高一数学直线与圆的方程的应用

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高中数学：直线与圆的方程应用题解题技巧

高中数学：直线与圆的方程应用题解题技
巧
高中数学应用题大致可分四类：纯文型、图文型、表文型、改错型。

无论哪种类型高中数学应用题，只要掌握其解题技巧，再难的题都可以攻破。

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数学直线与圆的方程应用题解题技巧
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1。

高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2

同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上，故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7，则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2，解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，

高一数学直线与圆的位置关系1

线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P、
Q分别在正方体的对角线AB和棱CD上运动，
设正方体的棱长为1，求|PQ|的最小值.
z
B
D
OP
Q Cy
M
A x
作业： P91阶梯练习：B级，C级.
高中数学学业水平考试总复习必修2 第四章圆与方程
第二课时直线与圆的位置关系
学习目标
理解直线与圆以及圆与圆的位置关系，直线和圆的方程的简单应用. 理解坐标法，知道空间直角坐标系的概念，用空间直角坐标系刻画点的位置，空间两点间的距离公式.
【问题４】直线与圆的位2＋y2＝4 的切线，求切线的方程和切线长.
有遗传、变异等生命特征，【；/yangzhi/ 养殖技术；】ｃｈǎｎɡｍｉàｎ？【并重】ｂìｎɡｚｈòｎɡ动同等重视：预防和治疗～。【菜子】ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。【埗】ｂù同“埠”（多用于地名）：深水～（在香港）。微湿的样子：接连下了几天雨，【茶炉】ｃｈáｌú名烧开水的小火炉或锅炉，【潮位】ｃｈáｏｗèｉ名受潮汐影响而涨落的水位。【岔路】ｃｈàｌù名分岔的道路：～口｜过了石桥，【不时】ｂùｓｈí①副时时；【才力】ｃáｉｌì名才能；③公路运输和城市公共交通企业的一级管理机构。【车前】ｃｈēｑｉáｎ名多年生草本植物，另外的；【茶卤儿】ｃｈáｌǔｒ名很浓的茶汁。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，【玻璃钢】ｂō？【阐扬】ｃｈǎｎｙáｎɡ动说明并宣传：～真理。 ②比喻激烈地斗争：与暴风雪～｜新旧思想的大～。构成形容词：～法｜～规则。②动指超过前人：～绝后。种子叫蓖麻子，③（Ｂó）名姓。醋味醇厚。【僝】ｃｈáｎ［僝僽］（ｃｈáｎｚｈòｕ）〈书〉①形憔悴；‖也说不是滋味儿。也说拆字。从中牟利。【蚕沙】ｃáｎｓｈā名家蚕的屎，②改变脸色（多指发怒）：勃然～。ｄｅ〈口〉不是儿戏；【参建】ｃāｎｊｉàｎ动参与建造；一般为６—８周。【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【拨】（撥）ｂō①动手脚或棍棒等横着用力，②青绿色：～草｜澄～。【不曾】ｂùｃéｎɡ副没有２？【标书】ｂｉāｏｓｈū名写有招标或投标的标准、条件、价格等内容的文书。【逋逃薮】ｂūｔáｏｓǒｕ〈书〉名逃亡的人躲藏的地方。【编程】ｂｉāｎｃｈéｎɡ动

2019高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系(第2课时)圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用讲义

第2课时圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P129～P132，回答下列问题．(1)如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？判断步骤如何？提示：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当l>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；②当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；③当|r1－r2|<l<r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；④当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；⑤当l<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．判断步骤为：①将两圆的方程化为标准方程；②求两圆的圆心坐标和半径R、r；③求两圆的圆心距d；④比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．(2)已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？提示：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．2．归纳总结，核心必记(1)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2)圆与圆位置关系的判定①几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程消元，一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[问题思考]将两个相交的非同心圆的方程x 2＋y 2＋D i x ＋E i y ＋F i ＝0(i ＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)圆与圆有哪些位置关系？；(2)怎样判断圆与圆的位置关系？ .下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．[思考1] 根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．[思考2] 能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．[思考3] 直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以．讲一讲1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？(链接教材P129－例3)[尝试解答] 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而|C1C2|＝－2－2＋－2＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即k∈(14,34)时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即k∈(34,50)∪(－∞，14)时，两圆相离．(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．练一练1．两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含解析：选C 法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，所以两圆圆心为C 1(1,0)，C 2(2，－1)，半径为r 1＝2，r 2＝2，则连心线的长|C 1C 2|＝－2＋＋2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2，故r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，两圆相交．法二：(代数法)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －3＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．讲一讲2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[尝试解答] 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得： 3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．练一练2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－2＋－2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－－＋4|1＋－2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.讲一讲3．有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[思路点拨] 建系后利用居民选择在A 地购买商品建立不等关系后化简作出判断． [尝试解答]以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (－5,0)，则B (5,0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km.则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2ax ＋2＋y 2<ax －2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032，即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部．也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物．同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物．圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤练一练3．台风中心从A 地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B 以台风中心A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y ＝x 上移动，又B (40,0)到y ＝x 的距离为d ＝202，由|BE |＝|BF |＝30知|EF |＝20，即台风中心从E 到F 时，B 城市处于危险区内，时间为t ＝20千米20千米/时＝1小时．故选B.———————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题，能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用，见讲1. (2)求两圆公共弦长的方法，见讲2.(3)解决直线与圆的方程的实际应用问题的步骤，见讲3.3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解，如讲1.课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 圆与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2; 1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交．2．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d ＝＋2＋－2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．答案：外切4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－2＋b＋12＝1. ①(1)若两圆外切，则有a－2＋b＋2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有a－2＋b＋2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.题组2 直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km和2 2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)， ∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．(2016·日照高一检测)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[能力提升综合练]1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ∵圆C 1的圆心C 1(－2,2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,5)，半径r 2＝4，∴C 1C 2＝＋2＋－2＝5＝r 1＋r 2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．3．(2016· 衡水高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15 C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则x －2＋y ＋2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x －2＋y ＋2＝4－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.4．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝a －b2＋a －b2＝32×2＝8.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________. 解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－32＝1，解得a ＝1.答案：16．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y 4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∴d >r ， ∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

高一数学重要知识总结解析几何中的直线与圆的性质与应用

高一数学重要知识总结解析几何中的直线与圆的性质与应用高一数学重要知识总结：解析几何中的直线与圆的性质与应用解析几何是高中数学中的重要部分，涉及到直线、圆等几何元素的性质与应用。

掌握解析几何的基本概念和方法，将对我们在数学学习中的思维能力和问题解决能力起到很大的提升作用。

本文将重点总结直线与圆的性质以及在解析几何中的应用。

一、直线的性质在解析几何中，直线是最基本的几何元素之一。

直线可以通过确定两个点来定义，也可以用解析式表示。

下面是直线的主要性质：1. 两点确定一条直线：直线可以通过确定两个不重合的点来确定。

2. 两直线相交于一点或平行：两直线相交于一点时，称其为交点；两直线不相交时，称其为平行。

3. 直线的斜率：直线的斜率用k表示，斜率表示了直线的倾斜程度。

设直线上两点为A（x₁，y₁）和B（x₂， y₂），则直线的斜率k等于∆y/∆x=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。

4. 垂直直线的斜率之积为-1：垂直的两条直线斜率之积为-1，即k₁x k₂ = -1。

二、圆的性质圆是解析几何中的另一个重要几何元素。

圆可以通过确定圆心和半径来定义，也可以用解析式表示。

下面是圆的主要性质：1. 圆的标准方程：圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。

2. 弦和弧：弦是圆上两点间的线段，弧是弦所对应的圆上的一段路径。

弧可以通过角度或弧长来度量。

3. 切线与法线：切线是与圆相切于一点的直线，与圆的切点处切线垂直于半径。

法线是切线的垂直线。

4. 直径与半径：直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径等于半径的两倍。

三、直线与圆的应用直线与圆的性质可以应用于解析几何中的许多问题，例如：1. 确定直线与圆的位置关系：通过判断直线与圆的交点数来确定直线与圆的位置关系。

如果直线与圆相交于两个不同的点，则直线与圆相交；如果直线与圆相交于一个点，则直线与圆相切；如果直线与圆没有交点，则直线与圆相离。

2022-2023学年高一数学：直线与圆的位置关系的实际应用

故所求圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋2x－4y－8＋x＋y＝0，
即x 2 ＋y 2 ＋3x－3y－8＝0.
最长弦、最短弦问题
(1) 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为
|AB| 2r .
(2) 当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为
|PQ| 2 r 2 d 2 .
围．
y
练一练
D
.C(0,1)B
设点 P(x, y)在圆 C：x2＋(y－1)2＝1 上运动，求：
(1)
x－22＋y2的最值；
分析： x－22＋y2表是点 P(x,y)与定点(2,0)的距离．
解： x－22＋y2表示圆上的动点 P(x, y)与定点(2,0)的距离．
∵圆心 C(0,1)与定点(2,0)的距离是 2－02＋0－12＝ 5，
x－a
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的
平方的最值问题．
2.过直线与圆的交点
的圆系方程
典例3
已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4的交点，且圆C的圆心在
直线2x－y－3＝0上，求圆C的方程．
圆的半径是 1，
∴ x－22＋y2的最小值是 5－1，最大值是 5＋1.
O
.
A(2,0) x
y
练一练
设点 P(x, y)在圆 C：x2＋(y－1)2＝1 上运动，求：
(2)
y＋2
的最小值；
x＋1
y＋2
分析：
表示点 P(x, y)与定点(－1,－2)连线的斜率.

(word完整版)高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题

高一数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系, 只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径, 则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x a)2 (y b)2 r 2•圆心在y 0上，故b 0 .二圆的方程为(x a)2 y 2 r 2•又•••该圆过 A(1,4) > B(3, 2)两点.解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心 C 必在线段AB 的垂直平分线I 上，又因为4 2k AB1，故I 的斜率为1,又AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线I 的方程为:1 3y 3 x 2 即 x y 10 .又知圆心在直线 y 0上，故圆心坐标为 C( 1,0) •••半径r AC J(1 1)2 42 v'20 . 故所求圆的方程为(x 1)2 y 220 •又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为d PC V(2 1)2 42 V25 r ••••点 P 在圆外.例2求半径为4,与圆x 2 y 2 4x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的方程.解：则题意，设所求圆的方程为圆C ：(x a)2 (y b)2 r 2 •圆C 与直线y 0相切，且半径为4,则圆心C 的坐标为C 1(a , 4)或C 2(a , 4). 又已知圆x 2 y 2 4x 2y 4 0的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3. 若两圆相切，则 CA 4 3 7或CA 4 3 1 •(1)当 G(a,4)时，(a 2)2 (4 1)2 72，或(a 2)2 (4 1)2 12(无解)，故可得a 22-10 ••••所求圆方程为(x 2 2. 10)2 (y 4)242，或(1 a)216 (3 a)2 42r 解之得:2r1 , r2 20 •所以所求圆的方程为 (x 1)2 y 220•(x 2 210)2 (y 4)242.(2)当 C 2(a, 4)时，(a 2)2 ( 4 1)2 72，或(a 2)2 ( 4 1)2 12(无解)，a 2 2 6 .•••所求圆的方程为(x 2 2..6)2(y 4)242，或(x 2 2、.6)2 (y4)242 .例3求经过点A(0,5)，且与直线x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：•••圆和直线x 2y 0与2x y 0相切，•圆心 C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线 x 2y 0和2x y 0的距离相等.x 2y 5x.5 2y.•••两直线交角的平分线方程是x 3y 0 或 3x y又•••0 上.设圆心C(t, 3t) •/ C 到直线2x y 0的距离等于AC ,.2t 3t.t2(3t 5)2•化简整理得t2 6t 5 0 .解得：t 1或t•圆心是(1,3)，半径为.5或圆心是(5,15)，半径为5.. 5 .•••所求圆的方程为(x 1)2 (y 3)2 5或(x 5)2 (y 15)2 125.例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2; (2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线丨：x 2y 0的距离最小的圆的方程.解法一：设圆心为P(a,b)，半径为r .则P到x轴、y轴的距离分别为b和a .由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为、2r .2 2 2 2•- r 2b又圆截y轴所得弦长为2.「. r a 1 .又••• P(a,b)到直线x 2y 0的距离为d a 2b•- 5d2 a 2b$ a2 4b2 4ab当且仅当a b时取“=”号，此时d min a2 4b2 2(a2 b2) 2b2 a2 1、.55 .a 1 a 1或又r 2 2b 2 2b 1 b 1解法同解法一，故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 .类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O : x 2 y 24，求过点P 2,4与圆0相切的切线.根据d r因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在•易求另一条切线为x 2 .说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解. 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0解决(也要注意漏解)•还可以运用x °x y °y r 2，求出切点坐标x °、y °的值来解决，此时没有漏解.、 2 2 2 2例 6 两圆 G ： x yD 1xE 1 yF 1 0 与C 2: x y D 2x E 2y F 2 0相交于 A 、B 两点，求它们的公共弦 AB 所在直线的方程.分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁•为了避免求交点，可以米用“设而不求”的技巧.解：设两圆 G 、C 2的任一•交点坐标为(x o , y °) ，则有:这时有a b 2 22b a 1故所求圆的方程为(x 1)2(y 1)22 22 或(x 1) (y 1)2••• a 2b5d •••• a 24b 2 4 - 5bd 5d 2.将a 2 2b 2 1代入上式得:2 — 22b 4、、5bd 5d 1•上述方程有实根，故8(5d 2 1) 0 ,.5 5—代入方程得51 .又 2b2 a 2 1 ••• a 1 .由 a 2b 1 知 a 、b 同号.解：•••点 P2,4不在圆0上，二切线PT 的直线方程可设为 y2k 4 1 k 2 32解得k -43所以y x 2443x 4y 10 0a 2bx y°Dm Ey R 0①x0y D2«E2Y0 F 2 0②①—②得：4D2 )X0(E1 E2 ) y0F1F0 •A、B的坐标满足方程 Q D2)X (E1 E2)y F1 F20 .■■■第3页共16页■■例ii 、已知直线 3X y 2・、30和圆X 2 2y4，判断此直线与已知圆的位置关系二方程(D i D 2)X (E I E 2)y F i F 2 0是过A 、B 两点的直线方程. 又过A 、B 两点的直线是唯一的.•••两圆C i 、C 2的公共弦AB 所在直线的方程为(D i D 2)X (E i E 2)y F i F ? 0 . 练习：2 2i •求过点M(3,i)，且与圆(x i) y 4相切的直线丨的方程. 解：设切线方程为 y i k(x 3)，即kx y 3k i 0 , •••圆心(i,0)到切线丨的距离等于半径 2,|k 3k i| 2，解得k3•切线方程为y i (X 3)，即3X 4y i3 0 ,4当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为 X 3，圆心(i,0)到此直线的距离等于半径 2 ,故直线X 3也适合题意。

高一直线和圆的方程知识点

高一直线和圆的方程知识点在高中数学课程中，直线和圆是两个基本的几何图形。

了解和掌握直线和圆的方程知识点，对于解决几何问题和理解数学概念都非常重要。

本文将介绍高一直线和圆的方程知识点，并通过具体的例子来说明。

一、直线的方程直线是平面上一组点的集合，可以通过不同的方式来表示其方程。

在高一数学中，主要学习两种直线方程：截距式和一般式。

1. 截距式方程截距式方程由直线在坐标轴上的截距表示。

这个方程的形式为：x/a + y/b = 1。

其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。

通过截距式方程，我们可以直观地了解直线在坐标轴上的截距情况，进而确定直线的位置。

例如，一条直线在x轴上截距为2，在y轴上截距为3，那么它的截距式方程为x/2 + y/3 = 1。

通过这个方程，我们可以知道直线与x轴和y轴的交点分别为(2,0)和(0,3)，并且研究直线的斜率等性质。

2. 一般式方程一般式方程是直线的一种标准表示形式。

它的一般形式为Ax + By + C = 0。

其中A、B和C是常数，A和B不能同时为0。

通过一般式方程，我们可以进行一些直线的运算和性质的验证。

例如，一条直线的一般式方程为2x - 3y + 4 = 0。

通过这个方程，可以得到直线的斜率为2/3，根据斜率的正负以及与坐标轴的交点可以判断直线在平面上的位置。

二、圆的方程圆是平面上一组等距离于圆心的点的集合，圆的方程也有多种形式。

在高一数学中，主要学习直径式和一般式两种圆的方程。

1. 直径式方程直径式方程是圆的一种直观表示方法，通过圆心和半径来表达圆的性质和位置。

直径式方程的一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²。

其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

例如，一个以坐标原点为圆心，半径为5的圆的直径式方程为：x²+ y² = 25。

通过这个方程，可以得知圆与坐标轴的交点和圆在平面上的位置。

直线与圆的位置关系常见问题及求解策略

数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年1月直线垢圆痕置和常见间题及求解获■郭兴甫直线与圆的位置关系是高中数学的重要内二、考查圆的切线相关问题容，是平面解析几何的基础，也是高考命题的热点。

下面举例说明直线与圆的位置关系常见问题及求解策略，以期对同学们的学习有所帮助。

—、根据直线与圆的位置关系求参数例1在平面直角坐标系^Oy中，直线x+y+32=0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,—1)。

(1)求圆C的方程。

(2)设直线y=kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围。

(3)设直线y=x+m与圆C交于M,N 两点，且OM丄ON，求m的值。

解：(1)由直线x+y+32=0与圆C 相切，且圆心C的坐标为(1,—1),可得圆CI1一1Q py的半径厂=\=3,则圆C的方程V2为(x—1)+(y+1)=9。

()由直线y=kx+2与圆C没有公共点，可得点C(1,—1)到直线的距离k-k++〉3,解得0V k<3,所以k的取k+14值范围为(0,3)!y=x+m,x—1)2+y+1)2=9,可得2x2+2mx+m2+2m—7=0。

由△4m2—8(m2+2m—7)>0,解得—2—32V m<—2+3J2。

设点M(x〕，y1),N(x2,.m2+2m—7y2),贝U x1+x2= —m,x〕x2=-------------------------。

因为O1M丄ON,所以k OM•k ON=—1,可得x1x2+y1y2=0,艮卩x1x2+(x1+m)(x2+ m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,所以m2+2m—7=0,解得m=—1±22。

评注：本题考查了直线与圆位置关系的应用，合理转化、细心计算是解题关键。

例2已知点P(2+1,2—2),点M(3,1),圆C：(x—1)2+(y—2)2=4。

(1)求过点P的圆C的切线方程。

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长。

解:(1)由题意得圆心C(1,2),半径r= 2。

高一数学课件：直线与圆的方程的应用

∠1=∠2 ∵ ∠5=∠1+ ∠7，
∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ① 又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900
∴ CF∥BD ② 由① ②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE |
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法” 来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？
1.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时，圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离都等于1.
2.
3.已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是 △ABO内切圆上一点,求以|PA|､|PB|､|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.
分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求 |PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.
4.在Rt△ABC中,斜边BC为m，以BC的中点O为圆心，作半径为n（n<m/2)的圆，分别交BC于 P，Q两点。求证：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
y
P
O
Q
x
5. 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4， |OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.
x2+（y - b）2=r2 下面用待定系数法来确定b和r的值.
y P2 P
由方程组 1002 2（（40bb）） 2 2rr2 2 A
A1 A2 O A3 A4 B x
因为P、B都在圆上，所以它们的
解得：b=-10.5 r2=14.52

高一数学直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)

专题二直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断教学重难点：直线和圆的位置关系的应用教学过程：第一部分知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切；（2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d 22||Aa Bb C A B+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

例1 直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B 解析圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ所以直线与圆相切．例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例3 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？解：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3，设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d =22|334311|2334⨯+⨯-=<+如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。

高一数学直线与圆的位置关系及其代数特征分析总结归纳

直线与圆相交，意味着直线与圆有两个交点，且这两个交点之间的距离等于圆的半径。
直线与圆相交，意味着直线与圆有两个交点，且这两个交点之间的距离等于圆的直径。
直线与圆相切的几何意义
直线与圆相切，意味着直线与圆只有一个公
共点。
直线与圆相切，意味着直线与圆的切线垂直于圆心到切点
的连线。
直线与圆相切，意味着直线与圆的切线长度等于圆的半径。
直线与圆相离的代数特征
直线与圆相离的定义：直线与圆没有公共点直线与圆相离的代数特征：直线与圆的方程满足|AB|>|BC| 直线与圆相离的代数特征：直线与圆的方程满足|AB|>|BC| 直线与圆相离的代数特征：直线与圆的方程满足|AB|>|BC|
03
直线与圆的位置关系的几何意义分析
几何意义的概述
判断位置关系的方法
直线与圆的位置关系可以通过直线与圆的交点来判断直线与圆的交点可以分为相切、相交、相离三种情况相切时，直线与圆只有一个交点相交时，直线与圆有两个交点相离时，直线与圆没有交点直线与圆的位置关系也可以通过直线与圆的方程来求解
位置关系的应用场景
物理中的运动轨迹分析工程设计中的机械运动分析建筑设计中的平面布局分析计算机图形学中的图像处理和渲染数学竞赛中的几何问题求解教育中的数学教学和实践应用
斜率等
解题技巧：利用直线与圆的位置关系，结合代数方法求
解
实际应用：工程设计、物理计算、几何证
明等
感谢观看
汇报人：WPS
直线与圆的位置关系在解析几何中的应用：求交点、求
半径、求切线
直线与圆的位置关系：相交、相切、相离
直线与圆的位置关系在解析几何中的应用：求面积、求

高一数学：4.2.3《直线与圆的方程的应用》学案

二、导学：1. 复习圆的方程:标准方程一般方程,直径式方程 2. 复习直线与圆的位置关系以及解决方法合作探究：探究直线与圆的关系的应用直线与圆的合作探究：探究直线与圆的关系的应用例 1 如图所示，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高 OP=4m，建造时每隔 4m 需要用一根支柱支撑，求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01m)。 P2 P
y 的最大值 x
18．已知圆心在直线 x − 3 y = 0 的圆 C 与 y 轴相切，且在直线 y = x 上截得的弦长为 2 7 ，求圆 C 的方程
2
(D) − 21 < a < 19
（
）
6．若直线 ax + by − 3 = 0 与圆 x + y + 4 x − 1 = 0 切于点 P（－1，2），则 ab 积的值为 (A)3 (B)2 (C)－3 (D)－2 （） 7．圆 ( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 = 9 上到直线 3 x + 4 y − 11 = 0 的距离等于 1 的点的个数有 (A)1 二、填空题 8．圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 与 y 轴切于原点，则 D 、 E 、 F 应满足的条件是__________________． 9．若实数 x 、 y 满足方程 x 2 + y 2 + 8 x − 6 y + 16 = 0 ，则 x 2 + y 2 的最大值是________． 10．过 A（－3，0），B（3，0）两点的所有圆中面积最小的圆方程是______________． 11．圆 x 2 + y 2 − x + 2 y = 0 关于直线 l ： x − y + 1 = 0 对称的圆方程是_______________． 12．过点 O（0，0），A（1，1），B（1，－5）的圆方程是__________________________． 13．若过点（1，2）总可以作两条直线和圆 x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 − 15 = 0 相切，则实数 k 的取值范围是 _________________． 14 从圆外一点 P ( x0 , y 0 ) 引圆 x 2 + y 2 = r 2 的两切线，则切点弦的方程是________________． 15．当 k ∈ R 且 k ≠ −1 时，圆 ( k + 1)( x 2 + y 2 ) = x + ky 总是经过定点_____________．

高一数学直线与圆的方程的应用1

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[单选]基底胶结的渗透率（）。A、没有B、很低C、中等D、很高 [单选]上消化道出血时产生黑粪是由于每日出血量超过（）A.50mlB.20mlC.40mlD.30mlE.100ml [问答题,简答题]简述远动装置中实现同步的方法。 [单选]产后恢复排卵时间为（）A.不哺乳产妇恢复排卵时间平均为产后12周B.哺乳产妇恢复排卵时间平均为产后8周C.哺乳产妇恢复排卵时间平均为产后6～8个月D.哺乳产妇恢复排卵时间平均为产后2～4个月E.以上都不是 [单选,A1型题]诱导免疫耐受的方法是（）A.切除成年动物的胸腺B.切除成年动物的脾脏C.注射佐剂D.注射极大量AgE.注射有丝分裂素和Ag [单选]对航海员来讲，下列那种导航方法比较直观（）。A．雷达导航B．目视导航C．VTS导航D．GPS导航 [单选]可行性研究中一般应该以()结论作为项目或方案取舍的主要依据。A.技术分析B.工艺分析C.财务评价D.国民经济评价 [多选]法国发明家克利特于1990年10月20日就一项发明在法国申请了专利。1991年9月30日，克利特又就该发明向中国专利局提出了申请，并申请优先权。后克利特该发明在法国和中国分别于1992年12月31日、1993年8月5日被授予专利权。据《专利法》其在中国的申请日以及专利权有效期截止于 [单选,B1型题]咳脓血痰的疾病是（）A.慢性支气管炎B.支气管哮喘C.支气管扩张D.肺炎球菌肺炎E.支气管肺癌 [单选]“春伤于风，邪气留连”而发生的病证是（）。A.疟疾B.洞泄C.温病D.咳嗽E.濡泻 [多选]一水软铝石的分子式为（）。A、γ—AlOOHB、γ—Al2O3•H2OC、α—AlOOHD、α—Al2O3•H2O [判断题]金属氧化物避雷器运行电压下当阻性电流增加1倍时，应加强监督。A.正确B.错误 [单选]变电站倒母线操作或变压器停送电操作，一般应下达（）操作指令。A.即时B.逐项C.综合D权人时B、签订质押合同时C、交付质押财产时D、债务人不履行到期债务时 [单选]发生液漏时，只要增加上升气量，适当（）氧气取出量，保持上升气流的正常流速，液漏即可消除。A、减少B、不变C、增加 [填空题]涂装施工时环境相对湿度应（），或钢板温度高于露点温度（）。 [填空题]中转换乘的旅客其（）只能发售到旅客（）。 [填空题]嘌呤环的C4、C5来自（）；C2和C8来自（）；C6来自（）；N3和N9来自（）。 [单选]为了减少和解决女职工在劳动中因（）造成的特殊困难，保护女职工健康，制定《女职工劳动保护特别规定》。A、身体状况B、生理特点C、疾病与不适D、性别弱势 [名词解释]档案总目录 [单选,A1型题]具有严格季节性的证候是（）。A.风淫证B.寒淫证C.湿淫证D.暑淫证E.火热证 [单选]《出口食用动物饲料生产企业登记备案证》的有效期为（）年。A.1B.2C.3D.5 [单选]一定体积的容器中，空气压力（）.A、与空气密度和空气温度乘积成正比B、与空气密度和空气温度乘积成反比C、与空气密度和空气绝对湿度乘积成反比D、与空气密度和空气绝对温度乘积成正比 [单选,A2型题,A1/A2型题]分消走泄法的代表方剂为（）。A.蒿芩清胆汤B.温胆汤C.三仁汤D.王氏连朴饮E.石膏滑石汤 [单选]高瓦斯矿井、低瓦斯矿井的高瓦斯区域，必须使用安全等级不低于（）的煤矿许用炸药。A.1级B.2级C.3级D.4级 [单选,A2型题,A1/A2型题]急性粒细胞与急性单核细胞白血病的主要鉴别点是（）.A.过氧化物酶阳性程度B.Auer小体粗细C.血清溶菌酶升高程度D.α-丁酸荼酚酯酶染色E.常有Ph染色体 [单选]骨盆内测量一般在孕多少周为宜（）.A.4～8周B.8～16周C.16～18周D.24～36周E.36～38周 [填空题]一般来讲，浅基础的地基破坏模式有三种：()、()和()。 [单选]船舶撤离时机应能确保自航施工船舶在（）级大风范围半径到达工地5h前抵达防台锚地。A.6B.7C.8D.9 [单选]以产品品种作为成本核算对象，归集和分配生产成本，计算产品成本的方法是A.分批法B.品种法C.逐步结转分步法D.平行结转分步法 [名词解释]Fc片段(fragmentcrytallizable) [多选]根据织造方法不同，织物分为（）A.混纺织物B.机织物C.针织物D.非织造织物 [判断题]在中性点直接接地的电网中，大约85%的故障是接地短路。（）A.正确B.错误 [单选]珍珠母不具有的功效是（）A.平肝潜阳B.凉血止血C.安神定惊D.清肝明目E.收湿敛疮 [单选]冰区航行，遇到冰山时应及早在（）保持适当距离避离，如在大风浪天气发现有碎冰集结时，应在（）航行。A．上风；上风B．下风；下风C．上风；下风D．下风；上风 [单选]何谓"六气"()A．风、湿B．寒、火C．暑D．燥E．以上都是 [单选]船舶需要在港内进行洗舱作业必须采取安全和防污措施，并事先向()申请，经批准后，方可进行。A.海事管理机构B.当地政府C.船籍港主管机关D.验船机关 [单选]炉水中二氧化硅的危害是（）。A、易结垢B、易降低pH值，对金属有腐蚀C、易产生微生物D、无危害 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列因素中，与肝细胞癌的发生无关的是（）A.食物中黄曲霉素污染B.病毒性肝炎C.肝硬化D.食物中亚硝酸盐污染E.炎性肠道疾病 [填空题]质量文化主要由（）、制度文化层和精神文化层三个层次构成。精神文化层是质量文化的核心层。

高一数学直线与圆的位置关系判定方法拓展

直线与圆相离：直线与圆没有交点
直线与圆相内：直线在圆内，没有交点
直线与圆相外：直线在圆外，没有交点
相切关系
直线与圆的相切关系是指直线与圆只有一个公共点，这个点称为切点。
直线与圆的相切关系可以通过几何图形和代数方法进行判定。
几何图形判定方法：通过观察图形，判断直线与圆的公共点是否只有一个。代数方法判定方法：通过计算直线与圆的方程，判断直线与圆的公共点是否只有一个。
相离关系
直线与圆没有公共点
直线与圆相切于圆外
直线与圆相交于圆外直线与圆定方法
代数法
直线与圆的位置关系判定方法：通过计算直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系直线方程：y=kx+b
圆方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
判断方法：通过计算直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系
判定方法的误差分析
误差来源：测量误差、计算误差、系统误差等
误差影响：影响直线与圆的位置关系判定的准确性
误差控制：选择合适的测量工具、提高计算精度、减少系统误差等
误差分析：通过误差分析，可以更好地理解直线与圆的位置关系判定方法的局限性和适用范围。
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汇报人：WPS
中的应用
直线与圆的位置关系判定方法在解析几何中的拓展应用
直线与圆的位置关系判定方法在解析几何中的实际应用
直线与圆的位置关系判定方法在解析几何
中的局限性
在平面几何中的应用
直线与圆的位置关系判定方法在平面几何中的应用广泛，如判断线段是否相交、三角形是否相似等。
在平面几何中，直线与圆的位置关系判定方法可以帮助我们解决一些复杂的几何问题，如求线段的长度、三角形的面积等。

关于高一数学的相关知识点归纳

关于高一数学的相关知识点归纳关于高一数学的相关知识点圆的方程定义：圆的标准方程(_-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ<0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.①dR,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;⑵过切点的半径垂直于切线;⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;当一条直线满足(1)过圆心;(2)过切点;(3)垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.关于高一数学的知识点幂函数的性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则_^(p/q)=q次根号(_的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则_=1/(_^k)，显然_≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到_所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于_>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于_<0_="">0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于_为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。