7-3能量均分定理
热力学统计 第七章玻尔兹曼统计
al !
al lal ln ln N ! N ln N al ln al ! l l l x 1 ln x ! x ln x x S k ln S
0
设＝1时，S＝0 S0＝0
ln Z S Nk (ln Z )
2.内能U与广义力Y的统计表达式
2.1 内能U的统计表达式
N N l U al l ll e Z Z l l N Z ln Z N Z
e l l
N al l e l Z Z l e l
配分函数Z ：
l
Z l e l
l
分布在能级l 的粒子数：
N al l e l Z
已知（l, l），可求Z——并不容易！
经典粒子： 配分函数Z ：
Z l e l
l
Z e
( q . p )
dqdp e D( )d r h
积分因子：
如果 X ( x, y )dx Y ( x, y )dy 不是全微分，但存在函数 ( x, y ) ，使得
( x, y ) X ( x, y )dx ( x, y )Y ( x, y )dy 为全微分， 即
( x, y ) X ( x, y )dx ( x, y )Y ( x, y )dy ds ( x, y )
S k ln
满足经典极限的非定域系统：
ln
l
la
l
al !
al S k N ln N al ln l l
S0
lal al ln ln N ln N al ln ln N ! l l al ! l
大学物理第8章第3节-能量均分定理 理想气体的内能
在每一个平动自由度上, 分子的每个平 动自由度具有的能量都是 k BT 2 .
可以证明, 平衡态下一个转动自由的平 均能量是 k BT 2 . 能量按自由度均分定理 平衡态下气体分子的每一个自由度的 平均动能都等于 k BT 2 . 一个振动自由度的平均能量是 2(k BT 2) . ( k BT 2 是动能, k BT 2 是势能.)
y
P( x, y, z )
o
x
z
一个刚性分子的自由度
平动: 3 单原子分子 3 个 转动: 0 平动: 3 5 个 双原子分子 转动: 2 平动: 3 6 个 多原子分子 转动: 3
一个刚性分子的自由度
i t r
ikBT 2
(ii) 一摩尔理想气体分子
E N 0 N 0 ikBT 2 i RT 2
(iii) 质量为 M 摩尔质量为 M mo l 的理想气 体ห้องสมุดไป่ตู้子
i M i i RT pV E N N k BT 2 M mol 2 2
CO 2 气体在标 O2 、 例8.2 求1 mol的 He 、 准状态下的内能. O2 、 CO 2 都可看作理想气. 解 He 、 He 是单原子分子, i 3 ,
三. 理想气体的内能 内能: 在热力学系统中, 系统与热现象 有关的能量. 包括: (i) 气体分子热运动所具有动能, (ii) 气体分子之间以及分子内的原子与 原子之间相互作用所具有的势能. 理想气体分子间没有相互作用, 理想气 体的内能只有气体分子作热运动的动能.
理想气体的内能 (i) 一个理想气体分子
热学 分子动理论6
在等体过程中不作功， 在等体过程中不作功， dQ = dU, 故定体摩尔 热容为： 热容为：
C V ,m dU m 1 = = (t + r + 2v ) R dT 2
1. 单原子分子气体
C V ,m
dU m 1 = = (t + r + 2v ) R dT 2
1. 单原子分子气体（He、Ne、Ar、Kr、Xe等） 单原子分子气体（ 、 、 、 、 等 单原子理想气体只有热运动平动动能， 单原子理想气体只有热运动平动动能，没有势 能，故 t =3, r = v = 0
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 m v x = m v y = m v x = ⋅ m v = kT 2 2 2 3 2 2
这说明在理想气体中，平均平动动能在 这说明在理想气体中，平均平动动能在x、y、z 三个自由度上均分， 三个自由度上均分，每个自由度分到 1 kT
2
为解释上述结果，可以设想下面的物理图像： 为解释上述结果ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可以设想下面的物理图像：
§2.7.1
自由度与自由度数
一、自由度与自由度数
●自由度（degree of freedom）： 自由度（ 自由度 ）： 描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为 该物体的自由度。 该物体的自由度。 ●自由度数（number of freedom） 自由度数（ 自由度数 ） 决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标的 数目称为自由度数。 数目称为自由度数。
热运动动能
各分子的能量 系统的内能
分子内原子间相互作用势能
分子间相互作用势能
注意： 注意： 系统的内能不包括系统整体运动的动能和系统 在外力场中的势能，也不包括原子内部能量。 在外力场中的势能，也不包括原子内部能量。
理想气体内能 平均自由程
推广：在温度为T 的平衡态下，分子的每一个转动自由度
上也具有相同的平均动能，大小也为kT/2。
能量按自由度均分定理：
在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度 的平均动能都相等，都等于kT/2。这就是能量 按自由度均分定理，简称能量均分定理。
k
i 2
k=3kT/2
说明：
kT
•是统计规律，只适用于大量分 子组成的系统。 •统计物理可给出严格证明。
b A(x,y,z) a
y
x
说明：一般来说，n≥3个原子组成的分子，共有3n个自由度，
其中3个平动自由度，3个转动自由度，(3n-6)个振动自由度。当 气体处于低温状态时，可把分子视为刚体。
二、能量均分定理：
一个分子的平均平动能为
k
2 x
kt
2 y
3 2
kT
1 2
mv
2
1 2
E＝ m i M 2 RT
E E 2 E1
m i M 2
R (T 2 T1 )
在相同的t时间内，分子由A到 B的位移大小比它的路程小得多
A
B
(路程/时间) (位移量/时间)
扩散速率 平均速率 气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。
分子自由程: 分子碰撞频率:
在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。
y
q
x
z
自由刚体
三个独立的坐标 x,y,z 决定转轴上一点 两个独立的a， b 决定转轴空间位置
一个坐标q 决定刚体转过的角度
i=6 3个平动 3个转动
b A(x,y,z) a
y
刚性杆：
x,y,z,α,β i=5
z
大学物理热力学基础.
11.01310522.4103
22.7102(J)
Qacb Acb
V(l)
7-3 气体的摩尔热容量
一、热容与摩尔热容的定义： 热容量：系统在某一无限小过程中吸收热量dQ与温
度变化dT的比值称为系统在该过程的热容量（C）
dQ
C dT
表示升高1K所吸收的热量
J K1
单位质量的热容量叫比热容。 CMC比 JK1kg1
摩尔热容量：1 mol 物质的热容量（Cm）
M C Mmol Cm
1mol 物质温度升高1K时所吸收的热量。
JK1mo1
二、理想气体的摩尔热容量
1、理想气体的定容摩尔热容：
dQ CV ( dT )V
( dE dT
)V
理想气体 dE i RdT
2 3
单原子理想气体 CV 2 R
双原子理想气体
1、理想气体的绝热准静态过程的过程方程
dA PdV dE M M moC lVdT (1)
理想气体状态方程
PV M RT Mmol
对其微分得:
M
PdVVdP RdT Mmol
(2)
联立（1）（2）得：
dP dV0 PV
PV con. s(3t)
（泊松公式）
将 PV cons.与t PV M RT联立得:
准静态过程是一种理想的极限。
三、准静态过程的功和热量
1、体积功的计算
dl
➢当活塞移动微小位移dl 时， 系统对外界所作的元功为：
p F S
➢系统体积由V1变为V2，系统对外界作总功为：
A dA V2pdV V1
dV0, 系统对外作正功；
dV0, 系统对外作负功；
例：有1mol理想气体 （1）a b等温，
能量均分定理
3
2
5
多原子分子
3
3
6
第七章 气体动理论
7 – 5 能量均分定理 理想气体内能 二 能量均分定理（玻尔兹曼假设）
物理学教程 （第二版）
气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平
均能量都相等，均为 1 k T，这就是能量按自由度
2
均分定理 . 分子的平均能量
i kT
2
刚性分子能量自由度
t r i 自由度
分子平均碰撞次数：单位时间内一个分子和其 它分子碰撞的平均次数 .
简化模型
1 . 分子为刚性小球 ,
d 2 . 分子有效直径为 （分子碰撞靠近时距离的平均值）， 3 . 其它分子皆静止, 某一分子以平均速率u 相
对其他分子运动 .
第七章 气体动理论
7 – 7 分子平均碰撞次数和平均自由程
物理学教程 （第二版）
M
M2
2Leabharlann （物质的量 m M ）
理想气体内能变化
第七章 气体动理论
dE i RdT
2
7 – 5 能量均分定理 理想气体内能
物理学教程 （第二版）
理想气体的内能 理想气体内能变化
E m' i RT i RT
M2
2
dE i RdT
2
几种刚性分子理想气体的内能
1mol 单原子分子气体
v vf (v)dv
8kT
0
πm
o
v
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
3）方均根速率 v2
单原子分子平均能量要点
i CV ,m R 2 i2 C p ,m R 2 C p ,m i 2 CV ,m i
i trs 6
自由度数目
i t r v
平 动 转 动 振 动
刚性分子能量自由度
分子 自由度
t 平动 r
3 3 3
转动 0 2 3
i
3 5 6
总
单原子分子 双原子分子 多原子分子
二 能量均分定理（玻尔兹曼假设）
1 kT ，这就是能量按自由度 均能量都相等，均为 2
均分定理 .
气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平
刚性双原子分子 分子平均平动动能
kt
1 1 1 2 2 2 m vCx m vCy m vCz 2 2 2
分子平均转动动能
kr
1 1 2 2 J y Jz 2 2
非刚性双原子分子
分子平均能量
y
m2
* C
kt kr
分子平均振动能量
m1
z
x
1 1 2 2 v vCx kx 2 2
分子的平均能量
i kT 2
三 理想气体的内能和摩尔热容
理想气体的内能 ：分子动能和分子内原子间的 势能之和 .
1 mol 理想气体的内能
i E N A RT 2
m m i mol 理想气体的内能 E RT M M 2
理想气体内能变化
摩尔热容
7－4 能量均分定理 理想气体内能
一 自由度
1 3 2 kt m v kT 2 2 1 2 2 2 2 vx v y vz v 3
1 1 1 1 2 2 2 m v x m v y m v z kT 2 2 2 2
§2.7能量均分定理解析
6 KT 2
7 KT 2
E
5 KT 2
热学
§2.7 能量均分定理
4.能量均分定理是一个统计规律
（1）能均分定理是关于分子热运动能量的统计规 律，是系统处于平衡态时，对大量分子求平均值所 得的结果。当系统处于平衡态时，就个别分子来看， 任一瞬时分子在每个自由度上的能量不一定等于 KT/2，每种形式的动能以及分子总能量也不一定等 于按能均分定理计算所得的结果。但对大量分子的 整体来看，各自由度上的平均能量是遵守能均分定 理的，等于KT/2。
7/2 CV,m / R 振动
5/2 转动
3/2 平动 0 25 100 500 1000 5000 氢气CV,m---T曲线 T/K
热学
§2.7 能量均分定理
4.解释:用能均分的观点看实验结果,好像 可以这样解释,双原子分子在低温时只有 平动,常温时开始转动,高温时才有振动, 似乎一些自由度的运动在温度不够高时被 “冻结”了.在经典物理学中这是不可理 解的,要用量子理论才能解释.问题的要害 是在经典物理学中能级连续分布,而实际 上它们是离散的,这将在量子物理中说明.
热学
§2.7 能量均分定理
(3)刚性三原子或多原子分子:
如水蒸气、氨、甲烷等，只要各原子不是直线排列的， 就可以看成自由刚体，共有6个自由度（图3）。
水分子 (H2O)
氨分子 (NH3)
(3) 多原子分子
甲烷分子 (CH4) 乙炔分子 (C2H4)
热学
§2.7 能量均分定理
双原子分子 单原子 分子
2.676
2.837 2.979 3.092 3.179 3.246
2.723
2.895 3.036 3.144 3.224 3.285
能量均分定理
能量均分定理能量均分定理1能量均分定理2理想气体的内能2t 12m ε=v kT 23=222212121z y x m m m v v v ==kT 21=2kT 在温度为T 的平衡态下，物质(气体、液体和固体)分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其值为这一结论称为能量按自由度均分定理。
12kT 一个分子的平均平动动能为一、能量均分定理（Theorem of equi-partition ofenergy )(1) 能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果，是分子 间的频繁碰撞而致。
说明(3) 若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由度， s 个振动自由度，1()2t r s kT ++则每个气体分子的平均总动能为每个气体分子的平均势能为 ，2s kT 因此(2) 一般也适用液体和固体。
1(2)22i t r s kT kT ε=++=一个气体分子的平均总能量为对于刚性分子（常温）0s =1()2t r kT ε=+二、理想气体的内能理想气体的内能：气体内所有分子的动能和分子内原子间振动势能的总和。
1mol 理想气体的内能为 质量为m 、摩尔质量为M m 的理想气体的内能为m 2m i U RT M =m A A 22i i U N N kT RT ε==⋅=说明一定质量的理想气体内能完全取决于分子运动的自由度数和气体的温度，而与气体的体积和压强无关。
对于给定气体，i 是确定的，所以其内能就只与温度有关，这与宏观的实验观测结果是一致的。
焦耳定律单原子分子气体 ,32V m C R =双原子分子气体 ,52V mC R =多原子分子气体 ,3V m C R=Ø理想气体的摩尔热容理想气体的定体摩尔热容为,d d 2m V m U i C R T ==2m i U RT =理想气体的摩尔内能为在温度为T 的平衡态下，物质(气体、液体和固体)分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其值为这一结论称为能量按自由度均分定理。
气体动理论ppt课件
一 自由度
kt
1 mv2 2
3 kT 2
v
2 x
v
2 y
v2z
1 v2 3
z
oy
x
1 2
m
v
2 x
1 2
mv2y
1 2
mv2z
1 kT 2
28
第六章 气体动理论
单原子分子平均能量
3 1 kT
2
刚性双原子分子
分子平均平动动能
kt
1 2
mvC2 x
1 2
mvC2 y
1 2
mvC2 z
29
第六章 气体动理论
摩尔热容比
E m i RT M2
dE m i RdT M2
CV ,m
i 2
R
C p,m
i
2 2
R
Cp,m i 2
CV ,m i
36
第六章 气体动理论
7-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
一 测定气体分子速率分布的实验
实验装置
接抽气泵
2
l v vl
Hg
金属蒸汽 狭缝
l
显 示
屏
37
第六章 气体动理论 分子速率分布图
12
第六章 气体动理论
二 分子力
现主为要当斥表力 现r； 为当 引r力0r时.，r分0时子，力分主子要力表
F
o
r 109 m, F 0
r0 ~ 1010 m
r0
r
分子力
三 分子热运动的无序性及统计规律
热运动：大量实验事实表明分子都在作永不停止的
无规运动 . 例 : 常温和常压下的氧分子
v 450m/s ~ 107 m; z ~ 1010次 / s
高中物理能量守恒定律的公式总结
高中物理能量守恒定律的公式总结能量守恒定律是高中物教学的重点内容。
为了帮助高中生学好能量守恒定律公式，下面店铺给大家带来高中物理能量守恒定律的公式，希望对你有帮助。
高中物理能量守恒定律的公式1.阿伏加德罗常数NA=6.02×1023/mol;分子直径数量级10-10米2.油膜法测分子直径d=V/s{V:单分子油膜的体积(m3)，S:油膜表面积(m)2｝3.分子动理论内容：物质是由大量分子组成的;大量分子做无规则的热运动;分子间存在相互作用力。
4.分子间的引力和斥力(1)r10r0，f引=f斥≈0，F分子力≈0，E分子势能≈05.热力学第一定律W+Q=ΔU{(做功和热传递，这两种改变物体内能的方式，在效果上是等效的)，W:外界对物体做的正功(J)，Q:物体吸收的热量(J)，ΔU:增加的内能(J)，涉及到第一类永动机不可造出〔见第二册P40〕｝6.热力学第二定律克氏表述：不可能使热量由低温物体传递到高温物体，而不引起其它变化(热传导的方向性);开氏表述：不可能从单一热源吸收热量并把它全部用来做功，而不引起其它变化(机械能与内能转化的方向性){涉及到第二类永动机不可造出7.热力学第三定律：热力学零度不可达到{宇宙温度下限：-273.15摄氏度(热力学零度)｝注:(1)布朗粒子不是分子,布朗颗粒越小，布朗运动越明显,温度越高越剧烈;(2)温度是分子平均动能的标志;(3)分子间的引力和斥力同时存在,随分子间距离的增大而减小,但斥力减小得比引力快;(4)分子力做正功，分子势能减小,在r0处F引=F斥且分子势能最小;(5)气体膨胀,外界对气体做负功W<0;温度升高，内能增大ΔU>0;吸收热量，Q>0(6)物体的内能是指物体所有的分子动能和分子势能的总和，对于理想气体分子间作用力为零，分子势能为零;(7)r0为分子处于平衡状态时，分子间的距离。
高中物理知识点1.物理考点功(1)功的定义:力和作用在力的方向上通过的位移的乘积.是描述力对空间积累效应的物理量，是过程量.定义式:W=F•s•cosθ，其中F是力，s是力的作用点位移(对地)，θ是力与位移间的夹角.(2)功的大小的计算方法:①恒力的功可根据W=F•S•cosθ进行计算，本公式只适用于恒力做功.②根据W=P•t，计算一段时间内平均做功.③利用动能定理计算力的功，特别是变力所做的功.④根据功是能量转化的量度反过来可求功.(3)摩擦力、空气阻力做功的计算:功的大小等于力和路程的乘积.发生相对运动的两物体的这一对相互摩擦力做的总功:W=fd(d是两物体间的相对路程)，且W=Q(摩擦生热)2.物理核心考点功率(1)功率的概念:功率是表示力做功快慢的物理量，是标量.求功率时一定要分清是求哪个力的功率，还要分清是求平均功率还是瞬时功率.(2)功率的计算①平均功率:P=W/t(定义式)表示时间t内的平均功率，不管是恒力做功，还是变力做功，都适用.②瞬时功率:P=F•v•cosαP和v分别表示t时刻的功率和速度，α为两者间的夹角.(3)额定功率与实际功率：额定功率:发动机正常工作时的最大功率.实际功率:发动机实际输出的功率，它可以小于额定功率，但不能长时间超过额定功率.(4)交通工具的启动问题通常说的机车的功率或发动机的功率实际是指其牵引力的功率.①以恒定功率P启动:机车的运动过程是先作加速度减小的加速运动，后以最大速度vm=P/f作匀速直线运动，.②以恒定牵引力F启动:机车先作匀加速运动，当功率增大到额定功率时速度为v1=P/F，而后开始作加速度减小的加速运动，最后以最大速度vm=P/f作匀速直线运动。
能量均分定理ppt课件
ppt课件
7
2. 刚体的自由度
刚体的运动可以分解为质心的平动和绕过质心 的转动： ① 刚体的位置可由质心的位置(三个独立坐标)决定； ②用三个方向余弦中的独立的两个决定转轴的方位； ③用一个独立坐标决定刚体绕轴转动的角度。
又
EP mgh
则 n n0emghKT
又因为
m
mN a
M mol
K KN R
a
所以
n n eMmolghRT 0
此公式就是玻尔兹曼分布律给出的粒子按高度分布
的定律。
ppt课件
5
n n eMmolghRT 0
① h , 则 n 按指数而减小；
②分子的摩尔质量 M 越大，重力作用越显著，n mol
玻尔兹曼分布律
一、从麦克斯韦分布律推广到分子处在重力场中
1. 麦克斯韦速度分布函数是讨论理想气体在热动平衡 状态下分子在没有外力场作用下的速度分布情况：dN N源自(m2KT
)
3 2
eEK
KT
dvx dv y dvz
这时，分子在空间分布是均匀的。气体分子在空间 各处的密度分布也是均匀的。
ppt课件
考虑归一化条件：
4 (
m
)
3 2
v2eEK
kT dv
1
0 2kT
即： 所以：
(
m
2k
T
)
3 2
e
m
(
vx2
vy2 2kT
vz
2
)
dvx
dvy
《物理学教学课件》7-3能量均分定理
04
实验验证能量均分定理
实验目的
验证能量均分定理的 正确性
掌握实验操作技巧和 数据处理方法
理解能量均分定理在 物理学中的意义
实验器材
95% 85% 75% 50% 45%
0
10 恒温水槽
20 温度计
30 搅拌器
40 称量工具
5
数据采集器
实验步骤与结果分析
80%
步骤一
准备实验器材，将恒温水槽、温 度计、搅拌器、称量工具和数据 采集器按照要求安装好。
这个定理对于理解热力学的基 本原理和热现象具有重要意义 ，因为它揭示了能量的分布规 律和转移机制。
在实际应用中，能量均分定理 可以用于解释和预测各种热现 象，例如温度的均匀分布、热 传导、热辐射等。
能量均分定理的应用场景
热传导
在固体中，如果两个物体之间的温度不同，那么它 们之间会发生热传导。根据能量均分定理，最终两 个物体的温度会达到平衡状态。
如果两个物体之间存在相互作用，那么它们之间会 进行能量的交换。假设经过一段时间后，两个物体 的能量相等，即E1=E2。
根据能量守恒定律，如果两个物体之间没有其他能 量的损失或增加，那么它们的能量最终会达到平衡 状态，即均分定理。
能量均分定理的意义
能量均分定理是热力学中的一 个基本定理，它表明在封闭系 统中，如果没有其他能量的损 失或增加，那么系统中的物体 最终会达到能量的平衡状态。
实例二：固体晶格的振动模式
总结词
固体晶格的振动模式也遵循能量均分定理。晶格振动模具有各种频率，每个频率 上的平均能量也等于kT/2。
详细描述
在固体晶格结构中，原子或分子的振动模式具有不同的频率。根据能量均分定理 ，每个振动模式的平均能量也等于kT/2。这意味着在热平衡状态下，不同频率的 晶格振动都具有相同的平均能量，并且与温度成正比。
经典能量均分定理的内容
经典能量均分定理的内容经典能量均分定理,主题: 解析经典物理中的能量均分定理引言：能量均分定理是经典物理中一项非常重要的定理，它描述了在热平衡条件下，处于一维线性谐振子状态的粒子所具有的能量按照特定比例分配的规律。
本文将详细介绍经典能量均分定理的定义、基本假设、推导过程以及实际应用。
第一部分：定义与基本假设经典能量均分定理是基于经典力学理论推导出来的。
它表明，在热平衡状态下，系统中的每个自由度所具有的能量会等概率地分布在所有可能的能级上。
根据能量均分定理，假设一个多自由度线性谐振子系统，其中含有N个能量为E的质点。
利用经典力学中的微正则系综，我们可以得出该系统的能量分布规律。
第二部分：推导过程1. 首先，我们需要根据系统的能量和状态数的关系来推导能量的分布情况。
根据统计力学中的基本假设，每个能级所对应的微观状态数与该能级的能量成正比。
设每个能量为E的能级对应的状态数为g(E)，则有g(E) ∝E^(sN/2)，其中s为系统的独立自由度数。
2. 根据独立粒子的假设，系统总能量可以写为E = E₁+ E₂+ ... + E_N，其中E_i表示第i个质点的能量。
我们将此总能量作为系统的宏观性质。
3. 根据微正则系综的定义，我们可以得出每个质点能量的分布情况。
假设系统的总能量为E，我们考虑固定第一个质点的能量E₁为E₁= E - E₂- ... - E_N，并计算这种情况下的状态数。
4. 根据独立粒子的假设和状态数的乘法原理，我们可以得到每个质点能量的分布概率。
假设第i个质点能量为E_i，我们可以得到P(E_i) ∝g(E - E_i)。
5. 利用状态数与能级能量的关系，我们可以得到每个质点能量的分布概率为P(E_i) ∝(E - E_i)^(sN/2-1)。
6. 将各个质点的能量分布结果进行乘积，我们可以最终得到系统总能量的分布概率P(E) ∝(E - E₁)^(sN/2-1)。
7. 对于一系列不同的能量E，我们可以计算它们对应的分布概率P(E)，进而得到能量的分布规律。
能量均分定理与热容 一 分子自由度
48理学院物理系陈强§2-4 能量均分定理与热容一. 分子自由度单原子分子可视作质点，具有3个平动自由度。
刚性双原子分子可视作由刚性杆连接的两个质点，具有3个平动自由度，2个转动自由度。
刚性多原子分子可视作刚体，具有3个平动自由度，3个转动自由度。
分子模型自由度数目分子结构单原子双原子多原子356质点刚体由刚性杆连接的两个质点理学院物理系陈强说明⑴分子的自由度不仅取决于其内部结构，还取决于温度。
(2) 实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还有振动自由度。
但在常温下将其分子作为刚性处理，能给出与实验大致相符的结果，因此可以不考虑分子内部的振动，认为分子都是刚性的。
*非刚性双原子分子具有3个平动自由度，2个转动自由度，1个振动自由度。
49理学院物理系陈强第二章热平衡态的统计分布律“常温”下气体分子一般采用刚性模型:单原子分子i= 3;双原子分子i= 5非直线多原子分子i= 6“高温”下振动模式及能量不可忽略单原子分子i= 3;双原子分子i= 6非直线三原子分子i= 9一般多原子分子i= 3N5051理学院物理系陈强二. 能量均分定理理想气体分子的平均平动动能为Tk 23m 21B 2t ==v ε2z2y 2x 2m 21m 21m 21m 21v v v v ++=Tk 21m 21m 21m 21B 2z 2y 2x ===v v v 由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一个是特殊的，因此，可以认为气体分子的平均平动动能是平均分配在每一个平动自由度上的。
52理学院物理系陈强在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均为。
推广：——能量按自由度均分定理说明能量按自由度均分定理是经典统计规律。
T k 21B •经典统计规律，可用玻耳兹曼分布证明。
•是频繁碰撞的结果•有局限性：低温下需要用量子理论！53理学院物理系陈强每个气体分子的平均势能为kT2s Tk s 2r t 21B )(++=ε每个气体分子的平均热运动总能量为•若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由度，s 个振动自由度，每个气体分子平均总动能为kTs r t 21k )(++=ε令i = t + r + 2s Tk 2iB =ε54理学院物理系陈强气体分子的平均总动能等于气体分子的平均总能量。
简述能量均分定理的内容
简述能量均分定理的内容能量均分定理是热力学中的一个基本原理，它描述了一个封闭系统中能量如何在各个自由度之间平均分布的规律。
简单来说，能量均分定理指出，一个系统中的总能量在平衡状态下会均匀地分布到各个自由度上。
在热力学中，自由度是指一个分子或一个物体可以自由运动的方向或方式。
例如，对于一个气体分子来说，它可以在三个方向上自由运动，因此气体分子的自由度为3。
对于一个固体物体来说，它的分子只能在一个固定的位置上振动，因此固体物体的自由度为0。
而对于液体来说，分子既可以在位置上振动，又可以在空间中移动，因此液体的自由度介于0和3之间。
根据能量均分定理，一个系统中的总能量会均匀地分布到每个自由度上。
换句话说，每个自由度上的能量均值相等。
这意味着，系统中每个自由度上的能量是独立的，而且能量的分布是随机的。
当系统达到平衡状态时，各个自由度上的能量达到均衡，不再发生任何变化。
能量均分定理的一个重要应用是计算物体的热容。
根据能量均分定理，一个物体的总能量与其自由度数成正比。
因此，可以通过测量物体的总能量和自由度数来确定其热容。
这对于研究热力学性质和设计热力学系统非常重要。
能量均分定理还可以解释一些热力学现象。
例如，根据能量均分定理，一个气体分子在运动过程中会具有平均动能。
当气体分子受到外界作用力时，它的动能会发生变化，但根据能量均分定理，这种变化是随机的。
这解释了为什么气体分子在运动过程中会产生热量，从而导致气体温度升高。
能量均分定理是热力学中一个基本的原理，它描述了能量在封闭系统中均匀分布的规律。
根据能量均分定理，一个系统中的能量会平均分配到各个自由度上，使得各个自由度上的能量达到均衡。
能量均分定理的应用可以帮助我们了解和解释物体的热力学性质，为热力学系统的设计和研究提供基础。
能量均分原理
能量均分原理
能量均分原理是指在一个封闭系统中，不考虑能量的损耗情况下，能量会自发
地分布到各个能量状态上，使得系统的微观状态数最大化的过程。
这一原理在热力学、统计物理学和量子力学等领域都有着重要的应用。
在热力学中，能量均分原理解释了气体分子的平均动能与温度之间的关系。
根
据能量均分原理，每个自由度上的平均能量为kT/2，其中k为玻尔兹曼常数，T为系统的绝对温度。
这意味着在相同温度下，具有更多自由度的分子平均动能更大。
这也解释了为什么在相同温度下，双原子分子的热容要比单原子分子的热容大一倍。
在统计物理学中，能量均分原理被用来推导玻尔兹曼分布和麦克斯韦-玻尔兹
曼分布。
这些分布描述了系统中粒子的分布情况，从而可以推导出系统的热力学性质。
在量子力学中，能量均分原理被应用于描述系统的能级分布。
根据能量均分原理，系统中的能级数目与能量的分布有关，能级越密集，能量越分散，系统的微观状态数就越大。
这也是为什么在热力学极限下，量子系统的能级可以连续近似为能带结构。
除了在物理学中的应用，能量均分原理也在其他领域有着重要的意义。
在信息
论中，能量均分原理被用来描述系统的信息熵，信息熵与系统的微观状态数成正比。
在生态学中，能量均分原理被用来描述能量在生态系统中的传递和转化过程，从而揭示生态系统的稳定性和复杂性。
总的来说，能量均分原理是描述封闭系统中能量分布的基本原理，它在不同领
域有着广泛的应用。
通过对能量均分原理的理解和运用，我们可以更好地理解和描述自然界中的各种现象，为科学研究和工程技术提供理论基础和指导。
热辐射、基尔霍夫定律
热辐射、基尔霍夫定律一、几种不同形式的辐射物体向外辐射将消耗本射的能量。
要长期维持这种辐射，就必须不断从外面补偿能量，否则辐射就会引起物质内部的变化。
在辐射过程中物质内部发生化学变化的，叫做化学发光。
用外来的光或任何其它辐射不断地或预先地照射物质而使之发光的过程叫做光致发光。
由场的作用引起的辐射叫场致发光。
另一种辐射叫做热辐射，这种辐射在量值方面和按波长分布方面都取决全辐射体的温度。
任何温度的物体都发出一定的热辐射。
一物体 500?左右，暗红色。
随温度不断上升，辉光逐渐亮起来，而且波长较短的辐射越来越多。
1500?变成明亮的白炽光。
同一物体在一定温度下所辐射的能量，在不同光谱区域的分布是不均匀的，而且温度越高，光谱中与能量最大的辐射相对应的频率也越高。
在一定温度下，不同物体所辐射的光谱成份有显著的不同。
二、辐射出射度和吸收比,,,，d,从上面知道:在单位时间内从物体单位面积向各个方向所发射的，频率在d,d,d,范围内的辐射能量与和T有关，而且足够小时，可认为与成正比 , d,,Ed,,,T,T是和T的函数，叫做该物体在温度T时发射频率为的单色辐射出射度(单色E,,,,T辐出度)。
它的物理意义是从物体表面单位面积发出的，频率在附近的单位频率间隔内的,辐射功率。
它反映了在不同温度下，辐射能量按频率分布的情况。
单位为22W/m,J/m,s从特体表面单位面积上所发出的各种频率的总辐射功率，称为物体的辐射出射度。
用表示: ,(T)0,,,(T),d,,Ed, 0,,T,,T,,00E,(T)只是温度的函数。
和,(T)同表面情况有关。
,,T00另一方面，当辐射照射到某一不透明物体表面时，其中一部分能量将被物体散射或反,，d,d,射，另一部分能量则被物体所吸收。
用表示频率在和范围内照射到温度为,,,T,d,T的物体的单位面积上的辐射能量;表示物体单位面积上所吸收的辐射能量，则 ,,T,d,,,TA, ,,Td,,,T叫做该物体的吸收比。
能量均分原理
§6.4 能量均分定理一. 气体分子自由度如：He ，Ne…可看作质点，只有平动。
平动自由度i = 3自由度： 决定物体空间位置和形态的独立坐标数， 用 i 表示。
1.单原子分子质心C 平动：（x ，y ，z ） 2. 双原子分子如：O 2 ， H 2 ， CO …∴ 总自由度： i =3+ 2 = 5⨯C (x , y , z ) ∙∙ 0zxyl 轴 轴取向： 转动自由度 2距离 l 不变（刚性） （ a ，b ） 平动自由度 3 1222=++γb a cos cos cos aγ b3. 多原子分子 如：H 2O ，NH 3 ，…i = 3 +3 = 6转动自由度 3 质心C 坐标 ( x ，y ，z ）zxyϕ∙ ∙ ∙轴⨯C (x , y , z )ab γ总自由度平动自由度 3 转动： （ a ，b ， ） ϕ一个平动自由度对应的平均动能为 kT 2122200011112222===x y z m v m v m v kT即： —— 能量均分定理由于分子碰撞频繁，平均地说，分子的平均动能均匀的分配在每个自由度上。
即： 在温度为T 的平衡态下，分子的每个自由度所对应 分子热运动的平均动能都等于 kT21由 及i =3 得：二 . 能量均分定理kT v m 232120=能量均分定理不仅适用于气体，也适用于液体和固体甚至适用于任何具有统计规律的系统。
刚性理想气体分子的自由度和平均动能：分子类型平动自由度转动自由度自由度i 分子热运动平均动能单原子分子 3 0 3 双原子分子 3 2 5 多原子分子 3 3 6kT 23kT 25kT 26三. 理想气体热力学能（内能）热力学能：自由度为 i 的分子平均动能2iw kT=对理想气体：分子间没有相互作用力，势能为零 （不包括系统整体质心运动的能量）系统内部各种动能和势能的总和。
热力学能（内能）： RTikT i N U 22ν=⋅=RT i T k N i N N A A 22ν=⋅)(ν ：气体系统的摩尔（mol ）数例：贮存有氮气的容器以速度100米/秒运动。
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内能增量的百分比为
E / E H 2O 3 RT /(6 RT ) 25% 2
例7-2.1摩尔温度为T1氢气与2摩尔温度为T2 氦气混合后的温度为多少？ 解：氢气的自由度为5，氦气的自由度为 3，混合前两种气体的总内能为
5 3 E前 RT1 2 RT2 2 2
设混合后温度为T，则混合后气体的总内能为
平 动 转 动 振 动
刚性分子能量自由度 自由度 分子 单原子分子 双原子分子 多原子分子
(s 0)
t 平动
3 3 3
r
转动 0 2 3
i
总 3 5 6
二. 能量均分定理（玻耳兹曼假设）
气体处于平衡态时，分子任何一个自由 1 度的平均动能都相等，均为 kT ，这就是 2 能量按自由度均分定理 .
7-3 能量均分定理 一.自由度
1 3 2 kt m0v kT 2 2 1 2 2 2 2 vx v y vz v 3
z
x
o
y
1 1 1 1 2 2 2 m0v x m0v y m0v z kT 2 2 2 2 1 单原子分子平均能量 ห้องสมุดไป่ตู้3 kT 2
刚性双原子分子
z
C ( x, y, z )
z
y
C ( x, y, z )
x
单原子分子 平动自由度t=3
y
转动自由度r=2
x 双原子分子
平动自由度t=3
i tr3
i t r5
z
C ( x, y, z )
三原子分子 平动自由度t=3
x
y
转动自由度r=3
itr 6
自由度数目
itrs
分子的平均动能 其中自由度数目 i
i kT 2
trs
刚性分子
itr
三 . 理想气体的内能
理想气体的内能 ：分子动能和分子内原 子间的势能之和. i 1 mol 理想气体的内能 E N A RT 2 理想气体的内能 理想气体内能变化
i E RT 2
i dE RdT 2
分子平均平动动能
kt
1 1 1 2 2 2 m0v Cx m0v Cy m0v Cz 2 2 2
分子平均转动动能
1 2 1 2 kr I y I z 2 2
自由度
确定一个物体的空间位置所需要的独立 坐标数目。
He
O2
H 2O
NH 3
以刚性分子（分子内原子间距离保持不 变）为例
i E RT 2
i E RT 2
2摩尔 H 2 O 的内能为 6 EH 2O 2 RT 6 RT 2 2摩尔 H 2 的内能为 5 EH 2 RT 5RT 2 1摩尔 O2 的内能为
2
EO
2
5 RT 2
故内能的增量为
E EH 2 EO2 EH 2O 3 RT 2
讨论
下列各式的意义
1 kT 2
（ 1）
（ 2）
i kT 2
3 kT 2
（ 3）
（ 4）
i RT 2
例7-1 .将水蒸汽分解为同温度的氢气和氧 气，即
2 H 2 O 2 H 2 O2
也就是2摩尔的水蒸气分解为同温度的2摩尔 氢气和1摩尔氧气，当不计振动自由度时， 求此过程中内能的增量。 解：当不计振动自由度时，由理想气体 内能公式
5 3 E后 RT 2 RT 2 2
气体混合前后内能相等，则有
T 5T1 6T2 11