12 第六章 弯曲应力 [只读] [兼容模式]
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110 12+第六章+弯曲应力
dA
M ydA MSz ( )
Iz
Iz
F2
(M
dM )Sz ( )
Iz
( y) F2 F1
b dx
( y) FS Sz ( )
Iz b
弯曲切应力的推导是否严密？
4
第六章 弯曲应力
横截面上的正应力采用了纯弯正应力公式：
F dA
My
Iz
M
M
平面假设：变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交
2. 设计截面形状
相同材料重量下，提高W ；
3. 设计载荷分布形式
减小最大M
4. 等强设计(全局优化)
全局应力接近许用值
23
一、梁的合理截面形状
第六章 弯曲应力
dA
R0
C
z
y
1. 让材料远离中性轴 2. 腹板壁厚较小，但不能太小(承受剪切)。
24
第六章 弯曲应力
•截面上下不对称的脆性材料梁
C ,max
弯曲切应力的方向
假设：横截面上各点处的切应力，均平行于剪力或截面侧边， 并沿截面宽度均匀分布。
问题：是否存在垂直于剪力方向的切应力？
M
如何分布？合力效果？ 对称分布，相互抵消
FS
弯曲正应力
弯曲切应力
11
第六章 弯曲应力
垂直于剪力方向的弯曲切应力分布
高度/宽度＝10/1～1/1
12
第六章 弯曲应力
附加：梁弯曲切应力的进一步讨论 §6-5 梁的合理强度设计 §6-6 弯拉(压)组合与截面核心
2
第六章 弯曲应力
梁弯曲切应力的进一步讨论 弯曲切应力的回顾
F1 ( y) b dx F2
( y) F2 F1
第六章 弯曲应力
近似公式:
Q
hb
47
腹板切应力的近似公式
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布;
(2)腹板负担了绝大部分剪力。
近似公式:
Q
hb
翼缘的切应力
特点
(1) 除了有平行于剪力Q的切应力 分量外，还有与剪力Q垂直的 切应力分量；
(2) 切应力数值与腹板的切应力相比较小。 48
箱形薄壁梁
假设 : t //
My
Iz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
( y) y
结论
( y) E ( y)
dA0 ydA M
A
A
中性轴位置：中性轴过截面形心
❖ 中性层曲率：1 M （Iz －惯性矩）
EI z （EIz －截面弯曲刚度）
正应力公式： ( y) My
Iz
max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
y2)
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
2
h2 )
b
h2 (
y 2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
45
距中性层 y处的切应力公式为:
Q [ B (H 2 h2) b (h2 y2)]
Izb 8
24
切应力分布如图。
最大切应力发生在中性轴处
max
Q[ Izb
BH 2 8
由切应力互等定理，得
QS
* z
Izb
计算Sz*
可用公式
S
* z
A1
y1
S
* z
b( h 2
y) [y
材料力学课件第六章弯曲应力
第6章 弯曲应力
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力 ※ 弯曲切应力 ※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1 梁的纯弯曲
横截面上同时存在弯矩和剪力
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
纯弯曲
f1(M ) f2 (Q)
第三章 扭 转
aP P a
A
B
C
D
QP
x
P
a
2
h
2 4
2
b
a y
第三章 扭 转
附录 2. 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
z
定义：图形面积对某轴的二次矩
IzAy2dA , IyA z2dA
y
dA
z
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即
O
y
Iz Az2i, IyAy2i
或
iy
Iy , A
iz
E E y
3. 静力学关系
M z
N A dA 0
(1 )
M yA zdA 0 (2 ) M zAy dA M (3 )
y z y
x
dA
E E y
第三章 扭 转
NxAdAAEρydA0
Sz 0
ydA 0
A
中性轴过形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力 ※ 弯曲切应力 ※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1 梁的纯弯曲
横截面上同时存在弯矩和剪力
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
纯弯曲
f1(M ) f2 (Q)
第三章 扭 转
aP P a
A
B
C
D
QP
x
P
a
2
h
2 4
2
b
a y
第三章 扭 转
附录 2. 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
z
定义：图形面积对某轴的二次矩
IzAy2dA , IyA z2dA
y
dA
z
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即
O
y
Iz Az2i, IyAy2i
或
iy
Iy , A
iz
E E y
3. 静力学关系
M z
N A dA 0
(1 )
M yA zdA 0 (2 ) M zAy dA M (3 )
y z y
x
dA
E E y
第三章 扭 转
NxAdAAEρydA0
Sz 0
ydA 0
A
中性轴过形心
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一 轴静矩的代数和，即：
n
n
Sz Aiyi , Sy Aizi
i1
i1
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。
材料力学第6章 弯曲应力
材料力学
第6章 弯曲应力
§6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 y y E E x Mz 三、静力学方面
（1） Fx 0
（2） My 0
b
z x
y
h
σ dA
y
z y
dA 0
A
A
ydA 0
中性轴（z轴）为形心轴.
zdA 0
A A
1 M ( x) ( x) EI z
正应力：
M ( x) y Iz
最大的正应力：
max
M ( x) Wz
材料力学
第6章 弯曲应力
§6-3 横力弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 二、正应力强度条件
h
b
z
d
z
强度条件
max ≤[ ]
1、塑性材料 [ t ]=[ c ]=[ ] y y M 截面一般关于中性轴对称 max = max ≤[ ] Wz M max yt ≤[ t ] 2、脆性材料 t max = I z z 形心 M max yc cmax = ≤[ c ] Iz y 3、三种类型的强度计算 截面一般关于 M max ≤[ ] （1）强度校核 max 中性轴不对称 Wz M （2）设计截面 Wz ≥ max （3）求许可荷载 M max ≤Wz [ ] [ ]
故横截面上任一点处的纵向线应变 与它到中性层的距离y成正比.
材料力学
第6章 弯曲应力
§6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 一、几何方面 变形现象 变形规律 两点假设 y o x 几何方程 二、物理方面 单向受力假设，利用胡克定律 y ρ dθ E E 与y成正比，而与z无关. 1 2 1 2 正应力沿高度方向呈线性分布， dx o'2 o1 o2 而沿宽度方向均匀分布. o' 1 y y a' b' a b 中性层的位置还不知道，未知， 1 2 1 2
第6章 弯曲应力
∗ FQ Sz
(
)
6.3 弯曲切应力
工字形截面梁
FQ B 2 2 b h2 2 τ= H − h + − y Iz b 8 2 4
(
)
h 分别代入： 以y = 0和y = ± 分别代入： 2
τ max
FQ BH 2 b Bh 2 = − (1 − ) Iz b 8 B 8
τmin =
∗ FQmax Sz
dI z
40×103 ×85140.97 = = 31.6MPa 7 6.5×1.66×10
3 工字钢梁最大弯曲剪应力的近似计算。 工字钢梁最大弯曲剪应力的近似计算。 腹板上平均剪应力为： 腹板上平均剪应力为：
40×103 τ= = = 38.8MPa A (180 − 2×10.7)×6.5 1 FQ
τmax =
∗ F max Sz max Q
dIz
=
∗ d ⋅ I z / Sz max
F max Q
40×103 = = 40.0MPa 6.5×15.4×10
2 求腹板上最小剪应力 最小剪应力位于腹板与翼缘交界处。 最小剪应力位于腹板与翼缘交界处。
6.3 弯曲切应力
∗ Sz = (10.7×94)×(180 / 2 −10.7 / 2) = 85140.97mm3
A
6.2 弯曲正应力
纯梁弯曲
因 FQ =0 所以 τ = 0，σ ≠ 0 ，
纵线 横线
m b a m M a m
n b a n
一、变形特点 纵线： 纵线： 变为同心圆弧线； 变为同心圆弧线； 凹侧缩短，凸侧伸长。 凹侧缩短，凸侧伸长。 横线： 横线： 仍为直线，且垂直于纵线； 仍为直线，且垂直于纵线； 不同横截面相对转过一个角度。 不同横截面相对转过一个角度。
材料力学第6章弯曲应力
图6.5
页 退出
材料力学
出版社 理工分社
例6.1如图6.6所示，矩形截面悬臂梁受集中力和集中力偶作用。试求Ⅰ—Ⅰ 截面和固定端Ⅱ—Ⅱ截面上A，B，C，D ４点处的正应力。
图6.6
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材料力学
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解矩形截面对中性轴的惯性矩为 对于Ⅰ—Ⅰ截面，弯矩MⅠ=20 kN·m，根据式(6.2)，各点正应力分别为
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材料力学
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(1)变形几何关系 弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称 轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确 定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法 线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性 轴相对旋转了一个角度dθ ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵 向纤维bb的长度变为
式中积分
是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对
称轴，必然有Iyz=0(见附录)。所以式(g)是自然满足的。 将式(b)代入式(e)，得
式中积分∫Ay2dA=Iz是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。于是式(h)改写为 式中 ——梁轴线变形后的曲率。
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材料力学
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式(6.1)表明，EIz越大，则曲率 越小，故EIz称为梁的抗弯刚度。从式 (6.1)和式(b)中消去 ，得
而对于变截面梁，虽然是等截面梁但中性轴不是横截面对称轴的梁，在计算 最大弯曲正应力时不能只注意弯矩数值最大的截面，应综合考虑My/Iz的值 (参看例6.5和例6.8)。
页 退出
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引用记号
弯曲应力_精品文档
弯曲应力引言弯曲应力是材料受到弯曲力作用时产生的应力。
在工程中，许多结构和元件都会承受弯曲力，因此对于弯曲应力的研究非常重要。
本文将介绍弯曲应力的概念、产生原因、计算方法以及对材料性能的影响。
一、概念与定义弯曲应力是由外力在材料截面上产生的弯曲时引起的内力分布所导致的。
当材料受到垂直于其截面的力作用时，材料会发生形变，产生内部应力以抵消外力的作用。
这些应力在截面上沿纵横两个方向分布，形成应力分布图。
在该图中，对于一切外力小于弯曲应力时，材料会发生弹性形变，当外力超过弯曲应力时，材料开始发生塑性变形。
二、弯曲应力产生原因弯曲应力的主要产生原因是施加在材料上的弯曲力。
当一个材料受到作用力时，由于横向收缩和纵向伸展，材料会发生变形。
在弯曲过程中，材料的上面受到压力，下面受到拉力。
这种压力和拉力导致了截面上的应力分布，形成弯曲应力。
三、弯曲应力的计算方法为了计算弯曲应力，需要了解材料的弯曲刚度和外力大小。
根据材料的力学性质，可以使用欧拉-伯努利梁理论计算等效弯曲应力。
该理论基于以下假设：材料在弯曲过程中保持线弹性，纵向扰动被忽略，并且任何截面都在弯曲过程中垂直于轴线。
通过这些假设，可以得到以下弯曲应力的计算公式：σ = (M * y) / I其中，σ是应力，M是弯矩，y是离轴心的距离，I是截面的惯性矩。
这个公式表示弯曲应力与弯矩成正比，与截面惯性矩成反比。
因此，在设计结构时，可以通过调整截面形状或增加材料的截面尺寸来减小弯曲应力。
四、弯曲应力对材料性能的影响弯曲应力对材料性能有重要影响。
首先，弯曲应力会导致材料发生弹性或塑性变形。
在弯曲应力作用下，材料的内部结构发生改变，导致材料的力学性能发生变化。
其次，弯曲应力还会导致材料的疲劳断裂。
当材料受到长期的反复弯曲作用时，弯曲应力超过了材料的疲劳极限，材料会产生裂纹，最终导致断裂。
因此，在设计和使用材料时，必须考虑到弯曲应力对材料的影响，并采取相应的措施来避免材料破坏。
第六章 - 弯曲应力
查表 N0 12.6工字钢
WZ=77.5cm3
kN
15
28.1
13.16
kNm
3.75
例题
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴
的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
A
L 2
B
L 2
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4 153.6mm
y max
96.4mm
50
96.4
z
200
C
50
max
My
max
IZ
24.09MPa
max
My max IZ
对梁的某一截面： 对全梁（等截面）：
max
Mymax Iz
M
WZ
max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
例题
长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力
F，已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。
1 M Z (b)
EIZ
由(a)(b)式得
Mzy
Iz
y
M
m
Mz
n
中性轴
材力第六章 弯曲应力
3、切应力的分布：
Fs S z I zb
Fs
z
h y 2 h b h S z yc A ( 2 y ) b( y ) ( y2 ) 2 2 2 4
h y
max
y b
τ
3Fs 4y (1 2 ) 2bh h
2
3 Fs max 2 A
Mmax 6Mmax 6 4050 2 6.25MPa 7 MPa max 2 Wz bh 0.12 0.18
1 . 5 * 5400 Fs max 0. 375 MPa 0.9 MPa 1 . 5 max 0 . 12 * 0 . 18 A
几何方面
物理方面
静力方面
（一）、几何方面 1、实验：
纯弯曲梁横截面上的正应力公式
a c
b
d
2、变形规律： ⑴、横向线：仍为直线， 只是相对转动了一个角 度且仍与纵向线正交。
a
c
b
M a
d c
M
⑵、纵向线：由直线变 为曲线，且靠近上部的 纤维缩短，靠近下部的 b d 纤维伸长。 3、假设： （1）、平面假设：梁变形前的横截面变形后仍为平面，且仍垂 直于变形后的轴线，只是各横截面绕某轴转动了一个角度。
4 88106 46.2MPa 4 76310
Iz M C y2 2.5 88106 ct 28.2MPa 4 t max 28.2 t Iz 76310 M C y1 c max 46.2 c Cc Bc Iz
当
D12
4
[ D 2 (0.8D) 2 ]
4
材力06弯曲应力详解
M y
(sdA)z
A
Eyz
E
dA
A
yzdA EI yz 0
A
（Iyz＝0）
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
10
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y 2dA EI z M
A
1 Mz
EI z
… …(3)
由式（2）和（3）
s M y
x
Iz
...... (4)
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
1
主要内容
§6–1 梁的纯弯曲 §6–2 纯弯曲时的正应力 §6–3 横力弯曲时的正应力 §6–4 弯曲切应力 §6–5 提高弯曲强度的措施
2020/9/29
材料力学 第六章 弯曲应力
2
§6–1 梁的纯弯曲
弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力Q 弯矩M
剪应力t 正应力s
平面弯曲时横截面只有s
纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)
平面弯曲时横截面既有s又有t
横力弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)
例如：
P1
P2
纵向对称面
aP A
Q
Pa
纯弯曲(Pure Bending):
B 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x
x M
F
B
D
1m
FBY=10.5KN
弯矩图 M
弯矩图
2.5KN· m
X
2020/9/29
4KN·m
材料力学 第六章 弯曲应力
15
B截面和C截面应力分布规律图
材料力学第六章弯曲应力
3l/8 H
CD
Bx
l/4 l/4
x
1 ql
8
1 ql2 32
x
D
知正应力、正应变最 大值发生在H截面。
应用下述关系求应力与内力
应力～变形 关系：
E y
max
E
ymax
内力～变形或内力～应力关系：
1 M
EI z
或
M maxW
Page 15
第六章 弯曲应力
2. 应力计算
max
E
ymax
D d 0.701m
22
ymax
d
2
1.0 103 m
Page 5
第六章 弯曲应力
二、 组合变形
杆件的一般变形通常可分解为拉压、 扭转与弯曲变形的两种或三种基本 变形的组合。
三、 梁横截面上的弯曲应力 弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
四、 对称弯曲 梁具有对称截面，且在 纵向对称面承受横向外 力（或外力的合力）时 的受力与变形形式。
对称截面
Page 7
第六章 弯曲应力
§6-2 弯曲正应力
一、实验观测与假设（动画） 1. 外部变形观测
•纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长
•横向线：保持直线，与横线正交 •顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应
2. 内部变形假设
•平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交 •单向受力假设
A
S y
zdA
A
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。
静矩的量纲： L3
o
y
z
z
dA
CD
Bx
l/4 l/4
x
1 ql
8
1 ql2 32
x
D
知正应力、正应变最 大值发生在H截面。
应用下述关系求应力与内力
应力～变形 关系：
E y
max
E
ymax
内力～变形或内力～应力关系：
1 M
EI z
或
M maxW
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第六章 弯曲应力
2. 应力计算
max
E
ymax
D d 0.701m
22
ymax
d
2
1.0 103 m
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第六章 弯曲应力
二、 组合变形
杆件的一般变形通常可分解为拉压、 扭转与弯曲变形的两种或三种基本 变形的组合。
三、 梁横截面上的弯曲应力 弯曲正应力 M 弯曲切应力 FS
四、 对称弯曲 梁具有对称截面，且在 纵向对称面承受横向外 力（或外力的合力）时 的受力与变形形式。
对称截面
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第六章 弯曲应力
§6-2 弯曲正应力
一、实验观测与假设（动画） 1. 外部变形观测
•纵向线：成圆弧线,上方纵向线 缩短，下方伸长
•横向线：保持直线，与横线正交 •顶与底部纵、横线变形比：符合 单向受力泊松效应
2. 内部变形假设
•平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交 •单向受力假设
A
S y
zdA
A
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。
静矩的量纲： L3
o
y
z
z
dA
第6章 弯曲应力
a-a线缩短而b-b线伸长。
2.平面假设 假设横截面在变形过
程中始终保持为平面。
6
6.2弯曲正应力
3. 中性层与中性轴
由截面的几何性质可 知，中性轴z必然通 过横截面的形心。
由实验观察和平面 假设推知：梁弯曲时，凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维
缩短，有纵向纤维既不伸长又不缩短的中性层。中性层与横 截面的交线为中性轴，中性轴过截面的形心。梁弯曲时，各 横截面绕其中性轴转动了不同的角度。
梁弯曲前的横截面在变形后仍保持平面，并垂直 于梁的轴线，只是各自绕截面上某一轴转过一个角 度。这一假设称为“平面假设” 。
中性层
中性轴
3
6.2弯曲正应力
若梁横截面上只 有弯矩而无剪切力 的弯曲变形称为纯 弯曲； 梁横截面上既有 弯矩又有剪切力的 变形称为横力弯曲。
4
6.2弯曲正应力
一、纯弯曲与横力弯曲
画图示火车轮轴简图的剪力、 弯矩图。
F AC
横力弯曲：AC、DB段，Ｍ0，FQ 纯弯曲：CD段，Ｍ0，FQ =0。
0。
FQ
a
FA
l
M -F
-Fa
F DB
a F FB
x
x -Fa
5
6.2弯曲正应力
二、纯弯曲正应力公式 1.实验观察
(1)横向线仍为直线并相对 转动了一个微小角度。 (2)纵向线弯成了曲线，且
b
MC y IZ
20103 8 102 33750108
4.74MPa
c 0
17
6.2.2 细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力
例题6.3 如图所示T型截面梁，材料是铸铁（抗拉、抗压 性能不同）。求该梁的最大工作应力。
18
2.平面假设 假设横截面在变形过
程中始终保持为平面。
6
6.2弯曲正应力
3. 中性层与中性轴
由截面的几何性质可 知，中性轴z必然通 过横截面的形心。
由实验观察和平面 假设推知：梁弯曲时，凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维
缩短，有纵向纤维既不伸长又不缩短的中性层。中性层与横 截面的交线为中性轴，中性轴过截面的形心。梁弯曲时，各 横截面绕其中性轴转动了不同的角度。
梁弯曲前的横截面在变形后仍保持平面，并垂直 于梁的轴线，只是各自绕截面上某一轴转过一个角 度。这一假设称为“平面假设” 。
中性层
中性轴
3
6.2弯曲正应力
若梁横截面上只 有弯矩而无剪切力 的弯曲变形称为纯 弯曲； 梁横截面上既有 弯矩又有剪切力的 变形称为横力弯曲。
4
6.2弯曲正应力
一、纯弯曲与横力弯曲
画图示火车轮轴简图的剪力、 弯矩图。
F AC
横力弯曲：AC、DB段，Ｍ0，FQ 纯弯曲：CD段，Ｍ0，FQ =0。
0。
FQ
a
FA
l
M -F
-Fa
F DB
a F FB
x
x -Fa
5
6.2弯曲正应力
二、纯弯曲正应力公式 1.实验观察
(1)横向线仍为直线并相对 转动了一个微小角度。 (2)纵向线弯成了曲线，且
b
MC y IZ
20103 8 102 33750108
4.74MPa
c 0
17
6.2.2 细长杆件横力弯曲时梁横截面上的正应力
例题6.3 如图所示T型截面梁，材料是铸铁（抗拉、抗压 性能不同）。求该梁的最大工作应力。
18
材料力学第6章-弯曲应力概要
Iz
21
M y 正应力在横截面上的分布规律
I
22
6.1.2 横截面上的正应力公式 3. 正应力公式使用注意点
M y
Iz
（1）弹性范围内使用
M y
Iz
（2）由所考虑位置处拉
压性质直接确定应力正负
纯弯曲
M (x)y
Iz
横力弯曲
（3）L/h﹥5时，横力弯曲梁的
A
y dA
E
Sz
0
x Sz 0 重要结论：中性轴必定过形心
E E y
2) 第二式：
M y
z dA
A
E
A
y zdA
E
I yz
0
平面弯曲条件： I yz 0 y轴是形心主惯性轴
弯曲发生在各截面的形心主惯性轴 y 所组成的平面内
19
2. 正应力公式推导
y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正
（4）ρ/h≥5的曲梁弯曲正应力计算可近似 用公式，其误差在工程允许的范围内
M EI W W
23
M (x)y Iz
分析和讨论
梁在有的区段是中性层上侧受拉而下侧受 压，有的区段则是上侧受压而下侧受拉。这 种情况与弯矩图有什么规律性的联系？
M M
x
x
结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
15
2. 正应力公式推导
d y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn dx d mn ( y)d
z
dx
dx
x
mn mn ( y)d d
mn
d
y
d y
m' n'
21
M y 正应力在横截面上的分布规律
I
22
6.1.2 横截面上的正应力公式 3. 正应力公式使用注意点
M y
Iz
（1）弹性范围内使用
M y
Iz
（2）由所考虑位置处拉
压性质直接确定应力正负
纯弯曲
M (x)y
Iz
横力弯曲
（3）L/h﹥5时，横力弯曲梁的
A
y dA
E
Sz
0
x Sz 0 重要结论：中性轴必定过形心
E E y
2) 第二式：
M y
z dA
A
E
A
y zdA
E
I yz
0
平面弯曲条件： I yz 0 y轴是形心主惯性轴
弯曲发生在各截面的形心主惯性轴 y 所组成的平面内
19
2. 正应力公式推导
y
静力学关系 ( 横截面上轴力、弯矩与正
（4）ρ/h≥5的曲梁弯曲正应力计算可近似 用公式，其误差在工程允许的范围内
M EI W W
23
M (x)y Iz
分析和讨论
梁在有的区段是中性层上侧受拉而下侧受 压，有的区段则是上侧受压而下侧受拉。这 种情况与弯矩图有什么规律性的联系？
M M
x
x
结论 弯矩坐标向上为正的规定使弯矩图始终画在梁的受压
确定中性轴位置 中性层曲率表达式及正应力表达式
15
2. 正应力公式推导
d y
几何关系 ( 平截面假设 )
mn dx d mn ( y)d
z
dx
dx
x
mn mn ( y)d d
mn
d
y
d y
m' n'
第六章：弯曲应力
组合截面图形对某轴的静矩就等于其各组成部分 图形对同一轴静矩的代数和。
弯曲应力
[例6-2]某梁的截面图形如图所示，试求其对图示 坐标轴的静矩（图中单位尺寸为mm）。
y
解：(1) 计算静矩Sy y轴为对称轴
50 20
50
1
Sy 0
(2) 计算静矩Sz
140
2
O 20
z
此截面可以看作由两个矩形1、2组成
Sz A1 yC1 A2 yC2
100 20 150 m3 140 20 70 m3 4.96 10 m
4 3
弯曲应力
二、惯性矩与惯性半径 1. 惯性矩
截面图形对z轴惯性矩 I z
截面图形对y轴惯性矩 I y 2. 极惯性矩 I P
A
y 2 dA z dA
(2) 计算静矩Sy y轴通过阴影部分图形面积的形心C1
Sy 0
弯曲应力
3.组合截面图形的静矩
由几个简单图形组成的截面称为组合截面。
S z Ai yC i S y Ai zC i
i 1 i 1 n
n
z
其中Ai为其中第i个组成部分图形的面积；
Ci
, yC i 为其中第i个组成部分图形的形心坐标。
弯曲应力
2.截面图形的形心
Sz yC A A zdA S y zC A A A Sz AyC , S y AzC
A
yd A
y
z
zC
dA C
y
A
yC
O
z
说明： ◆ 若某坐标轴通过截面形心，则截面图形 对该轴的静矩必为零 ； ◆若截面图形对某坐标轴的静矩为零，则 该 坐标轴必通过截面图形的形心; ◆截面图形对形心轴的静矩等于零。
第6章 弯曲应力
称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
s t,max
My t ,max Iz
s c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy b/2 6
dA s * FN1 m'
B1 d F
S
A y m dx
B
* F n N2
* N1
而横截面上纵向力的大小为
* N1
My1 M F * s1 d A * dA A A Iz Iz
M * A* y1 d A I z S z
面积AA1mm' 对中性轴 z的静矩
F
* N2
(M d M ) M dM * *s 2 d A * y1 d A Sz A A Iz Iz
Fs
根据前面的分析
* FS S z t I zb
矩形截面梁弯曲切应力计算公式
* FS S z t I zb
z y1 y y
其中：
FS→ 横截面上的剪力；
dA
Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩；
b → 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；
中性轴的静矩
* → 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对 Sz
例 截面为T字形的铸铁梁如图所示，欲使梁内最大拉应力与最 大压应力之比为1：3，试求水平翼缘的合理宽度b。 解： 1) 中性轴的位置： s max y1 1 s max y 2 3 y1 y2 400 y2 300mm y1 100mm 2) 求b： (中性轴必过形心) y A yc 2 A2 SZ 0 yc c1 1 0 A1 A2 340 60 b (y 1 30) 340 30(y 2 )0 2 b 316 mm
材料力学第六章弯曲应力
根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz 和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得
Iz
Iy
Ip 2
πd4 64
d
而弯曲截面系数为
Wz Wy
Iz d
Iy d
πd3
32
22
o
z
ry
z dA
y
(3) 空心圆截面
由于空心圆截面的面积Ａ等于大圆的面积AD减去小圆
(即空心部分)的面积Ad故有
上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由 于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。
将上式代入得出的式子
E y r
即得弯曲正应力计算
公式：
My Iz
应用此式时，如果如图中那样取 y 轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正 负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正 负的情况下，所得正应力的正负自动表 示拉应力或压应力。但实际应用中往往 直接根据横截面上弯矩的转向及求正应 力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正 应力为拉应力还是压应力；在此情况下 可以把式中的 y 看作求应力的点离中性 轴 z 的距离。
d2
y2
h
y1
Ox
x
d1
y b
1. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
已知任意形状的截面(如图)的面积A以及对于形心轴xC 和yC的惯性矩 IxC，IyC 及惯性积 I xC yC ，现需导出该截面对于 与形心轴xC ， yC平行的x轴和y轴的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy。 截面的形心C在x，y坐标系内的坐标为 xb和y a。
t,max
Myt,max Iz
c,max
Myc,max Iz
工程力学教学课件 第6章 弯曲应力
胶 缝 F Is1 zS bz *616 30 6 0 1 0 4 2 3 6 0 0 40 0 1 21.1M 1 P
36
§6–5 梁的强度计算
梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 对于等截面梁
⒈ 正应力强度条件：
max
Mmax Wz
必有横截面惯性积 Syz=0 ，z 轴为形心主轴。
15
由：
Mz
ydAM
A
AydA E Ay2dA E IzM
1 M
EIz
z
C
x
dA
y z
y
其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。 于是得：
EyM y Iz
16
M y
Iz
由该式可知横截面上各点正应 力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正应力为零，层的交线称为中性轴。
11
纵向对称面 中性层
中性轴
⒉ 基本假设 ⑴平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形 后的轴线正交； ⑵层间纤维无挤压。
12
⒊ 变形几何关系
取一微段dx
o1o2dx d
a
b
k1'k2'(y)d
l k1'k2'dx
o1
z
max
max
2
Fs A
35
例4 图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图所示，求 Ⅰ—Ⅰ截面的最大切应力和胶缝的切应力。
40 40 40
q3kN/m
Ⅰ
AⅠ
B
2m
2m
FA=6kN
FB=6kN 60
解： Fs1 6kN
弯曲应力12
第六章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 惯性矩与平行轴定理 §3 弯曲切应力 §4 梁的强度条件 §5 梁的合理强度设计 §6 弯拉(压)组合与截面核心
2020/4/14
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1
§1 弯曲正应力
引言 弯曲试验与假设 弯曲正应力公式 例题
2020/4/14
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2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系弯曲切应力梁弯曲时横截面上的对称弯曲对称截面对称截面梁在纵向对称面承受力矩横向外力时的受力与变形形式对称弯曲已知未知的分布高度静不定问题2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系弯曲试验与假设弯曲试验靠顶部纵线缩短靠底部纵线伸长纵线伸长区截面宽度减小纵线缩短区截面宽度增大弯曲假设各纵向纤维处于单向受力状态单向受力假设纯弯与正弯矩作用2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系中性轴截面纵向对称轴横截面间绕中性轴相对转动2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系对称弯曲正应力公式公式的建立几何方面2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系静力学方面结论中性轴过截面形心中性轴位置
2
引言
弯曲应力
弯曲正应力－梁弯曲时横截面上的s 弯曲切应力－梁弯曲时横截面上的t
已知 M A ys d A 未知 s 的分布
高度静不定问题
对称弯曲
对称截面
对称截面梁，在纵向对 称面承受力矩、横向外 力时的受力与变形形式 －对称弯曲
2020/4/14
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3
弯曲试验与假设
8
例题
例 1-1 已知：梁用№18 工字钢制成, Me=20 kN•m, E=200
§1 弯曲正应力 §2 惯性矩与平行轴定理 §3 弯曲切应力 §4 梁的强度条件 §5 梁的合理强度设计 §6 弯拉(压)组合与截面核心
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§1 弯曲正应力
引言 弯曲试验与假设 弯曲正应力公式 例题
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2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系弯曲切应力梁弯曲时横截面上的对称弯曲对称截面对称截面梁在纵向对称面承受力矩横向外力时的受力与变形形式对称弯曲已知未知的分布高度静不定问题2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系弯曲试验与假设弯曲试验靠顶部纵线缩短靠底部纵线伸长纵线伸长区截面宽度减小纵线缩短区截面宽度增大弯曲假设各纵向纤维处于单向受力状态单向受力假设纯弯与正弯矩作用2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系中性轴截面纵向对称轴横截面间绕中性轴相对转动2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系对称弯曲正应力公式公式的建立几何方面2020426武汉体育学院体育工程与信息技术系静力学方面结论中性轴过截面形心中性轴位置
2
引言
弯曲应力
弯曲正应力－梁弯曲时横截面上的s 弯曲切应力－梁弯曲时横截面上的t
已知 M A ys d A 未知 s 的分布
高度静不定问题
对称弯曲
对称截面
对称截面梁，在纵向对 称面承受力矩、横向外 力时的受力与变形形式 －对称弯曲
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弯曲试验与假设
8
例题
例 1-1 已知：梁用№18 工字钢制成, Me=20 kN•m, E=200
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b
24
第 章 弯曲应力
附加例题
25
第 章 弯曲应力
附加例题
26
第 章 弯曲应力
附加例题
27
第 章 弯曲应力
28
第 章 弯曲应力
作业
6-16, 6-17
29
第 章 弯曲应力
谢谢
30
例
铸铁梁
[σc] = 140 MPa
Iz =8.84 10-6 m4
解： 1
内力 析——确定危险截面
MD 最大正弯 矩 MB 最大负弯矩 危险截面 截面D, B
22
第 章 弯曲应力 2 应力 析——确定危险点
截面B
截面D
Q MD > MB ,
ya > yd
∴ σa > σd
危险点
a, b, c
3
强度校核 M D y1 M D y2 = 28.3 MPa = -59.8 MPa σ b = σa = Iz Iz M y σ c = B 2 = 33.6 MPa Iz σ c,max = σ a = 59.8 MPa < [σ c ]
z
y
o τ
τ m ax =
3 FS 3 FS = 2 bh 2 A
y
7
第 章 弯曲应力 弯曲正应力与弯曲 应力的比较
细长非薄壁截面梁 实心梁 厚壁截面梁
M max = Fl
h b
金属材料
FS max = F
σmax/τmax在数 级上正比于梁的跨高比 级上正比于梁的跨高比( l/h )
F B l A
2 FS = A
13
第 章 弯曲应力
Fs S z (ω ) τ ( s) = Izt
Fs
剪流 ——截面中心线单 位长度 的剪力
q ( s ) = τ ( s )t Fs S z (ω ) = Iz
z
y
利用剪流概念， 利用剪流概念，可以形象地确定 τ 方向 注意与扭转造成剪流的差异
14
第 章 弯曲应力 Fs Fs
τ (y)
布
4
y
第 章 弯曲应力 利用分离体平衡来求横截面上的切应力( q = 0 的情况远 的情况远
M+dM
M
τ(y)
FS dx FS σdA F1 b dx F2 y z
F1 =
∫ω σ dA
x方向平衡
F1 + τ ( y ) ⋅ b ⋅ dx = F2
F2 − F1 τ ( y) = b ⋅ dx
第 章 弯曲应力
一讲回顾 梁的弯曲
对象 对
y
应力
析
弯曲+ 弯曲+纯弯曲的直梁 单向受力假设
M = ρ EI z 1 My σ = Iz
y
条件 平面假设
ε= ρ σ =E ρ
截面几何性质
静矩 形心 极惯性矩 惯性矩 式 惯性
1
平行移轴定理, 平行移轴定理,转轴
第 章 弯曲应力
弯曲时横截面 的应力
M M FS F τ σ 弯曲 应力
2. 按弯曲 σ 条件选截面
Fl = 3.0 × 10 − 4 m 4 Wz ≥ 4[σ ]
查教材P367, 附录F 型钢表 选 №22a, Wz=3.09×10-4 m4 3. 校核梁的剪 强度
τ max =
F Iz S z ,max
δ
= 14.11 MPa < [τ ]
21
第 章 弯曲应力 y1 = 45 mm y2 = 95 mm [σt] = 35 MPa 校 梁的强度
σ C ,max
d
z
σ1
τ1
O
a τ max
τ
C
a
b
τ max
σ1
σ t ,max
b
τ max τ1
y
τ1
σ1
c
dσLeabharlann t ,max σ C ,maxc
y
危险点
a 点处: 纯剪 b 点处:
c , d 点处: 单向应力
σ ,τ 联合作用
17
第 章 弯曲应力 二、梁的 度条件 • 弯曲 应力强度条件
σ max = ≤ [σ ] W z max σmax 最大弯曲 应力 [σ] 材料单向应力许用应力
ξ
应力
均匀 均匀 布 布
腹板 τ //腹板侧边 翼缘 τ //翼缘侧边
FS
腹板
C
析方法 离体平衡 F S ⋅ S z (ω ) τ ( y) = Iz ⋅b 翼缘
F S ( h 0 + h )ξ 4Iz
τ F1 F2
z
h0/2
τ ( y) =
τtdx
腹板
y
τ ( y) =
FS [ b ( h 02 − h 2 ) + δ ( h 2 − 4 y 2 ) ] 8 Iz ⋅δ
5
第 章 弯曲应力
F2 − F1 τ ( y) = b ⋅ dx
式推导过程
F1 =
∫ω σ dA
My σ = Iz
M F1 = Iz
∫ω ydA
z
∫ω ydA = S (ω )
z y
MS z (ω ) F1 = Iz
( M + dM ) S z (ω ) F2 = Iz
式的推导严密吗？
d M ⋅ S z (ω ) τ ( y) = I z ⋅ b ⋅ dx
19
第 章 弯曲应力
例 简易吊车梁 F =20 kN l = 6 m [τ ] = 60 MPa 选择工 钢型号
[σ ] = 100 MPa
20
第 章 弯曲应力 解：1. 内力 析
(l − η )F + FS (η ) = , FS,max = FS (0 ) = F l Fl η M (η ) = Fη 1 − , M max = l 4
σ max = τ max =
M max 6Fl = 2 Wz bh 3F 2bh
薄壁截面梁 时 弯曲
短粗梁
复合材料 或者 历史 弯曲
σ max 6Fl ⋅ 2bh l = 4( ) = 2 h τ max bh ⋅ 3F
应力大小相当
8
应力较大
考虑弯曲
应力的原因 应力的原因
第 章 弯曲应力 二、对称薄壁梁的弯曲切应力 1. 问题 析 (1) 应力 τ 方向 •沿截面中心线 沿截面中心线 依据 应力互等定理
M
•弯曲 弯曲
应力强度条件
τ max =
FS S z , max I zδ ≤ [τ ] max
τmax 最大弯曲 应力 [τ] 材料纯剪 许用应力
• σ ,τ 联合作用强度条件
见第9 见第9章强度理论
18
第 章 弯曲应力 三、梁 度条件的选用 细长非薄壁梁
Q σ max >> τ max
B
B
Fs
A
Fs
15
第 章 弯曲应力
§6-4 梁的强度条件
一、梁危险点处的应力状态
矩形截面梁: 矩形截面梁:
σ C ,max σ C ,max
a
C
a
τ max τ max
z
b
b
c
y
c
σ t ,max
σ t ,max
危险点
a, c 点处: 单向应力
b 点处: 点处: 纯剪
16
第 章 弯曲应力
薄壁截面梁: 薄壁截面梁:
dx
y
Fs
布假定
t
x
z
•沿截面厚度均匀 沿截面厚度均匀 进该远 计算 τ 的大小
dx
τ (s)
F1
S
τ ' ( s)
同 依据 应力互等定理 将 横向截面 的 应力计算转化 为纵向截面 的 应力计算
F2
ω
9
第 章 弯曲应力 工字形与盒形等薄壁梁的弯曲
工字形梁的弯曲 应力
b/2 h0/2 b/2 翼缘 h/2 h/2
翼缘与腹板的交接处 翼缘与腹板的交接处 应力 布较复杂 有应力集中现象
10
第 章 弯曲应力
盒形薄壁梁的弯曲 应力
析方法
ξ
离体平衡
F2
FS
C
盖板
τ
z 腹板
τ ( y) =
τtdx
F1
FS [ b ( h 02 − h 2 ) + δ ( h 2 − 4 y 2 ) ] 8 I z ⋅ 2δ
y
盖板与腹板的交接处 盖板与腹板的交接处 应力 布较复杂 有应力集中现象
dM = FS ⋅ dx
FS ⋅ S z (ω ) τ ( y) = Iz ⋅ b
6
第 章 弯曲应力 弯曲 应力沿横截面的 布规律
F S ⋅ S z (ω ) τ ( y) = Iz ⋅ b h h/2− y S z (ω ) = b ( − y ) ⋅ ( y + ) 2 2 h 1 h = b( − y ) ⋅ ( + y ) 2 2 2 b h2 ( = − y2) 2 4 bh3 Iz = 12 3 FS 4 y2 τ ( y) = (1 − 2 ) 2 bh h
σ t,max = σ c = 33.6 MPa < [σ t ]
23
第 章 弯曲应力 B
F
5m
1m
A 例 若载荷可在梁 任 意移动 则铸铁梁b端朝 还是朝 合理？ 问题 析
My σ = 进1远 Iz
a
C
截面b端离中性轴
最
最大应力发生在 处
进该远铸铁抗压 进该远铸铁抗压 抗拉 应 使最大弯矩 处b端受压 进详远梁 进详远梁AB中点出现绝对值最大 弯矩 梁B点出现绝对值最大负弯矩
24
第 章 弯曲应力
附加例题
25
第 章 弯曲应力
附加例题
26
第 章 弯曲应力
附加例题
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第 章 弯曲应力
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第 章 弯曲应力
作业
6-16, 6-17
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第 章 弯曲应力
谢谢
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例
铸铁梁
[σc] = 140 MPa
Iz =8.84 10-6 m4
解： 1
内力 析——确定危险截面
MD 最大正弯 矩 MB 最大负弯矩 危险截面 截面D, B
22
第 章 弯曲应力 2 应力 析——确定危险点
截面B
截面D
Q MD > MB ,
ya > yd
∴ σa > σd
危险点
a, b, c
3
强度校核 M D y1 M D y2 = 28.3 MPa = -59.8 MPa σ b = σa = Iz Iz M y σ c = B 2 = 33.6 MPa Iz σ c,max = σ a = 59.8 MPa < [σ c ]
z
y
o τ
τ m ax =
3 FS 3 FS = 2 bh 2 A
y
7
第 章 弯曲应力 弯曲正应力与弯曲 应力的比较
细长非薄壁截面梁 实心梁 厚壁截面梁
M max = Fl
h b
金属材料
FS max = F
σmax/τmax在数 级上正比于梁的跨高比 级上正比于梁的跨高比( l/h )
F B l A
2 FS = A
13
第 章 弯曲应力
Fs S z (ω ) τ ( s) = Izt
Fs
剪流 ——截面中心线单 位长度 的剪力
q ( s ) = τ ( s )t Fs S z (ω ) = Iz
z
y
利用剪流概念， 利用剪流概念，可以形象地确定 τ 方向 注意与扭转造成剪流的差异
14
第 章 弯曲应力 Fs Fs
τ (y)
布
4
y
第 章 弯曲应力 利用分离体平衡来求横截面上的切应力( q = 0 的情况远 的情况远
M+dM
M
τ(y)
FS dx FS σdA F1 b dx F2 y z
F1 =
∫ω σ dA
x方向平衡
F1 + τ ( y ) ⋅ b ⋅ dx = F2
F2 − F1 τ ( y) = b ⋅ dx
第 章 弯曲应力
一讲回顾 梁的弯曲
对象 对
y
应力
析
弯曲+ 弯曲+纯弯曲的直梁 单向受力假设
M = ρ EI z 1 My σ = Iz
y
条件 平面假设
ε= ρ σ =E ρ
截面几何性质
静矩 形心 极惯性矩 惯性矩 式 惯性
1
平行移轴定理, 平行移轴定理,转轴
第 章 弯曲应力
弯曲时横截面 的应力
M M FS F τ σ 弯曲 应力
2. 按弯曲 σ 条件选截面
Fl = 3.0 × 10 − 4 m 4 Wz ≥ 4[σ ]
查教材P367, 附录F 型钢表 选 №22a, Wz=3.09×10-4 m4 3. 校核梁的剪 强度
τ max =
F Iz S z ,max
δ
= 14.11 MPa < [τ ]
21
第 章 弯曲应力 y1 = 45 mm y2 = 95 mm [σt] = 35 MPa 校 梁的强度
σ C ,max
d
z
σ1
τ1
O
a τ max
τ
C
a
b
τ max
σ1
σ t ,max
b
τ max τ1
y
τ1
σ1
c
dσLeabharlann t ,max σ C ,maxc
y
危险点
a 点处: 纯剪 b 点处:
c , d 点处: 单向应力
σ ,τ 联合作用
17
第 章 弯曲应力 二、梁的 度条件 • 弯曲 应力强度条件
σ max = ≤ [σ ] W z max σmax 最大弯曲 应力 [σ] 材料单向应力许用应力
ξ
应力
均匀 均匀 布 布
腹板 τ //腹板侧边 翼缘 τ //翼缘侧边
FS
腹板
C
析方法 离体平衡 F S ⋅ S z (ω ) τ ( y) = Iz ⋅b 翼缘
F S ( h 0 + h )ξ 4Iz
τ F1 F2
z
h0/2
τ ( y) =
τtdx
腹板
y
τ ( y) =
FS [ b ( h 02 − h 2 ) + δ ( h 2 − 4 y 2 ) ] 8 Iz ⋅δ
5
第 章 弯曲应力
F2 − F1 τ ( y) = b ⋅ dx
式推导过程
F1 =
∫ω σ dA
My σ = Iz
M F1 = Iz
∫ω ydA
z
∫ω ydA = S (ω )
z y
MS z (ω ) F1 = Iz
( M + dM ) S z (ω ) F2 = Iz
式的推导严密吗？
d M ⋅ S z (ω ) τ ( y) = I z ⋅ b ⋅ dx
19
第 章 弯曲应力
例 简易吊车梁 F =20 kN l = 6 m [τ ] = 60 MPa 选择工 钢型号
[σ ] = 100 MPa
20
第 章 弯曲应力 解：1. 内力 析
(l − η )F + FS (η ) = , FS,max = FS (0 ) = F l Fl η M (η ) = Fη 1 − , M max = l 4
σ max = τ max =
M max 6Fl = 2 Wz bh 3F 2bh
薄壁截面梁 时 弯曲
短粗梁
复合材料 或者 历史 弯曲
σ max 6Fl ⋅ 2bh l = 4( ) = 2 h τ max bh ⋅ 3F
应力大小相当
8
应力较大
考虑弯曲
应力的原因 应力的原因
第 章 弯曲应力 二、对称薄壁梁的弯曲切应力 1. 问题 析 (1) 应力 τ 方向 •沿截面中心线 沿截面中心线 依据 应力互等定理
M
•弯曲 弯曲
应力强度条件
τ max =
FS S z , max I zδ ≤ [τ ] max
τmax 最大弯曲 应力 [τ] 材料纯剪 许用应力
• σ ,τ 联合作用强度条件
见第9 见第9章强度理论
18
第 章 弯曲应力 三、梁 度条件的选用 细长非薄壁梁
Q σ max >> τ max
B
B
Fs
A
Fs
15
第 章 弯曲应力
§6-4 梁的强度条件
一、梁危险点处的应力状态
矩形截面梁: 矩形截面梁:
σ C ,max σ C ,max
a
C
a
τ max τ max
z
b
b
c
y
c
σ t ,max
σ t ,max
危险点
a, c 点处: 单向应力
b 点处: 点处: 纯剪
16
第 章 弯曲应力
薄壁截面梁: 薄壁截面梁:
dx
y
Fs
布假定
t
x
z
•沿截面厚度均匀 沿截面厚度均匀 进该远 计算 τ 的大小
dx
τ (s)
F1
S
τ ' ( s)
同 依据 应力互等定理 将 横向截面 的 应力计算转化 为纵向截面 的 应力计算
F2
ω
9
第 章 弯曲应力 工字形与盒形等薄壁梁的弯曲
工字形梁的弯曲 应力
b/2 h0/2 b/2 翼缘 h/2 h/2
翼缘与腹板的交接处 翼缘与腹板的交接处 应力 布较复杂 有应力集中现象
10
第 章 弯曲应力
盒形薄壁梁的弯曲 应力
析方法
ξ
离体平衡
F2
FS
C
盖板
τ
z 腹板
τ ( y) =
τtdx
F1
FS [ b ( h 02 − h 2 ) + δ ( h 2 − 4 y 2 ) ] 8 I z ⋅ 2δ
y
盖板与腹板的交接处 盖板与腹板的交接处 应力 布较复杂 有应力集中现象
dM = FS ⋅ dx
FS ⋅ S z (ω ) τ ( y) = Iz ⋅ b
6
第 章 弯曲应力 弯曲 应力沿横截面的 布规律
F S ⋅ S z (ω ) τ ( y) = Iz ⋅ b h h/2− y S z (ω ) = b ( − y ) ⋅ ( y + ) 2 2 h 1 h = b( − y ) ⋅ ( + y ) 2 2 2 b h2 ( = − y2) 2 4 bh3 Iz = 12 3 FS 4 y2 τ ( y) = (1 − 2 ) 2 bh h
σ t,max = σ c = 33.6 MPa < [σ t ]
23
第 章 弯曲应力 B
F
5m
1m
A 例 若载荷可在梁 任 意移动 则铸铁梁b端朝 还是朝 合理？ 问题 析
My σ = 进1远 Iz
a
C
截面b端离中性轴
最
最大应力发生在 处
进该远铸铁抗压 进该远铸铁抗压 抗拉 应 使最大弯矩 处b端受压 进详远梁 进详远梁AB中点出现绝对值最大 弯矩 梁B点出现绝对值最大负弯矩