P +=1，即：()()A P A P -=1 （11） 若A 、B 不是互斥事件，则：()()()()B A P B P A P B A P -+= （12） 若A 、B 是相互独立事件，则:()()()()B P A P AB P B A P ⋅==四、总体、样本与抽样方法例1：为了了解全校1120名一年级学生的身高情况，从中抽取100名学生进行测量; 1、 总体：在统计中，所研究对象的全体；例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体;2、 个体：组成总体的每一个对象；例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体；3、 样本：被抽取出来的个体的集合；例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本；4、 样本容量：样本所含个体的数目;例1中“100”是样本容量;5、 抽样的方法有三种：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样；6、 说明：当总体中的个数比较小时,常采取简单随机抽样；当总体中的个数比较多，且其分布没有明显的不均匀情况，常采用系统抽样；当总体由差异明显的几个部分组成时，常采用分层抽样；五、用样本估计总体1、 样本均值：()n x x x nx +++=2112、 样本方差：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-= 3、 样本标准差：()()()[]222211x x x x x x nS n -++-+-=4、 说明：均值反映了样本和总体的平均水平;方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度；5、作频率分布直方图的方法:①把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；②然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率/组距；这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。
第一节 计数的基本原理
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 分类加法计数原理与分步乘法计数原理)
第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.二、常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.考点一分类加法计数原理1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.答案：362.如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点).解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案：53.若椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；当m ＝5时，n ＝6,7，共2个.故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.答案：204.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________.解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).答案：240考点二 分步乘法计数原理[典例精析](1)已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )A.6B.12C.24D.36(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.[解析] (1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).[答案](1)A(2)120[解题技法]利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.[题组训练]1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.答案：632.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.答案：186考点三两个计数原理的综合应用[典例精析](1)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A.24B.48C.72D.96(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60B.48C.36D.24[解析](1)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.故共有24＋48＝72种涂色方法.(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.[答案](1)C(2)D(3)B[解题技法]1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.[题组训练]1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案：40[课时跟踪检测]A级1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，∵P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.120解析：选A分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A.32个B.34个C.36个D.38个解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝2(种).共有2×2×2×2×2＝32(个)子集.5.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A.3B.4C.6D.8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个.故共有8个等比数列.6.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A.6种B.12种C.18种D.24种解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A 或B 处，若8放在B 处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A 处，也有3种方法，所以共有6种方法.7.(2019·郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A.4 320种B.2 880种C.1 440种D.720种解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法.3 4 12 D 34 A C B 98.(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个解析：选B由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个).9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(种).第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种).答案：2 88010.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.答案：8B级1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A.24种B.4种C.43种D.34种解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个解析：选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A.24种B.72种C.84种D.120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→C―→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.4.(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300－3，－2，－1，0，1，2，若a，b，c∈M，则：5.已知集合M＝{}(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.。
2024年数学高考必备详细公式
在2024年的数学高考中，学生需要记忆和熟练运用的数学公式非常多。
以下是一些数学高考必备的详细公式。
1.代数公式：- 二次方程公式：若ax²+bx+c=0，其中a≠0，那么它的解为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
-勾股定理：在直角三角形中，a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边。
-平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。
- 一次函数的解析式：y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距。
-等差数列求和公式：Sn=(n/2)(a₁+an)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，an为末项。
-高斯公式：1+2+3+...+n=n(n+1)/2- 二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +C(n,2)a^(n-2)b² + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
2.几何公式：-两点间距离公式：设平面上有两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则AB的距离为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
-直线的斜率公式：设直线上有两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则该直线的斜率为k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
-直线方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)。
-圆的面积公式：A=πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。
-梯形面积公式：A=(上底+下底)×高/2，其中A表示梯形的面积，上底和下底分别为两个平行边的长度，高为两平行边的距离。
- 三角形的面积公式：设三角形的底边为a，高为h，则三角形的面积A=ah/2-正多边形的内角和公式：内角和=(n-2)×180°，其中n为正多边形的边数。
概率与统计
概率与统计是一门重要的数学学科，在各个领域都有广泛的应用。
概率与统计不仅帮助我们理解随机事件的规律，还可以通过收集和分析数据来进行预测和决策。
首先，让我们来探讨一下概率的概念。
概率是描述事件发生可能性的度量，用一个介于0到1之间的数值表示。
0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
而在0到1之间的数值则表示事件发生的可能性大小。
概率可以通过实验、统计或推理等方法进行计算。
在生活中，我们经常会用到概率，例如天气预报中的降雨概率，投资市场中的回报概率等等。
然后是统计学，在概率的基础上，统计学通过收集、整理和分析数据来了解现象的规律。
统计学有两个主要的分支，描述统计和推断统计。
描述统计是对现有数据进行总结和分析，例如平均数、方差、标准差等。
推断统计则是通过已有数据对总体进行推断，例如对人口比例、产品质量等进行估计。
概率与统计常常相互结合，互为补充。
概率可以帮助我们预测未来事件的可能性，而统计则可以通过收集数据来加强概率推测的准确性。
例如，我们可以通过收集大量的数据，计算出某种疾病的患病率，进而预测未来某人患病的概率。
又或者，我们可以通过统计数据来评估某种药物的疗效，进而推测该药物适用于什么类型的病人。
除此之外，概率与统计还可以帮助我们做出决策。
在不确定的情况下，我们可以通过计算概率来评估不同决策的可能结果，并选择可能性最高的决策。
例如，在投资市场中，我们可以通过统计数据来评估不同投资项目的风险和收益，进而做出最明智的投资决策。
最后，概率与统计也具有广泛的应用领域。
在自然科学中，概率与统计可以帮助我们解释现象的规律，例如天气模型、物理实验等。
在社会科学中，概率与统计可以帮助我们研究人类行为和社会现象，例如经济统计、人口普查等。
在工程领域中，概率与统计可以帮助我们评估产品质量、优化生产过程等，进而提高生产效率。
综上所述，概率与统计是一门重要的数学学科，它不仅帮助我们理解随机事件的规律，还可以通过收集和分析数据来进行预测和决策。
高一数学公式和重点知识点
高一数学公式和重点知识点一、函数与方程1. 一次函数一次函数的标准方程为：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
2. 二次函数二次函数的标准方程为：y = ax² + bx + c其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
3. 一元二次方程一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
4. 二元一次方程组二元一次方程组的一般形式为：{ ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为实数，且ad-be ≠ 0。
5. 不等式不等式常见的符号包括：<（小于）、>（大于）、≤（小于等于）、≥（大于等于）解不等式时需要进行符号的转换和区间的划分。
二、几何1. 基本图形的面积和周长常见图形的计算公式：- 长方形的面积：S = 长 ×宽，周长：C = 2 × (长 + 宽)- 正方形的面积：S = 边长²，周长：C = 4 ×边长- 圆的面积：S = π × 半径²，周长：C = 2 × π × 半径- 三角形的面积：S = 底 ×高 / 2，周长：C = 边1 + 边2 + 边3 - 梯形的面积：S = (上底 + 下底) ×高 / 2，上底和下底是梯形上下平行的边，高是两平行边之间的垂直距离。
2. 三角函数常见三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
三角函数的定义中，角度可以用弧度表示，也可以用角度表示。
3. 相似与全等在几何中，相似表示两个图形的形状和角度相同但大小不同，全等表示两个图形的形状和大小完全相同。
三、概率与统计1. 计数原理- 排列：从n个元素中取出m个元素按一定次序排列的方法数为：A(n, m) = n! / (n-m)!- 组合：从n个元素中取出m个元素不计次序排列的方法数为：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)2. 事件的概率事件的概率可以用数值表示，概率值介于0和1之间。
基本计数原理
基本计数原理
基本计数原理是组合数学中的一个基本概念，它用于计算由一系列独立事件组成的样本空间中某个事件发生的总数。
简而言之，基本计数原理告诉我们，如果一个任务可以通过若干个步骤完成，第 i 个步骤有 n（i）种选择方式，那么完成整个任务
的总方法数为 n(1) × n(2) × ... × n(k) 。
举个例子来说明基本计数原理的应用。
假设我们要选择一件衣服的颜色和一双鞋子的颜色，衣服有红、黄、蓝三种颜色可选，鞋子有黑、白两种颜色可选。
如果我们按照基本计数原理来计算，衣服的选择有 3 种，鞋子的选择有 2 种，那么整个搭配的方式就有 3 × 2 = 6 种。
在实际应用中，基本计数原理常常用于解决组合、排列、分配等问题。
例如，我们要将 5 台电脑分配给 3 个班级，每个班级至少分配一台电脑。
这个问题可以通过基本计数原理求解。
首先，我们可以将其中一台电脑分配给每个班级，这样每个班级至少有一台电脑。
然后，剩余的两台电脑可以按照自由分配的原则，每个班级都可以选择或不选择。
因此，总的分配方案数为 C(3,1) × 2² = 12。
基本计数原理在计算中的应用十分广泛，可以帮助我们解决各种复杂的计数问题。
它是组合数学中的重要基础，也是深入理解概率论、组合优化等领域的基石。
计数原理与概率的计算知识点总结
计数原理与概率的计算知识点总结计数原理和概率是概率论与数理统计中的重要概念和工具。
它们对于解决实际问题和理解随机事件的发生规律具有重要意义。
本文将就计数原理和概率的计算知识点进行总结。
一、计数原理计数原理是概率论中一类重要的数学方法，用于计算排列、组合、选择等情况下的可能性。
在实际问题中，经常需要求解一些特定场景下的排列和组合数，计数原理可提供有效的计算方法。
1. 排列计数排列是从给定的若干元素中选出若干元素按照一定顺序排列的方式。
对于n个元素中选取r个元素进行排列，排列数用P表示，计算公式为P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。
2. 组合计数组合是从给定的若干元素中选出若干元素不考虑顺序的方式。
对于n个元素中选取r个元素进行组合，组合数用C表示，计算公式为C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)。
3. 二项式系数二项式系数是组合数的一种特殊情况，表示的是一个二项式展开式中各项的系数。
对于二项式系数C(n,k)，表示二项式展开式中x^n的系数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。
二、概率计算概率是描述事件发生可能性大小的数值，可用来解决实际问题中的随机性情况。
概率计算包括基本概率、条件概率和复合事件概率等内容，以下进行详细总结。
1. 基本概率基本概率是指一个事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。
设S为一个试验的样本空间，E为S中的一个事件，在试验中，事件E发生的概率记作P(E)，计算公式为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中有利结果的个数，n(S)表示样本空间S中结果的总个数。
2. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下某一事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)>0，那么在已知B发生的条件下，事件A发生的条件概率记作P(A|B)，计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
基本计数原理
基本计数原理基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它是指在一系列独立事件中，所有可能的结果总数等于各个事件可能结果数的乘积。
基本计数原理在概率计算和组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。
首先，我们来看一个简单的例子，假设你有一件红色、一件蓝色和一件绿色的衬衫，一条黑色和一条白色的裤子，以及一双黑色和一双棕色的鞋子。
现在你要从这些衣物中挑选一套搭配，问你有多少种不同的搭配方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每种衣物的选择方式，然后将它们相乘即可得到总的搭配方式数。
首先，你有3种衬衫选择方式，然后有2种裤子选择方式，最后有2种鞋子选择方式，所以总的搭配方式数为3×2×2=12种。
这就是基本计数原理的应用，通过分别计算每个事件的可能结果数，然后将它们相乘得到总的可能结果数。
基本计数原理不仅可以用于简单的搭配问题，还可以用于更复杂的排列和组合问题。
例如，如果我们要从10个人中选出3个人组成一个委员会，那么根据基本计数原理，总共有10×9×8=720种不同的选委员会的方式。
这个例子中，我们可以看到基本计数原理的计算方法，首先选择第一个人有10种可能，然后选择第二个人有9种可能，最后选择第三个人有8种可能，将它们相乘得到总的可能结果数。
除了排列和组合问题，基本计数原理还可以应用于更复杂的情况，比如多阶段的选择问题。
例如，如果你要从一副扑克牌中抽取5张牌，问你有多少种不同的抽牌方式？根据基本计数原理，我们可以分别计算每次抽牌的可能结果数，然后将它们相乘即可得到总的可能结果数。
首先，第一次抽牌有52种可能，然后第二次抽牌有51种可能，以此类推，最后得到总的可能结果数为52×51×50×49×48。
通过这个例子，我们可以看到基本计数原理在解决多阶段选择问题时的应用。
总的来说，基本计数原理是概率论中的一个重要概念，它可以帮助我们计算各种排列和组合的可能性，解决各种实际问题。
计数原理公式
计数原理公式计数原理是概率论中非常重要的一部分，它是指通过对事件发生的次数进行计数，从而得出概率的方法。
在计数原理中，最基本的概念就是排列和组合。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列，不同元素的顺序不同就是不同的排列。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合，不考虑元素的顺序。
在计数原理中，有一些基本的公式和定理，下面我们来逐一介绍。
1. 排列的计数公式。
在排列中，我们常用的计数公式是阶乘。
阶乘的定义是n的阶乘（n!）等于123...n。
因此，从n个不同元素中取出m个元素进行排列的方法数可以表示为P(n,m) = n!/(n-m)!。
2. 组合的计数公式。
在组合中，我们常用的计数公式是组合数。
组合数C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素进行组合的方法数，计算公式为C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)。
3. 二项式定理。
二项式定理是指对任意实数a、b和非负整数n，都有(a+b)^n = C(n,0)a^n +C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n。
这个定理在概率论和组合数学中有着广泛的应用。
4. 多项式定理。
多项式定理是指对任意实数a1、a2、...、an和非负整数n，都有(a1+a2+...+an)^n = Σ C(n,k)a1^(n-k)a2^k，其中k的取值范围是0到n。
5. 康托展开。
康托展开是指将一个排列映射为一个自然数的过程，它在计算排列的逆序数时有着重要的应用。
康托展开可以将一个排列映射为一个唯一的自然数，从而实现排列的编码和解码。
通过以上介绍，我们可以看到计数原理在概率论和组合数学中有着广泛的应用。
掌握好计数原理的公式和定理，可以帮助我们更好地理解概率和组合问题，提高解题的效率和准确性。
总之，计数原理是概率论中的重要内容，它通过对事件发生的次数进行计数，从而得出概率的方法。
在计数原理中，排列和组合是基本概念，而排列的计数公式、组合的计数公式、二项式定理、多项式定理和康托展开等公式和定理都是我们在解决概率和组合问题时的重要工具。
中职数学基础模块知识点、典型题目系列---10.统计与概率(适合打印,经典)
第十章 概率与统计初步第1节 计数原理一、分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n 类方式。
第一类方式有1k 种方法，第2类方式有2k ，...第n 类方式有n k 种方法，那么完成这件事的方法共有n k k k N +⋅⋅⋅++=21（种）二、分步计数原理（乘法原理）完成一件事，有n 个步骤，完成第1步有1k 种方法，完成第2步方式有2k ，...完成第n 步方式有n k 种方法，那么完成这件事的方法共有n k k k N •⋅⋅⋅••=21（种）第2节 随机事件三、事件随机事件:可能发生，可能不发生（表示：A,B,C ） 必然事件：一定发生（表示：Ω） 不可能事件：一定不发生（表示：Φ）举例说明生活中哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件。
事件的描述：加大括号 A=｛抛掷一枚硬币，出现正面向上｝任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数。
事件A=｛点数是1｝，B={点数是2}.C={点数不超过2}之间存在着什么联系呢？基本事件：不能再分的最简单事件 复合事件：基本事件组成的事件 二、概率回忆频率的概念，频数：出现的次数总数频数频率=举例：抛掷一枚硬币25次，出现13次正面向上，则正面向上的频率为2513；大量重复地抛一枚硬币，发现事件A 发生的频率稳定在21，事件A 发生的概率为21概率：在大量重复试验中，事件发生的频率的稳定值记为()A P 。
频率与概率的区别：1、频率是试验中的近似值，概率是理论上的准确值；2、概率是频率在大量试验中的稳定值。
三、事件的概率的性质1.对于任意事件A ，有()10≤≤A P2.必然事件的概率为1，()1=ΩP ;3.不可能事件的概率为0，();0=ΦP第3节 古典概型一、古典概型 满足（1）有限性：基本事件有有限个；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相等。
的试验称为古典概型。
举例：1.在圆内随机找一点，如果找出的每个点都是等可能的，这是古典概型吗？ 分析：满足等可能性不满足有限性2.在射击训练中，结果有“命中10环”，“命中9环”，“命中8环”，“命中7环”，“命中6环”，“命中5环”，“不中环”，你认为这是古典概型吗？ 分析：满足有限性不满足等可能性。
初中简单事件的概率知识点
初中简单事件的概率知识点概率是研究随机事件的发生可能性的一门数学分支。
初中阶段，学生开始接触到一些简单的概率问题，了解事件的发生概率以及如何计算概率。
下面是一些与初中简单事件的概率相关的知识点。
1.随机事件和样本空间：-随机事件是指在一定条件下可能发生的结果，可以表示为一些结果的集合。
-样本空间是指所有可能结果的集合，用S表示。
2.事件的发生可能性：-事件的发生可能性可以用概率来表示，概率通常使用P(E)表示，其中E是事件。
-概率的取值范围在0到1之间，概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件一定会发生。
3.事件发生概率的计算：-对于随机均匀发生的事件，概率可以通过计算事件发生的结果数与样本空间中所有结果数的比值得到。
-P(E)=事件E的结果数/样本空间的结果数4.互斥事件：-互斥事件是指两个事件不能同时发生。
-如果事件A和事件B是互斥事件，那么P(A并B)=0。
5.事件的相互独立性：-事件A和事件B是相互独立的，意味着事件A的发生与事件B的发生没有任何关系。
-如果事件A和事件B是相互独立的，那么P(A交B)=P(A)*P(B)。
6.抽样和重复抽样：-抽样是指从样本空间中取出一部分结果作为样本，用来研究全体的特征。
-重复抽样是指从样本空间中重复取样，每次抽样结果都相互独立，抽出的结果又放回样本空间。
7.定义概率的方式：-经典定义概率：对于一个随机的均匀事件，事件E发生的概率等于事件E的结果数与样本空间的结果数的比值。
-频率定义概率：对于一个重复抽样的实验，事件E发生的概率等于事件E在多次重复实验中发生的频率。
-主观定义概率：对于一个主观判断的事件，概率是个人主观上对事件发生可能性的度量。
8.加法原理和乘法原理：-加法原理：对于两个互斥事件A和B，事件A或B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
-乘法原理：对于两个独立事件A和B，事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
概率统计原理
概率统计原理
概率统计原理是一种利用概率和统计方法来分析和解释现实世界中随机现象的科学原理。
在统计学中，概率统计原理主要涉及到随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等内容。
随机变量是概率统计原理的基本概念之一。
它表示随机试验的结果，可以是离散的，也可以是连续的。
概率分布用于描述随机变量取各个值的可能性大小，常见的概率分布包括离散分布（如二项分布、泊松分布）和连续分布（如正态分布、指数分布）等。
参数估计是概率统计原理的关键内容之一。
它用于根据样本数据来估计总体的参数，即通过已知的样本数据推断总体的特征。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种。
点估计旨在找到一个最好地表示真实参数值的估计值，而区间估计则给出了一个总体参数的范围。
假设检验是概率统计原理的另一个重要概念。
它用于对统计推断进行验证。
假设检验包括设立原假设和备择假设，通过计算样本数据的统计量与理论分布的重合程度来判断原假设是否成立。
常见的假设检验方法有Z检验、t检验、卡方检验等。
概率统计原理在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用概率统计原理来分析新药的疗效；在市场调研中，可以利用概率统计原理来估计产品的市场占有率；在金融风险管理中，可以运用概率统计原理来评估投资的风险等。
总之，概率统计原理是一种基于概率和统计方法的科学原理，可以帮助我们分析和解释现实世界中的随机现象。
通过随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等内容，我们能够得出对总体的推断和决策。
《概率论与数理统计》第一章知识小结
附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理1.加法原理：分类计数。
2.乘法原理：分步计数。
二、排列组合1.排列数（与顺序有关）：)(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---= !n A nn =，n A A n n==10,1 如：25203456757=⨯⨯⨯⨯=A ，12012345!5=⨯⨯⨯⨯= 2.组合数(与顺序无关)：!m A C mn m n=，mn n m n C C -=如：3512344567!44747=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==A C ，2112672757757=⨯⨯===-C C C3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=⨯⨯=A ____种取法。
（2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___483442414=⨯⨯=A A ____种取法。
（3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=⨯⨯⨯⨯=A _种排法。
（4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有_48)1234()12(4422=⨯⨯⨯⨯⨯=A A ___种排法。
（5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。
（6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。
从中任意取出3个，取到2个白球1个红球的方法有___1325C C ____种。
3887656321C ⨯⨯==⨯⨯第一章、基础知识小结一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ⊂。
2.和事件事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A 或B A +。
性质：（1）B A B B A A ⊂⊂, ；（2）若B A ⊂，则B B A =3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A 或AB 。
分步乘法计数原理解释全概率公式
分步乘法计数原理解释全概率公式
分步乘法是概率论中的一个概念，它用于计算多个事件同时发
生的概率。
假设有两个事件A和B，分步乘法告诉我们，同时发生
的概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生的条件下事件B发
生的概率。
这可以表示为P(A 且 B) = P(A) P(B|A)，其中P(A 且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
计数原理是概率论中另一个重要的概念，它用于计算一系列事
件的总数。
如果有n种方式做第一件事情，m种方式做第二件事情，那么这两件事情一共有n m种方式。
这可以扩展到更多的事件，总
的方式数就是各个事件方式数的乘积。
这个原理可以表示为如果一
个事件可分解为k个步骤，第一步有n1种可能，第二步有n2种可能，依次类推，第k步有nk种可能，那么这个事件一共有n1
n2 ... nk种可能。
全概率公式是概率论中一个重要的公式，它用于计算一个事件
的概率。
假设有一系列互斥且完备的事件B1, B2, ..., Bn，它们
构成了样本空间Ω，那么对于任意事件A，A的概率可以表示为P(A) = ΣP(A|Bi) P(Bi)，其中P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事
件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，Σ表示对所有的i求和。
综上所述，分步乘法可以用于计算多个事件同时发生的概率，计数原理可以用于计算一系列事件的总数，全概率公式可以用于计算一个事件的概率，并且这些概念和公式在概率论中有着重要的应用和意义。
第十章 计数原理概率
第十章计数原理概率1. 引言计数原理概率是概率论中的一个重要概念，它是通过计算事件发生的次数来描述事件发生的可能性。
在实际生活中，我们经常需要根据已知条件来推断某个事件发生的概率，计数原理概率为我们提供了一种可行的方法。
本章将介绍计数原理概率的基本概念和应用场景，并通过一些实例来说明如何应用计数原理概率进行问题求解。
2. 计数原理概率的基本概念2.1 事件的计数方法计数原理概率涉及到事件的计数，将事件分解为若干个小事件，并通过计算小事件的数量来推断整个事件发生的概率。
在计数原理概率中，有以下几种常用的计数方法：•排列：指定一组对象按照一定规则进行排列的方式。
•组合：指定一组对象选择若干个对象进行组合的方式。
•多重集：指定一组对象中的某些对象出现多次或不出现的方式。
2.2 计数原理概率的公式在计数原理概率中，存在一些重要的公式，用于计算事件的概率。
常用的公式有：•排列公式：用于计算排列的数量。
•组合公式：用于计算组合的数量。
•多重集公式：用于计算多重集的数量。
3. 计数原理概率的应用场景3.1 抽样调查在进行抽样调查时，我们经常需要根据已知的样本数据来推断总体的特征。
计数原理概率可以帮助我们计算某种特征在总体中出现的概率，从而为抽样调查提供理论依据。
3.2 游戏概率计算在许多游戏中，概率是一个重要的概念。
计数原理概率可以帮助我们计算在游戏中获胜的概率，或者计算某种道具或奖励的获得概率，从而帮助玩家制定更好的策略。
3.3 生产和质量控制在生产和质量控制过程中，我们经常需要根据已知的检测结果来判断产品的质量。
计数原理概率可以帮助我们计算某种不合格品出现的概率，从而指导我们采取相应的措施来提高产品质量。
4. 计数原理概率的实例应用4.1 抽奖问题假设有一个抽奖活动，参与者从10个号码中选择5个号码进行抽奖，问某人中奖的概率是多少？我们可以利用组合公式来计算解题，设参与者选择的号码集合为A，中奖的号码集合为B，那么中奖的概率可以表示为P(A∩B)。
第十一章计数原理
第十一章计数原理计数是数学中的一项基础技能，广泛应用于各个领域。
无论是商业统计、科学研究，还是生活中的日常计算，计数都扮演着重要的角色。
计数原理是一种系统方法，用于解决计数问题。
它提供了一些基本原理和技巧，帮助我们了解大量计数的情况，并能快速准确地计算。
一、基本计数原理基本计数原理也被称为“乘法法则”，它是计数原理的核心概念。
基本计数原理揭示了如何计算复杂事件的总数。
它有两个基本规则：1.乘法规则乘法规则用于计算多个步骤的总数。
假设项任务有n1种可能的选择，另一项任务有n2种可能的选择，那么他们组合起来总共有n1*n2种可能的选择。
例如，假设一家餐厅有4种主菜和3种甜点可供选择，那么可以根据乘法法则计算出一顿饭的总共有4*3=12种可能的组合。
2.加法规则加法规则用于计算多个互斥事件的总数。
如果一些任务有n1种可能的选择，另一个任务有n2种可能的选择，那么他们的总数是n1+n2种可能的选择。
举一个例子，假设你要穿一双鞋，有两种颜色的袜子可供选择，白色有3种款式，黑色有2种款式，那么根据加法法则可以得出一共有3+2=5种搭配方式。
基本计数原理提供了一种直观且普适的思维方式，帮助我们计算复杂情况下的总数。
通过理解基本计数原理，我们可以在实际问题中准确地计算并得出结论。
二、排列与组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，用于计算具有一定顺序或不考虑顺序的对象的总数。
1.排列排列是指从n个不同元素中选取r个元素进行排序的方式的总数。
按顺序选择的过程被称为排列。
排列的计算公式为：P(n,r)=n!/(n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1例如，有5个人排队，求选出其中3个人的排队方式总数。
根据排列计算公式，可以得出答案为P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3=60。
2.组合组合是指从n个不同元素中选取r个元素的方式的总数。
不考虑顺序的选择过程被称为组合。
第9章第9讲计数原理概率随机变量及其分布
第9章第9讲计数原理概率随机变量及其分布计数原理是概率论中的基础概念之一，它描述了一系列事件发生的可能性，并给出了用于计算这些可能性的工具。
概率是描述随机事件发生的可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
随机变量是将随机事件映射到实数的函数，它可以是离散型的，也可以是连续型的。
随机变量的分布描述了随机变量的取值与其对应的概率之间的关系。
计数原理在概率论中扮演着非常重要的角色。
它包括了加法法则和乘法法则两个基本原理。
加法法则适用于两个事件的并集，它等于两个事件的概率之和减去两个事件的交集的概率。
乘法法则适用于两个事件的交集，它等于第一个事件发生的概率乘以在第一个事件发生的条件下，第二个事件发生的概率。
概率是描述随机事件发生的可能性的数值。
通常，概率可以通过实验或观察事件发生的频率来估算。
概率的取值范围在0到1之间，概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件一定会发生。
概率可以通过数学的方法来计算，例如，利用计数原理、排列组合等方法。
随机变量是将随机事件映射到实数的函数。
它可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量取有限或可数个值，并且每个值有一个对应的概率。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
概率密度函数是一个非负函数，它满足积分的性质。
随机变量的分布是描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。
离散型随机变量的分布称为概率分布，而连续型随机变量的分布称为概率密度分布。
常见的离散型随机变量有伯努利分布、二项分布、泊松分布等，常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布、指数分布等。
这些分布在概率论和统计学中都有广泛的应用。
总结起来，计数原理、概率、随机变量及其分布是概率论中的基本概念和工具。
它们用于描述和计算随机事件的可能性，以及随机变量取值与概率之间的关系。
理解和掌握这些概念和工具对于进一步研究概率论和统计学非常重要。
1297_高中数学习题：一轮复习 统计与统计案例计数原理概率随机变量(新人教B版).doc_0
统计与统计案例计数原理、概率、随机变量一、选择题1．为了调查某县2021年高考数学成绩，在高考后对该县6000名考生进行了抽样调查，其中2000名文科学生，3800名理科考生，200名艺术和体育类考生，从中抽到了120名考生的数学成绩作为一个样本，这项调查宜采用的抽样方法是()A．系统抽样法B．分层抽样法C．抽签法D．简单的随机抽样法B [由于6000名学生各个学生层次之间存在明显差别，故要采用分层抽样的方法，故选B．]2．今年入夏以来，某市天气反复，降雨频繁．在下图中统计了某个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温－去年气温，单位：℃)，以下判断错误的是()A．今年每天气温都比去年气温高B．今年的气温的平均值比去年低C．去年8～11号气温持续上升D．今年8号气温最低A[由题图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年气温，故选项A 不正确；除6,7号今年气温略高于去年气温外，其他日子今年气温都不高于去年气温，所以今年的气温的平均值比去年低，选项B 正确；今年8～11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明去年8～11号气温持续上升，选项C 正确；由题图可知，今年8号气温最低，选项D 正确．故选A．]3．(2021·黑龙江铁人中学高三三模)“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n 阶幻方(n ≥3，n ∈N *)是由前n 2个正整数组成的一个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和(简称幻和)相等，例如“3阶幻方”的幻和为15．现从如图所示的3阶幻方中任取3个不同的数，记“取到的3个数和为15”为事件A ，“取到的3个数可以构成一个等差数列”为事件B ，则P (B |A )＝()A．34B．23C．13D．12D[根据题意，事件A 包含的基本事件有：(8,1,6)，(3,5,7)，(4,9,2)，(8,3,4)，(1,5,9)，(6,7,2)，(8,5,2)，(4,5,6)，共8个基本事件；事件AB 同时发生包含的基本事件有：(3,5,7)，(1,5,9)，(8,5,2)，(4,5,6)共4个基本事件，所以P (B |A )＝n ABn A ＝48＝12．]4．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208,136都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有()A．32个B．64个C．54个D．96个C[分情况讨论：(1)这个三位数中不含0，若这个三位数中有两个重复数字，数字组合为(1,1,8)，(2,2,6)，(3,3,4)，(4,4,2)，则有“十全十美数”4C 13个，若这个三位数中的三个数字都不重复，数字组合为(1,2,7)，(1,3,6)，(1,4,5)，(2,3,5)，则有4A 33个“十全十美数”；(2)这个三位数中含一个0，数字组合为(1,0,9)，(2,0,8)，(3,0,7)，(4,0,6)，(5,0,5)，则“十全十美数”有4C 12A 22＋2＝18(个)．根据分类加法计数原理得，“十全十美数”共有4C 13＋4A 33＋18＝54(个)．故选C．]x ＋y )7的展开式中含x 4y 4项的系数为()A．－7B．－35C．－49D．－56Ax ＋y )7＝x (x ＋y )7－2y 2x(x ＋y )7，因为(x ＋y )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7x7－r y r，x ＋y )7的展开式中含x 4y 4的项为x ·C 47x 3y 4－2y 2x ·C 27x 5y 2＝－7x 4y 4，x ＋y )7的展开式中含x 4y 4项的系数为－7．]6．(2021·全国新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，则下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等D[对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A 正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C 正确．D 显然错误．选D．]7．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为△OKL的面积．将Gini＝aS称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y ＝f (x )，则对任意x ∈(0,1)，均有fxx＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y ＝1－1－x 2(x ∈[0,1])，则Gini＝π2－1．其中正确的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[对于①，根据基尼系数公式Gini＝aS，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，故①正确；对于②，f x x ＝f x －0x －0表示曲线y ＝f (x )上的点与原点连线的斜率，由图可知对任意x ∈(0,1)，均有0≤f xx≤1，故②错误；对于③，将y ＝1－1－x 2化简整理，得x 2＋(y －1)2＝1(x ，y ∈[0,1])，表示圆心为(0,1)，半径为1的四分之一圆，所以a ＝14π×12－12×1×1＝π4－12，S ＝12×1×1＝12，所以a S ＝π4－1212＝π2－1，故③正确．故选B．]8．已知函数f (x )＝－π2x ，g (x )＝x cos x －sin x ，当x ∈[－4π，4π]且x ≠0时，方程f (x )＝g (x )根的个数是()A．5B．6C．7D．8D[由题意得，函数f (x )＝－π2x在x ∈[－4π，4π]且x ≠0上是奇函数且是反比例函数，g (x )＝x cos x －sin x 在x ∈[－4π，4π]上是奇函数，因为g ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，当x ∈[0，π]∪[2π，3π]时，g ′(x )≤0，当x ∈(π，2π)∪(3π，4π]时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，π]，[2π，3π]上是减函数，在(π，2π)，(3π，4π]上是增函数，且g (0)＝0，g (π)＝－π，g (2π)＝2π，g (3π)＝－3π，g (4π)＝4π，所以作出函数f (x )与g (x )在[－4π，0)与(0,4π]上的图象，如图所示，结合图象可知，f (x )与g (x )的图象共有8个交点，所以方程f (x )＝g (x )有8个根，故选D．]二、填空题9．已知样本x 1，x 2，…，x 2020的平均数与方差分别是1和4，若y i ＝ax i ＋b (i ＝1,2，…，2020)，且样本y 1，y 2，…，y 2020的平均数与方差也分别是1和4，则a b ＝．1＋b ＝1，a 2＝4，＝1，＝0＝－1，＝2，所以a b＝1．]10．《史记》卷六十五：《孙子吴起列传第五》，是中国历史上有名的揭示如何善用自己的长处去对付对手的短处，从而在竞技中获胜的事例．主要讲述了齐国的大将田忌与齐威王进行赛马比赛反败为胜的故事．若田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为．16[设齐王的下等马，中等马，上等马分别为a 1，a 2，a 3，田忌的下等马，中等马，上等马分别记为b 1，b 2，b 3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 1，b 1)，(a 2，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，田忌获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 3)，(a 2，b 2)，齐王获胜．共6种等可能的情况．其中田忌获胜的只有一种(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，则田忌获胜的概率为16．]11．在2021年高考前，某学校进行了模拟测试，理科与文科的前10名数学成绩如茎叶图所示(满分150分)．若所选理科与文科成绩的中位数分别为x 1，x 2，平均数分别为x 1，x 2，标准差分别为s 1，s 2，给出下列结论：①x 1＞x 2；②|x 1－x 2|＞1；③理科这10名学生的成绩更集中；④文科这10名学生的成绩更集中，其中正确结论的个数为．3[条件可得x 1＝123＋1272＝125，x 2＝124＋1252＝124.5，这两组数据的平均数分别为x 1＝125.7，x 2＝124，故|x 1－x 2|＞1，数据的方差分别s 21≈199，s 22≈94，故s 1＞s 2，即文科这10名学生的成绩更集中，故正确的有①②④，即正确结论的个数为3．]12．(2021·浙江高考)袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m －n＝，E (ξ)＝．189[由题意得P (ξ＝2)＝C 24C 2m ＋n ＋4＝6C 2m ＋n ＋4＝16⇒C 2m ＋n ＋4＝36，所以m ＋n ＋4＝9，P (一红一黄)＝C 14·C 1m C 2m ＋n ＋4＝4m 36＝m 9＝13⇒m ＝3,所以n ＝2,则m －n ＝1．由于P (ξ＝2)＝16，P (ξ＝1)＝C 14·C 15C 29＝4×536＝59，P (ξ＝0)＝C 25C 29＝1036＝518，∴E (ξ)＝16×2＋59×1＋518×0＝13＋59＝89．]三、解答题13．某校从参加高三化学得分训练的学生中随机抽出60名学生，将其化学成绩(均为整数，满分100分)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，由此得到部分频率分布直方图(如图)．观察图中的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全频率分布直方图；(2)据此估计本次考试的平均分；(3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60)内记0分，在[60,80)内记1分，在[80,100]内记2分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列．[解](1)设分数在[70,80)内的频率为x ．根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，解得x ＝0.3．补全频率分布直方图略．(2)抽取的60名学生的平均分为x ＝45×0.10＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71．据此估计本次考试的平均分为71分．(3)成绩在[40,60)内的有0.25×60＝15(人)，成绩在[60,80)内的有0.45×60＝27(人)，成绩在[80,100]内的有0.3×60＝18(人)，易知X 的所有可能取值是0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 215C 260＝7118，P (X ＝1)＝C 115C 127C 260＝27118，P (X ＝2)＝C 115C 118＋C 227C 260＝207590，P (X ＝3)＝C 127C 118C 260＝81295，P (X ＝4)＝C 218C 260＝51590．所以X 的分布列为X 01234P711827118207590812955159014．某大学举行了一次与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：[30,40)，[40,50)，…，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计这100名学生测试分数的中位数；(2)若分数在[30,40)，[40,50)，[50,60)上的频率分别为p 1，p 2，p 3，且2p 1＋p 2＝0.05，估计100名学生测试分数的平均数；(3)把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关．男生女生优秀不优秀附：P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d．[解](1)设这100名学生测试分数的中位数为a ，由前5组频率之和为0.4，前6组频率之和为0.8，可得80<a <90，所以0.4＋(a －80)×0.04＝0.5，解得a ＝82.5．(2)因为2p 1＋p 2＝0.05，且p 1＋p 2＋p 3＝0.1，所以这100名学生测试分数的平均数为35p 1＋45p 2＋55(0.1－p 1－p 2)＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.4＋95×0.2＝5.5－10(2p 1＋p 2)＋6.5＋15＋34＋19＝79.5．(3)列联表如下：男生女生优秀4515不优秀2515可得K 2＝10045×15－25×15270×30×60×40≈1.786<3.841．所以没有95%的把握认为测试优秀与性别有关．15．某“双一流”大学专业奖学金以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(金额为3000元)、专业二等奖学金(金额为1500元)及专业三等奖学金(金额为600元)，且专业奖学金每年评选一次，每个学生一年最多只能获得一次．图①是该校2021年500名学生周课外平均学习时间的频率分布直方图，图②是这500名学生2021年周课外平均学习时间与获得专业奖学金的频率柱状图．图①图②(1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数．(2)若周课外平均学习时间超过35h的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列出2×2列联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关．(3)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2021年获得的专业奖学金金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k)0.100.050.0100.0050.001k2.7063.841 6.6357.87910.828K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d．[解](1)获得专业三等奖学金的频率为(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.15＋(0.04＋0.056＋0.016)×5×0.4＋(0.016＋0.008)×5×0.4＝0.32,500×0.32＝160(人)，故这500名学生中获得专业三等奖学金的人数为160．(2)周课外平均学习时间不超过35h的“非努力型”学生有500×(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.056＋0.016)×5＝440(人)，其中获得专业一、二等奖学金的学生有500×(0.008＋0.016＋0.04)×5×0.05＋500×(0.04＋0.056＋0.016)×5×(0.25＋0.05)＝92(人)．周课外平均学习时间超过35h的“努力型”学生有500×(0.016＋0.008)×5＝60(人)，其中获得专业一、二等奖学金的学生有60×(0.35＋0.25)＝36(人)．所以2×2列联表为“非努力型”学生“努力型”学生总计获得专业一、二等奖学金9236128未获得专业一、二等奖学金34824372总计44060500K2的观测值k＝500×92×24－348×362128×372×440×60≈42.36＞10.828，故有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关．(3)X的可能取值为0,600,1500,3000．P (X ＝600)＝0.32，P (X ＝1500)＝0.05×(0.008＋0.016＋0.04)×5＋0.25×(0.04＋0.056＋0.016)×5＋0.35×(0.016＋0.008)×5＝0.198，P (X ＝3000)＝0.05×(0.04＋0.056＋0.016)×5＋0.25×(0.016＋0.008)×5＝0.058，P (X ＝0)＝1－0.32－0.198－0.058＝0.424．所以X 的分布列为X60015003000P 0.4240.320.1980.058故E (X )＝0×0.424＋600×0.32＋1500×0.198＋3000×0.058＝663(元)．16．核酸检测也就是病毒DNA 和RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测．通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染．某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测．以此类推，直到确定所有样本的结果．若每次检测费用为a 元，记检测的总费用为X 元．(1)当n ＝3时，求X 的分布列和数学期望；(2)(ⅰ)比较n ＝3与n ＝4两种方案哪一个更好，说明理由；(ⅱ)试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，n ＝5和n ＝10两种方案哪一个更好(只需给出结论不必证明)．[解](1)当n ＝3时，共分4组，当2份阳性在一组，第一轮检测4次，第二轮检测3次，共检测7次，若2份阳性各在一组，第一轮检测4次，第二轮检测6次，共检测10次，检测的总费用X 的所有可能值为7a,10a ，任意检测有C 312C 39C 36C 33种等可能结果，2份阳性在一组有A 14C 110C 39C 36C 33种等可能结果，P (X ＝7a )＝A 14C 110C 39C 36C 33C 312C 39C 36C 33＝211，P (X ＝10a )＝1－P (X ＝7a )＝911，所以检测的总费用X 的分布列为：X 7a 10a P211911X 的数学期望E (X )＝7a ·211＋10a ·911＝104a11．(2)(ⅰ)当n ＝4时，共分3组，当2份阳性在一组，共检测7次，若2份阳性各在一组，共检测11次，检测的总费用Y 的所有可能值为7a,11a ，任意检测有C 412C 48C 44种等可能结果，2份阳性在一组有A 13C 210C 48C 44种等可能结果，P (Y ＝7a )＝A 13C 210C 48C 44C 412C 48C 44＝311，P (Y ＝11a )＝1－P (Y ＝7a )＝811，所以检测的总费用Y 的分布列为：Y 7a 11aP311811Y 的数学期望E (Y )＝7a ·311＋11a ·811＝109a 11>104a11，所以n ＝3的方案更好一些．(ⅱ)n ＝10的方案更好一些．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“计数原理、概率与统计” B（满分150分，时间120分钟）班级：__________姓名：_______________学号：__________成绩：_______________一、选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 A ．61 B ．365 C ．121 D ．212．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分 层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统 一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是 A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样 C ．①、④都可能为系统抽样 D ．①、③都可能为分层抽样3．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条线段，可组成的三角形的概率为 A ．0 B ．14 C ．12 D ．344．若(x 3n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 A ．-540 B ．-162 C ．162 D ．540 5．已知集合A =｛5｝,B =｛1,2｝,C =｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为A ．33B ． 34C ．35D ．366．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 A ．95 B ．94 C ．2111 D ．21107．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 A ．17 B ．27 C ．37 D ．478．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下 放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第 3次才取得卡口灯炮的概率为： A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．7120二、填空题9．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的10．设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C11．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 12．已知某离散型随机变量ξ的数学期望7E ξ=，ξ的分布列如下则__________a =13．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去， 甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有＿＿＿种（用数字作答）14．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 三、解答题15．盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性 都相等，求：(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； (2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率； (3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率16．6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆一本，一堆两本，一堆3本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)一人得一本，一人得两本，一人得三本；(4)平均分给甲、乙、丙三人；(5)平均分成三堆。
17．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘 客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的 人数.求：（1）随机变量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的期望.18．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.19．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格 相互之间没有影响.（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）20．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及 E ξ、E η； （3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）参考答案二、填空题 9．12 10．)17(61-n 11．36 12．13 13．600 14．12845 三、解答题15．解：(1)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A 则12212626389()14C C C C P A C +== (2)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B 则2126383()28C C P B C == (3)“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C ，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D ，由题意，C 与D 是对立事件因为121426383()7C C C PD C ==，所以34()1()177P C P D =-=-= 16．解： (1) 12365360C C C = (本)； (2) 12365360C C C = (本)； (3) 12336533360C C C A = (本)； (4) 22264290C C C = (本)；(5) 2226423315C C C A = (本)；（2）得ξ的期望为E ξ=0×24332+１×24380+2×24380+3×24340+4×24310+5×2431=243405=35. 18ξ的概率分布如下：甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=0×301+1×103+2×21+3×61=59. （2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P(A)=310361426C C C C +=1202060+=32，P(B)=310381228C C C C +=1205656+=1514.P(B A ⋅)=P(A )P(B )=1－32)(1－1514)=451. ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1－P(B A ⋅)=1－451=4544. 19．解：(1)记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，则(),(),()P A a P B b P C c ===应聘者用方案一考试通过的概率为1()()()()(1)(1)(1)2P P ABC P ABC P ABC P ABC abc a bc a b c ab c ab bc ac abc=+++=+-+-+-=++-应聘者用方案二考试通过的概率为21111()()()()3333P P AB P BC P AC ab bc ac =++=++(2)因为[],,0,1a b c ∈，所以[]1222()2(1)(1)(1)033P P ab bc ac abc ab c bc a ca b -=++-=-+-+-≥ 故12P P ≥，所以采用第一种方案，应聘者考试通过的概率较大 20解：（Ⅰ）解：.6.08.075.0,68.085.08.0=⨯=⨯=乙甲P P（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是,2.432.05.268.05=⨯+⨯=ξE .1.24.05.16.05.2=⨯+⨯=ηE（Ⅲ）解：由题设知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,4028,60105y x y x y x 目标函数为 .1.22.4y x yE xE z +=+=ηξ作出可行域（如图）： 作直线:l ,01.22.4=+y x将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+=取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+.4028,60105y x y x得.4,4==y x 即4,4==y x 时，z 取最大值，z 的最大值为25.2。