第09章 向量自回归模型

相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与
等式右边的变量相关，假设 是t的协方差矩阵，是一个 (kk)的正定矩阵。式(9.1.1)可以用矩阵表示为
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y1 t 1 y1 t 2 y1t x1t 1t y 2 t 1 y 2 t 2 y 2t x 2t 2t A1 A2 B (9.1.2) y x y y kt dt kt k t 1 k t 2
第九章 向量自回归和误差修正模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之 间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可 以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计
和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种
用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章 所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression，VAR) 和向量误差修正模型(vector error correction model， VEC)就是非结构化的多方程模型。
系，可用残差的同期相关矩阵来描述。用e i 表示第i个
方程的残差，i =1，2，3。其结果如表9.1所示。
表9.1 残差的同期相关矩阵
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从表中可以看到实际GDP方程和实际利率、实际 M1方程的残差项之间存在的同期相关系数比较高，进 一步表明实际GDP和实际货币供给量(M1)、实际利率 之间存在着同期的影响关系，尽管得到的估计量是一致 估计量，但是在本例中却无法刻画它们之间的这种同期 影响关系。
t是不可观测的，可以被看作是不可解释的随机扰动。
本节要介绍的结构VAR模型(Structural VAR，SVAR)， 实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之
间的当期关系。
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1．两变量的SVAR模型
为了明确变量间的当期关系，首先来研究两变量
的VAR模型结构式和简化式之间的构VAR模型(SVAR)
在式(9.1.1)或式(9.1.3)中，可以看出，VAR模型并
没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型
的右端不含有内生变量，而这些当期相关关系隐藏在误 差项的相关结构之中，是无法解释的，所以将式(9.1.1) 和式(9.1.3)称为VAR模型的简化形式。模型中的误差项
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表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式 右端的变量。 也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。 例如： 2 4 6 9 12 12 即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。
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(4) 在Endogenous Variables和Exogenous Variables编辑 栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给
尽管有几个系数不是很显著，我们仍然选择滞后阶 数 为 3 。 3 个 方 程 调 整 的 拟 合 优 度 分 别
为：R 2 0.986, R 2 0.999, R 2 0.998 。无论如何，我们可 R M1 GDP 以利用这个模型进行预测及下一步的分析。
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同时，为了检验扰动项之间是否存在同期相关关
例如：作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供 应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让
即含有k个时间序列变量的VAR(p) 模型由k个方程组成。
常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是：
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IPt a11 IPt 1 a12 M 1t 1 b11 IPt 2 b12 M 1t 2 C1 1,t
年4季度的季度数据，利用VAR(3)模型对实际GDP[GDP季 值除以居民消费价格指数(1990年为100)]、实际M1和实际 利率RR (一年期贷款利率减去居民消费价格指数的变动率) 3个变量之间的关系进行了实证研究，其中实际GDP和实
际M1以对数的形式出现在模型中，而实际利率没有取对
数，由于方程右边的变量是相同的，所以OLS估计模型是
MA和 ARMA模型也可转化成 VAR模型 ，因此近年来
VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
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9.1.1 VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是
y t A1 yt 1 A p y t p BX t ε t
(9.1.1)
其中：yt 是 k 维内生变量向量，Xt 是d 维外生变量向量，p 是滞后阶数，样本个数为T 。kk维矩阵A1，…，Ap和kd 维矩阵B是要被估计的系数矩阵。t是k维扰动向量，它们
还可以将式(9.1.2)做简单变换，表示为
~ A ~ A ~ ~ yt εt 1 y t 1 p yt p
为
(9.1.3)
其中 ~t 是yt关于外生变量Xt回归的残差。式(9.1.3)可以简写 y
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A( L) ~t ~t y ε
(9.1.4)
A( L) I k A1 L A2 L2 Ap Lp ，是滞后算子L的 其中
C0 I k
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对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如对
矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的估
计量为
(9.1.7) ˆ 1 ε ε ˆt ˆt Σ T ˆ ˆ ˆ 其中： εt yt A1 yt 1 A2 yt 2 Ap yt 。当VAR的参数估 ˆ p 计出来之后，由于A(L)C(L)=Ik，所以也可以得到相应的
维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布
计算对数似然值：
Tn T ˆ l 1 ln 2π ln Σ 2 2
AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。
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例9.1
我国货币政策效应实证分析的VAR模型
为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长期影
响、短期影响及其贡献度，根据我国1995年1季度～2004
出常数c作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入c作为外
生变量，也可以，因为EViews只会包含一个常数。
其余两个菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与
VEC模型有关，将在下面介绍。
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2．VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews 将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：
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输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归 统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果，
并显示在对应的列中。
输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。
残差的协方差的行列式值由下式得出：
1 ˆ det ˆˆ Σ ε t ε 't T m t
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ˆ 其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数， ε t 是k
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EViews软件中VAR模型的建立和估计
1．建立VAR模型 为了创建一个VAR对象，应选择Quick/Estimate VAR… 或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入 var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例)：
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可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）：
kk的参数矩阵。一般称式(9.1.4)为非限制性向量自回归 模型(unrestricted VAR)。冲击向量t是白噪声向量，因为
t没有结构性的含义，被称为简化形式的冲击向量。
为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含外生变 量的非限制向量自回归模型，用下式表示
y t A1 y t 1 A p y t p ε t 或
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表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方 程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计
值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号
中)。例如，在log(GDPTC_P)的方程中RR(-1)的系数
是0.003521。
同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输
出的底部：
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有效的，其结果如下：
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RRt 10.18 2.08 17.87 15.39 RRt 1 ln( M 1)t 0.31 0.0008 1.94 0.10 ln( M 1)t 1 ln( GDP) 0.15 0.004 0.066 1.74 ln( GDP) t t 1 1.66 28.39 35.09 RRt 2 0.52 9.79 16.78 RRt 3 e1t 0.002 1.46 0.12 ln( M 1)t 2 0.0002 0.58 0.08 ln( M 1)t 3 e2t 0.005 0.006 1.36 ln( GDP) 0.002 0.11 0.54 ln( GDP) e t 2 t 3 3t
A( L) yt εt
(9.1.5)
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如果行列式det[A(L)]的根都在单位圆外，则式(9.1.5) 满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均
(VMA(∞))形式
y t C ( L) ε t
其中
(9.1.6)
C ( L) A( L) 1
C ( L) C 0 C1 L C 2 L2
VMA(∞)模型的参数估计。
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由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所 以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得
到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量
t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相