第十二章--微分方程(数学竞赛部分)

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高等数学第十二章微分方程

x, y'
而 OM x2 y2 . 于是得微分方程
y x x2 y2 ,
y'
或
ydx (x x2 y2 )dy.
这是齐次方程。我们把 x 看作未知函数，把 y看作自
变量，并令 x v,则x yv, dx vdy ydv. y
代入上式得
y(vdy ydv) ( yv | y | v2 1)dy.
y
x
所以这是全微分方程。可取 x0 0, y0 0, 根据
公式（3），有u( x, y) 0x(5x4 3xy2 y3 )dx 0y y2dy
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3.
2
3
于是，方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C.
这就是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，得
所以
M M
0 Ce 0 M0e

t
C ,
,
这就是所求铀的衰变规律。
例3 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t = 0)速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解设降落伞下落速度为 v(t).降落伞在空中下落时，
第十二章微分方程
第一微分方程的基本概念
一般地，凡表示未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。
例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这曲线的方程。
解根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足
例2 列车在平直线路上以20米/秒（相当于 72公里/小时）的速度行驶；当制动时列车获得加速度-0.4米/秒.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

(完整版)常微分方程试题及答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。

（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。

② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。

③ x? y 4是齐次方程。

y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。

6. ysiny 是一阶线性微分方程。

（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。

(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。

(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。

dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。

3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。

42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。

45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。

3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。

（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。

（X ）C （C 为任意常数）。

（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。

6 .微分方程y y阶微分方程。

1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。

A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。

9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。

微积分数学竞赛试题及答案

微积分数学竞赛试题及答案试题一：极限问题题目：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

解答：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导后再求极限。

对分子和分母分别求导得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]因此，原极限的值为1。

试题二：导数问题题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。

解答：首先求函数 \( f(x) \) 的导数：\[ f'(x) = 6x - 2 \]然后将 \( x = 1 \) 代入导数表达式中：\[ f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \]所以，函数在 \( x = 1 \) 处的导数为4。

试题三：积分问题题目：求定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

解答：使用幂函数的积分公式：\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]对于 \( n = 2 \)，我们有：\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]计算定积分的值：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}= \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]试题四：级数问题题目：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 是否收敛。

解答：这个级数可以通过部分分式分解来简化：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]解得 \( A = 1 \) 和 \( B = -1 \)，因此：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]将这个结果代入级数中，我们得到一个望远镜级数：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \]这个级数的项会相互抵消，只剩下第一项 \( \frac{1}{1} \)，所以级数收敛，其和为1。

数学建模竞赛课件---微分方程模型

微分方程在生物学、物理学、化学和经济学等领域都有广泛的应用。它们可以用于模拟生物生长、物体运动、热传导和经济增长等现象。
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对于建模竞赛至关重要。

数学竞赛习题—微分方程

代入方程得 u 4u ex .解此二阶线性非齐次方程得
u

c1
cos
2x

c2
sin
2x

1 5
ex
.
从此，原方程的通解为
cos 2x
ex
y c1 cos x 2c2 sin x 5cos x
8、（1） yx c a ln x 2 1. 2
（2） 1 y
sin x cex.
（3） y x arctan x ln 1 x2 C1x C2
y C1ex C2e2x 设非齐次方程特解为
y x(ax b)ex
代入原方程得 a 1 ,b 1 ，所以 y (1 x2 x)ex
2
2
从而所求通解为
y

C1ex

C2e2 x

(1 2
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x)ex
4、 1 y
cos x 1 sin x 1 sin 2x;
微分方程
1、求解下列微分方程
（1） 1 x2 y' 1 y2
（2）
cos
ydx

(1
ex
) sin
ydy

0,
y
|x0

4
（3）微分方程
dy dx

y x

1 2
y x
3
满足
y(1)
1 的特解
(4）求初值问题

y
x2 y2 dx xdy 0 的解.
2 11.求解下列方程
（1） x2 y xy y 0 x 0 .

微分方程(习题及解答)

第十二章微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4；答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ．答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是．答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =.5'的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是．答：Cx y e x=．三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；解：解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解：解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解：解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=．解：解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式．答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程．答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为．答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为．答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为．答：ln()x y x y C --+=．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=；解：解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解：解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=；解：解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==．解：解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解．解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解．答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ．答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=．答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关．答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ．答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为．答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为．答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=．解：解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+．答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=．答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=．答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=．答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ．答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值．答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为．答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为．答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为．答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为．答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为．答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=．解：解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解：解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+．答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++．答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解：解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。

高等数学微分方程试题(可编辑修改word版)

1 21 2 1 2 第十二章微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce 2x (c 的任意常数)是 y ' =2x 的特解。

() 2.y=( y ') 3 是二阶微分方程。

() 3.微分方程的通解包含了所有特解。

( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。

（）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。

（）二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。

2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。

3. 积分曲线 y=(c +c x)e 2x 中满足 y x=0=0,y 'x=0=1 的曲线是。

三、选择题 1. 下列方程中是常微分方程2 2 2darctan x∂ 2a ∂ 2a' 2 2（A ）、x +y =a(B)、 y+(e) = 0(C)、+=0 （D ）、 y =x +ydx2. 下列方程中是二阶微分方程∂x 2∂y 2（A ）（ y ' ）+x 2 y ' +x 2=0(B) ( y ' ) 2+3x 2y=x 3 (C) y '' +3 y ' +y=0(D) y ' -y 2=sinx3. 微分方程 d 2 y dx 2+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx(D)y=c coswx+c sinwx2 4. C 是任意常数，则微分方程 y ' = 3y 3的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。

1. y = Cx 2 + C 2 （其中C 为任意常数）2. y = C e 2x+ C e 3x （其中C , C 为任意常数）五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。

数学竞赛微分方程

D a0y.n/ C a1y.n
1/
C
C an 1y0 C any:
记 f .D/ D a0Dn C a1Dn
1
C
C an 1D C an，称为形式算子多项式。对
于函数 y D y.x/，规定
f .D/y D a0Dny C a1Dn 1y C C an 1Dy C any
D a0y.n/ C a1y.n
dy
Dy D dx D y0I
D2y
D
d2y dx2
D
y 00I
一、常系数非齐次线性方程的算子解法
（1）算子多项式
对于函数 y D y.x/，定义
D0 D 1;
D1
D
D
D
d ;
dx
D2
D
DD
D
d2 dx 2 ;
::: ...............
Dn
D Dn
1D
D
dn dx n ;
D0y D y.0/ D yI
D0 D 1;
D1
D
D
D
d ;
dx
D2
D
DD
D
d2 dx 2 ;
D0y D y.0/ D yI dy
Dy D dx D y0I
一、常系数非齐次线性方程的算子解法
（1）算子多项式
对于函数 y D y.x/，定义
D0 D 1;
D1
D
D
D
d ;
dx
D2
D
DD
D
d2 dx 2 ;
D0y D y.0/ D yI
dy
Dy D dx D y0I
D2y
D
d2y dx2

《高等数学》第十二章复习要点

第十二章微分方程复习要点：一、了解微分方程的基本概念微分方程：表示未知函数﹑未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。

微分方程的阶：方程中未知函数的导数或微分的最高阶数。

微分方程的解：满足微分方程的函数。

通解: 含有与微分方程阶数相同个数的任意常数微分方程的解。

特解：满足初始条件的微分方程的解。

二、会解一阶微分方程1.可分离变量的微分方程定义：若一阶微分方程可整理成：dx x f dy y g )()(=，则称该微分方程为可分离变量的微分方程。

解法：方程两端同时求积分，即⎰⎰=dx x f dy y g )()(2.齐次微分方程定义：若一阶微分方程可整理成：)(xy y ϕ='，则称其为齐次微分方程。

解法：做变量代换，令xy u =，即ux y =，则u x u y '+=' 将原方程化为可分离变量的微分方程：dx xdu u u 1)(1=-ϕ ，求得其通解后再把x y u =代回即可得原微分方程的通解。

3.一阶线性微分方程定义：形如)()(x Q y x P y =+'的方程称一阶线性微分方程。

求解公式：])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x Q e y dx x P dx x P4.全微分方程定义：若微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P 的左端恰好是某二元函数),(y x u 的全微分，即),(),(),(y x du dy y x Q dx y x P =+,则称该微分方程为全微分方程。

判断方法：0),(),(=+dy y x Q dx y x P 的是全微分方程⇔=∂∂x Q yP ∂∂ 全微分方程通解为：C y x u =),(二、会解高阶微分方程1.)()(x f y n =型的微分方程特点：该方程中不显含)1(,,,,-'''n y y y y解法：连续积分n 次，得其通解).,,,(21n C C C x y ϕ= 2.),(y x f y '=''型的微分方程特点：该方程中不显含未知函数y解法：令)(x p y ='，将方程化为：),(p x f p ='，这是一阶微分方程，解之得其通解),(1C x p ϕ=，代回)(x p y ='得),(1C x y ϕ='，又是一阶微分方程，方程两端同时求积分即可得原方程的通解3．),(y y f y '=''型的微分方程特点：该方程中不显含自变量x解法：令)(y p y ='，则dydp y p y )(=''，原方程化为：),(p y f dy dp p =，这是一阶微分方程，解之得其通解为),(1C y p ϕ=，代回)(y p y ='得),(1C y y ϕ='，这是一阶可分离变量的微分方程，再解之就可得原方程的通解。

高等数学第十二章《微分方程》

第十二章微分方程一、内容提要（一）主要定义【定义12.1】微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.【定义12.2】微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.一般形式为： ()(),,,,,0n F x y y y y '''=.标准形式为：()()()1,,,,n n yf x y y y -'=.【定义12.3】微分方程的解若将函数()y x ϕ=代入微分方程使其变成恒等式即 ()()()(),,0,n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎣⎦或者 ()()()()()()1,,,,n n x f x x x x ϕϕϕϕ-⎡⎤'=⎣⎦则称()y x ϕ=为该方程的解.根据()y y x =是显函数还是隐函数 ,分别称之为显式解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.【定义12.4】定解条件用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件. （二）主要定理与公式1 可分离变量的方程一般形式()()12dyf x f y dx= 或 ()()()()12120M x M y dx N x N y dy +=. 解法：先分离变量()()g y dy f x dx =, 再两边积分()()g y dy f x dx =⎰⎰,可得通解 ()()G y F x C =+.2.齐次方程一般形式⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ 解法(变量替换): 令xy u =⇒ux y =, dy duu x dx dx =+，于是，原方程⇒()du u xu dx ϕ+=⇒分离变量()du dx u u x ϕ=- ⇒两边积分()du dxu u xϕ=-⎰⎰⇒积分后再用xyu =回代，便得通解. 3. 一阶线性微分方程一般形式 ()()dyP x y Q x dx+= 解法：常数变易法（1）先解出对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=；（2）作变换将C 换成u ，令()()P x dxy u x e -⎰=代入方程，求出u ，即得通解为()()()()P x d xP x d xP x d xy e Q x ed xC e --⎰⎰⎰=+⎰.4. 伯努利方程()()n y x Q y x P dxdy=+ ()1,0≠≠n n 解法: 变量替换法令nyz -=1,化为一阶线性微分方程.***************************************************** 5. 全微分方程当Q px y∂∂=∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程. 即 ()()(,),,0du x y P x y dx Q x y dy =+= 解法: (1)第二类曲线积分; (2)公式法()()()00,,,x y x y x y pdx Qdy μ=+⎰; (3)凑微分法.通解为 C y x u =),(.当Q px y∂∂≠∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程. 方程两边乘上积分因子(),x y μ（(),0x y μ≠）后所得的方程()(),,0P x y dx Q x y dy μμ+=是全微分方程.经常用到的微分倒推公式有()dx dy d x y ±=± (),xdy ydx d xy +=222()x y xdx ydy d ++=d =22arctan ()ydx xdy xd x y y -=+2()ydx xdy yd x x -=-ln ()ydx xdy xd xy y-=221ln 2()xdy ydx x yd x y x y-+=-- 6. 可降阶的高阶微分方程 1) ()()n yf x =型解法: 对方程两边连续积分n 次,便可得到其含有n 个任意常数的通解. 2) (),y f x y '''=型(无y 项)解法: 令()x P y =',()x P y '='',代入原方程(),y f x y '''=,则有()P x f P ,=',设其解为()1,C x P ϕ=,则()1,C x y ϕ=',得通解()21,C dx C x y +=⎰ϕ.3) (),y f y y '''=型（无x 项）解法: 令()y P y =',则dy dP dx dP y ==''dydPPdx dy =, 有()P y f dydPP,=——自变量为y ,函数为P 的微分方程.设其解为()1,C y P ϕ=代回原变量,()1,C y y ϕ='变量分离得通解()21,C x C y dy+=⎰ϕ.7. 线性微分方程解的理论1) 设21,y y 是二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=的解,则2211y C y C +也是它的解.2) 二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=一定有两个线性无关的特解,且这两个解的线性组合是该方程的通解.3) 设1y 为()(1)111()()()n n n y P x yP x y f x --+++=的解,2y 为()(1)1()n n y P x y-+++12()()n P x y f x -=的解,则21y y +为()(1)1112()()()()n n n y P x yP x y f x f x --+++=+的解.4)设*y 为()()()y p x y q x y f x '''++=的一个特解,Y 为对应的齐次方程()y p x y '''++()0q x y =的通解，则*Y y +为()()()y p x y q x y f x '''++=的通解.8. 二阶常系数线性微分方程1) 二阶常系数齐次线性方程0y py qy '''++=.2）n 阶常系数齐次线性方程()()()121210n n n n n yp y p y p y p y ---'+++++=)sin k k C x D x+++3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解()y py qy f x '''++=通解为*y Y y =+.其中Y 为对应齐次方程的通解,*y 为该方程的一个特解.4) 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式 1°()()xm f x e P x λ=型2°()()()cos sin xl n f x e P x x P x x λωω⎡⎤=+⎣⎦型 (其中{}max ,m l n =)二、典型题解析（一）填空题【例12.1】2234331x y xy y x y x ''''''+++=-是阶微分方程.解微分方程的阶是方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，所以此方程是三阶的微分方程.【例12.2】微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为 .解分离变量，得 1y y x'=-. 两边积分，得 ln ln ln y x C =-+. 通解为 Cy x=. 将初始条件()12y =代入，得所求特解为2y x=. 【例12.3】若()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程，则函数M N 、应满足 .解函数M N 、应满足M Ny x∂∂=∂∂时，()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程.【例12.4】微分方程tan cos y y x x '+=的通解为 .解设()()tan ,cos P x x Q x x ==，所以所求微分方程的通解为tan tan cos xdx xdx y e xe dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰[]cos x x C =+. 【例12.5】与积分方程0(,)xx y f x y dx =⎰等价的微分方程初值问题是 .解方程两边求导得(),,y f x y '=当0x x =时0y =.所以等价的初值问题是()0,0x x y f x y y ='⎧=⎪⎨= ⎪⎩. 【例12.6】已知21231,,y y x y x ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 .解 221311,1y y x y y x -=--=-是对应的齐次方程的两个线性无关的解，所以原方程的通解为()()212111y C x C x =-+-+.【例12.7】微分方程22xy y y e '''-+=的通解为 . 解原方程相应的齐次线性方程为220y y y '''-+=.其特征方程为2220r r -+=.特征根为1,21r i =±.故齐次方程的通解为()12cos sin xY e C x C x =+.因 1λ=，不是特征根，从而设其特解为*xy ae =，把它代入原方程，得1a =，由此原方程的通解为()12cos sin xxY e C x C x e =++.（二）选择题【例12.8】微分方程0dy xdx y+=的通解为 [ ] （A ）()22x y c c R +=∈ （B ） ()22x y c c R -=∈ （C ）()222x y cc R +=∈ （D ）()222x y c c R -=∈解分离变量得到：0ydy xdx +=，积分得：22x y c +=，这里常数c 必须满足0c ≥，于是可以将方程同解写为：()222x y a a R +=∈.则应选C.【例12.9】设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程通解是 [ ]（A ）()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ （C ）()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦ （D ）()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦解 ()()12y x y x -是齐次的方程()0y P x y '+=的解，()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦是齐次方程()0y P x y '+=的通解.非齐次方程的通解为齐次方程的通解加非齐次方程的特解，所以()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦是非齐次方程的通解. 则应选B.【例12.10】若方程()0y p x y '+=的一个特解为cos 2y x =,则该方程满足初值条件()02y =的特解为 [ ]（A ）cos 22x + （B ）cos 21x + （C ）2cos x （D ）2cos 2x .解一阶线性齐次方程()0y p x y '+=的通解为()P x dxy Ce -⎰=,任意两个解只差一个常数因子，所以A,B,C 三项都不是该方程的解.故应选D.【例12.11】设()p x 在(),-∞+∞连续且不恒等于零，()1y x 和()2y x 是微分方程()0y p x y '+=的两个不同特解，则下列结论中不成立的是 [ ] （A ）()()21y x y x ≡常数；（假设其中()10y x ≠）；（B ） ()12c y y -构成方程的解. （C ）12y y -=常数；（D ）()()12y x y x -在任何一点不等于零. 解因为，在()p x 不恒等于零的条件下，非零常数不可能是微分方程()0y p x y '+=的解，如果()1y x 和()2y x 是两个不同的解，那么12y y -也是这个方程的解，从而12y y -不能等于非零的常数,故应选C.【例12.12】微分方程2221d yy dx+=的通解是 [ ]（A ）121sin 2c c ++ （B ） 1212c c e ++（C ） 12c c + （D ）12c c e +.解直接看出12y *=是方程的一个特解，12c c +是相应的齐次方程的通解,应选A.【例12.13】微分方程23x y y y e x -'''+-=+的一个特解是 [ ]（A ）x aebx c -++ （B ）x axe bx c -++（C ）()x axe x bx c -++ （D ）()x ae x bx c -++.解微分方程23x y y y e x -'''+-=+的特解等于下列两个微分方程23x y y y e -'''+-=,23y y y x '''+-=的特解之和.非齐次微分方程23x y y y e -'''+-=具有形如xaxe -的特解；非齐次方程23y y y x '''+-=具有形如bx c +的特解，因此，非齐次微分方程23xy y y e x -'''+-=+具有形如xaxe bx c -++的特解，于是应当选B.【例12.14】设12,2x y e y x -==是三阶齐次线性常系数微分方程ay by '''''++0cy =的两个解，则,,a b c 的值分别为 [ ]（A ）2,1,0a b c === （B ）1,1,0a b c ==-=（C ）1,0,1a b c === （D ）1,0,0a b c =-==.解该微分方程的特征方程为320ar br c ++=.由于该微分方程有特解1x y e -=，说明11λ=-是该方程的一个特征根；又由于该微分方程有特解22y x =，说明20λ=是该方程的一个特征根，而且是重根.于是特征方程0ay by cy '''''++=有一个单根11λ=-和一个二重根20λ=，由此得到1,1,0a b c ==-=，从而选择B.（三）非客观题1.可分离变量的微分方程【例12.15】求下列微分方程的通解. （1）23dyxy xy dx=+. （2）221y x y xy '=+++. (3) ()()112xy xy x yy y ''-=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解（1）将变量分离,23dyxdx y y=+, 两边积分,得()2111ln ln 332y y x c -+=+，解出 213323x C y e e y=+.记 13,C C e =± 则 2323x y Ce y =+.（2）将221y x y xy '=+++右端分解因式，得，()()211y x y '=++，分离变量，有()211dyx dx y =++.积分得 2a r c t a n 2x y x C =++ 即通解为 2arc tan 2x y x C =++. （3）直接可以看出,1y ≡是方程的一个特解.当1y ≠时, 可以将方程写成 211ydy xdxy x =-+, 两端积分得到 ()211ln 1ln 12y y x C +-=++.两端取指数得 ()1221ln1ln 1xy y C eee ++-=.当1y >时, ()1Cyey e -=当1y <时,1C y e y e-=-记1C C e =±,上两式又可写作())10yey C -=≠.由于1y ≡是方程的一个解,故上式中常数C 也可以为零,于是方程通解为 ())1yey C R -=∈.将()12y =代入通解得到 2C =,所求解为 ()1yey -=【注】在(1)解题过程中，把任意常数13c e ±改写为C .适当地进行改写，使解的形式更为简便.2.可化为可分离变量的方程【例12.16】求满足方程()222120x y dx x dy ++=且过点()1,2的积分曲线.解不能直接分离变量，令xy u =, 则 du ydx xdy =+. 原方程化为()2120u u dx x du dx x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭, 即()221dudx x u =--.积分得 11ln 12x C u -=-+-回代得方程的通解11ln 21x C xy -=-再代入1,2,1x y C ===-得.故所求积分曲线为11ln 1.21x xy -=--【例12.17】求方程()21y x y '=-的通解.解不能直接分离变量，令x y u -=，则y x u =-, 且 1dy du dx dx=-, 代入原方程，得222111,du du u dx u dx u--==分离变量，得 221u du dx u =-，即 2111du dx u ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭. 积分，得 111ln 21u u x C u -+=++，将u x y =-回代，即得通解211y x y Ce x y --=-+.3.齐次方程或可化为齐次方程的微分方程【例12.18】求ln dy yxy dx x =的通解. 解方程变形为ln dy y y dx x x =, 此方程为齐次方程,令,yu y xu x==则,方程化为 ln du x u x xu u dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,整理且分离变量得()ln 1du dxu u x=-.积分得 ()ln ln 1ln ln u x C -=+ .即 ln 1u Cx -=,1Cx u e +=,通解为 1Cx y xe+=.【例12.19】求21241dy x y dx x y ++=+-的解.解此方程为可化为齐次的微分方程.因为12024=,故作变换2z x y =+, 则原方程化为111221dz z dx z +⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 4121dz z dx z +=-即. 当410z +≠,分离变量,得该方程的通解为843ln |41|x z z c -++=(c 为任意常数).将2z x y =+代入上式得原方程的通解为483ln 481x y x y c -+++=(c 为任意常数)另外410z +=,即14z =-是方程的特解. 故原方程由特解为 4810x y ++=.【例12.20】求24dy y x dx x y --=++的解. 解此方程为可化为齐次的微分方程，一般形式为111dyax by c f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭. 因为112011-=-≠,作变换x X hy Y k=+⎧⎨=+⎩,则,dx dX dy dY ==,代入原方程得, 24dY Y X k h dX X Y h k -+--=++++, 解方程组2040k h h k --=⎧⎨++=⎩得3,1h k =-=-. 令 31x X y Y =-⎧⎨=-⎩,原方程化为 11Y dY Y X XY dX X Y X--==++, 令Y u X =，则 1,1d u u u XdX u -+=+ 分离变量 211u dXdu u X +=-+, 得 ()21ln 1arctan ln 2u u X C ++=-+,原方程的通解为1a r c t a n3y x Ce+-+=.4.一阶线性微分方程【例12.21】解下列方程（1）1sin dy x y dx x x +=. （2）()tan 5dy x y dx-=. （3）2.y xdy ydx y e dy -= （4）()()21arctan y dx y x dy +=-.解（1）（解法一）公式法在方程中，()1,P x x =()sin x Q x x= 方程的通解为 ()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 11sin dx dx x x x e edx C x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()1cos x C x=-+. （解法二）常数变易法对应的齐次方程10dy y dx x+=，得通解ln ln c cy y x x ==或者.令()c x y x=，并代入原方程得，()()sin ,cos c x x c x x c '==-+,代入得原方程的通解为 ()1cos y x c x=-+. （2）将方程化为标准形式cot 5cot y y x x '-=,这里cot ,5cot P x Q x =-=，所以方程的通解为()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ cot cot 5cot xdx xdx e e xdx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()sin 5csc x x C =-+.即原方程的通解为 sin 5y C x =-.（3）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程改写成 y dx xye dy y-=-，这是一阶线性方程.对应的齐次方程0dx xdy y-=的通解是 x cy =, 然后用常数变异法得原方程的通解 yx cy ye =-.（4）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程变形为 22arctan 11dx x ydy y y+=++ 这是一阶非齐次线性方程,它的通解是2211112arctan 1dy dyy y y x e e dy C y -++⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎰ arctan arctan [arctan arctan ]yy ey e d y C -=⋅+⎰ 分部积分求出原方程的解为 arctan arctan 1y x y Ce -=-+.5.伯努利方程【例12.22】求下列方程的通解.（1）26dy y xy dx x =-；（2）232y x y xy+'=. 解（1）化为标准形式26dy y xy dx x -=-，此方程是伯努利方程. 两边除以2y ，得 216dy yy x dx x---=-. 令1z y -=，则 2dz dy y dx dx -=- 方程变为6dz z x dx x+=，这是一阶线性微分方程.解得 268c x z x =+还原y 得原方程的通解2686188c x x x c y x y =+-=或者. （2）方程化为标准形式2122y x y y x -'-=，此方程是伯努利方程. 以y 乘两端，得 22122x yy y x '-=. 令2z y =，得 21z z x x'-=，这是一阶线性微分方程，解得 22x z x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将2z y =代回，得原方程的通解为222x y x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.********************************************************************6.全微分方程与可化为全微分方程的方程【例12.23】求下列方程的通解.（1）()()220x y dx x y dy ++-=. （2）(1)(1)0x x y yx e dx e dy y++-=.（3）()()120y dx x y dy ++--=. （4）()3230ydx x x y dy +-=. （5）()210xdy ydx x dx ---=解（1）方法一设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微, 且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 由公式，得 ()()()00,,0,xyu x y P x dx Q x y dy=+⎰⎰ ()()202x yxdx x y dy=++-⎰⎰3213x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. 方法二设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微,且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 用不定积分求解.因为()2,uP x y x y x∂==+∂ 对上式两边对x 积分，得()()()()2,,u x y P x y dx x y dx y ϕ==++⎰⎰()313x xy y ϕ=++. 又因为 (),u Q x y y ∂=∂ ,()3123x xy y x y y ϕ∂⎡⎤++=-⎢⎥∂⎣⎦()2y y ϕ'=-，故()2.y y ϕ=-从而 ()321,.3u x y x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. （2）设1, (1).x x yyx P e Q e y=+=-2xy Q x Pe x y y ∂∂=-=∂∂所以此方程为全微分方程. 方法一（用公式计算）设此方程的通解为(),u x y c =,在平面上取一确定点()0,1,则 ()()()1,0,,y xu x y Q y dy P x y dx =+⎰⎰10011x y x yye dy e dxy ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰101xyxydy e dx⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ 1x yx ye =+-.因此方程的通解为 x yx ye C +=.方法二（用分项组合法求解）将方程各项重新组合为 0x x yyx dx e dy ye d y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 0x x yyydx xdy dx e dy e y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭积分，得 ()0x yd x ye +=，故通解为 x yx ye C +=.（3）在方程()()120y dx x y dy ++--=中，设()(),1,,2P x y y Q x y x y =+=--，易知 1P Q y x∂∂==∂∂，此方程为全微分方程. 现将方程写成20ydx xdy dx ydy dy ++--=，或 ()21202d xy dx dy d y ⎛⎫+--=⎪⎝⎭.积分得通解 2112,2xy x y y C +--= 或 2224xy x y y C +--=.（4）设32,3P y Q x x y ==-, 因为22119P Qx y y x∂∂=≠-=∂∂,所以此方程不是全微分方程.原方程改写为 3230ydx xdy x y dy +-= (1), 取()31xy 为积分因子.方程(1)两端同乘以()31xy ,原方程变为()33,ydx xdydyyxy +-即 ()()213ln 02d d y xy ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭,积分，得原方程的通解为 ()213ln 2y C xy +=. （5）本题不是全微分方程.需要寻找积分因子使其化为全微分方程,对于微分形式xdy ydx -,乘以函数22221111,,,x y xy x y+中的每一个都可成为一个全微分方程,如果同时使后面一项也成为全微分,可取积分因子()21,x y xμ=,将原方程变成全微分方程22110xdy ydx dx x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭,积分得到原方程通解21.y x Cx ++= 7.可降阶的高阶微分方程（1）()ny f x =型【例12.24】求微分方程cos y x x '''=-的通解. 解两边积分，得 211sin ,2y x x C ''=-+ 两边再积分，得 3121cos ,6y x x C x C '=+++ 两边再积分，得通解 421231sin .242C y x x x C x C =++++ （2）(,)ny f x y '=型【例12.25】解初值问题()()ln 101xy y y y y e⎧''''=⎪=⎨⎪'=⎩.解令()dy y p x dx '==, 22d y dpdx dx =, 代入方程,则原方程化为ln dp x p p dx=, 这是可分离变量方程,解出 1C xp e =,于是原方程的通解为 ()1121C xC y p x dx e C ==+⎰,由初值条件()1121110,C x C x y e C =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得到 11210CC e C +=,再由初值条件 ()111C x x y ee ='==又得到 ()11C y ee '==,于是 121,C C e ==-.所求特解为x y e e =-.在解可降阶的二阶微分方程的初值问题时，一出现任意常数，就应及时利用初值条件确定它，这样可以简化后面的求解过程.（3）(,)y f y y '''=型【例12.26】求微分方程22212dy d y dx dx y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的通解.解令(),dy p p y dx ==则22d y dp dy dp p dx dy dx dy =⋅=,代入原方程，得212dp p p dy y+=，是一阶线性齐次微分方程. 分离变量221pdp dy p y=+, 积分得 ()21ln 1ln ln p y C +=+即 211dy C y dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,分离变量dx =两端积分，得2x C =+, 化简得通解 ()()2122141C y x C C -=+.8.二阶和高阶常系数线性微分方程【例12.27】设μ为实数,求方程0y y μ''+=的通解. 解此方程为二阶常系数线性微分方程.其特征方程为20r μ+=,可以分三种情况讨论:(1) 0μ>,此时特征方程有一对复根r =±因此方程的通解为12y C C =+(2) 0μ=,此时特征方程有两个相等的重根120r r ==,于是方程的通解为12y C C x =+.(3) 0μ<,此时特征方程有两个单实根r =于是方程的通解为12y C C e =+,()12,C C R ∈.【例12.28】求方程221y y x '''+=+的通解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()x m P x eλ型（其中()221,0m P x x λ=+=）.与所给方程对应的齐次方程为 0y y '''+=,它的特征方程为 20r r +=. 有两个实根120,1r r ==-,于是与所给方程对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.因为0λ=是特征方程的一个单根,所以应设特解为()*2y x ax bx c =++.把它代入所给方程，得()()22326221ax b a x c b x ++++=+.比较两端x 的同次幂的系数,得3226021a b a c b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解此方程组，得 2,2,53a b c ==-=.于是求得一个特解为 *322253y x x x =-+. 从而所求的通解为 32122253xy C C ex x x -=++-+. 【例12.29】求方程244x y y y e -'''++=满足初始条件()()00,01y y '==的特解.解这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()1,2m P x λ==-）.与所给方程对应的齐次方程为对应齐次方程为 440y y y '''++=.它的特征方程 2440r r ++=有两个重根122r r ==-，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为()212x Y C C x e-=+. 由于2λ=-是特征方程的重根,所以应设方程的一个特解为*22x y ax e -=.把它代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 12a =, 因此求得一个特解为 *2212x y x e -=从而原方程的通解为 ()2221212xx y C C x e x e --=++. 代入初始条件()()00,01y y '==，得120,1C C ==-.原方程所求的特解为 22212xx y xex e --=-+. 【例12.30】求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.解这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，非齐次项为两项之和.根据定理，它的特解是下面两个方程的特解之和.y y x ''+= （1）cos y y x ''+= （2）所给方程对应的齐次方程 0y y ''+= 它的特征方程 210r +=, 特征根为 r i =±, 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+.设方程y y x ''+=的特解1y *,因为0λ=不是特征根，所以该方程具有形如1y ax b *=+的特解，将其代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 1,0,a b ==所以方程（1）的特解为 1y x *=设方程cos y y x ''+=的特解为2y *,因为i λ=是特征根,所以该方程具有形如2(cos sin )y x a x b x *=+的特解, 将其代入方程比较等式两端同次幂的系数,得10,,2a b ==所以方程（2）的特解为 *21sin 2y x x =.从而原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【例12.31】求三阶常系数非齐次线性微分方程2441y y y x ''''''-+=-的通解.解这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()21,0m P x x λ=-=）.所给方程对应的齐次方程为 440y y y ''''''-+=.它的特征方程为 32440,r r r -+=特征根为 1230,2r r r ===，所以对应齐次线性微分方程的通解为()2123x Y C C C x e =++.因为0λ=是方程的特征根，所以其特解设为 ()2y x A x B x C *=++，代入方程，解得111,,.1248A B C ===于是32111.1248y x x x *=++ 因此方程的通解为()2321231111248x y C C C x e x x x =+++++.9.微分方程的应用【例12.32】设曲线l 过点()1,1，曲线上任一点(),P x y 处的切线交x 轴于点T ，若,P T O T =求曲线l 的方程.解（1）列方程设曲线l 的方程为()y y x =，则曲线l 在点(),P x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-，切线与x 轴的交点T 的坐标为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭.P (1,1)故PT ==y OT x y =-'. 由 PT OT =，有()22222212,y y y y x x y y y '+=-+'''即 222.xyy x y '=-（2）初值问题由题意，曲线l 过点()1,1，得初值问题22121y dx x y dy xyx =⎧-=⎪⎨⎪= ⎩ （1）（3）解方程方程（1）为齐次微分方程，令x uy =，（1）可化为变量分离的方程221u dydu u y-=+，解得21.1Cy u =+代回x uy =，得通解221.x y C y +=由初值条件11y x ==，得12.C =故所求曲线l 的方程为()222 0.x y y x +=>【例12.33】某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内的含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含污染物A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标。

高等数学第12章微分方程

y Ox
通解的图象: 积分曲线族.
初始条件: 用来确定n阶微分方程
F
(
x
,
y
,
d d
y x
,L,
dn dx
y
n
)
=
0
(12.1)
特解的条件：
y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0′ ,L, y(n−1)( x0 ) = y0(n−1).
6. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
F ( x,ϕ ( x),ϕ′( x),L,ϕ (n)( x)) ≡ 0, (∀x ∈ I )
则称 y = ϕ ( x) ( x ∈ I )为方程
F
(
x
,
y
,
d d
y x
,L,
dn dx
y
n
)
=
0
(12.1)
的解；若方程(12.1)的解 y = ϕ ( x)由方程：
Φ(x, y) = 0
所确定，则称 Φ( x, y) = 0为(12.1)式的隐式解 .
x
.
L
P
Q
解依题设，知 ∂P = ∂Q , 即 [sin x − ϕ ( x)] 1 = ϕ′( x)
∂y ∂x
x
得 ϕ′(x) + 1ϕ(x) = sin x , ϕ(π ) = 1, ϕ ( x) = ?
x
x
∑∞
引例2 求
x 3n 的和函数 .
n = 0 ( 3 n )!
s′′ + s′ + s = e x s(0) = 1, s′(0) = 0.
一阶:
⎧ y′ = f ( x, y)

大学高等数学竞赛训练微分方程

大学生数学竞赛训练五—微分方程一、（15分）设函数()f x 在[0,)+∞上可导，且()01f =，对任给的,[0,)x y ∈+∞满足等式()()()()0101x y f x y y f x f t dt x ++--=+⎰ 1）求导数()f x '；2）证明：当0x ≥时，成立不等式：()1x e f x -≤≤。

解：1）设y x =∆，则有 ()()()()0101x x f x x x f x f t dt x ∆+∆+∆--=+⎰ ()()()()0101x f x x f x f x f t dt x x +∆-+-=∆+⎰ 当0x ∆→时有()()()0101x f x f x f t dt x '+-=+⎰ ()()()()()01xx f x f x f t dt '++=⎰ 两边关于x 求导得()()()()()()()1f x f x x f x f x f x ''''++++=()()()()120x f x x f x '''+++=解微分方程得()()()1ln ln 1f x x x C '=--++()1xCe f x x -'=+ 由条件()01f =可得()01f '=-，因此()1xe f x x --'=+ 2）当0x ≥时，()0f x '<，所以此时有()()01f x f ≤=；又因为()()11x x xx e xe f x e e x x -----'-=+=++，当0x ≥时，()()0x f x e -'-≥，所以此时有()()010x f x e f --≥-=，因此当0x ≥时，有()1x e f x -≤≤二、（15分）设微分方程()10y y q x y x'''-+=的两个解()()12,y x y x 满足121y y =求此微分方程的通解。