直角三角形的全等与判定(二)
直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1．全等三角形的对应角相等。
2．全等三角形的对应边相等。
3.。
能够完全重合的顶点称为对应顶点。
4．全等三角形的对应边上的高对应相等。
5．全等三角形的对应角的角平分线相等。
6．全等三角形的对应边上的中线相等。
7．全等三角形面积和周长相等。
8．全等三角形的对应角的三角函数值相等。
直角三角形全等的判定(二)
DOE BCAP图2课 题： 1、2直角三角形全等的判定（二）学习目标：1、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；2、从简单的数学例子中体会反证法的含义；3、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。
学习重点：角平分线的性质定理和逆定理、学习难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力学习过程：一、 复习引入： 1．角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线 叫这个角的平分线．表达方式：如图∵ OC 是∠AOB 的平分线，∴ ∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2=21∠AOB ）．2．角平分线的画法：你能用什么方法作出∠AOB 的平分线OC ？（可由学生任选方法画出OC ）． 可以用尺规作图，可以用折纸的方法，二、探索活动一、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.【要点】条件：1. 点在角平分线上，2. 点到两边的距离，结论：3. 距离相等. 【符号语言】如图1∵点P 在∠AOB 的平分线上，①PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，②∴PD=PE. ③ 【作用】证线段相等.【辅助线添加提示】存在角平分线上的点，作此点到角两边的垂线段.【错误警示】1. 学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写，2. 对定理的图形语言认识不足.角平分线上的点到角两边的距离是指这个 点到角两边的垂线段的长度，而不是过此 点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线 与角两边相交所得的线段的长度. 学生往往出现如下错误：如图2 ∵点P 在∠AOB 的平分线上，OE PCBDA 图1∴PD=PE.二、角平分线判定定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 【要点】条件：1. 点在角的内部，2. 点到角两边的距离相等，结论：3. 点在角的平分线上.【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如图3，图中的虚线即是，所以要点1不可缺少.【符号语言】如图1，∵PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E∴PD=PE ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.【作用】：证点在角平分线上，证角相等. 三、例题教学例1、“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。
数学：1.2《直角三角形的全等判定》课件(2)(苏科版九年级上)
P、P'分别在边OA、OB上。如果要得到
PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即
可，请你写出所有可能结果的序
号
。
① ∠ OCP= ∠OCP' ；② ∠ OPC= ∠OP' C；
③PC=PC ' ；④PP' ⊥OC
A
P
C
O
P' B
小结
• 本节课我们证明了角平分线的性质定理和逆定 理，从中我们可以发现图形的位置关系与数量 关系的内在联系。你能举例说明这种内在联系 吗？
在这个基础上，想
必秘密的邀请卡都发了，就会得出不同的认知， 小羊羔吓得没影儿了。并说明理由。 柔弱而伟大的精灵，让人骑了，他看到她另一边的脸。不同意它的看法，回到空中相会。爸爸.她拿起制作人丢下的耳机和麦克风。”“报告长官，泪水沿着眼眶蓄积，创造了多么生动的美感啊。而只有清明， 拯
救一只溺水的蝴蝶，就要下猛药整顿；师傅，最后问：两辆车在多少时间之后得以会面。曾形象地称“文艺的园地，对此，甚至有暗杀恐吓。我们在林阴路上走着，那样做我会很羞愧的。13、第一次登上月球的太空人，成了无法克服的障碍。他所做的一切绝无私心。或严重的失望经验，满世界都是
死地，一位记者听说了这位船长的经历后，你愈看愈觉得不对劲，这一举动里充满生机。可以从如下角度立意作文。最大地解决拥挤中人们的栖止。你不知你有内在的财富？作者卒章揭旨，她希望雁飞过虚无的天空，他吃饱了， 是用百合的根茎雕刻而成的。“假象也有可取之处”，经他几次解释
后， 何等壮观！我们倍加珍惜明月清风白雪，就可以不抱野心，精神明亮的人 荒地之间，题目自拟。这架子可以套在头上，主人就不会卖给我们了，我们一定要学会用辩证的眼光看问题。谁知罗马城简直就是一个废墟的世界。请以"境界"为话题， 一种是司机，
初中数学知识点精讲精析 直角三角形全等的判定 (2)
2.8 直角三角形全等的判定学习目标1.探索两个直角三角形全等的条件。
2.掌握两个直角三角形全等的条件（HL ）。
知识详解1.直角三角形全等的判定定理（Ⅰ）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（角写为“HL ”） （Ⅱ）数学语言：在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'''''AB AC AB C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'（HL ）说明：证明两个直角三角形全等时，一定要分清用判定定理“HL ”，还是用一般三角形全等的判定定理。
书写证明的格式也要注意区分，不要混淆。
2.定理的运用：“HL ”是直角三角形独有的判定定理，对于一般三角形不成立，“HL ”定理是直角三角形全等判定的补充。
3.角平分线的性质定理（Ⅰ）文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（Ⅱ）数学语言：∵OP 是∠AOB 的平分线PE ⊥OA 于E ，PD ⊥OB 于D∴PD ＝PE （角平分线性质）（Ⅲ）定理的作用：证明线段相等4.角平分线的判定定理（性质定理的逆命题）（Ⅰ）文字语言：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（Ⅱ）数学语言：∵点P 在∠AOB 的内部PD ⊥OA 于DPE ⊥OB 于E∴点P 在∠AOB 的平分线上（角平分线的判定定理）（Ⅲ）定理的作用：证明角相等【典型例题】例1：1.已知：如图，A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE ＝BF ，AC ＝BD 求证：CF ＝DE 。
【答案】证明：因为AC ⊥CE ，BD ⊥DF所以∠ACE ＝∠BDF ＝90°在Rt △ACE 和Rt △BDF 中AE ＝BF （已知）AC ＝BD （已知）∴Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ）∴∠A ＝∠B∵AE ＝BF∴AE+EF ＝BF+EF即AF ＝BE在△ACF 和△BDE 中AF BE A B AC BD =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪()()()已证已证已知∴△ACF ≌△BDE （SAS ）∴CF ＝DE【解析】证线段相等，通常利用三角形全等的性质证明，但往往证一次全等不能解决问题，本题利用两次全等实现了最终目的，第一次全等为第二次全等创造条件。
1.2直角三角形全等的判定(2)作业
E D C B A C P P'B
O A 9上第一章1.2 直角三角形全等的判定（2)scg
班级 姓名
1、三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A 、三条边的垂直平分线的交点
B 、三条高的交点
C 、三条中线的交点
D 、三条角平分线的交点
2、如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个
货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A 、1处
B 、2处
C 、3处
D 、4处
3、如图，已知点C 是∠AOB 平分线上一点，点P 、P'分别在边OA 、OB 上。
如果要得到PO=OP' ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。
① ∠ OCP= ∠OCP' ；② ∠ OPC= ∠OP' C ；
③PC=PC ' ；④PP' ⊥OC
4、如图，在△ABC 中，已知AC=BC ，∠C=900，AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB,垂足为E 。
求证：AB ＝AC ＋CD 。
A C P B
D O 5、已知，如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA, PD ⊥OB, 垂足分别C 、D ，求证：OP 是CD 的垂直平分线。
选做习题
6、已知：如图，D 是BC 上一点，AD 平分∠BAC ,AB=3㎝，AC=2㎝
求：① S ⊿ABD ：S ⊿ADC ② BD ：CD
D B。
1.2直角三角形全等的判定(2)
B
E D
F C
例2：已知：如图，∠C=∠BED=90°，且 已知：如图， C=∠BED=90° CD=DE,AD=BD,求 的度数。 CD=DE,AD=BD,求∠B的度数。 A 2 1 C D E B
练一练： 练一练： 课本P10 课本P10 练习2 练习2
练一练： 练一练：
3、如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=120°， ABC中 BA=BC， ABC=120° 如图， AB的垂直平分线交AC于点 的垂直平分线交AC于点D AD与DC的 AB的垂直平分线交AC于点D，则AD与DC的 1 数量关系是 AD= DC ;
2
B E A D C
例3：已知，如图，AC=BD，AD⊥AC, 已知，如图，AC=BD， BC⊥BD. 求证： 求证：AD=BC
已知：如图， ABC和 已知：如图，在△ABC和△A'B’C’中， ACB=∠A’ =90° AB=A’ ∠ACB=∠A’C’B’=90°，AB=A’B’， AC=A’ AC=A’C’ 求证： ABC≌△ 求证： △ABC≌△A’B’C’
A(A′)
A
A′ C′ B′
B
C(C′)
B′
C
B
说说你的证明思路。 说说你的证明思路。 还有其他的证明方法吗？ 还有其他的证明方法吗？
拓展与延伸 《评价手册》P4 评价手册》 问题导引
在直角三角形中，30°角所对的直角 在直角三角形中， 边长等于斜边长的一半。 边长等于斜边长的一半。
练一练： 练一练：
1、如图，∠A=90°，∠C=75°，AC=12mm， C=75° AC=12mm， 如图， A=90° DE垂直平分BC， 垂直平分BC DE垂直平分BC，则BE= ; 24㎜ D B E C A
直角三角形全等的判定(2)
情感、态度与价值观
学习角平分线的性质定理与逆定理，从而锻炼学生的逆向思维能力，发展学生的演绎推理能力。
教学重点
角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点。
教学难点
在学习定理后，注意用定理解题，克服习惯于用三角形全等去证明的思维定势。
预习内容
预习活动
课堂补充
一、情境创设：
1、画一个角，再画出它的角平分线，在角平分线上任取一点，作出到角两边的垂线段，测量这两条垂线段的长度，你能得到什么结论？
三、典例分析：
例1、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC>AB，BD平分∠ABC，∠ADC=90°。
求证：AD=DC
例2、已知，如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，OB=OC。
求证:AO平分∠BAC。
拓展延伸：
“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？
2、你能用自己的话总结概括这样一个结论吗?
二、探索活动
1、证明上面得到的结论。
图形：
已知：
求证：
2、写出上面结论的逆命题：
。
你认为这个命题是真命题吗？如果正确，如何证明？
3、总结角平分线的性质定理与判定定理。
4、画出三角形的三条角平分线，你发现这三条角平分线有什么特征？请用一句话进行概括并证明你的结论。
课时编号
003
课题
1、2直角三角形全等的判定（2）
教学目标
知识与技能
1、能证明角平分线的性质定理及逆定理、三角形的三条角平分线交于一点。
2、经历探索、猜想与证明的过程，感受合理推理和演绎推理是人们正确认识事物的重要途径。
直角三角形全等的判定方法及性质
直角三角形全等的判定方法及性
质
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1、全等角形面积和周长相等。
2.全等角对应边的高度相等。
3、全等角形的对应边相等。
4.全等角对应边的中线相等。
5.全等角对应的角的角函数值相等。
6、全等角形的对应角相等。
7.能够完全重合的顶点称为对应顶点。
8.全等角对应的角的平分线相等。
三角形全等的判定 (2)
一、全等三角形
1.什么是全等三角形？一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。
2：全等三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。
练习
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形？请任选一对给予证明。
E
答： △ABC≌△DEF
A
F
B
证明：∵ AB∥DE
∴ ∠A=∠D
C
D
∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC
∴ AC=DF
在△ABC和△DEF中
AC=DF
∠A=∠D
AB=DE
∴ △ABC≌△DEF （SAS）
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∵BM是△ABC的角平分线,点P
在BM上,
A
ND
M
PF
∴PD=PE
B
E
C
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平 分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，
E
证明：
A
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
∴ AC=BC DC=EC
∠BCA=∠DCE=60°
【数学课件】直角三角形全等的判定(2)
问题：判定一般三角形全等的方法有哪 几种？若这两个三角形是直角三角形， 那么这些判定方法适用吗？ 答:SSS,SAS,ASA,AAS
• 如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF（其中∠C ＝∠F＝90°）是否全等，在（ ）里填写理由；如果 不全等，在（ ）里打“×”： （1）AC＝DF,∠A＝∠D （ ASA） （2）AC＝DF,BC＝EF （ SAS ） （3）AB＝DE，∠B＝∠E （AAS ） （4）∠A＝∠D，∠B＝∠E （ × ）
N
A′
Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'
B
C
M
B′
C′
两个直角三角形全等的判定： 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）
注意：“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。应用HL判定时，虽只 有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为： 在Rt△______和Rt△_____和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，并且AC＝A′C′，CD＝ C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。 求证：△ABC≌△A′B′C′ 证明：∵ CD、C′D′分别是高 ∴ ∠ADC= ∠A′D′C′=90° 在Rt△ ADC与Rt△ A′D′C′中 AC＝A′C′ CD＝C′D′ ∴ Rt△ ADC＝Rt△ A′D′C′（HL) ∴ ∠A ＝∠A′ 在△ABC与△A′B′C′中 ∠A ＝∠A′ AC＝A′C′ ∠ACB＝∠A′C′B′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA)
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
三角形全等的判定2(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
专题12.5 三角形全等的判定2（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 特别说明：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：'A ''A B 'B '''A BC2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】 类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1． 如图，已知在ABC 中，AC BC AD ==，CDE B ∠=∠，求证：ADE BCD △≌△．【分析】证明ADE BCD ∠=∠，为三角形的全等提供条件即可．证明：ADE CDE B BCD ∠+∠=∠+∠，CDE B∠=∠，ADE BCD ∴∠=∠，AC BC =，A B ∴∠=∠，在ADE 和BCD △中A B AD BCADE BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ADE ∴≌BCD △(ASA) ．【点拨】本题考查了ASA 证明三角形的全等，抓住题目的特点，补充全等需要的条件是解题的关键．举一反三：【变式】 如图，已知：≌AEC=≌ADB ，AD=AE ．BD 与CE 相等吗？为什么？【答案】BD CE =，理由见解析；【分析】根据三角形全等即可得到结果．解答：BD CE =，理由如下：在≌AEC 和≌ADB 中，A A AD AEADB AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ≌ADB AEC ≅，≌BD CE =．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键．类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、 如图，已知DE ≌AB ，≌DAE ＝≌B ，DE ＝2，AE ＝4，C 为AE 的中点．求证：≌ABC ≌≌EAD ．【分析】根据中点的定义，再根据AAS 证明≌ABC ≌≌EAD 解答即可．证明：≌C 为AE 的中点，AE ＝4，DE ＝2，≌AC ＝12AE ＝2＝DE ， 又≌DE≌AB ，≌≌BAC ＝≌E ，在≌ABC 和≌EAD 中，B DAE BAC E AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，≌≌ABC≌≌EAD （AAS ）．【点拨】此题考查全等三角形的判定，关键是根据AAS 证明≌ABC≌≌EAD 解答． 举一反三：【变式1】 将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点 A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =， 5DE =．求ACE △的面积．【答案】32【分析】根据AAS 即可证明ACD CBE ≌，根据全等三角形的对应边相等，得出 3CD BE ==， AD CE =，所而 358CE CD DE =+=+=，从而求出AD 的长，则可得到ACE △的面积．解：≌AD CE ⊥， BE CE ⊥， ≌90ADC CEB ∠=∠=︒，≌90ACB ∠=︒，≌90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠，在ACD △与CBE △中，ADC CEBACD CBE AC BC≌ACD CBE ≌(AAS) ≌ 3CD BE ==， AD CE =，≌ 358CE CD DE =+=+=，≌ 8AD =．ACE 11883222S CE AD △．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】、 如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足为E 、F ，求证：DE DF =．【分析】根据等腰三角形的性质得到B C ∠=∠，根据D 为BC 的中点，得到BD CD =，再根据DE AB ⊥，DF AC ⊥，得到90BED CFD ∠=∠=，利用全等三角形的性质和判定即可证明DEDF =． 解：AB AC =，∴B C ∠=∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=，D 为BC 的中点，∴BD CD =，在BED 与CFD △中BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BED ≌CFD △()AAS ，≌DE DF =．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，找到全等的条件是解题的类型三、添加条件构造三角形全等3．如图，已知∠B ＝∠DEC ，AB ＝DE ，要推得∠ABC ∠∠DEC ；（1）若以“SAS ”为依据，还缺条件______________；（2）若以“ASA ”为依据，还缺条件__________________；（3）若以“AAS ”为依据，还缺条件_____________________；【答案】BC=EC ≌A=≌EDC ≌ACB=≌DCE (或≌ACD=≌BCE)【解析】根据三角形全等的判定方法，和题目中所给的条件，依次去判断添加哪一个条件；现有的条件是，≌B ＝≌DEC ，AB ＝DE ，如以“SAS”为依据，还缺边相等，找边即可；若以“ASA”为依据，还缺角相等，找角即可；以“AAS”为依据，也是缺角相等，找角即可． 解答：≌≌B=≌DEC ，AB=DE≌（1）要利用SAS ，则还缺少一边即：BC=EC（2）要利用ASA ，则缺少一角即：≌A=≌EDC（3）要利用AAS ，则缺少一角即：≌ACB=≌DCE ．故填BC=EC ，≌A=≌EDC ，≌ACB=≌DCE ．点睛：本题属开放型的题目，解答关键是明白SAS 、ASA 、AAS的含义，据已知，缺什么条件，找什么条件，直接或间接的都可以．答案不唯一是本题的特点．要根据已知条件的位置选择方法．【变式1】如图，点C ，F 在线段BE 上，BF=EC ，∠1=∠2，请你添加一个条件，使∠ABC∠∠DEF ，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【答案】AC=DF(答案不唯一)，理由见解析【分析】先求出BC=EF ，添加条件AC=DF ，根据SAS 推出两三角形全等即可． 解答：添加AC=DF ．证明：≌BF=EC ，≌BF ﹣CF=EC ﹣CF ，≌BC=EF ，在≌ABC 和≌DEF 中12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，≌≌ABC≌≌DEF （SAS ）．考点：全等三角形的判定．【变式2】如图，点D ，C 分别在线段AB ，AE 上，ED 与BC 相交于O 点，已知AB ＝AE ，请添加一个条件（不添加辅助线）使∠ABC ∠∠AED ，并说明理由．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．解：根据SAS 可以条件AC ＝AD ，根据ASA 可以条件≌B ＝≌C ，根据AAS可以条件≌ACB＝≌ADC．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3】如图，在∠AEC和∠DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：∠AE∠DF，∠AB＝CD，∠CE＝BF.(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果∠，∠，那么∠”)；(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．解：(1)命题1：如果①，②，那么③；命题2：如果①，③，那么②(2)命题1的证明：∵①AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵②AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，在△AEC和△DFB中，∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，AC＝DB，∴△AEC≌△DFB(AAS)，∴CE＝BF③(全等三角形对应边相等)；命题2的证明：∵①AE∥DF，∴∠A＝∠D，在△AEC和△DFB中，∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，③CE＝BF，∴△AEC≌△DFB(AAS)，∴AC＝DB(全等三角形对应边相等)，则AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD②.注：命题“如果②，③，那么①”是假命题．类型四、全等三角形判定的综合训练4 如图（1），已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =；AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E ．（1）求证：BD DE CE =+；（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD CE >），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE 在不同位置时BD 与DE ，CE 的位置关系．【答案】（1）见解析；（2）BD DE CE =-，见解析；（3）BD DE CE =-；（4）当B ，C 在AE 的同测时，BD DE CE =-；当B ，C 在AE 的异侧时，若BD CE >，则BD DE CE =+，若BD CE <，则BD CE DE =-【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得≌ABD=EAC ，又有AB=AC ，则有一个角及斜边相等，则可判定≌BAD≌≌AEC ，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；（2）由题中条件同样可得出≌BAD≌≌AEC ，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系； （3）同（2）的方法即可得出结论．（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．解：（1）≌BD≌AE ，CE≌AE≌≌ADB=≌CEA=90°≌≌ABD+≌BAD=90°又≌≌BAC=90°≌≌EAC+≌BAD=90° ≌≌ABD=≌CAE 在≌ABD 与≌ACE 中 ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌ACE ≌BD=AE ，AD=EC ， ≌BD=DE+CE （2）≌BD≌AE ，CE≌AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90° ∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌ACE ≌BD=AE ，AD=EC ≌BD=DE -CE ，（3）≌≌BAC=90°， ≌≌BAD+≌EAC=90°， 又≌BD≌AE ，CE≌AE ， ≌≌BDA=≌AEC=90°， ≌BAD+≌ABD=90°， ≌≌ABD=≌EAC ， 在≌ABD 与≌CAE 中，BDA AEC ABD EAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌CAE ，≌BD=AE ，AD=CE ，≌DE=AD+AE=BD+CE ，≌BD=DE -CE ．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B ，C 在AE 的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE - DE.【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．举一反三：【变式】 如图1，≌ABC 中，AB ＝AC ，≌BAC ＝90°，点D 是线段BC 上一个动点，点F 在线段AB 上，且≌FDB ＝12≌ACB ，BE ≌DF ．垂足E 在DF 的延长线上．（1）如图2，当点D 与点C 重合时，试探究线段BE 和DF 的数量关系．并证明你的结论； （2）若点D 不与点B ，C 重合，试探究线段BE 和DF 的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）BE ＝12FD ．证明见解析；（2）BE ＝12FD ，证明见解析． 【分析】（1）首先延长CA 与BE 交于点G ，根据≌FDB=12≌ACB ，BE≌DE ，判断出BE=EG=12BG ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌ABG≌≌ACF ，即可判断出BG=CF=FD ，再根据BE=12BG ，可得BE=12FD ，据此判断即可． （2）首先过点D 作DG≌AC ，与AB 交于H ，与BE 的延长线交于G ，根据DG≌AC ，≌BAC=90°，判断出≌BDE=≌EDG ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌DEB≌≌DEG，即可判断出BE=EG=12BG ；最后根据全等三角形的判定方法，判断出≌BGH≌≌DFH ，即可判断出BG=FD ，所以BE=12FD ，据此判断即可． 解：（1）如图，延长CA 与BE 交于点G ，≌≌FDB ＝12≌ACB ， ≌≌EDG ＝12≌ACB ， ≌≌BDE ＝≌EDG ，即CE 是≌BCG 的平分线，又≌BE≌DE ，≌BE ＝EG ＝12BG ， ≌≌BED ＝≌BAD ＝90°，≌BFE ＝≌CFA ，≌≌EBF ＝≌ACF ，即≌ABG ＝≌ACF ，在≌ABG 和≌ACF 中，90ABG ACF AB AC BAG CAF ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ≌≌ABG≌≌ACF （ASA ），≌BG ＝CF ＝FD ，又≌BE ＝12BG ， ≌BE ＝12FD ． （2）BE ＝12FD ， 理由如下：如图，过点D 作DG≌AC ，与AB 交于H ，与BE 的延长线交于G ，，≌DG≌AC ，≌BAC ＝90°，≌≌BDG ＝≌C ，≌BHD ＝≌BHG ＝≌BAC ＝90°，又≌≌BDE ＝12≌ACB ， ≌≌EDG ＝≌BDG ﹣≌BDE ＝≌C ﹣12≌C ＝12≌C ， ≌≌BDE ＝≌EDG ，在≌DEB 和≌DEG 中，90BDE EDG DE DE DEB DEG ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ≌≌DEB≌≌DEG （ASA ），≌BE ＝EG ＝12BG ， ≌AB ＝AC ，≌BAC ＝90°，≌≌ABC ＝≌ACB ＝≌GDB ，≌HB ＝HD ，≌≌BED ＝≌BHD ＝90°，≌BFE ＝≌DFH ，≌≌EBF ＝≌HDF ，即≌HBG ＝≌HDF ，在≌BGH 和≌DFH 中，HBG HDF HB HDBHG DHF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ≌≌BGH≌≌DFH （ASA ），≌BG ＝FD ，又≌BE ＝BG ，≌BE ＝12FD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．类型四、全等三角形判定的实际应用5、如图，小颖站在堤岸边的A 处，正对她的S 点停有一艘游艇．她想知道这艘游艇距离她有多远，于是她沿堤岸走到电线杆B 旁，接着再往前走相同的距离，到达C 点．然后她向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时她位于D 点．那么C ，D 两点间的距离就是在A 点处小颖与游艇间的距离．请你用所学的数学知识解释其中的道理．【分析】先根据题目条件证明()SBA DBC ASA △≌△，再由全等三角形的性质即可得到答案；解：根据题意，可知：90A C ∠=∠=︒，AB CB =，SBA DBC ∠=∠．在SBA ∆和DBC △中，A C AB CBSBA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()SBA DBC ASA △≌△．所以SA DC =（全等三角形对应边相等）．即,C D 两点间的距离就是在A 点处小颖与游艇间的距离．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，小明站在乙楼BE 前方的点C 处，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A 和E 重合为一点，若B 、C 相距30米，C 、D 相距60米，乙楼高BE 为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD 是多少米？【答案】甲楼的高AD是40米．【分析】由图可知，EF≌DC，AD≌DC，EB≌BC，证明≌AEF≌≌ECB，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．解：∵EF∥DC，AD⊥DC，EB⊥BC，∴∠AEF=∠C，∠AFE=∠EBC=90°，∵B、C相距30米，C、D相距60米，∴EF=DB=BC=30米，∴△AEF≌△ECB（ASA），∴AF=BE，∵DF=BE，∴AD=2BE=2×20=40（米）．答：甲楼的高AD是40米．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找出证明三角形全等的条件．。
1.2直角三角形全等的判定2
1.2 直角三角形全等的判定Ⅰ.核心知识点扫描⑴直角三角形全等特有的方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写为“H L ”）⒈直角三角形的全等判定定理⑵与一般三角形公有的方法：SAS 、ASA 、AAS 、SSS. ⑴角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
⒉直角三角形的全等的应用⑵角平分线的判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
Ⅱ.知识点全面突破知识点1：直角三角形全等的判定方法（重点）⒈判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写：HL ）. ⒉用数学语言表示为：如图1-2-1,在△ABC 和△A ˊB ˊC ˊ中，∵∠ACB=∠A ˊC ˊB ˊ=90°，AB= A ˊB ˊ，AC= A ˊC ˊ， ∴△ABC ≌△A ˊB ˊC ˊ． 3.定理的证明.已知如图1-2-1所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠ACB=∠A ′B ′C ′=90°，AC=A ′C ′,AB=A ′B ′,求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′. 证明：设 AC=A ′C ′=b ，AB=A ′B ′=c ，∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠ACB=∠A ′B ′C ′=90°，AC=A ′C ′=b ，AB=A ′B ′=c ∴BC=B ′C ′∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中''''''AC A C AB A B BC B C ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(SSS)例 ：（2010，北京）已知：如图1-1-2，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF ，AB=DC ．求证：∠ACE=∠DBF．{{C(CBA(AB'C'A'B CA图1-2-1证明：∵AB=DC∴AC=DB∵EA⊥AD，FD⊥AD∴∠A=∠D=90°在△EAC与△FDB中，EA=FD, ∠A=∠D,AC=DB∴△EAC≌△FDB(SAS) ∴∠ACE=∠DBF．点拨：□C要想证明∠ACE=∠DBF，则需要证明△EAC≌△FDB 即可，而两个三角形全等的条件题中易得．证明：能．∵AB=DC∴AC=DB∵EA⊥AD，FD⊥AD∴∠A=∠D=90°在Rt△EAC与Rt△FDB中AC=DB, EC=BF∴△EAC≌△FDB(HL)∴∠ACE=∠DBF．点拨：要想证明∠ACE=∠DBF，则需要证明△EAC≌△FDB即可，由EA⊥AD，FD⊥AD，可得∠ACB=∠DCE=90°，由AB=DC，可得AC=DB，再根据EC=BF可利用“HL”证明两个三角形全等.知识点2：角的平分线的性质定理及逆定理（重点）1. 角的平分线的性质定理及逆定理定理内容用数学语言表示定理作用角的平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．∵□C PA⊥AO，PB⊥OB，OP是角平分线，∴PA＝PB（角的平分线的性质定理）证明线段相等角的平分线的判定定理角内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．∵□C PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，∴OP是角平分线（角的平分线的判定定理）证明角相等2.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，用“折叠得到折痕（垂线段）重合”来证明角平分线定理1，再说明角平分线定理1逆命题是真命题．由此，角平分图1-2-2线的这两个定理可以归纳为：角平分线可以看着是到角的两边距离相等的所有点的集合. 例1：（2009，山东临沂）如图1-2-3，OP 平分AOB ∠， PA OA ⊥， PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP解：D点拨：本题考查的是三角形全等和角平分线的性质。
直角三角形(2)全等的判定hl
• 勾股定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为 c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方.. • 勾股定理的逆定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那 么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题 称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的 逆命题. 一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假 命题?
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
一个定理的逆命题是真命题还是假命题？,
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
练习:1判断
1每个命题都有逆命题.
2每个定理都有逆命题.
7两角对应相等,且有一条公共边两个直角三角形 全等.
回味无穷
• 直角三角形全等的判定定理:
定理:HL.
公理:SSS. SAS ASA
推论:AAS.
• 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应
B M P
E B'
C N D F
4 1 3 2
A
△AEF是等边三角形
勾股定理应用:
D 1 A' C
如图,折叠矩形纸片ABCD.先折 对角线BD,再使AD与DB重合得 折痕DG ,AB=2,BC=1,求AG的长.
1
A
直角三角形全等判定 (PPT)2-2
思考：
满足下列条件的两个直角三角形是否全等？
为什么？ห้องสมุดไป่ตู้
是
（1）一锐角及这个锐角的对边对应相等；（AAS）
（2）一锐角及这个锐角相邻的直角边对应相
等；
是（AAS）
（3）一锐角及斜边对应相等；是（AAS）
（4）两直角边对应相等； 是（SAS）
（5）一直角边及斜边对应相等；是（HL）
（6）两锐角对应相等；
小巫见大巫，相比土星光环那样不起眼。年月下旬，是观测土星的最好时机，因这时土星正值冲日前后。冲日此一现象，是指当我们垂直于太阳
系轨道面观望太阳系时，太阳、地球及土星排成一条直线，从地球看上去，土星正好与太阳的方向对立，土星的亮度达到全年最亮，其视角大小 也是一年里最大的。而年，土星冲日落于月8日，当太阳西下时，土星就会从东方地平线升起，整晚可见。虽然说土星冲日只有一天，但观测土 星无须真的等到冲日之时，在一年里，基本上我们只有约个月的时间观测不到土星而已，不过，说到较容易观测的时间，就是在冲日前后一个月， 因为这时土星几乎整晚可见；在接下来的月至8月份，我们依然可以看见土星。熟悉星座的读者们，年的土星出没于处女座与天秤座之间，离开 处女座的主星———角宿(Spica)不远，
跟外行星的性质一样土星土星当冲日时是观测土星最好时候，因为土星冲日时，土星最亮（约等）之余视直径（角直径）也最大而且冲日前后整 夜可见。通过三寸口径（物镜直径）或以上的望远镜，以目镜放大8倍以上便能透过它清楚看见土星及土星环，在大气稳定时（放大倍以上）还 能看到卡西尼环缝。7年月日，土星冲日，亮度-.等，那时土星在狮子座视直径.7"。说到太阳系里的八大行星，大多数人的脑海里，第一个浮现 的行星或许就是土星了。无可否认，土星是八大行星里唯一有明显光环的行星，使用一般的天文望远镜就能轻易看见了，其他行星的光环，犹如
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求证: 证明:
O
1 2 E
P C
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条垂线段相等的根据之一.
思考与探索
角平分线性质定理的逆定理
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上. A 已知:
D
求证: 证明:
O
1 2
E
P
C
B
举一反三:到一个角的两边距离不相等的点,一定 不在这个角的平分线上吗?为什么?
结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗?
练一练
2
习题1.9
A
1.已知:如图,P是∠AOB平分 线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB, 垂足分别C,D. 求证: O (1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.
C
P D B
练一练
1
挑战自我
A
2.如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是 △ABC的角平分 线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)求证:AB=AC+CD;
E C B
D
(2)如果CD=4cm,AC的长.
变一变
如图,在△ABC中,已知
挑战自我
A
∠C=900,AD是△ABC的角平分 线,DE⊥AB,垂足为E,且AE=BE.
(1)求∠B的度数;
E C B
(2)如果CD=4cm,AC的长;
(3)这时AB=AC+CD
D
成立吗？
知识延伸 1 1.如图,已知△ABC, 在平面内是否存在到这三
条直线距离相等的点?如存在,这样的点有几个 ?请把它们作出来,你还有什么发现?
A B C
小结
拓展
A D 1 2 E B P C
定理 角平分线上的点到这个 角的两边距离相等. 逆定理 在一个角的内部,且 到角的两边距离相等的点,在 O 这个角的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线 相交于一点,并且这一点到三 边的距离相等(这个交点叫做 三角形的内心). 三条边的垂直平分线的交于 一点,并且这点到三个顶点距 离相等(这点称为三角形的外 心).
1.2 直角三角形的全等与判定(二)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
连云港外国语学校 初三 数学备课组
回忆
用三角尺作角平分线
A M
请叙述利用三角板作 角平分线的过程,并说 明其理论根据.
O
● ● ●
P
N B
PM=PN吗?由此你能得出什么样 的结论?
思考与表达
已知:
角平分线的性质
A
D
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
作业
课堂作业：随堂练习 课后作业：Ｐ12 习题1.2 3、4 补充习题:P3
做一做
1
亲历知识的发生和发展
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线,你发 现了什么? 结论:三角形三个角的平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗?
做一做
2
亲历知识的发生和发展
1.剪一个三角形纸片通过折叠找出每一条
的边的垂直平分线,观察三条垂直平分线是 否交于一点. 2.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分 线.再观察这三条垂直平分线,你又发现了 什么?与同伴交流.