【金考卷】2015高考数学大一轮复习 高频考点集训 统计初步 文(pdf)新人教版
【金版教程】2015届高考数学大一轮总复习 (抓住3个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码)9-3 变量间
第3讲 变量间的相关关系与统计案例
1．会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量 间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公 式建立线性回归方程．
3．了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其 简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
2×2 列联表
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2
总计
b
a＋b
d
c＋d
b＋d a＋b＋c＋d
随机变量 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝ a＋b＋c＋d 为样本容量．
3. 独立性检验
利用随机变量 K2 来确定在多大程度上可以认为“ 两个分类变量有关系 ”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
[判一判] 判断下列说法是否正确(在括号内填“√”或 “× ”)．
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因 果关系．(×)
(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水 平成正相关关系．(√)
(3)如果散点图中的点分布几乎没有什么规则，则两个变量之 间不具有相关关系．(√)
解：(1)由于 x ＝16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5， y ＝16(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80. 所以 a＝ y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为^y ＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1000
①y 与 x 负相关且^y＝2.347x－6.423； ②y 与 x 负相关且^y＝－3.476x＋5.648； ③y 与 x 正相关且^y＝5.437x＋8.493； ④y 与 x 正相关且^y＝－4.326x－4.578.
2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷五
阶段示范性金考卷五一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2014·新昌中学月考]直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( )A ．－3或－1B ．3或1C ．－3或1D ．－1或3解析：由两条直线垂直得k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0，解得k ＝－3或k ＝1，故选C.答案：C2．下列曲线中，其右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合的是( ) A.5x 23＋5y 22＝1 B.x 29＋y 25＝1 C.x 23－y 22＝1D.5x 23－5y 22＝1解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)．选项A 中椭圆的右焦点坐标为(55，0)，选项B 中椭圆的右焦点坐标为(2,0)，选项C 中双曲线的右焦点坐标为(5，0)，选项D 中双曲线的右焦点坐标为(1,0)，故选D.答案：D3．过点M (2,0)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线MA ，MB (A ，B 为切点)，则MA →·MB →＝( )A.532 B.52 C.332D.32解析：由题意知，∠OMA ＝∠OMB ＝30°且|MA |＝|MB |＝3，所以MA →·MB →＝3×3×12＝32.答案：D4．[2014·烟台诊断性测试]若点P 是以A (－10，0)、B (10，0)为焦点，实轴长为22的双曲线与圆x 2＋y 2＝10的一个交点，则|P A |＋|PB |的值为( )A ．2 2B ．4 2C ．4 3D ．6 2解析：根据对称性，设点P 在第一象限，则|P A |－|PB |＝22，点P 在圆x 2＋y 2＝10上，则P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝40，把|P A |－|PB |＝22平方后代入上述结果得|P A |·|PB |＝16，所以(|P A |＋|PB |)2＝40＋32＝72，所以|P A |＋|PB |＝6 2.答案：D5．已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1，则实数a 的取值范围为( )A ．(5,7)B ．(－15,1)C ．(5,10)D ．(－∞，1)解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝10－a ，故10－a >0，即a <10.圆心(1,2)到直线3x －4y －15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1时，圆的半径r 满足3<r <5，即3<10－a <5，即－15<a <1.答案：B6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，5)D ．(1，5]解析：因为双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b a ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2，选B.答案：B7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．只有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而抛物线的焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．答案：D8．[2014·杭州二中质检]已知抛物线y 2＝2px (p >0)与直线ax ＋y －4＝0相交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)．如果抛物线的焦点为F ，那么|F A |＋|FB |等于( )A ．5B ．6C ．3 5D ．7解析：把点A 的坐标(1,2)分别代入抛物线y 2＝2px 与直线方程ax＋y －4＝0得p ＝2，a ＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x2x ＋y －4＝0消去y 得x 2－5x ＋4＝0，则x A ＋x B ＝5.由抛物线定义得|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝7，故选D.答案：D9．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( )A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上解析：圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到点(4,0)的距离减去到点(0,0)的距离等于1(小于4)，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．答案：B10．[2014·绵阳诊断]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是( )A.815B.415C.23D.12解析：依题意，由四边形ABFC 是菱形得知，题中的抛物线与椭圆的交点B ，C 应位于线段AF 的垂直平分线x ＝a －c2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y 2＝158(a ＋c )x得x 2a 2＋15(a ＋c )8b 2x ＝1，于是有(a －c 2)2a 2＋158(a －c )×a －c 2＝1，即(a －c )2(2a )2＝116，a －c 2a ＝14，1－e ＝12，即e ＝12，该椭圆的离心率是12，选D.答案：D11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是( )A ．5B ．3C ．4D.12解析：设|PF 2|＝x ，|PF 1|＝y (x <y )，则y －x ＝2a ，又x ，y,2c 为等差数列，所以x ＋2c ＝2y ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2c －4ay ＝2c －2a，代入x 2＋y 2＝4c 2整理得，5a 2－6ac ＋c 2＝0，解得c ＝5a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝5.答案：A12．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16解析：依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2y 2＝8x，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．[2014·北京四中月考]已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0.当直线l 被C 截得的弦长为23时，a ＝________.解析：依题意，圆心(a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离d ＝|a ＋1|2，于是有4－(|a ＋1|2)2＝(3)2，a ＝2－1或－2－1(舍去)．答案：2－114．[2014·苏锡常镇一调]若双曲线x 2－y2a ＝1(a >0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于3，则此双曲线方程为________．解析：双曲线x 2－y 2a ＝1(a >0)的一个焦点(1＋a ，0)到一条渐近线ax －y ＝0的距离为a (1＋a )a ＋1＝3，解得a ＝3，故此双曲线方程为x 2－y23＝1.答案：x 2－y 23＝115．已知a ，b ，c 成等差数列且公差不为零，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0截得的弦长的最小值为________．解析：由题意，圆心到直线的距离d ＝|a －b ＋c |a 2＋b 2＝|b |a 2＋b 2，弦长l ＝22－d 2＝22－1(a b )2＋1≥22－1＝2，当a ＝0时等号成立．答案：216．已知抛物线x 2＝－4y 的准线与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是________．解析：抛物线x 2＝－4y 的准线为y ＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±b a x ，令y ＝1，得x ＝±a b ，因为y ＝1与y ＝±ba x 围成一个等腰直角三角形，所以ab ＝1，所以a ＝b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝2a 2a ＝ 2.答案： 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2014·石家庄质检]已知动点P 到定点A (0,1)的距离比它到定直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知点Q 为直线y ＝－1上的动点，过点Q 作曲线C 的两条切线，切点分别为M ，N ，求证：M ，Q ，N 三点的横坐标成等差数列．解：(1)由动点P 到定点A (0,1)的距离比它到定直线y ＝－2的距离小1，可知动点P 到定点A (0,1)的距离等于它到定直线y ＝－1的距离，由抛物线的定义可知动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知y ′＝x2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 0，－1)，则切线MQ ：y －y 1＝x 12(x －x 1)，切线NQ ：y －y 2＝x 22(x －x 2)．因为MQ ，NQ 交于点Q (x 0，－1)，所以－1－y 1＝x 12(x 0－x 1)，－1－y 2＝x 22(x 0－x 2)，可得直线MN ：－1－y ＝x2(x 0－x )，又y ＝x 24，所以x 2－2x 0x －4＝0.易知x 1，x 2为方程x 2－2x 0x －4＝0的两个解，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝2x 0， 所以M ，Q ，N 三点的横坐标成等差数列．18．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个顶点为A (0，－3)，B (－1,0)，C (3,0)，直线l ：(m ＋2)x ＋(1－m )y －2m －4＝0(m ∈R )．(1)求△ABC 的外接圆M 的方程；(2)证明直线l 与圆M 相交，并求M 被l 截得的弦长最短时m 的值．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点的坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧9－3E ＋F ＝01－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0. (2)由(1)知圆M 的圆心为M (1，－1)，半径r ＝ 5.直线l 的方程可化为(x －y －2)m ＋2x ＋y －4＝0，它必经过直线x－y －2＝0与2x ＋y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝02x ＋y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，故直线l 恒过点N (2,0)．连接NM ，又|NM |＝(2－1)2＋(0＋1)2<5，所以点N (2,0)在圆M 内，故直线l 与圆M 恒相交．结合图形可知：当直线l ⊥MN 时，M 被直线l 所截得的弦长最短． 此时k MN ＝－1－01－2＝1，则k l ＝－1，即m ＋2m －1＝－1，所以m ＝－12.19．(本小题满分12分)[2014·福州八中质检]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (0，－1)，四个顶点所围成的图形面积为2 2.直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且∠AMB ＝90°.(1)求椭圆C 的方程；(2)试判断直线l 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝12ab ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立椭圆与直线方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋t，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，∴8(2k 2－t 2＋1)>0且x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1·x 2＝2t 2－21＋2k 2，∴y 1·y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝2k 2t 2－2k 2－4k 2t 2＋t 2＋2k 2t 21＋2k 2＝－2k 2＋t 21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝2t1＋2k2. ∵MA →＝(x 1，y 1＋1)，MB →＝(x 2，y 2＋1)，且∠AMB ＝90°， ∴MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1＋1)(y 2＋1) ＝x 1x 2＋y 1y 2＋y 1＋y 2＋1 ＝2t 2－21＋2k 2＋－2k 2＋t 21＋2k 2＋2t 1＋2k 2＋1 ＝2t 2－2－2k 2＋t 2＋2t ＋1＋2k 21＋2k 2＝3t 2＋2t －11＋2k 2＝0，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx ＋13. ∴直线l 恒过定点(0，13)．20．(本小题满分12分)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得以线段MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵当直线l 与x 轴垂直时，|MN |＝2p ，∴S △OMN ＝12×2p ×p 2＝p 22＝2，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设正方形的第三个顶点为P ，∵直线l 与x 轴垂直或y ＝0时，不满足条件．故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)y 2＝4x，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2x 1x 2＝1.∴线段MN 的中点为(k 2＋2k 2，2k )，⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝4k y 1y 2＝－4，则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k (x －1－2k 2)，故P (0，3k ＋2k 3)．又PM →·PN →＝0，∴x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0.1－4－y 0·4k ＋y 20＝0，化简得，ky 20－4y 0－3k ＝0，由y 0＝3k ＋2k 3代入上式化简得，(3k 4－4)(k 2＋1)＝0，解得k ＝±443.∴存在直线l ：y ＝±443(x －1)满足题意．21．(本小题满分12分)已知椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0. 由c ＝2，可得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2， 故所求方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2(y 2－1)，可得x 1＝－2x 2.① 由题意知直线斜率存在，故设直线方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，则x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，② x 1x 2＝－22k 2＋1.③ 由①②得，x 2＝4k 2k 2＋1，将x 1＝－2x 2代入③得x 22＝12k 2＋1， 所以(4k 2k 2＋1)2＝12k 2＋1，解得k 2＝114. 又△AOB 的面积S ＝12|OP |·|x 1－x 2|＝12·28k 2＋22k 2＋1＝1268＝3148.故△AOB 的面积是3148.22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过右焦点F 2的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，△F 1AB 的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)求△F 1AB 内切圆半径R 的最大值．解：(1)∵△F 1AB 的周长为8，∴4a ＝8，∴a ＝2，又椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题设知，直线l 不能与x 轴重合，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋3(m ∈R )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4x ＝my ＋3，得(m 2＋4)y 2＋23my －1＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－23m m 2＋4，y 1y 2＝－1m 2＋4， ∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－23m m 2＋4)2＋4m 2＋4＝4m 2＋1m 2＋4. ∴△F 1AB 的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝43·m 2＋1m 2＋4. 又△F 1AB 的面积S ＝12×8×R ，从而有R ＝3·m 2＋1m 2＋4(m ∈R )． 令t ＝m 2＋1，则R ＝3t ＋3t ≤323＝12. 当且仅当t ＝3t ，t ＝3，即m ＝±2时，等号成立．∴当m ＝±2时，R 取得最大值12.。
2015高考数学(文)第一轮复习题有答案解析阶段示范性金考(卷一)
阶段示范性金考卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{y ∈R |y ＝ln x ，x >1}，B ＝{x ∈N ||x |≤2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0]C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{0}解析：因为A ＝{y |y >0}，所以∁R A ＝{y |y ≤0}，又B ＝{0,1,2}，所以(∁R A )∩B ＝{0}，选D.答案：D2．下列函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e x －e －xC ．y ＝x sin xD ．y ＝lg 1－x1＋x解析：函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，排除A ；y ＝x sin x 为偶函数，排除C ；y ＝lg 1－x 1＋x ＝lg(－1＋21＋x )，由于函数u ＝－1＋21＋x 在(0,1)上单调递减 ，所以函数y ＝lg 1－x 1＋x 在(0,1)上单调递减，排除D.故选B.答案：B3．[2014·衡阳六校联考]函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5解析：依题意得，当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1－a 2x≤0，即a ≥2x恒成立．注意到当x ∈[1,4]时，y ＝2x 的最大值是24＝4.因此，实数a 的最小值为4，选C.答案：C4．[2013·太原五中检测]已知命题p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6解析：x －1x ≤0⇒0<x ≤1⇒1<2x ≤2，由题意知，22＋2－m ≤0，即m ≥6，故选D.答案：D5．[2013·湖南高三检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．1解析：分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3 ①或者⎩⎨⎧a >3log 2(a ＋1)＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.答案：C6．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( ) A. (0,1) B. (4,2) C. (2,3)D. (3,4)解析：设f (x )＝ln x ＋x －4，由于x 0是方程ln x ＝4－x 的解，则x 0是函数f (x )的零点．再由f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，f (2)f (3)<0，可得x 0在区间(2,3)内，故选C.答案：C7．[2013·天津耀华中学模拟]已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6)解析：∵函数f (x )＝x 2－cos x 为偶函数，∴f (－0.5)＝f (0.5)，f ′(x )＝2x ＋sin x ，当0<x <π2时，f ′(x )＝2x ＋sin x >0，∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，∴f (0)<f (0.5)<f (0.6)，即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)，选B.答案：B8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)解析：f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x <－1(舍去)．因此x <log a 3，故选C.答案：C9．下列四个命题： p ：∀x ≥－1，有1x ≤－1 q ：∃x 0∈R ，使x 0＋4x 0＝2r ：∀x ，y >0，有ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y ) s ：∃x ，y ∈R ，使2x ＋y ＝2x ＋2y 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：当x ＝1时，x >－1，但1x ＝1>－1，故p 为假命题；当x 0≠0时x 0＋4x 0≥4或x 0＋4x 0≤－4，不可能有x 0＋4x 0＝2，故q 为假命题；当x ＝1，y ＝1时ln x ＋ln y ≠ln(x ＋y )，故r 为假命题；当x ＝1，y ＝1时，有2x ＋y ＝2x ＋2y ，故s 为真命题．因此A 项正确．答案：A10．函数f (x )＝ln x －12x 2的图象大致是( )解析：函数的定义域为{x |x >0}，函数的导数为f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，由f ′(x )＝1－x 2x >0得0<x <1，即增区间为(0,1)．由f ′(x )＝1－x 2x <0得x >1，即减区间为(1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数取得极大值，且f (1)＝－12<0，所以选B 项．答案：B11．[2013·人大附中月考]某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润(单元：万元)是y 1＝13.5－9x ，在B 地的销售利润(单位：万元)是y 2＝14x ＋6.2，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( )A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元解析：根据题意设该公司在A 地售x 辆，则在B 地售(11－x )辆，故销售利润y ＝13.5－9x ＋14(11－x )＋6.2＝22.45－(9x ＋x4)(0≤x ≤11，x ∈N *)，由基本不等式可得y ＝22.45－(9x ＋x4)≤22.45－29x ×x 4＝19.45，当且仅当9x ＝x4即x ＝6时取得最大值，故选A.答案：A12．若关于x 的方程|2x －1|＝m 有两个不相等的实数根x 1和x 2，则有( )A. x 1＋x 2>0B. x 1＋x 2<0C. x 1＋x 2≥0D. x 1＋x 2≤0解析：在坐标系中画出函数y ＝|2x －1|的图象，由图象可知当0<m <1时方程|2x －1|＝m 有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2，则必有x 1<0<x 2，由已知得|2x 1－1|＝|2x 2－1|，于是－2x 1＋1＝2x 2－1，因此2x 1＋2x 2＝2>22x 1·2x 2，所以2x 1＋x 2<1，于是x 1＋x 2<0.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }．若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为________．解析：由A ＋B 的定义得，A ＋A ＝{1＋1,2＋2,1＋2}＝{2,4,3}，由A ÷B 的定义得，(A ＋A )÷A ＝{1，32，2,3,4}，故所有元素之和为1＋32＋2＋3＋4＝232.答案：23214．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3＋a ≤0f ′(2)＝a ≤0，∴a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)． 答案：(－3,1)15．[2013·安徽合肥调研]若函数f (x )＝x 2＋2x －3的定义域为[m,0]，值域为[－4，－3]，则m 的取值范围是________．解析：∵二次函数f (x )＝x 2＋2x －3的图象开口向上，且关于直线x ＝－1对称，∴函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，∵函数f (x )＝x 2＋2x －3的值域为[－4，－3]，最小值为－4，且f (－1)＝－4，∴定义域[m,0]中必定有－1，①当m ＝－1时，函数在f (x )区间[－1,0]上为增函数，值域为[－4，－3]；②当m <－1时，函数在[m ，－1]上是减函数，在[－1,0]上是增函数，要使函数f (x )的值域为[－4，－3]，则必需f (m )≤－3，解之得－2≤m <－1.综上所述，m 的取值范围是[－2，－1]．答案：[－2，－1]16．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝________.解析：由已知得h (－x )＝h (x )，∴(m －n )·4－x ＋(n －m )·4x ＝0，得m ＝n ，∴h (x )＝m ·(4x ＋1)＋m ·4－x ＝m (4x ＋4－x )＋m ≥m ·24x ·4－x ＋m ＝3m ，当且仅当4x ＝4－x ，即x ＝0时，等号成立，∵函数h (x )的最小值为1，∴3m ＝1，得m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)函数f (x )＝13x 3＋12(2－a )x 2＋(1－a )x (a ≥0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2＋(2－a )x ＋1－a ＝(x ＋1)(x ＋1－a )． 当a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)2≥0恒成立， 当且仅当x ＝－1时取“＝”， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．当a >0时，由f ′(x )＝0得，x 1＝－1， x 2＝a －1，且x 1<x 2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(a －1，＋∞)，单调递减区间为(－1，a －1)．(2)∵f (x )在[0,1]上单调递增，∴[0,1]是上述增区间的子集，当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意；当a >0时，[0,1]⊆[a －1，＋∞)，∴a －1≤0，∴a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0,1]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)当1≤a ≤e ＋1时，求证：f (x )≤x .解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x，f (1)＝12－e ， f ′(x )＝12－e x ，f ′(1)＝12－e ，故函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －12＋e ＝(12－e)(x －1)，即(12－e)x －y ＝0.(2)令g (a )＝x －f (x )＝－xa ＋x ＋e x ，只需证明g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立即可． g (1)＝－x ＋x ＋e x ＝e x >0，① g (1＋e)＝－x ·(1＋e)＋x ＋e x ＝e x －e x . 设h (x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e ， 当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )≥h (1)＝e 1－e·1＝0，即g (1＋e)≥0.②由①②知，g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立． 故当1≤a ≤e ＋1时，f (x )≤x .19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值10，求b 的值；(2)若对于任意的a ∈[－4，＋∞]，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，于是，根据题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞]，x ∈[0,2]都成立，所以F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0，对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． 因为x ≥0，所以F (a )在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，①当F (a )为常数函数时，F (a )＝b ≥0；②当F (a )为增函数时，F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0，即b ≥(－3x 2＋8x )max 对任意x ∈[0,2]都成立，又－3x 2＋8x ＝－3(x －43)2＋163≤163，所以当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，所以b ≥163. 所以b 的最小值为163.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝38x 2－2x ＋2＋xf (x )．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)若函数g (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值． 解：(1)由题知，g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵g ′(x )＝(3x －2)(x －2)4x， ∴函数g (x )的单调递增区间为(0，23)∪(2，＋∞)，g (x )的单调递减区间为[23，2]．(2)∵g (x )在[23，＋∞)上的最小值为g (2)， 且g (2)＝38×22－4＋2＋ln2＝ln2－12＝ln4－12>0， ∴g (x )在[23，＋∞)上没有零点，∴要使函数g (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，并考虑到g (x )在(0，23)上单调递增且在[23，2]上单调递减，故只需e m <23且g (e m )≤0即可，易验证g (e －1)＝38×e －2－2×e －1＋1>0，g (e －2)＝38×1e 4－2e 2＋2＋ln e－2＝1e2(38×1e2－2)<0，当m≤－2且m∈Z时，均有g(e m)<0，即函数g(x)在[e m，e－1]⊆[e m，＋∞)(m∈Z)上有零点，∴m的最大值为－2.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e.解：(1)f′(x)＝a e x＋(ax－2)e x＝(ax＋a－2)e x，由已知得f′(1)＝0，即(2a－2)e＝0，解得a＝1.当a＝1时，在x＝1处函数f(x)＝(x－2)e x取得极小值，所以a＝1.(2)f(x)＝(x－2)e x，f′(x)＝e x＋(x－2)e x＝(x－1)e x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)e m；当0<m<1时，m<1<m＋1，f(x)在[m,1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－e；当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f (x )min ＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (m －2)e m ，m ≥1－e ，0<m <1(m －1)e m ＋1，m ≤0(3)由(1)知f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x . 令f ′(x )＝0得x ＝1，因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0， 所以当0≤x ≤2时，f (x )max ＝0，f (x )min ＝－e ，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝e.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a x (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)如果P (x 0，y 0)是曲线y ＝f (x )上的任意一点，若以P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)讨论关于x 的方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12的实根的个数情况． 解：(1)f (x )＝ln x ＋a x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2.a >0，由f ′(x )>0，得x >a ，由f ′(x )<0，得0<x <a ，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(2)由题意，以P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k 满足k ＝f ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(x 0>0)， 所以a ≥－12x 20＋x 0对x 0>0恒成立．又当x 0>0时，－12x 20＋x 0≤12，所以a 的最小值为12.(3)由题意，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12化简得 b ＝ln x －12x 2＋12，x >0，令h (x )＝ln x －12x 2－b ＋12，则h ′(x )＝1x －x ＝(1＋x )(1－x )x. 当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以h (x )在x ＝1处取得极大值，即最大值，最大值为h (1)＝ln1－12×12－b ＋12＝－b .所以当－b >0时，即b <0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有两个交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12有两个实根； 当b ＝0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有一个交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12有一个实根； 当b >0时，y ＝h (x )的图象与x 轴无交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12无实根． 新课标第一网系列资料。
【金版教程】2015届高考数学大一轮总复习 9-2(2)用样本估计总体限时规范训练 理
05限时规范特训A 级 基础达标1．[2014·四川模拟]有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的概率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( ) A.211B.13C.12D.23解析：大于或等于31.5的数据是最后的3组，故大于或等于31.5的数据约占12＋7＋366＝13. 答案：B2．为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图所示．据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16,30)内的人数为( )A ．100B ．160C ．200D ．28001234⎪⎪⎪⎪7 93 3 5 6 71 245 8 80 1 4 71 1 2解析：由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×820＝160.答案：B3．[2014·湖北模拟]有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A．18 B．36C．54 D．72解析：本题考查了频率分布直方图的有关知识．设样本数据落在区间[10,12)内的频率与组距的比为x，则(0.02＋0.05＋x＋0.15＋0.19)×2＝1，得x＝0.09，故样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.09×2×200＝36.答案：B4．[2012·山东高考]在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解析：本题考查众数、平均数、中位数及标准差的概念，考查推理论证能力．当每个样本数据加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变．答案：D5．[2014·西安质检]某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：A.25B.725C.35D．2解析：x 甲＝7，s 2甲＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2]＝25，x 乙＝7，s 2乙＝15[(6－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2]＝65，两组数据的方差中较小的一个为s 2甲，即s 2＝25.答案：A6．[2014·江南十校联考]已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：∵s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]，∴2x (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)－4x 2＝16，∴8x 2－4x 2＝16，x ＝2，即x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，∴x 1＋2＋x 2＋2＋x 3＋2＋x 4＋24＝4，故选C.答案：C7．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为________.解析：因为甲班学生成绩的众数是85，所以由茎叶图可知，x ＝5.乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，x ＋y ＝8.答案：88．为了调查学生每天零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．某市抽取1000名年龄在[2,22](单位：岁)内的学生每天的零花钱，样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________．解析：由频率分布直方图的意义知4×(0.02＋0.03＋0.03＋0.08＋x)＝1，解得x＝0.09，所以样本数据落在[6,14)内的频数为1000×4×(0.08＋0.09)＝680.答案：6809．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得80分却记成了50分，乙实际得70分却记成了100分，更正后平均分为________，方差为________．解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.答案：70 5010．[2014·揭阳调研]某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．解：(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为425÷10＝0.016.11．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110.(1)这种抽样方法是哪一种？(2)将这两组数据用茎叶图表示；(3)将两组数据比较，说明哪个车间的产品较稳定．解：(1)因为间隔时间相同，所以是系统抽样．(2)茎叶图如下：(3)甲车间：平均值：x 1＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，方差：s 21＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋…＋(99－100)2]＝247.乙车间：平均值：x 2＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，方差：s 22＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋…＋(110－100)2]＝16007.∵x 1＝x 2，s 21<s 22，∴甲车间的产品较稳定．12．某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间[40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的43倍．(1)求a ，b 的值；(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率．解：(1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a ×5×20＝100a (株)，样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b ＋0.02)×5×20＝100(b ＋0.02)(株)， 依题意，有100a ＝43×100(b ＋0.02)，即a ＝43(b ＋0.02)． ①根据频率分布直方图可知(0.02＋b ＋0.06＋a )×5＝1， ② 由①②得：a ＝0.08，b ＝0.04.(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0.04×5×20＝4(株)，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，产量在区间(55,60]上的果树有0.02×5×20＝2(株)，分别记为B 1，B 2.从这6株果树中随机抽取2株共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则P (M )＝915＝35.B 级 知能提升1．[2014·山西模拟]下图1是某县参加2011年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A n(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160 cm～180 cm(含160 cm，不含180 cm)内的学生人数，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是________．图1图2解析：由题意可知，本题是统计身高在160 cm ～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)内的学生人数，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7，故程序框图中的判断框内应填写的条件是“i ≤7”．答案：i ≤72．[2014·襄阳五中检测]对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________． 解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.志愿者年龄在[25,35)的频率为5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.答案：(1)0.04 (2)4403．已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．⎪⎪⎪⎪8765⎪⎪⎪⎪10 3 6 8 92 5 79(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．解：(1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为k ＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x ＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，所以样本方差为：s 2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A ，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．故所求概率为P (A )＝410＝25.。
2015届高考数学大一轮复习讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第五章 数列 理 苏教版
第五章数列第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P671．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序〞排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数〞有关，而且还与这些“数〞的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[试一试]1．数列{a n}的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n}的一个通项公式为________．答案：a n＝2n－1(n∈N*)2．数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，那么a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：541．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1，S n －S n －1 n ≥2.[练一练]1．(2013·某某、某某二模)数列{a n }的通项为a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.假设将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{}，那么c 9的值是________．解析：法一：由a n ＝7n ＋2，b n ＝n 2列出部分项得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，b 3＝9，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 4＝16，⎩⎪⎨⎪⎧a 14＝100，b 10＝100，⎩⎪⎨⎪⎧a 17＝121，b 11＝121，⎩⎪⎨⎪⎧a 41＝289，b 17＝289，⎩⎪⎨⎪⎧a 46＝324，b 18＝324，易发现在数列{b n }中符合条件的数呈周期变化，且周期为7.每个周期内第3,4个数符合题意，故c 9在第5个周期的第3个数，即c 9＝(4×7＋3)2＝312＝961.法二：令a n ＝b m ，那么7n ＋2＝m 2，即7(n －1)＝(m －3)(m ＋3)．易知m ＋3或m －3是7的整数倍，所以当m ＝3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…时满足等式，故c 9＝312＝961.答案：9612．(2014·苏锡常镇调研)设u (n )表示正整数n 的个位数，a n ＝u (n 2)－u (n )，那么数列{a n }的前2 014项和等于________．解析：因为n 与n ＋10的个位数字相同且周期为10，又a 1＝0，a 2＝4－2＝2，a 3＝9－3＝6，a 4＝6－4＝2，a 5＝5－5＝0，a 6＝6－6＝0，a 7＝9－7＝2，a 8＝4－8＝－4，a 9＝1－9＝－8，a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，即a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10.答案：10 对应学生用书P67考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.(2014·某某二模)将正偶数按如下所示的规律排列：2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 …那么第n (n ≥4)行从左向右的第4个数为________．解析：从数表可知，所有的数是由偶数组成的，第n 行有n 个偶数，从而前n －1行有1＋2＋…＋(n －1)＝n n －12个偶数，第(n ≥4)行从左向右的第4个数是第n n －12＋4个偶数，所以是n 2－n ＋8.答案：n 2－n ＋82．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N *)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n×1n n ＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n－1.[备课札记][类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般〞的思想．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n[a n n S n a n (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[备课札记][类题通法]数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，那么可以把数列的通项公式合写；如果不符合，那么应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[针对训练]各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2， 由a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)·(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n＝3n －1.考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有：1形如a n ＋1＝a n f n ，求a n ； 2形如a n ＋1＝a n ＋f n ，求a n ； 3形如a n ＋1＝Aa n ＋BA ≠0且A ≠1，求a n .角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n 1．数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时， 有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 即a n a n －1＝n ＋1n －1.∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a na n －1＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n n ＋12(n ≥2)当n ＝1时，a 1＝1.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.角度二 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n 2．a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.角度三 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 3．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求a n . 解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.[备课札记][类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，假设递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，那么可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．对应学生用书P69[课堂练通考点]1．(2014·苏北四市质检)在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，那么a 2 014＝________.解析：由题意，该数列除前2项外，从第3项往后是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 4＝8.答案：82．(2013·某某三调)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6， x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n∈N *，且数列{a n }是递增数列，那么实数a 的取值X 围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 8>f 7，解得a ∈(2,3)．答案(2,3)3．数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，那么a 8＝________. 解析：令s ＝t ＝2，那么a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，那么a 8＝a 2×a 4＝8. 答案：84．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }前n 项的和，那么S 2 013＝____________.解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0.所以S 2 013＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.答案：－1 0055．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解：∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)． ∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·某某二调)数列{a n }满足a n ＋a n －1＝12(n ∈N *)，a 1＝1，S n 是{a n }的前n 项和，那么S 21＝________.解析：这个数列为“等和数列〞，分别计算数列的前几项可以发现该数列为周期数列，周期为2.故S 21＝(1－12)×10＋1＝6.答案：62．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，那么a 2等于________． 解析：由题可知S n ＝2(a n －1)， 所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案：43．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，那么T 2 013的值为________．解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.答案：－14．假设数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，那么数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 答案：75．数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么满足a n n≤2的正整数n 的集合为________． 解析：因为S n ＝2a n －1， 所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列， 又因为a 1＝2a 1－1， 解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ＝1,2,3,4. 答案：{1,2,3,4}6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.答案：107．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，那么数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥28．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n－1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n＋3，两式相减得a n ＝3n.答案：3n9．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，那么a 2 014＝________.解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝1.答案：110．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，那么有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·某某期末)在数列{a n }中，a 1＝6且a n －a n －1＝a n －1n＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，那么这个数列的通项公式a n ＝________.解析：法一：由题意得a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，a 4＝30，…由此猜想出a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．法二：由题意得a n n ＋1＝a n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，故a nn ＋1＝3＋1·(n －1)＝n ＋2，故a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．答案：(n ＋1)(n ＋2)2.创新题数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2a n 为偶数，a n －2n a n 为奇数.假设a 3＝1，那么a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7 或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103．(2013·某某一模)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝0，对任意正整数n ，m (n >m )满足a 2n －a 2m ＝a n －m a n ＋m ，那么a 119＝________.解析：法一：采用特殊值法求出a 3，a 4，a 5，a 6分别为－1,0,1,0，由不完全归纳法得出a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.法二：令m ＝2，得a 2n －a 22＝a n －2·a n ＋2，即a 2n ＝a n －2·a n ＋2，所以奇数项成等比数列，偶数项均为0.再令m ＝1，得a 2n －a 21＝a n －1·a n ＋1，当n 为奇数时，a 2n ＝a 21；当n 为偶数时，a n －1·a n ＋1＝－1，故a 1＝－a 3＝a 5＝－a 7＝…，因此a n 的周期为4，所以a 119＝a 29×4＋3＝－1.答案：－14．(2013·某某期末)假设数列{a n }满足a 1为大于1的常数，a n ＋1－1＝a n (a n －1)(n ∈N *)，且1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝2，那么a 2 013－4a 1的最小值为________．解析：因为a 1>1，易知对所有的n ∈N *，a n >1，对a n ＋1－1＝a n (a n －1)两边取倒数得1a n ＋1－1＝1a na n －1＝1a n －1－1a n ，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝1a 1－1－1a 2 013－1＝2.整理得a 2 013＝2－a 13－2a 1(由a 2 013>1得1<a 1<32)，所以a 2 013－4a 1＝2(3－2a 1)＋123－2a 1－112≥223－2a 1·123－2a 1－112＝－72，当且仅当a 1＝54时取等号．故a 2 013－4a 1的最小值为－72.答案：－72第二节等差数列及其前n 项和对应学生用书P691．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.1．要注意概念中的“从第2项起〞．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． [试一试]1．在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝16，那么该数列前11项和S 11＝________. 解析：∵a 4＋a 8＝16， ∴a 6＝8，∴S 11＝11a 6＝88. 答案：882．(2013·某某高考){a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，假设a 1，a 2，a 5成等比数列，那么S 8＝________.解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.答案：641．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 2．活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．(2)假设{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，那么a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 3．用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解． [练一练]1．(2014·某某摸底)等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝10，那么该数列的前9项和S 9＝________.解析：由题知，S 9＝9a 1＋a 92＝9a 3＋a 72＝45.答案：452．(2014·某某、某某一模)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 5＋a 7＝9，那么其前9项和S 9的值为________．解析：由题知a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝9，那么a 5＝3，所以S 9＝9a 5＝27. 答案：27 对应学生用书P70考点一等差数列的基本运算1.(2013·新课标卷Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S m －1＝－2，S m ＝0，S m＋1＝3，那么m ＝________.解析：根据条件，得到a m 和a m ＋1，再根据等差数列的定义得到公差d ，最后建立关于a 1和m 的方程组求解．由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， 所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋m －1d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m m －1d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5.答案：52．(2014·某某调研)在等差数列{a n }中，假设a 1＋a 2＝4，a 9＋a 10＝36，那么S 10＝________. 解析：法一：由于a 1＋a 2＋a 9＋a 10＝2(a 1＋a 10)＝40， 故a 1＋a 10＝20，从而S 10＝10a 1＋a 102＝100.法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，2a 1＋17d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而S 10＝10a 1＋10×9d2＝100.答案：1003．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项． 解：(1)由题意可设等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25化简得2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可知a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7， 其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，那么8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2＝2m －3为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，解得m ＝1或2. 经检验，符合题意的正整数m ＝2. [备课札记][类题通法]1．等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程组解决问题的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示和未知是常用方法．考点二等差数列的判断与证明[典例] 数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求S n 和a n .[解] (1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∴S n (1＋2S n －1)＝S n －1.由上式知假设S n －1≠0，那么S n ≠0. ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)， 由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2. (2)∵1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1a 1＋2(n －1)，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[备课札记]假设将条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)〞，如何求解.解：(1)∵S n ＝n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2.∴1S n －1S n －1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ， 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1，－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72n ≥2.[类题通法]1．解答题判断等差数列，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2〞，否那么n ＝1时，a 0无定义．[针对训练]在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)， ∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3] ＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及最值[典例] n 1352＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，那么使得S n 达到最大时n ＝________.(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，假设a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，那么a 5＋b 5＝________. [解析] (1)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，那么{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.(2)设两等差数列组成的和数列为{}，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，那么c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.[答案] (1)20 (2)35 [备课札记][类题通法] 1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，那么 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[针对训练]1．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，假设S 6＝5a 1＋10d ，那么S n 取最大值时，n ＝________.解析：由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ， 所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大． 答案：5或62．(2013·某某高考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝10，那么3a 5＋a 7＝________.解析：因为a 3＋a 8＝10，所以3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20. 答案：20 对应学生用书P71[课堂练通考点]1．(2013·某某、某某二模)设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．假设a 21＋a 22＝a 23＋a 24，S 5＝5，那么a 7的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d .由a 21＋a 22＝a 23＋a 24得a 21＋(a 1＋d )2＝(a 1＋2d )2＋(a 1＋3d )2，即8a 1d ＋12d 2＝0.因为d ≠0，所以a 1＝－32d .又由S 5＝5a 3＝5得a 3＝1，所以a 1＋2d ＝1，解得a 1＝－3，d ＝2，故－3＋(7－1)×2＝9.答案：92．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，那么使a n >0的最小正整数n 的值是________．解析：∵a 11－a 8＝3d ＝3，∴d ＝1，∵S 11－S 8＝a 11＋a 10＋a 9＝3a 1＋27d ＝3， ∴a 1＝－8，∴a n ＝－8＋(n －1)>0， 解得n >9，因此使a n >0的最小正整数n 的值是10. 答案：103．数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，那么k ＝________. 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，那么d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：34．一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，那么此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列， 依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n a 1＋a n2，∴210＝70n2，∴n ＝6.答案：65．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得：a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )． ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1. [课下提升考能] 第一卷：夯基保分卷1．(2014·某某模拟)在等差数列{a n }中，假设a 3＋a 9＋a 27＝12，那么a 13＝________. 解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4. 答案：42．等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，那么n 的值为________． 解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17， 又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：103．(2014·某某月考)等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，前5项和S 5＝5，那么其公差为________．解析：由a 4＋a 6＝10，得2a 5＝10，所以a 5＝5.由S 5＝5a 3＝5，得a 3＝1，所以d ＝a 5－a 32＝5－12＝2. 答案：24．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，假设S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，那么正整数k 构成的集合为________．解析：在等差数列{a n }中，由S 10>0，S 11＝0得，S 10＝10a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0， S 11＝11a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0， 所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *， 所以k ＝5或6. 答案：{5,6}5．(2013·某某二模)设等差数列{a n }的公差为正数，假设a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，那么a 11＋a 12＋a 13＝________.解析：由条件可知，a 2＝5，从而a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16，得a 1＝2，a 3＝8，公差为3，所以a 11＋a 12＋a 13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.答案：1056．(2013·某某质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，那么x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t2sx －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝2s －t x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧t2s x ＋y －t ＝0，t2s x －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t 2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，…猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝tn ＋1. 所以x n －y n ＝2s n ＋1－t n ＋1＝2s －tn ＋1. 法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t 2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为2s x n －2s x n －1＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝t n ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －t n ＋17．(2013·某某二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设S 3S 7＝13，那么S 6S 7＝________.解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．(2013·某某期末)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，那么正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k－6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．(2013·苏锡常镇、某某、某某六市调研(二))等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求满足S n －2a n －20>0的所有正整数n 的集合． 解：(1)由a 3＝a 27得a 1＋2d ＝(a 1＋6d )2.① 由a 2＝a 4＋a 6得a 1＋d ＝2a 1＋8d ，即a 1＝－7d .② 将②代入①得－5d ＝d 2.所以d ＝－5或d ＝0(不符合题意．舍去)． 那么a 1＝35.所以a n ＝35＋(n －1)(－5)＝－5n ＋40. (2)S n ＝35－5n ＋40n 2＝n75－5n2. 不等式S n －2a n －20>0， 即n 75－5n2－2(－5n ＋40)－20>0，整理得n 2－19n ＋40<0.所以19－2012<n <19＋2012.因为n ∈N *，那么19－142≤n ≤19＋142，即52≤n ≤332. 所以所求n 的集合为{3,4，…，16}．10．(2014·某某学情调研)数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *.(1)假设数列{a n }是等差数列，求a 的值；(2)确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．解：(1)在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2.因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a . 因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2， 即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3. 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n n ＋12，S n －1＝3nn －12满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1.所以a ＝3.(2)由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ， 即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ， 故(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n .因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2(n ≥2)，① 所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2②②－①得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3(n ≥2)．③ 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9.④ ④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列． 因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎨⎧a <12－2a ，3n ＋2a －6<3n ＋1－2a ＋6n 为大于或等于3的奇数，3n －2a ＋6<3n ＋1＋2a －6n 为偶数，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列． 第二卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、某某、某某六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，那么a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178. 答案：41782．(2014·某某二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n}的前n 项和为S n ，假设S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，那么正整数m 的最小值为________．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n}的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m 15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max ＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．(2014·某某一模)数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n a n －a 12.(1)求a 1；(2)求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； (3)设lg b n ＝a n ＋13n，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？假设存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；假设不存在，请说明理由．解：(1)令n ＝1，那么a 1＝S 1＝1a 1－a 12＝0. (2)证明：由S n ＝n a n －a 12，即S n ＝na n2，①得S n ＋1＝n ＋1a n ＋12.②②－①得(n －1)a n ＋1＝na n ，③ 于是na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1.④ ④－③得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1， 即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )使b 1，b p ，b q 成等比数列，那么lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．(*) 易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解． 当p ≥3，且p ∈N *时，2p ＋13p ＋1－2p 3p ＝2－4p3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列， 于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．4．(2013·某某、某某二模)数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k (k 为常数)．(1)假设k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列； (2)假设k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈N *都成立？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中，令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2， 即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a 1>0，所以a 3－2a 2＋a 1＝0， 即a 2－a 1＝a 3－a 2.故a 1，a 2，a 3成等差数列． (2)当k ＝0时，a 2n ＋1＝a n a n ＋2，n ∈N *.因为数列{a n }的各项都为正数，所以数列{a n }是等比数列． 设公比为q (q >0)．因为a 2，a 4，a 5成等差数列，所以a 2＋a 5＝2a 4， 即a 1q ＋a 1q 4＝2a 1q 3.因为a 1>0，q >0，所以q 3－2q 2＋1＝0. 解得q ＝1或q ＝1＋52(负根舍去)．所以a 2a 1＝q ＝1或a 2a 1＝q ＝1＋52.(3)存在常数λ＝a 2＋b 2－k ab，使a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1.证明如下：因为a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1＋k ，n ≥2，n ∈N *.所以a 2n ＋1－a 2n ＝a n a n ＋2－a n －1a n ＋1， 即a n a n ＋2＋a 2n ＝a 2n ＋1＋a n －1a n ＋1.(*) 由于a n >0，(*)式两边同除以a n a n ＋1 得a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n. 所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2， 即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1. 因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－ka .所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P711．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．[试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的和为________．解析：设5个正数的公比为q (q >0)，所以q 4＝91＝9，即q ＝3，那么中间3个数的和为q ＋q 2＋q 3＝3＋3＋33＝3＋4 3.答案：3＋4 32．(2014·某某摸底)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 3＝18，S 3＝26，那么{a n }的公比q ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝18，a 1＋a 2＋a 3＝26，q >0得18q 2＋18q＝8，即4q 2－9q －9＝0.所以(4q ＋3)(q －3)＝0.因为q >0，所以q ＝3.答案：31．等比数列的三种判定方法 (1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2．等比数列的常见性质(1)假设m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，那么a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)假设数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，那么{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，等距离取出假设干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．[练一练]1．(2010·某某高考)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.假设a 1＝16，那么a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：切线斜率k ＝2a k ，切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，即y ＝2a k x －a 2k ，令y ＝0，得x ＝a k2＝a k ＋1，所以{a n }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，所以a n ＝(12)n －5，故a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：212．数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，那么在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个．答案：3 对应学生用书P72考点一等比数列的基本运算1.(2013·某某三调)在等比数列{a n }中，假设a 2＝－2，a 6＝－32，那么a 4＝________. 解析：由a 6a 2＝q 4＝16，那么q 2＝4，所以有a 4＝a 2q 2＝－8. 答案：－82．(2014·某某模拟)等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，那么a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.解析：因为{a n }为等比数列，故a 1a 4＝a 2a 3＝8，与a 1＋a 4＝9联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又q >1，故a 1＝1，a 4＝8，从而q ＝2，故a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝q 2＝4.答案：43．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 11－q n1－q，所以错误!由②式得1－q 4＝5(1－q 2)， 即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q <1，所以q ＝－1，或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2， 通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1.。
2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷三
阶段示范性金考卷三一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数a ，b 满足ab ≠0且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．|a |<|b | B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b解析：在a <b 两边同时除以a 2b 2即可得到1ab 2<1a 2b .故选C. 答案：C2．若数列{a n }为等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝12，则a 9－12a 10＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：a 7＋a 9＝2a 8，代入已知得3a 8＝12，所以a 8＝4，a 9－12a 10＝12(2a 9－a 10)＝12(a 9＋a 9－a 10)＝12a 8＝2.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 25a 5＝( )A ．3B ．9C ．3或13D ．9或19解析：由已知可得a 3·a 13＝a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，所以a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1，所以q 10＝a 13a 3＝3或q 10＝13.因为a 25a 5＝q 20，所以结果为9或19.答案：D4．若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ≤0的解集为∅，则实数a 的取值范围为( )A ．a <24 B ．a <22 C ．a >22D ．a >24解析：由题意，函数y ＝ax 2－|x |＋2a 的图象在x 轴上方，因为函数是偶函数，所以只需分析x >0时的情况即可．要使函数y ＝ax 2－x＋2a (x >0)满足题意，需⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－8a 2<0，解得a >24. 答案：D5．在如图所示的数阵中，第20行的第2个数为( )A ．363B ．343C ．323D ．313解析：每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，等式两边同时相加得a n －a 2＝(2n －3＋3)×(n －2)2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，所以a 20＝202－2×20＋3＝363，选A.答案：A6．已知a >0，b >0，则a ＋b ＋2abab 的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．5解析：因为a ＋b ＋2abab ≥2ab ＋21ab ＝2(1ab ＋ab )≥4，当且仅当a ＝b ，且1ab ＝ab ，即a ＝b 时，取“＝”．答案：C7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64an的最小值为( )A ．7 B.152 C ．8D.172解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝4,10a 1＋10×92d ＝110，∴a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n ，∴S n ＋64a n＝12＋32n ＋n 2≥12＋8＝172(当且仅当n ＝8时取“＝”)，选D.答案：D8．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x 2＋y 2≤1，则2x ＋y 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1，＋∞)C ．(0，5]D ．[1，5]解析：设2x ＋y ＝b ，则只需求直线2x ＋y ＝b 在y 轴上的截距范围．画出可行域为弓形，当直线与圆相切时，截距最大，且为5，当直线过点(0,1)时截距最小，且为1，所以2x ＋y 的取值范围是[1，5]．答案：D9．设数列{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋a n ＋1是等差数列，则(1a 2＋1a 3)＋(1a 3＋1a 4)＋…＋(1a 2013＋1a 2014)的值等于( )A ．2012B ．2013C ．4024D ．4026解析：由题意知a n ＝1·qn －1，设b n ＝1a n ＋a n ＋1＝1q n －1＋qn ，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以11＋q ＋1q 2(1＋q )＝2q (1＋q )，得q 2－2q ＋1＝0，所以q＝1，所以a n ＝1(n ∈N *)．所以(1a 2＋1a 3)＋(1a 3＋1a 4)＋…＋(1a 2013＋1a 2014)＝2×2012＝4024.答案：C10．已知数列{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则当S n 最大时，n 的值为( )A ．10B ．11C ．10或11D ．11或12解析：因为a 7是a 3，a 9的等比中项，所以a 27＝a 3a 9.又公差为－2，所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20，所以数列{a n }的通项公式a n ＝20－2(n －1)＝22－2n ，所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝－n 2＋21n ，因为n ∈N *，所以S n 取最大值时n 为10或11，故选C.答案：C11．设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n 项和，且S n T n＝n ＋12n ，则log b 5a 5＝( )A.53B.95C.59D.35解析：由题知S 9＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＋lg a 9＝lg(a 1a 2…a 8a 9)＝lg(a 5)9＝9lg a 5，同理T 9＝9lg b 5，所以log b 5a 5＝lg a 5lg b 5＝S 9T 9＝9＋12×9＝59.答案：C12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2≤2，a 3≤4，a 1＋a 4≥4，当a 4取得最大值时，数列{a n }的公差为( )A ．1B ．4C ．2D ．3解析：令a 1＝x ，d ＝y ，因为a 2≤2，a 1＋a 4≥4，a 3≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤22x ＋3y ≥4x ＋2y ≤4，则a 4＝z ＝x ＋3y ，画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤22x ＋3y ≥4x ＋2y ≤4的可行域为由三顶点(0,2)，(2,0)，(－4,4)构成的三角形，目标函数化为标准的斜截式y ＝－13x ＋13z ，由运动变化知目标函数过点(－4,4)时有最大值，所以当a 4取得最大值8时，数列{a n }的公差为4，因此选B 项．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .若S 5>a 1a 9，则a 1的取值范围为________．解析：因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2，即a 1的取值范围为(－5,2)．答案：(－5,2)14．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2012和a 2013是方程4x 2－8x ＋3＝0的两个根，则a 2013＋2a 2014＋a 2015＝________.解析：由根与系数的关系知a 2012＋a 2013＝2，a 2012·a 2013＝34，并根据q >1，解得a 2013＝32，a 2012＝12，所以q ＝a 2013a 2012＝3，所以a 2013＋2a 2014＋a 2015＝(a 2013＋a 2014)＋(a 2014＋a 2015)＝q (a 2012＋a 2013)＋q 2(a 2012＋a 2013)＝3×2＋32×2＝24.答案：2415．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝21－a n－1(n ∈N *)，则a 1a 2a 3…a 2014的值为________．解析：a 1＝2，a 2＝21－2－1＝－3，a 3＝21＋3－1＝－12，a 4＝21＋12－1＝13，a 5＝21－13－1＝2，推理得{a n }是周期为4的数列，a 1a 2a 3a 4＝2×(－3)×(－12)×(13)＝1，a 1a 2a 3…a 2014＝a 2013a 2014＝a 1a 2＝2×(－3)＝－6.答案：－616．已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，设数列{a n }的前n 项和为S n .若不等式S n >ka n －2对一切n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：设等比数列{a n } 的公比为q ，因为a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *，所以a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18，所以q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2，所以2a 1＋a 1＝9，所以a 1＝3.所以a n ＝3·2n －1，n ∈N *，故S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n)1－2＝3(2n －1)，即3(2n－1)>k ·3·2n －1－2，所以k <2－13·2n －1.令f (n )＝2－13·2n －1，则f (n )随n 的增大而增大，所以f (n )min ＝f (1)＝2－13＝53，所以k <53，故实数k 的取值范围为(－∞，53)．答案：(－∞，53)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2014·咸阳模拟]已知等比数列{a n }中，a 3－a 4是a 2与－a 3的等差中项，且a 1＝12，q ≠1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{b n }满足：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由已知得2(a 3－a 4)＝a 2－a 3，故q ＝12(q ≠1)． 因为a 1＝12，所以a n ＝12n .(2)当n ＝1时，a 1b 1＝1，b 1＝2，因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1，所以当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2(n －1)－1， 两式相减，得a n b n ＝2，得b n ＝2n ＋1.所以b n ＝⎩⎨⎧2 (n ＝1)2n ＋1(n ≥2).所以S n ＝2n ＋2－6(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d . 由a 1＝3，a 3＝9得log 22＋2d ＝log 28，即d ＝1. ∴log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1. (2)∵1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， ∴1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.19．(本小题满分12分)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝c 2n 2＋(1－c2)n (c 为常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列．(1)求c 的值；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由S n ＝c 2n 2＋(1－c2)n 得，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1＋(n －1)c ， 故a n ＝1＋(n －1)c .而a 1，a 2，a 5成公比不等于1的等比数列，即(1＋c )2＝1＋4c ，且c ≠0，∴c ＝2.(2)由(1)知，a n ＝2n －1，∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，且a n＋2＝(2＋cos n π)(a n －1)＋3，n ∈N *. (1)求通项a n ；(2)设{a n }的前n 项和为S n ，问：是否存在正整数m ，n (m ≤3，n ≤3)，使得S 2n ＝mS 2n －1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对(m ，n )，若不存在，请说明理由．解：(1)当n 是奇数时，cos n π＝－1；当n 是偶数时，cos n π＝1. 所以当n 是奇数时，a n ＋2＝a n ＋2；当n 是偶数时，a n ＋2＝3a n . 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是首项为2，公比为3的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数2×3n2－1，n 为偶数.(2)由(1)得S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋2n －1)＋(2＋6＋…＋2×3n －1)＝3n ＋n 2－1.S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n ＋n 2－1－2×3n －1＝3n －1＋n 2－1.若使S 2n ＝mS 2n －1的正整数对(m ，n )存在，即满足3n ＋n 2－1＝m (3n －1＋n 2－1)的正整数对(m ，n )存在．当n ＝1时，31＋12－1＝m (31－1＋12－1)，m ＝3；当n ＝2时，32＋22－1＝m (32－1＋22－1)，m ＝2；当n ＝3时，33＋32－1＝m (33－1＋32－1)，这时不存在正整数m .故满足题意的正整数对(m ，n )只有(3,1)，(2,2)．21．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－b n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，求证：c n ＋1≤c n ；(3)求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0，所以a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 35－3＝2. 所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1(n ∈N *)．当n ＝1时，b 1＝S 1＝1－b 12，解得b 1＝13.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12(b n －1－b n )，所以b n b n －1＝13(n ≥2)． 所以数列{b n }是首项b 1＝13，公比q ＝13的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝13n (n ∈N *)．(2)由(1)，知c n ＝a n b n ＝2n －13n ，c n ＋1＝2n ＋13n ＋1， 所以c n ＋1－c n ＝2n ＋13n ＋1－2n －13n ＝4(1－n )3n ＋1≤0. 所以c n ＋1≤c n .(3)由(2)，知c n ＝a n b n ＝2n －13n ，则T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，②①－②，得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋2(132＋133＋…＋13n )－2n －13n ＋1＝23－2n ＋23n ＋1，化简得T n ＝1－n ＋13n .故数列{c n }的前n 项和T n ＝1－n ＋13n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨， 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x＋1800×6 ＝900x ＋9x ＋10809≥2900x ·9x ＋10809＝10989， 当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.90 ＝900x ＋9x ＋9729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，f ′(x )＝1－100x 2>0， 即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为增函数，∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2<10989. ∴该厂应接受此优惠条件．新课标第一网系列资料。
2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷四
阶段示范性金考卷四一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α解析：选项A 中，两条直线同时平行于同一个平面，则两直线的位置关系有三种；选项B 中，只有m 、n 相交时成立；选项C 中，只有m 垂直于交线时成立．选D.答案：D2．如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E为侧棱PC 的中点，则P A 与BE 所成的角为( ) A.π6 B.π4C.π3D.π2解析：连接AC 、BD 交于点O ，连接OE ，OP ，易得OE ∥P A ，∴所求角为∠BEO .∵PO ⊥OB ，OB ⊥OA ，∴OB ⊥平面P AC ，OB ⊥OE .由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12P A ＝22，在△OBE 中，tan ∠OEB ＝3，∴∠OEB ＝π3，选C.答案：C3．如图，三棱锥A －BCD 的底面为正三角形，侧面ABC 与底面垂直且AB ＝AC ，若该四棱锥的正(主)视图的面积为2，则侧(左)视图的面积为( ) A.33B. 3C.23D.13解析：由题意可知，该四棱锥的正(主)视图为△ABC ，设底面边长为2a ，BC 中点为O ，则AO ⊥BC ，则AO ⊥平面BCD ，设AO ＝h ，则△ABC 的面积为12·2a ·h ＝ah ＝2，侧(左)视图为△AOD ，则面积为12OD·AO＝12·3a·h＝32ah＝ 3.答案：B4．如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A－BCD的体积是()A.212 B.224C.312 D.324解析：∵EF⊥DE，EF∥AC，∴AC⊥DE，易知AC⊥BD，∴AC⊥平面ABD.由AB＝AC＝AD＝22，可得所求体积为13×12×22×22×22＝224. 答案：B5．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是( )A ．2π B.423 C. 2 D.23解析：设圆柱的底面半径为r ，故其侧面积S 侧＝2πr ·2R 2－r 2＝4πr 2(R 2－r 2)，当S 侧最大时，r 2＝R 2－r 2，r 2＝R 22，所以r ＝22R ，此时圆柱的高h ＝2R ，V 球V 圆柱＝43πR 3π×(22R )2×2R ＝423，选B. 答案：B6．[2012·长春一模]设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥α；②若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β； ③若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α或a ⊂α；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β， 则α⊥β.其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：在如图所示的长方体中，A1A⊥A1B1，A1A⊥平面ABCD，A1B1⊄平面ABCD，则A1B1∥平面ABCD，①正确；设A1B1为a，平面AC为α，平面A1B为β，显然有a∥α，α⊥β，但得不到a⊥β，②不正确；可设A1A为a，平面AC为β，平面A1D或平面B1C为α，满足③的条件且得a∥α或a⊂α，③正确；设A1B1为a，平面A1D为α，A1A为b，平面AC为β，满足④的条件且得到α⊥β，④正确．答案：C7．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为()A ．2 3B ．2 5 C.433 D.533解析：该几何体是三棱柱中截去一个棱锥，三棱柱的底面边长为2，高是2，截去的三棱锥底面边长是2，高是1，所以该几何体的体积是V ＝12×2×3×2－13×12×2×3×1＝533.答案：D8．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析：AB 与SC 所成的角是∠SCD ，DC 与SA 所成的角是∠SAB ，而这两个角显然不相等，故D 不正确．答案：D9．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A. 292B. 135C. 175D. 1195解析：过A 作AE ⊥BD 于E .连接PE .因为P A ⊥平面AC ，BD ⊂平面AC ，所以P A ⊥BD ，所以BD ⊥平面P AE ，所以BD ⊥PE ，即PE 就是点P 到BD 的距离，因为AE ＝AB ·AD BD ＝3×432＋42＝125，P A ＝1，所以PE ＝135.答案：D10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，且球心O 2为O 1O 的中点，则AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a 2，设球O 2的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2.∴该球的表面积S球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.答案：B11．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A. 2B. 3C. 2D. 1 解析：连接AC ，与BD 交于点O ，连接OE ，因为O ，E 分别是AC ，CC 1的中点，所以OE ∥AC 1，且OE ＝12AC 1，所以AC 1∥平面BED ，直线AC 1与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离．过C 作CF ⊥OE 于F ，则CF 即为所求距离．因为正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为22，所以AC ＝22，OC ＝2，CE ＝2，OE ＝2，利用等面积法得CF ＝OC ·CE OE ＝1，选D.答案：D12．如图，边长为a 的等边△ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE (A ′∉平面ABC )是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，对于下列叙述错误的是( )A ．平面A ′FG ⊥平面ABCB ．BC ∥平面A ′DEC ．三棱锥A ′－DEF 的体积最大值为164a 3D ．直线DF 与直线A ′E 可能共面解析：A 项中，由已知可得四边形ADFE 是菱形，则DE ⊥GA ′，DE ⊥GF ，所以DE ⊥平面A ′FG ，所以平面A ′FG ⊥平面ABC ，A 项正确；又BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE ，B 项正确；当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－DEF 的体积达到最大，最大值为13×14×34a 2×34a ＝164a 3，C 项正确；在旋转过程中DF 与直线A ′E 始终异面，D 项不正确．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体．圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1＝π；三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为2，三棱锥的高为3，所以三棱锥的体积为13×12×2×2×3＝33，所以该几何体的体积为π＋33.答案：π＋3314．在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱锥外接球的半径为________．解析：底面△ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥底面ABC ，可得此三棱锥的外接球即为以△ABC 为底面、以P A 为高的正三棱柱的外接球．∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴△ABC 的外接圆半径r ＝233，球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，故球的半径R ＝r 2＋d 2＝73＝213. 答案：21315．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为________．解析：取CC 1的中点F ，连接EF ，MF ，EF 交平面BB 1D 1D 于点N ，则EN ＝FN ，所以F 点是E 点关于平面BB 1D 1D 的对称点，则AM ＋ME ＝AM ＋MF ，所以当A ，M ，F 三点共线时，AM ＋MF 最小，即AM ＋ME 最小，此时AM ＋MF ＝AF ＝3a2.答案：3a 216．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N ，P ，Q 分别在棱A 1D 1，A 1B 1，B 1C 1，BC 上移动，则四面体MNPQ 的最大体积是________．解析：由图可知，四面体MNPQ 的体积就是三棱锥Q －MNP 的体积，而三棱锥的高是a ，当底面△MNP 的面积最大时体积最大，S △MNP 最大＝12a 2，所以四面体MNPQ 的最大体积是13×12a 2×a ＝16a 3.答案：16a 3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)求证：平面PBD⊥平面PBE.证明：(1)∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA，又EC∩BC＝C，故平面BEC∥平面PDA.又∵BE⊂平面EBC，因此BE∥平面PDA.(2)连接AC交BD于点O，取PB的中点F，连接OF. 由于FO∥PD，又∵EC∥PD，∴FO∥EC，且FO＝EC，因此OCEF为平行四边形，于是OC∥EF.又∵OC ⊥平面PBD ，∴EF ⊥平面PBD ， 又∵EF ⊂平面PBE ， 故平面PBD ⊥平面PBE .18．(本小题满分12分)如图(1)，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正视图和侧视图如图(2)所示．(1)求四面体PBFC 的体积； (2)证明：AE ∥平面PFC ； (3)证明：平面PFC ⊥平面PCD .解：(1)由侧视图可得F 为AB 的中点，BF ＝1， 所以△BFC 的面积S ＝12 ×1×2＝1. 因为P A ⊥平面ABCD ，所以四面体PBFC 的体积V P －BFC ＝13S △BFC ×P A ＝13×1×2＝23.(2)取PC的中点Q，连接EQ，FQ. 由正视图可得E为PD的中点，所以EQ∥CD，EQ＝12CD.又因为AF∥CD，AF＝12CD，所以AF∥EQ，AF＝EQ.所以四边形AFQE为平行四边形，所以AE∥FQ. 因为AE⊄平面PFC，FQ⊂平面PFC，所以AE∥平面PFC.(3)因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥CD.因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD.所以CD⊥平面P AD.因为AE⊂平面P AD，所以CD⊥AE.因为P A＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD. 所以AE⊥平面PCD.由(2)知AE∥FQ，所以FQ⊥平面PCD.因为FQ⊂平面PFC，所以平面PFC⊥平面PCD.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD＝60°，AB＝2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．(1)求证：P A∥平面BMD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)连接AC，AC与BD相交于点O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．∵M为PC的中点，∴MO∥AP.∵P A⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，∴P A∥平面BMD.(2)∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD.∵∠BAD＝∠BCD＝60°，AB＝2AD，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝AB2＋AD2－2AD2＝AB2－AD2.∴AB2＝AD2＋BD2.∴AD⊥BD.∵PD∩BD＝D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AD⊥平面PBD.∵PB⊂平面PBD，∴AD⊥PB.20．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A －BCD 中，AB ⊥BD ，AD ⊥CD ，E ，F 分别为AC ，BC 的中点，且△BEC 为正三角形．(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若CD ＝3，AC ＝10，求点C 到平面DEF 的距离． 解：(1)∵△BEC 为正三角形，F 为BC 的中点，∴EF ⊥BC . ∵EF ∥AB ，∴AB ⊥BC .又∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，AB ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)设点C 到平面DEF 的距离为h ，∵AC ＝10，∴BE ＝BC ＝5，∴AB ＝2EF ＝53， 在Rt △BDC 中，∵F 为BC 的中点，∴DF ＝12BC ＝52， ∴S △EFD ＝12DF ·EF ＝2538， ∴V C －EFD ＝13S △EFD ·h ＝25324h .在Rt △BCD 中，∵CD ＝3，BC ＝5，∴BD ＝4，∴S △DFC ＝12S △DBC ＝3， ∴V E －DFC ＝13S △DFC ·EF ＝532， ∵V C －EFD ＝V E －DFC ，∴h ＝125， ∴点C 到平面DEF 的距离为125.21．(本小题满分12分)如图(1)，△BCD 是等边三角形，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将△BCD 沿BD 折叠到△BC ′D 的位置，使得AD ⊥C ′B ，如图(2)．(1)求证：平面GNM ∥平面ADC ′； (2)求证：C ′A ⊥平面ABD .解：(1)因为M ，N 分别是BD ，BC ′的中点， 所以MN ∥DC ′.因为MN ⊄平面ADC ′，DC ′⊂平面ADC ′， 所以MN ∥平面ADC ′.同理，NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG＝N，所以平面GNM∥平面ADC′.(2)因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B＝B，所以AD⊥平面C′AB.因为C′A⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A.△BC′D是等边三角形，AB＝AD，不妨设AB＝1，则BC′＝C′D＝BD＝2，可得C′A＝1.由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A.因为AB∩AD＝A，所以C′A⊥平面ABD.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，E、F分别为PC、BD的中点．(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PDC；(3)求三棱锥C－PBD的体积．解：(1)连接AC，易知AC交BD于点F，∵四边形ABCD为正方形，F为AC的中点，E为PC的中点，∴EF∥P A.又P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.(2)∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面P AD.∴CD⊥P A.又P A＝PD＝22AD，∴P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即P A⊥PD.∵CD∩PD＝D，且CD、PD⊂平面PDC，∴P A⊥平面PDC.又P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PDC.(3)取AD的中点O，连接OP，OF.∵P A＝PD，∴PO⊥AD.∵侧面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD，∵O、F分别为AD、BD的中点，∴OF∥AB，又四边形ABCD是正方形，∴OF ⊥AD .∵P A ＝PD ＝22AD ，∴P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝1.故三棱锥C －PBD 的体积V C －PBD ＝V P －BCD ＝13×12×2×2×1＝23.。
2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷六
阶段示范性金考卷六一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在某大学数学专业的160名学生中开展一项社会调查，先将学生随机编号为01,02,03，…，160，采用系统抽样的方法抽取样本，已知抽取的学生中最小的两个编号为07号、23号，那么抽取的最大编号应该是()A．150 B．151C．142 D．143解析：由最小的两个编号为07,23可知，抽样间距为16，因此抽取人数的比例为116，即抽取10名同学，其编号构成首项为07，公差为16的等差数列，故最大编号为7＋9×16＝151.答案：B2．执行如图所示的程序框图，输出结果S等于()A．1006 B．1007C ．1008D ．1009解析：根据程序框图，S ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋ (－2013＋2014)＝1007，输出的S 为1007. 答案：B3．已知点P 是圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上任意一点，则点P 在第一象限内的概率为( )A. 13B. 14C. 16D. 112解析：将方程配方得(x ＋1)2＋y 2＝4，如图，易知∠ACB ＝60°，圆上的点在第一象限内的概率P ＝60°360°＝16.答案：C4．对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y ^＝10.5x ＋a ^，据此模型来预测当x ＝20时，y 的估计值为( )A ．210B ．210.5C ．211.5D ．212.5解析：由数据可知x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝20＋40＋60＋70＋805＝54，将(x ，y )代入回归直线方程y ^ ＝10.5x ＋a ^ 可得a ^ ＝54－52.5＝1.5，即回归直线方程为y ^＝10.5x ＋1.5，令x ＝20，得y ^＝10.5×20＋1.5＝211.5，故选C.答案：C5．某商场在春节期间举行抽奖促销活动，规则是：从装有编号为0,1,2,3四个完全相同的金蛇形小玩具抽奖箱中同时抽出两个小玩具．两个小玩具的号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．则中奖的概率是( )A. 13 B. 23 C. 14D. 34解析：抽出两个小玩具，两个小玩具的号码可能为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，共6种情况，号码之和等于5的有(2,3)，号码之和等于4的有(1,3)，号码之和等于3的有(0,3)，(1,2)，则中奖的情况有4种，故中奖的概率为23.答案：B6．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，已知样本数据落在区间[10,12)内的频数比样本数据落在区间[8,10)内的频数少40，则m 的值等于( )A ．0.18B ．0.09C ．0.08D ．0.1解析：依题意，样本数据落在区间[10,12)内的频率比样本数据落在区间[8,10)内的频率小40200＝0.2，因此(n－m)·2＝0.2，所以n－m＝0.1，而(m＋n＋0.02＋0.05＋0.15)·2＝1，于是n＋m＝0.28，解得m＝0.09.答案：B7. 在一盒子中有编号为1,2的红色球2个，编号为1,2的白色球2个，现从盒子中摸出2个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的2个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率为()A. 13 B.23C. 16 D.12解析：从4个球中摸出2个球的情况有(红1，红2)，(红1，白1)，(红1，白2)，(红2，白1)，(红2，白2)，(白1，白2)，共6种，其中2球颜色不同且编号不同的情况有(红1，白2)，(红2，白1)，共2种，故所求概率P＝26＝13.答案：A8．甲、乙两名学生的6次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是()A．③④B．①②④C．②④D．①③④解析：由茎叶图知甲同学的成绩分别为72,76,80,82,86,90；乙同学的成绩分别为69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①错；计算得甲同学的平均分为81，乙同学的平均分为85，故甲同学的平均分比乙同学的平均分低，②错，③对；计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故④对．所以说法正确的是③④.故选A项．答案：A9．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，这个数为恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的概率为()A. 13 B.12C. 23 D.34解析：用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数有1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3142,3124,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321，共24个，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数有1234,1432,2143,2341,3214,3412,4123,4321，共8个，所以所求概率P ＝824＝13，选A.答案：A10．被戏称成“最牛违建”的北京“楼顶别墅”于2013年8月15日正式拆除．围绕此事件的种种纷争，某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到下表附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )参照附表，得到的正确结论是：( )A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”D．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关”解析：因为K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝3.030>2.706，所以P(K2>2.706)＝0.10，故有90%的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”．答案：C11．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生，则按程序框图正确编程运行时输出y的值为1或2的概率为()A. 16 B.13C. 12 D.56解析：变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故输出y 的值为1的概率P 1＝12，当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故输出y 的值为2的概率P 2＝13，所以输出y 的值为1或2的概率为12＋13＝56.答案：D12．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx 有不等实数根的概率为( )A. 14B. 12C. 34D. 25解析：方程x ＝22a －2bx ，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a )2－4×2b >0，即a >b .在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2bx 有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数(下图摘取了随机数表的第11行至第15行)，根据下图，读出的第3个数是________．18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 0526 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 7123 42 40 64 74 82 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 92 94 07 72 93 85 79 10 7552 36 28 19 95 50 92 26 11 97 00 56 76 31 38 80 22 02 53 53 86 60 42 04 5337 85 94 35 12 83 39 50 08 30 42 34 07 96 88 54 42 06 87 98 35 85 29 48 39解析：最先读到的1个编号是389，向右读下一个数是775,775大于499，故舍去；下一个数是841，舍去；下一个数是607，舍去；下一个数是449；下一个数是983，舍去；下一个数是114.读出的第3个数是114.答案：11414．[2014·安徽联考]已知x 是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数，且1,3，x ，－y 这四个数据的平均数为1，则1x ＋y 的最小值为________．解析：由已知得3≤x ≤5，1＋3＋x －y 4＝1，∴y ＝x ，∴1x ＋y ＝1x ＋x ，又函数y ＝1x ＋x 在[3,5]上单调递增，∴当x ＝3时取最小值103. 答案：10315．如图，运行程序框图后输出S 的值是________．解析：因为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，且a i ＝a i ＋6，所以输出的S ＝a 1＋a 2＋…＋a 2014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝cos π3＋(－1)1＋cos 2π3＋(－1)2＋cos 3π3＋(－1)3＋cos 4π3＋(－1)4＝－32.答案：－3216．如图，⊙C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3.若在扇形内任取一点，则该点在⊙C 内的概率为________．解析：设⊙C 的半径为1，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB ，满足条件的事件是圆，⊙C 的面积等于π.连接OC 并延长交扇形于N .过C 作CM ⊥OB ，则∠COM ＝π6，OC ＝2，ON ＝3，∴扇形AOB 的面积为12×π3×32＝3π2，∴⊙C 的面积与扇形AOB 的面积比是23，∴所求概率P ＝23.答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在一次抽奖活动中，有a 、b 、c 、d 、e 、f 共6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖．(1)求a 能获一等奖的概率；(2)若a 、b 已获一等奖，求c 能获奖的概率．解：(1)设“a 能获一等奖”为事件A ，事件A 等价于事件“从6人中随机抽取两人，能抽到a ”．从6人中随机抽取两人的基本事件有(a 、b )、(a 、c )、(a 、d )、(a 、e )、(a 、f )、(b 、c )、(b 、d )、(b 、e )、(b 、f )、(c 、d )、(c 、e )、(c 、f )、(d 、e )、(d 、f )、(e 、f )15个，包含a 的有5个，所以，P (A )＝515＝13，答：a 能获一等奖的概率为13.(2)设“若a 、b 已获一等奖，c 能获奖”为事件B ，a 、b 已获一等奖，余下的四个人中，获奖的基本事件有(c 、c )、(c 、d )、(c 、e )、(c 、f )、(d 、c )、(d 、d )、(d 、e )、(d 、f )、(e 、c )、(e 、d )、(e 、e )、(e 、f )、(f 、c )、(f 、d )、(f 、e )、(f 、f )16个，其中含有c 的有7种，所以，P (B )＝716，答：若a 、b 已获一等奖，c 能获奖的概率为716.18．(本小题满分12分)一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量．得到的数据(单位均为cm)作为一个样本如表所示．作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^ ； (2)若某人的脚掌长为26.5 cm ，试估计此人的身高；(3)在样本中，从身高180 cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190 cm 以上的概率．(参考公式及数据：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^ 中，b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^ ＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值，∑i ＝110 (x i－x )(y i －y )＝577.5，∑i ＝110(x i －x )2＝82.5)解：(1)记样本中10人的“脚掌长”为x i (i ＝1,2，…，10)， “身高”为y i (i ＝1,2，…，10)，则b ^ ＝∑i ＝110 (x i －x )(y i －y )∑i ＝110 (x i －x )2＝577.582.5＝7.∵x ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010＝24.5， y ＝y 1＋y 2＋…＋y 1010＝171.5， ∴a ^ ＝y －b ^x ＝0，∴y ^ ＝7x .(2)由(1)知y ^ ＝7x ，当x ＝26.5时，y ^ ＝7×26.5＝185.5(cm)，故估计此人的身高为185.5 cm.(3)将身高为181 cm,188 cm,197 cm,203 cm 的4人分别记为A ，B ，C ，D .记“从身高180 cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，所抽取的2人中至少有1人身高在190 cm 以上” 为事件M ，则基本事件有(AB)，(AC)，(AD)，(BC)，(BD)，(CD)，共6个，M包含的基本事件有(AC)，(AD)，(BC)，(BD)，(CD)，共5个，∴P(M)＝56.19．(本小题满分12分)某市今年10月举办艺术节，现有8名艺术节志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓英语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解：(1)从8人中选出通晓英语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示事件“A1恰被选中”，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，共有6个基本事件．因此P(M)＝618＝1 3.(2)用N表示事件“B1和C1不全被选中”，则其对立事件N表示事件“B1和C1全被选中”，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件N包含3个基本事件，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.20．(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有1名志愿者被抽中的概率．解：(1)第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为，第3组：3060×6＝3；第4组：2060×6＝2；第5组：1060×6＝1.所以应从第3,4,5组各抽取3人，2人，1人．(2)记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共15种情况．其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有1名志愿者被抽中的情况有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共9种．所以第4组至少有1名志愿者被抽中的概率为915＝35.21．(本小题满分12分)某工厂生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：x <y ，且A ，B 两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相等．(1)求表格中x 与y 的值；(2)若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．解：(1)由题知x A ＝15(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，x B ＝15(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )，由x A ＝x B ，得x ＋y ＝17.①因为s 2A ＝15(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，s 2B ＝15[4＋(x －8)2＋0.25＋0.25＋(y －8)2]，由s 2A ＝s 2B ，得(x －8)2＋(y －8)2＝1.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8y ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝8. 因为x <y ，所以x ＝8，y ＝9.(2)记被检测的5件B 种元件分别为B 1，B 2，B 3，B 4，B 5，其中B 2，B 3，B 4，B 5为正品，从中任取2件，共有10个基本事件，列举如下：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，B 5)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，B 5)，(B 3，B 4)，(B 3，B 5)，(B 4，B 5)，记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，B 5)，(B 3，B 4)，(B 3，B 5)，(B 4，B 5)．所以P (C )＝610＝35，即2件都为正品的概率为35.22．(本小题满分12分)某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方式培育的树苗各20株，测量其高度，得到的茎叶图如图(单位：cm)：(1)依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大？(2)现从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取2件，求高度为86 cm的树苗至少有一株被抽中的概率；(3)如果规定高度不低于85 cm的为生长优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为树苗高度与培育方式有关？”，其中n＝a＋b＋c＋d.参考公式：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解：(1)用甲种方式培育的树苗的高度集中于50～90 cm之间，而用乙种方式培育的树苗的高度集中于60～100 cm之间，所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大．(2)记高度为86 cm的树苗为A，B，其他不低于80 cm的树苗为C，D，E，F.从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取2株的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．高度为86 cm的树苗至少有一株被抽中所组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共9个．故所求概率P＝915＝3 5.(3)2×2列联表如下：K2＝13×27×20×20≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为树苗高度与培育方式有关．。