2011年湖北省高职统考数学试卷及参考答案
2011年高考数学湖北卷(理科)-带答案
2011年高考数学湖北卷(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð（ ） (A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭(B) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ）(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ (B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭4.将两个顶点在抛物线22y px =()0p >上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）(A)0n = (B) 1n = (C) 2n = (D) 3n ≥ 5.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=（ ）(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6 6.已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1xxf xg x a aa a -+=-+>≠且，若()2g a =，则()2f =（ ） (A)2a (B) 2 (C) 154(D)1747.如图，用K 、12A A 、三类不同的原件连接成一个系统，当K 正常工作且12A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、12A A 、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.5768.已知向量()(),3,2,a x z b y z a b =+=-⊥，且，若x ，y 满足不等式1x y +≤，则z的取值范围为：(A) []3,3- (B)[]3,2- (C)[]2,2- (D) []2,3- 9.若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。
2011年湖北高考数学试题及答案(理科)
轴重合）所在的平面为 ， xOx 45 。
'
（Ⅰ）已知平面 内有一点 P (2 2, 2) ，则点 P 在平面 内的射影 P 的
'
'
2
坐标为
；
'
（Ⅱ）已知平面 内的曲线 C 的方程是 ( x 2) 2 y 2 0 ，则曲线 C 在平面 内的射
' 2 '2
28 145
13．
67 66
14． （2，2） ， ( x 1) y 1
2 2
15．21，43
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。 16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。 （满 分 10 分） 解： （Ⅰ） c a b 2ab cos C 1 4 4
3
（Ⅰ）当 0 x 200 时，求函数 v x 的表达式; （Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每 小时） f x x.v x 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）
18． （本小题满分 12 分） 如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C 1 的各棱长都是 4， E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1 上，且不与点 C 重合． （Ⅰ）当 CF =1 时，求证： EF ⊥ A1C ； （Ⅱ）设二面角 C AF E 的大小为 ，求 tan 的最小值．
1 i 1． i 为虚数单位，则 1 i
A．- i
2011
= C． i D．1
B．-1
2．已知 U y | y log 2 x, x 1 , P y | y
2011年湖北高考数学试题及答案(理科)
EDA技术与应用学校：滨江学院姓名：张兆飞学号：20102309061一 EDA简介EDA是电子设计自动化（Electronic Design Automation）的缩写，在20世纪90年代初从计算机辅助设计（CAD）、计算机辅助制造（CAM）、计算机辅助测试（CA T）和计算机辅助工程（CAE）的概念发展而来的。
EDA是指以计算机为工作平台，融合了应用电子技术、计算机技术、智能化技术的最新成果而开发出的电子CAD通用软件包，它根据硬件描述语言HDL完成的设计文件，自动完成逻辑编译、化简、分割、综合、优化、布局布线及仿真，直至完成对于特定目标芯片的适配编译、逻辑映射和编程下载等工作。
目前EDA 主要辅助进行三个方面的设计工作：IC设计、电子电路设计和PCB设计。
没有EDA技术的支持，想要完成超大规模集成电路的设计制造是不可想象的；反过来，生产制造技术的不断进步又必将对EDA技术提出新的要求二EDA的设计流程1、文本/原理图编辑与修改。
首先利用EDA工具的文本或图形编辑器将设计者的设计意图用文本（ABEL-HDL程序）或图形方式（原理图或状态图）表达出来。
2、编译。
完成设计描述后即可通过编译器进行排错编译，变成特定的文本格式，为下一步的综合做准备。
3、综合。
这是将软件设计与硬件的可实现性挂钩，是将软件转化为硬件电路的关键步骤。
综合后HDL综合器可生成ENIF、XNF或VHDL等格式的网表文件，他们从门级开始描述了最基本的门电路结构。
4、行为仿真和功能仿真。
利用产生的网表文件进行功能仿真，以便了解设计描述与设计意图的一致性。
（该步骤可以略去）5、适配。
利用FPGA/CPLD布局布线适配器将综合后的网表文件针对某一具体的目标器件进行逻辑映射操作，其中包括底层器件配置、逻辑分割、逻辑优化、布局布线。
该操作完成后，EDA软件将产生针对此项设计的适配报告和JED 下载文件等多项结果。
适配报告指明了芯片内资源的分配与利用、引脚锁定、设计的布尔方程描述情况。
2011年全国高考文科数学试题及答案-湖北
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题（文史类）本试题卷共4页，三大题21小题.全卷满分150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项： 1.、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑. 2.、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效. 3.、填空题和解答题的作答：用0.、5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.、已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5,U A B ===则()U AB ⋃=ð A.、 {}6,8 B.、{}5,7C.、{}4,6,7D.、{}1,3,5,6,82.、若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a +b 与a b -的夹角等于A.、4π-B.、6π C.、4πD.、34π 3.、若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x =A.、xxe e--B.、1()2x xe e -+ C.、1()2xx e e -- D.、1()2x xe e -- 4.、将两个顶点在抛物线22(0)y p x p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则 A.、0n = B.、1n = C.、2n = D .、3n ≥5.、有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为A.、18B.、36C.、54D.、726.、已知函数()i n c o s,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.、|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B.、|,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C.、5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D.、5|,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭7.、设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V ，下列说法中最合适的是 A.、V 比V 大约多一半 B.、V 比V 大约多两倍半C.、V 比V大约多一倍D.、V 比V大约多一倍半8.、直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A.、0个B.、1个C.、2个D.、无数个 9.、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A.、1升B.、6766升 C.、4744升 D.10.、若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,,a b a b ϕ-那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的A.、必要而不充分的条件B.、充分而不必要的条件C.、充要条件D.、既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家.12.、18x ⎛- ⎝的展开式中含15x 的项的系数为__________.（结果用数值表示）13.、在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________.（结果用最简分数表示） 14.、过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________.15.、里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.、（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知11,2,c o s 4a b C === （I ） 求ABC ∆的周长； （II ）求c o s ()A C -的值.17.、（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的b 、b 、b .（I ） 求数列{}n b 的通项公式； （II ） 数列{}n b 的前n 项和为nS ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.18.、（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为3，点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且A E =BF =、（I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小.19.、（本小题满分12分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （I ）当0200x ≤≤时，求函数v （x ）的表达式； （II ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x vx =⋅可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）.20.、（本小题满分13分）设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l . （I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x+=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围.21.、（本小题满分14分）平面内与两定点()1,0A a -、()2,0A a （0a >）连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线.（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的),0()0,1(+∞-∈ m ，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△1F N 2F 的面积2||S m a =.若存在，求tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. A卷：1—5ACDCB 6—10ADBBCB卷：1—5DCABC 6—10ADBBC二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分.11.、20 12.、17 13.、2814514.、1或17715.、6，10000三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.、本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）22212cos14444c a b ab C=+-=+-⨯= 2.c∴=ABC∴∆的周长为122 5.a b c++=++=（Ⅱ）1cos,sin4C C=∴===sin4sin2a CAc∴===,a c A C<∴<，故A为锐角，7cos.8A∴===7111cos()cos cos sin sin.848816A C A C A C∴-=+=⨯+=17.、本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d-+依题意，得15, 5.a d a a d a-+++==解得所以{}n b中的345,,b b b依次为7,10,18.d d-+依题意，有(7)(18)100,213d d d d-+===-解得或（舍去）故{}n b的第3项为5，公比为2.由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅ （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.18.、本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分） 解法1：（Ⅰ）由已知可得11CC CE C F ====2221(),EF AB AE BF EF C E =+-=== 于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+= 所以11,C E EF C E CE ⊥⊥又1,.EF CE E C E CEF ⋂=⊥所以平面由1,.CF CEF CF C E ⊂⊥平面故（Ⅱ）在CEF ∆中，由（Ⅰ）可得EF CF CE === 于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EF C E E ⋂=，所以CF ⊥平面C 1EF ， 又1C F ⊂平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F.于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角.由（Ⅰ）知1C EF ∆是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=︒，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒.解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),,0),(0,2,0),A B C C E F（Ⅰ）1(0,2,2),(3,1C E CF =--=-10220C E CF ⋅=+-=1.CF C E ∴⊥（Ⅱ）(0,CE =-，设平面CEF 的一个法向量为(,,)m x y z =由0,,,0,m CE m CE m CF m CF ⎧⋅=⎪⊥⊥⎨⋅=⎪⎩得即20,y m y ⎧-+=⎪=-+=可取设侧面BC 1的一个法向量为1,,,(3,1,0)n nB C n CC B ⊥⊥=-由及 )0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取设二面角E —CF —C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得||cos ||||2m n m n θ⋅===⋅，所以45θ=︒ 即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒.19.、本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（满分12分）解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设再由已知得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立.所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000.3综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.20.、本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分） 解：（Ⅰ）2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线，故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====由此得8820,2,1281, 5.a b a a a b b +++==-⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩解得所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+ 依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ， 故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根. 所以194(2)0,.4m m ∆=-->>-即又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立，特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m < 由韦达定理，可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故 对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x ∈≤-≥>有x-x则12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--≤+-=又 所以函数12()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0.于是当0m <时，对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立，综上，m 的取值范围是1(,0).4-20.、本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.（满分14分）解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -=故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=当1,m <-时曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线. （II ）由（I ）知，当m=-1时，C 1的方程为222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，C 2的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =当0,0,a m <≤≤<或0m <≤时， ① ②存在点N ，使S=|m|a 2；1,,2a >即-1<m<或m >不存在满足条件的点N ，当115,00,22m ⎡⎫⎛+∈⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦时， 由100200(1),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-，可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=-令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-可得，从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-， 于是由2||S m a =， 可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即 综上可得：当12m ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在C 1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==且当10,2m ⎛∈ ⎝⎦时，在C 1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且当15((,)m +-+∞时，在C 1上，不存在满足条件的点N.。
2011年高考数学湖北卷(理科)-带答案
2011年高考数学湖北卷(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð（ ） (A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B) 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ） (A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭4.将两个顶点在抛物线22y px =()0p >上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）(A)0n = (B) 1n = (C) 2n = (D) 3n ≥ 5.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=（ ）(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6 6.已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若()2g a =，则()2f =（ ） (A)2a (B) 2 (C)154 (D) 1747.如图，用K 、12A A 、三类不同的原件连接成一个系统，当K 正常工作且12A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、12A A 、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.5768.已知向量()(),3,2,a x z b y z a b =+=-⊥，且，若x ，y 满足不等式1x y +≤，则z的取值范围为：(A) []3,3- (B)[]3,2- (C)[]2,2- (D) []2,3- 9.若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。
2011湖北高考数学试题及答案(理科)
试卷类型：A2010年普通咼等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上。
并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。
在用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试 题卷、草稿纸上无效。
3. 填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答 题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
A.- iB.-1C. iD.12.已知 U = ： y | y = log 2 x, x 1,P= y|y= —, x 2 ,则C U P = L x J3.已知函数f （x ）z ；3s in r-cosf,x ・R ，若f （x ）_1，则x 的取值范围为{ Tl l JI lA. x|k 二 _x _k 「？,k ZB. x 12 k 二 _ x _ 2k 二：k ZI3J I 3Ji5 ii5 iC. {x|kx_k ,k = Z} D. {x|2k x_2k ,k ^ Z}6 6 6 61. i 为虚数单位，贝U(-二 A.［丄，：：） B.2 C. 0, ：：D.1 ,0][^^::)11-14.将两个顶点在抛物线y2=2px(p . 0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则A. n=0B. n=1C. n=2D. n _3试卷类型：A5 •已知随机变量■服从正态分布N 2, a2，且P( <4)= 0.8，则P( 0 V < 2)=A .0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.26. 已知定义在R上的奇函数fx和偶函数g x满足f xg x =a2 - a22( a >0,且a = 0).若g 2 = a，则f 2 =A. 2B. 15C. 17D. a24 47. 如图，用K、A“ A2三类不同的元件连接成一个系统。
2011湖北高考数学试卷及答案[文]
![2011湖北高考数学试卷及答案[文]](https://img.taocdn.com/s3/m/75e6d562783e0912a2162ad0.png)
2011年普通高考学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5,U A B ===则()U A B ⋃=ð A. ()()1,2,1,1a b ==-{}6,8 B.{}5,7 C.{}4,6,7 D.{}1,3,5,6,82. 若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a b =与a b -的夹角等于 A. 4π-B.6πC. 4πD.34π 3. 若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x = A. ()2121212(1,0)0,t a n C m C F F F N F S m a ∈-⋃+∞∆=xx e e -- B.1()2x xe e -+ C.1()2x x e e -- D.1()2x x e e -- 4. 将两个顶点在抛物线22(0)y p x p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A. 0n =B. 1n =C.2n =D.3n ≥ 5. 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为 A.18 B.36 C.54 D.726. 已知函数()3s i n c o s,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B.|,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C.5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭D.5|,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭7.设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V，下列说法中最合适的是A. V 比V 大约多一半B. V 比V 大约多两倍半C. V 比V 大约多一倍D. V 比V大约多一杯半8. 直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A.0个B.1个C.2个D.无数个9. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为 A.1升B.6766升C.4744升D.3733升 10.若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记22(,),a b a b a b ϕ=+-- 那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的A.必要不充分条件B.充分不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数 学(理工农医类解析)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类解析)本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,Y【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ 【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则 A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为 A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补 A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002tM t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60MA . 5太贝克B . 2ln 75太贝克C . 2ln 150太贝克D . 150太贝克【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D . 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 .【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos //⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a cn=1n=2 n=3 n=4∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()bax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。
2011年高考试卷文科数学(湖北卷)试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题（文史类）本试题卷共4页，三大题21小题.全卷满分150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回.一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已经}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，}7,5,3,1{=A ，}5,4,2{=B ，则C U )(B A =A ．}8,6{B ．}7,5{C ．}7,6,4{D ．}8,6,5,3,1{ 2．若向量(1,2)=a ，(1,1)=-b ，则2+a b 与-a b 的夹角等于A ．4π-B ．6π C ．4π D ．43π3．若定义在R 上的偶函数)(x f 和奇函数)(x g 满足x e x g x f =+)()(，则)(x g =A ．x x e e --B ．)(21x x e e -+C ．)(21x x e e --D ．)(21x x e e --4．将两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．0=nB ．1=nC ．2=nD ．3≥n5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)12,10[内的频数为 A ．18 B ．36 C ．54样本数据D ．726．已知函数x x x f cos sin 3)(-=，R ∈x ．若1)(≥x f ，则x 的取值范围为A ．},232|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ B ．},3|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππC ．},65262|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ D ．},656|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ7. 7．设球的体积为1V ，它的内接正方体的体积为2V ．下列说法中最合适的是 A ．1V 比2V 大约多一半 B ．1V 比2V 大约多两倍半 C ．1V 比2V 大约多一倍 D ．1V 比2V 大约多一倍半8．直线0102=-+y x 与不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-≥≥2034,2,0,0y x y x y x 表示的平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337升 10．若实数a ，b 满足0≥a ，0≥b ，且0=ab ，则称a 与b 互补．记b a b a b a --+=22),(ϕ，那么0),(=b a ϕ是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家． 12．18)31(xx -的展开式中含15x 的项的系数为 ．（结果用数值表示） 13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保持期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 ．（结果用最简分数表示）14．过点)2,1(--的直线l 被圆012222=+--+y x y x 截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ．15．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，地震仪记录的最大振幅是1000，AE1C C1B B1A F 此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍．三.解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 16．（本小题满分12分） 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ． 已知1=a ，2=b ，41cos =C ． （Ⅰ）求△ABC 的周长；（Ⅱ）求)cos(C A -的值．17.（本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列}{n b 的3b 、4b 、5b ．（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）数列}{n b 的前n 项和为n S ，求证：数列}45{+n S 是等比数列．18. （本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为23，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22=AE ，2=BF ． （Ⅰ）求证E C CF 1⊥；（Ⅱ）求二面角1C CF E --的大小．19.（本小题满分12分） 19．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．的一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数)(x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）)()(x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）20. （本小题满分13分）设函数a bx ax x x f +++=232)(，23)(2+-=x x x g ，其中R ∈x ，a 、b 为常数．已知曲线)(x f y =与)(x g y =在点)0,2(处有相同的切线l ． （Ⅰ）求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（Ⅱ）若方程mx x g x f =+)()(有三个互不相同的实根0、1x 、2x ，其中21x x <，且对任意的],[21x x x ∈，)1()()(-<+x m x g x f 恒成立，求实数m 的取值范围．21. （本小题满分14分）平面内与两定点)0,(1a A -、)0()0,(2>a a A 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线． （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1-=m 时，对应的曲线为1C ；对给定的),0()0,1(∞+-∈ m ，对应的曲线为2C ．设1F 、2F 是2C 的两个焦点．试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△21NF F 的面积2||a m S =．若存在，求21tan NF F 的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1—5ACDCB 6—10ADBBC二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分.11．20 12．17 13．2814514．1或17715．6，10000三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）22212cos14444c a b ab C=+-=+-⨯=2.c∴=ABC∴∆的周长为122 5.a b c++=++=（Ⅱ）1cos,sin44C C=∴===sin4sin2a CAc∴===,a c A C<∴<，故A为锐角，7cos.8A∴===7111cos()cos cos sin sin.848816A C A C A C∴-=+=⨯+⨯=17．本小题主要考查等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时考查基本运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d-+依题意，得15, 5.a d a a d a-+++==解得所以{}nb中的345,,b b b依次为7,10,18.d d-+依题意，有(7)(18)100,213d d d d-+===-解得或（舍去）故{}nb的第3项为5，公比为2.由22311152,52,.4b b b b=⋅=⋅=即解得所以{}nb是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n nnb--=⋅=⋅（Ⅱ）数列{}nb的前n项和25(12)5452124nnnS--==⋅--，即22545-⋅=+nnS所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分）解法1：（Ⅰ）由已知可得11CC CE C F ====2221(),EF AB AE BF EF C E =+-=== 于是有2222221111,EF C E C F CE C E CC +=+= 所以11,C E EF C E CE ⊥⊥又1,.EF CE E C E CEF ⋂=⊥所以平面由1,.CF CEF CF C E ⊂⊥平面故（Ⅱ）在CEF ∆中，由（Ⅰ）可得EF CF CE === 于是有EF 2+CF 2=CE 2，所以.CF EF ⊥又由（Ⅰ）知CF ⊥C 1E ，且1EF C E E ⋂=，所以CF ⊥平面C 1EF ， 又1C F ⊂平面C 1EF ，故CF ⊥C 1F.于是1EFC ∠即为二面角E —CF —C 1的平面角.由（Ⅰ）知1C EF ∆是等腰直角三角形，所以145BFC ∠=︒，即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒.解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,2,0),A B C C E F（Ⅰ）1(0,2,C E CF =-=-10220C E CF ⋅=+-=1.CF C E ∴⊥（Ⅱ）(0,2,CE =-，设平面CEF 的一个法向量为(,,)m x y z =由0,,,0,m CE m CE m CF m CF ⎧⋅=⎪⊥⊥⎨⋅=⎪⎩得即20,0y m y ⎧-+=⎪=-+=可取设侧面BC 1的一个法向量为1,,,1,0)n n BC n CC CB ⊥⊥=-由及 )0,3,1(),23,0,0(1==n CC 可取 设二面角E —CF —C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得||cos ||||m n m n θ⋅===⋅，所以45θ=︒即所求二面角E —CF —C 1的大小为45︒.19．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（满分12分） 解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x a x b ≤≤=+时设再由已知得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立.所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000.3综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分） 解：（Ⅰ）2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线， 故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====由此得8820,2,1281, 5.a b a a a b b +++==-⎧⎧⎨⎨++==⎩⎩解得所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+ 依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ， 故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根.所以194(2)0,.4m m ∆=-->>-即又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立，特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m < 由韦达定理，可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x ∈≤-≥>有x-x则12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--≤+-=又 所以函数12()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0.于是当0m <时，对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立，综上，m 的取值范围是1(,0).4-20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.（满分14分） 解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ， 当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a⋅=⋅==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=当1,m <-时曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线. （II ）由（I ）知，当1m =-时，C 1的方程为222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞ 时，C 2的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =当0,0,a m <≤≤<或0m <≤时， 存在点N ，使S=|m|a 2；,a >即或m >不存在满足条件的点N ，① ②当m ⎫⎛∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦ 时，由100200(),(,)NF x y NF x y =--=-，可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=- 令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=- 可得，从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-，于是由2||S m a =，可得2212||tan ||,tan .2m ma m a m θθ-==-即综上可得：当m ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，在C 1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==且当m ⎛∈ ⎝⎦时，在C 1上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF ==-且当11(1,)()22m -+∈-+∞ 时，在C 1上，不存在满足条件的点N.。
2011年高考湖北卷文科数学试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖北卷）本试题卷三大题21小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已经}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，}7,5,3,1{=A ，}5,4,2{=B ，则C U )(B A =A ．}8,6{B ．}7,5{C ．}7,6,4{D ．}8,6,5,3,1{ 【详细解析】 先求出A B ={1,2,3,4,5,7}，再求 C U ()A B 【考点定位】 考查集合的并集，补集的运算,属于简单题. 2．若向量)2,1(=a ，)1,1(-=b ，则b a +2与b a -的夹角等于A ．4π-B ．6π C ．4π D ．43π【详细解析】 分别求出2+a b 与-a b 的坐标，再求出a ，b ，带入公式求夹角。
【考点定位】 考查向量的夹角公式cos θ=a ba b⋅⋅,属于简单题. 3．若定义在R 上的偶函数)(x f 和奇函数)(x g 满足x e x g x f =+)()(，则)(x g =A ．x x e e --B ．)(21x x e e -+C ．)(21x x e e --D ．)(21x x e e --【详细解析】11()()22xx x x x e e e e e --=++-则()f x =1()2x x e e -+，()f x =1()2x x e e --【考点定位】 考查任何函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。
f(x)=()()()()22f x f x f x f x +---+，其中偶函数G(x) =()()2f x f x +-，奇函数H(x)= ()()2f x f x --.属于中档题.4．将两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．0=nB ．1=nC ．2=nD ．3≥n 【详细解析】顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，n=2，所以选C.【考点定位】 本题主要考查了抛物线的简单性质.主要是利用抛物线和正三角形的对称性.属于简单题.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)12,10[内的频数为 A ．18 B ．36 C ．54 D ．72【详细解析】 因为组距为2，所以[10,12)的频率为0.18，所以频数为200×0.18=36【考点定位】 本题主要考查频率分布直方图，知道其横坐标、纵坐标的含义，以及图像与横轴所围面积的和为“1”,属于简单题.6．已知函数x x x f cos sin 3)(-=，R ∈x ．若1)(≥x f ，则x 的取值范围为A ．},232|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ B ．},3|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππC ．},65262|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ D ．},656|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ 【详细解析】cos 1x x -≥得1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，则 522666k x k πππππ+≤-≤+，解得223k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以选A .【考点定位】 本题考查三角函数的公式运用sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β,属于简单题.7．设球的体积为1V ，它的内接正方体的体积为2V ．下列说法中最合适的是A ．1V 比2V 大约多一半B ．1V 比2V 大约多两倍半C ．1V 比2V 大约多一倍D ．1V 比2V 大约多一倍半 【详细解析】依题意31243V R V π=球球≈2.6 样本数据【考点定位】 本题考查空间立体几何的空间想象力，知道球的内接正方体的对角线长与球半径的关系，并会用球的体积公式和正方体体积公式.属于中档题. 8．直线0102=-+y x 与不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-≥≥2034,2,0,0y x y x y x 表示的平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【详细解析】 如图直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域只有一个公共点【考点定位】 本题考查不等式组表示的平 面区域，考查数形结合的数学方法. 属于简单题.9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337升 【详细解析】 由题意1434a +d=32⨯ 1198659a +d 6a +d =422⨯⨯⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得113a =22，d=766，所以易求a 5=6766 【考点定位】 本题数列的通项公式和前n 项和公式，解题时要注意公式的灵活运用.属于简单题.10．若实数a ，b 满足0≥a ，0≥b ，且0=ab ，则称a 与b 互补．记b a b a b a --+=22),(ϕ，那么0),(=b a ϕ是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【详细解析】 若ϕ(a,b)= a b =-=（a+b ）两边平方解得ab=0，故a ，b 至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|-b=0，故b ≥0，即a 与b 互补，而当a 与b 互补时，易得ab=0，a b -=0，即ϕ(a,b)=0，故ϕ(a,b)=0是a 与b 互补的充要条件.【考点定位】 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断φ（a ，b ）=0⇒a 与b 互补与a 与b 互补⇒φ（a ，b ）=0的真假，是解答本题的关键．属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家． 【答案】 20【详细解析】 大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家. 共有超市200+400+1400=2000按分层抽样方法抽取一个容量为100样本，每个个体被抽到的概率是1001200020=，中型超市要抽取400×120=20家. 【考点定位】 本题考察分层抽样，这是每年必考的题目，解题的关键是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.属于简单题. 12．18)31(xx -的展开式中含15x 的项的系数为 ．（结果用数值表示） 【答案】 17【详细解析】 二项展开式的通项为Tr+1=32181813rrr C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，令18- 32r =15得r=2，所以展开式中含x 15的项的系数为221813C ⎛⎫- ⎪⎝⎭=17【考点定位】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.属于简单题.13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保持期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 ．（结果用最简分数表示） 【答案】28145【详细解析】2272301C p C =-=28145.【考点定位】考查独立事件的概率，属于简单题.14．过点)2,1(--的直线l 被圆012222=+--+y x y x 截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ． 【答案】1或177【详细解析】 设直线斜率是k ，由题意得圆心到直线的距离为2，由点到直线的距离公式可计算得k=1或177【考点定位】考查解析几何中直线与圆的位置关系，会运用点到直线的位置关系公式.属于中档题.15．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，地震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6或10000【详细解析】 根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.01，则M=lgA-lgA 0=lg1000-lg0.001=3-（-3）=6. 设9级地震的最大振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9=lgx+3,5=lgy+3，解得x=106，y=102，所以62101000010x y ==【考点定位】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用,属于中档题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知1=a ，2=b ，41cos =C ． （Ⅰ）求△ABC 的周长；（Ⅱ）求)cos(C A -的值．【详细解析】（Ⅰ）22212cos 1444,4c a b ab C =+-=+-⨯= 2,c ∴=∴△ABC 的周长为1225a b c ++=++=．（Ⅱ）1cos ,sin 44C C =∴=== ．sin 4sin 2a C A c ∴===． ,a c A C <∴< ，故A 为锐角，7cos 8A ∴===．7111cos()cos cos sin sin 8416A C A C A C ∴-=+=⨯+=．【考点定位】考查三角形与三角函数的运用及运算能力，属于简单题。
2011年高考湖北卷文科数学试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖北卷）本试题卷三大题21小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已经}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，}7,5,3,1{=A ，}5,4,2{=B ，则C U )(B A =A ．}8,6{B ．}7,5{C ．}7,6,4{D ．}8,6,5,3,1{ 【详细解析】 先求出A B ={1,2,3,4,5,7}，再求 C U ()A B 【考点定位】 考查集合的并集，补集的运算,属于简单题. 2．若向量)2,1(=a ，)1,1(-=b ，则b a +2与b a -的夹角等于A ．4π-B ．6π C ．4πD ．43π【详细解析】 分别求出2+a b 与-a b 的坐标，再求出a ，b ，带入公式求夹角。
【考点定位】 考查向量的夹角公式cos θ=a b a b⋅⋅,属于简单题.3．若定义在R 上的偶函数)(x f 和奇函数)(x g 满足x e x g x f =+)()(，则)(x g =A ．x x e e --B ．)(21x x e e -+ C ．)(21x x e e -- D ．)(21x x e e --【详细解析】11()()22xx xx xe e ee e--=++-则()f x =1()2x xe e-+，()f x =1()2xxee --【考点定位】 考查任何函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。
f(x)=()()()()22f x f x f x f x +---+，其中偶函数G(x) =()()2f x f x +-，奇函数H(x)=()()2f x f x --.属于中档题.4．将两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．0=nB ．1=nC ．2=nD ．3≥n 【详细解析】顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，n=2，所以选C.【考点定位】 本题主要考查了抛物线的简单性质.主要是利用抛物线和正三角形的对称性.属于简单题.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)12,10[内的频数为 A ．18 B ．36 C ．54 D ．72【详细解析】 因为组距为2，所以[10,12)的频率为0.18，所以频数为200×0.18=36【考点定位】 本题主要考查频率分布直方图，知道其横坐标、纵坐标的含义，以及图像与横轴所围面积的和为“1”,属于简单题.6．已知函数x x x f cos sin 3)(-=，R ∈x ．若1)(≥x f ，则x 的取值范围为A ．},232|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ B ．},3|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ C ．},65262|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ D ．},656|{Z ∈+≤≤+k k x k x ππππ【详细解析】cos 1x x -≥得1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，则 522666k x k πππππ+≤-≤+，解得223k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以选A .【考点定位】 本题考查三角函数的公式运用sin （α-β）=sin αcos β-cos αsin β,属于简单题.7．设球的体积为1V ，它的内接正方体的体积为2V ．下列说法中最合适的是A ．1V 比2V 大约多一半B ．1V 比2V 大约多两倍半C ．1V 比2V 大约多一倍D ．1V 比2V 大约多一倍半【详细解析】依题意31324=382V R V R ππ=⋅球球≈2.62 4 6 样本数据【考点定位】 本题考查空间立体几何的空间想象力，知道球的内接正方体的对角线长与球半径的关系，并会用球的体积公式和正方体体积公式.属于中档题.8．直线0102=-+y x 与不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥-≥≥2034,2,0,0y x y x y x 表示的平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【详细解析】 如图直线2x+y-10=0与不等式组表示的平面区域只有一个公共点【考点定位】 本题考查不等式组表示的平 面区域，考查数形结合的数学方法. 属于简单题.9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337升【详细解析】由题意 1434a +d=32⨯1198659a +d 6a +d =422⨯⨯⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得113a =22，d=766，所以易求a 5=6766【考点定位】 本题数列的通项公式和前n 项和公式，解题时要注意公式的灵活运用.属于简单题.10．若实数a ，b 满足0≥a ，0≥b ，且0=ab ，则称a 与b 互补．记b a b a b a --+=22),(ϕ，那么0),(=b a ϕ是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【详细解析】 若ϕ(a,b)= a b =--（a+b ）两边平方解得ab=0，故a ，b 至少有一为0，不妨令a=0则可得|b|-b=0，故b ≥0，即a 与b 互补，而当a 与b 互补时，易得ab=0，a b -=0，即ϕ(a,b)=0，故ϕ(a,b)=0是a 与b 互补的充要条件.【考点定位】 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的，其中判断φ（a ，b ）=0⇒a 与b 互补与a 与b 互补⇒φ（a ，b ）=0的真假，是解答本题的关键．属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家． 【答案】 20【详细解析】 大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家. 共有超市200+400+1400=2000按分层抽样方法抽取一个容量为100样本，每个个体被抽到的概率是1001200020=，中型超市要抽取400×120=20家.【考点定位】 本题考察分层抽样，这是每年必考的题目，解题的关键是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.属于简单题. 12．18)31(xx -的展开式中含15x 的项的系数为 ．（结果用数值表示）【答案】 17【详细解析】 二项展开式的通项为Tr+1=32181813r rrC x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，令18- 32r =15得r=2，所以展开式中含x 15的项的系数为221813C ⎛⎫- ⎪⎝⎭=17【考点定位】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.属于简单题.13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保持期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 ．（结果用最简分数表示） 【答案】28145【详细解析】2272301C p C=-=28145.【考点定位】考查独立事件的概率，属于简单题.14．过点)2,1(--的直线l 被圆012222=+--+y x y x 截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ． 【答案】1或177【详细解析】 设直线斜率是k 2，由点到直线的距离公式可计算得k=1或177【考点定位】考查解析几何中直线与圆的位置关系，会运用点到直线的位置关系公式.属于中档题.15．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg A A M -=，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，地震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍． 【答案】6或10000【详细解析】 根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.01，则M=lgA-lgA 0=lg1000-lg0.001=3-（-3）=6. 设9级地震的最大振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9=lgx+3,5=lgy+3，解得x=106，y=102，所以62101000010x y==【考点定位】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用,属于中档题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知1=a ，2=b ，41cos =C ．（Ⅰ）求△ABC 的周长；（Ⅱ）求)cos(C A -的值．【详细解析】（Ⅰ）22212cos 1444,4c a b ab C =+-=+-⨯=2,c ∴=∴△ABC的周长为1225a b c ++=++=．（Ⅱ）1cos ,sin 44C C =∴===．sin 4sin 28a C A c∴===．,a c A C <∴< ，故A 为锐角，7cos 8A ∴===．7111cos()cos cos sin sin 848416A C A C A C ∴-=+=⨯+⨯=．【考点定位】考查三角形与三角函数的运用及运算能力，属于简单题。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖北理
2011年湖北理一、选择题（共10小题；共50分）1. i为虚数单位，则1+i1−i 2011= A. −iB. −1C. iD. 12. 已知U=y y=log2x,x>1，P= y y=1x,x>2，则∁U P = A. 12,+∞ B. 0,12C. 0,+∞D. −∞,0∪12,+∞3. 已知函数f x=3sin x−cos x,x∈R．若f x≥1，则x的取值范围为 A. x kπ+π3≤x≤kπ+π,k∈ZB. x2kπ+π3≤x≤2kπ+π,k∈ZC. x kπ+π6≤x≤kπ+5π6,k∈ZD. x2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z4. 将两个顶点在抛物线y2=2px p>0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A. n=0B. n=1C. n=2D. n≥35. 已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，且Pξ<4=0.8，则P0<ξ<2= A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.26. 已知定义在R上的奇函数f x和偶函数g x满足f x+g x=a x−a−x+2 a>0,且a≠1．若g2=a，则f2= A. 2B. 154C. 174D. a27. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.5768. 已知向量a=x+z,3，b=2,y−z，且a⊥b．若x，y满足不等式x+y ≤1，则z的取值范围为 A. −2,2B. −2,3C. −3,2D. −3,39. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补．记φa,b= a2+b2−a−b，那么φa,b=0是a与b互补的 A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：M t =M 02−t 30，其中M 0为t =0时铯137的含量．已知t =30时，铯137含量的变化率是−10ln2（太贝克/年），则M 60 = A. 5太贝克B. 75ln2太贝克C. 150ln2太贝克D. 150太贝克二、填空题（共5小题；共25分） 11. x 3 x 18的展开式中含x 15的项的系数为 （结果用数值表示）．12. 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 （结果用最简分数表示）．13. 《九章算术》"竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．14. 如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系xʹOyʹ（其中yʹ轴与y 轴重合）所在的平面为β，∠xOxʹ=45∘． （1）已知平面β内有一点Pʹ 2 2,2 ，则点Pʹ在平面α内的射影P 的坐标为 ．（2）已知平面β内的曲线Cʹ的方程是 xʹ− 2 2+2yʹ2−2=0，则曲线Cʹ在平面α内的射影C 的方程是 ．15. 给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：由此推断，当n =6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种（结果用数值表示）．三、解答题（共6小题；共78分）．16. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cos C=14（1）求△ABC的周长；（2）求cos A−C的值．17. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米 / 小时）是车流密度x（单位：辆 / 千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆 / 千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/ 千米时，车流速度为60千米/ 小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v x的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 / 小时）f x=x⋅v x可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆 / 小时）18. 如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（1）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（2）设二面角C−AF−E的大小为θ，求tanθ的最小值．19. 已知数列a n的前n项和为S n，且满足a1=a a≠0，a n+1=rS n n∈N∗,r∈R,r≠−1．（1）求数列a n的通项公式；（2）若存在k∈N∗，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N∗，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．20. 平面内与两定点A1−a,0，A2a,0a>0连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（2）当m=−1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈−1,0∪0,+∞，对应的曲线为C2．设F1，F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=m a2?若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由．21. （1）已知函数f x=ln x−x+1，x∈0,+∞，求函数f x的最大值；（2）设a k,b k k=1,2,⋯,n均为正数，证明：（i）若a1b1+a2b2+⋯+a n b n≤b1+b2+⋯+b n，则a1b1a2b2⋯a n b n≤1；≤b1b1b2b2⋯b n b n≤b12+b22+⋯+b n2．（ii）若b1+b2+⋯+b n=1，则1n答案第一部分1. A 【解析】因为1+i1−i =1+i21−i2=i，所以1+i1−i2011=i2011=i4×502+3=i3=−i.2. A 【解析】因为U=y y>0，P= y0<y<12，所以∁U P=12,+∞ ．3. B 【解析】因为f x=2sin x−π6≥1，所以sin x−π6≥12，可得2kπ+π6≤x−π6≤2kπ+5π6,故2kπ+π3≤x≤2kπ+π,k∈Z．4. C 【解析】如图所示，根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，过焦点作两条直线倾斜角分别为30∘和150∘，它们和抛物线的交点与抛物线焦点可形成两个正三角形．5. C【解析】因为Pξ≤0=Pξ≥4=1−Pξ<4=0.2，所以P0<ξ<2=0.5−Pξ≤0=0.3.6. B 【解析】由题意得，f−x+g−x=a−x−a x+2，即g x−f x=a−x−a x+2，可得f x=a x−a−x，g x=2，所以g2=a=2，f2=154．7. B 【解析】系统正常工作的概率为0.9×1−0.2×0.2=0.864 .8. D 【解析】因为a⊥b，所以2x+z+3y−z=0，即z=2x+3y，画出约束条件x+y ≤1所表示的平面区域，如下图所示：由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，当x=0，y=−1时，z取最小值−3，故z的取值范围为−3,3．9. C 【解析】充分性：若φ a ,b =0，则 a 2+b 2=a +b ，平方得ab =0．当a =0时， b 2=b ，所以b ≥0；当b =0时，a ≥0，故a 与b 互补； 必要性：若a 与b 互补，易得φ a ,b =0． 10. D【解析】Mʹ t =M 02−t⋅ −130 ln2，因为t =30时，铯137含量的变化率是−10ln2，所以Mʹ 30 =M 02−1⋅ −130 ln2=−10ln2，解得M 0=600，故M 60 =150．第二部分 11. 17【解析】展开式的通项T r +1=C 18r x18−r 3x r=C 18r⋅ −13 rx18−3r ，得18−3r 2=15，所以r =2，故展开式中含x 15的项的系数为C 182⋅ −13 2=17．12. 28145【解析】取到的2瓶饮料都没过保质期的概率是P =C 272C 302=117145，则至少取到1瓶已过保质期的概率是1−117145=28145． 13. 6766【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，可得4a 1+6d =3，3a 1+21d =4，所以a 1=1322，d =766，第5节的容积为1322+4×766=6766． 14. 2,2 ， x −1 2+y 2=1【解析】（1）观察图形知P 的坐标为 2,2 ；（2）设Mʹ xʹ,yʹ 是曲线Cʹ上任意一点，Mʹ在平面α内的射影为M x ,y ，观察图形可知xʹ= ，yʹ=y ，代入方程可得曲线Cʹ在平面α内的射影C 的方程为 x −1 2+y 2=1． 15. 21，43【解析】设给n 个正方形按要求着色共有a n 种不同的着色方案，则a 1=2，a 2=3，a 3=5，a 4=8． 有a n =a n−1+a n−2,n ≥3．原因如下：对于n 个按要求着色的正方形，满足要求的a n 种着色方案分成两部分，一部分最下面是白色正方形，与n −1个正方形的着色方案一一对应，共有a n−1个；（即在n −1个正方形最下面加上一个白色正方形）；另一部分最下面是黑色正方形，这时倒数第二块一定是白色正方形，与n −2个正方形的着色方案一一对应，共a n−2个；（即在n −2个正方形下面加上一白一黑两个正方形）． 于是a 5=13，a 6=21．没有任何要求的六块正方形所有的着色方案有26=64种，所以至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64−21=43种． 第三部分16. （1）根据余弦定理c2=a2+b2−2ab cos C=1+4−4×1=4,解得c=2.所以△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.（2）由cos C=14，再结合C为三角形内角，所以sin C=1−cos2C=1−1 42=15 4,又根据正弦定理sin A=a sin C=15 4 2=15.因为a<c，可知A<C,故A为锐角，故cos A=1−sin2A=1−15=7 ,综上可得cos A−C=cos A cos C+sin A sin C=7×1+15×15=11 16.17. （1）由题意，当0≤x≤20时，v x=60；当20≤x≤200时，设v x=ax+b，再由已知得200a+b=0,20a+b=60,解得a=−1 ,b=200.故函数v x的表达式为v x=60,0≤x<20, 13200−x,20≤x≤200.（2）依题意并由（1）可得f x=60x,0≤x<20, 13x200−x,20≤x≤200,当0≤x≤20时，f x为增函数，则当x=20时，其最大值为60×20=1200;当20≤x≤200时，f x=1x200−x≤1x+200−x2=10000,当且仅当x=200−x，即x=100时，f x在区间20,200上取得最大值100003．综上，当x=100时，f x在区间0,200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆 / 千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆 / 小时．18. （1）过E作EN⊥AC于N，连接EF．解法一：如图，连接NF，AC1，由正三棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，又底面ABC∩侧面A1C=AC，且EN⊂底面ABC，所以EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影．在Rt△CNE中，CN=CE cos60∘=1．则由CFCC1=CNCA=14，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C．由三垂线定理知EF⊥A1C．解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A0,0,0，B 22,0，C0,4,0，A10,0,4，E 3,3,0，F0,4,1，于是CA1=0,−4,4，EF= −3,1,1．则CA1⋅EF=0,−4,4⋅ − 3,1,1=0−4+4=0,故EF⊥A1C．（2）解法一：如图，连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME．由（1）知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C−AF−E的平面角，即∠EMN=θ．设∠FAC=α，则0∘<α≤45∘．在Rt△CNE中，NE=EC⋅sin60∘=3，在Rt△AMN中，MN=AN⋅sinα=3sinα，故tanθ=NEMN =33sinα．又0∘<α≤45∘，∴0<sinα≤22．故当sinα=22，即α=45∘时，tanθ达到最小值，tanθ=33×2=63，此时F与C1重合．解法二：设CF=λ0<λ≤4，平面AEF的一个法向量为m=x,y,z，则由（1）得F0,4,λ，AE=3,3,0，AF=0,4,λ，于是由m⊥AE，m⊥AF，可得m·AE=0,m·AF=0,即3x+3y=0,4y+λz=0,取m=3λ,−λ,4．又由正三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n=1,0,0，于是由θ为锐角可得cosθ=m⋅n=32 λ2+4sinθ= λ2+16 2 λ2+4所以tanθ= λ2+163λ=1+162.由0<λ≤4，得1λ≥14，即tanθ≥1+1=6,故当λ=4，即点F与点C1重合时，tanθ取得最小值63．19. （1）由已知a n+1=rS n，可得a n+2=rS n+1，两式相减可得a n+2−a n+1=r S n+1−S n=ra n+1,即a n+2=r+1a n+1.又a2=ra1=ra，所以当r=0时，数列a n为a,0,⋯,0,⋯；当r≠0，r≠−1时，由已知a≠0，所以a n≠0n∈N∗．于是由a n+2=r+1a n+1，可得a n+2n+1=r+1n∈N∗,所以a2,a3,⋯,a n,⋯成等比数列，从而当n≥2时，a n=r r+1n−2a.综上，数列a n的通项公式为a n=a,n=1, r r+1n−2a,n≥2.（2）对于任意的m∈N∗，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列．证明如下：当r=0时，由（1）知，a n=a,n=1, 0,n≥2,所以对于任意的m∈N∗，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列；当r≠0，r≠−1时，因为S k+2=S k+a k+1+a k+2,S k+1=S k+a k+1.若存在k∈N∗，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，则S k+1+S k+2=2S k,从而2S k+2a k+1+a k+2=2S k,即a k+2=−2a k+1.由（1）知，a2,a3,⋯,a n,⋯的公比r+1=−2，于是对于任意的m∈N∗，且m≥2，有a m+1=−2a m,从而a m+2=4a m,所以a m+1+a m+2=2a m,即a m+1,a m，a m+2成等差数列．综上，对于任意的m∈N∗，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列．20. （1）设动点M，其坐标为x,y，当x≠±a时，由条件可得k MA1⋅k MA2=y⋅y=y222=m,即mx2−y2=ma2x≠±a,又A1−a,0，A2a,0的坐标满足mx2−y2=ma2,故依题意，曲线C的方程为mx2−y2=ma2.当m<−1时，曲线C的方程为x 2a2+y2−ma2=1，C是焦点在y轴上的椭圆；当m=−1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；当−1<m<0时，曲线C的方程为x 2a +y2−ma=1，C是焦点在x轴上的椭圆；当m>0时，曲线C的方程为x 2a2−y2ma2=1，C是焦点在x轴上的双曲线．（2）由（1）知，当m=−1时，C1的方程为x2+y2=a2；当m∈−1,0∪0,+∞时，C2的两个焦点分别为F1 −a1+m,0，F2 a1+m,0．对于给定的m∈−1,0∪0,+∞，C1上存在点N x0,y0y0≠0使得S=m a2的充要条件是x02+y02=a2,y0≠0, ⋯⋯①1⋅2a 1+m y0=m a2. ⋯⋯②由①得0<y0 ≤a，由②得y0=1+m．当0< 1+m ≤a ，即1− 52≤m <0，或0<m ≤1+ 52时， 存在点N ，使S = m a 2； 当 1+m >a ，即−1<m <1− 52，或m >1+ 52时， 不存在满足条件的点N ．当m ∈ 1− 52,0 ∪ 0,1+ 52时， 由NF 1 = −a 1+m −x 0,−y 0 ，NF 2 = a 1+m −x 0,−y 0 ， 可得NF 1 ⋅NF 2 =x 02− 1+m a 2+y 02=−ma 2.令 NF 1 =r 1， NF 2 =r 2，∠F 1NF 2=θ，则由NF 1 ⋅NF 2 =r 1r 2cos θ=−ma 2，可得r 1r 2=−ma 2cos θ， 从而S =1r 1r 2sin θ=−ma 2sin θ=−1ma 2tan θ, 于是由S = m a 2，可得−12ma 2tan θ= m a 2, 即tan θ=−2 m . 综上可得：当m ∈ 1− 52,0 时，在C 1上存在点N ，使得S = m a 2，且tan ∠F 1NF 2=2；当m ∈ 0,1+ 52时，在C 1上存在点N ，使得S = m a 2，且tan ∠F 1NF 2=−2； 当m ∈ −1,1− 52 ∪1+ 52,+∞ 时，在C 1上不存在满足条件的点N ． 21. （1）f x 的定义域为 0,+∞ ，令fʹ x =1x −1=0，解得x =1． 当0<x <1时，fʹ x >0，f x 在 0,1 内是增函数；当x >1时，fʹ x <0，f x 在 1,+∞ 内是减函数；故函数f x 在x =1处取得最大值f 1 =0．（2）（i ）由（1）知，当x ∈ 0,+∞ 时，有f x ≤f 1 =0，即ln x ≤x −1.因为a k ，b k >0，从而有ln a k ≤a k −1，得b k ln a k ≤a k b k −b k k =1,2,⋯,n .求和得ln n k =1a k b k ≤ a k nk =1b k− b k n k =1. 因为 a k n k =1b k ≤ b k n k =1，所以 ln n k =1a k b k ≤0，即ln a 1b 1a 2b 2⋯a n b n ≤0,所以a 1b 1a 2b 2⋯a n b n ≤1.（ii ）①先证b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≥1n ．令a k =1nb k k =1,2,⋯,n ，则a k n k =1b k = 1n k =1=1= b k n k =1, 于是由（i ）得11 b 1 12 b 2⋯ 1nb n ≤1, 即1b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≤n b 1+b 2+⋯+b n =n ,所以b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≥1. ②再证b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≤b 12+b 22+⋯+b n 2．记S = b k 2n k =1，令a k =b k S k =1,2,⋯,n ，则a k n k =1b k =1S b k 2n k =1=1= b k n k =1, 于是由（i ）得b 1 b 1 b 2 b 2⋯ b n b n≤1, 即b 1b 1b 2b 2⋯b n bn ≤S b 1+b 2+⋯+b n =S ,所以b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≤b 12+b 22+⋯+b n 2. 综合①②，（ii ）得证．。
2011湖北高考数学
19.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且满足：()()*110,,,1n n a a a a rS n N r R r +=≠=∈∈≠-（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）若存在*k N ∈，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，试判断：对于任意的*m N ∈，且2m ≥，12,,m m m a a a ++是否成等差数列，并证明你的结论。
解析：（Ⅰ）由已知1n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得()2111n n n n n a a r S S ra ++++-=-=，即()211n n a r a ++=+，又21a ra ra ==，所以当r=0时，数列{}n a 为a,0,0……,0，……； 当0,1r r ≠≠-时，由已知0a ≠，所以()20,n a n N ≠∈, 于是由211n n n a a ra +++-=，可得211n n a r a ++=+，所以23,,,,n a a a 成等比数列，当2n ≥时，()21n n a r r a -=+。
综上，数列{}n a 的通项公式为：()2,11,2n n a n a r r a n -=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩ （Ⅱ）对于任意的*m N ∈，且2m ≥，12,,m m m a a a ++是否成等差数列，证明如下：当r=0时，由（Ⅰ），知,10,2n a n a n =⎧=⎨≥⎩，故对于任意的*m N ∈，且2m ≥，12,,m m m a a a ++7成等差数列； 当0,1r r ≠≠-时，212k k k k S S a a +++=++，11k k k S S a ++=+。
若存在*k N ∈，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，则122k k k S S S +++=，12222k k k k S a a S ++∴++=，即212k k a a ++=-， 由（Ⅰ），知23,,,,n a a a 的公比12r +=-，于是对于任意的*m N ∈，且2m ≥，12m m a a +=-，从而24m m a a +=，122m m m a a a ++∴+=，即12,,m m m a a a ++成等差数列。
2011年全国高考文科数学试题及答案-湖北1
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题（文史类）本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5,U A B ===则()U A B ⋃= A ．{}6,8 B ．{}5,7C ．{}4,6,7D ．{}1,3,5,6,82．若向量()()1,2,1,1a b ==-，则2a +b 与a b -的夹角等于A ．4π-B ．6π C ．4πD ．34π 3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e +=，则()g x =A ．xxe e--B ．1()2x xe e -+ C ．1()2xx e e -- D ．1()2x xe e -- 4．将两个顶点在抛物线22(0)y p x p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则 A ．0n = B ．1n = C ．2n = D ．3n ≥5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间)10,12⎡⎣内的频数为A ．18B ．36C ．54D ．726．已知函数()i n c o s,f x x x x R -∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．|,3xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ D ．5|,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭7．设球的体积为V ，它的内接正方体的体积为V ，下列说法中最合适的是A ．V 比V 大约多一半B ．V 比V 大约多两倍半C ．V 比V大约多一倍 D ．V 比V大约多一倍半8．直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根94节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A ．1升B ．6766升 C ．4744升 D 10．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),a b a b ϕ-那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
2011年湖北高考数学
2011年湖北高考数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2011年湖北高考数学试卷备受考生关注，因为在这个试卷上考到了一道被认为具有挑战性的大题，让不少学生感到头疼。
这道题目是关于概率与统计的，涉及到很多知识点，难度较大。
接下来我们来分析一下这道题目，以及整个2011年湖北高考数学试卷的难点和亮点。
我们先来看这道概率与统计题目的具体内容。
题目是这样的：某医院收治了一批疑似甲型流感的病人，为了加强预防和控制工作，医院决定对所有疑似病例进行检测。
检测结果显示，75%的病人为真正感染甲型流感，25%的病人为误检。
如果一个病人实际感染了甲型流感，那么检测结果显示为阳性的概率为0.98；如果一个病人没有感染甲型流感，那么检测结果显示为阴性的概率为0.95。
现在假设一个病人检测结果显示为阳性，求该病人实际感染甲型流感的概率。
这道题目的难点在于，考生需要通过已知条件计算出所求概率，涉及到了概率的条件概率和全概率公式的运用。
需要考生对概率与统计的基本概念有清晰的理解，才能有效解答这道题目。
一些学生在做这道题目时可能遇到困难，需要仔细分析题目，理清思路，有条不紊地进行计算，才能得出正确答案。
除了这道概率与统计题目，2011年湖北高考数学试卷还有许多其他难点和亮点。
整个试卷涵盖了代数、几何、数论等多个知识领域，题目设计灵活多样，考生需要在有限的时间内熟练掌握各种解题方法，灵活运用知识，才能顺利完成试卷。
值得一提的是，2011年湖北高考数学试卷的难度相对较高，对考生的数学素养和解题能力提出了较高要求，考察了学生的思维能力和创新意识。
2011年湖北高考数学试卷在题目设计上有创新和挑战，考察了考生对各种数学知识的掌握和应用能力。
对于学生来说，做好数学试卷的准备工作至关重要，这不仅包括对知识点的理解和熟练掌握，还需要培养解题思维和技巧，不断提高解题能力。
只有这样，才能在高考数学试卷中取得优异的成绩，为未来的学业和发展打下坚实的基础。