第2.2矩阵的基本运算
2.2矩阵的运算
2). 矩阵乘法不满足消去律
AB = AC ⇒ B = C
1 0 0 0 0 0 如 A= , B = 0 1 , C = 0 0 . AB = AC , 但B ≠ C 0 0
3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵 AB=0时 一般不能得出A 若 AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的 结论. 结论.
b1 b2 例 3 设矩阵 A = (a1 , a 2 , L,a n ) , B = , 求AB，BA . M b n
解 A1×n Bn×1 = a1b1 + a2b2 + L anbn = ∑ ai bi
n
Bn×1 A1× n
b1a1 b2 a1 = M b a n 1
k =1 i =1 i =1 k =1 i =1
n
n
n
n
n
故 AB 与 BA 的主对角线上的元素之 和相等 .
例6 用矩阵方程表示下式线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 LLLLLLLLLLLLL am1 x1 + am1 x2 + L + amn xn = bm
(1)
( 3)
(λ µ ) A = λ ( µ A)
λ ( A + B) = λ A + λ B
矩阵相加与数乘矩阵合 起来 ,统称为矩阵的线性运算 . 统称为矩阵的线性运算
二 、矩阵与矩阵的乘法
2.2矩阵的运算及其性质
2.2矩阵的运算及其性质1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，即对两个相同大小的矩阵进行加法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的加法运算可以表示为A + B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的和。
矩阵的加法满足以下性质： - 交换律：A + B = B + A - 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) - 零元素：存在一个零元素0，满足A + 0 = A - 负元素：对于任意矩阵A，存在一个负元素-A，满足A + (-A) = 02. 矩阵的减法矩阵的减法是指对应位置上的元素相减，即对两个相同大小的矩阵进行减法运算。
对于两个矩阵A和B，它们的减法运算可以表示为A - B，结果矩阵C的每个元素是A和B对应位置上元素的差。
矩阵的减法满足以下性质： - A - B = A + (-B)3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个数。
对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘运算可以表示为k * A，结果矩阵B的每个元素都是A对应位置上的元素乘以k。
矩阵的数乘满足以下性质： - 结合律：(k1 * k2) * A = k1 * (k2 * A) - 分配律：(k1 + k2) * A = k1 * A + k2 * A - 分配律：k * (A + B) = k * A + k * B - 1 * A = A4. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指矩阵和矩阵之间的一种运算。
对于两个矩阵A和B，它们的乘法运算可以表示为A * B，结果矩阵C的元素是A的行向量与B的列向量进行内积后得到的。
矩阵的乘法满足以下性质： - 结合律：(A * B) * C = A * (B * C) - 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C - 分配律：(B + C) * A = B * A + C * A - 乘法不满足交换律，即A *B ≠ B * A5. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
2.2 矩阵的运算
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例8．求与矩阵 A=
0 1 0 0 0 1 可交换的一切矩阵。 0 0 0
a 解：设 B= a1 a2 0 AB= 0 0
b b1 b2 1 0 0
c c1 ，那么 c2 0 a b c a1 b1 c1 1 a1 b1 c1 = a2 b2 c2 ， 0 a2 b2 c2 0 0 0
。
9 15 21 6 = 6 0 12 9 0 3 6 9
首页
上页
返回
下页
结束
铃
思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么 区别？
答：数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行
（或列）； 而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个 元素。
即：行列式的某行（或列）有公因子即可提出 , 但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
2. 数乘矩阵满足的运算律
设 A, B 为同型矩阵, λ , μ为常数，则
(1) (λμ) A=λ (μ A);
(2) (λ + μ)A = λ A + μ A.
结合律
分配律
(3) λ(A + B) = λ A + λ B.
分配律
矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。
首页
上页
首页
上页
返回
下页
结束
铃
四、方阵的幂
(１) 定义
如果 A 是 n 阶矩阵, 那么AA 有意义, 也有意义, 因此有下述定义:
AA A
m 个A
定义
Ａ1 = A,
设 A 是 n 阶矩阵, k 是正整数,
矩阵的基本运算
例如
1 3 5
2 2 8
19316
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
B
m n
n s
C ms
=
A
8
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3 2 2 3 1 10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
5
8
0
2
5
8
0
2
13310 1 3 734 10 1 3 7 34
1
1 2 1 4
5
10
8 1
0 3
2 734
1
1
A
1
144
5 10
2 8
1
1 0 3
4
2
7
9
34
1
2
a11 a12 L a1s
a21
a22
L
a2s
O M M M M
nnnan1
an2
L
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
nann
nn
A
11
a1
b1
a2
b2
O
O
an nn
bn nn
a1b1
a2b2 O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵A之积仍为n阶上（下）三角阵12 .
❖矩阵乘法的运算规律 (1 )结 合 律 :(A B )C A (B C )
矩阵的计算方式
矩阵的计算方式1 矩阵的定义矩阵是线性代数的基础概念之一。
它是一个由数构成的矩形阵列（一个表格），并按照特定的规则进行排列。
就像我们平时用的Excel 表格一样，矩阵可以用于描述各种各样的数学问题，例如线性方程组的求解、变换矩阵的应用等等。
2 矩阵的基本运算矩阵的运算有加、减、数乘、矩阵乘法等。
以下将从这几个方面来介绍矩阵的基本运算。
2.1 矩阵加法两个矩阵的加法定义为将它们的对应元素相加得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$矩阵加法需要满足以下条件：- 两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
- 相加的两个矩阵对应的元素必须都是相同类型的，例如都是实数。
2.2 矩阵减法两个矩阵的减法与加法类似，不同的是将它们的对应元素相减得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & -4 \\ -4 & -4\end{bmatrix}$矩阵减法需要满足与矩阵加法相同的条件（相同的行数和列数，相同类型的元素）。
2.3 矩阵数乘将矩阵的每个元素都乘以一个标量得到一个新的矩阵，这个操作称为矩阵数乘。
例如：$2 \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$矩阵数乘需要满足以下条件：- 被乘的标量必须是一个实数或者复数。
第2章 2.2矩阵的运算
解
X 1 (B A) 2
1 2
4 4 1
6 4 2
4 2
7
4 2 2
2
3 2
2
2 2 1 1
X 1B1A 22
1 2
1
7 2
1
二、矩阵的乘法
引例 某电子集团生产三种型号的彩电，第一季
度各40万台, 20万台, 30万台, 第二季度各30万台, 10 万台, 50万台, 每万台的利润分别是400万元, 300万 元, 500万元, 第一,二季度各类产品的利润是多少 ?
对应⑴可以用矩阵形式表示为 AX B ，称为矩阵
方程。其中
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
am1 am2 amn
，X
x1 x2
xn
，
b1
B
b2
。
bm
A称为系数矩阵，A ( A | B) 称为方程组的增广矩阵 对应齐次方程组⑵可用矩阵形式表示为 AX O
-18-
例4：计算下列矩阵的乘积.
1 1 1 1
1 1
0 0
0 0
-21-
比较：
Ø在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0
在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O 两个非零矩阵乘积可能为O。
Ø在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立)
在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D (消去律不成立)
例1
A
1 2
0 1
2 3
,
B
1 1
3 0
4 5,
求 3A 2B
矩阵的基本运算
矩阵的基本运算矩阵是数学中非常重要的一个概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵的乘法等。
本文将围绕这些基本运算展开讨论。
首先，我们来讲解矩阵的加法。
如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m行n列的矩阵，那么它们可以相加。
矩阵的加法运算是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。
即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A+B=(a_{ij}+b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的和C为：C = [1+7 2+8 3+9][4+10 5+11 6+12]简化运算后，C的结果为：C = [8 10 12][14 16 18]接下来我们讨论矩阵的减法。
矩阵的减法运算与加法类似，也是将对应位置的元素相减得到新的矩阵，即若A=(a_{ij})，B=(b_{ij})，则A-B=(a_{ij}-b_{ij})。
例如，给定两个矩阵A和B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则A与B的差D为：D = [1-7 2-8 3-9][4-10 5-11 6-12]简化运算后，D的结果为：D = [-6 -6 -6][-6 -6 -6]矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个实数。
即若A=(a_{ij})是一个m行n列的矩阵，k是一个实数，那么kA=(ka_{ij})。
例如，给定一个矩阵A和一个实数k如下：A = [1 2 3][4 5 6]k = 2则kA的结果为：kA = [2*1 2*2 2*3][2*4 2*5 2*6]简化运算后，kA的结果为：kA = [2 4 6][8 10 12]最后我们来讨论矩阵的乘法。
矩阵的乘法运算是指矩阵与矩阵之间进行乘法运算，得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法有一定的规则，即若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们可以相乘，得到一个m行p列的矩阵C。
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
线性代数：2.2 矩阵的运算与概念
mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn .
什么是矩阵？
黑客帝国3 The matrix revolution
• 机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类 城市－锡安城，锡安城内的人类拼死抵抗，但最后 仍是兵败如山倒；另一方面，电脑人史密斯进化成 为更高等的电脑病毒，几乎占领了整个矩阵 （Matrix），甚至包括了“矩阵之母”－先知。经 过与先知密谈的救世主尼奥进入机器城市，与矩阵 的造物主达成停战协议。
则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩 阵A的积，记为kA.即
ka11 ka12 ka1n kA ka21 ka22 ka2n .
kam1 kam2 kamn
矩阵数乘的性质 设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则
(5) k(AB)kAkB； (6) (kl)AkAlA ； (7) (kl)Ak(lA)； (8) 1AA .
2.2 矩阵的运算与概念
2.1 矩阵的概念
说在明某2些点问：题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线 性1方. 程矩组阵的的每行个数方与程列对数应不一一个定有相序同数，组而：行列式两
者必须相同.
2. 矩阵是一个a11数x1表+ ，a1而2x2行+列式 +是a1一nx个n =数b1值. a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm
这些有序数组可以构成一个表
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 ，这个表就称为矩阵. am1 am2 amn bm
第二章矩阵及其运算
数乘矩阵与数乘行 列式的区别所在！！
23
第二章 矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B） 三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容 教学目标 教学重点
第二章 矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念； 矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成； 掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法； 会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点 矩阵乘法
教学内容、 安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
kamn
用数乘以 矩阵中 的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、 设
教学手段、
措施
线性代数第二章 矩阵代数 S2矩阵的代数运算
(1) h( A) f ( A) g( A), s( A) f ( A)g( A).
(2) f ( A)g( A) g( A) f ( A).
24
4、n阶矩阵乘积的行列式
方阵对应着行列式，于是有如下定理：
定理：若 A，B是n阶方阵，则 |AB| = |A| |B|.
(此定理可以推广到有限个同阶矩阵的情况)
或 Al .
la11
lA
Al
la21
la12
la22
la1n
la2n
.
lam1 lam1 lamn
特别的，lE 称为数量矩阵.
6
2、线性运算的运算性质
矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性 运算，这些运算都归结为数（元）的加法与乘法.
运算性质
设A, B为同型矩阵，l, m为数，则 ➢ l(A + B) = l A + l B ➢ (l + m)A = l A+ m A ➢ l (m A) = (lm) A
0 bn2
bnn
29
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
a1n c11 c12
c1n
a2n
c21
Cc22
c2n
ann cn1 cn2
cnn
0 00
0
0 00
0
00
1 0 0
0
AC
E 0
再利用拉普拉斯定 理按后n行展开
E (1)[(n1)(n2) 2n](12 n) C
(2) 由AB＝O不能得出A、B至少有一个零矩阵.
如前面的A, B矩阵
A 1 1 ≠O, B 1 1 ≠ O,
2.2矩阵的运算
b1n c11
b2n
bsn
c21
cm1
c12 c22
c1n c2n
cm2
cmn
其中：
b1 j
cij ai1
ai 2
ais
b2 j
ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
bsj aikbkj (i 1,2,m; j 1,2,n)
B可交换，简称A与B可换。
a11
例：已知 A a21
a12 a22
a13 1 0 a23 I 0 1
0 0
，求AI和IA。
a31
a32
a33
0 0 1
特别地：Em Amn Amn 简写成：EA=A
Amn En Amn
AE=A
注：单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1。Leabharlann (5)矩阵乘法一般不满足消去律
AC 10 3210 10 10 10 但 AB
BC 10
0 4
10
10 10
10
四、矩阵的转置
1、定义5：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，
a11
A
a21
am1
称为A的转置矩阵，记为AT或A/。
a12 a22
a1n a2n
am2
amn
a11
AT
a12
a1n
矩阵相加与矩阵的数 乘这两种运算统称为 矩阵的线性运算。
三、矩阵与矩阵相乘
1.引例：设甲乙两厂生产产品日产量如表一，这些
产品的单位价格和单位利润如表二，求甲乙两厂的
日总收入、总利润。
表一 单位:台
表二 单位:千元
产品 厂家
Ⅰ
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
§2.2 矩阵的运算1.矩阵的加法定义：设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为n m ij ij b a B A ⨯+=+)(设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=)(ii A A A μλμλ+=+)()(iii B A B A λλλ+=+)(3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj sk ik sj is j i j i ij ===+++=∑=并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.矩阵的乘法满足下列结合律与分配律)(i )()(BC A C AB =)(ii 为数）其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(对单位矩阵E ,易知n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯=⋅=,可简记为 A AE EA ==4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)()(ii T T T B A B A +=+)()(iii T T A A λλ=)()(iv T T T A B AB =)(5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足A A T-=,即⎩⎨⎧=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：B A AB A A A A n T ===;;λλ例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB BB A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=所以结论成立例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0§2.3矩阵的逆7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
矩阵的运算
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21
x1 a22 x2 a2n xn
b2
,
am1x1 am2 x2 amn xn bm .
令
a11
A
a 21
a m1
a12 a 22
a m1
a1n
a2n
a mn
,
x1
X
x2
xn
,
b1
称矩阵C是A与B的乘积,记作C=AB.
注意：只有当左乘矩阵A的列数等于 右乘矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.
，
乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行 ， 数,AB的列数等于右乘矩阵B的列数.
例2.2.2 设
1 2 3
1 1
，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 1 1 5 , B 2 2
1
2 1
0 1
， 计算AB.
a2b2
a1bn a2bn
an
anb1 anb2 anbn
a1
BA b1 ,
b2 ,
,
bn
a2
an
b1 a1
b2 a2
bn an
n
bt at .
t 1
，
注意： 在这个例子中,AB是n阶矩阵,
，
而BA则是1阶矩阵.
例2.2.4 设
A
1 1
11,
B
1 1
11,
: :::
:
:::
， | A || B | an1 an2 ... ann a b nk k1 a b nk k 2 ... a b nk kn .
1 0 ... 0
0
线性代数 2-2矩阵的加、乘运算
a1 x a0是x的k次多
k 1
项式，Ａ是n阶矩阵，则
f ( A) ak A ak 1 A
称为矩阵Ａ的k次多项式
Байду номын сангаас
a1 A a0 In .
若 f ( x ), g( x ) 为多项式， Ａ，Ｂ皆为n阶矩阵，则
f ( A) g( A) g( A) f ( A).
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 , x xn
b1 b2 b bm
则线性方程组可以表示为矩阵形式
Ax b .
2.2.5
a1n a 2 n . amn
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法
•
• • • • •
2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6
矩阵的加法 数与矩阵的乘法 矩阵与矩阵的乘法 几种特殊类型的矩阵 方阵乘积的行列式 方阵的幂和方阵的多项式
2.2.1 矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
B 1.定义 设 A a ij 是一个m s 矩阵， bij 是一个
2.2.3 矩阵与矩阵相乘
s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中 s cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
线性代数：2.2 矩阵的运算
2.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。
3.矩阵乘法不满足消去律，
例 设 A 12 42
2
2
2.2.5 方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A; 2 kA kn A;
3 AB A B; AB BA .
证明: a11 a1n
例 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵
与反对称阵之和.
证明 设C 1 ( A AT ),
2
则CT 1
A AT
T
1
( AT
A)
C,
所以C为对称阵.
2
2
设B 1 ( A AT ), 则BT 1
2
2
A AT
T 1 (AT A) B,
2
所以B为反对称阵.
A 1 (A AT ) 1 (A AT ) C B, 命题得证.
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
AB T
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法2
ABT BT AT
A 2 0 1, 1 3 2
1 7 1 B 4 2 3 ,
矩阵的运算与逆矩阵
矩阵的运算与逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学和经济学等。
本文将介绍矩阵的运算以及逆矩阵的概念与计算方法。
一、矩阵的基本概念矩阵是一个按照矩形排列的数或者变量的集合。
矩阵的行数与列数分别称为其维数。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法将两个矩阵的相应元素进行相加，得到的结果矩阵即为它们的和。
2.2 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应元素相乘再相加的运算。
注意乘法只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时才能进行。
2.3 矩阵的转置将矩阵的行与列进行交换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
转置矩阵的行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。
三、逆矩阵的定义与性质3.1 逆矩阵的定义对于一个n阶实矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
3.2 逆矩阵的存在性一个n阶矩阵A存在逆矩阵的充要条件是A是一个可逆矩阵，即其行列式不为零。
当A存在逆矩阵时，逆矩阵是唯一的。
3.3 逆矩阵的性质逆矩阵的转置等于逆矩阵的逆矩阵，即(A^-1)^T = (A^T)^-1。
两个矩阵的乘积的逆矩阵等于逆矩阵的乘积，即(AB)^-1 = B^-1 *A^-1。
四、计算逆矩阵的方法4.1 初等行变换法通过初等行变换将矩阵A通过一系列矩阵的乘法变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同操作所得的矩阵即为矩阵A的逆矩阵。
4.2 行列式法对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为零，则通过求解伴随矩阵所得的矩阵即为A的逆矩阵。
4.3 元素法通过增广矩阵[A, E]（其中E为n阶单位矩阵）进行行变换将矩阵A变换为单位矩阵I，此时增广矩阵的右半部分即为A的逆矩阵。
五、矩阵与线性方程组利用矩阵与线性方程组的关系可以方便地求解线性方程组。
对于一个n个未知数和m个方程的线性方程组，可以将其写成矩阵形式AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算
数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域起着重要的作用。
本章主要介绍矩阵的基本概念以及矩阵的运算。
1. 矩阵的基本概念矩阵由元素排列成的矩形阵列，其中每个元素都有自己的位置和值。
矩阵通常用大写的字母表示，如A、B等，元素用小写的字母表示，如a、b等。
矩阵的大小由行和列决定，如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n矩阵。
如下所示为一个3×4矩阵：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\end{bmatrix}$$2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法两个矩阵的加法要求其大小相同，即行数和列数都相等。
对应位置的元素相加得到新矩阵的对应元素。
例如，对于两个矩阵A和B的加法运算，结果矩阵C的对应元素为：$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$2.2 矩阵的数乘矩阵的数乘即一个矩阵中的每个元素都乘以同一个数。
例如，对于矩阵A的数乘运算，结果矩阵B的对应元素为：$$b_{ij} = k \cdot a_{ij}$$其中k为一个实数。
2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，要求被乘矩阵的列数等于乘矩阵的行数。
乘积矩阵的行数等于被乘矩阵的行数，列数等于乘矩阵的列数。
设矩阵A为m×n矩阵，矩阵B为n×p矩阵，则乘积矩阵C为m×p 矩阵。
乘积矩阵C的第i行第j列元素为：$$c_{ij} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \cdots + a_{in}\cdot b_{nj}$$3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。
2.2高等数学矩阵的运算
2
2
22
从而, 命题得证.
2、方阵的行列式
定义: 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做
方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
例如:
A
2 6
3 8
,
则
A
2 6
3 8
2.
14
方阵行列式的运算性质
(1) | AT | = | A |;
(2) | A | = n| A |;
(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.
(2) 结合律: (A+B)+C = A+(B+C).
(3)
A
a11
a21
am1
a12
a22
am1
a1n
a2n
amn
aij
.
称为 O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
所以, H为对称矩阵.
HHT = H2 = (E – 2XXT)2 = E2 – E(2XXT) – (2XXT)E + (2XXT)(2XXT)
= E – 4XXT + 4(XXT)(XXT)
= E – 4XXT + 4X(XTX)XT
= E – 4XXT + 4XXT = E
13
例7: 证明任一n 阶方阵A 都可表示成对称阵与反 对称阵之和.
证明: 设 C = A + AT, 则 CT = ( A + AT)T = AT + A = C, 所以, C为对称矩阵.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例题库
矩阵的加法满足下列运算规律： 矩阵的加法满足下列运算规律： (i) A+B=B+A (ii) (A+B)+C=A+(B+C) (iii) A+O=O+A=A (iv) A-A=A+(-A)=O 是同型矩阵. 其中A、B、C和零矩阵O是同型矩阵.
2 0 − 1 − 1 1 2 求 (1) A + B, 例1 设 A = 3 1 − 2 , B = − 2 1 5
解
注
一般地，矩阵的乘法不满足交换律， 一般地，矩阵的乘法不满足交换律，即 AB≠ AB≠BA,
如果有矩阵A,B满足：AB=BA,则称A,B是可交换阵 如果有矩阵A,B满足：AB=BA,则称A,B是可交换阵 A,B满足 则称A,B
例如 a b 1 0 A= c d , B = 0 1 ⇒ AB = BA, 那么A, B是两个可交换阵
9 −2 −1 = 9 9 11
注：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘. 数时，两个矩阵才能相乘.
例题库
例5
4 − 2 4 2 求矩阵 A = 1 − 2 与 B = − 3 − 1 的乘积 AB 与 BA 。
x11 + 3 x21 = x11 x12 + 3 x22 = 3 x11 + x12 由矩阵相等的定义, 由矩阵相等的定义, 有 x21 = x21 x22 = 3 x21 + x22
=0,x 解之得 x21=0 11=x22，取x11=x22=a，x12=b,可得所有与可交换 ， ,
50 20 甲产品 B= 40 15 乙产品
试将该厂三个车间一天内各自的总产值和总利润用矩阵表示出来. 试将该厂三个车间一天内各自的总产值和总利润用矩阵表示出来. 解 车间I的总值产=甲产品生产数量×甲产品单价+乙产品生 车间I的总值产=甲产品生产数量×甲产品单价+ 产数量×乙产品单价=120 50+200× =120× 产数量×乙产品单价=120×50+200×40 车间I的总利润=甲产品生产数量×甲产品单位利润+ 车间I的总利润=甲产品生产数量×甲产品单位利润+乙产品生产数 乙产品单位利润=120 20+200× =120× 量×乙产品单位利润=120×20+200×15
b12 b 22 M bm 2
L L O L
b1 n b2 n M b mn
a 11 a 21 矩阵 C = a m1
+ b 11 + b 21 M + bm 1
a 12 + b 12 a 22 + b 22 M a m任意常数). 为任意常数). 的矩阵 B = 为任意常数 0 a
例题库
例7
2 − 3 − 5 设矩阵 A = −1 4 5 , 1 − 3 − 4 计算AO，AB
显然AO=O； ； 显然
5 −1 3 B = 1 − 3 − 5 −1 3 5
求 (1 ) 2 A + B ,
(2 ) A − 3 B .
2×0 2×1
1 1
解
(1 )
2× 2 2A + B = 2× 3
0 2 − 2 − 1 + − 4 − 2
2 × (− 1 ) − 1 + 2 × (− 2 ) − 2
2 3 = 5 4 1 3 0 1
1.引例：某工厂由车间I 车间II、车间III生产甲、 1.引例：某工厂由车间I、车间II、车间III生产甲、乙两种商 引例 II III生产甲 三个车间一天内生产甲、乙产品的数量矩阵及甲、 品.三个车间一天内生产甲、乙产品的数量矩阵及甲、乙产品 的单价和单位利润矩阵分别为
甲 乙 单价 利润
120 200 车间I 车间I A = 150 180 车间II 车间II 115 220 车间III 车间III
2 X = − 1
2 = − 1
− 1 1 0 + 2 2 − 2
− 1 0 + 2 − 1
− 2 0
− 2 2 .
− 1 2 = − 2 0
例题库
二、矩阵乘法
(2) A − B.
解
(1 )
2 A+ B = 3
0 1
−1 −1 + − 2 − 2
1 1
2 5
2 + (− 1) = 3 + (−2)
0+1 1+1
− 1 + 2 1 = − 2 + 5 1
1 2
1 . 3
即
120 200 120 × 50 + 200 × 40 120 × 20 + 200 × 15 50 20 AB = 150 180 40 15 = 150 × 50 + 180 × 40 150 × 20 + 180 × 15 = C 115 220 115 × 50 + 220 × 40 115 × 20 + 220 × 15
例题库
甲
乙
单价 利润
车间I 120 200 车间I A = 150 180 车间II 车间II 115 220 车间III 车间III
50 20 甲产品 B= 40 15 乙产品
三个车间一天内各自的总产值和总利润矩阵为
总产值 总利润
c11 L c1 j L c1n a11 M M M M c L cij L cin = a i 1 i1 M M M M cm 1 L cmj L cmn a m 1 a12 M ai 2 M am 2 L a1 s b11 L b1 j L b1n M b21 L b2 j L b2 n L a is M M M M bs1 L bsj L bsn L a ms
的乘积， 称为矩阵A与B的乘积，其中 cij = a i 1b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj ( i = 1,2, L , m; j = 1,2, L , n), 并记作 C = AB . 两个矩阵相乘的规则可以直观地表示如下： 两个矩阵相乘的规则可以直观地表示如下：
第2.2节 2.2节
一、 矩阵的线性运算
1.矩阵加法 1.矩阵加法
a 11 a 21 A= M a m1 a 12 a 22 M am2 L L O L a1n a 2n M a mn
矩阵的基本运算
b11 b 21 B = M b m1
运算规律： 运算规律： (i) k(A+B)=kA+kB (iii) k(h A)=(k h)A (ii) (k+h)A=kA+hA (iv) 1A=A
其中A 矩阵； 为数. 其中 、B为m╳n 矩阵；k、h为数. 为 为数
例题库
2 0 − 1 − 1 1 2 例2 设 A = 3 1 − 2, B = − 2 1 5
例题库
1 例6 设 A = 0
3 ，求所有与可交换的矩阵. 求所有与可交换的矩阵. 1
解
x11 x12 可交换, 设B = x x 与A可交换, 则 21 22
1 3 x11 AB = 0 1 x 21 x12 x11 = x22 x21 x12 1 3 0 1 = BA x22
3× 2 3×1 3× 5 3 −7 2 − 17
例题库
3×1
例3 如果矩阵 X 满足 X − 2 A = B − X ，
2 其中 A = −1 − 1 0 ， B = − 2 2 − 2 , 求 X . 0
1 B 解 Q X − 2A = B − X ∴ X = A + 2
车间I 车间I 120 × 50 + 200 × 40 120 × 20 + 200 × 15 车间II C = 150 × 50 + 180 × 40 150 × 20 + 180 × 15 车间II 115 × 50 + 220 × 40 115 × 20 + 220 × 15 车间III 车间III
1 0 1 3 的乘积 AB . 0 1 3 4
1×4+0×(−1) +3×2+(−1)×1 = 2×4+1×(−1) +0×2+2×1
1×1+0×1+3×0+(−1)×3 2×1+1×1+0×0+2×3
1×0+0×3+3×1+(−1)×4 2×0+1×3+0×1+2×4
a 1 n + b1 n a 2n + b2n M a mn + b mn
称为矩阵A与 的和 的和. 称为矩阵 与B的和. 记作 C = A + B.
例题库
矩阵减法 矩阵的减法为
a 11 − b11 a 21 − b21 A − B = A + (− B ) = M a − b m1 m1 a 12 − b12 a 22 − b22 M a m 2 − bm 2 L L L a 1 n − b1 n a 2 n − b2 n M a mn − bmn