2014年人教A版选修4-5课件 1.二维形式的柯西不等式
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高中数学人教A版选修4-5第三讲 一 二维形式的柯西不等式 课件
≥coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ2
＝(a＋b)2，
∴(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件 和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、 配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式， 从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
＝62x＋32＋1－2x＝6×52＝15.
其中等号成立的充要条件是
2x＋32＝ 2
1－2 2x，解得 x＝－13.
10．试求函数 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x的最大值，并求出相 应的 x 的值． 解：设 m＝(3,4)，n＝(cos x， 1＋sin2x) 则 f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x＝|m·n|≤|m|·|n| ＝ cos2x＋1＋sin2x· 32＋42＝5 2 当且仅当 m∥n 时，上式取“＝”． 此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0. 解得 sin x＝ 57，cos x＝352.故当 sin x＝ 57，cos x＝352时． f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值 5 2.
1．已知 a，b∈R＋且 a＋b＝1，则 P＝(ax＋by)2 与 Q＝ax2＋by2
的关系是
()
A．P≤Q
B．P＜Q
C．P≥Q
D．P＞Q
解 析：设 m＝ ( ax， by)，n＝( a， b)，则|ax＋by|＝
|m·n|≤|m||n| ＝ ax2＋ by2 · a2＋ b2 ＝
()
A. 3 C．3
B. 5 D．5
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x
≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5(当且仅当 x＝256时 取等号)． 答案：B
5.4.1 二维柯西不等式 课件(人教A版选修4-5)
2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定 理 3( 二 维 形 式 的 三 角 形 不 等 式 ) ( x 1 x 3 ) ( y1 y 3 )
2 2
( x 2 x3 ) ( y2 y3 )
2
2
( x 1 x 2 ) ( y1 y 2 ) 例 4 设 , , 为 平 面 上 的 向 量 ,则 等 号 当 且 仅 当 - 与 - 同 向 时 成 立 .
y zy z
2 2
4 3
x 4,
2 2
4 3
z 4.
x z
2 2
3. 求 证 : x y
3 xz
例 3 设 a , b, c, d R , 证 明 : a b
2 2
c d
2
2
(a c ) (b d )
2
2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b
2 2
c d
2
2
(a c ) (b d )
ac bd
向量形式： 设 ( a , b ), ( c , d ) 2 2 则 | | a b , | | ac bd
c d
2
2
柯 西 不 等 式 可 化 为 : | | | | | |
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式:
2
ห้องสมุดไป่ตู้
思考:一般地, 如图所示,结论是什么?
定 理 3( 二 维 形 式 的 三 角 形 不 等 式 ) ( x 1 x 3 ) ( y1 y 3 )
2 2
( x 2 x3 ) ( y2 y3 )
2
2
( x 1 x 2 ) ( y1 y 2 ) 例 4 设 , , 为 平 面 上 的 向 量 ,则 等 号 当 且 仅 当 - 与 - 同 向 时 成 立 .
y zy z
2 2
4 3
x 4,
2 2
4 3
z 4.
x z
2 2
3. 求 证 : x y
3 xz
例 3 设 a , b, c, d R , 证 明 : a b
2 2
c d
2
2
(a c ) (b d )
2
2
观 察
y
P1(a,b)
y P1(a,b) 0
0
P2(-c,-d) x
x P2(c,d)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系有:
a b
2 2
c d
2
2
(a c ) (b d )
ac bd
向量形式： 设 ( a , b ), ( c , d ) 2 2 则 | | a b , | | ac bd
c d
2
2
柯 西 不 等 式 可 化 为 : | | | | | |
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2 当且仅当ad =bc时,等号成立. 二维形式的柯西不等式的变式:
《一 二维形式的柯西不等式》课件4-优质公开课-人教A版选修4-5精品
当 堂 双 基 达 标
【提示】 根据二维柯西不等式的几何意义，在△ABC
课 堂 互 动 探 究
中，三角形式的柯西不等式为 x1－x32＋y1－y32＋ x2－x32＋y2－y32≥ x1－x22＋y1－y22.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-5
3．如何理解二维形式的柯西不等式？
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自 主 导 学
二维柯西不等式代数形式的应用
已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.
当 堂 双 基 达 标
【思路探究】 探求已知条件与待证不等式之间的关
课 堂 互 动 探 究
系，设法构造柯西不等式进行证明．
配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找 到突破口．
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自 主 导 学
a2 b2 设a、b∈R＋且a＋b＝2.求证： ＋ ≥2. 2－a 2－b 【证明】 根据柯西不等式，有
a2 b2 [(2－a)＋(2－b)]( ＋ ) 2－a 2－b a 2 b 2 ＝[( 2－a) ＋( 2－b) ][( ) ＋( )] 2－a 2－b
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自 主 导 学
二维形式的柯西不等式
内容
等号成立的条件
当 堂 双 基 达 标
代数
课 堂 互 动 探 究
若a、b、c、d∈R，则(a2 当且仅当 ad＝bc 时，等
2 ( ac ＋ bd ) ＋b )· (c ＋d )≥ 号成立
高中数学人教A版选修4-5配套课件：第三讲 二维形式的柯西不等式
2 1 )＋ ( 2y) ]2 3 2 2 2 2 1 ［ 3x ＋ 2y ］[( ) 2＋ ( )2 ] 3 2 4 1 11 2 2 ＝ (3x ＋2y )( ＋ ) 6 ＝ 11. 3 2 6 所以 2x＋y 11，
【解析】1. 2x＋y ＝ [ 3x (
2
1.已知3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为_____.
2.已知 a 1－b 2 b 1－a 2 1,求证：a2+b2=1.
【解题探究】 1.题1中，结合已知条件与待求的式子，应该怎样建立关系使 用柯西不等式？ 2.题2中的已知条件应该如何利用？
探究提示： 1.把待求式子进行平方得到(2x＋y)2并结合已知条件进行变 换，利用二维形式的柯西不等式找到不等关系，从而求得待 求式子的最大值. 2．题2中的已知条件的形式与柯西不等式的形式相似，可以 考虑利用柯西不等式进行转化，通过要证明是等式，考虑柯 西不等式等号成立的条件即可.
所以kmax=4. 答案：4
2．设m=(3,4)， 则根据柯西不等式的向量 n (cos x, 1 sin 2 x )， 形式可得： f x 3cos x 4 1 sin 2 x
32 42 cos2 x 1 sin 2 x 5 2.
当且仅当m∥n时上式取等号，此时，
b d b d
立.
2．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为______. 【解析】根据二维形式的柯西不等式可得： (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，又因为2x＋3y＝13， 所以x2＋y2≥13. 答案：13
3.设a=(-2,2),｜b｜=6，则a·b的最小值是________，此时
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数,则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 ,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。
高二数学,人教A版,选修4-5第3讲, 二维形式的柯西不等式,课件
【答案】 B
[小组合作型]
二维柯西不等式的向量形式及应用
已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.
【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．
【自主解答】 p ＋q
2 2
设
1 1 3 3 m＝p2，q2，n＝(p2，q2)，则
3 1 3 1 ＝p2p2＋q2q2＝|m· n|≤|m||n|
＝ p3＋q3· p＋q＝ 2 p＋q. 又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)， p＋q2 ∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q， p＋q2 ∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)． 又 p＋q>0， ∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向 量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
[再练一题] 1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否 仍然成立？
【解】 设 m＝(p，q)，n＝(1,1)， 则 p＋q＝p· 1＋q· 1＝|m· n|≤|m|· |n|＝ p2＋q2· 12＋12. 又 p2＋q2＝2. ∴p＋q≤ 2· 2＝2. 故仍有结论 p＋q≤2 成立.
一
二维形式的柯西不等式
1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点) 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)
[基础· 初探] 教材整理 二维形式的柯西不等式
阅读教材 P31～P36，完成下列问题． 内容 代数形式 等号成立的条件 若 a，b，c，d 都是实数，则(a2 ＋b2)· (c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立
人教A版高中数学选修4-5课件二维形式的柯西不等式.pptx
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是 实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
你能简明地写出这个定理的证明？ 证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2
(ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd )2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 L xn x1 ，
也即嵌以因式 x1 x2 L xn ，由柯西不等式，得
x12
x22
L
x2 n1
xn2
x2 x3
xn x1
( x2 x3 L xn x1 )
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到位， 简洁明了！
定理 2(柯西不等式的向量形式)
ur ur
ur ur ur ur
若 , 是两个向量,则 ≥ .
ur
ur ur
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k
由22
x x
3y 3y
1得
x y
1 4 1 6
4x2 9 y2的最小值为1 ,最小值点为( 1 , 1 )
2
46
思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
补充练习
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是( A )
A. - 2 5,2 5
人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)
y
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
| y1 - y2 |
x
P2 ( x2 , y2 )
O
这个图中有什么 不等关系?
P ( x2 , y2 ) 2
O
| x1 - x2 |
x
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
变式 2.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
| y1 - y2 |
x
P2 ( x2 , y2 )
O
这个图中有什么 不等关系?
P ( x2 , y2 ) 2
O
| x1 - x2 |
x
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
变式 2.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
人教A版高中数学选修4-5课件：第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(共56张PPT)
力。
君子看人背后，小人背后看人。远离那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的， 不怕真小人，就怕伪君子！ 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 只要你确信自己正确就去做。做了有人说不好，不做还是有人说不好，不要逃避批判。 读书也像开矿一样，“沙里淘金”。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。 世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 发光并非太阳的专利，你也可以发光，真的。 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
君子看人背后，小人背后看人。远离那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的， 不怕真小人，就怕伪君子！ 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 只要你确信自己正确就去做。做了有人说不好，不做还是有人说不好，不要逃避批判。 读书也像开矿一样，“沙里淘金”。 只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天。 世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功温床上。 在经过岁月的磨砺之后,每个人都可能拥有一对闪闪发光的翅膀,在自己的岁月里化茧成蝶。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 发光并非太阳的专利，你也可以发光，真的。 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 失败的定义：什么都要做，什么都在做，却从未做完过，也未做好过。 宁可失败在你喜欢的事情上，也不要成功在你所憎恶的事情上。 好好扮演自己的角色，做自己该做的事。
高二数学人教A版选修4-5课件：3.1 二维形式的柯西不等式
∴2－a2a＋2－b2b≥2－a＋4 2－b＝2，
当且仅当 2－a· 2b－b＝ 2－b· 2a－a，
即 a＝b＝1 时等号成立．∴2－a2a＋2－b2b≥2.
本课小结
— 代数形式
二维柯西不等式—— —
向量形式 三角形式
— 柯西不等式求最值
随堂检测
1．设 x，y∈R，且 2x＋3y＝13，则 x2＋y2 的最小值为( )
xy＝1，∴xy＝1.
【答案】 1
预习反馈
3．已知 x，y，a，b∈R＋，且ax＋by＝1，求 x＋y 的最小值．
【解】 构造两组实数 x， y；
ax，
b y.
∵x，y，a，b∈R＋，ax＋by＝1，
∴x＋y＝[( x)2＋( y)2][
ax2＋
b2 y ]≥(
a＋
b)2，
又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，
( p q)2
( p q)2
∴ 2 ≤p2＋q2≤ 2 p＋q，∴ 2 ≤ 2· p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)．
又 p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故 p＋q≤2.Fra bibliotek归纳小结
使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量． 同时，要注意向量模的计算公式|a|＝ x2＋y2对数学式子变形的影响．
三点共线且 P1，P2 在点 O 两旁 时，等号成立
典例精析
题型一、二维柯西不等式的向量形式及应用
例 1 已知 p，q 均为正数，且 p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.
【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．
33
11
【自主解答】 设 m＝p2，q2，n＝(p2，q2)，则
人教A版数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》 （共15张PPT）课件
2
+ −
2
.
分析:平方 → 应用柯西不等式
.
2
+ 2
2
+ 2
2
证明：∵
+
= 2 + 2 + 2 2 + 2 • 2 + 2 + 2 + 2
≥ 2 + 2 + 2| + | + 2 + 2
≥ 2 + 2 − 2( + ) + 2 + 2
.
二、讲授新课：
1. 二维形式的柯西不等式：
定理1 (二维形式的柯西不等式
) 若a , b, c , d都是
实数, 则 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2
当且仅当ad bc时, 等号成立.
你能简明地写出这个定理的其它证明？
∵(a2+b2)(c2+d2)
当且仅当ad bc时, 等号成立.
( 2) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
( 3) a 2 b 2
c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
证明：
= a2c2+b2d2+a2d2+ b2c2
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
∵(ad-bc)2≥0,
∴ (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
(1)
当且仅当ad=bc时，等号成立.
）
二维形式的柯西不等式的变式:
5.4柯西不等式与排序不等式-课件(人教A版选修4-5)
第17页，共33页。
例1 已知 a1, a2 , a3,..., an 都是实数，求证：
1 n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22
...
an2 .
第18页，共33页。
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 >ab+bc+cd+da.
第19页，共33页。
n维形式的柯西不等式）:
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
第15页，共33页。
定理 设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
第4页，共33页。
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos
m n ac bd | m | a2 b2 | n | c2 d 2
| m n || m | | n | | cos || m | | n |
| m n || m | | n | ac bd a2 b2 c2 d 2
第5页，共33页。
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || || |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
第6页，共33页。
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
例1 已知 a1, a2 , a3,..., an 都是实数，求证：
1 n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22
...
an2 .
第18页，共33页。
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 >ab+bc+cd+da.
第19页，共33页。
n维形式的柯西不等式）:
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
第15页，共33页。
定理 设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
第4页，共33页。
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos
m n ac bd | m | a2 b2 | n | c2 d 2
| m n || m | | n | | cos || m | | n |
| m n || m | | n | ac bd a2 b2 c2 d 2
第5页，共33页。
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || || |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
第6页，共33页。
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
人教A版高中数学选修4-5课件第三讲一二维形式的柯西不等式
2．柯西不等式的代数形式：设a1、a2、b1、b2均
(a1b1＋a2b2)2，当且仅 为实数，则(a＋a)(b＋b)≥___________ a1b2＝a2b1 等号成立． 当___________
|α·β| 数k，使α＝kβ
β是零向量或存在实
x1y2＝x2y1
提示：不可以．当b· d＝0时上述式子不成立．
行探索．法一用重要不等式求解．
用柯西不等式证明不等式
例3
【名师点评】 利用柯西不等式时关键问题是找 出相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需 分析、增补(特别对数字1的增补：a＝1· a)变形等 ．
误区警示
例 3x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值． 已知
【错因】 理形式．
柯西不等式的构造形式出错不符合定
课堂互动讲练
考点突破 利用柯西不等式求函数最值 已知 3x2＋2y2≤6，求w＝2x＋y的最大值． 例1
【名师点评】
要证的不等式是利用了
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)的形式．
利用柯西不等式求代数式的最值
例2
【名师点评】
运用柯西不等式证明不等式的关
键在于构造两组数，并依照柯西不等式的形式进
方法感悟
柯西不等式的两个主要应用是证明不等式和求最值,
利用柯西不等式证明不等式，先使用拆，利用柯西不等式求最值一定要注意检验等号
成立的条件．
第三讲
柯西不等式与排序不等式
一
二维形式的柯西不等式
一 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式
学习目标
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几 何意义； 2．会证明二维柯西不等式及向量形式．
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基本不等式的几何意义: 直角三角形斜边上的 中线不小于斜边上的高.
AD + DB = OC DC = AD DB . 2
A O C
D
B
下面我们讨论柯西不等式的几何意义.
在平面直角坐标系中设向量 a=(a, b), b=(c, d), a 与 b 之间的夹角为 q, 0≤q≤p. y b (c, d) a b = |a || b | cosq , |a b | = |a || b || cosq | |a || b |, a (a, b) 当 a , b 中有零向量, 或 |cosq|=1 时, 等号成立. x O 将坐标代入得 当 |cosq |=1 时, | (a, b)(c, d ) | a 2 + b2 c 2 + d 2 , a , b 共线 , 2 2 2 2 | ( ac + bd ) | a + b c + d , 即 则 ad=bc. 2≤(a2+b2)(c2+d2), ( ac + bd ) 两边平方得 即 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. (两向量模的积不小于积的模.)
还能得到什么样的不等式呢?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式就属于这样的不等式. 问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式? (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2c2+b2d2+2abcd-2abcd+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 ≥(ac+bd)2. (这个不等式的结构形式有什么特点? 四个数形 成的大小关系是怎样的? 在什么情况下等号成立?)
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
y
b 1(c, P (x1 d ,)y1) a(x (a, x + y + x + y ( x1 - x2 ) + ( y1 - y2 ) ,
当OP1与OP2共线且反向时, |OP1|+|OP2|=|P1P2|, 则
O
2 2 2 2 x1 + y1 + x2 + y2 ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2 .
一 二维形式的柯西不等式 二 一般形式的柯西不等式 三 排序不等式
第一课时
第二课时
1. 柯西不等式有哪些形式? 2. 柯西不等式的各种形式是怎样推证 的? 它有什么几何解释?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式也属于这样的不等式. 问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式? 很容易想到的是 a2+b2≥2ab, c2+d2≥2cd, (a2+b2)(c2+d2)≥4abcd 吗? 成立的, 由 a2=|a|2 即可推证.
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数, 则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, 当且仅当 ad=bc 时, 等号成立. (问: 不等式写成 (a2+b2)(c2+d2)≥(ad+bc)2 成立吗? 如果成立, 取得等号的条件是什么?) 四个数的位置是平等的, 交换一下位置就可以了. (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2d2+b2c2+2abcd-2abcd+a2c2+b2d2 =(ad+bc)2+(ac-bd)2 ≥(ad+bc)2. ac=bd 时, 等号成立.
a 2 + b2 c 2 + d 2 = (| a |2 + | b |2 )(| c |2 + | d |2 ) (| a || c | + | b || d |)2 =|a||c|+|b||d| =|ac|+|bd|. (≥|ac+bd| )
当且仅当 |ad|=|bc| 时, 等号成立.
定理2 (柯西不等式的向量形式)
设 a, b 是两个向量, 则 |a· b|≤|a||b|, 当且仅当 b 是零向量, 或存在实数 k, 使 a=kb 时, 等号成立.
两向量积的模不大于这两向量模的积. 两向量模的积不小于这两向量积的模. 其中一向量为0或两向量共线时等号成立.
问题4. 若将定理 2 中的向量改成三角形 OP1P2, P1(x1, y1), P2(x2, y2), 由三角形的边长关系, 你能得 出怎样的不等式? 两边之和大于第三边, |OP1|+|OP2|>|P1P2|,
问题2. 根据柯西不等式, 对于式子 a 2 + b2 c2 + d 2 你能推出什么样的不等式?
a 2 + b2 c 2 + d 2 = (a 2 + b2 )(c 2 + d 2 ) (ac + bd )2 =|ac+bd|. (≥(ac+bd).)
当且仅当 ad=bc 时, 等号成立.
这叫二维形式的三角不等式.
定理3 (二维形式的三角不等式)
设 x1, y1, x2, y2R, 那么
2 2 2 2 x1 + y1 + x2 + y2 ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2 .
(问: 什么情况下等号成立? 与柯西不等式比较, 不等式的结构形式有什么相同和异同?) OP1 与 OP2 共线, 则 x1y2=x2y1; OP1 与 OP2反向, 则 x1x2≤0. 下面我们对定理 3 进行代数证明.
柯西不等式的变形:
a 2 + b2 c 2 + d 2 | ac + bd | . a 2 + b2 c 2 + d 2 | ac | + | bd | .
这也是两个非常有用的不等式.
约定叫 “柯西根式绝对值不等式” 吧.
问题3. 还记得基本不等式的几何意义吗? 柯西 不等式的几何意义是什么?
AD + DB = OC DC = AD DB . 2
A O C
D
B
下面我们讨论柯西不等式的几何意义.
在平面直角坐标系中设向量 a=(a, b), b=(c, d), a 与 b 之间的夹角为 q, 0≤q≤p. y b (c, d) a b = |a || b | cosq , |a b | = |a || b || cosq | |a || b |, a (a, b) 当 a , b 中有零向量, 或 |cosq|=1 时, 等号成立. x O 将坐标代入得 当 |cosq |=1 时, | (a, b)(c, d ) | a 2 + b2 c 2 + d 2 , a , b 共线 , 2 2 2 2 | ( ac + bd ) | a + b c + d , 即 则 ad=bc. 2≤(a2+b2)(c2+d2), ( ac + bd ) 两边平方得 即 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. (两向量模的积不小于积的模.)
还能得到什么样的不等式呢?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式就属于这样的不等式. 问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式? (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2c2+b2d2+2abcd-2abcd+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 ≥(ac+bd)2. (这个不等式的结构形式有什么特点? 四个数形 成的大小关系是怎样的? 在什么情况下等号成立?)
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
y
b 1(c, P (x1 d ,)y1) a(x (a, x + y + x + y ( x1 - x2 ) + ( y1 - y2 ) ,
当OP1与OP2共线且反向时, |OP1|+|OP2|=|P1P2|, 则
O
2 2 2 2 x1 + y1 + x2 + y2 ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2 .
一 二维形式的柯西不等式 二 一般形式的柯西不等式 三 排序不等式
第一课时
第二课时
1. 柯西不等式有哪些形式? 2. 柯西不等式的各种形式是怎样推证 的? 它有什么几何解释?
前面我们学习了基本不等式, 绝对值三角不等式 等, 这些不等式不仅结构形式优美, 而且具有重要的 应用价值, 人们称它们为经典不等式. 下面我们要学 习的柯西不等式和排序不等式也属于这样的不等式. 问题1. a, b, c, dR, 你能对 (a2+b2)(c2+d2) 推出 些什么不等式? 很容易想到的是 a2+b2≥2ab, c2+d2≥2cd, (a2+b2)(c2+d2)≥4abcd 吗? 成立的, 由 a2=|a|2 即可推证.
定理1 (二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数, 则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, 当且仅当 ad=bc 时, 等号成立. (问: 不等式写成 (a2+b2)(c2+d2)≥(ad+bc)2 成立吗? 如果成立, 取得等号的条件是什么?) 四个数的位置是平等的, 交换一下位置就可以了. (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =a2d2+b2c2+2abcd-2abcd+a2c2+b2d2 =(ad+bc)2+(ac-bd)2 ≥(ad+bc)2. ac=bd 时, 等号成立.
a 2 + b2 c 2 + d 2 = (| a |2 + | b |2 )(| c |2 + | d |2 ) (| a || c | + | b || d |)2 =|a||c|+|b||d| =|ac|+|bd|. (≥|ac+bd| )
当且仅当 |ad|=|bc| 时, 等号成立.
定理2 (柯西不等式的向量形式)
设 a, b 是两个向量, 则 |a· b|≤|a||b|, 当且仅当 b 是零向量, 或存在实数 k, 使 a=kb 时, 等号成立.
两向量积的模不大于这两向量模的积. 两向量模的积不小于这两向量积的模. 其中一向量为0或两向量共线时等号成立.
问题4. 若将定理 2 中的向量改成三角形 OP1P2, P1(x1, y1), P2(x2, y2), 由三角形的边长关系, 你能得 出怎样的不等式? 两边之和大于第三边, |OP1|+|OP2|>|P1P2|,
问题2. 根据柯西不等式, 对于式子 a 2 + b2 c2 + d 2 你能推出什么样的不等式?
a 2 + b2 c 2 + d 2 = (a 2 + b2 )(c 2 + d 2 ) (ac + bd )2 =|ac+bd|. (≥(ac+bd).)
当且仅当 ad=bc 时, 等号成立.
这叫二维形式的三角不等式.
定理3 (二维形式的三角不等式)
设 x1, y1, x2, y2R, 那么
2 2 2 2 x1 + y1 + x2 + y2 ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2 .
(问: 什么情况下等号成立? 与柯西不等式比较, 不等式的结构形式有什么相同和异同?) OP1 与 OP2 共线, 则 x1y2=x2y1; OP1 与 OP2反向, 则 x1x2≤0. 下面我们对定理 3 进行代数证明.
柯西不等式的变形:
a 2 + b2 c 2 + d 2 | ac + bd | . a 2 + b2 c 2 + d 2 | ac | + | bd | .
这也是两个非常有用的不等式.
约定叫 “柯西根式绝对值不等式” 吧.
问题3. 还记得基本不等式的几何意义吗? 柯西 不等式的几何意义是什么?