分层抽样1

f4
n4 10 0.0067 N 4 1500
2 s4 193.333
ˆ Y N h yh
h 1
4
200 39 .5 400 105 750 165 1500 24 209650
ˆ N 2 W 2v y N 2 1 f h s 2 5.93 108 v Y h h h h nh h 1 h 1

3.2.1 总体均值的简单估计量


3.2.2 总体总量的简单估计量
3.2.3 总体比例的简单估计量
对总体均值或总量的简单估计
ˆ ˆ Yst WhYh Wh yh y st
h 1 L h 1
L
L
ˆ ˆ ˆ Yst Yh NYst N Wh yh N h yh
而 ( N 1) S (Yi Y ) (Yhi Y )2
2 2
N
k
Nh
(Yhi Yh Yh Y )2 (Yhi Yh )2 N h (Yh Y )2
2 ( N h 1) Sh N h (Yh Y )2 h 1 h 1
证明见p68-69，th3.3和推论3.1

只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。 各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是 无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
对于分层随机抽样，V y st 的一个无偏估计为
1 fh 2 v y st W v y h W sh nh h 1 h 1


4
4
ˆ s Y
ˆ v Y 23208

ˆ ˆ Y ts Y 209650 2 23208
对总体比例的估计
pst Wh ph
h 1
L
1 2 V ( pst ) Wh V ( ph ) 2 N Wh2 PhQh (1 f h ) nh L Wh2 ph qh v( pst ) (1 f h ) nh 1 L
第三章 分层随机抽样
授课教师：陈燕
本章主要内容



3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
概述 简单估计量及其性质 比率估计量及其性质 回归估计量及其性质 各层样本量的分配 总样本量的确定 分层抽样的其他方面
3.1 概述

3.1.1 定义

3.1.2 符号
层、分层抽样、分层随机抽样
符号说明
总体分为L层，h表示层的编号 第h层单位总数：Nh




第h层的样本单位数：nh
N 第h层的层权： h h W N
nh 第h层的抽样比： f h Nh


第h层子总体第i个单位标志值：Yhi
第h层样本中第i个单位标志值：yhi
符号说明

第h层的总体均值：
1 Yh Nh
nh
Y
也即至少当 nh/n=Wh时，分层抽样的误差比简单随机 抽样的误差小。相差的部分几乎恰恰只与各层之间的 差异平方和有关。 分层抽样的优点在于通过各层的独立抽样过程而减 少了由于各层之间的差异所造成的误差。 这个事实告诉我们: 为了取得分层的效果，必须注意层与层之间要有较 显著的差异。 当然并不是讲在总体中分辨不出各有特色的层时就一定 不用分层抽样不过那时的得益在于组织管理上的方便而 不表现在精度上。

总体总值的置信区间
Y u ˆ ˆ ˆ ˆst 1 / 2 v(Yst ) , Yst u1 / 2 v(Yst )
例1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样 单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层 按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位： 元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计 的标准差。
层 居民户 总数 1 1 2 3 4 200 400 750 1500 10 50 180 50 2 40 130 260 35 3 0 60 110 15 4 110 80 0 0 样本户奶制品年消费支出 5 15 100 140 20 6 10 55 60 30 7 40 160 200 25 8 80 85 180 10 9 90 160 300 30 10 0 170 220 25

不重 不漏

在抽样之前，先将总体N个单元划分成L个互不 重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大 小分别为 N1 , N 2 , , N L ，这个层合起来就是 L N N h ，然后，在每个层中分别 整个总体 h 1 独立地 进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所 得到的样本称为分层样本。 如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则 称为分层随机抽样
是V ( yst ) 的无偏估计量
证明见p68-69，th3.3和th3.4
分层随机样本的总体总量的简单估计量的性质
ˆ E (Yst ) Y
S h2 ˆ ˆ V (Yst ) N 2V (Yst ) N 2V ( yst ) N h ( N h nh ) nh
第h层的样本方差s2
2 1
f2
f3
n2 10 0.025 N 2 400
n3 10 0.0133 N3 750
y2 105
2 s2 2166.667
W3
N3 750 0.26316 N 2850
y3 165
y4 24
2 s3 8205.556
W4
N 4 1500 0.52632 N 2850
(2)式花括弧内第一项为各个单个样本方差的加权和，而第二 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较( 1 )和( 2 )， 若取 nh n Wh ，那么易见(1)式变为
2 2 L Wh2 S h Wh S h V ( y st ) nh N h 1 h 1 L
1 1 k 2 Var ( yst ) ( ) Wh Sh n N h1 1 1 k 因此 Var ( y ) Var ( yst ) ( ) Wh (Yh Y )2 0 n N h 1
L L 2 h 2 h
ˆ 对于分层随机抽样，V Yst 的一个无偏估计为
2 sh ˆ v(Yst ) N h ( th3.4和推论3.1
总体均值和总体总值的置信区间
总体均值的置信区间
y
st
u1 / 2 v( yst ) ,
yst u1 / 2 v( yst )
2 N h ( N h nh ) PhQh N 1 n h h
Nh很大
对总体总数的估计
ˆ Ast Npst N ( N h nh ) PhQh ˆ V ( Ast ) Nh 1 nh L
2 h
N h ( N h nh ) ˆ ) v( Ast n 1 ph qh L h
分层抽样又称为类型抽样或分类抽样
分层抽样的优点


分层抽样不仅可估计总体参数，还可估计层的 参数 实施方便，便于组织 分层样本比简单随机样本在总体中分布更均匀 分层抽样能较大地提高调查地精度
分层原则




1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对象的 不同类型进行划分。 2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间单元 的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精度的目的。 3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值相近 的原则进行多重分层，同时达到实现估计类值以及提 高估计精度的目的。 4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理机构 设置进行分层。
i 1
Nh
hi

1 第h层的样本均值： yh yhi n i 1
第h层的总体方差：
1 Nh 2 2 Sh Yhi Yh N h 1 i 1


1 nh 2 2 第h层的样本方差：sh yhi yh nh 1 i 1
3.2 简单估计量及其性质
h 1 4
f h 的计算结果，可得各层估计量的方差：
p1q1 0.0169 n1 1 pq v p3 1 f3 3 3 0.0263 n3 1 v p1 1 f1
因此，该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为：
1 N
N
h 1
4
h
ph

1 200 0.2 400 0.2 750 0.4 1500 0.1 2850
2 sh ˆ v(Yst ) N h ( N h nh ) nh
ˆ 是V (Yst ) 的无偏估计量
易证，见p69推论3.1
总结：分层随机样本简单估计量的性质

对于分层随机抽样，总体均值和总体总量的简 单估计量都是无偏的。即
E ( y st ) Yst ˆ E (Y ) Y
st st
估计量的标准差为：
分层抽样与简单抽样的效率比较
分层随机抽样的总体均值的估计方差为：
2 2 L Wh2 S h Wh S h V ( y st ) (1) nh N h 1 h 1 简单随机抽样的总体均值的估计方差为： 1 1 Var ( y ) ( ) S 2 n N L
例子


例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不 仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经 济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。 为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由 各省运输管理部门负责省内的调查工作。 各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。 为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。 例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查， 根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。 因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层 是有必要的。