概率论 第三章二维变量函数的概率
概率论第三章部分习题解答
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其分布函数 概率论课件
前面我们介绍了二维随机变量的概 念, 二维随机变量的分布函数及其性质。
二维随机变量也分为离散型和连续型, 下面我们分别讨论它们。
三、二维离散型随机变量 及其概率分布
如果二维随机变量(X,Y)的每个分 量都是离散型随机变量,则称(X,Y)是 二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量(X,Y)所有可 能取的值也是有限个或可列无穷个.
求: 二维随机变量(X,Y)的概率分布和其边缘分 布.
解: (X,Y)所有可能取的值是
(0,0),(0,1),(1,0,),(1,1).
P{X=0,Y=0}
=P{第一次取到正品且第二次也取到正品},
利用古典概型,得: P{X=0,Y=0}=(76)/(109)=7/15
同理求得:
P{X=0,Y=1}=(73)/(109)=7/30
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体
X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随
机向量. 以下重点讨论二维随机变量.
请注意与一维情形的对照 .
第三章 第一节
二维随机变量及其分布函数
一、二维随机变量
设随机试验E的样本空间是Ω，X=X() 和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量, 由它们 构成的向量(X,Y),称为二维随机变量(向量)。
而把F(x,y)称为X和Y的联合分布函数。
注意
X与Y的边缘分布函数,实质上就是一维随 机变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数 的原因是相对于(X,Y)的联合分布而言的。
同样地,(X,Y)的联合分布函数F(x, y)是相 对于(X,Y)分量X与Y的分布而言的。
求法
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞) FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y)
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的一种重要概念，指的是某个随机事件所对应的数值。
二维连续型随机变量指的是有两个自变量的随机变量，每个自变量都属于某个连续区间。
这种随机变量的分布函数和概率的计算是概率论研究的一个重点。
对于一个二维连续型随机变量(X,Y)，其概率密度函数f(x,y)满足以下条件：1. 对于所有的实数(x,y)，f(x,y)>=0。
2. 对于任意两个实数a和b(a<b)，有P(a<X<=b)=∫[a,b]∫f(x,y)dxdy。
3. ∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(x,y)dxdy=1。
f(x,y)独立于自变量的选取，并且可以看做点(x,y)在随机平面上的高度函数，表示(x,y)点上的概率密度。
定义随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=P{X<=x,Y<=y}。
它满足以下条件：1. F(x,y)是一个单调不减的函数。
对于所有的x和y，有F(x,y)<=F(x+δx,y)<=F(x+δx,y+δy)<=F(x,y+δy)，其中δx和δy是任意正数。
2. F(x,y)是一个右连续的函数。
对于无穷小的正数h，有lim F(x+h,y)=F(x,y)。
3. F(x,y)的边界值为lim F(±∞,y)=lim F(x,±∞)=0，lim F(±∞,±∞)=1。
此外，二维连续型随机变量的分布函数F(x,y)的偏导数f(x,y)即为概率密度函数。
也就是说，f(x,y)=∂F(x,y)/∂x∂y。
概率计算是概率论中的一个核心问题，对于二维连续型随机变量而言，其概率计算可以通过积分的方式实现。
1. 概率的计算方法对于二维连续型随机变量(X,Y)，如果要计算它的概率P(X∈A,Y∈B)，其中A和B为某个区间或集合，可以通过以下公式进行计算：P(X∈A,Y∈B)=∬_{(x,y)∈D}f(x,y)dxdy，其中D为一表示A和B的笛卡尔积的二元区域，f(x,y)为随机变量(X,Y)的概率密度函数。
概率论与数理统计课件第三章
f
(x,
y)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
(x
1)2
2 1
2
(x
1)( y 1 2
2 )
(y
2)2
2 2
其中1、2、1、 2、都是常数，且1 0， 2 0，1 1.
则称（X,Y）服从参数为1、2、1、的二2、维 正态分布，
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
2F(x, y) f (x, y) xy
(5)若(X,Y)为二维连续型随机向量,联合概率密度为f(x,y),则
F(x,y) P{X x,Y y}
返回
X
18
第
页
例5 设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
Ae2(x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
（1）确定常数A；
分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.
返回
X
25
第
页
例1 设二维随机向量（X,Y）的联合分布函数为
(1 e2x )(1 e3y ), x 0, y 0,
F(x, y)
0, 其他.
求边缘分布 FX (x), FY ( y)
当x
0时，FX
(x)
lim (1
y
e2 x
)(1
e3 y
)
1
e2 x
返回
X
14
第
例3 设随机变量Y~N(0，1),令
0, X 1 1,
| Y | 1
0,
|Y
|
概率论与数理统计§3.1 二维随机变量及其函数;§3.2 二维随机变量的分布
2. 性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x, y ) d x d y F (, ) 1.
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X a, Y c P (a X , c Y )
1 F (, c ) F (a, ) F (a, c )
(+,c)
x
例2. 设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数
x y F ( x, y ) A B arctan C arctan 2 2 x , y
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
例如，在例4中
1 1 F (1, 2) P{ X 1, Y 2} p11 p12 0 . 3 3
3.2.3 二维连续型随机变量 1.定义
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ；
(2) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B C 1 2 2 y F (, y ) A B C arctan 0 2 2 x F ( x, ) A B arctan C 0 2 2 1 B ,C , A 2 . 2 2 1 x y (2) F ( x, y ) 2 ( arctan )( arctan ) 2 2 2 2
大学概率论第三章----随机向量
大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。
简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。
概率论与数理统计第3章第一节-二维随机变量3-1解析
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。
4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。
5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。
以Y表示中途下车的人数。
（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。
为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。
13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。
15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。
为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。
《概率论与数理统计》第3章 二维随机变量及其分布
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
注意点
第32页
(1) X 与Y是独立的其本质是： 任对实数a, b, c, d，有
Pa X b, c Y d Pa X b Pc Y d
(2) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
23 April 2012
0
=A/6
所以, A=6
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
例3.3.2
若
(X,
Y)
～
p( x,
y)
6e(2x3y) , 0,
x 0, y 0 其它
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
第23页
y
解: P{ X<2, Y<1} p(x, y)dxdy
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
为(X, Y) 的联合分布函数.
注意：
F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.
23 April 2012
第三章 多维随机变量及其分布
x1 x2 … xi …
23 April 2012
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
第三章 多维随机变量及其分布
第9页
联合分布列的基本性质
(1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
概率论二维随机变量
对于连续型随机变量，可以通过联合概率密度函数积分计算边缘分布的概率密 度函数。
边缘分布的应用场景
统计推断
在统计分析中，常常需要利用边缘分布来推断另 一个随机变量的统计性质，如均值、方差等。
概率模型简化
在复杂概率模型中，可以通过计算边缘分布来简 化模型，便于分析和计算。
数据处理
在处理多维数据时，可以利用边缘分布来提取单 维数据，进行进一步的分析和处理。
条件概率与条件期望
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件下的概率。对于二维随机变量，条件概率是指在给定某个变量的条件下， 另一个变量的概率分布。
条件期望
条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的期望值。在二维随机变量中，条件期望是指在给定某个变 量的条件下，另一个变量的加权平均值。
05
例如温度和压力的联合分布。
02
二维随机变量的定义与性质
二维随机变量的定义
1 2
定义
二维随机变量是两个随机变量的组合，通常表示 为 (X, Y)，其中 X 和 Y 都是随机变量。
定义域
二维随机变量的定义域是 X 和 Y 的取值范围的 组合，通常表示为 D，D 是实数域 R 的子集。
3
概率空间
二维随机变量是概率空间的一个元素，概率空间 由样本空间、事件域和概率函数组成。
联合概率分布满足概率的基本性质，即非 负性、归一性和可加性。
03
二维随机变量的期望与方差
二维随机变量的期望
01
02
03
定义
二维随机变量的期望是所 有可能取值的概率加权和。
计算公式
E(X,Y)=∫−∞∞∫−∞∞(x,y )f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是 联合概率密度函数。
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。
4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。
5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。
以Y表示中途下车的人数。
（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。
为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。
13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。
15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。
为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。
经管类概率论与数理统计第三章多维随机变量及概率分布
3.1二维随机变量的概念3.1.1二维随机变量及其分布函数到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其他布，但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。
例如，在打靶时，以靶心为原点建立直角坐标系，命中点的位置是由一对随机变量（X，Y）（两个坐标）来确定的。
又如考察某地区的气候，通常要考察气温X，风力Y，这两个随机变量，记写（X，Y）。
定义3.12个随机变量X，Y组成的整体Z=（X，Y）叫二维随机变量或二维随机向量。
定义3.2（1）二元函数F（x,y）=P（X≤x,Y≤y）叫二维随机变量（X，Y）的联合分布函数，简称分布函数。
记作（X，Y）～F（x,y）。
（2）二维随机变量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函数叫二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数。
因为X<+∞，Y<+∞即-∞<X<+∞，-∞<Y<+∞，分别表示必然事件，所以有X～F x（x）=P（X≤x）=P（X≤x，Y<+∞）=F（x,+∞）Y～F Y（y）=P（Y≤y）=P（x<+∞，Y≤y）=F（+∞，y）公式可见X，Y的边缘分布可由联合分布函数求得。
3.1.2二维离散型随机变量定义3-3若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（x i，y j），（i，j=1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量。
设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x i，y j）（i，j=1，2，…），（X，Y）在各个可能取值的概率为：P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…），称P{X=x i,Y=y j}=P ij（i，j=1，2，…）为（X，Y）的分布律。
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性质：（1）p ij≥0（i，j=1，2，…）；（2）反之，若数集{P ij}（i，j=1，2，…）具有以上两条性质，则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律。
概率论与数理统计(第3-5章)
2y1
y 2
y 1时 ，
F(x,y) 4dxdy 4S三角形1
三角形
整理课件
所以，所求的分布函数为
0,
(x 1 或y 0) 2
2
y
2
x
y 2
1
,
( 1 x 0, 0 y 2 x 1) 2
F
(x,
y)
4
x
1 2
2
,
( 1 x 0,2x 1 y) 2
2
y
f(x,y) 1 8(6xy), 0x2,2y4
0,
其 他
求概率 PXY4X1
解答 PXY4X1
4
PXY4,X1
2
PX1
2
dx
4x 1 (6 x y)dy
1 2 8
7 48 7
2
dx
1
4 1 (6 x 28
y)整d理y课件
38
18
12
二维均匀分布
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
D
1
dx
31(6xy)dy
0 28
0 11 8(6yxy1 2y2)3 2dx8 3
2 12
整理课件
续解 ……….
PXY3f(x,y)dxdy
D
1
dx
3x1(6xy)dy
0 28
011 8(6yxy1 2y2)3 2xdx
5 24
整理课件
x+y=3
思考 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为
x2
+F(x1,y1)
P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)
概率论与数理统计(二维随机变量函数的分布)
将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴 影部分．
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
e y , y 0 , 1 , 0 x 1 , fY ( y ) fX ( x) 0 , 其它 , 0 , 其它,
fZ ( z )
f X ( x ) fY ( z x )dx
定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2 ，…，Xn 为相互独立的随机变量，且 X i ~ N (i , i 2 ), i 1,2,...,n C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
C X
i 1 i
n
i
~ N ( C i i , C i i )
2 2 i 1 i 1
i 1 n
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
(2) 将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中， 得 n
FY ( y) [F ( y)] FZ ( z ) 1 [1 F ( z )]n
(3) Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可 由上述两式分别对y和z求导得到
fY ( y) n[F ( y)]n1 f ( y) fZ ( z ) n[1 F ( z )]n1 f ( z )
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.22】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为
f(x，y)，求Z = X + Y的概率密度．
解：事件X + Y Z所占有的区域如图，
由 FZ ( z ) P{ X Y z }
x y z
f ( x, y)dxdy
f ( x, y)dx]dy
t 2
概率论与数理统计 第三章
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0, 其它, 0,
例2-续3
(3)求概率P{Y≤X}. 只需在概率密度f的非零 区域与事件区域 G={(x,y)|y≤x} 的交集D上积分. 由公式
0 F ( x, y) 1; ;
F ( x, y )关于x、y均单调不减右连续.
分布函数与离散型二维随机变量分布律、连 续型二维随机变量概率密度的关系[见后].
三、离散型二维随机变量
1、二维均匀分布
两种常见的二维连续型分布
设G为一个平面有界区域,其
二维均匀分布
面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密
度为
1 , ( x, y ) G , f ( x, y ) A 0, 其它,
则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为(X,Y)~U(G).
2、二维正态分布
域”的概率.
分布函数具有下列基本性质:
对任意点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 均有：
随机向量落在矩 形区域的概率
P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
F ( x1 , y1 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) 0;
D
x
例2-续4
2 e
0
2 x
(1 e )dx [e
x
2 x
2 3 x 2 1 e ] |0 1 . □ 3 3 3
本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算 的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域 与所求概率的事件区域G来处理这类问题。 就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎 样计算各段值?(板书)
东华大学《概率论与数理统计》课件 第三章 二维随机变量
Y
X
y1
y2
yn
x1
p11
p12
p1 n
x2
p21
p22
p2n
n
pi• =
pij
j =1
p1•
p2•
xm
pm1
pm2
pmn
m
p• j =
pij
p•1
p•2
p• n
i =1
其中， pij = P( X = xi ,Y = y j ) ，
pm•
n
m
p• j = pi• = 1
j −1
( x,
y)
=
1 s
,
0,
(x, y) S (x, y) S
3.体积为v的空间区域V上
(
x,
y,
z)
=
1 v
,
0,
(x, y, z) V (x, y, z) V
基本概念：随机向量、联合分布函数。 离散型随机变量：联合概率分布、阶梯型分布函
数。 连续型随机变量：概率密度函数、连续型分布函
数。
即
FY
(
y)
=
F
(+,
y)
=
lim
x→+
F
(
x,
y)
F ( x) = F ( x,+)
1 = F(+,+)
0 = F(−, y) O
二维随机变量 (X ,Y) 的分布函数： F(x, y) = P(X x,Y y)
y
y
(x,y)
0
x
x
二维分布函数 F(x,y) 的性质： (1)（非降性） F(x, y) 是 x 或 y 的单调非降函数.
概率论公式总结 (2)
XY
为 X 与 Y 的相关系数，记作 XY （有时可简记为 ）。
D(X ) D(Y )
| |≤1，当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关： P( X aY b) 1完全
相关
正相关，当 负相关，当
1时(a 0)， 1时(a 0)，
而当 0 时，称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的：① XY 0 ；
独立性
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C）
全概公式 P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
“由果朔因”的推断。
第二章 随机变量及其分布
连续型 随机变 量的分 布密度
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度
函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面性质： f (x) 0 。
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b]
上为常数 1 ，即 ba
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他
（ x1 , x2 ）内的概率为
指数分布
ex , f (x) ?
《概率论与数理统计》三
y (x,y)
y y2
y1
O
x
O x1
x2
x
P{x1 X x2, y1 Y y2} F(x2, y2 ) F(x1, y2 ) F(x2, y1) F(x1, y1)
➢ 分布函数F(x,y)的性质
设(X,Y)的所有可能取值:(xi, yj), i,j=1,2…,
P{X xi ,Y y j } ˆ pij ,( i, j 1,2,)
性
1 0 pij 1,
质
2
pij 1.
j1 i1
分
布
函 F ( x, y) pij
数
xi x yjy
Y X
x1 x2 xi
y1
p1 1 p21
记为
(X
,Y)
~
N (1,
2
,
2 1
,
22,
)
四、多维随机变量
(1)设E是一随机试验， 是其样本空间，X1,X2,...Xn 是定义在上的n个随机变量，则称n维向量(X1,X2,...Xn ) 为定义在 上的n维随机向量或n维随机变量．
(2)对n个任意实数，令
F(x1, x2 ,, xn ) P{X1 x1, X2 x2 ,Xn xn}
标 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一对数来
表示, 把X, Y看成变量, X 与Y 都是随机变量, (X,Y) 共同刻化试验的结果, 这就是二维随机变量.
例2 考察某地一天的天气情况, 即同时考虑最高气温、 最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量 来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.
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=1-(1-Fx (Z))(1-Fy (Z))
设系统L由两个相互独立的系统L1,L2 连接而成，连接的方 式分别为(1) 串联；(2) 并联；已知的寿命分别为随机变量 与，概率密度分别为
e x， y 0 x0 e ， Y ( y ) X ( x) y0 0, x0 0,
当X与Y相互独立时,
i
P{Z zk } P{X x i } P{Y z - x i } (k 1,2)
j
或 P{Z zk } P{X z y j} P{Y y j} (k 1,2)
例题
设二维随机变量(X,Y)的分布律为
Y X
0 1
0 0.2
G1
G2
yz
( x , y)dx dy
G1
0
[
( x , y)dx ]dy
令t 所以
yz x , 对 ( x , y)dx来说，y是固定的，且 0 y y
于是 ( x , y)dx dy
G1
- (x , y )dx
yz
x
其中，分别就以上两种连接方式求出系统L的寿命的
概率密度。
求Z=X/Y的概率密度
M=max(X,Y)的分布
F(z)=P{Z≤z}
= P{max(X,Y) ≤z}
= P{X ≤z,Y ≤z} =
z
z
( x, y)dxdy
当X与Y相互独立时,F(z)=
z
z
( x, y)dxdy
=Fx(z)FY(z)
N=min(X,Y)的分布
-
当X与Y相互独立时,Z的概率密度为
Z (z) | y | X (yz) Y (y)dy
-
例题
设随机变量X与Y相互独立,X的概率密度为
1 X ( x) 2 0 1 x 3 其他
Y的概率密度为
e -(y-2) Y ( y) 0 y2 y2
z
-
y (y t ,y )dt [
z -
0 z
y (y t ,y )dt]dy y (y t ,y )dy]dt
[
0
Z=X/Y的概率分布
同理
(x, y)dxdy [
- G2 0 - z
0
yz
(x, y)dx]dy
y (yt,y)dt]dy
Z=X+Y的概率分布
特别地,当X与Y相互独立时,由于
( x, y) X ( x)Y ( y)
所以
Z ( z) X ( x)Y ( z x)dx
X ( z y)Y ( y)dy
例题
设随机变量X与Y相互独立,且均服从 N(0,1),求Z=X+Y的概率密度
二维随机变量函数的概率分布--G(X,Y)的分布
X,Y是随机变量,那么关于X,Y的函数G(X,Y)也是随机变量
常见的函数的分布:
Z=X+Y的分布 Z=X/Y的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
Z=X+Y的概率分布
二维连续型随机变量函数的分布 二维离散型随机变量函数的分布
Z=X+Y的概率分布
F(z)=P{Z≤z}
= P{min(X,Y) ≤z}
=1- P{min(X,Y) ≥z} = 1-P{X ≥z,Y ≥z} =1-
z
z
( x, y)dxdy
当X与Y相互独立时,F(z) =1- z z
( x) ( y)dxdy
z
=1- z
( x)dx ( y)dy
Z=X+Y的概率分布--离散型
设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为 P{X=xi, Y=yj} (i, j=1,2…) 则Z=X+Y的概率分布为
或 P{Z zk } P{X z y j , Y y j} (k 1,2)
i
j
P{Z zk } P{X x i , Y z - x i } (k 1,2)
[
z
[ y (yt,y)dy]dt
z
Z=X/Y的概率分布
FZ ( z ) [ y (yt,y)dy y (yt,y)dy]dt
[ | y | (yt,y)dy]dt
-
z
0
z
0
-
得Z的概率密度为
Z (z) | y | (yt,y)dy
0.3
1
2
0.1
0.2
0.1
0.1
求Z=X+Y的分布律
Z=X/Y的概率分布
FZ ( z ) P{Z z} P{ Y
设(X,Y)的概率密度为 ( x, y ),Z=X/Y的分布函数 为FZ(z),则 X
z}
而
( x, y )dxdy ( x, y )dxdy
zx
( x, y)dy 中,z,
z
FZ ( z) [ ( x, t x)dt]dx
则,Z的概率密度为
[ ( x, t x)dx]dt
z
Z ( z ) ( x, z x)dx
同理可得:
Z ( z ) ( z y, y)dy
设(X,Y)的概率密度为 ( x, y) ,Z=X+Y的分布函 数为FZ(z),则
FZ ( z) P{Z z}
P{ X Y z}
在积分
zx
x y z
( X , Y )dxdy [ ( x, y)dy]dx
x是固定的,令t=x+y,有