第六章 二次型1
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西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。
221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。
222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。
本章仅讨论实二次型。
标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
线性代数 第六章二次型
第六章 二次型1、二次型基本概念1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=n n x x a x x a 222112++++…+211n nn n n x a x x a ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Axx x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=52102132022A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=3º规范二次型：2212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++4º秩与惯性指数惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。
化标准形式规范型：①配方；②合同变换二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(212222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n则f 的正负惯性指数之和为解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→22220000111111111111n n n n2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数标准化方法1º配方法原理：配完全平方情形1：有平方项21⨯n a步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。
线性代数(慕课版)第六章 二次型
3
5
5 5
A 3
5
2
3
0
2
3 5
2 1 1 2
3 2 0
1 2 0
3 5 3 3
0 5 5
2 5
1 5
2 1
3
0 3
0 0
1
0
2
3 2
0
0 5 5
2 5
1 5
6 0
2
0 3
0 0
1
0
2
3
2 0
0 5 5
2 5
1 5
6 0
2
0
0
1
2 3 2
解 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 2x22 2x32 2x1x2 2x2 x3 2x3x1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 A 1 2 1 1 2 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 2 1 1 0 3 3 0 0 0
A 的秩为2.
A的特征值.
16
利用正交变换法化二次型为标准形
例1 求正交变换X PY，把二次型f (x1, x2, x3) 2x12 3x22 3x32 4x2x3 化为标准形.ຫໍສະໝຸດ ，其中1，2，，n
为A
的n
个特征值.
n
定理5.4推论 设A 为n 阶实对称矩阵，则必存在n 阶正交矩阵P，使得
PT AP .
定理6.1 任给实二次型f X T AX，总存在正交变换X PY，使得
f (x1, x2 , , xn ) X T AX 1 y12 2 y22 n yn2，其中1, , n为f 的矩阵
, xn ) x12 x22
x
2 p
6考研基础复习(线性代数)二次型
一、二次型的基本内容
3、用正交变换法化二次型为标准形
二 次 型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax 经 过 正 交 变换 x Py （ P 为正交阵）化为：
r
f xT Ax yT (P T AP ) y
di
y
2 i
，
i 1
称为化二次型为标准形的正交变换法.
3、用正交变换法化二次型为标准形
对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
f ( x1 ,, xn ) xT Ax 0 ( 0) ，
则称该二次型为正（负）定二次型，正（负） 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
如果实二次型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax ， 对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
i 的单位正交特征向量；
3、用正交变换法化二次型为标准形
（4）以 1 , 2 , , t 的单位正交特 征向量为列向量，可构造出正交矩阵 P ，
， P ( p11 , p12 , , pt1 , , ptnt )
P 就是所求的正交变换矩阵，使：
P 1 AP PT AP
为对角阵，其中： diag{1 , , 2 , , , t }.
相似于对角阵 ，即：
PT AP P 1 AP diag{1 , 2 , , n } ， 其中： i 0(i 1,2,n) .
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
③ A 负定； 特征值全负；
一切奇数阶主子式全 0 ， 且一切偶数阶主子式全 0；
一切奇数阶顺序主子式全 0 ， 且一切偶数阶顺序主子式全 0；
z
柱面方程 2 4 2 4 ，求 a, b 的值和正 交矩阵 P .
6-1 二次型及其矩阵表示
11 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 返 回
将其代入
f x T Ax , 有
f x Ax
T
Cy
T A Cy y T C T AC y .
合同矩阵
定义 使得 C AC B ,
T
设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在
n 阶可逆矩阵
C，
则称 A 合同于 B ，记作 A ~ B .
2
x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n ) a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n
12 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 返 回
合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
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作业
2．用矩阵表示
f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
2
a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a nn x n
将其代入
f x T Ax , 有
f x Ax
T
Cy
T A Cy y T C T AC y .
合同矩阵
定义 使得 C AC B ,
T
设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在
n 阶可逆矩阵
C，
则称 A 合同于 B ，记作 A ~ B .
2
x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n ) a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n
12 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 返 回
合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
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作业
2．用矩阵表示
f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
2
a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a nn x n
几何与代数-二次型二次曲面
交
-4 0 0 换
0
00
第 一
003 三
行
003
交 换
0
00
第 一
-4 0 0 三
列
300 000
0 0 -4
300 0 -4 0
000
300 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) = 0 -4 0
000
1/ 3 0 0
1/ 3 0 0
0 1/2 0 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) 0 1/2 0
二次型与二次曲面
第1节 二次型
第六章 二次型与二次曲面
四. 惯性定理与规范形 对于实二次型f(x) = xTAx
§6.1 二次型
主轴定理: 存在正交变换将其化为标准型
f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2；
配方法: 存在可逆线性变换(可以非正交) 将其化为标准型
f = k1y12 + k2y22 +…+ kmym2
问：1 , 2 , … , n与 k1 , k2 , … , km有何
关系？
第六章 二次型与二次曲面
1. 惯性定理
§6.1 二次型
定理6.2. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形
f = k1y12 + …+ knyn2 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.
A与单位矩阵E合同 可逆阵P使得A = PTP A正定
§6.1 二次型
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
北京工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
推论：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一 个对角阵．
定义：如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则
称这个对角阵是A的合同标准形． 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找?
3
二．化二次型为标准形的方法 1．配方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 (P193---例6.5.1)
为实二次型. 如：
f ( x1, x2 ) x12 2x1 x2 3x22 是二元实二次型．
f ( x1 , x2 , x3 ) ix12 2 x22 3 x1 x2 7 x2 x3
是三元复二次型．
f ( x, y) x 2 xy 3 y2 5x 1 不是二次型．
4
二.二次型的矩阵形表示
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 5 x32.
5
令
y1 y2 y3
x1
x2 x2 2
x3 x3 x3
,
则有 f y12 y22 5 y32 ,
所作的可逆替换是
x1 x2 x3
1 0 0
1 1 0
1 1
2 1
y1 y2 y3
即
x1 x2
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并求出可逆线性替换．
4
解：用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式：
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
,
X
x1 x2 xn
,
5
则二次型可以写成：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ⑵
定义：如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则
称这个对角阵是A的合同标准形． 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找?
3
二．化二次型为标准形的方法 1．配方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 (P193---例6.5.1)
为实二次型. 如：
f ( x1, x2 ) x12 2x1 x2 3x22 是二元实二次型．
f ( x1 , x2 , x3 ) ix12 2 x22 3 x1 x2 7 x2 x3
是三元复二次型．
f ( x, y) x 2 xy 3 y2 5x 1 不是二次型．
4
二.二次型的矩阵形表示
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2 5 x32.
5
令
y1 y2 y3
x1
x2 x2 2
x3 x3 x3
,
则有 f y12 y22 5 y32 ,
所作的可逆替换是
x1 x2 x3
1 0 0
1 1 0
1 1
2 1
y1 y2 y3
即
x1 x2
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形，并求出可逆线性替换．
4
解：用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式：
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
,
X
x1 x2 xn
,
5
则二次型可以写成：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ⑵
线性代数第6章二次型
3 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 4 1 25
> > A:=matrix([[1,-1,1],[-1,-3,-3],[1,3,4]]);C:=matrix([[1,1/2,-3/2],[0,1/2,1/2],[0,0,1]]);CTAC:=multiply(transpose(C),A, C);
1 1 2 3 2 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 3 0 2 2 1 3 4 1 0 0 0 2
1 2 1 2 0
3 2 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 0 B. 3
20
§2 化二次型为标准形
一 、用配方法化任意二次型为标准形 二、用正交替换化实系数二次型为标准形
21
一 、用配方法化任意二次型为标准形 2 2 p p 配方法 2 x px q x q . 2 4
2 1 2 2 2 3
则得 f y y 4 y . 反解
x3 y3 , x2 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 , x1 y1 x2 x3 y1 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 y3 y1 (1/ 2) y2 (3 / 2) y3 .
2 n 2 n1
2an1n xn1 xn
5
把二次型写成矩阵形式
a1n x1 a11 a12 a a a x 21 22 2 n 2 f ( x1 , , xn ) ( x1 , , xn ) . ann xn a n1 a n 2 an x1 a11 a12 x a a a 2 21 2 2n X ,A , ann xn a n1 a 2 T f ( X ) X AX . A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应 6 矩阵A的秩称为二次型的秩.
《线性代数》第六章二次型(1)
9
( 3) f ( x1 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn1 xn
解：A 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型的标准形。
4
取 aij a ji
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
1 2 3 2
0 3 2 0
2 2 (2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x2 7 x4 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x3 x4
解：
1 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 0 2
0 0 2 7
则线性变换（2）可记作：
X CY
12
则称线性变换（2）是非退化线性变换 若C 是可逆矩阵，
若C 是正交矩阵， 则称线性变换（2）是正交线性变换
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项. 即二次型
f X T AX
i , j 1
a
n
ij
xi x j
经过可逆线性变换 X CY 使得
2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型
13
3. 矩阵的合同
线性代数教学课件第六章二次型第一节二次型及其矩阵
an2
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
8
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
x2
,(Cy,)xT nA)(
xT Ax
Cy ) yT
，得 ( C T AC
)y
yT By
,
其中 B C T AC . 由于 A 是实对称阵，则 B CT AC 也是实对称阵，
于是 yT By 是一个以 y1 , y2 ,, yn 为变量的实二次型.
由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个
(1)求二次型的矩阵A以及A秩;
(2)设二次型 g( x1, x2 ) f ( x1, x2 ,0,0), 求二次型 g的矩阵B.
解 (1)
1 2 1 0
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 3 .
2
0
0 0
10
1 2 1 0 1 2 1 0
2
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 2 0
B
1 2
2 0
.
问：矩阵B 与矩阵A 有什么关系？
12
二、 关系式
（线性替
换）定 义
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn xn
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
8
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
x2
,(Cy,)xT nA)(
xT Ax
Cy ) yT
，得 ( C T AC
)y
yT By
,
其中 B C T AC . 由于 A 是实对称阵，则 B CT AC 也是实对称阵，
于是 yT By 是一个以 y1 , y2 ,, yn 为变量的实二次型.
由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个
(1)求二次型的矩阵A以及A秩;
(2)设二次型 g( x1, x2 ) f ( x1, x2 ,0,0), 求二次型 g的矩阵B.
解 (1)
1 2 1 0
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 3 .
2
0
0 0
10
1 2 1 0 1 2 1 0
2
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 2 0
B
1 2
2 0
.
问：矩阵B 与矩阵A 有什么关系？
12
二、 关系式
（线性替
换）定 义
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn xn
二次型
形如 f=d1y12+d2y22+…+dryr2 (r≤n) 的二次型称为标准形 标准形。 的二次型称为标准形。 若对n阶方阵 和 ，存在可逆阵P, 若对 阶方阵A和B，存在可逆阵 阶方阵 合同。 使 PTAP=B，则称 与B合同。 ，则称A与 合同 定理1 合同矩阵秩相等。 定理 合同矩阵秩相等。
则
f = u12+…+ up2- up+12-…- ur2
称其为f的规范形，是唯一的。 称其为 的规范形，是唯一的。
二次型§ 惯性定理（ 第六章 二次型§3 惯性定理（续1） ）
元实二次型 定义 设f=XTAX 为n元实二次型 ，若对 元实 任意n维非零列向量 维非零列向量X，均有X 任意 维非零列向量 ，均有 TAX>0,则称 则称 f=XTAX为正定二次型，A为正定矩阵。 为正定二次型， 为正定矩阵。 定理4 阶实对称矩阵， 定理 设A为n阶实对称矩阵，则下列 为 阶实对称矩阵 命题等价： 命题等价： ①f=XTAX正定； 正定； 正定 的正惯性指数为n ② f=XTAX 的正惯性指数为 ； 存在可逆阵P, ③存在可逆阵 使A=PTP; 个特征值全大于0。 ④A的n个特征值全大于 。 的 个特征值全大于
第六章 二次型 §2 化二次型为标准形
定理2 定理 对n元二次型 f=XTAX，存在正交变换 元 ，存在正交变换X=QY, 化为标准形 使f化为标准形。 化为标准形。 证明： 为实对称阵 为实对称阵， 存在正交 正交阵 使 证明：A为实对称阵，∴存在正交阵Q,使 Q-1AQ= Λ ，即QTAQ= Λ ， 0 λ1 Λ= ... 0 λn 令X=QY，则 f=XTAX=YTQTAQY=YT ΛY ， = λ 1y12+ λ 2y22+…+ λ nyn2 为标准形。 的特征值) 为标准形。(λi为A的特征值 的特征值 推论：对实二次型 推论：对实二次型 f=XTAX，存在可逆线性变换 ，存在可逆线性变换X=PY, 化为标准形 使f化为标准形 1y12+d2y22+…+ dnyn2 化为标准形:d (di未必是 的特征值 未必是A的特征值 的特征值)
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2. 求A的特征值. 17 2 2 | A E | 2 14 4 = (–18)2 (–9) 2 4 14 从而得A的特征值: 1=9, 2=3=18. 3. 求特征向量. 将1=9代入(A–E)x=0得基础解系: 1=(1, 2, 2)T. 将2=3=18代入(A–E)x=0得基础解系: 2=(–2, 1, 0)T, 3=(–2, 0, 1)T.
取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 f(x1, x2, ·, xn) =a11x12+a12x1x2 +·+a1nx1xn · · · · +a21x2x2 + a22x22+·+a2nx2xn · · +· · ·· ·· +an1xnx1+an2xnx2+ ·+ann xn2 · ·
a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 22 x 2 a 2 n x n ( x1 , x 2 ,, x n ) a 21 x1 a n 2 x 2 a nn x n a n1 x1 a11 a12 a1n x1 a a 22 a 2 n x 2 x1 , x 2 ,, x n 21 a a n 2 a nn x n n1
解:由 f =x12+2x22–3x32+4 x1x2–6x2x3, 得 a11=1, a22=2, a33=–3, a12=a21=2, a13=a31=0, a23=a32=–3. 0 1 2 所以 A 2 2 3 . 0 3 3
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, ·, n ; · · 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, ·, n ; · · 4. 记P=(1, 2, ·, n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 · · 标准形: f = 1y12+2y22+·+nyn2 . · · 例2: 将二次型 f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 通过正交变换x=Py化成标准形. 解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
从而得A的特征值: 1=–3, 2=3=4=1. 当1=–3时, 解方程组(A+3E)x=0, 得基础解系:
1 1 1 1 1 1 1, 单位化即得 p1 1 . 2 1 1 当2=3=4=1时, 解方程组(A–E)x=0, 可得正交的 基础解系: 1 0 1 1 0 1 2 0 , 3 1 , 2 1 , 0 1 1 单位化即得: 1 2 1 2 0 1 2 0 p2 1 2 , p3 1 2 , p4 1 2 . 0 1 2 1 2 0
1 1 1 1 1 , | A E | ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 把二, 三, 四行分别减去第一行, 有 1 1 1 1 2 | A E | ( 1) 0 1 2 0 2 1 2 0 0 0 1 2 2 1 ( 1) 2 1 2 3 2 ( 1) ( 2 3) ( 3) ( 1) .
且有
f = –3y12 + y22 + y32 + y42.
五、小结
1. 实二次型的化简问题, 在理论和实际中经常遇 到, 通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关 系, 将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵, 而这是已经解决了的问题, 请注意这种研究问题的思 想方法. 2. 实二次型的化简, 并不局限于使用正交矩阵, 根 据二次型本身的特点, 可以找到某种运算更快的可逆 变换. 下一节, 我们将介绍另一种方法——拉格朗日配 方法.
在二次型的矩阵表示中, 任给一个二次型, 就唯一 地确定一个对称矩阵; 反之, 任给一个对称矩阵, 也可 唯一地确定一个二次型. 这样, 二次型与对称矩阵之间 存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵, f 叫做对称矩阵 A的二次型, 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩. 例1: 写出二次型 f =x12+2x22–3x32+4 x1x2–6x2x3 的矩阵.
-2.5 0 2.5 5 5 2.5 0 -2.5 -5
-5
-5 -2.5 0 2.5 5
2
0
-2 -4 2 0 2 4
-2
在o-xyz坐标系中的图形
在o-uvw坐标系中的图形
§5.6 配方法化二次型为标准形
5.6 一、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形, 其特点是保持几 何形状不变. 问题: 有没有其它方法, 也可以把二次型化为标准 形? 问题的回答是肯定的. 下面介绍一种行之有效的 方法——拉格朗日配方法. 拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有xi 的平方项, 则先把含有xi的乘积 项集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行, 直到都 配成平方项为止, 经过非退化线性变换, 就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项, 但是aij0 ( i j ), 则 先作可逆线性变换:
1 3 p1 将其单位化得 q1 || p || 1 3 . 1 3 1 1 2 1 6 p2 p2 1 2 , q3 p3 1 6 , || p2 || 0 || p3 || 2 6 正交变换为: 1 1 1 3 2 6 x 1 1 1 u y v , 3 2 6 w z 1 2 0 3 6 f = 9u2 +4v2. 化二次型为 可知 f (x, y, z) = 36 为椭圆柱面方程.
将特征向量正交规范化: [ 2 , 3 ] 2, 取 1 = 1, 2 = 2, 3 3 [ 2 , 2 ] 得正交向量组 1 =(1/2, 1, 1)T, 2 =(–2, 1, 0)T, 2 =(–2/5, –4/5, 1)T.
2 5 2 45 1 3 2 3 , 1 5 , 4 45 . 得 1 2 3 0 5 45 2 3 4. 作正交变换 1 3 2 5 2 45 令 P (1 , 2 , 3 ) 2 3 1 5 4 45 . 2 3 0 5 45 于是所求正交变换为: x1 1 3 2 5 2 45 y1 x 2 3 1 5 4 45 y , 2 2 0 5 45 y 3 x3 2 3 f = 9y12 + 18y22 +18y32 . 且有
于是正交变换为:
x1 1 x2 1 x3 1 x4 1
2 1 2 1 2 2
2 2 0 1 0 1
0 1 2 y1 y 0 1 2 2 2 1 2 y 3 2 1 2 y 4
a ij x i x j a ij x i x j .
i , j 1 j 1 i 1 n n n
2. 用矩阵表示 f(x1, x2, ·, xn) =x1(a11x1+a12x2 +·+a1nxn) · · · · +x2(a21x2+a22x2+·+a2nxn) · · +· · · +xn(an1x1+an2x2+ ·+ann xn) · ·
若记
a11 a12 a A 21 a 22 a n1 a n 2
a1 n a 2 n , a nn
x1 x x 2 , xn
则二次型可记作 f = xTAx, 其中A为对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
f(x1, x2, ·, xn)=x12+4x22+4x32 · · 为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1. 用和号表示 对二次型 f(x1, x2, ·, xn)=a11x12+a22x22+·+annxn2 · · · · +2a12x1x2+2a13x1x3+·+2an-1 nxn-1xn · ·
思考题:
求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.
思考题解答
5 1 3 二次型的矩阵为: A 1 5 3 , 3 3 3 求得特征多项式为: | A–E | = –(4–)(9–). 于是A的特征值为: 1 = 9, 2 = 4, 3 = 0. 对应特征向量为: 1 1 1 p1 1, p2 1 , p3 1. 1 0 2
第六章 二次型
一、二次型及其标准形的概念来自§6.1 二次型及其标准形 5.5
定义: 含有n个变量x1, x2, ·, xn的二次齐次函数 · · f(x1, x2, ·, xn) = a11x12+a22x22+·+annxn2 · · · · +2a12x1x2+2a13x1x3+·+2an-1,nxn-1xn · · 称为二次型. 当aij 是复数时, 称 f 为复二次型. 当aij 是实数时, 称 f 为实二次型. 只含有平方项的二次型 f(x1, x2, ·, xn) = k1y12+k2y22+·+knyn2 · · · · 称为二次型的标准形(或法式). 例如: f(x1, x2, ·, xn) = 2x12+4x22+5x32–4x1x2; · · f(x1, x2, ·, xn) = x1x2+x1x3+x2x3 · · 都为二次型.