北京临川学校期末考试文科数学试卷

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北京市昌平区新学道临川学校2020届高三数学上学期期末考试试题文(含解析)

意
在考察学生的转变能力和计算求解能力.
9.已知F是抛物线C : y2
2 px( p
0)的焦点，抛物线
C的准线与双曲线
:x2
y2
1(a
0, b
0)的两条渐近线交于A，B两点，若
ABF为等边三角形，则
a2
b2
的离心率e
（
）
A.
3
B.2
3
C.
21
D.
21
2
3
7
3
答案】D
分析】
剖析】
求出抛物线的焦点坐标，准线方程，而后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，
A.
4
【答案】C
【分析】
【剖析】
由圆的特点可确立
B.
10
1
1
10
C.
D.
3
2
BAM为锐角，所以只要求出BAM的正切值的最大值即可.
【详解】设P x, y
，由于为BP中点，所以M
x 2,y
，所以
2
2
y
y
tan BAM
2
，
x
2
x
2
6
2
由于点P在圆x2
y2
4
上，则
2
x 2,
不如令y
0，
y
4
x2
在RtVABM中，MB2AM4；
在RtVCDM中，MC 2MD 2．
在VMBC中，由余弦定理得，
BC2BM2MC22BMMC cosBMC12，
BC23．
（2）由于DCM
，所以
ABM
60o，0o
60o．
在RtVMCD中，MC

北京市昌平临川育人学校2017-2018学年高二下学期期末数学(文)试题(含答案)

(2)指出函数 f(x)的单调区间； (3)求函数的值域．
北京临川学校 2017--2018 学年第二学期第三次考试高二文科数学参考答案
一、选择题（每题只有一个正确选项，每题 5 分，共 60 分）题号选项 1 C 2 B 3 C 4 C 5 A 6 B 7 A 8 B 9 B 10 D 11 A 12 A
20．求值：
18．已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围．
21．（1）若函数 f ( x)
2x 1 是奇函数，求 a 的值，并求使（ f x） 3 成立的 x 的取值范围 2x a
3 x b, x 1 5 （2）设函数 f ( x) x ，若 f ( f ( )) 4 ，求 b． 6 2 , x 1
19．已知 f(x)=
(x≠a)．
22．已知函数 f(x)＝x2－2|x|－1，－3≤x≤3． (1)证明：f(x)是偶函数；
(1)若 a=-2,试证明 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0,且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围．
北京临川学校 2017--2018 学年第二学期期末考试高二文科数学
一、选择题（每题只有一个正确选项，每题 5 分，共 60 分） 1．设集合 A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=( A．{4,8} B．{0,2,6} C．{0,2,6,10} ) D．{0,2,4,6,8,10} )
10．函数 f(x)＝log2(1－2x)＋ 1 A．0，2 1 C．(－1,0)∪0，2
1 的定义域为( x＋1

【解析】北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学(文)试题

1 x ，求出
x 的最小值即可 .
x
x
x
1
【详解】因为
xa
0 ，所以 a
1
x
1 2 nx
2 ，当且仅当 x 1 时，取等号，
x
x
x
所以只需 a 2 ，故选 B.
2
1i 2
11
i
1
i ，所以
的虚部是，故选 C．
22
1i
2
考点：本题主要考查复数的概念及其代数运算．点评：简单题，首先计算并化为代数形式，再确定虚部．
2.设集合 M { x | x2 2x 0} ， N { x | x 1} ，则 M I N ( )
A. { x | x 1}
B. { x | 2 x 1}
.
4.某校开设 a , b , c , d 共 4 门选修课，一位同学从中随机选取 2 门，则 a 与 b 未同时被选
中的概率为 ( )
1
A.
6
【答案】 D
1
B.
3
2
C.
3
5
D.
6
【分析】
先求 a 与 b 同时被选中的概率，再由互为对立事件的概率之和为
1，即可求出结果 .
【详解】记 “a 与 b 同时被选中 ”为事件 A ，所以事件 A 发生的概率为 P A
C. { x | 0 x 1}
D.
{ x | 2 x 0}
【答案】 C
【分析】
先解不等式 x2 2x 0 ，求出集合 M ，再与集合 N 求交集即可 . 【详解】因为 M x|x2 2x 0 x|0 x 2 ， x 1} .
故选 C
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题型

北京临川学校2024届数学八年级第二学期期末检测试题含解析

北京临川学校2024届数学八年级第二学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．关于x 的一元二次方程()22213230a x x a a --+--=的一个根为0，则a 的值是（）A ．1-B ．3C ．3-或1D ．3或1- 2．如图所示，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB ＝8，MN ＝3，则AC 的长是（）A ．12B ．14C ．16D ．183．如图，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）．A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长不能确定4．如图，已知平行四边形ABCD ，P ，R 分别是BC ，CD 边上的点，E ，F 分别是PA ，PR 的中点，若点P 在BC 边上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（）A ．EF BP =B ．线段EF 的长度逐渐变小C ．线段EF 的长度保持不变D ．线段EF 的长度逐渐变大5．如图，ABC ∆中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，且2ADB C ∠=∠，P 是BC 上任一点，PE BD ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，下列结论：①DBC ∆是等腰三角形；②30C ∠=︒；③PE PF AB +=；④222PE AF BP +=，其中正确的结论是（）A ．①②B ．①③④C ．①④D ．①②③④6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差:要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．下列条件中能构成直角三角形的是（）．A ．2、3、4B ．3、4、5C ．4、5、6D ．5、6、78．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A ．3，4，5B ．9，12，15C ．3，2，5D ．0.3，0.4，0.59．若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（）A ．0B ．±1C ．1D ．–110．关于x 的一元二次方程()23240k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．134k < B ．134k <且3k ≠ C ．134k ≤且3k ≠ D ．134k >11．下列交通标志既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．12．下列方程是一元二次方程的是（）A ．227x x -=B ．31x y -=C ．40xy -=D ．11x x +=二、填空题（每题4分，共24分）13．函数y m x =与y x m =+的图象恰有两个公共点，则实数m 的取值范围是_______.14．若分式67x--的值为正数，则x的取值范围_____．15．我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈＝10尺，那么折断处离地面的高度是__________尺．16．若1233x mx x--=--有增根，则m=______17．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm1，那么较小的多边形的面积是_____cm1．18．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依此为2，4，6，8，...，顶点依此用A1，A2，A3，A4......表示，则顶点A55的坐标是___．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）分解因式：a2b﹣4ab2+4b1．（2）解方程4233x xx x-=--．20．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（1）EF1=BE1+DF1．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2m y m 0x=≠的图象相交于第一、象限内的()A 3,5，()B a,3-两点，与x 轴交于点C .（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）直接写出当12y y >时，x 的取值范围；（3）长为2的线段EF 在射线CO 上左右移动，若射线CA 上存在三个点P 使得PEF ∆为等腰三角形，求CE 的值.22．（10分）已知，在正方形ABCD 中，点E 、F 在BD 上，且AB BE DF ==．(1)求证：四边形AECF 是菱形； (2)若正方形的边长为2，求菱形AECF 的面积． 23．（10分）如图，是平行四边形，延长到，延长到，使，连接分别交、于点、，求证：24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy ，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，6），B （8，0），若反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为2y k x b =+．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式；（2）求OEF ∆的面积：（3）请直接写出不等式120k k x b x+-<的解集． 25．（12分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为23600cm 的矩形纸板ABCD ，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面EFGH 为矩形，如图2，设小正方形的边长为x 厘米.、（1）若矩形纸板的一个边长为90cm .①当纸盒的底面积为21056cm 时，求x 的值；②求纸盒的侧面积的最大值；（2）当:7:2EH EF =，且侧面积与底面积之比为9:7时，求x 的值.26．如图，AD 是ABC ∆的中线，AE BC ∥，BE 交AD 于点F ，F 是AD 的中点，连接EC .（1）求证：四边形ADCE 是平行四边形；（2）若四边形ABCE 的面积为S ，请直接写出图中所有面积是13S 的三角形.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解题分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x 的一元二次方程()22213230a x x a a --+--=，列出关于a 的一元一次方程，通过解方程即可求得a 的值.【题目详解】根据题意知，x=0是关于x 的一元二次方程()22213230a x x a a --+--=的根∴a 2-2a-3=0，解得，a=3或a=-1又∵a 2-1≠0，∴.a ≠±1.∴.a=3.故选：B.【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解使方程的左右两边相等.2、B【解题分析】延长BN 交AC 于D ，证明△ANB ≌△AND ，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【题目详解】延长BN 交AC 于D ，在△ANB 和△AND 中，NAB NAD AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ANB ≌△AND ，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD+CD＝14，故选B．【题目点拨】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．3、C【解题分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF= 12AR，因此线段EF的长不变．【题目详解】如图，连接AR，∵E、F分别是AP、RP的中点，∴EF为△APR的中位线，∴EF= 12AR，为定值．∴线段EF的长不改变．故选：C．【题目点拨】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．4、C【解题分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF=12AR，因此线段EF的长不变．【题目详解】如图，连接AR，∵E、F分别是PA、PR的中点，∴EF=12 AR，∴EF的长不变，故选：C．【题目点拨】考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5、B【解题分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB＝∠C＋∠DBC，然后求出∠C＝∠DBC，再根据等角对等边可得DC＝DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE＋PF＝AB，判断出③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF＝BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG＝BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．【题目详解】在△BCD中，∠ADB＝∠C＋∠DBC，∵∠ADB＝2∠C，∴∠C＝∠DBC，∴DC＝DB，∴△DBC是等腰三角形，故①正确；无法说明∠C＝30°，故②错误；连接PD，则S△BCD＝12BD•PE＋12DC•PF＝12DC•AB，∴PE＋PF＝AB，故③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，则∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，∴∠PBG＝∠DBC，四边形ABGF是矩形，∴AF ＝BG ，在△BPE 和△BPG 中，PBG DBC G BEFPB PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BPE ≌△BPG （AAS ），∴BG ＝BE ，∴AF ＝BE ，在Rt △PBE 中，PE 2＋BE 2＝BP 2，即PE 2＋AF 2＝BP 2，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④．故选：B ．【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键．6、C【解题分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．【题目详解】∵3.6＜7.4＜8.1，∴甲和丙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，∵95＞92，∴丙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择丙．故选C ．【题目点拨】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7、B【解题分析】根据勾股定理逆定理进行计算判断即可．【题目详解】A.22223134+=≠，故不能构成直角三角形；B.22234255+==，故能构成直角三角形；C.22245416+=≠，故不能构成直角三角形；D.22256617+=≠，故不能构成直角三角形．故选：B ．【题目点拨】本题考查勾股定理的逆定理，熟记定理是关键，属于基础题型．8、C【解题分析】通过边判断构成直角三角形必须满足，两短边的平方和=长边的平方.即通过勾股定理的逆定理去判断.【题目详解】A.22234916255+=+== ，能构成直角三角形B.2229128114422515+=+==，构成直角三角形C.2222347+=+=≠ ，不构成直角三角形D.2220.30.40.090.160.250.5+=+== ，构成直角三角形故答案为C【题目点拨】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的的三边满足222+=a b c ，那么这个三角形为直角三角形.9、D【解题分析】根据一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高指数是2的整式方程,且二次项系数不等于0,即可进行求解,【题目详解】因为方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程,所以212m +=, 10m -≠,解得1m =±且1m ≠所以1m =-,故选D.【题目点拨】本题主要考查一元二次方程的定义,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义.10、B【解题分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 取值范围；【题目详解】解：因为一元二次方程()23240k x x -++=有两个不相等的实数根，所以24b ac ∆=-＞0，且30k -≠，所以224(3)4k --⨯＞0，解得：k ＜134，又因为30k -≠，所以3k ≠，所以134k <且3k ≠，故选B ．【题目点拨】本题考查利用一元二次方程的根的判别式求字母的取值范围，同时考查一元二次方程定义中二次项系数不为0，掌握知识点是解题关键．11、C【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；故选C ．【题目点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12、A【解题分析】根据一元二次方程的定义解答即可．【题目详解】解：根据一元二次方程的定义：即含有一个未知数，且未知数的次数为1,可见只有A 符合,故答案为A ．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的定义,即理解只有一个未知数且未知数的次数为1是解答本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1m 或1m <-【解题分析】画图象用数形结合解题，y=m|x|的图在x 轴上过原点是折线，关于y 轴对称；m>0时，y=x+m 斜率为1，与y=m|x|交于第一、二象限，m<0时，y=x+m 斜率为1，与y=m|x|交于第三、四象限，分析图象可得答案．【题目详解】根据题意，y=m|x|的图在x 轴上过原点是折线，关于y 轴对称；分两种情况讨论，①m>0时，过第一、二象限，y=x+a 斜率为1，m>0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有m>1；②m<0时，y=m|x|过第三、四象限；而y=x+m 过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有m<−1；故答案为：1m 或1m <-【题目点拨】此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于分情况讨论14、x>1【解题分析】试题解析：由题意得：67x--＞0，∵-6＜0，∴1-x＜0，∴x＞1．15、4.1【解题分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．【题目详解】解：1丈=10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2解得：x=4.1．答：折断处离地面的高度为4.1尺．故答案为：4.1．【题目点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．16、-1【解题分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【题目详解】方程两边都乘（x-3），得x-1（x-3）=1-m，∵方程有增根，∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得m=-1．故答案是：-1.【题目点拨】解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17、2【解题分析】试题分析：利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方可得．解：两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，则相似比是3：4.5=1：3，面积的比等于相似比的平方，即面积的比是4：9，因而可以设较小的多边形的面积是4x（cm1），则较大的是9x（cm1），根据面积的和是130（cm1），得到4x+9x=130，解得：x=10，则较小的多边形的面积是2cm1．故答案为2．18、（14，14）【解题分析】观察图象,每四个点一圈进行循环,每一圈第一个点在第三象限,根据点的脚标与坐标寻找规律【题目详解】∵55=4⨯13+3,A55与A3在同一象限,即都在第一象限,根据题中图形中的规律可得3=4⨯0+3,A3的坐标为(0+1,0+1),即A3(1,1),7=4⨯1+3,A7的坐标为(1+1,1+1), A7(2,2),11=4⨯2+3,A11的坐标为(2+1,2+1), A11(3,3);…55=4⨯13+3,A55(14,14),A55的坐标为（13+1, 13+1)故答案为(14,14)【题目点拨】此题考查点的坐标，解题关键在于发现坐标的规律三、解答题（共78分）19、（1）b（a﹣2b）2；（2）x=-2【解题分析】（1）运用提公因式法与公式法进行因式分解即可；（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【题目详解】解：（1）22344a b ab b -+22(44)b a ab b =-+2(2)b a b =-；（2）4233x x x x-=-- 去分母，得42(3)x x x --=-，解得2x =-，经检验：2x =-是原方程的解．【题目点拨】本题主要考查了因式分解以及解分式方程，解分式方程时，一定要检验．20、详见解析.【解题分析】(1)、直接利用旋转的性质得出△AQE ≌△AFE （SAS ），进而得出∠AEQ=∠AEF ，即可得出答案；(1)、利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．【题目详解】(1)、∵将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ， ∴QB=DF ，AQ=AF ，∠ABQ=∠ADF=45°，∴△AQE ≌△AFE （SAS ）， ∴∠AEQ=∠AEF ， ∴EA 是∠QED 的平分线；(1)、由（1）得△AQE ≌△AFE ， ∴QE=EF ，在Rt △QBE 中，QB 1+BE 1=QE 1，则EF 1=BE 1+DF 1．考点：(1)、旋转的性质；(1)、正方形的性质．21、（1）12y x =+，215y x=；（2）5x 0-<<或3x >；（33【解题分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）利用图象法，写出y 1D 的图象在y 2的图象上方的对应的自变量的取值即可．（3）如图2中，分别以E ，F 为圆心EF 为半径画圆，两圆在EF 的上方交于点N ，当点N 在射线CA 上时，射线CA 上存在三个点P 使得△PEF 为等腰三角形．解直角三角形求出CH ，EH 即可．【题目详解】解：（1）∵A （3，5），B （a ，-3）在()2m y m 0x =≠的图象上， ∴m=15，a=-5，∴A （3，5），B （-5，-3），把A ，B 的坐标代入y 1=kx+b 中，得3553k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得： 12k b =⎧⎨=⎩12152,∴=+=y x y x （2）观察图1可知：当y 1＞y 2时，x 的取值范围为：x ＞3或-5＜x ＜1．（3）如图2中，分别以E ，F 为圆心EF 为半径画圆，两圆在EF 的上方交于点N ，当点N 在射线CA 上时，射线CA 上存在三个点P 使得△PEF 为等腰三角形．作NH ⊥EF 于H ．∵NE=EF=NF ，NH ⊥EF ，∴EH=HF=1，NH=3，∵直线AC的解析式为y=x+2，∴∠ACF=45°，∴CH=NH=3，∴EC=CH-EH=3-1【题目点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22、（1）见解析；（2）42－4.【解题分析】【分析】（1）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形，AO=CO，EO=FO，AC⊥EF即可证得；（2）先求出AC、BD的长，再根据已知求出EF的长，然后利用菱形的面积公式进行计算即可得.【题目详解】（1）如图，连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵BE＝DF，∴BE－BO＝DF－DO，即OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴□AFCE是菱形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AB＝AD＝2，∠BAD=90°∴AC＝BD＝22∵AB=BE=DF，∴BF＝DE＝22，∴EF ＝4－22， ∴S 菱形＝12EF·AC ＝(4－22)·2＝42－4. 【题目点拨】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定与性质定理、准确添加辅助线是解题的关键. 23、见解析【解题分析】由平行四边形的性质证出∠EBG=∠FDH ，由ASA 证△EBG ≌△FDH ，即可得出EG=FH ．【题目详解】证明：四边形是平行四边形，在和中，【题目点拨】考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24、（1）12y x=，31542y x =-+；（2）22.5；（3）02x <<或8x > 【解题分析】（1）由点B 、D 的坐标结合矩形的性质即可得出点C 的坐标，由中点的性质即可得出点A 的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k 值，由此即可得出反比例函数解析式；由点F 的横坐标、点E 的纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点E 、F 的坐标，再由点E 、F 的坐标利用待定系数法即可求出直线EF 的解析式；（2）通过分割图形并利用三角形的面积公式即可求出结论；（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点坐标即可得出不等式的解集．【题目详解】（1）：D （0，6），B （8，0）∴C （8，6）∴中点A （4，3）∴134k =∴112k = ∴12y x=设(m,6)E ，(8n)F ， ∴126128m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2m =，32n =∴(2,6)E ，3(8,)2F ∴2226382k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴234k =-，152b =，∴31542y x =-+ （2）1311986862622222OEF S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =22.5（3）根据图像可得02x <<或8x >.【题目点拨】本题考查了矩形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，本题属于基础题难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.25、（1）①12；②当654x =时，4225=2S 侧最大；（2）1 【解题分析】（1）①根据题意列方程求解即可；②一边长为90cm ，则另一边长为40cm ，列出侧面积的函数解析式，配方可得最值；（2）由EH ：EF=7：2，设EF=2m 、EH=7m ，根据侧面积与底面积之比为9：7建立方程，可得m=x ，由矩形纸板面积得出x 的值．【题目详解】（1）①矩形纸板ABCD 的一边长为90cm ， ∴矩形纸板的另一边长为36009040(cm)÷=，()()4029021056x x --=12,53x x ==（舍去）12x ∴=②()()=2902402S x x x x -+-⎡⎤⎣⎦侧28260x x =-+2654225842x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 80-<，∴当654x =时，4225=2S 侧最大. （2）设EF=2m ，则EH=7m ，则侧面积为2（7mx+2mx ）=18mx ，底面积为7m•2m=14m 2，由题意，得18mx ：14m 2=9：7，∴m=x ．则AD=7x+2x=9x ，AB=2x+2x=4x由4x•9x=3600，且x ＞0，∴x=1．【题目点拨】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形的面积公式列出面积的函数表达式或方程是解题的关键．26、（1）见解析；（2）ABD ∆，ACD ∆，ACE ∆，ABE ∆【解题分析】（1）首先证明△AFE ≌△DFB 可得AE=BD ，进而可证明AE=CD ，再由AE ∥BC 可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE 是平行四边形；（2）根据面积公式解答即可．【题目详解】证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，∵AE ∥BC ，∴∠AEF=∠DBF ，在△AFE 和△DFB 中，AEF DBF AFE BFD AF DF ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△AFE ≌△DFB （AAS ），∴AE=BD ，∴AE=CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）∵四边形ABCE的面积为S，∵BD=DC，∴四边形ABCE的面积可以分成三部分，即△ABD的面积+△ADC的面积+△AEC的面积=S，∴面积是12S的三角形有△ABD，△ACD，△ACE，△ABE．【题目点拨】此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.。

2025届北京昌平临川育人学校九上数学期末综合测试试题含解析

2025届北京昌平临川育人学校九上数学期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC ：AB=2：5，则S △ADC ：S △BDC 是（）A ．3：19B ．1:19C ．3:21D ．4：212．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数(环)9.2 9.2 9.2 9.2 方差(环2)0.0350.0150.0250.027则这四人中成绩发挥最稳定的是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．抛物线23y x =先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（） A ．23(2)1y x =+-. B ．23(2)1y x =-+ C ．2(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++4．如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，20BCO ∠=，则A ∠的度数为( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°5．不等式23x x -+>的解为（） A ．12x >-B ．12x <C ．2x >-D ．2x <6．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A ．0.55米B ．1130米 C ．1330米 D ．0.4米7．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为AB 的中点且CD ＝4，则OE 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知平面直角坐标系中，点()1,2P -关于原点对称的点的坐标是（） A ．()1,2-B ．()1,2--C ．()1,2-D ．()1,29．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（） A ．B ．C ．D ．10．在下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．11．某校准备修建一个面积为200平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的宽为x 米，根据题意可列方程为（） A ．x （x ﹣12）=200 B ．2x +2（x ﹣12）=200 C ．x （x +12）=200D ．2x +2（x +12）=20012．如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC ，若DB ＝4，AB ＝6，BE ＝3，则EC 的长是（）A ．4B ．2C ．32D ．52二、填空题（每题4分，共24分）13．某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为_____m ．14．已知二次函数y ＝ax 1+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(1，y 1)，则y 1_____y 1．(填“＞”“＜”或“＝”)15．在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于原点对称的点的坐标是____________． 16．如图,点()()()111222,,,,,,n n n P x y P x y P x y 在函数()10y x x=>的图象上, 11212,,POA P A A 3231,,n n n P A A P A A -都是等腰直角三角形.斜边112231,,,,n n OA A A A A A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数),点n P 的坐标是______．17．一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．18．已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S 甲2、S 乙2，则S 甲2__S 乙2（填“＞”、“=”、“＜”）三、解答题（共78分）19．（8分）李老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让学生进行摸球试验，每次摸出一个球（放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率mn0.230.210.30_______________（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个黑球的概率是______．（结果都保留小数点后两位）（2）估算袋中白球的个数为________．（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算出两次都摸出白球的概率． 20．（8分）如图，在ABC ∆中12,15,18,AC AB BC D BC ===是边上一点，2•AC BC CD = ，连接AD ，点E ,F 分别是,BC AB 的点（点F 不与点,A B 重合），CFE B ∠=∠,CF AD 与相交于点G . (1)求AD ，BD 的长； (2)求证：BEF ∆～AFG ∆；(3)当EF FG =时，请直接写出AG 的长.21．（8分）如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，E 是边AC 上任意一点（点E 与点A ，C 不重合），以CE 为一直角边作Rt ECD ∆，90ECD ︒∠=，连接BE ，AD .若Rt ABC ∆和Rt ECD ∆是等腰直角三角形.（1）猜想线段BE ，AD 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；（2）现将图①中的Rt ECD ∆绕着点C 顺时针旋转n ︒，得到图②，请判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.22．（10分）如图，AB BC =，以BC 为直径作O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB ⊥于点F ，交CB 的延长线于点G .（1）求证：EG 是O 的切线；（2）若23GF =，4GB =，求O 的半径.23．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝3，点E 是边CD 的中点，点P ，Q 分别是射线DC 与射线EB 上的动点，连结PQ ，AP ，BP ，设DP ＝t ，EQ ＝t ．（1）当点P 在线段DE 上（不包括端点）时．①求证：AP ＝PQ ；②当AP 平分∠DPB 时，求△PBQ 的面积．（2）在点P ，Q 的运动过程中，是否存在这样的t ，使得△PBQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，试说明理由． 24．（10分）如图1，O 的直径4cm AB =，点C 为线段AB 上一动点，过点C 作AB 的垂线交O 于点D ，E ，连结AD ，AE .设AC 的长为cm x ，ADE ∆的面积为2cm y .小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题.（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了y 与x 的几组对应值，如下表：/cm x0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2/cm y0.71.72.9a4.85.24.6请求出表中小东漏填的数a ；（2）如图2，建立平面直角坐标系xOy ，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；（3）结合画出的函数图象，当ADE 的面积为24cm 时，求出AC 的长.25．（12分）如图，已知抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)经过点A (1，0)和点B (3，0)，与y 轴交于点C ． (1)求此抛物线的解析式；(2)若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点(不点B ，C 重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，求PD 的长度最大时点P 的坐标．(3)设抛物线的对称轴与BC 交于点E ，点M 是抛物线的对称轴上一点，N 为y 轴上一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．26．如图，直线l 与⊙O 相离，OA l ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，5OA =.C 是直线l 上一点，连结CP 并延长交⊙O 于另一点B ，且AB AC =. （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，求线段BP 的长.参考答案一、选择题（每题4分，共48分） 1、D【分析】根据已知条件易证△ADC ∽△ABC ，再利用相似三角形的性质解答即可．【详解】∵在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A ， ∴△ADC ∽△ABC ，∴AC ：AB=2：5，是相似比， ∴S △ADC ：S △ABC =4：25，∴S △ADC ：S △BDC =4：（25﹣4）=4：21，故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADC ∽△ABC 是解决问题的关键． 2、B【解析】在平均数相同时方差越小则数据波动越小说明数据越稳定， 3、A【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x 2先向向下平移1个单位可得到抛物线y=3x 2-1；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x 2-1先向左平移2个单位可得到抛物线23(2)1y x =+-. 故选A. 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则. 4、C【分析】连接OB ，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】连接OB ，∵OC ＝OB ，∠BCO ＝20 ︒， ∴∠OBC ＝20 ︒，∴∠BOC ＝180 ︒−20 ︒−20 ︒＝140 ︒， ∴∠A ＝140 ︒×12＝70 ︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． 5、B【分析】根据一元一次不等式的解法进行求解即可．【详解】解：移项得，32x x -->-，合并得，42x ->-，系数化为1得，12x<．故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，属于基础题型，明确解法是关键．6、B【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝13 30，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键7、B【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝4，AC⊥BD，又∵点E是边AB的中点，∴OE＝12AB＝1．故选：B．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OE=12AB是解题关键．8、C【解析】∵在平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标都互为相反数，∴点P（1，-2）关于原点的对称点坐标为（-1，2），故选C.9、D【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180度之后与自身重合称为中心对称，轴对称是折叠后能够与自身完全重合称为轴对称，根据定义去解题.【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形的定义.10、C【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念：中心对称图形关键是寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．11、C【解析】解：∵宽为x，长为x+12，∴x（x+12）=1．故选C．12、C【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案．【详解】解：∵DE∥AC，∴DB：AB＝BE：BC，∵DB＝4，AB＝6，BE＝3，∴4：6＝3：BC，解得：BC＝92，∴EC＝BC﹣BE＝32．故选C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意掌握各比例线段的对应关系．二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】设旗杆的影长为xm，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】解：设旗杆的影长BE为xm，如图：∵AB∥CD∴△ABE∽△DCE∴AB DC BE CE=，由题意知AB=50,CD=15,CE=18,即，501518x=，解得x＝1，经检验，x=1是原方程的解，即高为50m 的旗杆的影长为1m ．故答案为：1．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例.14、>【分析】根据二次函数y ＝ax 1+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(1，y 1)和二次函数的性质可以判断y 1 和y 1的大小关系．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 1+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵该函数经过点(﹣1，y 1)，(1，y 1)，|﹣1﹣1|＝1，|1﹣1|＝1，∴y 1＞y 1，故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．15、 (－3，4)【详解】在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于原点对称的点的坐标是(－3，4).故答案为(－3，4).【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.16、1,1()n n n n --【分析】过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3都是等腰直角三角形，可求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律得出点P n 的坐标．【详解】解：过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，∵△P 1OA 1是等腰直角三角形，∴P 1E=OE=A 1E=12OA 1，设点P 1的坐标为（a ，a ），（a ＞0），将点P 1（a ，a ）代入1y x =，可得a=1，故点P 1的坐标为（1，1），则OA 1=2，设点P 2的坐标为（b+2，b ），将点P 2（b+2，b ）代入1y x =，可得b=21-，故点P 2的坐标为（21+，21-），则A 1F=A 2F=21-，OA 2=OA 1+A 1A 2=22，设点P 3的坐标为（c+22，c ），将点P 3（c+22，c ）代入1y x=，可得c=32-，故点P 3的坐标为（32+，32-），综上可得：P 1的坐标为（1，1），P 2的坐标为（21+，21-），P 3的坐标为（21+，21-），总结规律可得：P n 坐标为1,1()n n n n +---；故答案为：1,1()n n n n +---. 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律是解题的关键.17、3或247【分析】依据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长【详解】分两种情况：①若90DEB ∠=，则90AED C ∠==∠， CD ED =，连接AD ，则()Rt ACD Rt AEAD HL ∆≅∆，6AE AC ∴==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，Rt BDE ∆中，222DE BE BD +=2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3CD ∴=；②若90BDE ∠=，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，90AFE EDB ∴∠=∠=，AEF B ∠=∠，~AEF EBD ∴∆∆，AF EF ED BD∴=，设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-，68x x x x-∴=-，解得247x =， 247CD ∴=，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为3或247．【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形18、＞【解析】要比较甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；首先根据折线统计图结合根据平均数的计算公式求出这两组数据的平均数；接下来根据方差的公式求出甲、乙两个样本的方差，然后比较即可解答题目.【详解】甲组的平均数为：3626463+++++=4，S甲2=16×[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=73，乙组的平均数为：4353465+++++=4，S乙2=16×[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=23，∵73＞23，∴S甲2＞S乙2.故答案为：>.【点睛】本题考查的知识点是方差,算术平均数,折线统计图，解题的关键是熟练的掌握方差,算术平均数,折线统计图.三、解答题（共78分）19、表格内数据：0.26，0.25，0.25 （1）0.25；（2）1；（1）916．【分析】(1)直接利用频数÷总数=频率求出答案;(2)设袋子中白球有x个,利用表格中数据估算出得到黑球的频率列出关于x的分式方程,【详解】（1）251÷1000=0.251;∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近0.25,∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25;（2）设袋中白球为x个,11+x=0.25,x=1．答：估计袋中有1个白球．（1）由题意画树状图得:由树状图可知,所有可能出现的结果共有16种,这些结果出现的可能性相等,其中两次都摸出白球的有9种情况．所以P(两次都摸出白球)=916．【点睛】本题主要考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率, 解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法.20、（1）AD=10，BD=10；（2）见解析；（3）【分析】（1）由2•AC BC CD =可证明△ABC ∽△DAC ，通过相似比即可求出AD ，BD 的长；（2）由（1）可证明∠B=∠DAB ，再根据已知条件证明∠AFC=∠BEF 即可；（3）过点C 作CH ∥AB ，交AD 的延长线于点H ，根据平行线的性质得到CH CD HD AB BD AD==，计算出CH 和AH 的值，由已知条件得到BEF ∆≌AFG ∆，设AG=x ，则AF=15-x ，HG=18-x ，再由平行线的性质得到CH HG AF AG =，表达出即可解出x ，即AG 的值．【详解】解：（1）∵2•AC BC CD =， ∴AC BC CD AC=，又∵∠ACB=∠DCA ，∴△ABC ∽△DAC ， ∴AC BC AB CD AC AD ==，即12181512CD AD==，解得：CD=8，AD=10，∴BD=BC-CD=18-8=10，∴AD=10，BD=10；（2）由（1）可知，AD=BD=10，∴∠B=∠DAB ，∵∠AFE=∠B+∠BEF ，∴∠AFC+∠CFE=∠B+∠BEF ，∵CFE B ∠=∠，∴∠AFC=∠BEF ，又∵∠B=∠DAB ，∴BEF ∆～AFG ∆；（3）如图，过点C 作CH ∥AB ，交AD 的延长线于点H ， ∴CH CD HD AB BD AD==，即8151010CH HD ==，解得：CH=12，HD=8， ∴AH=AD+HD=18，若EF FG =，则BEF ∆≌AFG ∆；∴BF=AG ，设AG=x ，则AF=15-x ，HG=18-x ，∵CH ∥AB ， ∴CH HG AF AG =，即121815x x x-=-，解得：14531052x -=，24531052x +=（舍去） ∴AG=4531052-．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉相似三角形的判定，并灵活作出辅助线．21、（1）BE=AD ，BE ⊥AD ；（2）BE=AD ，BE ⊥AD 仍然成立，理由见解析【分析】（1）由CA=CB ，CE=CD ，∠ACB=90°易证△BCE ≌△ACD ，所以BE=AD ，∠BEC=∠ADC ，又因为∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE ⊥AD ；（2）成立．设BE 与AC 的交点为点F ，BE 与AD 的交点为点G ，易证△ACD ≌△BCE ．得到AD=BE ，∠CAD=∠CBE ．再根据等量代换得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE ⊥AD ．【详解】（1）BE =AD ，BE ⊥AD ；在△BCE 和△ACD 中，∵90CA CB ACB ACD CE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△ACD (SAS )，∴BE =AD ，∠BEC =∠ADC ，∵∠EBC +∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ADC =90°，∴BE ⊥AD .故答案为：BE=AD ，BE ⊥AD.（2）BE=AD ，BE ⊥AD 仍然成立设BE 与AC 的交点为F ，BE 与AD 的交点为G ，如图∴90ACB ECD ︒∠=∠=，∴ACD BCE ∠=∠.在ACD ∆和ACE ∆中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD BCE SAS ∆≅∆.∴,AD BE CAD CBE =∠=∠∵,90BFC AFG BFC CBE ︒∠=∠∠+∠=，∴90AFG CAD ︒∠+∠=， 90AGF ︒∠=，∴BE ⊥AD【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.22、（1）见解析；（2）O 的半径为4.【分析】(1) 连接OE ，利用AB=BC 得出A C ∠=∠，根据OE=OC 得出，OEC C ∠=∠，从而求出OE AB ，再结合EG AB ⊥即可证明结论；(2)先利用勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.【详解】解：(1)证明：连接OE .∵AB BC =∴A C ∠=∠∵OE OC =∴OEC C ∠=∠∴A OEC ∠=∠∴OE AB∵BA GE ⊥，∴OE EG ⊥，且OE 为半径∴EG 是O 的切线(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒ ∵23GF =，4GB =∴222BF BG GF =-= ∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽∴BF BG OE OG =∴244OE OE=+ ∴4OE =即O 的半径为4.【点睛】本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质，根据题目作出辅助线，数形结合是解题的关键.23、（1）①见解析；②S △PBQ ＝18﹣9；（2）存在，满足条件的t 的值为6﹣1或1或6+1．【解析】（1）①如图1中，过点Q 作QF ⊥CD 于点F ，证明Rt △ADP ≌Rt △PFQ 即可．②如图，过点A 作PB 的垂线，垂足为H ，过点Q 作PB 的垂线，垂足为G ．由Rt △ADP ≌Rt △AHP ，推出PH ＝PD ＝t ，AH ＝AD ＝1．由Rt △AHP △Rt △PGQ ，推出QG ＝PH ＝DP ＝t ，在Rt △AHB 中，则有12+（6﹣t ）2＝62，求出t 即可解决问题．（2）分三种情形：①如图1﹣1中，若点P 在线段DE 上，当PQ ＝QB 时．②如图1﹣2中，若点P 在线段EC 上（如图），当PB ＝BQ 时．③如图1﹣1中，若点P 在线段DC 延长线上，QP ＝QB 时，分别求解即可．【详解】（1）①证明：如图1中，过点Q 作QF ⊥CD 于点F ，∵点E 是DC 的中点，∴CE ＝DE ＝1＝CB ，又∵∠C＝90°，∴∠CEB＝∠CBE＝45°，∵EQ＝t，DP＝t，∴EF＝FQ＝t．∴FQ＝DP，∴PF＝PE+EF＝PE+DP＝DE＝1∴PF＝AD，∴Rt△ADP≌Rt△PFQ，∴AP＝PQ．②如图，过点A作PB的垂线，垂足为H，过点Q作PB的垂线，垂足为G．由AP平分∠DPB，得∠APD＝∠APB，易证Rt△ADP≌Rt△AHP，∴PH＝PD＝t，AH＝AD＝1．又∠APD＝∠PAB，∴∠PAB＝∠APB，∴PB＝AB＝8，易证Rt△AHP△Rt△PGQ，∴QG＝PH＝DP＝t，在Rt△AHB中，则有12+（6﹣t）2＝62，解得t＝6﹣1，∴S△PBQ＝•PB•QG＝×6×（6﹣1）＝18﹣9．（1）①如图1﹣1中，若点P在线段DE上，当PQ＝QB时，∴AP＝PQ＝QB＝BE﹣EQ＝1﹣t，在Rt △APD 中，由DP 2+AD 2＝AP 2，得t 2+9＝2（1﹣t ）2，解得t ＝6﹣1或6+1（舍去）②如图1﹣2中，若点P 在线段EC 上（如图），当PB ＝BQ 时，∴PB ＝BQ ＝t ﹣1，则在Rt △BCP 中，由BP 2＝CP 2+BC 2，得2（t ﹣1）2＝（6﹣t ）2+9，解得：t ＝1或（舍去）③如图1﹣1中，若点P 在线段DC 延长线上，QP ＝QB 时，∴AP ＝PQ ＝BQ ＝t ﹣1，在Rt △APD 中，由DP 2+AD 2＝AP 2，得t 2+9＝2（t ﹣1）2，解得（舍去）或综上所述，满足条件的t 的值为6﹣1或1或6+1．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判走和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决间题，属于中考压轴题.24、（1） 4.0a =；（2）详见解析；（3）2.0或者3.7【分析】（1）当x ＝2时，点C 与点O 重合，此时DE 是直径，由此即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）利用图象法，确定y ＝4时x 的值即可；【详解】（1）当2x =时，即ED 是直径，可求得ADE ∆的面积为4.0，∴ 4.0a =；（2）函数图象如图所示：（3）由图像可知，当 4.0a =时， 2.0AC x ==或3.7【点睛】本题考查圆综合题，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．25、 (1)y =x 2﹣4x +1；(2)PD 的长度最大时点P 的坐标为(32，﹣34)；(1)点M 的坐标为M 1(2，1)，M 2(2，1﹣22)，M 1(2，1+22)【分析】（1）用待定系数法法求解；把已知点的坐标分别代入解析式可得；（2）设P (m ，m 2﹣4m +1)，将点B (1，0)、C (0，1)代入得直线BC 解析式为y BC =﹣x +1．过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，则D (m ，﹣m +1)，PD ==﹣(m ﹣32)2+94，求函数最值可得．（1）设存在以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E (2，1)，EF =CF =2，求出EC =22，根据菱形性质，ME =EC =22，可求出M 的坐标；注意当EM =EF =2时，M (2，1).【详解】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +1(a ≠0)经过点A (1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C ，∴309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y =x 2﹣4x +1；(2)如图：设P (m ，m 2﹣4m +1)，将点B (1，0)、C (0，1)代入得直线BC 解析式为y BC =﹣x +1．∵过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，∴D (m ，﹣m +1)，∴PD =(﹣m +1)﹣(m 2﹣4m +1)=﹣m 2+1m ．=﹣(m ﹣32)2+94． ∴当m =32时，PD 有最大值．当m =32时，m 2﹣4m +1=﹣34． ∴P (32，﹣34)．答：PD 的长度最大时点P 的坐标为(32，﹣34)． (1)存在这样的点M 和点N ，使得以点C 、E 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E (2，1)，∴EF =CF =2，∴EC ，根据菱形的四条边相等，∴ME =EC∴M (2，1﹣)或(2，)当EM =EF =2时，M (2，1)答：点M 的坐标为M 1(2，1)，M 2(2，1﹣)，M 1(2，)．【点睛】考核知识点：二次函数解析式，二次函数的最值.理解二次函数性质，数形结合分析问题是解题的一般思路.26、（1）详见解析；（2【解析】（1）连结OB ，则OP OB =，OBP OPB CPA ∠=∠=∠，已知AB=AC ，故∠=∠ACB ABC ，由OA l ⊥可得90∠+∠=︒ACB CPA ，则90ABP OBP ∠+∠=︒，证得90∠=︒ABO ，即AB 是⊙O 的切线.（2）在直角三角形AOB 中，OA=5,OB=3，可求得AB=AC=4.在直角三角形ACP 中，由勾股定理可求得2225=+=PC AC AP ，过点O 做OD ⊥BC 于点D ，可得△ODP ∽△CAP ，则有=PD OP PA CP，代入线段长度即可求得PD ，进而利用垂径定理求得BP.【详解】(1)证明：如图，连结OB ，则OP OB =，∴OBP OPB CPA ∠=∠=∠，AB AC =ACB ABC ∴∠=∠∵OA l ⊥，即90OAC ∠=︒，90ACB CPA ∴∠+∠=︒即90ABP OBP ∠+∠=︒90ABO ∴∠=︒OB AB ∴⊥故AB 是⊙O 的切线；(2)由(1)知：90∠=︒ABO而5OA =，3OB OP ==由勾股定理，得：4AB =4AC AB ==，2AP OA OP =-=2225PC AC AP ∴+=过O 作OD PB ⊥于D ，则PD DB =在ODP ∆和CAP ∆中OPD CPA ∠=∠，90ODP CAP ∠=∠=︒ODP ∴∆∽CAP ∆PD OP PA CP∴= 355OP PA PD CP ⋅∴==6255BP PD ∴==【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质及判断，垂径定理，圆与直线的位置关系，解本题的关键是掌握常见求线段的方法，将知识点结合起来解题.。

北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学(文)试题

北京市昌平区新学道临川学校【最新】高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{|18}A x x =∈N ，{|(3)(7)0}B x x x =--<，则A B =（）A ．{1,2,3}B ．{4,5,6}C ．{5,6,7}D ．{3,4,5,6}2．已知集合A ={−1,3}，B ={2,a 2}，若A ∪B ={−1,3,2,9}，则实数a 的值为（） A ．±1B ．±3C ．−1D ．33．已知i 是虚数单位，a R ∈，则“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．两个线性相关变量x ，y ，满足如下关系则y 与x 的线性回归直线一定过其样本点的中心，其坐标为（） A ．()5,5B ．()4,5C ．()4,4D ．()5,45．某工科院校对A 、B 两个专业的男、女生人数进行调查统计，得到以下表格：如果认为工科院校中“性别”与“专业”有关，那么犯错误的概率不会超过（）注：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++A ．0.005B ．0.01C ．0.025D ．0.056．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的n 值为（）A ．3B ．4C ．5D ．67．函数21()ln 2f x x x =-+的极值点是（） A ．1x =-B ．12x =-C ．1x =D ．12x =8．若函数f(x)＝8x 2－2kx －7在[1，5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是（） A ．(－∞，8] B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8，40]9．函数()()10f x x x x=+<的值域为（） A ．[)2,+∞ B ．(][),22,-∞+∞ C ．(],2-∞-D ．R10．函数1()2f x x x=-的图象关于（） A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．直线y x =对称 D ．坐标原点对称11．函数y=log 2213x x--的定义域( )A ．（12，3） B ．（12，+∞） C ．（0，3）D ．[12，3] 12．函数12()123x x x f x x x x ++=+++++对称中心为（） A ．()4,6- B ．()2,3-C ．()4,3-D ．()2,6-二、填空题13．如图，直线l 是曲线()y f x =在()4,5处的切线，则()4f '=________．14．不等式11x>的解集是 15．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．三、双空题16．已知函数()26ax f x x +=-的对称中心为(),1b ，则a =______；b =______．四、解答题17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 18．集合(){}21|,A x y y xmx ==-+-，(){},3,03|B x y y x x ==-≤≤．（Ⅰ）当4m =时，求A B ；（Ⅱ）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围． 19．()()2321f x x a x a =-++.（1）若函数()f x 在[]0,2上的最大值为3，求a 的值；（2）设函数()f x 在[]0,2上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式. 20．已知二次函数f （x ）满足f （x ）=f （2-x ），且f （1）=6，f （3）=2．（1）求f （x ）的解析式（2）是否存在实数m ，使得在[-1，3]上f （x ）的图象恒在直线y =2mx +1的上方？若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由． 21．已知函数()ln 2f x x x =+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()y f x ax =+在区间(),e +∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数2()g x x x=-，其中0x >.证明：()g x 的图象在()f x 图象的下方. 22．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.参考答案1．B 【分析】确定集合,A B 中的元素，根据交集运算法则计算．【详解】集合{|18}A x x =∈N {1,2,3,4,5,6,7,8}=，{|37}B x x =<<，则{4,5,6}A B =.故应选B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的求解，属于基础题． 2．B 【解析】【分析】由A ∪B ={−1,3,2,9}，可得出a 2=9，于此可得出实数a 的值. 【详解】∵集合A ={−1,3}，B ={2,a 2}，且A ∪B ={−1,3,2,9}，∴a 2=9，因此，a =±3，故选：B. 【点睛】本题考查利用集合的并集运算求参数的值，考查有限集之间的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．A 【解析】【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【详解】因为2(i)a +＝212i a a -+，当1a =时，2(i)a +＝2i ，是纯虚数，当2(i)a +为纯虚数时，1a =±，故选A 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查充分必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．A 【分析】求出x ，y ，线性回归直线一定过样本点的中心(,)x y . 【详解】2456855x ++++==， 2.2 4.3 4.8 6.57.255y ++++==， y 与x 的线性回归直线一定过点()5,5. 故选：A 【点睛】本题考查线性回归直线的样本点中心，属于基础题. 5．D 【分析】根据联表中的数据()2210012464381004.7621684505021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，与临界值比较，即可得到结论．【详解】根据题意，填写2×2列联表如下；得到以下表格：计算()2210012464381004.7621684505021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯；且4.762＞3.841，所以认为工科院校中“性别”与“专业”有关，犯错误的概率不会超过0.05. 故选D. 【点睛】此类题首先把表格补齐，然后根据表格数据代入已知的方程求出值与标准值进行比较即可，属于较易题目． 6．C 【解析】模拟执行程序，可得 A =2，S =0，n =1不满足条件S >2，执行循环体，S =1，n =2 不满足条件S >2,执行循环体,S =32，n =3 不满足条件S >2,执行循环体,S =116，n =4 不满足条件S >2,执行循环体,S =2512，n =5 满足条件S >2，退出循环，输出n 的值为5. 故选：C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．C 【分析】求出函数的定义域及导数，利用导数研究函数的单调性从而确定极值点. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '>，解得01x <<，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，1x =是函数()f x 的极大值点. 故选：C本题考查利用导数研究函数的极值点，属于基础题. 8．C 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系得到k 的取值范围．【详解】由题意得，函数()2827f x x kx ＝－－图象的对称轴为8kx =，且抛物线的开口向上， ∵函数()2827f x x kx ＝－－在[1,5] 上为单调函数， ∴18k≤或58k ≥，解得8k ≤或40k ≥，∴实数k 的取值范围是][(),840,∞∞⋃－＋．故选C ．【点睛】二次函数在给定区间上的单调性依赖于两个方面，即抛物线的开口方向和对称轴与区间的位置关系，解决二次函数单调性的问题时，要根据这两个方面求解即可．本题考查数形结合的思想方法在数学中的应用． 9．C 【分析】利用基本不等式可求得函数的最大值，进而得到函数值域. 【详解】当0x <时，0x ->，()12f x x x ⎛⎫∴=---≤-=- ⎪⎝⎭（当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号）， ()f x ∴的值域为(],2-∞-.故选：C . 【点睛】本题考查函数值域的求解问题，属于基础题. 10．D判断函数的奇偶性，根据奇偶性判断函数的对称性. 【详解】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为11()2(2)()f x x x f x x x-=-+=--=-，所以函数()f x 是奇函数，则()f x 的图象关于原点对称. 故选：D 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，奇函数图象的对称性，属于基础题. 11．A 【解析】【分析】由真数大于0，求解对分式不等式得答案；【详解】函数y=log 2213x x--的定义域需满足()()()()211021302130 3.32x x x x x x x ->⇔-->⇔--<⇔<<- 故选A. 【点睛】】本题考查函数的定义域及其求法，考查分式不等式的解法，是中档题．12．B 【分析】设111()(1)11g x x x x x =---≠±-+，证明()g x 为奇函数则图象关于原点对称，由()(2)3f x g x =++推出函数()f x 的对称中心.【详解】设111()(1)11g x x x x x =---≠±-+，则111111()()1111g x g x x x x x x x -=---=++=-----+-+，所以函数()g x 为奇函数，图象关于原点对称，易知111()3(2)3123f x g x x x x ⎛⎫=-++=++⎪+++⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为()2,3-. 故选：B 【点睛】本题考查函数的对称中心，奇函数的性质，属于中档题. 13．12【分析】从图中求出切线过的点，求出直线的斜率，根据导数的几何意义即可求出()4f '的值. 【详解】由图知，切线过(0,3),(4,5)，所以直线l 的斜率为531402-=-，由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，所以()142f '=. 故答案为：12【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的斜率，属于基础题. 14．(0,1) 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式来求解. 【详解】依题意110x ->，()1010x x x x->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1. 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 15．15- 【解析】根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则故答案为15-. 16．1 6 【分析】结合反比例函数的性质及函数的图象平移，求出对称中心，列出方程组，从而求得,a b 的值，得到答案．【详解】由题意，函数()()a x 66a 2ax 26a 2f x a x 6x 6x 6-++++===+---，将反比例函数62a y x +=的图象向右平移6个单位，再向上平移a 个单位，可得函数()626a f x a x +=+-的图象，所以结合反比例函数62a y x+=的性质及函数的图象平移可知，函数()f x 的对称中心为()6,a又因为()f x 的对称中心为()b,1，所以61b a =⎧⎨=⎩，故答案为1，6 【点睛】本题主要考查了函数的图象的变换，以及函数的对称性的应用，其中解答中根据图象的平移变换，结合反比例函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．(1) 0.35a =，0.10b =；(2) 4.05，6. 【分析】(1)由()0.70P C =及频率和为1可解得a 和b 的值；(2)根据公式求平均数. 【详解】(1)由题得0.200.150.70a ++=，解得0.35a =，由0.050.151()10.70b P C ++=-=-，解得0.10b =.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，乙离子残留百分比的平均值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题. 18．（Ⅰ）{(1,2)}A B =；（Ⅱ）[3,)m ∈+∞.【分析】（Ⅰ）联立曲线与直线的方程求出交点，结果写成点集的形式；（Ⅱ）A B ⋂≠∅转化为当[0,3]x ∈时方程213x mx x -+-=-有解，当0x =时，方程不成立；当 (0,3]x ∈时，41m x x +=+，由对勾函数的单调性求出函数4()f x x x=+在(0,3]上的值域即可求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）24113203y x x x y x y x ⎧=-+-=⎧⎪=-⇒⎨⎨=⎩⎪≤≤⎩，所以{(1,2)}A B =；（Ⅱ）A B ⋂≠∅等价于当[0,3]x ∈时方程213x mx x -+-=-有解，即2(1)40x m x -++=在[0,3]x ∈上有解，当0x =时，方程不成立，所以0不是方程的解；当 (0,3]x ∈时，41m x x+=+①，因为函数4()f x x x=+在(0,2]上单调递减，(2,3]上单调递增，(2)224f =+=，所以()[4,)f x ∈+∞，①式有解，则143m m +≥⇒≥. 综上所述：[3,)m ∈+∞. 【点睛】本题考查集合的交集运算，根据集合交集的结果求参数，属于基础题.19．（1）3a =或53；（2）()2,11,15383,5a a a a g a a a a <-⎧⎪-+-⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩ 【分析】（1）根据对称轴位置，确定最大值的位置，然后依次验证得到a 的取值；（2）根据对称轴位置，确定最小值取值位置，得到()g a 表达式. 【详解】由题意可得：()f x 对称轴为13a x += （1）①当123a +>，即5a >时，()f x 在[]0,2上单调递减 ()()max 03f x f a ∴===，不合题意②当103a +<，即1a <-时，()f x 在[]0,2上单调递增 ()()()max 212413f x f a a ∴==-++= 53a ⇒=，不合题意③当1023a +≤≤即15a -≤≤时，()f x 在10,3a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；1,23a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ()max f x ∴为()0f 或()2f当()()max 0f x f =时，3a =，此时()21f =-，符合题意当()()max 2f x f =时，53a =，此时()503f =，符合题意综上所述：3a =或53（2）①当123a +>，即5a >时，()f x 在[]0,2上单调递减 ()()283g a f a ∴==-②当103a +<，即1a <-时，()f x 在[]0,2上单调递增 ()()0g a f a ∴==③当1023a +≤≤即15a -≤≤时，()f x 在10,3a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；1,23a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ()21133a a a g a f +-+-⎛⎫∴==⎪⎝⎭综上所述：()2,11,15383,5a a a a g a a a a <-⎧⎪-+-⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩ 【点睛】本题考查二次函数图像问题，关键在于通过对称轴的不同位置，确定最值取得的具体点，得到所求结果.20．（1）()225f x x x =-++；（2）11,26⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据题意，分析可得f （x ）的对称轴为x ＝1，结合f （1）的值设f （x ）＝a （x ﹣1）2+6，又由f （3）＝2，即a （3﹣1）2+6＝2，解可得a 的值，即可得函数的解析式；（2）根据题意，假设存在存在实数m ，分析可得f （x ）＞2mx +1即x 2+2（m ﹣1）x ﹣4＜0在[﹣1，3]上恒成立，设g （x ）＝x 2+2（m ﹣1）x ﹣4，结合二次函数的性质可得()()11203610g m g m ＜＜⎧-=--⎪⎨=-⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，二次函数f （x ）满足f （x ）=f （2-x ），则函数f （x ）的对称轴为x =1，又由f （1）=6，则设f （x ）=a （x -1）2+6，又由f （3）=2，即a （3-1）2+6=2，解可得a =-1，则f （x ）=-（x -1）2+6=-x 2+2x +5，（2）根据题意，假设存在存在实数m ，使得在[-1，3]上f （x ）的图象恒在直线y =2mx +1的上方，则有f （x ）＞2mx +1即x 2+2（m -1）x -4＜0在[-1，3]上恒成立，设g （x ）=x 2+2（m -1）x -4，必有()()11203610g m g m -=--<⎧⎪=-<⎨⎪⎩，解可得-12＜m ＜16，即m 的取值范围为（-12，16）．【点睛】本题考查函数恒成立问题，涉及二次函数的解析式的计算，关键是求出二次函数的解析式． 21．(1) 10x y -+=. (2) 2a ≥-. (3)证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算()1f 和()'1f 的值，点斜式求出切线方程即可. （Ⅱ）设()()12F x f x ax x nx ax =+=++，并求导.将问题转化为在区间(),e +∞上，()'0F x ≥恒成立，或者()'0F x ≤恒成立，通过特殊值()1,a e e +∈+∞，且()1'110a F ea a +=+++>，确定()'0F x ≥恒成立，通过参数分离，求得实数a 的取值范围；(Ⅲ）设()()()h x f x g x =-，将问题转化为证明()0h x >，利用函数的导数确定函数最小值()0h x 在区间()1,e ，并证明()00h x >. 即()g x 的图象在()f x 图象的下方. 详解：解：（Ⅰ）求导，得()'11f x nx =+，又因为()()1 2.'1 1.f f ==所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为10.x y -+= （Ⅱ）设函数()()12F x f x ax x nx ax =+=++，求导，得()'11F x nx a =++，因为函数()()F x f x ax =+在区间(),e +∞上为单调函数，所以在区间(),e +∞上，()'0F x ≥恒成立，或者()'0F x ≤恒成立，又因为()1,a ee +∈+∞，且()1'110a F ea a +=+++>，所以在区间(),e +∞，只能是()'0F x ≥恒成立，即11a nx ≥--恒成立. 又因为函数11y nx =--在在区间(),e +∞上单调递减，()()y 2x y e <=-，所以2a ≥-.(Ⅲ）证明：设()()()212,0h x f x g x x nx x x x=-=+-+>. 求导，得()22'1h x nx x =-. 设()()22'1m x h x nx x ==-，则()314'0m x x x=+>（其中0x >）.所以当()0,x ∈+∞时，()m x （即()'h x ）为增函数.又因为()()22'120,'10h h e e=-=-，所以，存在唯一的()01,x e ∈，使得()00202'10.h x nx x =-= 且()'h x 与()h x 在区间()0,+∞上的情况如下：所以，函数()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()h x ≥ ()0h x .又因为()01,x e ∈，()00202'10h x nx x =-=，所以()000000024412220h x x nx x x e x x e=+-+=-+>-+>，所以()0h x >，即()g x 的图象在()f x 图象的下方.点睛：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，函数的单调性与导数的关系，考查了恒成立问题的参数分离方法. 将()g x 的图象在()f x 图象的下方，通过构造新函数()()()h x f x g x =-，转化()0h x >恒成立是解题关键.22．（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤【分析】（1）先由题意，将0=3θπ代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin 3πρθ===即)3M π，所以tan3OM k π==因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为(4)3y x =--，即40x +-=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ+=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）设(,)P x y ，则OP y k x =， 4AP yk x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.。

北京市昌平区新学道临川学校2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题

临川学校2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学文科试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等差数列{}n a 中，若,84=a 42=a ，则6a ＝（）A ．0B ．6C ．12D ．16 2. 在等比数列{a n }中，a 1＝8，q ＝21，则a 2 ＝（） A ．1 B ．2 C ．3 D.4 3．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋234. 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( )A. 3 B ．3 C. 5 D ．55．过点P(－1，m)和Q(m,8)的直线斜率等于2，那么m 的值等于( )A ．-17B ．2C ．5D ．10 6. 直线被圆截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．7. 已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝49和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．内含D ．相交8．已知以原点为中心的椭圆C 的左焦点为F ()01-，，离心率等于，则C 的方程是（） A ． B ． C ． D ． 9. 已知双曲线2221x y a -=（a>0）的离心率是25，则 a =（）22240x y x y +--=2114322=+y x 13422=+y x 12422=+y x 13422=+y xA． B ．4 C ．2 D ．1210. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线经过点()1,2-，则该抛物线的焦点坐标为（）A ．(－2，0)B ．(2，0)C ．(0，1)D ．(0，-1)11. 若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（）A. 2B. 1C.D. 12. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A ．C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．直线023=++y x 在y 轴上的截距为．14.已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．16．斜率为13直线l 经过椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A ，且与椭圆交于另一个点B ，若在y 轴上存在点C 使得ABC △是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17题10分，第18~21题每题12分.P 1222=+y x 1F 2F 9021=∠PF F 21PF F ∆232122221x y a b+=(0)a b >>1F x P 2F 1260F PF ∠=121317．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知18,831-=-=S a ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．18.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2bsin A.(1)求B 的大小．(2)若a ＝33，c ＝5，求b.19．已知等差数列的前项和满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．{}n a n n S 30S =55S =-{}n a 21211{}n n a a -+n20. 已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N. （1）求椭圆C 的方程；（2）当k =1时，求△AMN 得面积.21．已知过点)30(，A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2)3(222=-+-y x 交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若1124+=•OM ，其中O 为坐标原点，求l 的方程．22．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B. （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D.若C,D 和点71(,)44Q -共线，求k.临川学校2020-2021学年度第一学期期末考试高二文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2022年新新学道临川学校高三上学期期末考试数学文模拟练习 Word版含解析配套精选

2021-2021学年临川学校高三〔上〕期末数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕复数的虚部为〔〕A．﹣i B．i C．﹣D．2．〔5分〕设集合M＝{x|x2﹣2x≤0}，N＝{x|x＜1}，那么M∩N＝〔〕A．{x|x＜1}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|﹣2≤x≤0}3．〔5分〕tanθ＝3，那么cos2θ＝〔〕A．B．C．D．4．〔5分〕某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，那么a与b未同时被选中的概率为〔〕A．B．C．D．5．〔5分〕∃x＞0，使得，那么实数a的取值范围是〔〕A．a＞2B．a≥2C．a＜2D．a≤26．〔5分〕某三棱锥的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．4D．87．〔5分〕设向量，满足+＝〔3，1〕，•＝1，那么|﹣|＝〔〕A．2B．C．2D．8．〔5分〕设{a n}为等差数列，a1＝22，S n为其前n项和，假设S10＝S13，那么公差d＝〔〕A．﹣2B．﹣1C．1D．29．〔5分〕F是抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，假设△ABF为等边三角形，那么Γ的离心率e＝〔〕A．B．C．D．10．〔5分〕函数f〔x〕＝e x+ax﹣1的图象与x轴相切，那么a＝〔〕A．﹣1B．0C．D．111．〔5分〕圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点，C为弧AB的中点．设直线MC与直线SO所成角为α，那么tanα＝〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕点P在圆x2+y2＝4上，A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，M为BP中点，那么sin∠BAM的最大值为〔〕A．B．C．D．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕假设x，y满足约束条件，那么x+2y的最大值为．14．〔5分〕函数，那么不等式f〔x〕＜1的解集为．15．〔5分〕S n是数列{a n}的前n项和，S n＝2﹣a n，那么S5＝．16．〔5分〕假设函数f〔x〕＝sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ≤〕的图象关于点〔，0〕对称，且f〔x〕在[0，]上单调递减，那么ω＝．三、解答题：共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.〔一〕必考题：60分17．如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°．〔1〕假设∠AMB＝60°，求BC；〔2〕设∠DCM＝θ，假设MB＝4MC，求tanθ．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面CBB1C1是菱形，∠C1CB＝60°，平面ABC⊥平面CBB1C1，M为BB1的中点，AC⊥BC．〔1〕证明：CC1⊥平面A1C1M；〔2〕假设CA＝CB＝2，求三棱锥C1﹣A1CM的体积．19．近年来，我国工业经济开展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年〔从2021年到2021年〕的工业增加值〔万亿元〕，如表：年份202120212021202120212021202120212021202112345678910年份序号x工业增加28值y依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．〔1〕根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y〔万亿元〕与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数y＝μe vx，其拟合指数R2＝；研究人员乙采用函数y＝mx n，其拟合指数R2＝；研究人员丙采用线性函数y＝bx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好．〔注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2＝r2〕．〔2〕根据〔1〕的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程〔系数精确到〕；〔3〕预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关．附：样本〔x i，y i〕〔i＝1，2，…，n〕的相关系数，，，．20．椭圆，离心率，过点M〔1，﹣1〕的动直线l与椭圆C相交于A，B两点．当l⊥x轴时，．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕N为椭圆C的上顶点，证明k NA+k NB为定值．21．函数f〔x〕＝2alnx+x2﹣4x+3〔a＞0〕．〔1〕假设f〔x〕在定义域内单调递增，求a的取值范围；〔2〕假设f〔x〕有两个极值点x1，x2，证明：f〔x1〕+f〔x2〕＞0．〔二〕选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分. 22．在极坐标系中，直线，圆C：ρ＝4sinθ．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．〔1〕求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；〔2〕点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．23．f〔x〕＝|x+1|+|x﹣1|﹣1．〔1〕解不等式f〔x〕≤x+1；〔2〕证明：3f〔x〕≥f〔2x〕．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕复数的虚部为〔〕A．﹣i B．i C．﹣D．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法那么化简复数为﹣+i，从而得到他的虚部．【解答】解：复数＝＝＝﹣+i，故此复数的虚部为，应选：D．【点评】此题主要考查复数的根本概念，两个复数代数形式的乘除法法那么的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于根底题．2．〔5分〕设集合M＝{x|x2﹣2x≤0}，N＝{x|x＜1}，那么M∩N＝〔〕A．{x|x＜1}B．{x|﹣2≤x＜1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|﹣2≤x≤0}【分析】由一元二次不等式的解法得：M＝，由集合的交集的运算得：M∩N＝，得解．【解答】解：由一元二次不等式的解法得：因为x2﹣2x≤0，解得0≤x≤2，即M＝，又N＝{x|x＜1}，所以M∩N＝，应选：C．【点评】此题考查了一元二次不等式的解法及集合的交集的运算，属简单题．3．〔5分〕tanθ＝3，那么cos2θ＝〔〕A．B．C．D．【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果．【解答】解：知tanθ＝3，那么cos2θ＝＝．应选：D．【点评】此题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于根底题型．4．〔5分〕某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，那么a与b未同时被选中的概率为〔〕A．B．C．D．【分析】先求出根本领件总数n＝＝6，a与b未同时被选中的对立事件是a与b同时被选中，由此利用对立事件概率计算公式能求出a与b未同时被选中的概率．【解答】解：某校开设a，b，c，d共4门选修课，一位同学从中随机选取2门，根本领件总数n＝＝6，a与b未同时被选中的对立事件是a与b同时被选中，∴a与b未同时被选中的概率为：p＝1﹣＝．应选：D．【点评】此题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等根底知识，考查运算求解能力，是根底题．5．〔5分〕∃x＞0，使得，那么实数a的取值范围是〔〕A．a＞2B．a≥2C．a＜2D．a≤2【分析】问题转化为阿a≥〔x+〕min，再用根本不等式求最小值．【解答】解：∃x＞0，使得+x﹣a≤0，等价于a≥〔x+〕min，∵x+≥2＝2，〔当且仅当x＝1时取等〕故a≥2应选：B．【点评】此题考查了根本不等式及其应用，属根底题．6．〔5分〕某三棱锥的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．4D．8【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体的直观图如图：是正方体的一局部，几何体的体积为：＝．应选：A．【点评】此题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．7．〔5分〕设向量，满足+＝〔3，1〕，•＝1，那么|﹣|＝〔〕A．2B．C．2D．【分析】配方变形得|﹣|＝＝，再代入可得．【解答】解：|﹣|＝＝＝＝应选：B．【点评】此题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属根底题，8．〔5分〕设{a n}为等差数列，a1＝22，S n为其前n项和，假设S10＝S13，那么公差d＝〔〕A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据等差数列的求和公式即可求出．【解答】解：∵S10＝S13，a1＝22，∴10×22+×d＝13×22+d，解得d＝﹣2，应选：A．【点评】此题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于根底试题．9．〔5分〕F是抛物线C：y2＝2px〔p＞0〕的焦点，抛物线C的准线与双曲线的两条渐近线交于A，B两点，假设△ABF为等边三角形，那么Γ的离心率e＝〔〕A．B．C．D．【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：抛物线的焦点坐标为〔，0〕，准线方程为：x＝﹣，准线方程与双曲线的渐近线方程y＝±x，联立解得y＝±，可得|AB|＝，△ABF为等边三角形，可得p＝•，即有＝，那么e＝＝＝＝．应选：D．【点评】此题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．10．〔5分〕函数f〔x〕＝e x+ax﹣1的图象与x轴相切，那么a＝〔〕A．﹣1B．0C．D．1【分析】求出函数的导数，讨论a是否为﹣1，求出极值点，利用极值为0，求出a的值即可．【解答】解：f〔x〕＝e x+ax﹣1，f′〔x〕＝e x+a，假设f〔x〕的图象与x轴相切，y＝0是函数的切线方程，当a＝﹣1时，x＝0是函数的极值点，并且f〔0〕＝0，满足题意；a≥0不满足题意．应选：A．【点评】此题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想的应用．考查计算能力．11．〔5分〕圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点，C为弧AB的中点．设直线MC与直线SO所成角为α，那么tanα＝〔〕A．B．C．D．【分析】先作图作出直线MC与直线SO所成角，再在直角三角形中求其正切值即可．【解答】解：设圆的半径为R，那么有SO＝，EM＝R，过M作ME⊥AO交AO于点E，易得∠EMC为直线MC与直线SO所成角，在Rt△COE中，EC＝＝R，在Rt△MEC中，tan∠EMC＝＝＝，故直线MC与直线SO所成角为α，那么tanα＝，应选：C．【点评】此题考查了作图能力及空间两异面直线所成的角，属中档题．12．〔5分〕点P在圆x2+y2＝4上，A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，M为BP中点，那么sin∠BAM的最大值为〔〕A．B．C．D．【分析】设P〔2cosα，2sinα〕，那么M〔1+cosα，sinα〕先求出AM的斜率的最大值，在得出sin∠NAM的最大值．【解答】解：设P〔2cosα，2sinα〕，那么M〔1+cosα，sinα〕，tan∠BAM＝＝≤，∴sin∠BAM，应选：C．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕假设x，y满足约束条件，那么x+2y的最大值为2．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，得A〔0，1〕，此时z的最大值为z＝0+2×1＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．〔5分〕函数，那么不等式f〔x〕＜1的解集为〔﹣1，e﹣1〕．【分析】分段求解x的范围即可；【解答】解：函数，不等式f〔x〕＜1，即或解得：﹣1＜x＜0或0≤x＜e﹣1不等式f〔x〕＜1的解集为：〔﹣1，e﹣1〕．故答案为：〔﹣1，e﹣1〕．【点评】此题考查分段函数的运用，考查分段函数值对应的自变量，考查运算能力，属于中档题．15．〔5分〕S n是数列{a n}的前n项和，S n＝2﹣a n，那么S5＝．【分析】n≥2时，由S n＝2﹣a n，可得S n＝2﹣〔S n﹣S n﹣1〕，化为S n﹣2＝〔S n﹣1﹣2〕，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：n≥2时，∵S n＝2﹣a n，∴S n＝2﹣〔S n﹣S n﹣1〕，∴S n﹣2＝〔S n﹣1﹣2〕，n＝1时，a1＝2﹣a1，解得a1＝1．∴S1﹣2＝﹣1．∴数列{S n﹣2}是等比数列，首项为﹣1，公比为．∴S n﹣2＝﹣，∴S5＝2﹣＝．故答案为：．【点评】此题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．〔5分〕假设函数f〔x〕＝sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，0＜φ≤〕的图象关于点〔，0〕对称，且f〔x〕在[0，]上单调递减，那么ω＝3．【分析】由三角函数的对称性得：φ＝kπ，由单调性及集合的包含关系得：[0，]⊆[，]，再观察求解即可【解答】解：令ωx+φ＝kπ，由函数f〔x〕的图象关于点〔，0〕对称，那么有x＝为方程ωx+φ＝kπ的一个根，即φ＝kπ，又令2kπ+≤ωx+φ≤2k，解得：，即函数的减区间为[，]，又f〔x〕在[0，]上单调递减，所以[0，]⊆[，]，所以＝0，即φ＝，即ω＝6k﹣3，k∈Z．又，即ω≤6，所以ω＝3，故答案为：3．【点评】此题考查了三角函数的对称性、单调性及集合的包含关系，属中档题．三、解答题：共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.〔一〕必考题：60分17．如图，在梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°．〔1〕假设∠AMB＝60°，求BC；〔2〕设∠DCM＝θ，假设MB＝4MC，求tanθ．【分析】〔1〕利用直角三角形的边角关系求得MB、MC的值，再利用余弦定理求得BC的值；〔2〕用∠DCM＝θ，利用直角三角形的边角关系求出MC、MB的值，由MB＝4MC列出关系式求得tanθ的值．【解答】解：〔1〕由∠BMC＝60°，∠AMB＝60°，得∠CMD＝60°，在Rt△ABM中，MB＝2AM＝4，在Rt△CDM中，MC＝2MD＝2；在△MBC中，由余弦定理得，BC2＝BM2+MC2﹣2BM•MC•cos∠BMC＝16+4﹣2×＝12，所以BC＝2；〔2〕因为∠DCM＝θ，所以∠ABM＝60°﹣θ，0°＜θ＜60°，在Rt△MCD中，MC＝，在Rt△MAB中，MB＝，由MB＝4MC，得＝，即2sin〔60°﹣θ〕＝sinθ，化简得cosθ＝2sinθ，求得tanθ＝．【点评】此题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面CBB1C1是菱形，∠C1CB＝60°，平面ABC⊥平面CBB1C1，M为BB1的中点，AC⊥BC．〔1〕证明：CC1⊥平面A1C1M；〔2〕假设CA＝CB＝2，求三棱锥C1﹣A1CM的体积．【分析】〔1〕在菱形BB1C1C中，由解三角形可得CC1⊥C1M，再由面面垂直的性质可得AC⊥平面CBB1C1，得到AC⊥CC1，再由线面垂直的判定可得CC1⊥平面A1C1M；〔2〕由〔1〕知，CC1⊥平面A1C1M，CC1⊥C1M，再由结合等积法求三棱锥C1﹣A1CM的体积．【解答】〔1〕证明：在菱形BB1C1C中，M为BB1的中点，∠MB1C1＝60°，设BC＝2a，那么MB1＝a，B1C1＝2a，，∴，可得B1M⊥C1M，那么CC1⊥C1M；∵平面ABC⊥平面CBB1C1，且平面ABC∩平面CBB1C1＝BC，AC⊥BC，∴AC⊥平面CBB1C1，那么AC⊥CC1，那么CC1⊥A1C1．又A1C1∩C1M＝C1，∴CC1⊥平面A1C1M；〔2〕解：由〔1〕知，CC1⊥平面A1C1M，CC1⊥C1M，∵CA＝CB＝2，∴．那么＝．【点评】此题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．近年来，我国工业经济开展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年〔从2021年到2021年〕的工业增加值〔万亿元〕，如表：年份2021202120212021202120212021202120212021年份序号12345678910x工业增加28值y依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．〔1〕根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y〔万亿元〕与年份序号x的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数y＝μe vx，其拟合指数R2＝；研究人员乙采用函数y＝mx n，其拟合指数R2＝；研究人员丙采用线性函数y＝bx+a，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好．〔注：相关系数r与拟合指数R2满足关系R2＝r2〕．〔2〕根据〔1〕的判断结果及统计值，建立y关于x的回归方程〔系数精确到〕；〔3〕预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关．附：样本〔x i，y i〕〔i＝1，2，…，n〕的相关系数，，，．【分析】〔1〕根据相关数据求出r的值，求出R2的值即可；〔2〕求出相关系数，从而求出回归方程；〔3〕分别求出y的预报值，判断即可．【解答】解：〔1〕r＝≈，R2＝r2≈，∵R2越大，拟合效果越好，故丙的拟合效果最好；〔2〕＝≈，＝﹣×≈，故回归方程是：＝+；〔3〕从2021年开始计数，2021年是第11年，其工业增加值y的预报值＝×11+＝＜30，2021年是第12年，其工业增加值y的预报值＝×12+＝＞30，故预测到2021年工业增加值能突破30万亿元大关．【点评】此题考查了拟合指数，考查回归方程以及函数求值，是一道常规题．20．椭圆，离心率，过点M〔1，﹣1〕的动直线l与椭圆C相交于A，B两点．当l⊥x轴时，．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕N为椭圆C的上顶点，证明k NA+k NB为定值．【分析】〔1〕先由离心率得出a＝2b，由对称性得出点在椭圆上，将该点的坐标代入椭圆C的方程，求出b 和a的值，从而可得出椭圆C的方程；〔2〕对直线l的斜率是否存在进行分类讨论．①当直线l与x轴垂直时，求出点A、B的坐标，再利用斜率公式求出k NA+k NB的值；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k〔x+1〕，并设点A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并代入韦达定理计算出k NA+k NB的值，结合①②证明出结论．【解答】解：〔1〕由于椭圆C的离心率为，所以，a＝2b，那么椭圆C的方程为，由于当l⊥x轴时，，所以，点在椭圆C上，将点的坐标代入椭圆方程得，解得b＝1，那么a＝2b＝2，因此，椭圆C的方程为；〔2〕①当直线l与x轴垂直时，设点、，点N的坐标为〔0，1〕，此时，；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k〔x﹣1〕，即y＝kx﹣k﹣1，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得〔4k2+1〕x2﹣8k〔k+1〕x+4k〔k+2〕＝0，由韦达定理得，，所以，＝＝＝＝．综上所述，k NA+k NB为定值﹣2．【点评】此题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程与几何性质，同时也考查了韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．函数f〔x〕＝2alnx+x2﹣4x+3〔a＞0〕．〔1〕假设f〔x〕在定义域内单调递增，求a的取值范围；〔2〕假设f〔x〕有两个极值点x1，x2，证明：f〔x1〕+f〔x2〕＞0．【分析】〔1〕求出函数的导数，根据函数的单调性得到a≥〔﹣x2+2x〕max，求出a的范围即可；〔2〕求出函数的导数，求出f〔x1〕+f〔x2〕＝2alna﹣2a+2，令g〔a〕＝2alna﹣2a+2，0＜a＜1，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：〔1〕f′〔x〕＝+2x﹣4，〔x＞0，〕由f〔x〕递增，故f′〔x〕≥0，即+2x﹣4≥0恒成立，a≥〔﹣x2+2x〕max＝1，当且仅当x＝1时取“＝〞，即a≥1；〔2〕证明，由〔1〕得：f′〔x〕＝，由题意得f′〔x〕的两个零点是x1，x2，故0＜a＜1，且x1+x2＝2，x1•x2＝a，故f〔x1〕+f〔x2〕＝2alnx1+﹣4x1+3+2alnx2+﹣4x2+3＝2aln〔x1x2〕+﹣2x1x2+6＝2alna﹣2a+2，令g〔a〕＝2alna﹣2a+2，0＜a＜1，那么g′〔a〕＝2lna＜0，g〔a〕递减，∵g〔1〕＝0，∴g〔a〕＞0，∴f〔x1〕+f〔x2〕＞0．【点评】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．〔二〕选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.22．在极坐标系中，直线，圆C：ρ＝4sinθ．以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy．〔1〕求直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；〔2〕点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．【分析】〔1〕根据极坐标与直角坐标转化的规那么，以及直角坐标方程与参数方程转化规那么易得直线l的直角坐标方程和圆C的参数方程；〔2〕点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，故可用点到直线的距离公式计算出点P到直线l的距离，再由坐标的几何意义计算出点P到x轴的距离，将d1+d2的值表示为θ的三角函数，利用三角函数的最值求法即可求出最大值．【解答】解：〔1〕∵直线，整理得，所以直线l的直角坐标方程是，整理得，圆C：ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，由公式得x2+y2﹣4y＝0，所以圆的参数方程是；〔2〕∵点P在圆C上，P到l和x轴的距离分别为d1，d2，d1+d2＝+2+2sinθ＝+2+2sinθ＝+2＝5+2sin〔〕≤7，等号当且仅当时取到，故d1+d2的最大值是7．【点评】此题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程以及直角坐标方程转化为参数方程的方法，以及利用圆的参数方程解决圆的点到直线的距离的表示方程以及三角函数最值的求法，知识性强综合性强，23．f〔x〕＝|x+1|+|x﹣1|﹣1．〔1〕解不等式f〔x〕≤x+1；〔2〕证明：3f〔x〕≥f〔2x〕．【分析】〔1〕绝对值不等式的解法讨论①当x≤﹣1时，②当﹣1＜x＜1时，③当x≥1时，得解；〔2〕分段讨论①当x≤﹣1时，②当﹣1＜x≤﹣时，③当﹣＜x≤时，④当＜x≤1时，⑤当x＞1时，命题可得证．【解答】解：〔1〕①当x≤﹣1时，f〔x〕≤x+1等价于﹣〔x+1〕﹣〔x﹣1〕﹣1≤x+1，解得此方程无解，②当﹣1＜x＜1时，f〔x〕≤x+1等价于〔x+1〕﹣〔x﹣1〕﹣1≤x+1，解得0≤x＜1，③当x≥1时，f〔x〕≤x+1等价于〔x+1〕+〔x﹣1〕﹣1≤x+1，解得1≤x≤2，综合①②③可得：不等式的解集为：〔2〕①当x≤﹣1时，3f〔x〕﹣f〔2x〕＝﹣2x﹣2＝﹣2〔x+1〕≥0．即3f〔x〕≥f〔2x〕，②当﹣1＜x≤﹣时，3f〔x〕﹣f〔2x〕＝4〔x+1〕≥0，即3f〔x〕≥f〔2x〕，③当﹣＜x≤时，3f〔x〕﹣f〔2x〕＝3〔x+1〕﹣3〔x﹣1〕﹣3﹣〔2x+1〕+〔2x﹣1〕+1＝2≥0，即3f〔x〕≥f〔2x〕，④当＜x≤1时，3f〔x〕﹣f〔2x〕＝3〔x+1〕﹣3〔x﹣1〕﹣3﹣〔2x+1〕﹣〔2x﹣1〕+1＝﹣4〔x﹣1〕≥0，即3f〔x〕≥f〔2x〕，⑤当x＞1时，3f〔x〕﹣f〔2x〕＝3〔x+1〕+3〔x﹣1〕﹣3﹣〔2x+1〕﹣〔2x﹣1〕+1＝2〔x﹣1〕≥0，即3f〔x〕≥f〔2x〕，综合①②③④⑤得：3f〔x〕≥f〔2x〕，故命题得证．【点评】此题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的证明，属中档题．。

北京市昌平临川育人学校高二上学期期末考试数学(文)试

北京临川学校2017--2018学年上学期期末考试高二文科数学一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．若命题p:∃x0>0,|x0|≤1,则命题p的否定是A. ∀x>0,|x|>1B. ∀x>0,|x|≥1C. ∀x≤0,|x|<1D.∀x≤0,|x|≤12．已知i是虚数单位，复数iz4=对应的点在第（）象限3+A.四B. 三C. 二D. 一3.设x∈R，则“52-<<x”的<x”是“81<（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A）160 （B）140 （C）120 （D）565.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出s的值为（）C.36B.19.10A.17D6.椭圆22194x y +=的离心率是（）A B C ．23D ．597.双曲线的一个焦点坐标为（）A ．B ．C ．（2，0）D ．（0，2）8.设函数y ＝f (x )＝x 5，当自变量x 由1变为3时，函数的平均变化率为( ) A ．25 B ．60 C ．120 D ．125 9.函数x x x f 2)(2-=的单调递增区间是（）A ．(1,2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)10.函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)11.已知()y f x =的导函数为()y f x '=，且在1x =处的切线方程为3y x =-+，则()()11f f '-=（）A. 2B. 3C. 4D. 512.已知双曲线3y 2－mx 2＝3m (m >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为( )A.2D.51()ln x f x x x-=-二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为2，则P 到另一焦点距离为 .14.抛物线x y 82=下列抛物线的焦点坐标 .15.已知曲线y ＝f (x )＝x 2 +1上一点A (2,5)，则点A 处的切线方程为 . 16.若曲线y=xlnx 上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是 .三、解答题（写出必要的推理计算过程，17题10分，其他每题12分，共70分） 17.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i ）用所给编号列出所有可能的结果;（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.18.求下列函数的导数（1）f (x )＝x 3＋x ；（2）f (x )＝sin x ＋x ；（3）f (x )＝e xcos x ；（4）[].3,1,612)(2;612)(1.1933的最大值和最小值）求函数（的递增区间）求函数（-∈+-=+-=x x x x f x x x f20. 已知函数ex e x f x -=)(．（ 71828.2≈e ）（1）求曲线()y f x =在点)10，（处的切线方程；（2）求证：当0>x 时，0)(≥x f .21.已知中心在原点的椭圆C 的左焦点F （﹣，0），右顶点A （2，0）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求弦长|AB |的最大值及此时l 的直线方程．22.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．北京临川学校2017--2018学年第一学期期末考试高二文科数学参考答案一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1cos +=x y )sin (cos sin cos x x e x e x e y x x x -=-=二、填空题（每小题5分，共20分）13. 8 14.（2,0） 15.034=--y x 16. (e,e) 三、解答题（写出必要的推理或计算过程，共70分） 17.（II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A发生的概率()93.155P A == 18.（1）f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1 （2）（3）(4)()22111x f x x x x-'=-=19..10-)2(17)1-(2.22--)(220)()2)(2(3)4(3123)(122==∞+∞=-==-+=-=-=f f x f x x x f x x x x x f 最小值为，）最大值为（），），（，在递增区间为（所以，函数，或，得令）解：（，， 20..1(0)1()(,10)(,10)()()2(01)1)(1(,,,时，等号成立）当且仅当，得令，得，令解：==≥<<>>-==+--x f x f x x f x x f e e x f y x e x21.解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b 2=a 2﹣c 2=1．∵焦点在x 轴上，∴椭圆C 的方程为：．（2）设直线l 的方程为y=x +b ，由，可得x 2+2bx +2b 2﹣2=0，∵l 与椭圆C 交于A 、B 两点， ∴△=4b 2﹣4（2b 2﹣2）≥0，即b 2≤2．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2b ，x 1x 2=2b 2﹣2． ∴弦长|AB |==，∵0≤b 2≤2，∴|AB |=≤，∴当b=0，即l 的直线方程为y=x 时，弦长|AB |的最大值为．22.解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值． (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．。