第一部分专题二第一讲专题针对训练

一、选择题
1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫0，π
2上为增函数且以π为周期的函数是( ) A ．y ＝sin x
2
B ．y ＝sin x
C ．y ＝－tan x
D ．y ＝－cos2x
解析：选D.由函数的周期为π可排除A 、B 选项，再由在⎝⎛⎭⎫0，π
2上为增函数可排除C 选项． 2．(2011年高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边
在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－35
C.35
D.45
解析：选B.设P ()t ，2t ()t ≠0为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t 5|t |.当t >0时，cos θ＝5
5；
当t <0时，cos θ＝－
55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－3
5
. 3．设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π，x ∈R)的图象关于直线x ＝π
3
对称，则φ等于( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
解析：选D.由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π－π
6
，k ∈Z ，又0<φ<π，故当k
＝1时，φ＝5π
6
.
4．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪a 1a 3 a 2a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪
⎪3 sin x cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
解析：选C.f (x )＝⎪⎪⎪
⎪3 sin x cos x ＝3cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，将其图象向左平移n (n >0)个单位长度得到f (x ＋n )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n ＋π6的图象，函数为偶函数时，n 的最小值为5π
6
.故选C. 5．(2011年高考天津卷)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的
最小正周期为6π，且当x ＝π
2
时，f (x )取得最大值，则( )
A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数
B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数
C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数
D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数
解析：选A.∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝1
3，
∴13×π2＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝2k π＋π
3
(k ∈Z)． ∵－π<φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π
3
.
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
x 3＋π3.
令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π
2
，k ∈Z.
显然f (x )在[－2π，0]上是增函数，故A 正确，而在⎣⎡⎦⎤－3π，－5π2上为减函数，在⎣⎡⎦⎤－5π
2，－π上为增函数，故B 错误，f (x )在⎣⎡⎦⎤3π，7π2上为减函数，在⎣⎡⎦⎤7π2，13π
2上为增函数，故C 错误，f (x )在[4π，6π]上为增函数，故D 错误．
二、填空题
6．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象向________长度单位．
解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6，所以只要把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π
4
个长度单位，就可得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的图象． 答案：右平移π
4
个
7．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________. 解析：设2x 0＋π
3
＝k π(k ∈Z)，
∴x 0＝k π2－π
6
(k ∈Z)，
又∵x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴令k ＝0，得x 0＝－π6. 答案：－π
6
8．对于函数f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，h (x )＝x ＋π
3
，有如下四个命题：
①f (x )－g (x )的最大值为2；
②f [h (x )]在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，0上是增函数； ③g [f (x )]是最小正周期为2π的周期函数；
④将f (x )的图象向右平移π
2
个单位长度可得g (x )的图象．
其中真命题的序号是________．
解析：f (x )－g (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤2，故①正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π3
∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，函数f [h (x )]＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎣⎡⎦
⎤－π6，π3上为增函数，故②正确；函数g [f (x )]＝cos(sin x )的最小正周期为π，故③错误；将f (x )的图象向左平移π
2
个单位长度可得g (x )的图象，故④错
误．
答案：①② 三、解答题
9．设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx
＝2⎝⎛⎭
⎫12sin ωx ＋3
2cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 又∵T ＝π，∴2π
ω＝π，即ω＝2.
∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π
3
.
(2)
10．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin 12
x ，3
2，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos 12x ，f (x )＝a ·b ， (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；
(2)若x ∈[－2π，2π]，求函数y ＝f (x )的单调递增区间．
解：(1)∵a ＝⎝⎛⎭⎫sin 12
x ，3
2，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos 12x ， ∴f (x )＝a ·b ＝12sin 12x ＋32cos 1
2x
＝sin 12x cos π3＋cos 12x sin π3
＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3.
∴函数y ＝f (x )的最小正周期T ＝2π
ω
＝4π.
(2)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π3，
令 z ＝12x ＋π3
，
函数y ＝sin z 的单调增区间为⎣⎡⎦
⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ， ∴－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π
2
＋2k π时函数单调递增，
∴－53π＋4k π≤x ≤π3＋4k π，k ∈Z 时，函数单调递增．取k ＝0时，－53π≤x ≤π
3
，区间⎣⎡⎦⎤－53π，π3在[－2π，2π]内，
∴当x ∈[－2π，2π]时，
函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦
⎤－5π3，π3.
11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π
2的一段图象如图所示．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
4
个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )
＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．
解：(1)由图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2π
T
＝2，
将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12
，
得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．
于是φ＝2·π12＝π
6
，
∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得
g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6 ＝－2cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6.
故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π12. 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝6
y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12， 得sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π12＝3
2. ∴2x －π12＝π3＋2k π或2x －π12＝2π
3＋2k π(k ∈Z)，
∴x ＝5π24＋k π或x ＝3π
8＋k π(k ∈Z)．
∵x ∈(0，π)，
∴x ＝5π24或x ＝3π8
.
∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6，⎝⎛⎭
⎫3π
8，6.。