VAR-向量自回归模型

考虑对yt进行s期预测的均方误差（MSE）：
MSE
1 s
s i 1
( yˆti
Βιβλιοθήκη Baiduyti )2
(3.2.1)
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这样可以更正式地用如下的数学语言来描述
Granger因果的定义：如果关于所有的s > 0，基于(yt，yt1，…)预测yt+s得到的均方误差，与基于(yt，yt-1，…)和(xt， xt-1，…)两者得到的 yt+s的均方误差相同 ，则y不是由 x Granger引起的。对于线性函数，若有
VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列 变量之间的因果关系。本节讨论由Granger(1969) 提出， Sims(1972) 推广的如何检验变量之间因果关系的方法。
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1. Granger因果关系的定义
Granger解决了x是否引起y的问题，主要看现在的 y能够在多大程度上被过去的x解释，加入x的滞后值是 否使解释程度提高。如果x在y的预测中有帮助，或者x 与y的相关系数在统计上显著时，就可以说“y是由x Granger引起的”。
同时，有两类回归统计量出现在VAR对象估计输 出的底部：
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输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归 统计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果， 并显示在对应的列中。
输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。 残差的协方差的行列式值由下式得出：
Σˆ
det 1 T m
t
εˆt εˆ't
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一 向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型， VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生 变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归 模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归 模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与预测 最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元 MA 和 ARMA 模 型 也 可 转 化 成 VAR 模 型 ， 因 此 近 年 来 VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。
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（二）EViews软件中VAR模型的建立和估计
1．建立VAR模型 为 了 创 建 一 个 VAR 对 象 ， 应 选 择 Quick/Estimate VAR…或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口 中键入var。便会出现下图的对话框：
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可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型（VAR Type）：
向量自回归模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之 间的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可 以出现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计 和推断变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种 用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章 所要介绍的向量自回归模型(vector autoregression， VAR)和向量误差修正模型(vector error correction model， VEC)就是非结构化的多方程模型。
无约束向量自回归（Unrestricted VAR）或者向量误 差修正（Vector Error Correction）。无约束VAR模型是 指VAR模型的简化式。 (2) 在Estimation Sample编辑框中设置样本区间。
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(3) 在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信 息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这 一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例 如，滞后对
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其中m是VAR模型每一方程中待估参数的个数，εˆt 是
k维残差列向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布 计算对数似然值：
l Tn 1 ln 2π T ln Σˆ
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2
AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。
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二 VAR模型的检验
无论建立什么模型，都要对其进行识别和检验，以 判别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单 介绍关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要 介绍的向量误差修正模型（VEC）也适用。 （一） Granger因果检验
其余两个菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与 VEC模型有关，将在下面介绍。
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2．VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击OK按纽，EViews
将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：
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表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方 程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计 值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号 中)。
相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与
等式右边的变量相关
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由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边，所 以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法(OLS)能得 到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰动向量
t有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相
同的回归量，其与广义最小二乘法(GLS)是等价的。注意， 由于任何序列相关都可以通过增加更多的yt的滞后而被消 除（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不要求 非常严格。
14 表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式 右端的变量。 也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。 例如：
2 4 6 9 12 12 即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。
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(4) 在Endogenous Variables和Exogenous Variables编辑 栏中输入相应的内生变量和外生变量。系统通常会自动给 出常数c作为外生变量，但是相应的编辑栏中输入c作为外 生变量，也可以，因为EViews只会包含一个常数。
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（一） VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是
yt A1 yt1 Ap yt p BX t εt
(3.1.1)
其中：yt 是 k 维内生变量向量，Xt 是d 维外生变量向量，p 是滞后阶数，样本个数为T 。kk维矩阵A1，…，Ap和kd
维矩阵B是要被估计的系数矩阵。t是k维扰动向量，它们