母函数
母函数（生成函数）
母函数（⽣成函数）介绍母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。
如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。
具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。
（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：11−x=∑∞i=0x i=1+x+ (x)11−kx=∑∞i=0k i x i=1+kx+...+k∞x∞1.普通型母函数。
假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。
⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。
递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。
所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=1−x1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求an的通项呢？对于这种东西，我们可以把他化成k1x−A+k2x−B这种形式，其中A和B由分母的因式分解唯⼀确定，然后k1,k2可由待定系数法解得。
然后对于kx−A,总可以化成k′∗11−Nx，就是k′∑∞i=0N i x i，找出x k的系数就是a n，如果母函数拆开成多个该类分式的话各部分相加就好。
具体计算就不算了。
PS:⼀部分⾮齐次线性递推其实也可以这样解，⽐如a n−3a n−1−10a n−2=f(n)，按照上述⽅法错项后会剩下⼀个等⽐数列和前⼏项余项。
母函数与指数型母函数
比较等式两端的常数项，可以得到恒等式：
C(m n, m) C (n, 0)C (m, 0) C (n,1)C (m,1) C(n, m)C(m, m).
又如在等式 (1 x)n C(n,0) C(n,1)x C(n, n)xn
注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两 种选法，而出现3，3只有一种选法，按加法法则， 共有2+2+1=5种不同选法。
或者，第一个骰子除了6以外都可选，有5种选法， 一旦第一个选定，第二个骰子就只有一种可能的选 法，按乘法法则有5×1=5种。
但碰到用三个或四个骰子掷出n点，上述两方法就 不胜其烦了。
a1 a3 a5 a7 0, a0 1, a2 C(8, 2) 28,
a4 C(8, 4) 70, a6 C(8, 6) 28, a8 1. 因此序列a1,a2,…,a8对应的母函数为：
A( x) 1 28x2 70x4 28x6 x8 .
类似可得女同志的允许组合数对应的母函数为
1: b0 a0 x: b1 a0 a1 x2: b2 a0 a1 a2
__+_)___x_k:_b_k _a_0 __a1__a_2 ____ak________
B( x) a0 /(1 x) a1 x /(1 x) a2 x2 /(1 x)
[a0 a1 x a2 x2 ] /(1 x) A( x) /(1 x).
中令x=1 可得 C(n, 0) C(n,1) C(n, 2) C(n, n) 2n.
两端对x求导可得：
n(1 x)n1 C(n,1) 2C(n,2)x nC(n,n)xn1,
3.2母函数及其性质2014
8
4
例1
变形： |x|+|y|+|z|+ w = n+1 (w≥1) 的整数解的个数也为Cn 在这里当|x|=0时x=0只有一种取值，当 |x|>0时，x有两个取值。 按照 |x|,|y|,|z|中0的个数来进行分类: （ 1 ）没有一个等于0 该类整数解的个数＝C(3,0)23C(n,3)
9
例1
11
例1
设|x|+|y|+|z|+ w = n (w≥0)的整数 解的个数为Cn
求数列 Cn的母函数：
考虑 x 的取法： |x|=0，x=0，只有一种取法； |x|=t ≥1 ， x= ± t，有两种取法； 可用幂级数（1＋2x+2x2+…）来表示
12
6
例1
设|x|+|y|+|z|+ w = n (w≥0)的整数 解的个数为Cn
⑤性质 5 若 bk kak ，则
B( x ) xA( x )
36
18
三、母函数的性质
设数列{ak}和{bk} 对应的母函数为A(x),B(x)
⑥性质 6 若
bk ak (k 1)，则
1 x B( x ) A( x )dx x 0
37
三、母函数的性质
设数列{ak}和{bk} 对应的母函数为A(x),B(x)
14
7
例1
求数列 Cn的母函数g(x)：
g( x ) (1 x )3 (1 x )4 4 k 1 k (1 3 x 3 x x ) x k k 0 3 k k 2 3 (1 3 x 3 x x ) x 3 k 0
母函数详解——精选推荐
母函数详解在数学中，某个序列的母函数(Generating function，⼜称⽣成函数)是⼀种形式幂级数，其每⼀项的系数可以提供关于这个序列的信息。
使⽤母函数解决问题的⽅法称为母函数⽅法。
母函数———把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来我们从经典的砝码的例⼦讲起题⽬：有1g 2g 3g 4g的砝码各⼀枚，能称出多少种重量？每种重量的可能组合砝码是什么穷举的话，很容易得出结果，单数时间复杂的度为n的四次⽅，较⼤，不能采取所以，我么可以采⽤⼀个类似离散数学的逻辑式⼦表⽰前两种砝码组合产⽣的情况这⾥ ||代表或 &&代表与（使⽤1g||不使⽤1g）&&（使⽤2g||不适⽤2g）=使⽤1g&&使⽤2g||不使⽤1g&&使⽤2g||使⽤1g&&不使⽤2g||不使⽤1g&&不使⽤2g思考：⼤家可以发现这个表达式和⼀种表达式很像，没错，如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，和多项式的乘法⼀模⼀样。
那么我们直觉的想到，有没有可能⽤多项式乘法来表⽰组合的情况呢？我们再来看题⽬，题⽬需要的是⼏种砝码组合后的重量，是⼀个加法关系，但是在上式中“&&”是⼀种类似于乘法的运算关系，这怎么办呢？有没有什么这样⼀种运算关系，以乘法的形式运算，但是结果表现出类似于加法的关系呢？正好有⼀个，那就是幂运算。
Xm 乘上Xn结果是Xm+n，他完美的符合了我们的要求。
那么以次数表⽰砝码的质量，就可以以多项式的形式表⽰砝码组合的所有⽅案。
还是以前俩个砝码为例说明。
表⽰1g砝码的两种多项式就是（x^0+x^1），表⽰2g砝码的两种多项式就是（x^0+x^2)，x的0次⽅表⽰没有使⽤该砝码，当然x的0次⽅等于1，所以写成1也是对的。
注意，砝码的重量是⽤次数表⽰的，⽽不是⽤下标表⽰的 （x^0+x^1)*(x^0+x^2) =x^0*x^0+x^1*x^1+x^0*x^1+x^1*x^2 =x^0+x^1+x^2+x^3 结果很显然，有四个⽅案；0g 1g 2g 3g 再试试四个砝码加⼀起的结果 ⼀个1g 2g 3g 4g （x^0+x^1）* （x^0+x^2） * （x^0+x^3）* （x^0+x^4） =x^0 + x^1 + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + 2x^5 + 2x^6 + 2x^7 + x^8+ x^9 + x^10 结果就是0g 1g 2g 2个3g 2个4g 2个5g 2个6g 2个7g ⼀个8g ⼀个9g ⼀个10g ⾄此也就得出了答案。
【工程数学课件】4.3 母函数
或取两次，L ，或取r次，L ，是用如下形式表示：
1 x x2 L xr +L
2!
r!
例5 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体 的排列数为nr。
解：设ar为所求的排列数，则序列(a0 ,a1,a2,L ,ar ,L )的 指数母函数为：
fe(x) 1
x
x2 2!
L
xr r!
每个物体出现偶数次的方式数。 解：设a2r为所求的方式数，则序列(a0 ,a1,L ,ar ,L )的普 通母函数为：
f
(x)
(1
x2
x4
L
)n
1
1 x2
n
r 0
n
r r
1
x2r
故有：a2r
n
r r
1
六、指数母函数在排列中的应用
与组合不同的是，某个物体在排列中不取，或取一次，
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给 定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
x4)(142x4)L4(14 3x)
n
(1
x)n
n r 0
n
r
xr
x
r
的系数
n r
为从n个不同的物体选取r个的方法数.
(1 x x2L ) 表示某一物体可以不选，或选一次， 或选二次,…
组合数学(第二版)母函数及其应用
考虑座位号),其中,甲、乙两 班最少1张,甲班最多5张,乙班最
多6张;丙班最少2张,最多7张;丁班最少4张,最 多10张.可有多
少种不同的分配方案?
母函数及其应用
母函数及其应用
【例 2.1.5】 从n 双互相不同的鞋中取出r 只(r≤n),要求
其中没有任何两只是成对 的,共有多少种不同的取法?
母函数及其应用
(1+x)n .
【例 2.1.2】 无限数列{1,1,…,1,…}的普母函数是
母函数及其应用
说明
(1)an 的非零值可以为有限个或无限个;
(2)数列{an}与母函数一一对应,即给定数列便得知它的
母函数;反之,求得母函数则数列也随之而定;
(3)这里将母函数只看作一个形式函数,目的是利用其有
关运算性质完成计数问题, 故不考虑“收敛问题”,即始终认
红红、黄黄、蓝蓝、红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、 蓝
黄.其它情形依此类推.
母函数及其应用
这里需要说明的是:
(1)在例2.1.3中,利用普母函数可以将组合的每一种情况
都枚举出来,但是对排列问 题,指母函数却做不到,只能对排列
进行分类枚举.正如例2.3.1这样,项ryb 的系数6说 明红、蓝、
黄球各取一个时,有6种排列方案,但每一种方案具体是什么,
(每个数字可重复出现), 要求其中3,7出现的次数为偶数,1,5,9
出现的次数不加限制.
母函数及其应用
【例 2.3.4】 把上例的条件改为要求1、3、7出现的次数
一样多,5和9出现的次数不 加限制.求这样的n 位数的个数.
解 设满足条件的数有bn 个,与例2.1.6的分配问题类似,即
将n 个不同的球放入标号 为1、3、5、7、9的5个盒子,其中
母函数
比较等式两端的常数项，即得公式(2-1-3)
又如等式： n 2 (1 x ) C ( n, 0) C (n,1) x C (n, 2) x
C ( n, n) x n
令x=1 可得
C (n,0) C (n,1) C (n,2) C (n, n) 2 (2 - 1 - 4)
我们也可以从另一角度来看，要使两个色 子掷出6点，第一个色子除了6以外的都 可选，这有5种选法，一旦第一个选定， 第二个色子就只有一种可能的选法 按乘法法则有5*1=5种
但碰到用三个或四个色子掷出n点，上述两方法 就不胜其烦了。——这就需要引进新的方法。设 想把色子的出现的点数1,2,…6和t到t 6 对应起 来，则第一个色子可能出现的点数就与
[C(n,0) C(n,1)x C(n, n)x n ] [C(m,0) C(m,1)x C(m,m)x ] C(m n,0) C(m n,1)x
m
C(m n,m n)x m n
比较等号两端项对应系数，可得一等式
C (m n, r ) C (m,0)C (n, r ) C (m,1)C (n, r 1) C (m, r )C (n,0)
2 6
• 母函数的思想很简单—就是把离散数列 和幂级数一一对应起来，把离散数列间 的相互结合关系对应成为幂级数间的运 算关系，最后由幂级数形式来确定离散 数列的构造. 看下面的例子.
(1 a1 x)(1 a 2 x) (1 anx) 1 (a1 a 2 an) x (a1a 2 a1a 3 an 1an) x a1a 2 anx n (2 - 1 - 1)
07母函数介绍
解：由定义4.2，有
特别地：若 =1，则序列(1,1,…,1,…)的指数母函数为ex 。 例8、求序列(1, 1×4, 1×4×7,…, 1×4×7×…×(3n+1),…)的指数母函数。
例
题
§4.1 指数母函数例8
§4.1 母函数的基本概念
4.1.2 指数母函数
解：由定义4.2和二项式定理，有
x x2 xn f e ( x ) 1 (1 4) (1 4 7) ... 1 4 7 ... (3 n 1) ... n! 1! 2! 1 4 7 ... (3 n 1) n x n! n0 4 7 ... 3 n 1 3 3 3n x n 1 3 n! n 1 4 4 1 ... 4 n 1 3 3 3 1 ( 3 x )n n! n 1 4 1 3 ( 3 x ) n n n 1
第4章 母函数
回顾前一章——容斥原理：
基本原理 重集的r-组合 错排、有限制排列
本章重点介绍母函数（普通母函数、指数母 函数）的基本概念及其在排列组合中的应用 ： 母函数的基本概念 母函数的基本运算 母函数在排列、组合中的应用 整数拆分 母函数在组合恒等式中的应用
• • • • •
§4.1 普通母函数概念
(1-4x)-1/2 是 序 列 (C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…)的普通母函数。
§4.1 普通母函数例3 证明：由牛顿二项式定理有 §4.1 母函数的基本概念 (1 4 x )1 2 1 1 2 ( 4 x )k k k 1 1 2 1 2 1 1 2 2 ... 1 2 k 1 1+ ( 4 x )k k! k 1 4 k 1 3 ... (2k 1) k x 1+ 2k k ! k 1 2 k k ! 1 3 ... (2k 1) xk 1 k !k ! k 1 2 4 ... (2k ) 1 3 ... (2k 1) k 1 x k !k ! k 1 (2k )! k 1 x 1 2k x k k k 1 k ! k ! k 1 0 2 x 4 x 2 ... 2k x k ... 0 1 2 k 由定义知，(1-4x)-1/2是序列(C(0,0), C(2,1), C(4,2), … , C(2n,n),…) 的普通母函数。
02-02-母函数
Pk = 1
而母函数实际上是一个幂级数，由级数收敛性知道 GX(s)至少在|s|≤1时一致收敛，而且绝对收敛。 因此母函数对任何非负整值随机变量都存在 ，并且在[-1,+1]上是一致连续的。 对于任一数列{an}，也可以定义 为其母函数。 但目前只讨论概率分布的母函数。
an s n ∑
k =0 ∞
2.2.4 母函数
对于状态离散的随机过程的研究，有时利用 母函数方法更为简便，因此我们在此介绍母 函数方法。 • 需要说明的是，随机过程是一系列随机变 量的集合，在这里我们仅讨论随机变量的 母函数方法，而随机过程的母函数可类比 随机变量的情况进行推广。
1、整值随机变量与母函数的定义 定义: 若随机变量X 取非负整数值，其相应的分布列为： pk=P[X=k], k=0,1,,2 记实变数s 的实函数
则其导数为
∞ d k −1 GX ( s ) = ∑ kpk s ds k =1
• 上述级数至少在|s|<1 是收敛的。当随 机变量X 的数学期望存在时，即
E ( X ) = ∑ kPk
∞ k =1
存在时，显然有
∞ d ds GX ( s ) = ∑ kPk = E ( X ) s =1 k =1
k k =0 k =0 k
且GX(s)=GY(s)，因GX(s)和GY(s)均为幂级数， 且当|s|≤1 时该幂级数均收敛，对GX(s)和 GY(s)求导k次，并令s=0，则得
因此得：pk=qk，k=0,1,2,…，即两个概率分布相同。 由此可知，概率分布和母函数是一一对应的。
母函数是研究整值随机变量的有效 工具
∞
因此X的方差为：
证明见P67
3、二维随机变量的母函数
母函数
组合数为 x r 之系数 C(n, r).
推论2 推论2
设 S = { ∞ e 1, ∞ e 2 ,L, ∞ e n },则 S 的 r 1 G(x) = ( ∑ x ) = (1 x) n j=0
∞ j n
无限可重组合的母函数 为
组合数为 x r的系数 C(n + r 1, r).
推论3 推论3 设 S = { ∞ e 1, ∞ e 2 ,L , ∞ e n },每个元素至 x G(x) = ( ∑ x ) = 1 x j =1
10组合数 组合数. 例如 求S = {3 a,4 b,5 c}的10组合数.
解 S的 r组合数的母函数为 G(x) = (1 + x + x 2 + x 3 )(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ) (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 的系数6即为所求的1 组合数. 展开式中 x 10的系数6即为所求的1 0组合数.
n
是多重集
1
解
k + n 1 (k + n 1)(k + n 2) Lk n = n! ( k) L( k (n 1)) n k = ( 1) = ( 1) n n!
n
所以,{a n }的母函数 所以,
∞ k n k x = ∑ ( x) n G(x) = ∑ ( 1) n n n =0 n =0 1 k = (1 x) = (1 x) k ∞ n
n
1 = (1 x 2 ) n 证 G(x) = (1 x 2 ) n
∞ n 2k n + k 1 2k x = ∑ ( 1) x = ∑ k k k =0 k =0 ∞ k
母函数和特征函数简介
母函数和特征函数简介§1 母函数（生成函数）简介对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。
母函数又称生成函数(Generating function)。
母函数的定义● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数)1(0≤∑∞=s sa n nn 为}0,{≥n a n 的母函数。
● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则称1)(?)(0≤==∑∞=s s p s E s g k kk X为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。
一些常用分布的母函数（1）若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=（2）若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3）若)(~p G X ，则qs pss g -=1)(母函数的基本性质（1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有!)0()(k g p k k =（2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==nk kXY 1的母函数为：)()()()(21s g s g s g s g n Y =（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：（a ）)1()(g X E '=（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==母函数的应用（4）设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==nk kXY 1的分布。
（5）设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。
（6）设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。
第四章 母函数及应用
14:28
12
一般地，由于
故从n个不同物体中不重复取k个的方法数即为xk的系数。 ⑵从n个不同物体中允许重复选取k个物体的方法数
1+x：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，即至多选取一次； 1+x+x2：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取两次，
即至多选取两次； 1+x+x2+x3+….：可象征性地表示一个物体都不选，或只选取一次，或选取
例3 现有无穷多个字母A、B、C，求从中取n个字母但必须含有偶数个 A的方式数。
例4 现有2n个A，2n个B和2n个C，求从它们中选取3n个字母的不同方 式数。
14:28
15
三、指数母函数在排列计数问题中的应用
已知
(1
x)n
n k 0
n k
xk
,
kn
f (x) (x x2 x3)( x x3 x5 ...)(1 x x2 ...)
(2)因为第1、2个盒子装相同个糖果，故装入这两个盒子的糖果 总数应为偶数。所以先取2i个糖果，现将它们一分为二分别装 入第1、2个盒子。又因为糖果无区别，故每次一分为二的方法 仅一种。所以普通母函数为
为序列{a0,a1,a2,…,an,…}的普通母函数. n0
14:28
1
注:
①普通母函数从形式上看是一个无穷级数(幂级数),但 没有必要讨论它的收敛性,它实质上是序列的记号,x
为形式变元。对该级数可把它看成形式幂级数,从
而可进行加法、乘法及形式微分等运算,从而构成 一个代数体系。
②一个序列和它的普通母函数是一一对应的。
f (x) (1 x2 x4 ...)(1 x x2 ...)
母函数
母函数（Generating function）详解前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。
（PS：大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo 的程序人生：，谢谢）(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。
对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。
构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看："把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来""母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "我们首先来看下这个多项式乘法：由此可以看出:1. x的系数是a1,a2,…a n的单个组合的全体。
2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。
………n. x n的系数是a1,a2,….a n的n个组合的全体（只有1个）。
由此得到：母函数的定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：第一种：有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量每种重量各有几种可能方案考虑用母函数来接吻这个问题：我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，上面这四个式子懂吗我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么1代表重量为2的砝码数量为0个。
shuxue母函数
最佳答案发生函数"的英文原词是generating function。
它的另外两个译名是"生成函数"与"母函数"。
母函数虽词简而意深，但现今已不常用了。
发生函数方法是现代离散数学领域中的重要方法，它能以某种统一的程序方式处理和解决众多不同类型的问题。
生成函数（也有叫做“母函数”的，但是我觉得母函数不太好听）是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。
生成函数最绝妙的是，某些生成函数可以化简为一个很简单的函数。
也就是说，不一定每个生成函数都是用一长串多项式来表示的。
比如，这个函数f(n)=1 （n 当然是属于自然数的），它的生成函数就应该是g(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+...（每一项都是一，即使n=0时也有x^0系数为1，所以有常数项）。
再仔细一看，这就是一个有无穷多项的等比数列求和嘛。
如果-1<x<1，那么g(x)就等于1/(1-x)了。
在研究生成函数时，我们都假设级数收敛，因为生成函数的x没有实际意义，我们可以任意取值。
于是，我们就说，f(n)=1的生成函数是g(x)=1/(1-x)。
我们举一个例子说明，一些具有实际意义的组合问题也可以用像这样简单的一个函数全部表示出来。
考虑这个问题：从二班选n个MM出来有多少种选法。
学过简单的排列与组合的同学都知道，答案就是C(4,n)。
也就是说。
从n=0开始，问题的答案分别是1,4,6,4,1,0,0,0,...（从4个MM中选出4个以上的人来方案数当然为0喽）。
那么它的生成函数g(x)就应该是g(x)=1+4x+6x^2+4x^3+x^4。
这不就是……二项式展开吗？于是，g(x)=(1+x)^4。
你或许应该知道，(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k；但你或许不知道，即使k为负数和小数的时候，也有类似的结论：(1+x)^k=C(k,0)x^0+C(k,1)x^1+...+C(k,k)x^k+C(k,k+1)x^(k+1)+C(k,k+2)x^(k+2) +...（一直加到无穷；式子看着很别扭，自己写到草稿纸上吧，毕竟这里输入数学式子很麻烦）。
数学奥赛辅导丛书：母函数
数学奥赛辅导丛书：母函数
母函数是指对于一个函数f(x),它的母函数是P(x)，满足f(x+b)-
f(x)=P(x)，其中b是常数。
通常来说，母函数用于计算函数f(x)的无穷级数展开式。
母函数P(x)本质上是在关于x的单调增加函数，用来描述f (x)中处于相同间隔而x增加量不同的问题。
它既可是一个可分解的函数式，也可是一组不可分解的函数式集合。
例如，正弦函数的母函数是sin(x)，其中，正弦函数的母函数也就是它自身函数，而多项式函数的母函数则比较复杂，它是一个由多个函数组成的集合。
母函数的运用能够帮助我们更加得心应手地解决一些数学问题，尤其是推导一些函数展开式，计算不同函数间的关系等。
因此，学习母函数是数学学习中必不可少的一部分。
母函数及其应用
六、母函数及其应用6．1定义：称() +++++=-12321n n x a x a x a a x f 为数列{}n a 的形式幂级数，或生成函数，简称母函数。
6．2几个常用初等函数的形式幂级数展开式（1）()111<=-∑+∞=x x x n n ；（2）()()()()1!1110<-+⋅⋅-⋅=+∑+∞=x x n n x n n αααα；（3）()R x n x e n nx∈=∑+∞=0!；（4）()()()R x n x x n nn∈-=∑+∞=02!21cos ； （5）()()()R x n x x n n n∈+-=∑+∞=+012!121sin ； （6）()()()111ln 01<-=+∑+∞=-x nx x n nn ； （7）()()1121arctan 012<+-=∑+∞=+x n x x n n n。
求一个初等函数的形式幂级数的根本方法是利用泰勒展开定理，或马克劳林定理。
在定义域范围内，对上述形式幂级数再进行算术运算和解析运算，可以得到其它初等函数的形式幂级数。
我们在下文的目的，就是利用这种运算方法来求数列的通项公式。
6．3数列{}n a 及其前n 项和数列{}n S 的母函数关系定理1：记数列{}n a 的母函数为()x A ，则其n 项和数列{}n S 的母函数()()xx A x B -=1。
证明：∵ ()()∑∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=--+∞=-++=++==21111211111n n n n n n n n n n n n n x a xS x a xa S a xSx B()()()()x A x xB a x A x xB a +=-++=11∴ ()()xx A x B -=1。
定理2：()()*121N n n n k nk ∈+=∑=。
证明：记数列{}n 的前n 项和为n S ，则数列{}n S 的母函数为()()∑∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=--+∞=-++=++==21112111111n n n n n n n n n n n nx xS x xn S S xS x B()()()()22111111x x xB x x xB -+=--++=∴ ()()()()∑∑∞+=-∞+=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=22'11'2312121112111n n x n n x x n n nx x x x B ()∑+∞=-+=11121n n nx n 。
母函数种类表
母函数种类表在数学中，某个序列 的母函数(又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。
使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。
母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L 级数、贝尔级数和狄利克雷级数。
对每个序列都可以写出以上每个类型一个母函数。
构造母函数的目的一般是为了解决某个特定问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题类型。
母函数表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x 的形式幂级数。
对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。
但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x 的值都存在。
母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位，而且已成为组合数学中一种重要方法。
此外，母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。
注意母函数本身并不是一个从某个定义域射到某个值域的函数，名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。
母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。
生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。
生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。
形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。
“投掷n 粒骰子时，加起来点数总和等于m 可能方式数目可能是展开式中项系数。
1. 普通数母普通母函数就是最常见母函数。
一般来说，序列的母函数是：如果 是某个离散随机变量的概率质量函数，那么它的母函数被称为一个概率母函数。
多重下标的序列也可以有母函数。
例如，序列母函数是。
2. 矩量母函数（母函数）令X 为具有概率密度函数f(x)随机变量，如果X 函数exp （tX ）的期望值存在（-h^2<t<h^2），则称exp(tX)的期望值为X 的矩母函数，记作MX(t)用于描述随机变量的分布状况，其K 次求导，得M(0)的k 次方，也即Y 的K 次方的分布状况，概率理论和统计学上,在其期望值存在时,随机变量X 的矩量母函数为松数母序列的泊松母函数是：4. 数母数（母函数）序列的指数母函数是：尔（卡母函数）关于算术函数 :和 的贝尔级数是：6.级数 （母函数）序列的L 级数是：注意这里的下标 n 从1 而不是0 开始。
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母函数（生成函数）（发生函数）（发生函数）英文：generating function我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。
这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。
（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换）§1 母函数利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k=≥的知识，我们用一个母函数+++=∑=≥22100)(x a x a a xa x g kk k这里x k 是指数函数来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转记为成函数。
假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。
这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的母函数仅只是序列的另一种表示。
如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{}2,,1ωω的母函数为+++++=rx x x x F rcos 2cos cos1)(2ωωω另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ，xx x x x 411)1()1()1(6)1(2122-=-+++-+++故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。
结论是（ r a a ,,0）可能无限，故应注意，)(x F 的收敛性。
例1，设三种物，a ，b ，c ，现从中 0，1，2，3的不同取法有33231303,,,C C C C 。
已知多项式)1)(1)(1(cx bx ax +++即为a 、b 、c 不同取法的母函数，显然可知。
只有一种方法)1(03C =从三个中一个也不取，有三种方法)3(13=C ，从三中取一把元扩广到n ，有nn n rr n n n n nxC x C x C x C C x ++++++=+ 221)1(为0n C ，nn m C C 1的母函数是上式1=x 得nk n nk C 2=∑=是1-=x 得0)1()1(210=-++-+-+-nn nrn rn n n C C C C C 。
得 ++=++312n n n n C C C C例2，可用母函数证明恒等式nnnn r n n n C C C C C 222212)()()()(=+++++证明：∵左边为n n x x )1()1(1-++的常数项之和 又∵nnnnnnxx x x x xx --+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++21)1(1)1()1()1(而n n x x 2)1(+-中常数项系数为n n C 2∴左=右。
例3，在10095)1(x x ++中项23x 的系数是什么？解：因为10095)1(x x ++的展式中，项23x 只能有一种方式生成：23995xx x x =，且有2100C 种方式取9x 之后，有198C 种取5x ，故23x 的系数是9797299110019821009797485100C C C C C C ⋅⋅==⋅，余下97项中取1即0x ： 9797C解4：证明序列00C ，12C ，24C ，36C ，…r r C 2…的母函数为21)41(--x证：∵rr nxr r n n n x !1()1(1)1(1+--+=+∑= ，n 为任意实数。
这里求和上限，当n 是一个正整数时是n ，否则为∞。
由此定理有：[]rr r r rr rr rr r rrr rr r r r xC x r r r xr r r r xr r r r xr r xr r x r r x 21111111211!!)!2(1!!))12(5,3,1)(26,4,2(1!!))12(5,3,1)(!2(1!)12(5,3,121!212232141)4(!121121211)41(∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞=-+=+=-+=-⋅+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-作为这一定理的一个应用，今对一给定的t ，计算和式it it i i ti C C --=∑2220的值解：∵i iC 2是21)41(--x 中项i x 的系数而it i t C --22是21)41(--x 中项i t x -的系数故it it i i ti C C --=∑220是2121)41()41(---⋅-x x 中项t x 的系数，因为21)41(--x+++++=-=---tx x x x x )4()4(41)41()41(2121故有tit i t ii ti C C 42220=∑--=。
当允许重复选取时，或等价地，当同一类的物可能多于一个时，上面结果可直接推广，如多项式423222222)()()()(1)1)(1)(1(xbc a x c a b a abc xa ac bc ab xc b a cx bx x a ax +++++++++++=++++是三物体a ，b ，c 的普通母函数，这里a 可以在两次之内选取。
例5：有p 个类的每一类中给两个物，在另外的q 个类的每一类中给出一个物，问有多少种方法选取r 个物。
p ：0，1，2， q ：0，1 解：此时组合的计数的普通母函数是qpx x x )1()1(2+++rx在其中的系数是ir iq p ip r i CC 2]2/[0--+=∑这是因为在形如21x x ++的p 个因子中，可以选出i 个2x ，而在其余i p -个形如21xx ++的因子和q 个形如x +1的因子中，可以选出i r 2-个x 。
例6，从n 个物中不限重复地选取r 个物的组合的计数普通母函数是rrr n r rr rr nnnkxC xr r n n n x r r n n n x x xx x 10112!)1()1(1)(!)1()1)((1)1(11)1(-+∞=∞=∞=-∑=-++∑+=-+-----∑+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++++这表明有r n C 11-+种方法从n 个物中不限重复地选取r 物，这在组合中已证完。
例7，从n 个物中不限重复地选取r 个（r ≥n ），每一选取至少有一个，这样的组合的计数普通母函数是in ii n i iii n i n nn nn nkxC x C xx x x x x x x +-+∞=-+∞=-∑∑==-=⎪⎭⎫⎝⎛-=++++10102)1(11)(令rn r r nr xC i n r --∞=∑+=1例8，把r 个相同的球放入n 个不同的盒子中，且无一盒子含少个q 个球，也无一盒含多于q +j -1个球？证明：这样的分配方法个数是njxx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11的展式中qn r x -的系数。
解：因为某个盒子可以装球的方法的计数普通母函数是11-+++++j q q q xxx故所求放法的母函数是njqn nj nqn j q q qxx x xx xx xx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+++=+++--++11)1()(111作为这一结果的应用，如，今有四人，每人掷一骰子一次，求四人所得点数总和为17的个数。
这里.6,1,4,17====δq n r 计算母函数为46411⎪⎪⎭⎫⎝⎛--x x x,因为2418126464641)1(xxxx x +-+-=- ①13411713336225143241!3654!254!141)1(xxxxx C x C x C x x x x qn r ===++++=+⨯⨯+⨯++=-⨯---故446)1()1(---x x 中13x 的系数是!146!7106544!1316654⋅+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=104!146!310984!3161514=⨯+⨯⨯⋅-⨯⨯指数母函数(exponential genenating functios)现讨论排列的母函数，然而把前面结果推广到排列，就存在一些困难，因为在整数城中两个数相乘是可交换的，即ab=ba ，故不能用普通的代数来完全处理排列问题。
设a 、b 两球，作为排列的母函数 我们想有的式子是2)()(1xba ab x b a ++++然而这式子等价于2)2()(1x ab x b a +++其中两个不同的排列ab ，ba 不被识别了。
故不妥！这里，我们不准备对排列情况引入一个新的不可换代数，而只限于讨论排列的计数母函数这计数母函数，仍可借助于实数域上普通的代数而得到处理。
由组合的计数母函数的概念的直接推广指出n 个不同事物的排列计数母函数应如下：nn h rr n n n n xP x P x P x P P x F ++++++= 221)(=nrxn x r n n x n n x n n !)!(!)!2(!)!1(!12++-++-+-+然而上式没有简单了“和式”，故为用F(x)来处理，会使母函数的目的落空组，但由二项式展式：nn h rr n n n nxC x C x C x C x ++++++=+ 211)1(=nnnrrnrrhnn xn P x r P x r P x P x P !!!!2!11221++++++++可见，定义另一类的母函数（即指数母函数）的关键： 设（a 0,a 1,……a r ,…）是序列。
函数++++=)(!)(!1)(!0)(1100x r a x a x a x F r r μμμ，叫作以 ),(),(),(10x x x r μμμ作为指标函数时序列)(0 r a a 的指数母函数，这样一来n x )1(+是r n P 以x 为方作为指标函数的指母函数。
例9， 由例4中结果21)41(--x 是系列（ r r P P P 21200,,,）的指母函数。
序列（1，1×3，1×3×5，…，1×3×5，…x （2r+1），…）的指母函数为23)21(--x序列（1，1，1，…，1）的指母函数为x e*1 显然,一个物的无重复排列的计数指数母函数是1+x(0,1两种).*2 当排列中定允许重复时，推广是直接的，个个相同物的全排列的计数指母函数为!p xp,因为只有一种方法这样做,故p 个相同物的0—排列,1—排列…，2—排列，…，P —排列的计数母函数为PxP x x !1!21!1112++++同样，当P 物属于一类，q 物体属于另一类时，这P+q 物的全排列的计数母函数为!!!!q p xq xp xqp qp+=⋅同这样的排列的个数是!!)!(q p q p +的已知结果一致。