高考数学总复习教案：函数与方程

第二章函数与导数第10课时函数与方程(对应学生用书(文)、(理)26～27页

)

考情分析考点新知

① 函数与方程中函数的零点及二分法在高

考中必将有所考查.

②以难度较低的填空题为主，考查函数的图

象及根的存在性问题．

了解二分法求方程近似解的方法，体会函数

的零点与方程根之间的联系，形成用函数观

点处理问题的能力.

②会利用函数的图象求方程的解的个数以

及研究一元二次方程的根的分布.

1. (必修1P43练习2改编)若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．

答案：0、－

1

2

解析：由题意可得，b＝－2a且a≠0，由g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或x＝－

1

2.

2. (必修1P111复习13改编)已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数________．

答案：2

解析：(解法1)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2.

(解法2)由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内．3. (必修1P96练习2改编)方程lgx＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)有解，则n的值为________．答案：1

解析：令f(x)＝lgx＋x－2，由f(1)＝－1<0，f(2)＝lg2>0，知f(x)＝0的根介于1和2之间，即n ＝1.

4. (必修1P97习题8)若关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为________．

答案：(－4，－2)

解析：设f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则

⎩⎪

⎨

⎪⎧

f（0）>0，

f（1）<0，

f（2）>0，

解得－4

5. (必修1P96练习5改编)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f(1)＝－2 f(1.5) ＝0.625 f(1.25) ＝－0.984

f(1.375)＝－0.260 f(1.4375)＝0.162 f(1.40625)＝－0.054

答案：1.4

解析：f(1.40625)＝－0.054<0，f(1.4375)＝0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4.

1. 函数零点的定义

(1) 方程f(x)＝0的实数根又叫y＝f(x)的零点．

(2) 方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点对函数f(x)＝0有零点．

2. 函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间上有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是函数f(x)＝0的零点．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．

3. 与零点的关系

Δ＝

b2－4ac Δ>0Δ＝0 Δ<0

二次函数y＝ax2＋

bx＋c(a>0)的图象

与x轴的交点两个交点一个交点无交点零点个数 2 1 0

第一步，确定区间(a，b)，验证f(a)f(b)<0；

第二步，求区间(a，b)的中点x1；

第三步，计算f(x1)；

①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；

②若f(x1)f(a)<0，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))；

③若f(x1)f(a)>0，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))；

第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步．

[备课札记]

题型1零点的求法及零点的个数

例1 (1) 求函数f(x)＝x3－2x2－x ＋2的零点；

(2) 已知函数f(x)＝ln(x ＋1)－1

x ，试求函数的零点个数．

解：(1) ∵ f(x)＝x3－2x2－x ＋2＝x2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x ＋1)(x －1)．令f(x)＝0，得x ＝±1，2，

∴ 函数f(x)的零点是－1，1，2.

(2) 令f(x)＝0，即ln(x ＋1)＝1x ，在同一坐标系中画出y ＝ln(x ＋1)和y ＝1

x 的图象，可知两个图象有两个交点，所以f(x)有两个零点．

备选变式（教师专享）

(1) 已知函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，解不等式bf(ax)>0； (2) 已知f(x)＝2x ，g(x)＝3－x2，试判断函数y ＝f(x)－g(x)的零点个数． 解：(1)由题意，得f ()x ＝(x ＋2)(x －3)＝x2－x －6，

所以a ＝－1，b ＝－6，

所以不等式bf(ax)>0，即为f(－x)<0，即x2＋x －6<0，解得－3

例2 (1) 已知α、β是方程x2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的两个实根，且α<2<β，求m 的取值范围；

(2) 若方程x2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求a 的取值范围． 解：(1) 设f(x)＝x2＋(2m －1)x ＋4－2m.

∵ α、β是方程f(x)＝0的两个根，且α<2<β， ∴ f(2)<0，即22＋2(2m －1)＋4－2m<0，得m<－3.

(2) 设f(x)＝x2＋ax ＋2, f(－1)＝1－a ＋2，Δ＝a2－8.由题意，得⎩⎪⎨

⎪⎧f （－1）>0，

Δ≥0，

－a 2<－1，

∴ 22≤a<3.

变式训练

已知关于x 的二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0.

(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m 的取值范围；

(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m 的取值范围．

解：设二次方程x2＋2mx ＋2m ＋1＝0所对应的函数为f(x)＝x2＋2mx ＋2m ＋1.

(1) 要使方程的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则结合函数图象(如图)，有