16.3〓角的平分线
角的平分线的性质课件()
角平分线与三角形高的关系
总结词
角平分线与三角形的高之间存在密切的联系，主要表现在高与角的两边之间的关系上。
详细描述
在三角形中，如果一个角被角平分线分成两个相等的部分，那么这个角所对应的高也将被角平分线分成两个相等 的部分。这个性质在解决一些几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们更好地理解高与角的两边之间的关系。
角的平分线的性质课 件
目录
CONTENTS
• 角的平分线的定义 • 角平分线定理 • 角平分线的性质的应用 • 角平分线的性质与三角形的性质
的关系
01
角的平分线的定义
角的平分线的描述
01
角的平分线是一条射线，它将一 个角分为两个相等的部分。
02
角的平分线上的任意一点到这个 角的两边的距离相等。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，因此可以利用这一性质来证明角平分 线上的点到这个角的两边的距离相等。
02
角平分线定理
角平分线定理的描述
角平分线定理
从角的顶点出发，将角平分，则 该角的平分线上的任意一点到这 个角的两边的距离相等。
定理的数学表达式
假设O是角AOB的顶点，D和E分 别是角AOB两边OA和OB上的点 ，如果通过O作一条角平分线OC ，则有OD=OE。
在平行四边形中，角平分线可以用来证明对角线互相平分， 从而证明平行四边形是中心对称图形。此外，角平分线还可 以用来证明一些与角度和边长相关的几何定理，如塞瓦定理 和梅涅劳斯定理。
在三角形中的运用
在三角形中，角平分线可以将一个角分为两个相等的角， 从而将三角形分为两个相似的部分。这个性质可以用来证 明一些与三角形相关的定理和性质，如角的平分线定理和 三角形的面积公式。
角平分线性质定理及逆定理-教学设计
为 E，老师一边说，师生共
同操作，让学生通过观察猜
想线段 PD 与线段 PE，线段
OC 与线段 OD 的数量关系。
3、 引导学生猜想当折痕与角
的的两边垂直时，线段 PD、
线段 PE 与边 OA、边 OB 的
关系，肯定它们的发现并引
导学生猜想通过这个特殊
的位置关系能得到什么结
论？
探究二：对上述猜想进行证明 已知： ____________________________________ __________________
求证：_______________ 证明：
角平分线性质定理：
1、 给学生留出时间和空间思 考如何把猜想变成现实。学 生讨论交流证明的方法。在 学生证明之前提示学生，怎 么把文字语言变成数学语 言，根据图形写出已知和求 证。
2、 小组讨论结束，选取证明 完成较好的一个同学的导 学案在多媒体展示，并让其 他同学质疑。
的角，这条
_
叫做这个角的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平分
线。
2、 点到直线的距离：从______外一点到
这条直线的_________长度，叫点到直
线的距离。
提问学生
1、 角平分线的定义是什么？ 2、 点到直线的距离是什么？ 板书：
C
O
A
通过角的定义你也可以从中
得到哪些角的数量关系?
复习旧知， 引入新课。激 发学生学习 兴趣和求知 欲。
角平分线的性质定理及逆定理的证明及运用。
灵活应用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。
动手操作、小组合作、多媒体、导学案导学
教学过程设计
教学内容
教学方式
板书标题，课件出示学习目标、
学习重点、难点，找学生研读。
冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》教学设计3
冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》教学设计3一. 教材分析冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》是角的平分线这一节的内容，主要让学生掌握角的平分线的性质和作法。
本节内容是在学生已经学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，是为后续学习三角形、多边形等知识做铺垫。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了角的基本概念和基本运算能力，但对于角的平分线的性质和作法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，发现角的平分线的性质，并学会如何作角的平分线。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角的平分线的性质，并学会如何作角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考等活动，培养学生的观察能力、动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，增强学生对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：角的平分线的性质和作法。
2.教学难点：角的平分线的性质的证明和作法的灵活运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考等活动，发现角的平分线的性质。
2.实践操作法：让学生亲自动手作角的平分线，加深对角的平分线性质的理解。
3.讲解法：教师对角的平分线的性质和作法进行讲解，帮助学生理解和掌握。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：角的平分线的性质和作法的课件。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾角的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师通过课件呈现角的平分线的定义和性质，让学生初步了解角的平分线。
操练（10分钟）教师引导学生用三角板、直尺、圆规等工具，亲自动手作角的平分线，并观察和思考角的平分线的性质。
巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生巩固对角的平分线的性质的理解和掌握。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：角的平分线和角的对称轴有什么关系？角的平分线还有什么性质？让学生对角的平分线有更深入的了解。
冀教版八年级上册数学16.3《角的平分线》
《角的平分线》本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完轴对称的基础上进行教学的。
内容包括角平分线的作法、角平分线的性质与判定定理初步应用。
作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形与轴对称知识的延续，因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
【知识与能力目标】1.经历探索角的对称性的过程,进一步体验轴对称图形的特征,发展合情推理的能力.2.理解和掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,并能利用它们进行证明或计算.3.理解和掌握用尺规作已知角的平分线.【过程与方法目标】1.了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用.2.在探索角平分线的性质定理及其逆定理中提高几何直觉.3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度价值观目标】1.在探讨作角的平分线的方法及角平分线的性质定理及其逆定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣.2.增强学生解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神.3.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.【教学重点】角平分线的性质定理及其逆定理的证明及应用.【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题. 课前准备【教师准备】直尺和圆规、课件1~2.【学生准备】直尺和圆规.教学过程导入新课【问题探究】(投影显示)如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明其中的道理吗?【教师活动】首先提出探究问题,然后运用教具直观地进行讲述.【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等的“边边边”判定法,可以说明这个仪器的工作原理.【教师活动】那么角平分线有哪些性质呢?又怎样判定一条线是角的平分线呢?今天我们就来研究这一问题.[设计意图]通过平分角的仪器,了解全等三角形判定方法在实际生活中的应用,从而引出角平分线的画法,为下面的学习做好铺垫.导入二:师:前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗?学生思考回答.师:你会作角平分线吗?生:会.师:怎么作呢?生1:用折纸的方法来作.生2:用量角器来作.师:很好,这节课我们继续学习角平分线的有关知识(板书课题).[设计意图]通过简单的复习,导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.自主探究，新知构建活动一:角平分线的性质定理及其逆定理思路一1.整体感知师:在一张半透明纸上画出一个角,将纸对折,使这个角的两边重合,从中你能得到什么结论?生:角是轴对称图形,它的平分线是对称轴.师:出示课件.【课件1】按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由.生:由折纸过程可知PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请同学们用逻辑推理的方法来加以证明,将这个命题画出图形,写出已知、求证.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.2.师生互动互动1师:这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等? 生:全等三角形的对应边相等.师:归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢? 生:ΔPDO与ΔPEO.师:怎样证全等?生:可以通过AAS的判定方法.(证明过程略)师:于是得到了角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.互动2师:反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?师:事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.这样就有角平分线的判定定理(角平分线性质定理的逆定理):到角的两边距离相等的点在角平分线上.互动3刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例题:【课件2】(补充例题)如图所示,ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为分别D,E,F. ∵BM是ΔABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF,∴PD=PE=PF,即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.说明:在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,那么可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.思考:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?(点P在∠A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等.)思路二如图所示,任意作一个角∠AOB,利用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P分别作OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上找几个点试试.生:相等.师:为什么?学生思考,小组讨论.师:你能证明这个结论吗?学生思考证明.教师说明:一般情况下,我们要证明一个几何命题成立,可以按照以下步骤进行,即:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.教师找学生板演.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB,∴∠PDO=∠PEO=90°,∠AOC=∠BOC.在ΔPDO和ΔPEO中,∴ΔPDO≌ΔPEO(AAS),∴PD=PE.集体纠正.师:你能总结这个结论吗?生:角平分线上的点到角的两边的距离相等.[知识拓展]利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.师:谁能说出它的逆命题?生:到角的两边距离相等的点在角平分线上.四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边距离相等的点在角平分线上.事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.即角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.[知识拓展](1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.活动二:角平分线的画法教师引导学生作图:作∠AOB的平分线.学生讨论作法.教师总结作法:1.以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E.2.分别以点D,E为圆心,适当长为半径,在∠AOB的内部画弧,两弧相交于点C.3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.学生作图.师:你能证明OC为什么是∠AOB的平分线吗?学生进行交流,写出证明过程,教师巡回指导.师:当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?生:垂直.师:你会作吗?学生小组操作.教师说明:实际上节课我们学习的过直线上一点作已知直线的垂线可以看作是作平角的平分线.课堂总结1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).检测反馈，巩固提高1.如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,SΔABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 ()A.3B.4C.6D.52.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB平分OP3.如图所示,在ΔABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列结论成立的是()A.ΔCEO≌ΔCDOB.OE=ODC.CO平分∠ACBD.OC=OD4.如图所示,ΔABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,BC=16cm,CM∶MB=3∶5,求点M到AB的距离.布置作业【必做题】1.教材第122页练习第1,2题.2.教材第122~123页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第123页习题B组第1,2,3题.。
数学上册角的平分线的性质
计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
角平分线的性质和判定角平分线画法角平分线的三个基本公式
一、角的平分线性质定理1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作内心。
内心到三角形三边的距离相等；4.三角形一个角的平分线，把对边所分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
二、角平分线画法方法11、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M、N。
2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
方法21、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。
2、连接CN与DM，相交于P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
三、角平分线定义1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
四、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
五、角平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等定理：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。
冀教版初中数学八年级上册 16.3 角的平分线 教案
角平分线一、教学地位和作用：本节课是第一课时，是在学生对角平分线的定义和尺规作图已有初步认识的基础上进行研究的。
角平分线的性质与判定在这一单元占有较为重要的地位，它不仅可以帮助学生加深对逆命题与逆定理知识的理解，还可以为继续学习线段垂直平分线的性质与判定打下基础，因此本节课的内容具有承上启下的作用。
二、教学目标、重难点：1、使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题。
2、通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力。
3、通过师生互动以及交互性多媒体教学课件的使用，培养学生学习的自觉性，丰富想象力，激发学生探究新知的热情。
教学重点：角平分线的性质定理的探索与应用。
教学难点：理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理以及两个定理的区别与联系。
三、教学手段、教学方法：五环节教学法：创设问题情境——学生自主探究——辩析研讨——反思评价。
整体结构上力求突出实验、观察、比较、猜想、论证等环节，体会数学发现的过程，训练与培养形象思维、直觉思维、逻辑思维。
四、教学过程：（一）创设问题情境：1、角平分线的定义。
引导学生回忆角平分线的定义。
问题情境1：你能用什么方法作出一个角∠AOB的平分线OC？问题情境2：让同学用两个全等的30º的直角三角板拼出一个图形，使这个图形中出现角平分线，并且平分出的两个角都是30º。
学生可能拼出的图形有：（拼法1）（拼法2）（拼法3）可能还有其它拼法，对学生的拼法及时给予肯定，并选择第三种拼法（如图1）提出问题：（1） P是∠DOE平分线上一点，PD、PE与∠DOE的边有怎样的位置关系？（2）点P到∠DOE两边的距离可以用哪些线段表示？（3）PD、PE有怎样的数量关系？（二）学生自主探究：１、探索并证明角平分线的性质定理：引导学生画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出这点到角两边的距离。
初中数学知识归纳角的平分线与垂直线的性质与计算方法
初中数学知识归纳角的平分线与垂直线的性质与计算方法初中数学知识归纳：角的平分线与垂直线的性质与计算方法在初中数学课程中，我们学习了许多与角度相关的知识。
其中，角的平分线和垂直线是角度的重要性质之一。
本文将归纳总结角的平分线和垂直线的性质与计算方法，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、角的平分线的性质与计算方法角的平分线是指通过一个角的顶点将该角分成两个相等的角。
平分线有以下性质和计算方法：1. 平分线相交于角的顶点，并将角分为两个相等的角。
假设有一个角ACB，通过顶点C作一条线段CD，若角ACD和角BCD相等，则线段CD就是角ACB的平分线。
2. 平分线上的点到角的两边的距离相等。
对于平分线CD来说，CD到CA的距离等于CD到CB的距离，即CD = CD。
这也是为什么平分线得名的原因。
3. 根据平分线的性质可以解决一些问题。
例如，已知一个角ACB和一个点D在角ACB的内部，我们可以通过作平分线CD来求得角ACD和角BCD的度数，进一步计算出角ACD和角BCD的具体数值。
二、垂直线的性质与计算方法垂直线是指与另一条线段或线相交，且与之相交的角度为90度的直线。
垂直线有以下性质和计算方法：1. 垂直线相交于一个点，并产生四个直角。
当两条线段或线相交于一点时，所形成的四个角度都是直角，即每个角度都等于90度。
2. 判断两条线段或线之间是否垂直。
两条线段或线之间的夹角为90度时，可以判断它们是垂直的关系。
可以通过测量角度或通过判断两条线的斜率是否相乘为-1来确定两者的垂直性。
3. 解决一些与垂直线相关的问题。
垂直线常常用于求解与直角三角形相关的问题。
例如，已知两条直线AB和CD相交于点E，且角AEC为90度，我们可以利用垂直线的性质计算出其他角度的度数，进而解决具体的问题。
三、数学归纳与实际应用角的平分线和垂直线的性质不仅仅是数学领域的概念，也在生活中有着广泛的应用。
1. 平分线的应用平分线在几何图形的构造中起着重要的作用。
角平分线的三个定理公式
角平分线的三个定理公式第一定理：角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。
角平分线有以下性质：1. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
2. 角平分线将角分成两个相等的角。
第二定理：角平分线的垂直性质定理表述：在一个三角形中，如果一条边的角平分线与另外两条边相交，那么交点所在的线段垂直于边。
证明过程：假设在△ABC中，AD是角BAC的角平分线，且与BC相交于点D。
我们需要证明AD⊥BC。
根据角平分线的定义和性质，我们知道∠BAD=∠DAC，且AD与BC相交于点D。
假设AD不垂直于BC，即AD∥BC。
由于∠BAD=∠DAC，AD∥BC，根据平行线性质，我们可以得到∠ACD=∠CAB。
然而，根据角平分线的定义，∠ACD应该等于∠CAD，与∠ACD=∠CAB矛盾。
因此，假设AD不成立，即AD⊥BC。
第三定理：角平分线的比例性质定理表述：在一个三角形中，如果一条边的角平分线与另外两条边相交，那么该边与另外两边的比等于与它们对应的角的正弦比。
证明过程：假设在△ABC中，AD是角BAC的角平分线，且与BC相交于点D。
我们需要证明AB/BD=AC/CD。
根据角平分线的定义和性质，我们知道∠BAD=∠DAC，且AD与BC相交于点D。
根据正弦定理，我们可以得到：AB/BD = sin∠BAD/sin∠ABD，AC/CD = sin∠CAD/sin∠ACD。
由于∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠ACD，我们可以将上述两个等式合并为：AB/BD = AC/CD。
因此，我们证明了定理的成立。
通过以上三个定理，我们可以更好地理解和应用角平分线的性质。
在几何问题中，角平分线的定理经常被用来求解角度的大小、证明几何关系等。
同时，掌握角平分线的性质还可以帮助我们更好地理解三角形的结构和性质。
总结起来，角平分线的三个定理为：1. 角平分线的定义和性质；2. 角平分线的垂直性质；3. 角平分线的比例性质。
角的平分线的性质课件
角的平分线将角平分为两个相等的部分。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线上的点到角顶点的距离最短。
02
CHAPTER
角平分线与边的关系
角平分线将一个角分为两个相等的部分，并且与该角的对边平行。
角平分线上的点到该角的对边的距离相等。
利用角平分线作辅助线
在解决三角形问题时，可以利用角平分线作为辅助线，帮助解题。
在建筑设计时，可以利用角平分线的性质来设计建筑物的角度和线条，使建筑物更加美观和实用。
建筑学中的应用
在机械制造过程中，可以利用角平分线的性质来制造精确的零件和工具，提高机械的精度和稳定性。
机械制造中的应用
05
CHAPTER
角平分线与对边等距
角平分线与对边平行
角平分线与邻边垂直
在直角三角形中，角平分线与邻边垂直。
角平分线与邻边等长
在等腰三角形中，角平分线将相对的两边等长。
角平分线与对角线交点
角平分线与对角线的交点是三角形的内心。
角平分线与对角线的长度关系
在等腰三角形中，角平分线将对角线等分。
03
CHAPTER
角平分线与角的关系
03
02
01
THANKS
感谢您的观看。
角平分线将一个角分为两个相等的子角，即$angle AOC = angle BOC$。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即$OM = ON$。
角平分线将相邻的外角分为两个相等的子角，即$angle BOC = angle COD$。
角平分线上的点到这个外角的两边的距离相等，即$OM = OD$。
角的平分线的性质课件
1一课一研记录 (1)
16.3角的平分线研课记录时间：2017年12月5 日地点：邱县实验中学西校区五楼多媒体会议室人员：张建超、刘士秀、张利莎、孙春英、张爱秋、李海庆等老师教研过程：一、分析教学背景1、主备人（张建超）介绍教学背景及学情：本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完全等三角形和轴对称的基础上进行教学的.内容包括角平分线的性质及初步应用.角平分线的性质为证明线段相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础.因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用.同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律.。
八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导.同时在本节课教学中有一个动手折出指定形状的三角形这一环节也需要学生占用一定的时间进行体会，揣摩。
2、张利莎老师说：鉴于学生这种学情状况，我们应在教学过程中培养学生动手操作能力、归纳分析能力，为此可通过相应的学生活动来实现。
二、制定教学目标1、主备人（张建超）出示教学目标：探究角平分线的性质定理；学会使用角平分线性质定理解决简单问题2、张利莎老师说除知识目标外，还应该增加情感价值目标和能力培养目标，如：通过动手操作过程，培养学生学习数学的热情；培养学生使用数学相关知识解决实际问题的能力三、分析重点、难点1、主备人（张建超）：本节课的教学重点为：理解角的平分线的性质并能初步运用.难点：使用角平分线性质定理解决问题2、刘士秀老师说：对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解也是一个重点3、张爱秋老师说：对于性质定理的运用中，学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明4、李海庆老师说：在重难点突破的关键位置，设置一些质疑点，让学生在组内、组与组间提出疑问，相互研讨、解疑答疑，上黑板完成的问题至少两人研究完成，兵教兵的学习过程.用多种方法激励学生积极地参与到这个学习过程中，应该注重了对学生的学习状态的关注，切实有效地帮助学生达到研究性学习的质量和效果.突破方法：（1）通过学生自己动手折纸、猜想、总结、证明等多种方式加深性质定理学生脑海中的印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习.四、确定教学环节1、复习导入主备人（张建超）：复习角平分线的定义和点到直线的距离，以填空题形式出现。
六年级数学角的平分线与垂直平分线
六年级数学角的平分线与垂直平分线在数学中，角是一个基本的概念，而角的平分线与垂直平分线也是我们在解题中常常遇到的问题。
本文将详细介绍六年级数学中关于角的平分线与垂直平分线的相关知识。
角是由两条射线或线段所围成的图形，通常用大写字母表示。
角可以分为锐角、直角、钝角和周角四种类型。
平分线是指将角分成两个相等的部分的线段。
垂直平分线是指将角的两边平分，并且与角的边垂直相交的线段。
首先，我们来研究角的平分线。
当我们需要将角分成两个相等的部分时，就可以使用角的平分线。
如下图所示，角AOB可以被线段OC 平分，即∠AOC = ∠BOC。
这样的平分线在数学问题中经常被使用。
[插入图1]接下来，我们来研究角的垂直平分线。
垂直平分线的特点是将角的两边平分，并且与角的边垂直相交。
如下图所示，线段OD既是∠AOB的平分线，又是与边AB垂直相交的线段。
[插入图2]在实际解题中，角的平分线与垂直平分线经常用于求解几何图形的性质和计算角的度数。
以下是一些常见的应用示例。
例1：已知∠AOB是直角，线段OC是角AOB的平分线，求证∠AOC = 45°。
解：∠AOB是直角，所以∠AOB = 90°。
线段OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC = ∠BOC。
由于∠AOC和∠BOC是相等的角，且它们加起来等于直角∠AOB的度数（90°），所以∠AOC = ∠BOC = 45°。
例2：已知∠AOB是一个钝角，线段OC是∠AOB的平分线并且与边AB垂直相交，求∠AOC的度数。
解：∠AOB是一个钝角，所以∠AOB > 90°。
线段OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC = ∠BOC。
又由于∠AOC和∠BOC是相等的角，且由于线段OC与边AB垂直，所以∠AOC = ∠BOC = 90°/2 = 45°。
例3：已知∠AOB是一个钝角，线段OD是∠AOB的垂直平分线，求证∠BOD = 45°。
7《16.3角平分线》评课稿
《角平分线的性质》评课稿邱县实验中学主评人：王俊芳张老师这节课共分六个环节，复习导入---探究新知---学以致用---拓展延伸---限时训练---回顾总结。
在整个教学过程中运用了多种学习方式，组织本节课教学，让学生经历了动手、观察、实验、猜测、验证等活动过程。
整节课在师生共同参与、交流互动、共同发展的过程中进行，激发了学生学习的积极性，提高了学习效果。
纵观整个教学过程，有以下几个亮点，值得我们借鉴：1、教学目标明确，符合课标、教材要求和学生实际张老师选择的教学内容和设计的问题，能紧紧围绕课程标准和教材对角平分线的要求，充分考虑学生实际水平。
从学生喜欢的折纸问题入手，为本节课的学习做了铺垫。
在整个过程中张老师主要是以引导为主，让学生在每一个环节中步骤清晰明了，也为探索角平分线性质定理降低了难度。
这样，既突出了重点，又突破了难点。
2、合作交流，有助与经验共享，加深对知识的理解本节课共设计了两次合作，第一次是在第二次折纸后，“学以致用”环节的第6题，面积问题，大屏幕呈现了一条特殊线段“垂线段”，让学生展开讨论，尝试用一句话概括，有目的的培养了学生归纳、总结的习惯。
第二次合作是教师出示例题后，学生交流想法，教师指出易错点，进而完成同类练习题，使新知得到了巩固。
同时在合作的过程中，充分体现了学生的主体性和合作的必要性。
3、重视逻辑思维能力的培养和书写的规范性。
在例题的讲解时，老师注重了方法的引导，做到了一题多解，并进行择优选择，同时出示规范的证明过程，不仅有利于知识的进一步理解，而且提高了学生的逻辑推理能力，同时也培养了学生用学到的知识有条理的说理习惯。
4、及时练习，注重基础知识的落实，和基本能力的提升新课标要求“学生掌握数学知识，不能依赖于死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的运用中不断巩固和深化”，也就是说数学离不开练习。
为了帮助学生真正理解知识，张老师在学习了角平分线性质以后，设计了一组练习题，然后通过引导、分析、讲评等方法，做到了在运用新知识的同时，加深了对基础知识的理解和把握。
16.3角的平分线
16.3角的平分线知|识|目|标1．经历探索角的轴对称性的过程，理解角平分线的性质定理，会应用角平分线的性质定理解决问题．2．经历探索、猜测、证明，理解角平分线性质定理的逆定理，会应用角平分线性质定理的逆定理解决问题．3．通过对角平分线的学习，会运用尺规作角平分线并解决实际问题．目标一会应用角平分线的性质定理解决问题例1 教材补充例题如图16－3－1，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED ⊥OB，垂足分别为C，D.点F在OE上，连接DF，CF.求证：DF＝CF，∠EDF＝∠ECF.图16－3－1【归纳总结】角平分线的性质及应用、添加辅助线的方法：目标二 综合应用角平分线的性质定理和逆定理例2 教材补充例题 如图16－3－2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，∠B ＝∠C .求证：AD 是△ABC 的角平分线．图16－3－2【归纳总结】证明角平分线的两种方法：(1)定义法：应用角平分线的定义证明；(2)定理法：应用“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”来证明．目标三会运用尺规作角平分线例3 教材补充例题两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图16－3－3所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)图16－3－3小结◆◆◆)知识点一角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的________相等．注意：性质中的“距离”是指“点到直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等．知识点二角平分线性质定理的逆定理到角的两边________相等的点在角平分线上．知识点三利用尺规作角平分线角平分线的尺规作法：(1)画弧确定角内的交点(以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，与角的两边相交于两点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离的二分之一的长度为半径画弧，两弧相交于一点)；(2)作射线(过角的顶点和两弧的交点作射线)，该射线即为角平分线．反思◆◆◆)如图16－3－4，已知PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD＝PE.小明在解题时做了如下推理：∵PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线上(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)．小明的推理过程有错误吗？如果有，应该如何改正？图16－3－4详解详析【目标突破】例1 [解析] 根据角平分线的性质定理知ED ＝EC ，结合三角形内角和定理可得∠OED ＝∠OEC ，又EF ＝EF ，利用SAS 可证△EDF ≌△ECF ，便有DF ＝CF ，∠EDF ＝∠ECF.证明：∵E 是∠AOB 的平分线上的一点，ED ⊥OB ，EC ⊥OA ，∴ED ＝EC ，∠DOE ＝∠COE ，∠ODE ＝∠OCE ＝90°.又∵∠DEO ＝180°－∠ODE －∠DOE ，∠CEO ＝180°－∠OCE －∠COE ，∴∠OED ＝∠OEC.又∵EF ＝EF ，∴△EDF ≌△ECF(SAS)，∴DF ＝CF ，∠EDF ＝∠ECF.例2 证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.∵D 是BC 的中点，∴DB ＝DC.在△BDE 和△CDF 中，∵⎩⎨⎧∠DEB ＝∠DFC ，∠B ＝∠C ，DB ＝DC ，∴△BDE ≌△CDF ，∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是△ABC 的角平分线．例3 [解析] 到城镇A ，B 距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C.解：(1)作出线段AB的垂直平分线；(2)作出4条角平分线．垂直平分线和角平分线的交点即为所求作的点，如图中的点C1，C2.【总结反思】[小结]知识点一距离知识点二距离[反思] 小明的推理过程有错误，改正：∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，∴点P在∠AOB 的平分线上．。