母函数

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母函数（生成函数）

母函数（⽣成函数）

介绍

母函数是组合数学中相当重要的⼀个知识点，可以⽤来解决⼀些排列组合问题，还有所有的常系数线性齐次递推问题。如果系数不是常数，需要根据具体情况进⾏处理。

具体的内容可以看组合数学相关书籍或者，

由于⼤佬总是想当然地把别⼈当成⼤佬，⼀些内容对（像我这种）蒟蒻来说不是很友好，在这⾥讲⼀下母函数的基础。（研究母函数时，钦定|x|<1）,这样，由等⽐数列求和公式有：

1−x=∑∞

i=0

x i=1+x+ (x)

1−kx=∑∞

i=0

k i x i=1+kx+...+k∞x∞

1.普通型母函数。

假设有⼀个数列a,那么它的母函数其实就是⼀个关于x的多项式，x n的系数为a n，对于已知通项的数列，其母函数可以直接写出来。

⽽对于未知的数列，主要分为两类：递推型和组合型。

递推型就是利⽤错位相消，举个栗⼦：

a n=3a n−1+10a n−2,a0=1,a1=2

移项，得a n−3a n−1−10a n−2=0，设a n的母函数为G(x)

G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3...

−3xG(x)=−3a0x+(−3)a1x2+(−3)a2x3...

−10x2G(x)=−10a0x2+(−10)a1x3

三⾏相加，可以发现等式右侧除了第⼀⾏的第1,2项和第⼆⾏的第1项外全消掉了。

所以我们可以得到(1−3x−10x2)G(x)=a0+a1x−3a0x=1−x，即G(x)=

1−x

1−3x−10x2，⽣成函数就求出来了，那如果我们还要求a

n的通项

呢？

对于这种东西，我们可以把他化成

x−A+

泰勒级数与母函数概述

数学中，泰勒级数和母函数是两个重要的概念。它们广泛应用于许多领域，包括物理学、工程学和计算机科学。本文将对泰勒级数和母函数进行简要介绍，探讨它们的定义、性质和一些常见的应用。

1. 泰勒级数

泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法。它由英国数学家布鲁克·泰勒于18世纪首次提出。泰勒级数的基本思想是将一个函数在某个点的邻域内进行展开，得到一个无穷级数的形式。泰勒级数的定义如下：

如果函数f(x)在x=a处的各阶导数都存在，则函数f(x)在x=a处的泰勒级数表示为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，依此类推。

泰勒级数的收敛性与函数在展开点的附近行为有关。如果一个函数在展开点的某个邻域内可以无限次地被展开为泰勒级数，那么这个函数在展开点的那个邻域内是光滑的，并且泰勒级数收敛于该函数。

泰勒级数在近似计算中具有重要作用。通过截断无穷级数，我们可以用有限项来近似表示一个函数。这在数值计算和物理建模中经常被使用。

2. 母函数

母函数是一种用于描述离散随机变量分布的函数。它是一个生成函数，通过多项式的系数来表示离散随机变量的概率分布。母函数在组

合数学和概率论中有广泛的应用。

对于一个离散随机变量X，其母函数定义为：

G(t) = E(t^X) = Σ P(X=k) * t^k

其中，E表示期望值运算符，P(X=k)表示随机变量X取值为k的概率。

母函数公式范文

母函数是组合数学中一个非常重要的工具，用于解决各种组合计数问题。它是一种将一个数列表示成一个形式为形式为 c0 + c1x + c2x^2 +

c3x^3 + ... 的函数，其中每个项 ci 表示数列中元素的个数。母函数的

一大好处是可以将复杂的组合计数问题转化成简单的代数运算。

在组合计数中，我们经常遇到一些问题，比如求一个集合中元素个数

小于等于n的子集的个数，或者求一个集合中元素个数为n的子集的个数，以及找到满足一定条件的子集的个数等等。这些问题都可以使用母函数来

解决。

最简单的母函数是普通母函数，它是一个无穷级数形式，可以表示一

个集合中元素个数的情况。例如，对于一个集合中元素个数分别为0、1、2、3、..的情况，可以使用普通母函数表示为：

G(x)=1+x+x^2+x^3+...

其中，每一项x^n表示集合中元素个数为n的情况。由于每一项的系

数都是1，所以这个母函数可以简化为：

G(x)=1/(1-x)

利用这个母函数，我们可以解决一些简单的问题。比如，求一个集合

中元素个数小于等于n的子集的个数，可以将母函数G(x)展开为级数：G(x)=1+x+x^2+x^3+...

然后将x的指数依次从0到n，对应的系数相加即可。也就是说，求

子集个数的问题可以转化为求母函数中的多项式的系数之和的问题。

在实际的应用中，经常遇到多个集合的元素个数的组合问题。这时，

可以引入多个母函数来表示不同集合的情况，然后使用母函数的运算规则

来解决问题。比如，对于两个集合A和B，其元素个数分别为a和b的情况，可以定义两个母函数GA(x)和GB(x)，然后将它们相乘，得到的结果

母函数

一.母函数概念

我们先看下列例子

)1()1)(1(21x a x a x a n +⋅⋅⋅++=1+()x a a a n +⋅⋅⋅++21+()213121x a a a a a a n n -+⋅⋅⋅+++ +……+n n x a a a ⋅⋅⋅21 （1）

2x 项的系数n n a a a a a a 13121-⋅⋅⋅+中所有的项包含了从n 个元素1a ，2a ，……，n a ，中取两个组合的全体；同理3x 的系数n n n a a a a a a a a a 12421321--+⋅⋅⋅++，包含了从n 个元素1a ，2a ，……，n a 中取三个组合的全体。以此类推。

令n a a a =⋅⋅⋅==21=1，在（1）式中2x 项的系数：

n n a a a a a a 13121-⋅⋅⋅+

中每一个组合有1个贡献，所以， n n a a a a a a 13121-⋅⋅⋅+=C （n ，2），其他各项以此来类推。故有：

n n x n n C x n C x n C x ),()2,()1,(1)1(2+⋅⋅⋅+++=+ （2）

因为 n m n m x x x ++=++)1()1()1(

∴[m x m m C x m C m C ),()1,()0,(+⋅⋅⋅++][n x n n C x n C n C ),()1,()0,(+⋅⋅⋅++]

=n m x

n m n m C x n m C n m C ++++⋅⋅⋅++++),()1,()0,(

比较等号两端r x 项对应系数，可得一等式

母函数

n
12
令 n 2 k r，则2 k r n，当r n为偶数时， r n 1 n r n 2 ；当r n为奇数时 k ，所以a r ， r n 2 2 ar 0
故所求组合数为， 0 r n r n ar C ( n 1, ) 2 2 当r n 为奇数当r n 为偶数
2
注：（ 1） a n的非零项可以为有限或个无限个。（ 2）数列 a { n }与母函数一一对应，即给定数列可以得知它的母函数反，之，求得母函数则列数也随之而定。（ 3）母函数只看作一个形式函数，故不考“ 虑收敛问题 ” 。且可 “ 逐微项分 ” 和 “ 逐项积分。 ”
一些常用的母函数及其对应的数列见教材P2 9 表2.1.1。
3
关于组合数的母函数，有以下结论：
定理 2.1.1 设S { n1 e 1, n 2 e 2 ,, n m e m }，且 n1 n 2 n m n，则 S 的 r 可重组合数的母函数为 G ( x ) ( x j ) a r x r
1
解
k n 1 ( k n 1) ( k n 2)k n n! ( k )( k ( n 1) ) n k ( 1) ( 1) n n!

3.2母函数及其性质2014

►数列 {bk： k≥0} ►数列 {k： k≥0}
►数列 {k＋1： k≥0}
(1- bx)‒ 1 x(1- x)‒2
(1- x)‒ 2
40
20
四、一些常见母函数的闭公式
►数列 {1/k ： k≥1}
►数列 {1/k! ： k≥0} ►多次求导计算
-ln (1-x)
ex
2 x(1- x)‒3 x(1+x)(1- x)‒ 3
1 1 0x 0x2
a a 0 x 0 x2
22
11
一、形式幂级数
称 C[[x]]的一个形式幂级数g(x)是可逆的，如果存在h(x)∈C[[x]], 使得 g(x)h(x)=1. 称 h(x)是 g(x)的逆元. 设 g(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…, 若 h(x)=b0+b1x+b2x2+b3x3+… 是 g(x)的逆元, 则对每个kN, 有 a0b0=1, a0bk+a1bk–1+…+akb0=0.
8
4
例1
变形： |x|+|y|+|z|+ w = n+1 (w≥1) 的整数解的个数也为Cn 在这里当|x|=0时x=0只有一种取值，当 |x|>0时，x有两个取值。按照 |x|,|y|,|z|中0的个数来进行分类: （ 1 ）没有一个等于0 该类整数解的个数＝C(3,0)23C(n,3)

母函数详解——精选推荐

母函数详解

在数学中，某个序列的母函数(Generating function，⼜称⽣成函数)是⼀种形式幂级数，其每⼀项的系数可以提供关于这个序列的信息。使⽤母函数解决问题的⽅法称为母函数⽅法。

母函数———把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来

我们从经典的砝码的例⼦讲起

题⽬：有1g 2g 3g 4g的砝码各⼀枚，能称出多少种重量？每种重量的可能组合砝码是什么

穷举的话，很容易得出结果，单数时间复杂的度为n的四次⽅，较⼤，不能采取

所以，我么可以采⽤⼀个类似离散数学的逻辑式⼦表⽰前两种砝码组合产⽣的情况

这⾥ ||代表或 &&代表与

（使⽤1g||不使⽤1g）&&（使⽤2g||不适⽤2g）

=使⽤1g&&使⽤2g||不使⽤1g&&使⽤2g||使⽤1g&&不使⽤2g||不使⽤1g&&不使⽤2g

思考：⼤家可以发现这个表达式和⼀种表达式很像，没错，如果把“||”看成加法，“&&”看成乘法，和多项式的乘法⼀模⼀样。那么我们直觉的想到，有没有可能⽤多项式乘法来表⽰组合的情况呢？我们再来看题⽬，题⽬需要的是⼏种砝码组合后的重量，是⼀个加法关系，但是在上式中“&&”是⼀种类似于乘法的运算关系，这怎么办呢？有没有什么这样⼀种运算关系，以乘法的形式运算，但是结果表现出类似于加法的关系呢？正好有⼀个，那就是幂运算。Xm 乘上Xn结果是Xm+n，他完美的符合了我们的要求。那么以次数表⽰砝码的质量，就可以以多项式的形式表⽰砝码组合的所有⽅案。

还是以前俩个砝码为例说明。表⽰1g砝码的两种多项式就是（x^0+x^1），表⽰2g砝码的两种多项式就是（x^0+x^2)，x的0次⽅表⽰没有使⽤该砝码，当然x的0次⽅等于1，所以写成1也是对的。注意，砝码的重量是⽤次数表⽰的，⽽不是⽤下标表⽰的

伯努利分布的母函数

伯努利分布的母函数（Characteristic Function）是一个重要的概率分布函数，它用于描述伯努利分布的性质和规律。伯努利分布的母函数定义如下：

设随机变量X服从伯努利分布，成功概率为p（0<p<1），失败概率为1-p。则伯努利分布的母函数F(x)为：

F(x) = ∑(binomial(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k))，其中x为随机变量X取值，n为试验次数，k为成功次数。

伯努利分布的母函数可以用来计算伯努利分布的各种概率，例如概率质量函数、累积分布函数等。通过母函数，我们还可以计算伯努利分布的期望、方差等统计量。

需要注意的是，伯努利分布的母函数涉及组合数binomial(n, k)的计算，随着n和k的增大，计算量会迅速增加。在实际应用中，我们可以利用计算机编程或数学软件来简化计算过程。

【工程数学课件】4.3 母函数

1+ + +L
2
2! 4!
所以fe( x)
e3x
ex +e-x 2
2
1 (e5 4
2e3 x
ex)
因此
=
1
4
r0
5r r!
xr
2
r0
3r r!
xr
r0
xr r!
ar
1 (5r 4
2g3r
1)
n n
x
n
1
xn
二、指数母函数
定义 fe ( x
)给定 a0 一 a个1 1无 x! 穷a序2 x2列2! (aL0,
a1 ,L an
,xann n!
,L )，称函数
L
ai i0
xi i!
为序列(a0 ,a1,L ,an ,L )的指数母函数。
例5 容易得到序列(p(n,0), p(n,1),L , p(n, n))的指数母
例1 证明从n个不同的物体中允许重复地选取r个物体
的方式数为F
(n,
r
)
n
r r
1
。
解：设ar表示从n个不同物体中允许重复的选取r个物体
的方式数，则序列a0 ,a1,a2,L ,ar ,L 的普通母函数为：
f (x)
1 x x2 L
n

六大母函数

数学学习者对母函数的认识体系早已深入人心，尤其是偏微分方程的学习者更是认识深刻，其中最著名的就是六大母函数。它们常常被用在抽象数学、实际工程分析、物理研究、计算机科学等多个领域，并且都被普遍认可和称赞。

首先是正弦函数（Sine），它是特殊椭圆函数的一种，可以被用于描述各种周期性变化的运动状态，比如观测到的气温变化规律。此外，绘制正弦图形也可以帮助我们更清楚地了解数据的趋势，从而帮助我们做出合理的决策。

其次是余弦函数（Cosine），它是正弦函数的拓展，主要分为三角形（单位圆）函数和双曲线（正切）函数，它们都可以用于描述物体的朝向，做出有关它们的轨迹的分析。另外，它还可以被用于极坐标系统，帮助我们更清楚地获得物体的具体位置和运动轨迹。

第三是指数函数（Exponential），它是一种以指定的比率递增或递减的函数，它可以用来解决各种指数增长和指数衰减的问题，如经济的指数增长、收益的指数衰减等，我们可以快速地根据指定的初始条件和参数得出指数函数的具体情况。

接下来是对数函数（Logarithm），它是一种以指定的底数为基础的函数，通常用来表示较复杂的数学表达式，也是很多实际应用中不可或缺的一环。

其五是幂函数（Power），它是一种以指定指数乘幂来生成函数的主要方法，它可以帮助我们更直观地解释数学表达式，并且它在模拟

实物行为的时候也非常有用。

最后是一元三次函数（Quadratic），它是一种椭圆函数，最常见的是二次和三次方程，它们可以用来表示物理环境中的运动状况，如磁场中的气流和热流等。此外，它还可以用来处理更加复杂的问题，如多元三次方程、多元四次方程等等。

母函数种类表

在数学中，某个序列的母函数(又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L 级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题类型。母函数表示一般使用解析形式，即写成关于某个形式变量x 的形式幂级数。对幂级数的收敛半径中的某一点，可以求母函数在这一点的级数和。但无论如何，由于母函数是形式幂级数的一种，其级数和不一定对每个x 的值都存在。母函数方法不仅在概率论的计算中有重要地位，而且已成为组合数学中一种重要方法。此外，母函数在有限差分计算、特殊函数论等数学领域中都有着广泛的应用。注意母函数本身并不是一个从某个定义域射到某个值域的函数，名字中的“函数”只是出于历史原因而保留。母函数就是一列用来展示一串数字的挂衣架。生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。 “投掷n 粒骰子时，加起来点数总和等于m 可能方式数目可能是展开式中项系数。

1. 普通

数母

普通母函数就是最常见母函数。一般来说，序列

的母函数是：如果是某个离散随机变量

的概率质量函数，那么它的母函数被称为一个概率母函数。

母函数

2.1
母函数
母函数方法是一套非常有用的方法，应用极广。这套方法的系统叙述，最早见于 Laplace在1812年的名著—概率解析理论。
我们来看如下的例子
两个色子掷出6点，有多少种选法？
方法的引入
注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两种选法，而出现3，3只有一种选法，这些选法互斥且穷尽了出现6点的一切可能的选法，按加法法则，共有2+2+1=5种不同选法。
x : b2 a0 a1 a2
2
__________ __________ ________
B( x) a0 /(1 x) a1 x /(1 x) a2 x /(1 x)
2
x : bn a0 a1 a2 an )
[C(n,0) C(n,1)x C(n, n)x n ] [C(m,0) C(m,1)x C(m,m)x ] C(m n,0) C(m n,1)x
m
C(m n,m n)x m n
比较等号两端项对应系数，可得一等式
C (m n, r ) C (m,0)C (n, r ) C (m,1)C (n, r 1) C (m, r )C (n,0)
比较等式两端的常数项，即得公式(2-1-3)
又如等式： n 2 (1 x ) C ( n, 0) C (n,1) x C (n, 2) x

07母函数介绍

§4.1 母函数的基本概念 4.1.2 指数母函数
例题例5、设n是整数，求序列(p(n,0), p(n,1), …, p(n,n))的指数母函数fe(x)。
§4.1 指数母函数例5
解：由定义4.2及公式P(n,r)=r!C(n,r),以及例1的结论，有 x xn f e ( x ) p( n, 0) p( n,1) ... p( n, n) 1! n! n n x ... n x n 0 1 n (1 x )n

§4.1 母函数的基本概念 4.1.1 普通母函数
例题例2、求序列(C(n-1,0), -C(n,1), C(n+1,2), …, (1)kC(n+k-1,k), … )的普通母函数。
§4.1 普通母函数例2
解：由定义4.1有
f ( x ) n 1 n x n 1 x 2 ... ( 1)k n k 1 x k ... 0 1 2 k = ( 1)k n k 1 x k k k 0 = n x k (1 x ) n k k 0

§4.1 母函数的基本概念 4.1.1 普通母函数
例题例4、求序列(0, 1×2×3, 2×3×4,…, n(n+1)(n+2),…)的普通母函数。
§4.1 普通母函数例4

母函数

第二章母函数及其应用

问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。

新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。

表2.0.1 条件

组合方案数

排列方案数

对应的集合

相异元素，不重复

()!

!!r n r n C r

n -⋅=

()!

r n n P r

n -=

{}n e e e S ,,, 21=

相异元素，可重复

r n C 1-+

S ＝{,,21e e ⋅∞⋅∞

e ⋅∞, }

不尽相异元素（有限重复）

特例

r ＝n

1 !

!!!m n n n n 21

S ＝{11e n ⋅，22e n ⋅，

…，m m e n ⋅}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝n

n k ≣1, (k ＝1,2,…, m )

r ＝1

所有n k ≣r r

r m C 1-+

至少有一个n k 满足1≢n k < r

母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。

2.1 母函数

（一）母函数

（1）定义

定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞

=≡0

n n

x G 为该数列的（普通型）母函

数，简称普母函数或母函数。

（2）例

例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()n

x +1。

例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是

+++++=-n

x x x

111

六大母函数

母函数是数学中一个常见的概念，其定义是指，给定一类函数，任一个函数都可以表示成由母函数和一个或多个参数组成的函数。母函数实际上是一类函数的共性，它们把不同的函数分类了起来，也就是说，母函数可以把不同的函数映射到一个共同的函数。

其中，六大母函数是比较常用的数学函数，它们分别是指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数和正切函数。下面我们就分别来讨论它们的特征和用途。

首先，指数函数，它的公式为y = a^x，其中a是一个大于零的常数，x表示指数函数的指数项；指数函数的图像是一条以原点为拐点的曲线，它的导数为y = a^x *ln(a)，指数函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

其次，对数函数，它的公式为y = ln(x)，其中x表示底数，表示元函数的自变量；对数函数的图像是一条折线，折线上的点根据自变量变化而变化；对数函数的导数为y = 1/x，对数函数主要用于求解对数函数的积分、求解某些不定积分，还可以用于求解重极值点、及求解极限。

第三，幂函数，它的公式为y = c^x，其中c是任意的实数，x 表示幂函数的指数；幂函数的图像也是一条以原点为拐点的曲线，它的导数为y = c^x * ln(c)，幂函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

接下来，正弦函数，它的公式为y = sin(x)，其中x表示正弦

函数的自变量；正弦函数的图像是一条周期性的曲线，它的导数为y = cos(x)，正弦函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

再次，余弦函数，它的公式为y =cos(x)，其中x表示余弦函数的自变量；余弦函数的图像也是一条周期性的曲线，它的导数为y = -sin(x)，余弦函数主要用于求解定积分和求解某些不定积分。

母函数

母函数（Generating function）详解

前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。

（PS：大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo 的程序人生：，谢谢）

(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)

在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "

我们首先来看下这个多项式乘法：

由此可以看出:

1. x的系数是a1,a2,…a n的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………

n. x n的系数是a1,a2,….a n的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到：

母函数的定义：

对于序列a

0，a

，a

，…构造一函数：