高一数学课件正、余弦函数图象和性质(2)
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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(共2课时课件)(人教A版2019高一数学必修第一册)
2
,
3
2
,
5
2
2
2k
,
3
2
2k
,
k
Z
周 期
减区间：
3
2
,
2
,
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
2
2k ,
2
2k
,
k
Z
性
2 正弦函数、余弦函数的性质
-3 5 -2 3
2
2
-
2
y
1
o 2
-1
3 2
y=sinx
2
5 2
x
3
7 2
4
5.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的
各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？
3 典型例题
（3）因为
2
sin
1 2
x
4
6
2
sin
(
1 2
x
6
)
2
2sin(1 x ), 26
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.
练一练
求下列函数的周期：
(1)y 1 cos x, x R; 2
(2)y sin(1 x ), x R. 34
解：(1) 1 cos x 1 cos(上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0， 试判断f(x)是否为周期函数.
解：由已知有：f(x＋2)= -f(x), 所以f(x+4)= f[(x＋2)+2]= -f(x＋2) =-[-f(x)]= f(x), 即f(x＋4)=f(x), 所以由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.
【课件】正弦函数、余弦函数的性质+(2)+课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
23
33
4.变式:求函数y sin( 1 x ), x [ , ]的单调递增区间.
23
解 : y sin( 1 x ) sin(1 x ),
23
23
令z 1 x , x [2 ,2 ], 则z [ 4 , 2 ].
23
33
因为y
sin
z,
z
[
4
,
2
]的单调递减区间是[
4
时取得最小值
1;
7.最大值与最小值
由余弦函数的图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数当且仅当 x _2_k__,_k____Z__ 时取得最大值1,
当且仅当x _____2_k__,_k___Z_时取得最小值 1.
8. 正弦函数、余弦函数的图象和性质
函 数 y sin x, x R
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z ) 上都单调递减,
其值从1减小到－1.
7.最大值与最小值
正弦函数图象知
y1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数当且仅当
x
2k , k Z
_2__________
时取得最大值 1,
当且仅当
x
2k , k Z
___2__________
5
)在区间[0,
]上的单调递增区间为(
)
3
A.[5 ,11 ]
12 12
5
、B.[0, 12 ]
正弦函数、余弦函数的性质(2) 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
值时的取值与= ∈ 取到最大（最小）值时
的取值有何关系？若A<0呢？
2.如何求形如=( + ) +B， ∈ （或
=( + ) +B， ∈ ）的结构形式函数的最
大（最小）值及其对应的的取值？
课堂活动二（分组讨论，小组协作，展示点评）
例2.不通过求值，比较下列各组数的大小：
−1 + 1 = 0．
(2)令 = 2，使函数 = −3sin， ∈ 取得最大值的的集合，
就是使 = sin， ∈ 取得最小值的的集合{| = − + 2, ∈ }．
由2 = =
−
2
+ 2，得 =
−
4
+ ．
2
所以，使函数 = −3sin2， ∈ 取得最大值的的集合是{| = − +
列问题：
1.在它的每个单调区间上，函数值如何变化？
2.函数的最大值、最小值分别是什么？
3.取到最大值和最小值时的值是多少？
把你探究所得结果及其它性质填入表格。
正弦函数
定义域
值域
图像
周期
奇偶性
对称轴
对称中心
单调递增区间
单调递减区间
最大值点
最小值点
余弦函数
新知
应用
课堂活动一（分组讨论，小组协作，展示点评）
2
(2) 2 + 2cos ≥ 0( ∈ )
问题七：三角不等式是常见不等式，我们该怎样求解呢？
追问一： 前面我们是如何求解一元二次不等式呢？
结合二次函数图像求解.
追问二： 你是否可以助三角函数图像解三角不等式？请你试试.
3
的取值有何关系？若A<0呢？
2.如何求形如=( + ) +B， ∈ （或
=( + ) +B， ∈ ）的结构形式函数的最
大（最小）值及其对应的的取值？
课堂活动二（分组讨论，小组协作，展示点评）
例2.不通过求值，比较下列各组数的大小：
−1 + 1 = 0．
(2)令 = 2，使函数 = −3sin， ∈ 取得最大值的的集合，
就是使 = sin， ∈ 取得最小值的的集合{| = − + 2, ∈ }．
由2 = =
−
2
+ 2，得 =
−
4
+ ．
2
所以，使函数 = −3sin2， ∈ 取得最大值的的集合是{| = − +
列问题：
1.在它的每个单调区间上，函数值如何变化？
2.函数的最大值、最小值分别是什么？
3.取到最大值和最小值时的值是多少？
把你探究所得结果及其它性质填入表格。
正弦函数
定义域
值域
图像
周期
奇偶性
对称轴
对称中心
单调递增区间
单调递减区间
最大值点
最小值点
余弦函数
新知
应用
课堂活动一（分组讨论，小组协作，展示点评）
2
(2) 2 + 2cos ≥ 0( ∈ )
问题七：三角不等式是常见不等式，我们该怎样求解呢？
追问一： 前面我们是如何求解一元二次不等式呢？
结合二次函数图像求解.
追问二： 你是否可以助三角函数图像解三角不等式？请你试试.
3
5.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质(第2课时)课件高一上学期数学
变式训练1
求函数y=cos|x|的最小正周期.
解 因为cos(-x)=cos x,所以y=cos|x|=cos x,从而函数y=cos|x|与y=cos x的图
象一样,因此周期相同,为2π.
探究点二
正弦、余弦函数的最值(值域)
1.正、余弦函数的最值的理解
【例2】 求函数y=4-cos 3x取得最大值、最小值时的自变量x的集合,并分
π
f(x+2 )=
sin( +
即函数满足
π
)
2
+ cos( +
π
)
2
=|cos x|+|-sin x|=|cos x|+|sin x|=f(x),
π
π
f(x+2 )=f(x),因此函数的一个周期是2 ,因此选
BCD.
1 2 3 4
2.函数y=3-sin ax(a≠0,x∈R)的值域是( B )
别写出最大值、最小值.
解 ∵-1≤cos 3x≤1,
∴-1≤-cos 3x≤1.
∴3≤4-cos 3x≤5.
∴当 cos 3x=-1 时,3x=2kπ+π,即
2π
x=
3
y 取得最大值 5,相应的自变量 x
2π
的集合为{x|x=
3
当 cos 3x=1 时,3x=2kπ,即
+
π
(k∈Z)时,
3
+
π
求形如y=asin2x+bsin x+c,a≠0,x∈R的函数的值域或最大(小)值时,可以通
过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
例题讲解 LOGO
例5 求下列函数的最大值，最小值，并写出取最值时自变量x的集合．
（1）y cos x 1, x R；（2）y 3sin 2x, x R.
整体代换
【解析】(2)令z＝2x，使函数y＝－3sin 2x取得最大值的x的集合，
就是使y＝sin z取得最小值的z的集合z z
由
2x
z
1
2
探究新知 LOGO
例7 求下列函数的值域：
(1) y 3 2 cos(2x );(2) y cos2 x 4 cos x 5.
3
解：(1) -1 cos(2x ) 1-2 2 cos(2x ) 2,
3
3
1 3 2 cos(2x ) 5，即y=3 2 cos(2x )的值域为[1,5].
3
3
(2) y cos2 x 4 cos x 5 (cos x 2)2 1,
令t cos x,则t [1,1]
y (t 2)2 1在[1,1]上单调递减
当t= 1时，ymax (1 2)2 1 10 当t=1时，ymin (1 2)2 1 2 故y cos2 x 4 cos x 5的值域为[2,10].
课堂练习 LOGO
1.求函数y=2sin( x),x∈R 的单调递增区间；
4
解：y
2 s in(
x)
2sin(x
)
4
4
由 2k x 3 2k (k Z)， 得 3 2k x 7 2k (k Z)
2
42
4
4
故y 2sin( - x)的单调增区间为[3 2k , 7 2k ](k Z ).
课堂练习 LOGO
课堂小结 LOGO
课堂小结
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册) (2)
2
图象向左平移
2
2
个单位长度而得到, 所以, 将正弦函数的图象向左平移
个单位长度, 就得到余弦函数的图象.
余弦函数y=cosx(x ∈R)的图象
sin(
x+ 2
)= cosx
y
余弦曲线 正弦曲线
x
-2
-
o
2
3
2
3
4
2
余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左
平行移动/2个单位长度而得到
足够多的点T ( x0 ,sin x0 ), 将这些点用光滑的曲线连接起来 , 可得到比
较精确的函数y sin x , x [0, 2 ]的图象(图5.4 3)
2
3
5
6
2
3
6
7
6
y
1
2
4
3
3
2
5
3
y=sinx ( x ∈ [0, 2 ] )
●
1
●
0
6
7 4 3 5 11
【变式 2】
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域.
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
sin x>0，
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
【变式3】若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
图．这种近似的“五点（画图〉法”是非常实用的．
正弦函数的“五点画图法”
图象向左平移
2
2
个单位长度而得到, 所以, 将正弦函数的图象向左平移
个单位长度, 就得到余弦函数的图象.
余弦函数y=cosx(x ∈R)的图象
sin(
x+ 2
)= cosx
y
余弦曲线 正弦曲线
x
-2
-
o
2
3
2
3
4
2
余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左
平行移动/2个单位长度而得到
足够多的点T ( x0 ,sin x0 ), 将这些点用光滑的曲线连接起来 , 可得到比
较精确的函数y sin x , x [0, 2 ]的图象(图5.4 3)
2
3
5
6
2
3
6
7
6
y
1
2
4
3
3
2
5
3
y=sinx ( x ∈ [0, 2 ] )
●
1
●
0
6
7 4 3 5 11
【变式 2】
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域.
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
sin x>0，
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
【变式3】若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
图．这种近似的“五点（画图〉法”是非常实用的．
正弦函数的“五点画图法”
5.4.2正弦函数余弦函数的性质(第2课时)课件-高一上学期数学人教A版2
当堂达标
2．函数 f(x)＝ 3sin2x－π4，x∈R 的最小正周期为(
)
π A.2
B．π
C．2π
D．4π
【解析】 因为 3sin12x＋4π－π4＝ 3sin12x－π4＋2π ＝ 3sin12x－π4，即 f(x＋4π)＝f(x)，所以函数 f(x)的最小正周期为 4π.
当堂达标
3．函数 f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是(
(1)cos 150°与 cos 170°；(2)sin 5π与 sin－75π. 【解】 (1)因为 90°<150°<170°<180°，函数 y＝cos x 在区间[90°，180°]
上是减函数，所以 cos 150°>cos 170°.
(2)sin－75π＝sin－2π＋35π＝sin 35π＝sinπ－25π＝sin 25π.因为 0<π5<25π<π2，
)
A.－π2，π2
B．[－π，0]
C.－23π，23π
D.π2，23π
【解析】 令 x＋π6∈π2＋2kπ，32π＋2kπ，k∈Z，
得 x∈π3＋2kπ，43π＋2kπ，k∈Z，
k＝0 时，区间π3，43π是函数 f(x)的一个单调递减区间，
而π2，23π⊆π3，43π.故选 D.
当堂达标
4．比较下列各组数的大小：
函数 y＝sin x 在区间0，π2上是增函数，
所以 sin
π 5<sin
25π，即 sin
π5<sin－75π.
课堂小结
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
函数
奇偶性
正弦函数 奇函数
余弦函数 偶函数
单调性（单调区间）
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 课件 高一数学人教A版(2019)必修第一册
x∈[ 0，2π ] 的图象.
思考：根据 y = sin x，x∈[ 0，2π ] 的图象，你能想象函数y = sin x，x∈R 的
图象吗？
学习目标
新课讲授
课堂总结
由诱导公式一可知，函数 y = sin x，x∈[ 2kπ，2(k+1)π ]，k∈Z且k≠0 的
图象与函数 y = sin x ，x∈[ 0，2π ] 的图象形状完全一致；
3
，–
2
1 )，( 2π，0 )；
描出这五个点，函数 y = sin x，x∈ [ 0，2π ] 的图象形状就基本确定了；
这种描出近似的五个点的画图方法叫做 “五点（画图）法” ．
学习目标
课堂总结
新课讲授
知识点 2 ：“五点法”作正弦、余弦函数的图象
例 3 ：找出下列函数的五个关键点，并画出它们的简图；
关于 y 轴对称
y=f(x)
关于 y 轴对称fຫໍສະໝຸດ –x)学习目标课堂总结
新课讲授
练一练
B
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题：
（1）请简述正弦曲线与余弦曲线的特征及“五点作图法”的操作步骤；
（2）说一说，函数解析式的变换与函数图象变换有什么内在联系？
正弦函数的图象
学习目标
新课讲授
课堂总结
π
2
① 由诱导公式六可得，函数 y = cos x = sin( x + ) ，x∈R ；
π
2
② 函数 y = sin( x + ) 的图象可以通过正弦函数 y = sin x，x∈R的图象向左
π
2
平移 个单位长度得到；
π
2
思考：根据 y = sin x，x∈[ 0，2π ] 的图象，你能想象函数y = sin x，x∈R 的
图象吗？
学习目标
新课讲授
课堂总结
由诱导公式一可知，函数 y = sin x，x∈[ 2kπ，2(k+1)π ]，k∈Z且k≠0 的
图象与函数 y = sin x ，x∈[ 0，2π ] 的图象形状完全一致；
3
，–
2
1 )，( 2π，0 )；
描出这五个点，函数 y = sin x，x∈ [ 0，2π ] 的图象形状就基本确定了；
这种描出近似的五个点的画图方法叫做 “五点（画图）法” ．
学习目标
课堂总结
新课讲授
知识点 2 ：“五点法”作正弦、余弦函数的图象
例 3 ：找出下列函数的五个关键点，并画出它们的简图；
关于 y 轴对称
y=f(x)
关于 y 轴对称fຫໍສະໝຸດ –x)学习目标课堂总结
新课讲授
练一练
B
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题：
（1）请简述正弦曲线与余弦曲线的特征及“五点作图法”的操作步骤；
（2）说一说，函数解析式的变换与函数图象变换有什么内在联系？
正弦函数的图象
学习目标
新课讲授
课堂总结
π
2
① 由诱导公式六可得，函数 y = cos x = sin( x + ) ，x∈R ；
π
2
② 函数 y = sin( x + ) 的图象可以通过正弦函数 y = sin x，x∈R的图象向左
π
2
平移 个单位长度得到；
π
2
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§4.8 正、余弦函数图象和性 质 （二） 我们的目标
1、理解正、余弦函数周期的求法 2、掌握五点作图法 3、掌握复合三角函数单调区间的求法
一、正、余弦函数的图
1、说出它们的定义域、 值域、奇偶性、 单调性、周期性
象
2、说出它们的对称中 心、对称轴
二、复习题
1、五点法作图、并求出 最值，单调区间 .
（1） （ sin
） sin （
）
解：函数 y sin x 是 ， 上的增函数， 2 2
且
18
10
2
sin(
10
18
2
) sin(
)
18 sin( ) sin( )0 18 10
（1） y 1 sin x （ 2） y cos x （ 3） y cos x 1 （ 4） y sin 2 x
二、复习题
2、（ 1）求出 y sin 2 x 的单调区间；
（ 2）求出函数
y sin x （
4
）的单调区间
.
1、求出下列函数的周期
（1） y sin 2 x （ 2） y 3 cos x x R x R
10
（7 6
）
P56
练习
P57
习题 4 . 8
1、 1）（ 2）4、、 2 5 7 （
（ 3） y 2 sin （
一般地，函数
1 2
x
6
）
x R
y A sin( x ). x R
及函数 y A cos( x ). x R ( 其中 A 、 、 为常数， A 0， 0 ) 的周期为 T 2
.
2、不求值，指出下列各式大于0还是小于0？
1、理解正、余弦函数周期的求法 2、掌握五点作图法 3、掌握复合三角函数单调区间的求法
一、正、余弦函数的图
1、说出它们的定义域、 值域、奇偶性、 单调性、周期性
象
2、说出它们的对称中 心、对称轴
二、复习题
1、五点法作图、并求出 最值，单调区间 .
（1） （ sin
） sin （
）
解：函数 y sin x 是 ， 上的增函数， 2 2
且
18
10
2
sin(
10
18
2
) sin(
)
18 sin( ) sin( )0 18 10
（1） y 1 sin x （ 2） y cos x （ 3） y cos x 1 （ 4） y sin 2 x
二、复习题
2、（ 1）求出 y sin 2 x 的单调区间；
（ 2）求出函数
y sin x （
4
）的单调区间
.
1、求出下列函数的周期
（1） y sin 2 x （ 2） y 3 cos x x R x R
10
（7 6
）
P56
练习
P57
习题 4 . 8
1、 1）（ 2）4、、 2 5 7 （
（ 3） y 2 sin （
一般地，函数
1 2
x
6
）
x R
y A sin( x ). x R
及函数 y A cos( x ). x R ( 其中 A 、 、 为常数， A 0， 0 ) 的周期为 T 2
.
2、不求值，指出下列各式大于0还是小于0？