球的一个性质解题

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高三关于球体的数学知识点

高三关于球体的数学知识点在高三的数学学习中，球体是一个重要的几何形体，掌握与球体相关的数学知识点对于解题和理解空间几何概念非常重要。

本文将介绍一些高三关于球体的数学知识点。

一、球的基本概念球是由一条定长的曲线围成的曲面，其特点是每个曲面上的点到球心的距离都相等。

球由球心、球面和球半径三要素决定，球心表示球的中心位置，球面表示球的表面，而球半径表示球心到球面上任一点的距离。

二、球的体积和表面积球的体积是指球所包围的空间的大小，通常用V表示。

球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r为球的半径。

球的表面积是指球的外表面积，通常用S表示。

球的表面积公式为S = 4πr²。

三、球的切割在学习球的切割时，我们常常遇到的问题是如何找到切割球面的截面形状以及求解截面的面积、周长等相关问题。

1. 球的截面形状：当一个平面与球面相交时，所得到的截面形状有可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线等。

具体的截面形状由球心与截面上的点的连线在平面上的投影决定。

2. 球的截面面积和周长：当已知截面形状时，可以使用相关几何知识来求解截面的面积和周长。

例如，当截面为圆形时，可以应用圆的面积公式和周长公式来计算。

四、球与平面的位置关系在研究球与平面的位置关系时，我们常常关注球是否位于平面内、平面是否切割球以及球在平面上的投影等问题。

1. 球位于平面内：当球心到平面的距离小于球的半径时，我们称球位于平面内。

2. 平面切割球：当平面与球相交且截面为圆时，我们称平面切割球。

3. 球在平面上的投影：球在平面上的投影是指球在平面上所映射出的图形。

当球与平面相交，而映射出的图形是一个圆时，我们称该图形是球在平面上的投影。

五、球的旋转体积当一个曲线绕某条直线旋转一周时，所形成的曲面称为旋转曲面。

球是绕直径旋转一周所形成的旋转体。

求解球的旋转体积时，可以利用“导条法”或“壳法”等数学方法。

1. 导条法：将球的一个半径作为导条，绕着它旋转一周，并用导条切割球体，再在导条上求出各元素体积之和，即可得到旋转体积。

高中物理生活中的圆周运动及其解题技巧及练习题(含答案)及解析

高中物理生活中的圆周运动及其解题技巧及练习题(含答案)及解析一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动1．如图所示，粗糙水平地面与半径为R =0.4m 的粗糙半圆轨道BCD 相连接，且在同一竖直平面内，O 是BCD 的圆心，BOD 在同一竖直线上．质量为m =1kg 的小物块在水平恒力F =15N 的作用下，从A 点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B 点时撤去F ，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D 点，已知A 、B 间的距离为3m ，小物块与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g 取10m/s 2．求：（1）小物块运动到B 点时对圆轨道B 点的压力大小．（2）小物块离开D 点后落到地面上的点与D 点之间的距离【答案】（1）160N （2）2 【解析】【详解】（1）小物块在水平面上从A 运动到B 过程中，根据动能定理，有：（F -μmg ）x AB =12mv B 2-0 在B 点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：2Bv N mg m R-=联立解得小物块运动到B 点时轨道对物块的支持力为：N =160N由牛顿第三定律可得，小物块运动到B 点时对圆轨道B 点的压力大小为：N ′=N =160N （2）因为小物块恰能通过D 点，所以在D 点小物块所受的重力等于向心力，即：2Dv mg m R=可得：v D =2m/s设小物块落地点距B 点之间的距离为x ，下落时间为t ，根据平抛运动的规律有： x =v D t ，2R =12gt 2解得：x =0.8m则小物块离开D 点后落到地面上的点与D 点之间的距离20.82m l x ==2．如图所示，BC 为半径r 225=m 竖直放置的细圆管，O 为细圆管的圆心，在圆管的末端C 连接倾斜角为45°、动摩擦因数μ＝0.6的足够长粗糙斜面，一质量为m ＝0.5kg 的小球从O 点正上方某处A 点以v 0水平抛出，恰好能垂直OB 从B 点进入细圆管，小球过C 点时速度大小不变，小球冲出C点后经过98s 再次回到C 点。

数学解题十二个球

解题方法的反思
在解决这道数学题的过程中，我发现数形结合的方法非常有效，可以将抽象的数学问题转化为直观的几何图形问题，从而更容易找到解决问题的关键点。同时，我也意识到了在解题过程中要仔细阅读题目，理解问题的要求，并注意每个细节对结果的影响。
对数学解题的反思
01
数学解题的要点
在解决数学问题时，首先要仔细阅读题目，理解问题的要求，然后采用
概率法答案解析
概率法
概率法答案
概率法解析
通过概率计算和统计分析，求解出未知数的值。
通过概率法，我们可以得出12个球中有一个是次品，次品球的重量与正品球重量之差为0.5克。
首先，我们假设正品球和次品球被选中的概率是相等的，然后我们计算出正品球和次品球被选中的概率。接着，我们根据天平的平衡原理，计算出正品球和次品球的重量差。最后，我们通过统计分析，得出次品球的重量差为0.5克。
例如，对于12个球的问题，我们可以设11个球的重量为x，未知的球重量为y，然后根据题目条件建立等式或不等式，如 “(11x+y)/12=x”，解这个方程可以得到y的值，即未知球的重量。
几何法
几何法是一种通过几何图形和空间关系来解决问题的方法。在解决12个球的问题时，我们可以将问题转化为几何问题，利用几何图形的性质和空间关系来求解。
几何法解题步骤
01
02
பைடு நூலகம்03
分析图形
根据题意，画出相关图形，并标注已知条件。
寻找关系
利用几何性质和已知条件，找出图形之间的关系。
计算结果
通过几何计算，得出最终结果。
概率法解题步骤
确定事件
根据题意，确定所求事件及其相关事件。

高中数学解题技巧之解析几何中的球问题求解

高中数学解题技巧之解析几何中的球问题求解解析几何中的球问题求解在高中数学中，解析几何是一个重要的内容，其中涉及到各种几何图形的性质和求解方法。

而在解析几何中，球问题是一个常见的题型，需要我们掌握一些解题技巧和方法。

本文将从几何图形的性质、求解方法和一些典型题目出发，详细介绍解析几何中的球问题求解。

首先，我们来了解一下球的性质。

球是由空间中的所有离心点构成的几何体，具有以下几个重要的性质：1. 球心：球的中心点称为球心，通常用字母O表示。

2. 半径：球心到球上任意一点的距离称为球的半径，通常用字母r表示。

3. 球面：球的表面称为球面，球面上的点到球心的距离都等于半径r。

4. 直径：通过球心的两个相对点称为球的直径，直径的长度等于半径的两倍。

在解析几何中，我们常常需要根据给定的条件来求解球的性质或者求解与球相关的问题。

下面，我们通过一些典型的题目来具体说明解析几何中的球问题求解的方法和技巧。

【例题1】已知球心O(-2, 3, 1)，球面上一点A(1, 2, 3)，求球的半径和球面方程。

解析：首先，我们可以根据球心和球面上的一点求解球的半径。

根据两点间距离公式，球的半径r等于球心到球面上一点的距离，即：r = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]= √[(-2 - 1)² + (3 - 2)² + (1 - 3)²]= √[9 + 1 + 4]= √14接下来，我们可以根据球心和半径求解球面的方程。

根据球面的一般方程，球面上的任意一点(x, y, z)满足以下条件：(x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)² = r²代入已知条件，即可求解出球面的方程：(x + 2)² + (y - 3)² + (z - 1)² = 14【例题2】已知球心O(1, -2, 3)，球面与平面2x - y + 3z = 9相切，求球的半径。

球的方程式

球的方程式
摘要：
一、引言
二、球的定义与性质
三、球的几何方程式
四、球在数学中的应用
五、结论
正文：
【引言】
球，作为数学中的一个基本概念，无论是在日常生活还是在科学研究中都有着广泛的应用。

本文将主要介绍球的定义、性质，以及其在数学中的重要应用。

【球的定义与性质】
球，通常定义为一个平面上的所有点到某一点的距离都相等的点的集合。

这个点被称为球的球心，而相等的距离被称为球的半径。

根据这个定义，我们可以得知球具有以下几个重要的性质：
1.球心是球的中心，所有直径都相交于球心。

2.半径是球的大小，决定了球的体积和表面积。

3.球是各向同性的，即无论从哪个方向观察，球的形状都是相同的。

【球的几何方程式】
球的几何方程式可以由球心坐标和半径表示。

设球心为(x0, y0, z0)，半径
为r，则球的几何方程式可以表示为：
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
【球在数学中的应用】
球在数学中有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。

以下是一些具体的应用：
1.物理学：在物理学中，球常被用来描述行星、原子核等具有球对称性的物体。

2.工程学：在工程学中，球常被用来描述轴承、齿轮等机械零件的形状。

3.计算机科学：在计算机科学中，球常被用来描述三维空间中的数据分布，如球面投影等。

【结论】
总的来说，球作为一个基本的几何概念，在数学中有着广泛的应用。

球体曲线八种解题方法

球体曲线八种解题方法球体曲线是数学中的重要概念，在不同领域的问题中都有广泛应用。

本文将介绍八种常用的球体曲线解题方法，让我们一起来了解吧！1. 解析几何法解析几何法是最简单直接的求解球体曲线问题的方法之一。

通过建立坐标系，将球体曲线转化为代数方程，并通过解方程得出问题的解。

这种方法适用于简单的二维和三维球体曲线问题。

2. 球面投影法球面投影法是一种将三维球体曲线映射到二维平面上的方法。

通过将球体曲线投影到平面上，可以简化求解过程，并获得问题的解。

这种方法在地图制作、计算机图形学等领域得到广泛应用。

3. 向量分析法向量分析法是一种通过向量运算求解球体曲线问题的方法。

通过使用向量的性质和运算法则，可以简化复杂的球体曲线求解问题，并得到准确的结果。

这种方法在物理学、工程学等领域有重要应用。

4. 三角学方法三角学方法是一种基于三角学知识求解球体曲线问题的方法。

通过利用三角函数的定义和性质，可以计算出球体曲线的各种属性和特征。

这种方法在地理学、天文学等领域被广泛使用。

5. 微积分法微积分法是一种通过微分和积分计算球体曲线的方法。

通过对球体曲线进行微分和积分运算，可以得到曲线的导数、积分和相关性质。

这种方法在数学分析、物理学等领域有重要应用。

6. 数值计算法数值计算法是一种通过数值近似求解球体曲线问题的方法。

通过离散化球体曲线，将问题转化为数值计算的形式，并利用计算机进行求解。

这种方法在计算机模拟、科学计算等领域得到广泛应用。

7. 优化方法优化方法是一种通过优化算法求解球体曲线问题的方法。

通过将球体曲线问题转化为最优化问题，并应用优化算法求解，可以得到问题的最优解。

这种方法在运筹学、经济学等领域有重要应用。

8. 概率统计法概率统计法是一种通过概率和统计方法求解球体曲线问题的方法。

通过分析球体曲线的概率分布和统计特征，可以得到问题的概率解和统计性质。

这种方法在统计学、金融学等领域有重要应用。

以上八种方法是求解球体曲线问题常用的方法，每种方法都有其适用范围和特点。

高中数学球面解题技巧

高中数学球面解题技巧在高中数学中，球面几何是一个重要的内容，涉及到球面的性质、定理和解题方法。

掌握球面解题技巧，不仅可以解决与球面相关的问题，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

本文将通过具体的题目举例，分析解题思路和考点，帮助学生和家长更好地理解和掌握高中数学球面解题技巧。

一、球面的性质和定理在解题过程中，首先要了解球面的性质和定理。

例如，球面上的任意两点可以确定一条弦，球心到弦的垂直距离等于弦长的一半；球面上的任意两弦可以确定一个球冠，球冠的侧面积等于球面积的一半。

这些性质和定理是解决球面问题的基础，需要熟练掌握和灵活运用。

举例一：已知球面上一点A与球心O的距离为r，点B是球面上一动点，且OB = 2r，求球冠OAB的侧面积。

解题思路：根据球冠的侧面积等于球面积的一半的性质，可以得出球冠OAB的侧面积等于球面积的一半。

而球面积等于4πr²，所以球冠OAB的侧面积等于2πr²。

考点分析：这道题考察了球冠的侧面积的计算方法，以及对球面性质的理解和应用。

二、球面的投影问题在解决球面的投影问题时，需要了解球面上的投影性质和定理。

例如，球面上的任意一条弦的中点到球心的连线垂直于弦；球面上的任意一条直径的两个端点和球心构成的三角形是直角三角形。

这些性质和定理可以帮助我们解决球面的投影问题。

举例二：已知球面上一点A与球心O的距离为r，点B是球面上一动点，且OB = 2r，求点B在球面上的投影点P的坐标。

解题思路：由题意可知，点B在球面上的投影点P的坐标为(OP, BP)。

根据球面上的任意一条弦的中点到球心的连线垂直于弦的性质，可以得出OP垂直于BP。

又因为OB是直径，所以OB与OP构成的三角形是直角三角形。

根据勾股定理，可以求得OP和BP的值。

考点分析：这道题考察了球面上的投影性质和定理的应用，以及对直角三角形的处理方法。

三、球面的切线问题在解决球面的切线问题时，需要了解球面上切线的性质和定理。

高中数学丨外接球与内切球解题方法，8大模型

高中数学I夕卜接球与内切球解题方法，8大模型空间几何体的外接球与内切球-、有关定义1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。

2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。

高考数学一轮复习与球有关的切与接问题

体的棱长为2，则半球的表面积为
A.10π
B.12π
（
）
C.15π
D.18π
解析：D 因为正方体的一个面在半球的底面圆内，所以过正方
体体对角线的轴截面如图所示，又正方体的棱长为2，所以FG＝
2，EF＝2 2，则OF＝ 2（O为半球的球心），OG＝
2 + 2 ＝ 6，即半球的半径为 6，所以半球的表面积为
π
4
α×4sin α＝8πsin 2α，当且仅当α＝，sin 2α＝1时，圆柱的侧面积
最大，∴圆柱的侧面积的最大值为8π.
2.已知三棱锥P－ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角
64
9
形，球O的表面积为 π，则三棱锥P－ABC的体积的最大值为
A.2 3
C.
4 3
3
2 3
B.
3
2
3 2
1
2
－ABC的内切球的半径为R，则由VP－ABC＝ SR＝9R＝6，解得R＝，所以三棱锥
3
3
4π 3 4π
2 3 32π
P－ABC的内切球的体积V＝ R ＝ ×
＝ .
3
3
3
81
答案
32π
81
｜解题技法｜
“切”的问题的处理规律
（1）找准切点，通过作过球心的截面来解决；
（2）体积分割是求内切球半径的通用方法.
果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②作截面：选准最佳角度作出
截面，达到空间问题平面化的目的.
（2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函
数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的

高中数学外接球解题技巧(一)

高中数学外接球解题技巧(一)高中数学外接球解题外接球是一个很重要的概念，在高中数学中也有重要的应用。

接下来，我们就来详细了解一下如何解决外接球的问题。

外接球的定义外接球定义为：在一个三角形ABC中，如果圆心位于三角形顶点的外接圆，该圆被称为三角形ABC的外接球。

外接球的性质外接球有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们解决相关的问题。

1.外接球的圆心为三角形三边的垂直平分线的交点。

2.外接球半径等于三边上的垂直平分线长度之积的一半。

3.外接球与三角形的三个顶点都有交点。

解决外接球的问题的技巧在解决外接球问题时，我们可以采用以下技巧：1.首先推导出外接球的相关公式，明确各个元素之间的关系。

2.利用外接球的性质，结合已知条件，进行运算，解出未知量。

3.在计算过程中，要注意使用适当的三角函数公式，以及正确的角度单位。

示例：利用外接球求解三角形面积题目：已知一个三角形ABC，其三边长度分别为a、b、c，且外接球半径为R，求三角形ABC的面积。

解：利用外接球的性质可知，外接球半径R等于三边垂直平分线长度之积的一半，即 R=abc/4S。

又根据三角形面积公式S=1/2 bc sinA，可将S表示为 abc/4R。

因此，三角形ABC的面积为S=abc/4R。

结论通过上述分析，我们可以看到，外接球是一个非常重要的概念，它有着很多的应用。

在解决相关的问题时，我们需要掌握外接球的定义、性质和计算方法。

只有在熟练掌握了这些知识后，我们才能在高中数学学习的路上越走越远。

典型例题以下是一些典型的外接球问题，通过对这些问题的解答，可以更好地理解外接球的计算方法和应用。

例题1已知一个直角三角形ABO，其中∠O为直角，∠AOB为75度，设AB=c，OB=a，求OA的值。

解：首先由三角形的内角和得出∠BAO=15度，∠BOA=90-15=75度，可知三角形BOA是等腰直角三角形。

由等腰直角三角形的性质得出，a=c，其中外接球的半径R=OA=a/c。

球的内切外切解题技巧

球的“内切”、“外切”的解题技巧【方法技巧】类型一球的内切问题使用情景：有关球的内切问题解题模板：第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论. 类型二球的外切问题使用情景：有关球的外切问题解题模板：第一步首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.【应用举例】【例题1】在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为3的圆柱．（1）求：圆柱表面积的最大值；（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．【答案】（1）π）（312+；（2）π7=S，677π=V ．【解析】试题分析：（1）我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案；（2）求出圆柱的外接球半径，即可求该圆柱外接球的表面积和体积．试题解析：（1）当圆柱内接与圆锥时，圆柱的表面积最大．设此时，圆柱的底面R 半径为r ，高为h′．圆锥的高h 2242-3312h ．∴2r 23323，∴r ＝1．∴S 表面积＝2S底＋S 侧＝2πr 23＝2（13）π．（2）设圆柱的外接球半径为R ，72R =，7S π=， 76V π=考点：1、球内接多面体；2、球的表面积和体积．【难度】较易【例题2】求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．【答案】964∶∶∶∶锥柱球=V V V ．【解析】试题分析：设球的半径为R ，则外切圆柱的半径为R ，高为2R ；外切等边圆锥底面半径为R 3,高为3R ，所以334R V π=球 ,32R v π=柱, 33R V π=锥 9:6:4=∴锥柱球：：V V V考点：本题考查空间几何体的体积。

点评：本题的关键是由球的半径求出外切圆柱、外切等边圆锥的半径和高。

考查了空间想象力。

首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．【难度】一般【例题3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．【答案】3622+．【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332(222=⋅-=h ．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622+．【点评】关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．考点：空间几何体的球体积和表面积. 【较易】【例题4】正三棱锥ABC P -的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为α2，求它的外接球的体积．【答案】322334sin 2(34sin )l παα--．【解析】解：如图，作PD 底面ABC 于D ，则D 为正△ABC 的中心。

圆台的外接球例题

圆台的外接球例题摘要：1.圆台的外接球定义及性质2.求解圆台外接球的步骤3.例题解析4.解题技巧与注意事项正文：一、圆台的外接球定义及性质圆台的外接球，是指过圆台两底面的直径端点所作球的球面，这个球面与圆台的两个底面相切。

圆台的外接球具有以下性质：1.球心在过圆台两底面的直径端点连线上；2.球心到圆台两个底面的距离相等；3.球的半径等于圆台两底面半径之和。

二、求解圆台外接球的步骤1.确定圆台的几何参数：给出圆台的底面半径R、顶面半径r以及高H；2.利用公式计算外接球的半径R_外；3.根据半径R_外，求解外接球的球心坐标；4.判断球心与圆台两底面的距离是否相等，若相等，则找到了正确的球心坐标。

三、例题解析题目：已知圆台底面半径R=3cm，顶面半径r=1cm，高H=4cm，求圆台的外接球半径和球心坐标。

解：1.计算外接球的半径R_外：R_外= (R^2 + r^2 + H^2)^(1/2) / 2= (3^2 + 1^2 + 4^2)^(1/2) / 2= (9 + 1 + 16)^(1/2) / 2= 5^(1/2) / 22.计算球心坐标：球心沿直径线方向坐标为：(0, R_外, 0)球心垂直于直径线方向坐标为：(0, 0, H)四、解题技巧与注意事项1.熟练掌握圆台外接球的性质，特别是球心与圆台两底面的距离关系；2.牢记求解外接球半径和球心坐标的公式；3.在计算过程中，注意单位的统一；4.解答问题时，尽量简洁明了，避免冗余描述。

通过以上步骤和例题解析，我们可以更好地理解和掌握圆台外接球的求解方法。

高考数学外接球知识点

高考数学外接球知识点外接球是高中数学中一个重要的几何概念。

它在数学几何的学习中有着广泛的应用，并且在高考中也是经常出现的考点。

本文将详细介绍外接球的定义、性质以及相关的解题方法，以帮助同学们更好地掌握这一知识点。

一、外接球的定义外接球，顾名思义，就是能够过给定三角形的三个顶点的球。

具体而言，对于一个三角形ABC，如果存在一个球，使得球的球心恰好在三角形ABC所在平面的外面，并且球的直径等于三角形的外接圆直径，那么我们称这个球为三角形ABC的外接球。

二、外接球的性质1. 外接球的球心与外接圆的圆心在同一个平面上，并且与这个平面的交线是外接圆。

2. 外接球的半径等于外接圆的半径，即外接球的直径等于三角形的外接圆直径。

3. 三角形的外接球是唯一的，即给定一个三角形ABC，它只有一个外接球。

三、外接球的解题方法1. 已知三角形的边长如果已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，我们可以通过以下步骤求得外接球的半径。

首先，根据海伦公式计算三角形的面积，即S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为周长的一半。

然后，计算三角形的外接圆半径r = abc / (4S)，即外接球的半径为R = 2r。

2. 已知三角形的顶点坐标如果已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，我们可以通过以下步骤求得外接球的半径。

首先，计算三角形的中垂线方程。

设中垂线交边AB于点D，中垂线交边AC于点E，两中垂线的交点为O，则O为外接球的球心，OD即为外接球的半径。

根据线段OD的垂直平分线的性质，我们可以得到以下方程：(AB的斜率)*(OD的斜率) = -1(AC的斜率)*(OE的斜率) = -1解这个方程组，可以求得点O的坐标(x, y)。

然后，计算OD的长度即为外接球的半径R。

通过这两种解题方法，我们可以求得三角形的外接球半径，并在高考数学中应用。

综上所述，外接球作为高中数学中的一个重要概念，具有一定的理论意义和实际应用价值。

高考复习28-组合体的“切”“接”综合问题高考试题解读与变式

高考复习28 ：组合体的“切”“接”综合问题知识储备汇总1.知识储备汇总: 1.1球的性质球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R ，截面圆的半径r ，球心到截面圆的距离为d ，则222d r R +=.1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.3几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则23R a =； ②正方体的内切球，则2R a =； ③球与正方体的各棱相切，则22R a =.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,a b c ，外接球的半径为R ，则2222R a b c =++. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 1.5.解决与球有关的切、接问题的方法：(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各素之间的关系．(2)若球面上四点,,,P A B C 中,,PA PB PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．题型与相关高考题解读1.棱柱的外接球问题 1.1考题展示与解读例1 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ________．【命题意图探究】本题主要考查长方体的对角线性质、球的表面积公式,是容易题.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接直棱柱问题，利用球心到棱柱底面所在的截面圆的距离就是棱柱高的一半，棱柱底面所在的截面圆的半径利用正弦定理计算，再利用球的截面性质即可求出球的半径，再利用球的表面积或体积公式计算球的表面积或体积.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 163πB.193πC.1912πD.43π【变式2：改编结论】底面边长为1，侧棱长为263的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（)A. 32π3B. 4πC. 2πD.4π3【变式3：改编问法】已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A. 16B.C.D. 82.球与圆柱或圆锥的切接问题2.1考题展示与解读例2已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．A．πB．3π4C．π2D．π4【命题意图探究】本题主要考查球内接圆柱的体积问题，是基础题.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接圆柱问题，利用球的截面性质沟通球的半径与圆柱底面半径高之间的关系.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A. πB. 34πC.2πD. 6π【变式2：改编结论】已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（）A. 10πB. 64πC. 100πD. 500 3π【变式3：改编问法】某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长为23的正三角形，该几何体的外接球的表面积为（）A. 9πB. 16πC. 24πD. 36π3.棱锥的外接球问题3.1考题展示与解读例3已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【命题意图探究】本题主要考查球内接棱柱问题及球的表面积，是中档题.【解题能力要求】空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力【方法技巧归纳】球内接棱锥问题，若有同一顶点上三条垂直的棱，可将三棱锥补成球内接长方体，利用长方体的对角线的平方等于同于同一顶点三棱长的平方和、长方体的对角线等于球的直径沟通球与棱锥量之间的关系.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是A. 27πB.π C. 9π D.π 【变式2：改编结论】在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【变式3：改编问法】已知四棱锥E-ABCD 的都在球心为，半径为的球面上，四边形ABC D 为矩形，，且，则四棱锥E-ABCD 的体积的最大值为（）A.324B. 372，C. 38D. 348 4.多面体内切球问题 4.1考题展示与解读例4在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【命题意图探究】本题主要考查直棱柱内的球的最大体积问题，是中档题. 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】立体几何最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_______．【变式2：改编结论】在正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC ∆内切圆的半径为263，则该正方体内切球的表面积为 ( )A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π【变式3：改编问法】已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A. 243B. 183C. 123D. 3典例高考试题演练1.若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，设正四棱锥P ABCD -的高为1，则球O的体积为（） A.43π B. 23π C. 4π D. 22π 2.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．B ．27πC ．27πD ．3.网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为96πcm 3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是（） A ．36πcm 3 B ．12πcm 3C ．9πcm 3D ．72πcm 34.半径为2的球O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（） A ．16（）B ．16（） C ．8（2）D ．8（2）5.已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为( )A. 48πB. 52πC.1723π D. 1963π6.将半径为4的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（） A.83π B. 163π C. 43π D. 43 7.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S ＝（）A.6π B. 2π C. 16πD. 63π8.已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（） A.823π B. 833π C. 863π D. 1623π 9.某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.556π10.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（） A.B.C.D .11.三棱锥A BCD -的一条长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为( ) A.53π B. 54π C. 56π D. 58π 12.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则的值是13.已知三棱锥的三条棱所在的直线两两垂直且长度分别为3，2，1，顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________.14.已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PA 与底面垂直，且PA=AB ，若该四棱锥的侧面积为16 __．15.已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为_________．。

高考数学专题19 几何体中与球有关的切、接问题(解析版)

专题19 几何体中与球有关的切、接问题球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为r ＝R 2－d 2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①假设球为正方体的外接球，那么2R ＝3a ；②假设球为正方体的内切球，那么2R ＝a ；③假设球与正方体的各棱相切，那么2R ＝2a .(2)假设长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，那么2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 一、题型选讲题型一、几何体的外接球解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，那么球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．例1、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，假设⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，那么球O 的外表积为 A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin60AB r =︒=1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的外表积2464S R ππ==.应选：A.此题考查球的外表积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于根底题.例2、【2021年高考天津】假设棱长为 A ．12π B ．24πC ．36πD ．144π【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的外表积为2244336S R πππ==⨯=. 应选：C ．此题考查正方体的外接球的外表积的求法，求出外接球的半径是此题的解题关键，属于根底题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：〔1〕三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；〔2〕直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；〔3〕如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 例3、〔2021届山东省潍坊市高三上学期统考〕边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，那么过A ，B ，C ，D 四点的球的外表积为〔〕A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C【解析】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,12R ==24(52S ππ==，应选C.例4、〔2021届山东省日照市高三上期末联考〕四棱锥P ABCD -的体积是，底面ABCD 是正方形，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，那么四棱锥P ABCD -外接球体积为〔〕A ．BCD ．【答案】A【解析】设AB 的中点为Q ，因为PAB ∆是等边三角形，所以PQ AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PQ ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -的体积是，13AB AB PQ =⨯⨯⨯13AB AB AB =⨯⨯，所以边长6AB =，PQ =OH x =，OM x =，()(222222R OA OM AM x ==+=+，2222223R OP OH PH x ==+=+，x =2212321R =+=343V R π==球.应选：A.例5、〔2021届山东省德州市高三上期末〕中国古代数学经典?九章算术?系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD =ED =，假设鳖臑P ADE -的外接球的体积为，那么阳马P ABCD -的外接球的外表积等于______.【答案】20π 【解析】四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且AD =ED ，所以，ADE ∆的外接圆半径为122AE r ===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，那么3143R π=，解得1R =.PA ⊥平面ADE ，1R ∴=，可得2PA ==PA ∴正方形ABCD 的外接圆直径为22r AC ==，2r ∴=PA ⊥平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径2R ==因此，阳马P ABCD -的外接球的外表积为22420R ππ=. 故答案为：20π.题型二、几何体的内切球求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．例6、【2021年高考全国Ⅲ卷理数】圆锥的底面半径为1，母线长为3，那么该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如下图，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM =122S =⨯⨯=△ABC 设内切圆半径为r ，那么：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：3433V r =π=π.. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出适宜的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.例7、〔2021届山东省潍坊市高三上期中〕如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如下图粽子形状的六面体，那么该六面体的外表积为__________；假设该六面体内有一小球，那么小球的最大体积为___________．【答案】2 729【解析】〔1〕因为16(1222S =⨯⨯⨯=，所以该六面体的外表积为2. 〔2〕由图形的对称性得，小球的体积要到达最大，即球与六个面都相切时，2倍，所以六面体体积是6. 由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R ，所以16()63R R =⨯⇒=，所以球的体积3344()393297V R ππ===.故答案为：. 二、达标训练1、〔2021届山东省泰安市高三上期末〕正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，那么该正三棱锥外接球的外表积是〔〕 A ．16π B ．20πC ．32πD ．64π【答案】D【解析】如下图，因为正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，那么263AE ==6SE ===, 又由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOE 中，,6AO R OE SE SO R ==-=-，又由222OA AE OE =+，即222(6)R R =+-，解得4R =，所以球的外表积为2464S R ππ==，应选D.2、【2021年高考全国II 卷理数】△ABC 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.假设球O的外表积为16π，那么O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D 【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，那么2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC △的等边三角形，212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.应选：C ．此题考查球的相关问题的求解，涉及到球的外表积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.3、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，那么球O 的体积为A ．B ．C ．D【答案】D 【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一局部，2R ==即344π33R V R =∴=π==，应选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC △为边长为2的等边三角形，CF ∴，又90CEF ∠=︒，12CE AE PA x ∴===， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==，，PA PB PC ∴=== 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==，2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，应选D.此题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4、【2021年高考全国Ⅰ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为 A． B ．C ．D ．【答案】B【解析】如下图，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，2ABCS AB ==△，6AB ∴=,点M 为三角形ABC 的重心，23BM BE ∴==Rt OBM ∴△中，有2OM ==，426DM OD OM ∴=+=+=， ()max 163D ABC V -∴=⨯= B.5、【2021年新高考全国Ⅰ卷】直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2. 【解析】如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A BC D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E=111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A BC D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11BC CB ，设P 为侧面11BC CB 与球面的交线上的点，那么1DE EP ⊥，1D E ，所以||EP ===所以侧面11BC CB 与球面的交线上的点到E因为||||EF EG ==11BC CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EFC EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得2FG π==.故答案为：2. 6、〔2021届山东省滨州市三校高三上学期联考〕三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，6ABC π∠=，3SA =，1BC =，直线SB 和平面ABC 所成的角大小为3π.假设三棱锥S ABC -的四个顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为________.【答案】13π【解析】如图：SA ⊥平面ABC ，那么SBA ∠为直线SB 和平面ABC 所成的角，即3SBA π∠=在Rt SAB ∆中：tan 3SAAB π=== 如图，设O 为三棱锥S ABC -外接球的球心，G 为ABC ∆外接圆圆心，连结,,,,OA OB GA GB OG ，那么必有OG ⊥面ABC在ABC ∆，2222cos31216AC AB BC AB BC π=+-⋅⋅=+-=，那么1AC = 其外接圆半径122,1sin sin 6AC r r ABC π====∠，又1322OG SA ==，所以三棱锥S ABC -外接球半径为R ===该球的外表积为21344134S R πππ==⨯=, 故答案为：13π.7、〔2021届山东省枣庄、滕州市高三上期末〕如图，在三棱锥P -ABC 中，,PA AB ⊥PC BC ⊥，,AB BC ⊥22,AB BC ==PC ，那么PA 与平面ABC 所成角的大小为________；三棱锥P -ABC外接球的外表积是________.【答案】45︒ 6π【解析】如图，作平行四边形ABCD ，连接PD ，由AB BC ⊥，那么平行四边形ABCD 是矩形．由BC CD ⊥，BC PC ⊥，PC CD C =，∴BC ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴BC PD ⊥，同理可得AB PD ⊥，又AB BC B ⋂=，∴PD ⊥平面ABCD ．,PD CD PD AD ⊥⊥，PAD ∠是PA 与平面ABC 所成角．由2,CD AB PC ===1PD =，又1AD BC ==，∴45PAD ∠=︒．∴PA 与平面ABC 所成角是45︒．由,PA AB ⊥PC BC ⊥知PB 的中点到,,,A B C P 的距离相等，PB 是三棱锥P -ABC 外接球的直径．由BC ⊥平面PCD 得BC PC ⊥，PB ===24()62PB S ππ==．故答案为：45︒；6π．8、〔2021届山东省烟台市高三上期末〕三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的外表上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，那么：〔1〕球O 的外表积为__________；〔2〕假设D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，那么截面面积的最小值是__________．【答案】52π 4π【解析】〔1〕由题,根据勾股定理可得AC AB ⊥,那么可将三棱锥P ABC -可放入以,,AP AC AB 为长方体的长,宽,高的长方体中,那么体对角线为外接球直径,即2r ==,那么r =,所以球的外表积为224452r πππ=⨯=；〔2〕由题,因为Rt ABC ,所以D 为底面ABC 的外接圆圆心,当DO ⊥截面时,截面面积最小,即截面为平面ABC ,那么外接圆半径为2,故截面面积为224ππ⨯=故答案为：〔1〕52π；〔2〕4π9、〔2021届山东省滨州市高三上期末〕在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =，AC =________，该四面体外接球的外表积为________.8π【解析】因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC ，AC =AB ==因此222BC AC AB +=，那么AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，那么OA OB OC OS ====所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为OC =所以该四面体外接球的外表积为248S ππ=⋅=；又因为SA SB =，所以SO AB ⊥；因为底面三角形ABC 的面积为定值122AC BC ⋅=，SO因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为13ABC V S SO =⋅=故答案为：(1). (2). 8π10、〔2021届山东省济宁市高三上期末〕下列图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A BD C --，那么三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________3cm ．【答案】【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如下图的正方体，那么该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为2l R ==即球的半径R =该球的体积343V R π==，应填答案．。

高一数学立体几何内切球

高一数学立体几何内切球在立体几何中，每一个多面体、圆锥、圆柱都会有内切球（inscribed sphere），也称为内切球。

内切球指的是一个球刚好可以放在多面体、圆锥、圆柱的内部，同时还能够与多面体、圆锥、圆柱的每个面（或底面）相切。

在立体几何中，内切球是一个重要的概念，因为它可以帮助我们求解多面体、圆锥、圆柱的体积、表面积等问题，也可以提高我们分析和解决各种立体几何问题的能力。

下面我们来看一些关于内切球的基本概念和性质。

内切球的基本概念在具体求解时，我们可以根据内切球的性质来确定它的位置和半径。

内切球的位置在几何中能够满足如下的条件：1、内切球的球心与多面体、圆柱、圆锥的重心、轴线上一点在同一直线上；2、内切球的半径r等于多面体、圆柱、圆锥内任意一面（或底面）到球心的距离。

内切球的性质4、内切球的半径r与多面体、圆柱、圆锥的体积、表面积之间存在特定关系。

根据内切球的性质，我们可以利用内切球推导出多面体、圆柱、圆锥的体积、表面积等一系列问题。

以多面体为例，内切球的体积V和多面体的体积V1之间存在如下关系：V = (4/3)*π*r^3，V1 = (1/3)*ph；其中，ph和r分别代表多面体的高和内切球的半径。

r = v1/S, h = ph/V1, R = V1/S这些关系式有利于我们在实际应用中去计算多面体、圆柱、圆锥的体积、表面积等问题，提高我们的解题能力。

总之，内切球是立体几何中一个重要概念，它不仅有着很多的性质，也是解决立体几何问题的一个有效途径。

掌握内切球的基本概念和性质，能够帮助我们更加深入地理解立体几何中的各种概念和问题，增强我们的数学解题能力和观察能力。