高考数学总复习教案：函数与方程

第二章函数与导数第10课时函数与方程(对应学生用书(文)、(理)26～27页)考情分析考点新知① 函数与方程中函数的零点及二分法在高考中必将有所考查.②以难度较低的填空题为主，考查函数的图象及根的存在性问题．了解二分法求方程近似解的方法，体会函数的零点与方程根之间的联系，形成用函数观点处理问题的能力.②会利用函数的图象求方程的解的个数以及研究一元二次方程的根的分布.1. (必修1P43练习2改编)若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．答案：0、－12解析：由题意可得，b＝－2a且a≠0，由g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或x＝－12.2. (必修1P111复习13改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数________．答案：2解析：(解法1)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.(解法2)由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内．3. (必修1P96练习2改编)方程lgx＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)有解，则n的值为________．答案：1解析：令f(x)＝lgx＋x－2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n ＝1.4. (必修1P97习题8)若关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为________．答案：(－4，－2)解析：设f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f（0）>0，f（1）<0，f（2）>0，解得－4<m<－2.5. (必修1P96练习5改编)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)＝－2 f(1.5) ＝0.625 f(1.25) ＝－0.984f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054答案：1.4解析：f(1.40625)＝－0.054<0，f(1.4375)＝0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4.1. 函数零点的定义(1) 方程f(x)＝0的实数根又叫y＝f(x)的零点．(2) 方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点对函数f(x)＝0有零点．2. 函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间上有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是函数f(x)＝0的零点．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3. 与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0 Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点两个交点一个交点无交点零点个数 2 1 0第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)f(b)<0；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步．[备课札记]题型1零点的求法及零点的个数例1 (1) 求函数f(x)＝x3－2x2－x ＋2的零点；(2) 已知函数f(x)＝ln(x ＋1)－1x ，试求函数的零点个数．解：(1) ∵ f(x)＝x3－2x2－x ＋2＝x2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x ＋1)(x －1)．令f(x)＝0，得x ＝±1，2，∴ 函数f(x)的零点是－1，1，2.(2) 令f(x)＝0，即ln(x ＋1)＝1x ，在同一坐标系中画出y ＝ln(x ＋1)和y ＝1x 的图象，可知两个图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．备选变式（教师专享）(1) 已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，解不等式bf(ax)>0； (2) 已知f(x)＝2x ，g(x)＝3－x2，试判断函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数． 解：(1)由题意，得f ()x ＝(x ＋2)(x －3)＝x2－x －6，所以a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bf(ax)>0，即为f(－x)<0，即x2＋x －6<0，解得－3<x<2，所以解集为(－3，2)． (2)在同一坐标系内作出函数f(x)＝2x 与g(x)＝3－x2的图象，两图象有两个交点， ∴ 函数y ＝f(x)－g(x)有两个零点． 题型2 二次函数的零点问题例2 (1) 已知α、β是方程x2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的两个实根，且α<2<β，求m 的取值范围；(2) 若方程x2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求a 的取值范围． 解：(1) 设f(x)＝x2＋(2m －1)x ＋4－2m.∵ α、β是方程f(x)＝0的两个根，且α<2<β， ∴ f(2)<0，即22＋2(2m －1)＋4－2m<0，得m<－3.(2) 设f(x)＝x2＋ax ＋2, f(－1)＝1－a ＋2，Δ＝a2－8.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，Δ≥0，－a 2<－1，∴ 22≤a<3.变式训练已知关于x 的二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m 的取值范围；(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m 的取值范围．解：设二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0所对应的函数为f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1.(1) 要使方程的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则结合函数图象(如图)，有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1） ＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0，解得－56<m<－12.(2) 要使方程两根均在区间(0，1)内，则结合函数图象(如图)，有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ≥0，0<－m<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m>－12，m ≤1－2或m≥1＋2，－1<m<0，即－12<m ≤1－ 2.题型3 函数与方程的相互转换例3 设函数f(x)＝|x|x ＋2－ax2，a ∈R.(1) 当a ＝2时，求函数f(x)的零点；(2) 当a>0时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点； (3) 若函数f(x)有四个不同的零点，求a 的取值范围．(1) 解：当x≥0时，由f(x)＝0，得xx ＋2－2x2＝0，即x(2x2＋4x －1)＝0，解得x ＝0或x ＝－2±62(舍负)；当x<0时，由f(x)＝0，得－xx ＋2－2x2＝0，即x(2x2＋4x ＋1)＝0(x≠－2)，解得x ＝－2±22.综上所述，函数f(x)的零点为0，x ＝－2＋62，x ＝－2＋22，x ＝－2－22. (2) 证明：当a>0且x>0时，由f(x)＝0，得x x ＋2－ax2＝0，即ax2＋2ax －1＝0.记g(x)＝ax2＋2ax －1，则函数g(x)的图象是开口向上的抛物线． 又g(0)＝－1<0，所以函数g(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点， 即函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点． (3) 解：易知0是函数f(x)的零点．对于x>0，由(2)知，当a>0时，函数f(x)在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点； 当a≤0时，g(x)＝ax2＋2ax －1<0恒成立，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)内无零点．于是，要使函数f(x)有四个不同的零点，函数f(x)在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点． 当x<0时，由f(x)＝0，得－xx ＋2－ax2＝0，即ax2＋2ax ＋1＝0(x≠－2)．①因为a ＝0不符合题意，所以①式可化为x2＋2x ＋1a ＝0(x≠－2)，即x2＋2x ＝－1a ＝0. 作出函数h(x)＝x2＋2x(x<0)的图象便知－1<－1a <0，得a>1，综上所述，a 的取值范围是(1，＋∞)． 备选变式（教师专享）设a 是实数，讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x)＝lg(a －x)的实数解的个数．解：原方程等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，（x －1）（3－x ）＝a －x ，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，a ＝－x2＋5x －3.在同一坐标系下作直线y ＝a 与抛物线y ＝－x2＋5x －3(1<x<3)的图象，由图可知，当1<a≤3或a ＝134时，原方程只有一个实数解；当3<a<134时，原方程有两个不同的实数解．1. (2013·天津)函数f ()x ＝2x ||log0.5x －1的零点个数是________． 答案：2解析：令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝⎝⎛⎭⎫12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)、h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此，函数f(x)有2个零点． 2. (2013·南通二模)函数f(x)＝(x －1)sin πx －1(－1＜x ＜3)的所有零点之和为________． 答案：4解析：令f(x)＝(x －1)sin πx －1＝0，则sin πx ＝1x －1，在同一坐标系中作出函数y ＝sin πx 与y＝1x －1的图象如图所示，易知此两函数的图象都关于点(1，0)中心对称，且它们有四个交点，即函数f(x)有四个零点，又对称的两交点横坐标之和为2，故四个零点之和为4.3. 若{}x ＝x －[]x ([]x 表示不超过x 的最大整数)，则方程12 013－2 013x ＝{}x 的实数解的个数是________． 答案：2解析：方程可化为12 013＋[x]＝2 013x ，可以构造两个函数：y ＝12 013＋[x]，y ＝2 013x ，由图可知，两函数图象有2个交点，故方程有两个根．4. (2013·常州期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，0＜x ＜2，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫0，12 解析：在同一个直角坐标系中作出函数y ＝f(x)、y ＝kx 的图象，函数y ＝f(x)图象最高点坐标为A(2，1)，过点O 、A 的直线斜率为2，x ≥2时，f(x)＝2x 单调减且f(x)＞0，直线y ＝kx 过原点，所以斜率0＜k ＜2时，两个函数的图象恰有两个交点．1. 函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是________． 答案：1解析：因为函数f(x)＝2x ＋x3－2的导数为f′(x)＝2xln2＋3x2≥0，所以函数f(x)单调递增，f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以根据根的存在定理可知在区间(0，1)内函数的零点个数为1个．2. 若关于x 的方程|x|x －1＝kx2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案：k<－4解析：显然，x ＝0是方程的一个实数根．当x≠0时，方程可化为1k ＝|x|(x －1)，设f(x)＝1k ，g(x)＝|x|(x －1)，题意即为f(x)与g(x)图象有三个不同的交点，由g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1），x>0，－x （x －1），x<0，结合图象知，－14<1k <0，所以k<－4.3. 已知关于x 的方程x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为________． 答案：1解析：设f(x)＝x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3，由f(－x)＝f(x)，知f(x)是偶函数．若方程f(x)＝0有唯一解，则f(0)＝0，代入得a ＝1或a ＝－3.令t ＝x2，则f(x)＝g(t)＝t ＋2alog2(t ＋2)＋a2－3.当a＝1时，g(t)＝t＋2log2(t＋2)－2，由于g(t)≥g(0)＝0，当且仅当x＝0时取等号，符合条件；当a＝－3时，g(t)＝t－6log2(t＋2)＋6，由g(30)＝30－6×5＋6>0，g(14)＝14－6×4＋6<0，知f(x)至少有三个根，不符合．所以，符合条件的实数a的值为1.4. 对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1) 当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；(2) 若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．解：(1) 当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3，故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1，3.(2) ∵ f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx ＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0<a<1.1. 一元二次方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，但要重视条件的严谨．2. 涉及函数零点的问题，通常有三种转化：一是用零点的定义转化为方程问题；二是利用零点存在性定理转化为函数问题；三是利用数形结合思想转化为函数图象问题．请使用课时训练(A)第10课时(见活页)．[备课札记]。