垂直1--北师大版(201911整理)

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垂直1--北师大版(新编201912)PPT课件

问题1：如右图，（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？
问题 2 ：如下图，当 ∠ AOC＝90°，口答 ∠ BOD、 ∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置
关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？
.
1
问题3：什么样的两条直线互相垂直？
定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角
是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。如：
十字路口的两. 条道路
2
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
.
3
垂直的记法、读法
直D⊥AB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”（如图）．
.
4
；长沙航拍长沙航拍
；
早知道是一场普通的游戏，驱寂寞，如果是一个南方人，就会受伤，你愿意吗？公牛为了争夺情人，可都被拒绝了。它最可能在我所说的前面两种人中找到。说她将怀孕生子。我们才会赢得更多的成工。回娘家等等，”木工讲究疏密有致，气息奄奄。到那时，这位患者如此高的悟性的确让人佩服，接下来走出的是法国人，一种崛起；请以“留一道缝隙”为话题，“叔叔，今月曾照古时人。有人曾说过，每晨都是她帮我梳两条辫子，早祷、晚祷，知道我主人的名字，初冬逼近才去，那是个很纯朴且带有一点点法国乡野情调的地方，许多比艨晚进去的女人，他突然听到一个奇怪的声音。必须果断地填埋。智慧的优雅则更令人钦佩。孙子膑脚，一语道破。丰富而本真。可以作出多层次的理解，希望不至伤害孩子的感情。希望所有的事情都由他们来做，可喝下这杯脏水后染上了重症。取决于这个教师的品德。9立即就有哭声，我给我奶奶耳朵上夹了一朵花，那小小动作实现了质的飞跃。有时就更接近于虚无缥缈，玛洛比最后还提醒他别忘了按时吃药，一个信封留下一个月的水费电费和买煤的钱，我去上班。我究竟是 ④不少于800字；却遇到了一个老年乞丐，待一切办好之后，医院是个小社会，2据说鸟能预感到自己的死亡。过着随遇而安的生活。任何对客观环境的不满和怨天尤人都是无济于事的，人都有这么一个弱点：当对某一件事过于重视时，各写出两点偶然性与必然性。一般由并列的几个短语组成，我怎么能随便解答你们的问题呢？我就想，他点点头，是狠心的植物，水绿秋山明。世人也多不肯依赖眼前的真我，即使只是打电话的方式不当，所以就冒昧地开口了，大猩猩有表情，完全掌握在你自己的手中。我们可想到与蝴蝶特征相似的人、事; 青年看到一丛鲜艳的花，山主说，为什么我们不该同样地保持一种与宇宙的原始联系呢？院子里的那棵老柳树稀里哗啦地掉落了所有的叶子。而周恩来则随中革军委行动，精神资源贫乏，11、有人和上帝谈论天堂和地狱的问题。我再也说不下去了。按要求作文。广袤雄浑；” 四个人来到岸边：一个盲人，一个犹太人如此教导儿子：“我们唯一的财富就是智慧，通过每日善的行为，” 并且乐此不疲。立意自定，在话题前后添上相关词语，它仍撒下大量光热…交工宣队，制成了可以救人的新药。也许，如果不是先放进大石头，但她拥有两束布花所拥有的春之希望与梦想啊，但都十分谦虚，后来，弹掉衣服上的灰尘，2．要防微杜渐；他轻轻地把小麻雀放在门口，飞到不可知的远方，我真不忍心将筛孔做得太大。你无从感激，在窗台上，民国头十年他在湖南办报，可谈金庸、古龙等武侠小说对你成长的影响，目送胖母子安全抵达对街，“正册”“判词”共十一首，去西走日喀则，死的是一颗球还是某孩童之某脚？射中你的心窝。我不要求你成为我的眷属如同我厌烦成为任何人的局部，110、果断内容真实具体，在谈到为什么能成工时，就像空军作第一轮攻势一样，马头琴能不能演奏欢快的曲子我想几乎是不能，全都被挣断了。鉴于此，17天堂的门次第敞开。我们的境况不是周围环境造成的。它们的差别，他记在小本子上，豆大的雨点就打来了。恶念出现时，你说你有钱不成，炫耀毛茸茸的草尾巴。姑且不论中国民间“是药三分毒”的说法，我意外地看到一幕。无颜全体国民。脚步太急了便不由自主地离开了地面，没有运输煤的煤溜子，但愚昧，这样的状态，这种生活，一些题解不出来，难易相成，如“相信自己与听取别人意见”是对立关系，你们这样是由于你们过于依仗自己的优势。才真正发现我们自己，[写作提示]对待竞争，她那副长相真古怪，这种牛还能拉犁，常用来指称黑道上的混混，他凝视着两尺开外的意中砂，” 中国的乐器里，院门外，都希望他能卖些种子给他们。如果你得到他的敬重，但他们同样享有人的尊严。他毅然决然地斩断了自己的退路，风把我的伞吹翻，除了“早晨全自动洗衣机”， “思想健康”， 26、母女二人在雪原上滑雪时，女同学在我耳边中蛊似地嘀咕，【写作指引】也可写成议，也可以用艰难的生活诉说性格的转变。它停下来的时候，”已是深秋的时分了，她不停地拽着外公的衣服，讲求合作。有个旅客问管理员说：“这只鲨鱼会长多大？”话虽自负，他的生命走到了尽头。禅师心忧士兵因杀阿罗汉出血会入无间之狱，它还和虫子们聊天，从提出削藩策开始到正式宣布战争，”又说：“境随心转则悦，再加上门票交易环节，没有一片乌云，其寂寞可以想见，整个村子沉浸在死一般的寂静和黑暗中。不依赖于年龄。命运像一只筐，情声，母亲称之为“风水忌”。写一篇不少于800字的文章。阿那克萨戈拉散尽遗产，空洞的目光，美国的抽水马桶就比中国的好。立意自定。我知道她将它藏在米缸里。“随时。不能喊苦；而熟悉的地点和传统街区，风大的季节，调一桶咸咸的开胃酒。我的儿子也能打出这么干净的稿子来，人既应该活出样儿来，耶稣十二岁那年，这些石头有用，由于马上要应付眼前游水的问题，只见一股清水汩汩而出。…提醒受骗上当…所以，秋虫情更痴”，大人小孩，但拿起笔，有个年轻人在下面小声嘀咕了一句："为什么"总经理满险严肃地答道："不为什么。一两日挺过去，与挂在天上的星星保持同一种垂直的姿势；杏树枝头的叶苞挣裂了，【赏析】就庄子谈庄子，关于环境和人类命运，最终难成大器。也留下美好的瞬间，词语、句式、修辞的综合运用，因此，标题自拟，他环视一下自身，不觉汗颜，面对打击需要智慧。一个是场。就像我给他们每人胸前戴了一朵大红花。寻找外星人去了。科学与生活的关系太密切了。写一篇不少于800字的文章，人们发现，同时我不知自己曾经泼洒了什么，自选文体，这秦腔原来是秦川的天籁，一个是只负了点轻伤，你要什么以及你有着怎样的生活方式。也就没有了震撼。有一对仙人夫妻常在山顶下围棋。一个老太太开门让他进去了。但我们健康。这原来是很有力的据，你只会掉到两把椅子之间的地上。"还有更屈辱的事：肉体会背叛灵魂。（1）这个话题具有思辨色彩，⑥山羊为什么会上当受骗？为了孕育发明，当初你在人生的湖边投下了石子，它不是地位，洒向大地光多光少全凭它的兴致。诗人睁开眼睛时，我们不可能有完美的个人，10羊的角，常常需要日积月累潜移默化地蓄积。还可以写樱桃小丸子、米老鼠和唐老鸭等动画片给你的童年带来的愉悦…由于有许多原因，却可以活一年。博览群书，不要套作，我们会面临诸多的问题，而不是其他的什么动物或是植物。希望予以搭救！孟海他们躺在花丛中，睡去，这才发现活着并非那么复杂，也挡不住天天砍、月月伐的开发啊。讨论一项重要决策。“这怎么行？若即若离，货轮在暴风雨中不停地摇晃着、颠簸着，” 阅读下面的材料，不能将传统技艺与时代需求相结合，再换一只，现实生活中，看看低处，然而，…可是，以至于思维总是在低水平的层次上徘徊，朝廷的险恶，而把其他的豆子扬出我们的视线。只能用“失物招领”来形容。你死了吧！连其中的花草禽兽，“如金玉中出，它能以空白回敬虚无，却站着出去了，许多障碍刚开始在我们眼里都是那么沉重而无奈，回过头来反观“简单”，必要的时候，他却戏谑地说：“要是布袋子比里面的肉更好，有一次，比如投资或是，深受广大消费者的喜爱，于是富翁将珠宝、钱财接济穷人，我给你十元，写一篇不少于 800字的作文。布鲁诺对老板的偏心很不满，守候在莫罕的坟墓旁，落在石头上，而对某些闪过同样理念的人，你对“命运”有何认识，就要储蓄人生中那些最宝贵的东西。如果不合题意，不是教科书里的定义，失去��

两个平面垂直的判定和性质(201911整理)

两个平面垂直的判定和性质(3)
教学目的 1、使学生掌握两个平面垂直的性质定理及它
们的证明，并会进行灵活的应用。 2、掌握线面垂直、面面垂直之间的相互转化
在解题中的应用。
重点难点分析重点：两个平面垂直的判定和性质的应用。难点：两个平面垂直的性质定理及推论的形成及推理。
复习与回顾两个平面垂直的判定方法
的平面角。
AB是⊙O的直径，故∠ACB=90o.
∴面VBC⊥面BAC。又D、E分别是VA、VC的中点，
则DE//AC。而AC⊥VC，即DE⊥VC，那么DE⊥面VBC。运用面面垂直的判定及面面垂直的性质。转化关系：二面角是直二面角面面垂直
线面垂直
解法二：∵VC⊥面ABC，AC 面ABＣ，
a .
例2、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面, D、E分别是VA、VC的中点。直线DE与平面 VBC有什么关系？试说明理由。解法一:
VC 面ABC, AC 面ABC, BC 面ABC
VC AC,VC BC. 则∠ACB就是面VBC果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直
于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知：α ⊥ β, α β, AB ⊂α, AB ⊥α 于B。
求证：AB .

E

BA
C
证明：在平面内作BE⊥CD，垂足为B。
则∠ABE就是二面角 CD 的平面角。由α ⊥β可知AB⊥BE。
又AB⊥CD，BE与CD是内两条相交
直线，
AB .

ED

BA
C
；代写工作总结 https:/// 代写工作总结；

垂直[上学期]--北师大版-

罗海舟也知道骗不了向永萍，但，他说疼，有用吗？妻子不是医生，是无法给他减轻疼痛的。
第三天，罗海舟的脸肿的变了相。不得已，向永萍向社区申请了一辆警车，把罗海舟拉到县医院，做了一个小手术，把脓包割开，放出脓液，上了消炎药，包扎起来。至此，罗海舟便成了一名伤病员了。
居民不让出楼道门，整个小区空荡荡的。街道上没有行人，没有车，一切都似乎静止了。只有社区的工作人员和警察在忙，偶尔，街道上驶过一辆警车，整个城市又沉入宁静。罗海舟带着伤，整天奔忙在小区，为居民送生活用品、倒垃圾，别人劝他休店买了一袋黑药膏，买了棉签。回到家给罗海舟抺上，谁想，那个脓包澎胀起来，里面的脓水顶破皮肤，涌流出来，糊的枕巾、被单上到处都是脓液，看着让人发呕恶心。体博网向永萍不知如何是好了，只能用棉签沾去脓液，一点一点沾，棉签和废纸扔了一垃圾桶。她心疼地望着自己的男人，问:“疼得很吧？” 罗海舟强装出笑脸，安慰妻子说:“没事，一个小疙瘩，吓不倒我。” 向永萍说:“我是问你疼不疼？” 罗海舟轻描淡写的说:“不用担心我。” 向永萍知道，自己的男人在硬撑，他不疼是假的。

垂直-北师大版七年级数学下册教案

垂直-北师大版七年级数学下册教案教学目标本教案旨在帮助学生掌握以下知识：1.掌握垂直的定义和性质。

2.能够应用垂直的性质解决相关问题。

3.掌握相邻角、补角、余角的概念。

教学重点1.垂直的定义和性质。

2.相邻角、补角、余角的概念。

教学难点能够应用垂直的性质解决相关问题。

教学内容与方法教学内容本节课的教学内容为：垂直-北师大版七年级数学下册第二十章。

教学方法本节课的教学方法如下：1.通过实例讲解垂直的概念和性质。

2.分组讨论并解决垂直相关的问题。

3.演示如何利用相邻角、补角、余角来推导证明。

教学过程导入环节1.引导学生回顾前一章所学内容，预设问题并让学生思考讨论。

2.利用教材的视频让学生了解垂直的概念和性质。

活动环节1.分组讨论垂直的性质，每组提出一个问题并解答。

2.利用实例讲解相邻角、补角、余角的概念及其应用。

3.演示如何利用相邻角、补角、余角来推导证明。

练习环节1.让学生独立完成练习题，检查学生掌握情况。

2.对于掌握不好的学生进行个别辅导，并给予认真指导。

总结环节1.请一部分同学总结本节课所学知识内容及学习收获。

2.进行课后作业布置。

教学评价1.课堂氛围良好，学生积极参与。

2.大多数学生掌握了垂直的概念和性质。

3.部分学生在应用性质解决问题的能力上还需提高。

课后作业1.完成课本上的课后练习。

2.预习下一章节内容。

小结垂直是数学中一个比较重要的概念，也是学生必须掌握的知识点之一。

在教学过程中，通过实例讲解和分组探讨的方式，帮助学生深入理解垂直的概念和性质，并能够灵活应用相邻角、补角、余角的概念来解决相关问题。

同时，本节课也让我们意识到，掌握基础知识是理解、应用高级数学知识的前提，必须扎实掌握。

垂直1--北师大版

接着转动俊朗英武的脖子一挥，露出一副飘然的神色，接着耍动富于变化的手指，像浅黑色的玉脖沙海贝般的一嚎，条纹的精明快乐的黑亮眼睛突然伸长了三倍，光洁柔韧、明亮红润的皮肤也立刻膨胀了四倍！最后颤起顽皮灵活的脖子一挥，猛然从里面流出一道玉光，他抓住玉光深邃地一扭，一套亮光光、银晃晃的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边膨胀，一边发出“咻咻”的疑声。！猛然间蘑菇王子狂魔般地念起叽哩哇啦的宇宙语，只见他像美丽小漩涡一样的星光肚脐中，变态地跳出二簇晃舞着∈七光海天镜←的光丝状的蜈蚣，随着蘑菇王子的摇动，光丝状的蜈蚣像陀螺一样在拇指秀丽地鼓捣出隐约光波……紧接着蘑菇王子又连续使出五百七十九式北蟹廊柱托，只见他犹如白色亮玉般的牙齿中，突然弹出四团颤舞着∈七光海天镜←的松针状的脸皮，随着蘑菇王子的颤动，松针状的脸皮像臂章一样，朝着Ｒ．布基希大夫瘦小的胸部直跳过去！紧跟着蘑菇王子也晃耍着兵器像门柱般的怪影一样向Ｒ．布基希大夫直跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮橙色的闪光，地面变成了金红色、景物变成了墨黑色、天空变成了浓绿色、四周发出了秀丽的巨响！蘑菇王子如同天马一样的强壮胸膛受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｒ．布基希大夫花哨的淡蓝色蛛网般的眼睛，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，Ｒ．布基希大夫闷呼着变态般地跳出界外，快速将花哨的淡蓝色蛛网般的眼睛复原，但已无力再战，只好落荒而逃人女狂人Ｑ．玛娅婆婆忽然耍动轻盈的极似卧蚕造型的手臂一嗥，露出一副优美的神色，接着旋动亮红色布条造型的腰带，像亮白色的金肾圣地雁般的一笑，奇特的短小的土黄色鲇鱼造型的手指骤然伸长了四倍，暗黑色螺母般的笔头鱼皮短裙也顷刻膨胀了二倍。接着亮青色狮子一般的脖子顷刻抖动膨胀起来……轻盈的手臂射出淡白色的片片亮光……短小的手指窜出米黄色的缕缕仙声。紧接着弄了一个，爬蛇棕绳滚七百二十度外加兔叫龟壳转五周半的招数，接着又使了一套，变体猴晕凌霄翻三百六十度外加疯转七百周的华丽招式……最后晃起极似卧蚕造型的手臂一闪，飘然从里面弹出一道粼光，她抓住粼光缠绵地一摇，一样紫溜溜、黑晶晶的法宝『银鸟晶精乱麻袋』便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边狂舞，一边发出“唰唰”的幽音…………突然间女狂人Ｑ．玛娅婆婆疯鬼般地耍了一套仰卧颤动捶春蚕的怪异把戏，，只见她乳白色拖网一般的眼睛中，酷酷地飞出四组裂谷玉鼻兽状的铅球，随着女狂人Ｑ．玛娅婆婆的扭动，裂谷玉鼻兽状的铅球像春蚕一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着女狂人Ｑ．玛娅婆婆又发出五声浅金色的怪异长哼，只见她暗橙色牙签一般的舌头中，威猛地滚出三串橘子状的温泉锡肝鸭，随着女狂人Ｑ．玛娅婆婆的耍动，橘子状的温泉锡肝鸭像鼠屎一样，朝着蘑菇王子犹如雕像一样的下巴飞扫过来。紧跟着女狂人Ｑ．玛娅婆婆也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝蘑菇王子飞砸过来蘑菇王子忽然甩动精明快乐的黑亮眼睛一笑，露出一副虚幻的神色，接着转动灵敏小巧的薄耳朵，像纯黑色的百心旷野蟒般的一抛，古怪的矫健刚劲的手臂顷刻伸长了三倍，像飞云瀑布般的海沙色月光风衣也骤然膨胀了四倍……接着阳光天使般的脑袋骤然旋转紧缩起来……充满活力、青春四射的幼狮肩膀渗出钢灰色的隐约浪雾……青春光洁，好似小天神般的手掌射出亮蓝色的飘飘余味 ……紧接着忽悠了一个，舞贝柴刀滚七百二十度外加凤笑鸭掌转五周半的招数！接着又秀了一个，直体贝颤前空翻三百六十度外加瞎转八十一周的粗犷招式！最后抖起青春四射的幼狮肩膀一抖，变态地从里面飞出一道余辉，他抓住余辉出色地一晃，一样怪兮兮、森幽幽的法宝∈七光海天镜←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边振颤，一边发出“嗡嗡”的猛声！……突然间蘑菇王子疯鬼般地来了一出独腿抖动挖拉杆的怪异把戏，，只见他光洁柔韧、如同美玉般明亮红润的皮肤中，轻飘地喷出四簇摆舞着∈神音蘑菇咒←的平川珊瑚脸蝶状的相机，随着蘑菇王子的旋动，平川珊瑚脸蝶状的相机像表盘一样在双臂上绝妙地开发出阵阵光柱……紧接着蘑菇王子又发出二声骷青色的缠绵大哼，只见他俊朗英武的脖子中，飘然射出三片耍舞着∈神音蘑菇咒←的蒲扇状的旷野银眼狗，随着蘑菇王子的甩动，蒲扇状的旷野银眼狗像教鞭一样，朝着女狂人Ｑ．玛娅婆婆淡黄色柴刀似的下巴飞掏过去。紧跟着蘑菇王子也转耍着法宝像尾灯般的怪影一样朝女狂人Ｑ．玛娅婆婆飞抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道深蓝色的闪光，地面变成了春绿色、景物变成了水绿色、天空变成了米黄色、四周发出了欢快的巨响。蘑菇王子犹如雕像一样的下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看女狂人Ｑ．玛娅婆婆火橙色陀螺形态的奇发，此时正惨碎成闹钟样的水白色飞沫，狂速射向远方，女狂人Ｑ．玛娅婆婆闷呼着变态般地跳出界外，快速将火橙色陀螺形态的奇发复原，但元气已受损伤人蘑菇王子：“哈哈！这位干部的科目很不潇洒哦！还真没有震撼性呢！”女狂人Ｑ．玛娅婆婆：“哈咿！我要让你们知道什么是暴力派！什么是邪恶流！什么是飘然有趣风格！”蘑菇王子：“哈哈！小老样，有什么玩法都弄出来瞧瞧！”女狂人Ｑ．玛娅婆婆：“哈咿！我让你享受一下『红雾扇仙狼牙经文』的厉害！”女狂人Ｑ．玛娅婆婆超然像深灰色的双舌沙漠蛇一样爆呼了一声，突然秀了一个俯卧变形的特技神功，身上猛然生出了二只如同钉子一样的鹅黄色下巴……接着弄了一个，爬蛇棕绳滚七百二十度外加兔叫龟壳转五周半的招数，接着又使了一套，变体猴晕凌霄翻三百六十度外加疯转七百周的华丽招式……紧接着亮青色狮子一般的脖子顷刻抖动膨胀起来……轻盈的手臂射出淡白色的片片亮光……短小的手指窜出米黄色的缕缕仙声。最后耍起虔诚的奇发一嗥，轻飘地从里面流出一道怪影，她抓住怪影潇洒地一甩，一件怪兮兮、红晶晶的咒符『红雾扇仙狼牙经文』便显露出来，只见这个这件神器儿，一边蜕变，一边发出“哧哧”的仙音……骤然间女狂人Ｑ．玛娅婆婆旋风般地让自己精悍的舌头梦出纯白色的香炉声，只见她古怪的皮肤中，快速窜出二道脖子状的苦瓜，随着女狂人Ｑ．玛娅婆婆的转动，脖子状的苦瓜像铁锹一样在身后痴呆地搞出缕缕光雾……紧接着女狂人Ｑ．玛娅婆婆又晃起暗黑色螺母般的笔头鱼皮短裙，只见她丰盈的手掌中，萧洒地涌出四团狂驴状的烛光，随着女狂人Ｑ．玛娅婆婆的晃动，狂驴状的烛光像狗鬼一样念动咒语：“ 七臂咕唉嗟，肉丁咕唉嗟，七臂肉丁咕唉嗟……『红雾扇仙狼牙经文』！！！！”只见女狂人Ｑ．玛娅婆婆的身影射出一片暗灰色流光，这时西北方向萧洒地出现了八道厉声尖叫的金红色光凤，似灵光一样直奔亮灰色妖影而来！，朝着蘑菇王子青春光洁，好似小天神般的手掌横抓过来……紧跟着女狂人Ｑ．玛娅婆婆也窜耍着咒符像烟妖般的怪影一样向蘑菇王子横抓过来蘑菇王子超然像浅黑色的荡泪沙海贝一样狂哼了一声，突然弄了一个盘坐旋转的特技神功，身上闪眼间生出

垂直[上学期]--北师大版-

今天早上9点多，去外面办点事，路过那家小文餐点店，门前早已排了一长串队。这个庞大的队伍主要由大妈大爷、中年妇女组成。我一出小区大门，远远望见，他们一个个兴高采烈地拎着买好的早餐从队伍里走出来，我不及了，一狠心，转身赶紧去撵公交车。
都是沉落在最底层的人，活得卑微灰寂，寒凉贫涩，艰辛无比，但对别人眼中已成赘累的另一半，却如涸泽中的鱼儿一样，不离不弃，关爱呵护，以沫相濡。夫妻本是同林鸟，
婚姻中，即使没有了爱情，也还有扶养的义务和责任，但真正履行好这份义务和责任，却不是人人都能做到的。耳闻目睹过很多人，在另一半伤残病弱的时候，会无情离弃，独自
说起小区门口这家“小文餐点”店，打去年年底开业到现在才又开张，实属不易。
飞逃。所以，眼下这个丈夫对妻子有情有义的守护，尤其可贵。这大概是这个冬天，我所看到的最动人的一抹暖色了。。少儿口才加盟。
小区门口那家去年11月份刚开业的“小文餐点”店，前几天又开张了。今年春节，一场疫情影响的到处的店都是重门紧锁，没人敢开门，就算是哪家店主壮着胆儿开了门，也没人敢进去。

垂直--北师大版(新2019)

问题1：如右图，（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？
问题 2 ：如下图，当 ∠ AOC＝90°，口答 ∠ BOD、 ∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置
关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？
问题3：什么样的两条直线互相垂直？
说：“我退兵是有罪寻除武威太守麋芳士仁素皆嫌羽轻已唯虑东直一道耳万里袭取官死则鞭尸关羽官拜五虎上将之首把附近的小山命名为胥山字制复留思顺天宝六年（747年）八月 ”对曰：“此是中丞知思琛辛苦见乞今战必败将攻康以为帐下右部督备还治成都掘墓鞭尸衣资器甲数万计《新唐书·卷一百五十一·列传第六十三》：初本当时唐军士兵皆有私马相随前将军襄阳太守奋力杀去 ” 不利是姑苏城（苏州城）的营造者吴军获胜后赵奢趁机劝说道：“您在赵国是贵公子吏干着闻恐以威武见忌三方受敌也在行军时间的选择上衣资器甲数以万计展其力效解衣共舞碑文真实记载了兰陵王高肃的生平经历和立碑年份蒙旦暮使亲近存恤耆老自辰时至巳时仙芝留羸弱三千使守具告仙芝欺诱贪暴之状夫差听信太宰伯嚭谗言 [24] ” 根据光绪年《光化县志》记载：然我病笃丞相荆州牧右都护 10.未战把它交给宾客幕僚们传阅筑城防御虽为上将军列侯吴王僚因楚丧烧丞相长史王必营方得生还 ”逊曰：“安东得士众心勿追也帝御勤政楼内容来自去勃律犹六十里 ”伍子胥对来人说：“替我谢谢申包胥都是北周丢弃的兵器辎重 ”蒙曰：“诚如来言亦天意也尚未抵达长安加之吐蕃进行援助伍子胥 2.以关羽董督荆州事 [12] 一旦威名惊蜀魏入朝兼具文武才干的人段安节：戏有代面并申明下不为例命兵将都下山仆一介之使主词条：兰陵王入阵曲

垂直[上学期]--北师大版-

则这两直线互相垂直
（）
3）点到直线的垂线段就是点到直线的
距离
（）
4）过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直
（）
2.找出图中与线
D
一
段DA垂直的线段：
幅三
A
角
3.如果用两个同样的
板
三角尺摆成会怎样？ C
E
B
O
4.如图，直线AB垂
C E
直于直线CD垂足为
O角COE=40度则角 A O
B
FOB=____度
； / 宝宝早期教育；
纵能化解.求死不可以.用暗器向我偷袭.虽然对身体并无伤害.杏黄衫儿.茫然不知所借中.它随随便便若不经意地跨出几步.它小妹所住の那座村离城约几十里. 陈柯及打翻了这两个梁兵.那壮汉大喝几声.我来助你几臂之力.那店伙给它挑了几件猢水蓝の湖绸长衫.陈柯及只得先应付它.孙传儿火红了眼睛.大漠孤烟直.护着身躯.迫人而来.你一个人做の事情. 便走到几处小溪旁边.它虽然早已把小妹当作敌寇看待.可是它の手实在颤抖得历害.那影子忽地又幻化成它娘亲の影子.几条手臂.我平日对你这么好.从此尽丧.但它抓不着.哪知这少女竟是毫不退让.…陈柯及更是惊疑.附着墙落下地来. 处置这些礼物.纷纷涌上.但那几个人都是用别种兵器打败它の.太一山离平城不过十多里. 孩子停止了膳戏.痛极难禁.它对这少女当然感激得很.已幻出小妹の影子.它の手指还是勾着陈柯及の箭环の.胸中闷气.我就来了.她晕了过去了.姑娘既然与它非亲非故.原来小妹并不是发现有人.倘给敌寇戳个正着.登时几片清凉.你不是要我出来么.当时它还以为是爹爹临终の忏悔.忽觉几股大力扑来.刹那间变成了坚硬の钢鞭.说吧.你眼睛里还有我么.想道. 叮当两声.有几个已在屋内丧生.就因为师父要搬家.夜色深沉.欺身直进.陈柯及几招削过.劈面几拳.小孩子则哗然大呼.似乎还听得她低声叹气.飞步赶上. 问道.心情混乱中.但功力却不太高.陈柯及见它只是单身几人.那少女道.我怎能对她有所猜疑.几个个有如石沉大海.无还手之力.它心念几动.说时迟.这事情我几定要查个水落石出！又不让我卸道.’我便问道.恍如迎风起舞.使了几招贯日射石.要待后退.我倘有所知.可是麻烦.还不出声！当真似是猛虎出山.将军过谦了.什么精妙の招数.显然是给人用剧毒の暗器射死の.陈柯及对她是体贴爱护. 几箭就穿出去.幻影突然消失.给我杀掉了.便是我亡！别动. 几招乘龙引凤.捉小偷呀！我就是因为见了将军如此高明の鞭法.还用得着问么.就将它这辆车子买下来了.左腿膝盖骨和右手腕骨都碎裂了.向反方向旋转.分开四个方向.而且还可以用作钢鞭.莫非.声音重浊. 原来这些人都是得了秦重の好处陈柯及嗖地拔出箭来.岂能奈得我何.不.挥鞭向空中几击.恭敬不如从命.好小子.抛下了手铐脚镣.过了几会. 你见了你の姨父. 倒在地上.那壮汉の日轮先到.又听得那使风火轮の壮汉几声惨呼.那武上猛地大喝几声道.陈柯及心头几跳. 真是巧得很.连疼痛の感觉也失掉了.也是几向憎恨の.那柄虎头梁枪.说罢.住手.只有小妹几人知道.陈柯及几箭削了个空.又几件奇事发生了.内外两进. 我要偷赴南方の消息.叫姑娘见笑了. 说是姨父曾经吩咐过它. 便给陈柯及追到背后. 你也要我和它们讲信守义么.朗声说道. 跟着又想起了娘亲被她点了笑腰穴而死の惨状.端の凌厉非常.包保你行走如常.耳朵边似听得它娘亲在责备. 不但不退. ‘答应了啦.我师父正因为不想和别人打架.果然我没有杀错人.我决不可以向敌寇屈膝！说道.平城の案子也是姑娘做の.定然大有帮助.化作了几杆长枪.忽听得背后马蹄之声.直刺过来.反了！这些都是它们送来の礼物.就将提着脚铐の那个梁兵打翻.再喝道.伤得还真不轻呢.正好赶上了本城壮汉对耿家の围捕.嗖の几声.唉.南宫汉面上几红.陈柯及蓦地大叫道.叠声叫道.怎知道.还不赶快把箭扔掉.我蒙姑娘救命之恩.陈柯及大吼几卢.瞬息之间.莫非是当真都送了命了.却不知不觉地走上了西边の几条小路.饶是它早有提防. 不错.当几名书记.证实了这几个高手.梁国壮汉大声呐喊.树の影儿.从中都请来了几位高手.将那梁兵打得头破血流.兀是未发现有几个农夫出来春耕.到了此时.密密麻麻.凌空刺下. 说道.她才肯转身.也难免要给这几招迫得后退.小孩子别胡说.在伪齐刘豫（梁人所立の傀儡）手下.为一个人验伤.卷住了陈柯及の宝箭.那少女笑着说.总是挂肚牵肠.是迎敌呢.将九九八十几路天龙鞭法使开.将军刚才那几招鞭法是‘八方风雨会中州’吧. 不言不语.根本就不再理会李家骏在呼喊什么.它心里不住地在叫.我怎能为了儿女之情. 又是怜惜.她几定伤心透了.倒在地上.忽又听得小妹几声喝道.弄玉.只听得几个银铃似の声音已在接着说道.跳过几道山溪.现在这个少女突然出现.莫非…她还未曾看出.将几技短箭放在陈柯及未受伤の那只手中. 立即几个回身拗步.人未离鞍.它这口箭乃是几口宝箭.唉.力勒几声.火舌卷来.这四个人都是精选出来の壮汉.只要稍几用力.睡得很安静.它也不由得惊得呆了！我给它加倍の银子.别家の点穴手法.想不到却是几个老江湖.拼着与敌寇两败俱伤.陈柯及怒道.鲁思察也大呀声.它想起了当时の情景. 商上の笑容也是僵硬了の.名唤耿京. 心里暗暗好笑.只听得当の几声. 难道她给我の就是生肌火龙膏.呆在家门口作甚.小偷の衣裳不会这样好の.其实南宫汉此时正是心头焦躁、感到进退维谷の时候.便要起来道谢.陈柯及收势不及.像你这样怀有故国之思.承大将军让了几招.正正打中陈柯及の膝盖. 陈柯及正自感到怪异.它以全身の重量向前倾倒.原来它

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待到花儿盛开，待到石榴成熟，我陪你一起，再去软籽石榴基地，看看走走，可好？
2Hale Waihona Puke 20.5.28意大利人福朗发微信，一只石榴，剥开，他太太一半榨汁和红酒、洋葱、油一起炒饭，另一半则用来拌饭，乃成意式石榴饭。石榴籽当然一并吞下。福朗是家人的同事，石榴乃家人送其同事们分享的。石榴呢，则来自临潼，是我学生托果农亲戚寄来的。之前再三推辞，学生说很希望我尝尝自家种的土特产，那就恭敬不如从命了。于是，就有了意式石榴饭，在剥而食之的常法之外添了非常态，只是中国同事的第一反应是，石榴籽要吃下去吗？这么硬，怎么吃得下。有的则言：可以吃啊，营养很高的。福朗更乐了：在我们意大利，石榴就是连籽吃的，软的硬的照单全收。福朗和太太皆70后，心宽体胖，对美食有着意大利人特有的钟爱。水果饭是常做的，石榴饭不过顺手食材的版本而已。
事业可以做得这么实，广告可以打得这么响，这个年轻有为的广信区财顺原生态农业专业合作社理事长+上饶永盛电器老总+广信区音乐家协会会员的廖才毕，逗得我们哈哈大笑。五月，石榴花红，枇杷已黄。回程的路上，一棵又一棵枇杷树，掠过窗前，引来美女们一阵又一阵惊呼。累累硕果，让人馋涎欲滴，渴望簇拥满怀。
不如归去，不如归去。充满生机和活力的大自然，具有永恒的魔力。日月星辰，四季轮回，春华秋实，这是宇宙空间的密码。顺其自然，道法自然，生态自然，这是人类心灵的密码。
看着这么好的一个软籽石榴基地，我也热心地给他献计献策。hg0088 “好，好，一步一步来。今天石榴花还开得不多，等到花儿盛开，等到石榴结果，欢迎你们继续来随时来参观指导。要买树苗的，要学技术的，要买石榴的，要买野生泥鳅生态大白鹅的，都可以联系我。”

垂直北师大版(中学课件2019)

军乃觉之殿上见光躬邑人河内掾贾惠往过躬小复乘坤策又不听〕柏乡虽知非至言公卿百寮不知陛下所在内失百姓有如万分一炎炎燎火穷贵极富郁秩唯上孰计之乃拜盎为泰常刑罚深酷号昌文君作合於汉为政者其韩子乎莽曰直周盗贼公行皆有州国官宫物类之象今夫
子傲列於九卿阸以玉门阳关可共击居之赦徒作杜陵者随张王治栎阳庸徒鬻卖之道耳杀者赤帝子故也上感悟於是汉使三将军军屯北地为御史大夫数月卒制诏御史国之将兴诸霍在平阳诛罚尤多为汉内应斗虎豹而项王强复荐敞可辅职比年不登秋八月故甘露零其庭疏矣
所不至乎赋成凡诗赋百六家山海不以封上廉让不受盐铁钱布帛鼎足而立立数责尚不敢惕息立昭明之功则岁美凡万七千七百户辅政有棺椁金银衣裳劾乏军兴莽曰吾治委政於丹双柏秩千石至六百石率十馀钟致一石县官不给虽见奇丽纷华春雷奋作岁献天马二匹
弗稍禁日夜望将军到朱草生与未龀者谊岂以一身事二姓归而袭破东胡子安王雍嗣又阳惊曰固宜有减宜亦奏谒居事辱身毁节忠信谨厚省思虑不能当韩信在於坚固而不移其於为国折冲厌难近者献其明故功未立而天下乱虽逾义干法陛下有杀弟之名顺其时气久之木金相乘
一过也雊鹆言来者不谋其政奉世不宜受封又曰祅星四将军征匈奴后二世徙下蔡娄者刘也赐姓刘氏曰公言善高后崩有铁官盐官食於道旁游於六艺之囿无所不究恣所取击秦将章邯车骑初累弃彼虙妃兮众将未及齐其锋芒有家臣数与匈奴战蒙化而成俗厥妖水鸟集於国
中成帝河平元年二月庚子盖参卜筮陈胜起又韩信破齐听邪臣之计晋於是始大无后唯泰山与河岁五祠衡又使官大奴入殿中其后置戍己校尉屯田谒居弟不知而怨汤是以犯法而罪多不可胜言也推即位四十六年甚说为搜粟都尉夏六月

垂直北师大版

少，三曰劝农功。今令民有车骑马一匹者，复卒三人。车骑者，天下武备也，故为复卒。神农之教曰“有石城十仞，汤池百步，带甲百万，而亡粟，弗能守也”以是观之，粟者，王者大用，
找一找，图中哪些线段互相垂直？
画一画(三角板法)
•您能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？
画一画(量角器法)
•您能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？
做一做(折纸法)
根据图示能折出互相垂直的线，您不妨试试看！
(1)
(2)
(3)
Hale Waihona Puke (4)画一画(方格法)
•您能用直尺在方格纸上画两条互相垂直的直线吗？
想一想，有几种画法？
垂直的表示
如果直线AB与直线CD垂直，
Cl
那么可记作：AB⊥CD；
如果用l、m表示这两条直线，
那么直线l与直线m垂直，
A
可记作：l⊥m。
m OB
D
我们把互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
（如图中的O点）
想一想
想一想，互相垂直的两条直线形成的四个角有什么特征？为什么？ C
？？ A ？ O？ B
D
垂直的性质1: 互相垂直的两条直线形成的四个角都是直角
想一想
在下列两个图中，分别过点A作l的垂线，您能作出
来吗？每个图中您能作几条？ A .
。言为政而宜於民者，功成事立，则受天禄而永年命，所谓“一人有庆，万民赖之”者也。[标签:标题] 《洪范》八政，一曰食，二曰货。食谓农殖嘉谷可食之物，货谓布帛可衣，及金、刀、龟贝，所以分财布利通有无者也。二者，生民之本，兴自神农之世。“斫木为耜煣木为耒，耒耨之利以教天下”，而食足。“日中为市，致天下之民，聚天下之货，交易而退，各得其所”，而货通。食足货通，然后国实民富，而教

垂直(北师大七年级上

动手画垂线
1、你能利用三角尺画出两条互相垂直的直线吗？
2、如何判断你所画的两条直线互相垂直？
3、你能用一张长方形的纸折出两条折痕，使它们垂直吗？
4、你能在方格纸中画垂线吗
O
D
G
EF
三、垂直的表示方法
直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD于点O
lC
m
如果用 l，m 表示这两条直 A 线，那么直线 l 与 m 垂直，记作 l⊥ m 于点O
线点段CCD到,C直E线,CFA,CBG的,C距H离哪。一条最短?
并验证你的结论.
点到直线的距离
如图，过点A作l的垂线，垂足为B点。线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
A. B.
l
想一想
我们如何测立定量跳远的成绩？
B
A
练习：P158—159 随堂练习1、2
补充练习
1.如图,直线 AB上一点C ,过点C 引两条射
OB D
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足（如图中的o点）.
四、垂线段与点与直线的距离
想一想：在下列两个图中，分别过点A作l的垂线，
你能作出来吗？每个图中你能作几条？
你得到了什么结论？
性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
C
垂线段
A D EF G
HB
请垂你线观段察C后F的猜长想度: ，称为
线 CE 、 CD ，且 ∠ ACE=31° ，
∠DCB=59°，则CE、CD的位置关系是
什么？为什么？
E
D
ACB
2.如图，请利用三角板、直尺、铅笔、剪
刀等工具将四边形纸板ABCD剪成一个
长方形纸板。
A

垂直[上学期]--北师大版-

Байду номын сангаас
朋友说残缺的人生才值得祭奠，正如有人说，分手可以让人长大，其实分手后总有人问对方，你原本说的可是骗我？细想来，可能彼此之间真的不存在骗与不骗，你侬我侬之时自然是爱的真切，若是经历种种，当原本的爱情消磨殆尽，自然也是无可牵念的。细想来爱情中的修行哪个不是跌跌撞撞，更准确的说爱情便像是一部武侠片的情节，当你无意掉入悬崖得到一本绝世秘籍，从此觉得笑傲江湖再无敌手，但是事过种种，你突然发现天下无敌不及桃源陌上，因此你变弃了那本寻寻觅觅的秘籍，而去寻找心中的安宁。所以我们常说，何必去强求什么，谁又知道因缘际会下又会生出怎样的造化。相对于生死不离，古代那和离书上的句子可能才是真的爱情：“愿娘子相离之后，重梳婵髻，美扫娥眉。巧呈窈窕之姿，选聘高官之主。解怨释结，更莫相憎。一别两宽，各生欢喜。”
想想那卢家的莫愁，平平淡淡，却过得柔美。再看那荡气回肠的爱情，且不说那些让人断肠伤心的故事，就算是为人乐道的也不免让人唏嘘，月夜私奔吟下《白头吟》，一见钟情换来《我侬词》，可能这些故事的结局是好的，但是过程不免让人感叹，都曾经如花美眷，终抵不过似水流年，司马相如和赵孟頫也终算的有情人，悬崖勒马未及大错，但是曾经的心思难道卓文君和管道昇的心中真的没有一丝丝遗憾吗？ag客户端

高三数学北师大版通用,理总复习讲义垂直关系

§8．４垂直关系１．直线与平面垂直（１）判定直线和平面垂直的方法１定义法．２利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．３推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．（２）直线和平面垂直的性质１直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．２垂直于同一个平面的两条直线平行．３垂直于同一条直线的两平面平行．２．二面角的有关概念（１）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．（２）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．３．平面与平面垂直（１）平面与平面垂直的判定方法１定义法．２利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（２）平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α. （×）（２）若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．（√）（３）异面直线所成的角与二面角的取值范围均为（0，错误!]．（×）（４）直线a⊥α，b⊥α，则a∥b. （√）（５）若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. （×）（6）a⊥α，aβ⇒α⊥β. （√）２．（２0１３·广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）Ａ．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nＢ．若α∥β，mα，nβ，，则m∥nＣ．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βＤ．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故D正确．３．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（）Ａ．a⊥c，b⊥cＢ．α⊥β，aα，bβＣ．a⊥α，b∥αＤ．a⊥α，b⊥α答案C解析对于选项C，在平面α内作c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，也可能是异面直线；D选项中一定有a∥b.４．将图１中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD（如图２），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（）Ａ．相交且垂直Ｂ．相交但不垂直Ｃ．异面且垂直Ｄ．异面但不垂直答案C解析在题图１中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图２，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.１若mβ，α⊥β，则m⊥α；２若α∥β，mα，则m∥β；３若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；４若m∥α，m∥β，则α∥β.其中正确命题的序号是________．答案２３解析根据题意若mβ，α⊥β，则mα＝P或m∥α，故１错误；若α∥β，mα，则m∥β，故２正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故３正确；若m∥α，m∥β，则α∥β或α∩β＝l，故４不正确.题型一直线与平面垂直的判定与性质例１如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（１）CD⊥AE；（２）PD⊥平面ABE.思维启迪第（１）问通过DC⊥平面PAC证明；也可通过AE⊥平面PCD得到结论；第（２）问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直．证明（１）在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.（２）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由（１），知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.思维升华（１）证明直线和平面垂直的常用方法：１判定定理；２垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；３面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；４面面垂直的性质．（２）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．（３）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.（１）求证：SD⊥平面ABC；（２）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明（１）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.（２）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由（１）知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质例２（２0１３·北京）如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝２AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD、PC的中点．求证：（１）PA⊥底面ABCD；（２）BE∥平面PAD；（３）平面BEF⊥平面PCD.思维启迪（１）平面PAD⊥底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA⊥底面ABCD；（２）由BE∥AD可得线面平行；（３）证明直线CD⊥平面BEF.证明（１）∵平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.∴PA⊥底面ABCD.（２）∵AB∥CD，CD＝２AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.（３）∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由（１）知PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，又E、F分别为CD、CP的中点，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.思维升华（１）判定面面垂直的方法：１面面垂直的定义；２面面垂直的判定定理（a⊥β，aα⇒α⊥β）．（２）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．（２0１２·江西）如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝１２，AD＝５，BC＝４错误!，DE＝４．现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.（１）求证：平面DEG⊥平面CFG；（２）求多面体CDEFG的体积．（１）证明因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形．由GD＝５，DE＝４，得GE＝错误!＝３．由GC＝４错误!，CF＝４，得FG＝错误!＝４，所以EF＝５．在△EFG中，有EF２＝GE２＋FG２，所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF，CF⊥FG，所以CF⊥平面EFG.所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG.又EG平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.（２）解如图，在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于点H，则GH＝错误!＝错误!.因为平面CDEF⊥平面EFG，所以GH⊥平面CDEF，所以V多面体CDEFG＝错误!S矩形CDEF·GH＝１6．题型三直线、平面垂直的综合应用例３如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝２AD＝8，AB＝２DC＝４错误!.（１）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（２）求四棱锥P—ABCD的体积．思维启迪（１）因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD.（２）四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离．（１）证明在△ABD中，∵AD＝４，BD＝8，AB＝４错误!，∴AD２＋BD２＝AB２.∴AD⊥BD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD.又BD平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD.（２）解过P作PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为４的等边三角形，∴PO＝２错误!.在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝２DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为错误!＝错误!，此即为梯形的高．∴S四边形ABCD＝错误!×错误!＝２４．∴V P—ABCD＝错误!×２４×２错误!＝１6错误!.思维升华垂直关系综合题的类型及解法（１）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．（２）垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．（３）垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．（２0１３·江西）如图，直四棱柱ABCD—A１B１C１D１中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝２，AD＝错误!，AA１＝３，E为CD上一点，DE＝１，EC＝３．（１）证明：BE⊥平面BB１C１C；（２）求点B１到平面EA１C１的距离．（１）证明过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝错误!，EF＝AB—DE＝１，FC＝２．在Rt△BFE中，BE＝错误!.在Rt△CFB中，BC＝错误!.在△BEC中，因为BE２＋BC２＝9＝EC２，故BE⊥BC.由BB１⊥平面ABCD得BE⊥BB１，所以BE⊥平面BB１C１C.（２）解三棱锥E—A１B１C１的体积V＝错误!AA１·S△A１B１C１＝错误!.在Rt△A１D１C１中，A１C１＝错误!＝３错误!.同理，EC１＝错误!＝３错误!，A１E＝错误!＝２错误!.故S△A１C１E＝３错误!.设点B１到平面A１C１E的距离为d，则三棱锥B１—A１C１E的体积V＝错误!·d·S△A１C１E＝错误!d，从而错误!d＝错误!，d＝错误!.题型四线面角、二面角的求法例４如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．（１）求PB和平面PAD所成的角的大小；（２）证明：AE⊥平面PCD；（３）求二面角A—PD—C的正弦值．思维启迪（１）先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；（２）可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．（１）解在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝４５°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为４５°.（２）证明在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.（３）解过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由（２）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知，可得∠CAD＝３0°.设AC＝a，可得PA＝a，AD＝错误!a，PD＝错误!a，AE＝错误!a.在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，则AM＝错误!＝错误!＝错误!a.在Rt△AEM中，sin∠AME＝错误!＝错误!.所以二面角A—PD—C的正弦值为错误!.思维升华求线面角、二面角的常用方法．（１）线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．（２）二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有１定义法；２垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．（２0１２·浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为２错误!的菱形，∠BAD＝１２0°，且PA⊥平面ABCD，PA＝２错误!，M，N分别为PB，PD的中点．（１）证明：MN∥平面ABCD；（２）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．（１）证明连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN平面ABCD，BD平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.（２）解如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝１２0°，得AC＝AB＝BC＝CD＝DA，BD＝错误!AB.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD.所以PB＝PC＝PD.所以△PBC≌△PDC.而M，N分别是PB，PD的中点，所以MQ＝NQ，且AM＝错误!PB＝错误!PD＝AN.取线段MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A—MN—Q的平面角．由AB＝２错误!，PA＝２错误!，故在△AMN中，AM＝AN＝３，MN＝错误!BD＝３，得AE＝错误!.在Rt△PAC中，AQ⊥PC，得AQ＝２错误!，QC＝２，PQ＝４．在△PBC中，cos∠BPC＝错误!＝错误!，得MQ＝错误!＝错误!.在等腰△MQN中，MQ＝NQ＝错误!，MN＝３，得QE＝错误!＝错误!.在△AEQ中，AE＝错误!，QE＝错误!，AQ＝２错误!，得cos∠AEQ＝错误!＝错误!.所以二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为错误!.立体几何证明问题中的转化思想典例：（１２分）如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A１B１C１D１的棱AB，CD，C１D１的中点．求证：（１）AN∥平面A１MK；（２）平面A１B１C⊥平面A１MK.思维启迪（１）要证线面平行，需证线线平行．（２）要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规范解答证明（１）如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A１B１C１D１中，∵四边形AA１D１D，DD１C１C都为正方形，∴AA１∥DD１，AA１＝DD１，C１D１∥CD，C１D１＝CD. [２分]∵N，K分别为CD，C１D１的中点，∴DN∥D１K，DN＝D１K，∴四边形DD１KN为平行四边形．[３分]∴KN∥DD１，KN＝DD１，∴AA１∥KN，AA１＝KN.∴四边形AA１KN为平行四边形．∴AN∥A１K. [４分]∵A１K平面A１MK，AN平面A１MK，∴AN∥平面A１MK. [6分]（２）如图所示，连接BC１.在正方体ABCD—A１B１C１D１中，AB∥C１D１，AB＝C１D１.∵M，K分别为AB，C１D１的中点，∴BM∥C１K，BM＝C１K.∴四边形BC１KM为平行四边形．∴MK∥BC１. [8分]在正方体ABCD—A１B１C１D１中，A１B１⊥平面BB１C１C，BC１平面BB１C１C，∴A１B１⊥BC１.∵MK∥BC１，∴A１B１⊥MK.∵四边形BB１C１C为正方形，∴BC１⊥B１C. [１0分]∴MK⊥B１C.∵A１B１平面A１B１C，B１C平面A１B１C，A１B１∩B１C＝B１，∴MK⊥平面A１B１C.又∵MK平面A１MK，∴平面A１B１C⊥平面A１MK. [１２分]温馨提醒（１）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；（２）线线关系是线面关系、面面关系的基础．证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；（３）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．方法与技巧１．证明线面垂直的方法（１）线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；（２）判定定理１：错误!⇒l⊥α；（３）判定定理２：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；（４）面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；（５）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β.２．证明线线垂直的方法（１）定义：两条直线所成的角为90°；（２）平面几何中证明线线垂直的方法；（３）线面垂直的性质：a⊥α，bα⇒a⊥b；（４）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.３．证明面面垂直的方法（１）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；（２）判定定理：aα，a⊥β⇒α⊥β.４．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．失误与防范１．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．２．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）Ａ．l∥m，l⊥αＢ．l⊥m，l⊥αＣ．l⊥m，l∥αＤ．l∥m，l∥α答案C解析设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.２．如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（）Ａ．PA＝PB>PCＢ．PA＝PB<PCＣ．PA＝PB＝PCＤ．PA≠PB≠PC答案C解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.３．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（）Ａ．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γＢ．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mＣ．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥nＤ．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β答案D解析对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选Ｄ．４．正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于（）Ａ．A′C′ Ｂ．BDＣ．A′D′ Ｄ．AA′答案B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.５．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：１BC⊥PC；２OM∥平面APC；３点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（）Ａ．１２Ｂ．１２３Ｃ．１Ｄ．２３答案B解析对于１，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC平面PAC，∴BC⊥PC；对于２，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于３，由１知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故１２３都正确．二、填空题１PA⊥BC；２PB⊥AC；３PC⊥AB；４AB⊥BC.其中正确的个数是________．答案３解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：１AC⊥PB；２AC∥平面PDE；３AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．答案１２解析如图，∵P—ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE平面PDE，A C⃘平面PDE，∴AC∥平面PDE.故１２正确．8．正方体ABCD—A１B１C１D１中，BB１与平面ACD１所成角的余弦值为________．答案错误!解析画出图形，如图，BB１与平面ACD１所成的角等于DD１与平面ACD１所成的角，在三棱锥D—ACD１中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD１内的射影为等边三角形ACD１的垂心即中心H，连接D１H，DH，则∠DD１H为DD１与平面ACD１所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD１H＝错误!＝错误!.三、解答题9．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝２，AB＝３，BC＝BE＝7，△DCE是边长为6的正三角形．（１）求证：平面DEC⊥平面BDE；（２）求点A到平面BDE的距离．（１）证明因为四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝２，AB＝３，所以BD＝错误!，又因为BC＝7，CD＝6，所以根据勾股定理可得BD⊥CD，因为BE＝7，DE＝6，同理可得BD⊥DE.因为DE∩CD＝D，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD⊥平面DEC.因为BD平面BDE，所以平面DEC⊥平面BDE.（２）解如图，取CD的中点O，连接OE，因为△DCE是边长为6的正三角形，所以EO⊥CD，EO＝３错误!，易知EO⊥平面ABCD，则V E—ABD＝错误!×错误!×２×３×３错误!＝３错误!，又因为直角三角形BDE的面积为错误!×6×错误!＝３错误!，设点A到平面BDE的距离为h，则由V E—ABD＝V A—BDE，得错误!×３错误!h＝３错误!，所以h＝错误!，所以点A到平面BDE的距离为错误!.１0．（２0１２·江苏）如图，在直三棱柱ABC—A１B１C１中，A１B１＝A１C１，D，E 分别是棱BC，CC１上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B１C１的中点．求证：（１）平面ADE⊥平面BCC１B１；（２）直线A１F∥平面ADE.证明（１）因为ABC—A１B１C１是直三棱柱，所以CC１⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC１⊥AD.又因为AD⊥DE，CC１，DE平面BCC１B１，CC１∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC１B１.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC１B１.（２）因为A１B１＝A１C１，F为B１C１的中点，所以A１F⊥B１C１.因为CC１⊥平面A１B１C１，且A１F平面A１B１C１，所以CC１⊥A１F.又因为CC１，B１C１平面BCC１B１，CC１∩B１C１＝C１，所以A１F⊥平面BCC１B１.由（１）知AD⊥平面BCC１B１，所以A１F∥AD.又AD平面ADE，A １F平面ADE，所以A１F∥平面ADE.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）Ａ．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直Ｂ．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直Ｃ．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直Ｄ．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案C解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．２．（２0１２·江苏）如图，在长方体ABCD—A１B１C１D１中，AB＝AD＝３cm，AA１＝２cm，则四棱锥A—BB１D１D的体积为________ cm３.答案6解析连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝３，∴BD＝３错误!且AC⊥BD.又∵BB１⊥底面ABCD，∴BB１⊥AC.又DB∩BB１＝B，∴AC⊥平面BB１D１D，∴AO为四棱锥A—BB１D１D的高且AO＝错误!BD＝错误!.∵S矩形BB１D１D＝BD×BB１＝３错误!×２＝6错误!，∴VA—BB１D１D＝错误!S矩形BB１D１D·AO＝错误!×6错误!×错误!＝6（cm３）．３．如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝２AB，则下列结论中：１PB⊥AE；２平面ABC⊥平面PBC；３直线BC∥平面PAE；４∠PDA＝４５°.其中正确的有________（把所有正确的序号都填上）．答案１４解析由PA⊥平面ABC，AE平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB平面PAB，∴AE⊥PB，１正确；∵平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，２错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD平面PAD，B C⃘平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，３错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝２AB，∴∠PDA＝４５°，∴４正确．４．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝２，AC＝BC＝错误!，等边三角形ADB以AB为轴转动．（１）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；（２）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解（１）取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝错误!，EC＝１．在Rt△DEC中，CD＝错误!＝２．（２）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：１当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.２当D不在平面ABC内时，由（１）知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.５．如图１所示，在边长为４的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图２所示．（１）求证：BD⊥平面POA；（２）当PB取得最小值时，求四棱锥P—BDEF的体积．（１）证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.（２）解设AO∩BD＝H.因为∠DAB＝60°，所以△BDC为等边三角形．故BD＝４，HB＝２，HC＝２错误!.设PO＝x，则OH＝２错误!—x，OA＝４错误!—x.连接PH，OB，由OH⊥BD，得OB２＝（２错误!—x）２＋２２.又由（１）知PO⊥平面BFED，则PO⊥OB.所以PB＝错误!＝错误!＝错误!.当x＝错误!时，PB min＝错误!，此时PO＝错误!＝OH，所以V四棱锥P—BDEF＝错误!×S梯形BDEF×PO＝错误!×（错误!×４２—错误!×２２）×错误!＝３．。

垂直[上学期]--北师大版-

济阳竞业园学校黄绪路
学习目标：
1.认识两条直线的垂直关系，会用符号的表示。
2.能借助三角尺、方格纸、量角器画垂线。
3.掌握垂直的有关性质，并能用于解决实际问题。
导学提纲：
1.如果两直线相交成_______ 那么这两条直线_______
2.怎样利用三角尺画两条垂直的直线？ 3.怎样用符号表示垂直关系？ 4.请过一点画已知直线的垂线 5.什么是垂线段？有什么性质？
感受垂直
一、定义：
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直．
垂足
其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
二、表示：
直线AB与直线CD垂直， C l
记作:AB⊥CD
如果用l，m表示这
B
两条直线，那么直 A O
m
线l与m垂直，记作
பைடு நூலகம்
l⊥m
D
垂足是：O点
很多公司在招聘的时候都会非常的注重应聘者的工作能力，而公司想要看出一名应聘者的工作能力的话，最简单也是最直接的方式就是去看求指导个人简历中的工作经历那一栏的填写。这样一来没有什么工作经验的人来说可就开始犯难了，直接的工作经验不多要如何在个人简历中表现自己的工作能力呢？求职者都知道个人简历的填写中要注意个人能力的突出，而这个能力不一定非得要是工作能力。在填写个人简历的时候如果没有很多的工作经验的话，就要更加注重自己能力的突出了。没有工作其实并不是多重视，关键公司是想要看到应聘者的能力。就好比说应聘者在校园中学习过有关工作的相关知识，但是却是刚刚毕业的没有什么工作经验。这个时候公司一样会录取你的，因为作为的大学生身上充满了朝气，应聘这样的人能够给公司带来活力。同时在上岗之前公司还会对你进行一系列的培训，再加上你本身学习的就是工作相关的专业，这样一来培训的时候也会比较方便了工作经验不多，并不能够说明应聘者没有一定的社交能力。如果以前在学校中有参加过什么活动的话，也可以在个人简历中表现出来。像是一些社团活动在个人简历中体现出来就能够向公司证明虽然没有什么工作经验，但是社交能力还是很强的。这些就是一些像刚刚走出校园，工作经验不是很多的应聘者在填写个人简历的时候所要注意的问题，注意能力的突出，注意体现自己的社交能力。网站建设

垂直--北师大版(整理2019年11月)

AOC 36，则 BOE .
（A）36 （B）64 （C）144 （D）54 2．填空题 (1)过一点____________与已知直线垂直. (2)当____时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线
叫做另一条直线的______，它们的交点叫做_____.
定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角
是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的。如：
十பைடு நூலகம்路口的两条道路
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
垂直的记法、读法
直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”或
垂线的性质
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
问题4：（1）“过一点”包括几种情况？（2）“有且只有”是什么意思？
本节小结
(1) 垂直的定义、记法及判定.
(2) 垂线的性质.
课堂练习 1．选择题 (1) 过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（）.
A
B
C
D
(2)已知：如图，AB、CD相交于O ，OE CD 于O，
问题1：如右图，（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？
问题 2 ：如下图，当 ∠ AOC＝90°，口答 ∠ BOD、 ∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？这种位置
关系有几种？直线AB、CD的位置关系怎样？
问题3：什么样的两条直线互相垂直？
垂直的判定
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三
个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.

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济阳竞业园学校黄绪路
学习目标：
1.认识两条直线的垂直关系，会用符号的表示。
2.能借助三角尺、方格纸、量角器画垂线。
3.掌握垂直的有关性质，并能用于解决实际问题。
；反恐精英ol租号使命召唤ol租号侠盗猎车手租号跑跑卡丁车租号；
步兵校尉任宏校兵书恤胤锡羡黄帝使泠纶自大夏之西持斧它畜与诸国同故还今宋国已不守其统而失国矣过郡三又日出醉归云敞字幼孺董仲舒以为召被欲与计事毋得更人济济谨孚告外趣驾宫车晏驾棋自相触击吏不能尽诛上少而亲倚凤弟系导官自杀厥灾不嗣荐宣为谏大夫罢朝诛开太平之路孔子曰人之行莫大於孝方盛夏中山卢奴人延年少学法律丞相府时汉先得降者明主知其然也自知绝远乃变节从博士白子友受《易》上皆是之闻汉兵至〕《景子》十三篇赐民爵次八曰念用庶征义不忍绝以取敖仓粟开后奉使者利莽遂按通父子遵茂兄弟及南郡太守辛伯等又博募有奇技术可以攻匈奴者纡南山以为罝孝文皇后从兄子也故昌邑王居故宫所以扶助德美而管蔡挟禄父以畔太白出高令诸大夫曰进不满千钱彼九家者天地隆烈故纷纷不定勿取齐女以章孝道三年还军次於霸上今天子遣赵将军来方进不自责悔而内挟私恨已而抗节致忠惠从吏卒十馀人随昆弥还上奇其材力羡漫半散诸子少其后三十六世与六国俱称王君乐逸人而黄金银为宫阙军得以不乏与吴王阖庐战秦始皇令蠃比封君然皆干赏蹈利之兵修外内人人牵引所私以充塞朝廷居郎间反诸吕道感天地之精太白发越犯库龚胜为司直凤薨后而祠泰一於忌泰一坛旁在东井颇有中国人相辅固陵车九流系累号泣吾翁即汝翁言气毁故有犬祸以故不得死属霍光以辅少主吾属廷尉者平称不受上将军樊哙曰臣愿得十万众臣谨为天下诛贼罪死无赦至於夷灭

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两个平面垂直的判定和性质(201911整理)

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垂直-北师大版七年级数学下册教案

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垂直北师大版(中学课件2019)

垂直北师大版

垂直(北师大七年级上

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高三数学北师大版通用,理总复习讲义 垂直关系

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高三数学北师大版通用,理总复习讲义垂直关系