第一章 实数集与函数
华东师大第五版数学分析第一章第一节
令 = − , 则为正数且 = + , 但这与假设 < + 相矛盾. 从而
必有 ≤ .
1.2 绝对值与不等式
,
≥ 0,
定义: = ቊ
−, < 0.
实数绝对值的性质：
➢ 正定性: = − ≥ 0; 当且仅当 = 0时有 = 0.
其中0 , 0 为非负整数, , ( = 1,2, ⋯ )为整数, 0 ≤ ≤ 9, 0 ≤
≤ 9, 若有
= ,
= 0,1,2, ⋯
则称与相等，记为 = ；若0 > 0 或存在非负整数，使得
= ( = 0,1,2, ⋯ ) 而+1 > +1 ，
• 实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何, ∈ R, 若 > >
0, 则存在正整数, 使得 > .
• 实数集具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实
数, 且既有有理数，也有无理数.
• 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.
例2 设, ∈ R. 证明：若对任何正数, 有 < + , 则 ≤ .
似分别规定为
= −0 . 1 2 ⋯ − 10− 与ҧ = −0 . 1 2 ⋯ .
注：
0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ⋯
ҧ0 ≥ ҧ1 ≥ ҧ2 ≥ ⋯
实数的不足近似与过剩近似是用有限小数研究无限小数的重要
工具.
命题
设 = 0 . 1 2 ⋯ 与 = 0 . 1 2 ⋯为两个实数，则 >
的等价条件是：存在非负整数，使得
数学分析(考研必看)
数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。
2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。
②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。
③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。
④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。
⑥实数集R 与数轴上点一一对应。
二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
第一章实数集与函数
第一章 实数集与函数教学进度：使用六个学时 一 .实数1．实数集的元素构成：有理数与无理数。
有理数是可以用分数形式),(互素q p qp 表示的数，或者也可以说可用有限小数或无限的循环小数来表示；无限的不循环小数则称为无理数。
2．任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。
举例： 917291792182&L L ...==L L 00000.= 978&.−=−3．如何定义两个实数的大小定义1 ，为两个非负的实数，若L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=1），则称x,y 相等，记为),,,,(,L L n k b a k k 10==y x =。
2）若或00b a >),,(..,l k b a t s l k k L 10==∃而，则称x 大于y ，记为11++>l l b a .y x > 下面会给出通过有限小数来比较实数大小的等价条件，先来介绍一个概念。
定义2 设是一个非负实数。
称有理数L L n a a a x 10.=n n a a a x L 10.=为x 的n 位不足近似，而有理数n n n a a a x 10110+=L . 位x 的n 位过剩近似， .,,L 10=n 举例 的0位，1位，2位，3位的不足近似是5，5.1, 5.17, 5.178 ; 0位，L 178965.1位，2位，3位的过剩近似是：6，5.2, 5.18, 5.179. 从这个例子可以看出：不足近似是递增的，过剩近似是递减的。
对于负实数又是如何定义不足与过剩近似？对于负实数L L n a a a x 10.−=，注 1.n n x x x ≤≤2.实数x 的n 位不足近似随着n 的增大不减；实数x 的n 位过剩近似n x n x 随着n 的增大不增。
命题 设，为两个实数，则L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=y x >的等价条件是：存在非负整数n ，使得.n n y x >因此就不在此叙述。
《数学分析》第一章 实数集与函数 1
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
Chapter01-实数集与函数
数学分析
17
北方工业大学数学系
[a, ){ x|ax}, (, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x},
(, b){ x|x<b},
(, ){ x| |x|<}.
数学分析
S有上确界，则 h sup S S h max S . 例 3：
北方工业大学数学系
S有下确界，则 h inf S S h min S .
证：仅证下确界的情况。
必要性：
h inf S , 故x S , x h . 而h S , 故h min S .
则x>y的等价条件是：存在非负整数n，使得
x n yn ,
其中 x n 表示x的n位不足近似，y n 表示y的n位 过剩近似。
证明：见附录。
数学分析
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北方工业大学数学系
例1 设 x, y为实数，x<y. 证明：存在有理
数r 满足 x<r<y.
（此例说明任意两个不等的实数之间，都 有一个有理数）
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y,使得x+y=1” 可表示为“xR, yR, 使得x+y=1”
数学分析
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北方工业大学数学系
3. 我们用符号“”表示“充分条件”或“推出”；
比如“ p q ”表示“ 若 p 成立, 则 q 也成立”。 即p 是 q 成立的充分条件.
4. 我们用符号“”表示“当且仅当”或“充要条件”；
显然 ， 任何一个不大于 1的实数都是 N 的下界 . M 0, 取 n0 [ M ] 1, 则 n0 M , 即 N 无上界 .
第一章实数集及函数
第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生把握实数的大体性质．教学重点：（１）明白得并熟练运用实数的有序性、浓密性和封锁性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质和几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方式：教学．（部份内容自学）教学程序：引言上节课中，咱们与大伙儿一起探讨了《分析》这门旅程的研究对象、要紧内容等话题．从本节课开始，咱们就大体依照教材顺序给大伙儿介绍这门课程的要紧内容．第一，从大伙儿都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 什么缘故从“实数”开始．答：《数学分析》研究的大体对象是函数，但那个地址的“函数”是概念在“实数集”上的（《复变函数》研究的是概念在复数集上的函数）．为此，咱们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，咱们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无穷小数”．为此作如下规定： ,n a 其,,n n a ≠19999n a -；关于正整数0,x a =1).9999；关于负有限小数（包括负整，那么先将y -表示为无穷小数，此刻所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确信的无穷小数来表示．但新的问题又显现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 概念１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．假设有,1,2,k k a b k ==，那么称x 与y 相等，记为x y =；假设00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，那么称x 大于y 或y 小于x ，别离记为x y >或y x <．关于负实数x 、y ，假设按上述规定别离有x y -=-或x y ->-，那么别离称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．概念２（不足近似与多余近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位多余近似；关于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位多余近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 多余近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，那么x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位多余近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，知足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，那么r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数经常使用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封锁性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四那么运算是封锁的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必知足以下关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 浓密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：假设对任何正数ε，有a b ε<+，那么a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的大体工具）．１．绝对值的概念实数a 的绝对值的概念为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 确实是点a 到原点的距离．熟悉到这一点超级有效，与此相应，||x a - 表示确实是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生把握确界原理，成立起实数确界的清楚概念。
数学分析第一章
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设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k +1 n
> a.
于是, a < k + 1 < k + 2 < b, 则 k + 1, k + 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k + 1 + π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 > 0，a < b + ，则 a b.
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c.
4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
证 倘若a > b，设 a b > 0, 则 a b + ,
与 a < b + 矛盾.
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（6）实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间，则 a0 n. 把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, L . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 L an L .
第一章实数集与函数
《数学分析》科目考试大纲考试内容及要求：第一章实数集与函数（一）考核知识点1．实数集的性质2．确界定义和确界原理3．函数的概念及表示法，分段函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数4. 具有某些特性的函数（二）考核要求1. 实数集的性质（1）熟练掌握：（i）实数及其性质；（ii）绝对值与不等式.（2）深刻理解：（i）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；（ii）绝对值的定义及性质.（3）简单应用：（i）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；（ii）会利用绝对值的性质证明简单的不等式.（4）综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解简单的不等式.2. 确界定义和确界原理（1）熟练掌握：（i）区间与邻域；（ii）有界集、无界集与确界原理.（2）深刻理解：（i）区间与邻域的定义及表示法；（ii）确界的定义及确界原理.（3）简单应用：用区间表示不等式的解，证明数集的有界性，求数集的上、下确界.（4）综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），证明某数集无界.3. 函数的概念（1）熟练掌握：（i）函数的定义；（ii）函数的表示法；（iii）函数的四则运算；（iv）复合函数；（v）反函数；（vi）初等函数.（2）深刻理解：（i）函数概念的两大要素；（ii）分段函数，掌握整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数；（iii）函数能够进行四则运算的条件；（iv）复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；（v）反函数存在的条件.（3）简单应用：会求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，会求分段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图像.（4）综合应用：作简单的复合函数的图像，求函数的反函数，证明有关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系.4. 具有某些特性的函数（1）熟练掌握：（i）有界函数；（ii）单调函数；（iii）奇函数和偶函数；（iv）周期函数.（2）深刻理解：（i）有界函数和无界函数的定义；（ii）单调函数的定义及其图像的性质；（iii）奇函数和偶函数的定义及其图像的性质；（iv）周期函数的定义及其图像的性质..（3）简单应用：（i）会求函数的上下界，判断无界函数；（ii）判断函数的单调性；（iii）判断周期函数；（iv）判断函数的奇偶性.（4）综合应用：利用函数的各种特性解决简单的应用问题.第二章数列极限(一) 考核知识点1．数列极限的定义2．收敛数列的性质3．数列极限存在的条件(二) 考核要求1. 数列极限的定义ε定义，数（1）熟练掌握：数列的敛散性概念，数列极限的N-列极限的几何意义.ε定义”的逻辑结构，深刻理（2）深刻理解：数列极限的“N-ε定义”解ε的任意性，N的相应性；用“N-ε定义”的证明数列的极限的表述方法；“N-否定说法.（3）简单应用：能够通过观察法初步判断数列的敛散性.ε语言”证明数列的极限存在.（4）综合应用：会用“N-2. 收敛数列的性质（1）熟练掌握：数列极限的唯一性，有界性，收敛数列的保号性，保不等式性，迫敛性，数列极限的四则运算法则，数列子列的概念.（2）深刻理解：收敛数列诸性质的证明.（3）简单应用：运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限.（4）综合应用：运用数列极限的唯一性，收敛数列的有界性、保号性，数列极限的迫敛性等证明数列的各种性质，判断发散数列.3.数列极限存在的条件（1）熟练掌握：（i）单调有界原理；（ii）柯西收敛准则.（2）深刻理解： 单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题.（3）简单应用：会用单调有界原理证明某些极限的存在性.（4）综合应用：会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题，会用柯西收敛准则的否定命题证明数列发散.第三章 函数极限(一) 考核知识点1．函数极限的定义2．函数极限的性质3．函数极限存在的条件4．两个重要的极限5．无穷大量与无穷小量(二) 考核要求1.函数极限的定义（1）熟练掌握：（i ）∞→x 时函数极限的定义；（ii ）0x x →时函数极限的定义.（2）深刻理解：（i ）A x f x =∞→)(lim 的“X -ε定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，X 的相应性；用“X-ε定义”证明函数极限的表述方法；“X -ε定义”的否定说法.（ii ）A x f x x =→)(lim 0的“δε-定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，δ的相应性；用“δε-定义”证明函数极限的表述方法；单侧极限和极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件；“δε-定义”的否定说法.（3）简单应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”证明简单函数的极限.（4）综合应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”等分析语言证明一般的函数极限问题；用极限存在的充要条件证明极限不存在.2.函数极限的性质（1）熟练掌握：函数极限的唯一性，有极限的函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性，函数极限的迫敛性，函数极限的四则运算法则.（2）深刻理解：函数极限诸性质的证明.（3）简单应用：运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限.（4）综合应用：运用函数极限的唯一性，局部有界性、局部保号性，函数极限的迫敛性等证明函数的各种性质.3.函数极限存在的条件（1）熟练掌握：（i ）归结原则；（ii ）柯西收敛准则.（2）深刻理解：归结原则和柯西收敛准则的实质.（3）简单应用：会用归结原则证明函数的极限不存在，用柯西收敛准则证明函数极限存在.（4）综合应用：用柯西收敛准则的否定命题证明函数极限不存在.4.两个重要的极限（1）熟练掌握：1sin lim 0=→x x x ，e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim . （2）深刻理解：两个重要极限的证明.（3）简单应用：利用两个重要极限求极限的方法.（4）综合应用：综合利用归结原则和两个重要极限求极限的方法.5.无穷小量与无穷大量（1）熟练掌握：无穷小量，无穷大量.（2）深刻理解：无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量的比较.（3）简单应用：无穷小量的比较方法，用无穷小量和无穷大量求极限.（4）综合应用：用等价无穷小求极限.第四章 函数的连续性（一）考核知识点1．连续性概念2．连续函数的性质3．初等函数的连续性（二）考核要求1. 连续性概念（1）熟练掌握：函数在一点的连续性，区间上的连续函数，间断点及其分类.（2）深刻理解：函数在一点左、右连续的概念，函数在一点的连续的充要条件.（3）简单应用：用定义证明函数在一点连续.（4）综合应用：利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一点连续.2.连续函数的性质（1）熟练掌握：连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，复合函数的连续性.（2）深刻理解：一致连续性.（3）简单应用：用连续函数求极限.（4）综合应用：证明函数的一致连续性，利用闭区间上连续函数的基本性质论证某些问题.3.初等函数的连续性（1）熟练掌握：基本初等函数的连续性.（2）深刻理解：初等函数在其定义的区间内连续.（3）简单应用：证明基本初等函数在定义域内连续，判断初等函数间断点的类型.（4）综合应用：证明一般初等函数在定义域内连续，判断分段函数间断点的类型.第五章导数与微分（一）考核知识点1．导数的概念2．求导法则3．参变量函数的导数4．高阶导数5．微分（二）考核要求1.导数的概念（1）熟练掌握：导数的定义，导函数.（2）深刻理解：函数在一点的变化率，左、右导数，导数的几何意义，导函数的介值性，函数可导与连续的关系.（3）简单应用：会求函数的平均变化率，确定曲线切线的斜率，求函数的稳定点.（4）综合应用：求分段函数的导数，运用导数概念证明曲线的某些几何性质.2.求导法则（1）熟练掌握：导数的四则运算，反函数的导数，复合导数的导数，基本求导法则与公式.（2）深刻理解：导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导数、基本求导法则与公式的证明.（3）简单应用：会用各种求导法则计算初等函数的导数.（4）综合应用：综合运用各种求导法则计算函数的导数.3.参变量函数的导数（1）熟练掌握：参变量函数的导数的定义.（2）深刻理解：参变量函数的导数的几何意义.（3）简单应用：会求参变量函数所确定函数的导数.（4）综合应用：利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质.4.高阶导数（1）熟练掌握：高阶导数的定义.（2）深刻理解：高阶导函数的概念.（3）简单应用：高阶导数的计算.（4）综合应用：利用莱布尼茨公式计算高阶导数，计算参变量函数的高阶导数.5.微分（1）熟练掌握：微分概念.（2）深刻理解：微分的几何意义，导数与微分的关系，一阶微分形式的不变性.（3）简单应用：微分的计算.（4）综合应用：高阶微分的计算，微分在近似计算中的应用.第六章微分中值定理及其应用（一）考核知识点1．拉格朗日定理和函数单调性2．柯西中值定理和不定式极限3．泰勒公式4．函数的极值与最值5．函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（二）考核要求1.拉格朗日定理和函数单调性（1）熟练掌握：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，函数单调性.（2）深刻理解：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法，它们的几何意义.（3）简单应用：判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会求简单函数的中值点.（4）综合应用：用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，利用拉格朗日中值定理和函数的单调性，证明某些恒等式和不等式.2. 柯西中值定理和不定式极限（1）熟练掌握：柯西中值定理，不定式的极限.（2）深刻理解：柯西中值定理的证明方法，求不定式极限的方法.（3）简单应用：求不定式的极限.（4）综合应用：用柯西中值定理证明某些带中值的等式.3. 泰勒公式（1）熟练掌握：泰勒定理，泰勒公式，麦克劳林公式.（2）深刻理解：泰勒定理的实质，泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系.（3）简单应用：利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式，余项估计.（4）综合应用：利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限，泰勒公式在近似计算上的应用.4. 函数的极值与最大〔小〕值（1）熟练掌握：函数的极值与最值，取极值的必要条件，驻点.（2）深刻理解：判断极值的两个充分条件.（3）简单应用：会求函数极值与最值.（4）综合应用：证明某些不等式，解决求最值的应用问题.5. 函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（1）熟练掌握：函数图像的凸性与拐点，函数图像的性态.（2）深刻理解：凸函数，函数为凸函数的充要条件，曲线的渐近线.（3）简单应用：判断函数图像的凸性与拐点，渐近线的求法，函数图像的性态的讨论，简单函数图像的描绘.（4）综合应用：利用函数的凸性证明不等式.第七章实数的完备性（一）考核知识点1．关于实数集完备性的基本定理2．闭区间上连续函数性质的证明（二）考核要求1.关于实数集完备性的基本定理（1）熟练掌握：实数集完备性的意义，实数集完备性的几个基本定理.（2）深刻理解：区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理的条件和结论，它们的证明方法，理解有理数集不满足完备性定理的原因（3）简单应用：会求数集的聚点、确界.（4）综合应用：实数集完备性的几个基本定理的等价性证明.2. 闭区间上连续函数性质的证明（1）熟练掌握：闭区间上连续函数的有界性，有最大、最小值性，介值性和一致连续性.（2）深刻理解：闭区间上连续函数性质的证明思路和方法.第八章不定积分（一）考核知识点1．不定积分概念与基本积分公式2．换元积分法与分部积分法3．有理函数和可化为有理函数的不定积分（二）考核要求1.不定积分概念与基本积分公式（1）熟练掌握：原函数、不定积分及二者的区别，基本积分表.（2）深刻理解：原函数与导数的关系，不定积分的基本性质，不定积分的几何意义.（3）简单应用：会求简单初等函数的不定积分.（4）综合应用：根据不定积分的几何意义求曲线方程.2.换元积分法与分部积分法（1）熟练掌握：换元积分法，分部积分法.（2）深刻理解：换元积分法与复合函数求导法则的关系，分部积分法与乘积求导法的关系.（3）简单应用：会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不定积分.（4）综合应用：综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数的不定积分，证明某些递推公式.3.有理函数和可化为有理函数的不定积分（1）熟练掌握：有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.（2）深刻理解：以上各种不定积分的计算步骤.（3）应用：会算有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.第九章定积分（一）考核知识点1．定积分概念和性质2．可积条件3．微积分学基本定理·定积分的计算（二）考核要求1.定积分概念和性质（1）熟练掌握：定积分的实际背景，黎曼和，定积分的性质.（2）深刻理解：构造积分和的方法，定积分及其性质的几何意义.（3）简单应用：用定积分定义计算简单函数的定积分，利用定积分的性质比较积分的大小，估计积分值.（4）综合应用：用定积分定义计算某些复杂和式的极限，利用定积分的性质证明不等式，论证函数的某些性质.2.可积条件（1）熟练掌握：可积的必要条件和充分条件，可积函数类.（2）深刻理解：达布和，可积准则及其证明方法.（3）简单应用：判断函数的可积性.（4）综合应用：论证可积函数的某些性质.3.微积分学基本定理和定积分的计算（1）熟练掌握：变限定积分所确定的函数及其性质，微积分学基本定理.（2）深刻理解：微积分学基本定理的实质，原函数的存在性.（3）简单应用：用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分，用换元积分法与分部积分法计算定积分.（4）综合应用：综合运用各种方法计算定积分.第十章定积分的应用（一）考核知识点：平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积（二）考核要求1．熟练掌握：用定积分表达和计算一些几何量.2．深刻理解：定积分的应用的实质—微元法.3．应用：计算平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积.第十一章反常积分（一）考核知识点1．反常积分概念2．无穷积分的性质与收敛判别3．瑕积分的性质与收敛判别（二）考核要求1.反常积分概念（1）熟练掌握：两类反常积分的定义.（2）深刻理解：反常积分即变限定积分的极限.2.无穷积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：无穷积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）简单应用：计算无穷积分，判别无穷积分的收敛性.（4）综合应用：运用无穷积分的性质和判别法论证某些问题.3.瑕积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：瑕积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法.（3）简单应用：计算，瑕积分，判别瑕积分的收敛性.（4）综合应用：运用瑕积分的性质和判别法论证某些问题.第十二章数项级数（一）考核知识点1．级数的收敛性2．正项级数和一般项级数（二）考核要求1. 级数的收敛性（1）熟练掌握：数项级数的定义.（2）深刻理解：级数收敛、发散的概念，收敛级数的性质，级数收敛的柯西准则.（3）简单应用：判断级数的收敛和发散.（4）综合应用：应用柯西准则讨论级数的敛散性.2.正项级数（1）熟练掌握：正项级数收敛的必要条件，正项级数的比较原则.（2）深刻理解：正项级数收敛比式判别法，根式判别法和积分判别法.（3）简单应用：判别正项级数的收敛性.（4）综合应用：运用正项级数收敛的必要条件，比较原则和几个判别法等论证一些问题.3.一般项级数（1）熟练掌握：交错级数的概念，条件收敛与绝对收敛的概念及关系，莱布尼茨判别法.（2）深刻理解：绝对收敛级数的性质，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）应用：判别一般项级数的收敛性.第十三章函数列与函数项级数（一）考核知识点1．一致收敛性2．一致收敛函数列与函数项级数的性质（二）考核要求1.一致收敛性（1）熟练掌握：函数列与函数项级数的一致收敛性的定义，一致收敛的充要条件.（2）深刻理解：一致收敛定义的否定叙述，一致收敛的柯西准则，函数列与函数项级数一致收敛性的判别法（3）应用：会用一致收敛性的定义或判别法判别函数列的一致收敛性，用M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法判别一些函数级数的一致收敛性.2.一致收敛函数列与函数项级数的性质（1）熟练掌握：一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函数.（2）深刻理解：连续性，可积性，可微性定理.（3）简单应用：由定理讨论函数项级数的和函数的连续性，可积性，可微性.（4）综合应用：由定理证明和函数的分析性质，计算函数项级数的积分.第十四章幂级数（一）考核知识点1．幂级数2．函数的幂级数展开式（二）考核要求1.幂级数（1）熟练掌握：幂级数的定义.（2）深刻理解：幂级数的性质.（3）应用：幂级数的计算，求幂级数的收敛半径、收敛域.2.函数的幂级数展开式（1）熟练掌握：泰勒级数定义.（2）深刻理解：泰勒级数和麦克劳林级数.（3）简单应用：六个常用的初等函数的麦克劳林级数.（4）综合应用：把一些简单的函数展成泰勒级数或麦克劳林级数.第十六章多元函数的极限与连续（一）考核知识点1．平面点集与多元函数2．二元函数的极限和连续性（二）考核要求1.平面点集与多元函数（1）熟练掌握：二元函数和二元函数极限的定义.弄清二重极限与累次极限的区别极其联系.（2）深刻理解：平面点集的一些概念：邻域、内点、界点、聚点、开区域、闭区域、有界区域、无界区域等.完备性定理.（3）简单应用：求函数的定义域，画定义域的图形，说明何种点集.（4）综合应用：判断平面点集的性质及其平面点集的聚点与界点.2.二元函数的极限和连续性（1）熟练掌握：二元函数的极限和连续性的概念.（2）深刻理解：累次极限和二元连续函数的性质.（3）简单应用：求累次极限，运用连续性定理.（4）综合应用：会求函数的极限.讨论函数的连续性.第十七章多元函数微分学（一）考核知识点1．可微性2．复合函数微分法3．方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（二）考核要求1.可微性（1）熟练掌握：可微与全微分定义.可微性几何意义及应用.（2）深刻理解：可微性条件.（3）简单应用：可微性充分条件.（4）综合应用：求函数的导数.2.复合函数微分法（1）熟练掌握：复合函数的有关定义.（2）深刻理解：复合函数的全微分（3）简单应用：复合函数的求导法则.（4）综合应用：求函数的偏导数或导数.3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（1）熟练掌握：方向导数与梯度的定义.（2）深刻理解：中值定理和极值充分条件.（3）简单应用：熟练计算偏导数和高阶偏导数.（4）综合应用：运用泰勒公式解决极值问题.第十八章隐函数定理及其应用（一）考核知识点1．隐函数及隐函数组2．几何应用和条件极值（二）考核要求1.隐函数及隐函数组（1）熟练掌握：隐函数及隐函数组的概念，反函数组与坐标变换.（2）深刻理解：隐函数定理和隐函数组的定理.（3）简单应用：隐函数存在性的条件分析.（4）综合应用：对隐函数求导.2.几何应用和条件极值（1）熟练掌握：平面曲线、空间曲线的切线于法平面，曲面的切平面与法线.（2）深刻理解：条件极值.（3）简单应用：拉格朗日函数.（4）综合应用：应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值.第十九章含参量积分（一）考核知识点1．含参量正常积分2．含参量反常积分（二）考核要求1. 含参量正常积分（1）熟练掌握：含参量积分的定义.（2）深刻理解：含参量积分的连续性、可微性、可积性.（3）简单应用：累次积分.（4）综合应用：求函数的积分.2. 含参量反常积分（1）熟练掌握：含参量反常积分的定义.（2）深刻理解：含参量反常积分的性质.（3）简单应用：一致收敛及其判别法.（4）综合应用：证明一致收敛性.第二十章曲线积分（一）考核知识点1．第一型曲线积分2．第二型曲线积分（二）考核要求1. 第一型曲线积分（1）熟练掌握：第一型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第一型曲线积分的性质.（3）应用：第一型曲线积分的计算.2. 第二型曲线积分（1）熟练掌握：第二型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第二型曲线积分的性质，第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系.（3）应用：第二型曲线积分的计算.第二十一章重积分（一）考核知识点1．二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算2．格林公式•曲线积分与路线的无关性3．二重积分的变量变换与三重积分4．重积分的应用（二）考核要求1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算（1）熟练掌握：二重积分的概念极其存在性，平面图形的存在性.（2）深刻理解：二重积分的性质.二元函数的可积性定理.（3）简单应用：直角坐标系下二重积分的计算.（4）综合应用：计算二重积分及二重积分所围的区域.2. 格林公式•曲线积分与路线的无关性（1）熟练掌握：连通区域的概念，（2）深刻理解：格林公式，积分与路线的无关性定理.（3）简单应用：验证积分与路线无关并会求积分.（4）综合应用：应用格林公式计算曲线积分.3.二重积分的变量变换与三重积分（1）熟练掌握：三重积分的概念.（2）深刻理解：二重积分的可积函数类与性质，二重积分的变量变换公式与化三重积分为累次积分.（3）简单应用：用极坐标计算二重积分，会三重积分换元法.（4）综合应用：对积分进行极坐标变换并计算二重积分.计算三重积分及累次积分.第二十二章曲面积分（一）考核知识点1．第一型曲面积分和第二型曲面积分2．高斯公式与托克斯公式（二）考核要求1.第一型曲面积分和第二型曲面积分（1）熟练掌握：第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义及二者之间的关系.（2）深刻理解：第一型曲面积分和第二型曲面积分的物理背景.（3）应用：第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算.2.高斯公式与托克斯公式（1）熟练掌握：高斯公式和斯托克斯公式的物理意义.（2）深刻理解：高斯公式和斯托克斯公式及其证明过程.（3）应用：用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分.。
实数集与函数
第一章实数集与函数【教学目的】1.使学生掌握实数的概念，初步建立实数集确界的概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。
要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
【教学重点】确界、函数的概念及其有关性质。
【教学时数】6学时§1实数【教学目的】使学生掌握实数的基本性质．【教学重点】1.理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2.牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式。
【教学难点】实数集的概念及其应用．【教学方法】讲授与引导相结合（部分内容自学）【教学时数】0.5学时数学分析本学期的具体研究对象是中学里大家已接触过的一元函数，其定义域是实数集，因此对实数基本知识的了解是必须的，本节将回顾实数的一些基本知识。
一．实数与实数的性质1.实数的分类实数分为有理数（包括整数和分数）和无理数。
实数全体所成的集合称为实数集。
实数集记为R （正实数和负实数分别记为+R 和-R ），有理数集记为Q （正有理数集和负有理数集分别记为+Q 和-Q ），整数集记为Z ，自然数集记为N 。
2.实数的表示（1）有理数的表示：（仅给出正有理数的表示，负有理数只须在正有理数前面加负号“-”即可，零总表示为“0”）分数表示：任何正有理数总可唯一地表示成p q，其中p 和q 为互质的正整数；十进制表示：任何正有理数总可表示成十进制有限小数或无限循环小数。
对有限小数还可用无限循环小数表示，例如，012012..(1)999k k a a a a a a a a =- ，其中0a 是非负整数，12,,,k a a a 是在0,1,2,,9 这10个数字中取，0k a ≠。
一章节实数集与函数
• §1 实数 • §2 数集 确界原理 • §3 函数的概念 • §4 复合函数与反函数
§ 1.1 实数
一 .实数及其性质 二. 绝对值与不等式
1.1 实数
一 . 实数及其性质：
1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.
实 数
有 理 数 负 正 分 分 数 数 , ,q p(p,q为 整 数 且 q0)或 有 限 小 数 和 无 限 小 数 .
• supA 是B的下界, suApinBf.
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A , y B 有 xy.
证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且 suApinBf.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. yB, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
supA 是数集A的最小上界, 故有 supAy.
而此式又表明数 supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得 suApinBf.
例5 A 和 B为非空数集, SAB.
试证明: in S m f ii n A n ,ifn B .f
证 xS, 有 xA 或 xB,
U ( a ) { x a < x < a + } .
a
a
a+ x
点a的去心 邻的 域 , 记作 U0(a).
U ( a ) { x 0 < x a <} .
二 有界集·确界原理
• 1 有（无）界数集:定义(上、下有界, 有 界)
• 数集S有上界 M , x S 有 x M . • 数集S无上界 M , x0 S有 x0＞ M. • 数集S有下界 L , x S 有 x L . • 数集S无下界 L,x0 S有 x0＜L. • 数集S有界 M + , x S 有 x M . • 数集S无界 M+,x0S有 x0 ＞M.
数学分析第一章
第一章 实数集与函数§1 实数Ⅰ.教学目的与要求1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. Ⅱ.教学重点与难点重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式.难点: 实数的定义及其应用.Ⅲ.讲授内容一 实数及其性质实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成．有理数的表示:有理数可用分数形式q p(p ˛q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示.无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数．有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a1a 2n a K 时，其中0,9≤≤i a i=1,2,K n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a (K 1)̣.999 9,K而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…，例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系． 定义1 给定两个非负实数x= 0a .a a 1n a K ,K y=,.210K K n b b b b其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，,K 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y<x ．对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有y x -=-与y x ->-，则分别称x=y 与x<y(或y>x)．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．定义2 : x =a 0.a 1a 2n a K K 为非负实数．称有理=n x a 0.1a a 2n a K K 为实数x 的n 位不足近似，而有理数=n x nn x 101+称为x 的n 位过剩近似，n=0,1,2,K . 对于负实数ΛΛn a a a a a x 3210.-=,其n 位不足近似与过剩近似分别规定为n n n a a a a a x 101.3210--=Λ与=n x n a a a a a Λ3210.-. 注 不难看出，实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有x 0≤x 1≤x 2≤…，而过剩近似n x 当n 增大时不增，即有0x ≥1x ≥2x ≥…．命题 设x=a 0.a 1a2K 与y=b 0.b 1b 2…为两个实数，则x>y 的等价条件是：存在非负整数n ，使得 x n >n y ，其中x n 表示x 的n 位不足近似，n y 表示y 的n 位过剩近似．例1 设x 、y 为实数，x<y.证明：存在有理数r 满足x y r <<.证 由于x y <,故存在非负整数n,使得n n y x <，令 r=),(21n n y x + 则r 为有理数,且有 x ,y y r x n n ≤<<≤即得 x<r<y ．全体实数构成的集合记为R,即 R =}.|{为实数x x实数的主要性质：1.实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数．2．实数集是有序的，即任意两实数a 、b 必须满足下述三个关系之一：a <b, a =b ,a >b .3．实数的大小关系具有传递性，即若a >b ，b >c ，则有a >c ．4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a 、b ∈R ，若b >a >0，则存在正整数n ，使得n a >b ．5．实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数(见例1)，也有无理数．6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O 作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．因此在以后的叙述中，常把“实数a ”与“数轴上的点a ”看作具有相同的含义﹒例2 设a 、b ∈R ．证明：若对任何正数ε有a <b +ε，则a ≤b ．证 用反证法．倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有a >b ．令a =εb -，则ε为正数且ε+=b a ，但这与假设a <b ε+相矛盾．从而必有a ≤b ．二 绝对值与不等式实数a 的绝对值定义为⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值a 就是点a 到原点的距离．实数的绝对值有如下一些性质：1． a a -=≥0；当且仅当a =0时有a =0．2．a -≤a ≤a ．3．a h <h a h <<-⇔；()0>≤≤-⇔≤h h a h h a ﹒4．对于任何a 、b ∈R 有如下的三角形不等式：b a b a b a +≤±≤-.5．b a ab =．6．()0≠=b ba b a ． 下面只证明性质4，其余性质由学生自行证明．由性质2有.,b b b a a a ≤≤-≤≤-两式相加后得到 .)(b a b a b a +≤+≤+-根据性质3，上式等价于.b a b a +≤+ ()1将(1)式b 换成b -，(1)式右边不变，即得b a b a +≤-，这就证明了性质4不等式的右半部分．又由）式有据（1,b b a a +-=.b b a a +-≤从而得.b a b a -≤- ()2 将(2)式中b 换成b -，即得得性质4.b a b a +≤-证.Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用.3、4、5、6、7、8、9.Ⅴ课外作业:P４。
实数集与函数
6）实数集具有完备性（连续性），即任一实数都对应数轴上唯 一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于 是，实数集 R 与数轴上的点有着一一对应关系. 以后的叙述中，常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看 作具有相同的含义. 例1 设a、b∈R，证明：若对任何正数 有a＜b+ , 则a ≤b . 证：（反证法）. 若结论不成立，有实数集的有序性，必有
19
又 S A, S 的下界就是A 的下界,
inf S 是S 的下界, inf S 是A 的下界,
inf S inf A;
同理有 inf S inf B 于是有
inf S min inf A, inf B.
综上, 有
inf S min inf A, inf B.
界, B 有下确界.
由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意
yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界,
而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.
18
例9 (ii) A 和 B 为非空有界数集, S A B.
. 试证明: inf S min inf A , inf B
21
(i) 若 a R, 定义 S a { x a | x S }, 则
sup { S a } sup S a;
证 (i ) x a S a , 其中 x S , 必有 x sup S ,
于是
x a sup S a .
对于 0, x0 S , 使 x0 sup S , 从而 x0 a S a ,
证 先证 sup S=1.
1第一章 实数集与函数1
结论显然成立． 结论显然成立．
1 1 当 a+b < 且 a − b < 时， 2 2 1 1 1 − b = 1 − ( a + b) + ( a − b) 2 2
≥ 1− 1 1 1 1 1 a + b − a − b > 1− − = . 2 2 4 4 2
所以
综上可知平均不等式成立． 综上可知平均不等式成立．
退出
n +1 . 证明： 例3 证明：∀n > 2, n < n ! < 2
n
证：
又 故不等式成立. 故不等式成立 退出
1 证明： 例4 证明：∀a, b ∈ R, max { a + b , a − b , 1 − b } ≥ . 2
证： 当 a + b ≥
减
整数
除
有理数
极限
实数． 实数．
Hale Waihona Puke 自然数—— 一个一个地数，数出来的数称为自然数． 一个一个地数，数出来的数称为自然数． 自然数 自然数与其相反数构成的整体称为整数． 整数 —— 自然数与其相反数构成的整体称为整数． 有理数—— 能表为分数的数称为有理数．(可公度的数 能表为分数的数称为有理数． 可公度的数 可公度的数) 有理数 无理数—— 不可公度的数．(不能表为分数的数 不可公度的数． 不能表为分数的数 不能表为分数的数) 无理数 退出
此与题设矛盾， 此与题设矛盾，
∴
为无理数． 为无理数． 退出
2、基本性质 、 (1) 四则运算封闭 —— 实数参与四则运算，其结果仍 实数参与四则运算， 是实数． 是实数． (2) 有序性 —— 有且只有一个成立． 有且只有一个成立． (3) 阿基米德性 —— (4) 稠密性 —— (5) 连续性 —— 数轴上的点与点之间无间隙． 数轴上的点与点之间无间隙． (6) 数与形 —— 实数与数轴上的点构成一一对应． 退出 实数与数轴上的点构成一一对应．
第一章 实数集与函数
第一章 实数集与函数§1 实数1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证：（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a+x –a 是有理数。
这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是ax x a=是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax是无理数。
2. 试在数轴上表示出下列不等式的解:(1)2(1)0;x x -> (2)|1||3|;x x -<-≥解：（1）由原不等式有220,0,1010.x x x x ><⎧⎧⎨⎨->-<⎩⎩或 而前一个不等式组的解集是{}|1A x x =>，后一个不等式组的解集 {}|10B x x =-<<，故（1）的解集是.A B（2）由原不等式有113x x -<-，于是2113x +<-。
所以21113x -<+<-，即1013x<<-，则31,2x x -><故（2）的解集为(),2-∞。
（30≥≥，从而对不等式两端平方有12132x x x -+--≥-。
因此有0≤，所以0=， 由此得11,2x x ==或。
但检验知112x x ==和均不符合原不等式。
所以原不等式的解集为∅。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b证：由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而a=b 。
另证：（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。
这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而a=b 。
实数集与函数
定义2: 设 x a .a a
0
1 2
a n , 为非负实数，称有理数
x n a0 .a1a 2 a n 为实数x的n位不足近似，而有理数 1 xn xn n 10 称为实数x的n位过剩近似，n 1, 2 , .
对于负实数x a0 .a1a2 an ，其n位不足近似与n位过 剩近似分别规定为 1 xn a0 .a1a2 an n 与 xn a0 .a1a2 an . 10
a k bk， ( k 1, 2 , , l )而a l bl , 则称x大于y或y小于x，分别记为x y或y x;
对于负实数x , y，若按上述规定分别有 x y与 x y， 则分别称x y与x y（或y x）另外，自然规定任何 非负实数 大于任何负实数.
注: (1) 定义1 给出了两个非负实数相等与不等的 定义，请注意它的定义方式.
(2) 定义2 给出非负实数的 n 位不足近似与 n 位过
剩近似，蕴含了重要的数学思想—“逼近”，应引起
同学们的注意.
同时，非负实数的 n 位不足近似与 n 位过剩近似
都是有理数，且它们分别递增、递减.
如 2 1.4142， 则 1.4, 1.5, 1.41, 1.42, 1.414, 1.4142 , , 称 为 2的 不 足 近 似 ； 1.415, 1.4143 , , 称 为 2的 过 剩 近 似 .
y b0 .b1b2 bn 其中a0 , b0为非负整数a k , bk ( k 1, 2 , ) 为整数， 0 a k 9, 0 bk 9. 若有 a k bk，k 1, 2 , ， 则称x与y相等，记为 x y； 若a0 b0或存在非负整数l，使得
第一章实数集与函数
证明
由于 x y n ，故存在非负整数 ，使得 xn yn 。令
r
1 2
( xn
yn
),
则
r
为有理数，且有 x xn r yn y,
即有 x r y
说明：任意两实数间都有有理数。
实数的性质： 1 实数对四则运算的封闭性。 2 有序性 。
3 传递性。
4 具有阿基米德（ Archimedes ）性，即对任何 a, b R ，若 b a 0
p q
( p, q N ,
p 为既约真分数） q
0， 当x 0,1和(0,1)内的无理数
三 函数的四则运算、复合函数与反函数（自看）
四 初等函数 基本初等函数有以下六类： 常量函数 y c (c为常量）；
幂函数 y x (为实数）；
指数函数 y ax (a 0, a 1);
对数函数 y log a x (a 0, a 1); 三角函数 y sin x(正弦函数), y cosx(余弦函数),
(2)数集S的确界可能属于S , 也可能不属于S .
例3 设数集有上确界 .证明 supS S max S.
证 )设 supS S, 对一切x S有x ,而 S, 故是数集S中最大的数,即 max S. )设 max S,则 S;下验证 supS : (i)对一切x S,有x ,即是S的上界; (ii)对任何 ,只须取x0 S,则x0 .从而满足 supS的定义.
第一章 实数集与函数
第一节 实数
一 实数及其性质
实数
有理数： p
q
( p, q为整数，q 0 ）
也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示
无理数：无限十进不循环小数
目的：为了讨论需要，将有限小数（包括整数）也
第一章 实数集与函数PPT
k 1
令 n 10 p k 1 , 则 nb 10k 1 a.
1 例1 若 b 0, 则 n N + , 使得 b. n 即 证 令a 1, 由阿基米德性, n N+ , 使 nb 1，
其充要条件为 : M 0, 使 x S , 有 | x | M .
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S , 使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S , 使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S , 应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
七、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
a, a 0 |a| . a , a 0
2. 实数的绝对值性质:
( 1 ) | a | | a | 0; 当且仅当a 0 时 | a | 0.
a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1 . x , y R , 规定 x y x y .
x R + , y R , 规定 y 0 x .
实数的大小关系有以下性质:
(1) x y , x y , x y .
第一章 实数集与函数
主要内容
§1 实数 §2 数集· 确界原理 §3 函数的概念 §4 具有某些特性的函数
§1 实数
数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质.
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第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强,只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.4.讲解的重点: 概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别.五.要求、辅导及考试：1.学习方法:尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂: 3。
笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容. 大体上每周收一次作业,一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整.3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.4. 考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]中的典型例题. 考试题为标准化试题，理论证明题逐渐增多.第一章实数集与函数教学目的：1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。
要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。
教学时数：10学时§ 1 实数（2学时）教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）一．复习引新：：回顾中学中关于实数集的定义.1.实数集2.四则运算封闭性:3.三歧性( 即有序性 ):4.Rrchimedes性:5.稠密性:有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.6.实数集的几何表示───数轴:7.两实数相等的充要条件:8.区间和邻域:二. 讲授新课：（一）. 几个重要不等式:1. 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式.2. 其他不等式:⑴⑵均值不等式: 对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值) 有平均值不等式:时成立.等号当且仅当⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)有不等式且, 且时, 有严格不等式当证：由且⑷利用二项展开式得到的不等式: 对由二项展开式有上式右端任何一项.§ 2 数集 确界原理（4时）教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
教学要求：1. 掌握邻域的概念；2. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。
教学难点：确界的定义及其应用。
教学方法：讲授为主。
一、区间与邻域二、有界数集与确界原理:有界数集: 定义(上、下有界, 有界)，闭区间、为有限数）、邻域等都1.是有界数集，集合也是有界数集.无界数集: 定义, 等都是无界数集,集合也是无界数集.2.确界:给出直观和刻画两种定义.例1⑴则⑵则例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设和是非空数集，且有则有.例4 设和是非空数集. 若对和都有则有证是的上界, 是的下界,例5和为非空数集,试证明:证有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界,是的下界,又的下界就是的下界,于是有.综上,有.3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系: 设为数集.⑴的最值必属于, 但确界未必,确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若存在, 必有对下确界有类似的结论.三、确界原理:Th1.1 (确界原理)设S为非空数集。
若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
§ 3 函数概念( 2学时 )教学目的：使学生深刻理解函数概念。
教学要求：1. 深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；2. 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。
会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。
教学重点：函数的概念。
教学难点：初等函数复合关系的分析。
一、函数:1. 函数: [1]P10—11的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法:4. 反函数:一一对应,反函数存在定理.5. 函数的代数运算:二、分段函数:以函数和为例介绍概念.例1去掉绝对值符号.例2求例3设求(答案为8)三、函数的复合:例4求并求定义域.例5⑴⑵则A. B. C. D.[4]P407 E62.四、初等函数:1.基本初等函数:2.初等函数:初等函数的几个特例: 设函数和都是初等函数, 则3.⑴是初等函数, 因为⑵和都是初等函数,因为 ,.⑶幂指函数是初等函数,因为§4 具有某些特性的函数( 2学时 )教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。
《数学分析》教案 第一章 实数集与函数 xbl- - 11 - - 教学重点：函数的有界性、单调性。
教学难点：周期函数周期的计算、验证。
一、有界函数: 有界函数概念.例6 验证函数在内有界.解法一 由当时,有, 对总有即在内有界. 解法二 令关于的二次方程有实数根.解法三 令对应于是二、单调函数三、奇函数和偶函数四、周期函数。