质点动力学基本定律
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
动力学基本定律（牛顿定律）
1.第⼀定律——惯性定律
任何质点如不受⼒的作⽤，则将保持静⽌或匀速直线运动状态。
这个定律表明了任何质点都有保持静⽌或匀速直线运动状态的属性。
这种属性称为该质点的惯性。
所以第⼀定律叫做惯性定律。
⽽质点作匀速直线运动称为惯性运动。
由惯性定律可知.如果质点的运动状态(静⽌或匀速直线状态)发⽣改变，即有了加速度，则质点上必受到⼒的作⽤。
因此，⼒是物体运动状态改变的原因。
2.第⼆定律——⼒与加速度的关系定律
质点受⼀⼒F作⽤时所获得的加速度a的⼤⼩与⼒F的⼤⼩成正⽐，⽽与质点的质量成反⽐;加速度的⽅向与作⽤⼒⽅向相同，即
ma=F (4-3-1)
如果质点同时受⼏个⼒的作⽤，则上式中的F应理解为这些⼒的合⼒,⽽a应理解为这些⼒共同作⽤下的质点的加速度，这样式(4—3—1)可写为
ma=ΣFi (4-3-2)
式(4—3—1)或式4—3—2)称为质点动⼒学基本⽅程。
3.第三定律——作⽤与反作⽤定律
两质点相互作⽤的⼒总是⼤⼩相等，⽅向相反，沿同⼀直线，并分别作⽤在两质点上。
这些定律是古典⼒学的基础，它们不仅只适⽤于惯性坐标系，且只适⽤于研究速度远少于光速的宏观物体。
由于⼀般⼯程问题中，⼤多问题都属于上述的适⽤范围，因此以基本定律为基础的古典⼒学在近代⼯程技术中仍占有很重要的地位。
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
大学物理第二章习题质点力学的基本规律 守恒定律
基本要求
掌握经典力学的基本原理及会应用其分析和处理质点动力学问题，理 解力学量的单位和量纲。掌握动量、冲量、动量定理，动量守恒定律。并 能分析和计算二维平面简单力学问题。理解惯性系概念及经典力学的基本 原理的适用范围。掌握功与功率、动能、势能（重力势能、弹性势能、引 力势能）概念，动能定理、功能原理、机械能守恒定律。
教学基本内容、基本公式
1.牛顿定律
解牛顿定律的问题可分为两类： 第一类是已知质点的运动，求作用于质点的力； 第二类是已知作用于质点的力，求质点的运动.
2.基本定理 动量定理
动能定理
I
t2 t1
F (t )dt
mv
mv0
A12
2
F
(r)
dr
1
1 2
mv
2 2
1 2
解：根据牛顿第二定律
f
k x2
m dv dt
m dv d x dx dt
mv
dv dx
k x2
mv
dv dx
v
dv
k
dx mx2
v
v
0
dv
A/4
A
k mx2
d
x
1v2 k (4 1) 3 k 2 m A A mA
另解：根据动能定理
v 6k /(mA)
(2)写出初末态系统的动量
t 时刻水平方向动量
dm m
t+dt时刻水平方向动量
O
x
(3)求出系统水平方向动量的增量
理论力学知识总结
学生整理，时间有限，水平有限，仅供参考，如有纰漏，请以老师、课本为主。
第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。
动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。
即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。
牛顿力学质点运动的基本规律
牛顿力学质点运动的基本规律质点运动是牛顿力学中研究的基本问题之一，通过对质点的运动进行研究，我们可以揭示出牛顿力学的基本规律。
本文将探讨质点运动的基本规律，并结合实例说明。
运动一：匀速直线运动匀速直线运动是质点运动中最简单的一种情况。
在匀速直线运动中，质点在直线上以恒定的速度进行运动，不受外力的作用。
根据牛顿力学的第一定律，一个物体如果受力为零，则它的运动状态将保持不变，即匀速直线运动。
例如，一辆以恒定速度行驶的汽车就是一个典型的匀速直线运动的例子。
假设一辆汽车以每小时60公里的速度向前行驶，那么它在一个小时内将行驶60公里的直线距离。
在这个过程中，汽车的速度保持不变，且没有外力对汽车进行作用。
运动二：加速直线运动加速直线运动是质点运动中另一种常见情况。
在加速直线运动中，质点在直线上的速度会发生变化，加速度是对速度变化的度量。
根据牛顿力学的第二定律，一个物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
例如，一个物体沿着直线运动，受到一定大小的拉力作用。
根据牛顿第二定律F=ma，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
如果力的大小保持不变，物体的加速度将随质量的减小而增大。
因此，在相同大小的作用力下，质量较小的物体将具有更大的加速度。
运动三：自由落体运动自由落体是质点运动中常见的一种形式，它是指只受重力作用的运动。
在自由落体运动中，质点在重力的作用下，沿着竖直方向做加速度的运动。
根据牛顿力学的第二定律，物体受到的重力F=mg，其中m为物体的质量，g为重力加速度。
根据重力加速度的定义g=9.8m/s²，可以计算出物体在自由落体过程中的加速度。
例如，一个物体从高处自由落下，受到的作用力只有重力。
根据牛顿第二定律F=ma，可以得到物体的加速度a=F/m=mg/m=g。
因此，在自由落体过程中，物体的加速度恒定为g，与物体的质量无关。
综上所述，牛顿力学质点运动的基本规律涉及到匀速直线运动、加速直线运动和自由落体运动。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学的相关概念
质点的动量定理：质点在运动过程中，所受合外力在给定时间内的冲量等于质点在此时间内动量的增量。
质点系的动量定理：在一段时间内，作用于质点系的外力的矢量和的冲量等于质点系总动量的增量。
动量守恒定律：当系统不受合外力或受合外力的矢量和为零时，系统的总动量不变，即恒矢量==0p p 以及力与位移、力作用点位移的大小等于力的大小功：力对物体所做的功s F , 的乘积。
之间夹角余弦θcos当n 个力同时作用于质点上时，这些力在某一过程中分别对质点做功的代数和，等于这n 个力的合力在同一过程中对质点所做的功。
即n F F F F +++= 21 ， ⎰∙=BL A dr F W )(功率：力在单位时间内所做的功瞬时功率：瞬时功率等于力在速度方向上的投影和速度大小的乘积，或者说瞬时功率等于力矢量与速度矢量的标量。
重力弹性力 非保守力：摩擦力万有引力质点的动能定理：合外力对质点所做的功，等于质点动能的增量。
动能反应了运动物体的做功本领。
质点系动能定理：作用于质点系的合力所做的功，等于质点系的动能增量。
（合力是指内力+外力）（质点系的动量定理中的合外力是指物体所受的外力，不包括内力）质点系的动能增量，等于作用于质点系各质点的外力和内力做功之和。
即∑∑∑+=外内W W W i i质点系内所有内力做功之和并不一定为零，因此可以改变系统的总动能。
质点系的功能原理：外力和非保守力所做功之和等于质点系机械能的增量。
E E E E E E E W p k p k p k ∆=+∆=+-+=+∑∑)()(W 1122）（非保内外质点系的机械能守恒定律：仅当外力和非保守内力都不做功或其元功的代数和为零时，质点系内各质点间动能和势能可以相互转化，但它们的总和（即总机械能）保持不变。
机械能守恒定律只适用于惯性参考系，并且物体的位移、速度必须相对同一惯性参考系。
能量守恒定律：对于一个封闭性系统来说，系统内的各种形式的能量可以相互转换，也可以从系统的一部分转移到另一部分，但无论发生任何变换，能量既不能产生也不能消失，能量的总和是一个常量。
质点动力学的基本定律
称为静摩擦系数,它与两物体接触面的材料性质、粗糙
Ff FN
程度、干湿情况等因素有关,通常由实验测定. 滑动摩擦力 物体有相对运动,滑动摩擦力与正压力成正比.
μ称为滑动摩擦系数,通常比静摩擦系数稍小一些,计算时一 般可不加区别,近似地认为μ＝μ′. 黏性阻力 固体在流体(液体、气体等)中运动,或流体内部的 各部分之间存在相对运动时,流体与固体之间或流体内部相 互之间也存在着另一种摩擦力. 第13页 共20页
R2
g 9.78030 (1 0.0053025 sin 0.000007 sin 2 )m s
2 2
-2
g的标准值: 9.80665 ms2 . 上海地区为9.7940 ms2 .
第9页 共20页
2.2.3 弹性力 物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力称为弹性力.
m1
r
F2
m2
万有引力常量: G 6.6730 1011 N m2 kg 2 1.万有引力定律中引入的物体质量称为引力质量.
2.适用于描述质点之间的万有引力.
第8页 共20页
2.2.2 重力场 重力 地球表面附近的引力场称重力场. 把地球近似为质量均 匀分布的球体, 则地面上一个质量为m的物体与地球间万 有引力大小为 Mm F G 2 R 由牛顿第二定律, 重力为 W=mg W F g GM 两个结论： (1) g的数值与物体本身的质量无关. (2) g的数值随着离开地面高度增加而减小. 地球表面各处的g值有明显差异. g与纬度 经验公式:
2.2.1 万有引力 引力场 宇宙中的一切物体都在相互吸引着. 万有引力是自然界 的基本力之一.
有万有引力的空间内存在一种物质, 称为引力场. 物体间 (万有)引力相互作用通过引力场传递. 粒子物理学认为引 力相互作用通过引力子传递.
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结基本概念：质点：具有质量但没有体积和形状的物体模型。
力：质点动力学研究的核心内容，包括恒力、变力和约束力。
运动方程：描述质点在外力作用下的运动规律的基本方程。
动量：描述质点运动状态的重要物理量，等于质点的质量乘以速度。
动能：描述质点运动状态的另一个重要物理量，等于质点的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
势能：描述质点在外力场中的势能状态的物理量，势能的大小与质点所处位置有关。
角动量和角动量定理：与质点的旋转运动相关的物理量和定理。
基本理论：牛顿运动定律：描述了质点在作用力作用下运动的规律，即F=ma，其中F表示合外力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
动量定理：通过动量的概念揭示了力与运动之间的内在联系，即合外力的冲量等于物体动量的变化量，表达式为Ft=mV-mv。
动能定理：引入动能的概念，建立了力学与能量之间的关系，即合外力做的功等于物体的动能的改变量，表达式为W=1/2mV^2-1/2mv^2。
分析方法：矢量方法：利用矢量运算符对问题进行矢量分析。
微分方程方法：将运动方程化为微分方程，然后求解微分方程获得运动规律。
能量方法：利用能量守恒定律等能量原理分析运动问题。
实际应用：军事方面：应用在导弹、卫星、航天器和飞机等领域，研究其受力情况和运动规律，从而提高军事制式的效率和效果。
经济方面：应用在金融市场和交通运输领域，分析市场变化和流动性，以及货运运输的效益和优化策略。
社会方面：研究城市交通拥堵问题、人口迁移以及城市规律，以提高城市的运作效率和质量。
总的来说，质点动力学涉及到质点的运动规律、动量、动能、势能等基本物理量的研究，以及相关的理论和实际应用。
通过学习和掌握质点动力学的知识，可以更好地理解物体在外力作用下的运动规律，以及如何利用这些规律解决实际问题。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
§1.7 质点动力学的基本定理和守恒定律
§1、7质点动力学基本定理和守恒定律已讨论，通过求解⇒=a m F可得运动规律，这是研究质点动力学的基本方法！存在问题：由于F形式复杂，求解十分困难；有时并不需要全部解。
⇒关于质点动力学的其他研究及求解方法⇒质点动力学基本定理一、动量定理（theorem of momentum ）及动量守恒定律vm P= Fv m dtd P==)( 动量定理具有普遍性 （1）牛二律原始形式 （2）相对论中亦适用dtF P d = 微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse ）=-=-1212v m v m P P ⎰21t t dtF 积分形式 力对时间的积累若 0=F 则c v m P==（恒矢量）⇒动量守恒；若 0≠F但0=x F 则1c mv x = 二、动量矩定理（theorem of moment of momentum ）及守恒定律1、力矩（torque of force ）力F对O 点的矩)()()(x y z x y z zyx yF xF k xF zF j zF yF i F F F z y xkj iF r M -+-+-==⨯=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=xy zz x y y z x yF xF M xF zF MzF yF M2、动量矩（moment of momentum ）（角动量 angular momentum ） 对O点 =⨯=v m r J)()()(x y y x m k z x x z m j y z zy m i zm ym xm z y x k j i-+-+-= ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=)(()(x y y x m J z x xz m J y z zy m J zy x 3、动量矩定理Fr m = Fr r r m ⨯=⨯ =⨯-⨯=⨯r r r r dt dr r)()(v r dtd ⨯∴=⨯)(v m r dt d F r⨯ 动量矩定理M dtJ d= dt M J d = MJ d⎰⎰=若 0=⨯=F r M则 =⨯=v m r Jc P r=⨯（恒矢量） ⇒动量矩守恒虽 0≠⨯=F r M但 0=xM则1c J x =注意 若 0=⨯=F r M则 =J c（恒矢量） Jr⊥ r ∴必定始终处于与c向垂直的平面内，即质点作平面曲线运动，有心运动即为一例，见59p 例题三、动能定理与机械能守恒定律质点受力F 作用，⎰⋅=r d F W，质点速度v随时间而变化，与速度有关的能量发生变化！F vm r m == dtv r d = r d F dt v v m ⋅=⋅ r d F v d v m dt v dtv d m ⋅=⋅=⋅ r d F mv d ⋅=)21(2 〖2v v v =⋅ 2)(dv v v d =⋅ 22dv v d v =⋅ 221(mv d v d v m =⋅ 〗质点动能的微分等于力F对质点做的元功⇒动能定理（微分形式）令质点在0r 处速度为0v ，在r 处速度为v ，则r r⇒0时间内 ⎰⎰++=⋅=-rr zy x z y x z y x dzF dy F dx F r d F mv mv 000,,,,222121 动能定理的积分形式if F 为保守力，V F -∇=则 []⎰⎰⎰--=-=⋅∇-=⋅∇-=-rr r r r r z y x V z y x V dV r d V r d V mv mv),,(),,(212100022=),,(),,(000z y x V z y x V - 即 ),,(21),,(21000202z y x V mv z y x V mv +=+ E V T =+ 机械能守恒※能量转化与守恒定律 物理学基本原理 宇宙的基本定律 ※三个守恒定律为运动方程的初积分（第一积分）c t z y x z y x =);,,;,,( ϕ 为时间t 的一阶微分方程 如E V T =+ 能量积分四、势能曲线例 一维守恒力（保守力） 势垒 势阱 对于一维守恒力（保守力）E x V mv =+)(212 )]([2x V E mx-±=（1）1x x 〈区域 V E 〈 经典禁区 （2）21x x x 〈〈 区域内振动运动 （3）32x x x 〈〈 V E 〈 经典禁区 （4）3x x 〉 区域内 任意点 经典力学 只有V E 〉时质点可越过势垒量子力学 隧道效应。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
动力学的基本定律质点系统的动量守恒与动能守恒
动力学的基本定律质点系统的动量守恒与动能守恒动力学的基本定律：质点系统的动量守恒与动能守恒动力学是研究物体运动的力学分支，通过运用基本定律来描述和解释物体运动的规律。
在动力学中，有两个重要的定律，即动量守恒定律和动能守恒定律。
本文将详细介绍这两个定律以及它们在质点系统中的应用。
一、动量守恒定律动量是物体运动的重要属性，定义为物体的质量乘以其速度。
动量守恒定律表明，在没有外力作用的情况下，质点的动量保持不变。
具体而言，对于一个孤立系统（也称为自由系统），质点在相互作用力的作用下，其动量的代数和保持不变。
这意味着在系统内发生的各种碰撞和相互作用过程中，质点的总动量始终保持不变。
动量守恒定律可以用数学表达式表示为：∑m1v1 = ∑m2v2其中，m1和m2分别是碰撞或相互作用前后各个质点的质量，v1和v2分别是其对应的速度。
通过使用动量守恒定律，可以推导出各种碰撞类型（如弹性碰撞和非弹性碰撞）的动量守恒方程式。
二、动能守恒定律动能是物体运动的能量形式，定义为物体的质量乘以速度的平方的一半。
动能守恒定律表明，在没有非弹性碰撞和其他形式的能量转化的情况下，质点的总动能保持不变。
同样地，对于一个孤立系统，质点在相互作用力的作用下，其总动能保持不变。
这意味着在碰撞和相互作用中，质点的动能可以从一个物体转移到另一个物体，但是系统的总动能保持不变。
动能守恒定律可以用数学表达式表示为：∑(1/2)mv1^2 = ∑(1/2)mv2^2其中，m为质点的质量，v1和v2为其相应的速度。
通过使用动能守恒定律，我们可以推导出各种碰撞类型（如完全弹性碰撞和部分非弹性碰撞）的动能守恒方程式。
三、质点系统中的定律应用在质点系统中，动量守恒定律和动能守恒定律都可以用来解释和描述质点之间的相互作用。
比如，在多个质点组成的系统中，当发生碰撞或相互作用时，动量守恒定律可以帮助我们计算各个质点的速度变化。
例如，考虑两个质点A和B之间的弹性碰撞。
动力学的质点
动力学的质点动力学是研究物体运动规律和受力情况的学科，而质点是动力学中研究对象的一种抽象。
质点假设为没有大小、形状和内部结构的物体，只具有质量和位置属性。
本文将深入探讨动力学的质点理论，从基本概念、牛顿力学及其应用等方面进行讨论。
一、基本概念动力学的质点理论中有一些基本概念需要清楚理解。
首先是质点的质量和位置。
质点的质量是指其固有的物质量，通常用符号m表示。
位置是指质点在空间中的位置坐标，通常用符号r表示。
力是质点运动的原因，它改变质点的运动状态。
动力学的基本定律是牛顿第二定律，它描述了质点在力作用下的加速度与所受力的关系，即F=ma，其中F是质点受到的力，a是质点的加速度。
二、牛顿力学牛顿力学是经典力学的重要分支，它涉及了动力学的质点理论。
牛顿力学研究的对象是宏观物体，质点是宏观物体的抽象，通过分析质点的运动状态可以推导出宏观物体的运动规律。
牛顿力学的三大定律是质点运动的基本原理。
1. 牛顿第一定律（惯性定律）：一个物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
这意味着质点在受力为零时，速度将保持不变。
2. 牛顿第二定律（运动定律）：质点的加速度与作用在它上面的力成正比，与质点的质量成反比。
这条定律可用公式F=ma表示。
3. 牛顿第三定律（作用与反作用定律）：任何一个力的作用都会有一个与之大小相等、方向相反的力作用在另一个物体上。
三、应用领域动力学的质点理论在工程、天文学、生物学等领域有着广泛的应用。
以下是其中几个应用领域的简要介绍。
1. 空间工程：通过动力学的质点理论，可以对航天器在宇宙中的运动轨迹进行分析和计算，从而确定航天器的轨道和姿态控制。
2. 汽车工程：动力学的质点理论可以应用于汽车的运动学和动力学分析，包括汽车的加速度、速度和位移等参数的计算。
3. 生物力学：生物力学研究生物体的力学特性和运动方式，动力学的质点理论在分析人体运动和身体力学方面具有重要作用。
4. 天体力学：天体力学是研究天体运动和相互作用的学科，动力学的质点理论在行星运动、日食月食等天文现象的预测和解释中发挥着关键作用。
大学物理-质点动力学学
质量为10千克的物体静止于地面上，受x轴方向水平拉力F的作用 ，沿x轴方向作直线运动，力F与时间的关系如图所示，设物体与 地面的摩擦系数为0.2。在t = 4秒时的速度大小___________，在t = 7秒时的速度大小_______________。
F(N)
30
t (s) 0 4 图 2-29 7
A F dr
0
2R
F0 x d x
0
F0 y d y 2 F0 R
0
2
注意：
① 功是标量(代数量) A> 0 力对物体做正功
A<0
A=0
力对物体做负功
力作用点无位移或者力与位移相互垂直
② 当质点受几个力作用时，其合力的功为
A
b
a
F合 d r
b
例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初 速度为v0 ，物体受到的空气阻力数值与 解题步骤： 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求 (1) 确定研究对象。隔离 物体升到最高点所需的时间及上升的最 体法。 大高度。 (2) 受力分析，画示力图。 解：建立如图所示的坐标系 x (3) 建立坐标系。 物体上升过程中受力分析如下： (4) 对各隔离体建立牛顿 重力： m g 阻力： f 运动方程(矢量式——分 m g 物体所受的合外力为 量式) 。 o f F mg f mg kv (5) 解方程。进行文字运 算，然后代入数据求解。 (1) 根据牛顿第二定律可得
2、非惯性系
t t
S系 x, y , z , t
2. 伽利略速度变换 正变换：
u u x v x u u y y u u z z
a a x x a a y y a a z z
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动力学基本定律
• 质点的动量定理 当作用时间为t1→t2 , 合外力的冲量为
同济大学物理系 倪忠强
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什么因素影响质点运动状态的改变？
• 亚里士多德的观点 ——力是维持物体运动的原因。
• 伽利略的思想实验证实 —— 维持运动状态无需力 与物体本身性质有关 与物体相互作用有关
NIZQ 第2页
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动力学基本定律
§2-1 牛顿定律
2-1-1 牛顿定律 1686 年 , 牛顿在他的《自然 哲学的数学原理》一书中发 表了牛顿运动三定律.
引力 重力
把地球近似为质量均匀分布的球体, 则地面上一个质量 为m的物体与地球间万有引力大小为 Mm F =G 2 R GM 由牛顿第二定律, 重力为 W=mg QW = F ∴ g = 2 (1) g的数值与物体本身的质量无关. (2) g的数值随着离开地面高度增加而减小.
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R
• 弹性力 物体因形变而产生欲使其恢复原来形状的力称为弹性力.
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d ( mv ) 提绳过程中, m为变量. F − λyg = dt F − λyg = λya + λv 2
依题意, 绳作匀加速直线运动, 故
m = λy
v = 2ay
2
得 : F = λ y ( 3a + g ) 得: F = λ ( v + yg )
2
y
λyg
(2) v 恒定, a=0, 故
v v 式中 Fdt表示力 F在时间 dt内的累积量 , 称为时间 dt 内质点所受合外力的冲 量, 即
v v v d(mv ) dp F= = dt dt
v v Fdt = dp
v v I = Fdt
(N ⋅ s)
描写了力对时间的积累作用. 运动员在投掷标枪时, 伸直手臂, 尽 可 能 的 延 长 手对 标 枪 的作用 时 间 , 以 提高标枪出手时的速度.
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动力学基本定律
• 牛顿第一定律(惯性定律) 牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中写道: 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态, 直到受到 力的作用迫使它改变这种状态为止. 数学形式: v v v = 恒矢量 ， F = 0 惯性: 任何物体保持其运动状态不变的性质.
NIZQ 第4页
F − λyg = λv 2
NIZQ 第17页
例题3. 一根匀质绳子, 其单位长度上的质量为λ, 盘绕在一 张光滑的水平桌面上. (3) 以一恒定的力F竖直向上提绳, 当 提起高度为y时, 绳端的速度v为多少? 解: (3) F − λyg = λya + λv 2 将该式变换为v~y函数. F 2
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动力学基本定律
例题1. 已知: F = 150 N l = 4 m a = 0.2 m ⋅ s -2 m = 2 kg 求: 距顶端为x米处绳中的张力. 解: 对绳用牛顿第二定律
F F
mx g
F − Tx − mx g = mx a (1)
m mx = x l (2)
a
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dv dv d y dv 1 dv a= = =v = d t d y dt d y 2 dy
代入上式, 并两边乘2y, 整理后有
2 d v F 2 2 2 yv + y = 2 y − 2 gy 2 λ dy F 2 2 2 2 2 yv dy + y dv = 2 ydy − 2 gy dy λ F 2 2 3 2 2 y v = y - gy + C 由初始条件, 得 v = λ 3
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动力学基本定律
常见的弹性力:1.弹簧被拉伸或压缩时产生的弹性力;2.物 体间相互挤压引起的弹性力;3.绳索被拉紧时产生的张力等. 1. 弹簧的弹性力
v F
o
虎克定律: 在弹性限度内,弹性力的大小与弹簧的伸长量 成正比,方向指向平衡位置.
xA
xB
x
r r F = − kx
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2. 物体间相互挤压而引起的弹性力
得 v = 2rg cos ϕ
v 2g cosϕ ⇒ ω= = r r
代入②式得
2
A
r
O
ϕ
B
C
v FN = mg cos ϕ + m = 3mg cos ϕ r
v n
v FN
D
r τ
小球对圆弧的作用力为
′ = − FN = −3mg cos ϕ FN
v ′ FN与 n 方向相反
ϕ v mg
v v
NIZQ 第16页
质量不变时,
r r F = ma
Fx = ma x Fy = ma y Fz = ma z
1. 质点动力学基本方程. v 2. F 是合外力. 3. 加速度与合外力同向. 4. 反映瞬时关系. 5. 适用于惯性参考系. 6. 是矢量式.
dv Fτ = maτ = m dt 2 v Fn = man = m r
m1 g + m1a − T = m1a r
T − m2 g − m2 a = m2 ar
(1)
(2)
v ar
m1
T
T
(m1 − m2 ) ⋅ ( g + a) ar = m1 + m2 2m1m2 T= ( g + a) m1 + m2
m2
m1a m2a m1 g m2 g
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例题3. 一根匀质绳子, 其单位长度上的质量为λ, 盘绕在一 张光滑的水平桌面上. (1) 设t=0时, y=0, v=0. 今以一恒定的 加速度a竖直向上提绳, 当提起高度为y时, 作用在绳端的力 为多少? (2) 以一恒定的速度v竖直向上提绳, 当提起高度为 y时, 作用在绳端的力又是多少? F 解: (1) 建立坐标, 受力分析如图
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动力学基本定律
11.2 km/s 7.9 km/s
m1m2 F1 = F2 = G 2 r
G = 6.6730 ×10−11 N ⋅m 2 ⋅ kg −2
v F1
m1
rv
F2
m2
宇宙中的一切物体都在相互吸引着. 万有引力是自然界 的基本力之一.
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动力学基本定律
1.万有引力定律中引入的物体质量称为引力质量. 2.适用于描述质点之间的万有引力. 重力: 是 地球对 物体 万 有 引 力的一 个 分力, 另一分力为物体随地球绕地轴转 动提供的向心力.
NIZQ 第19页
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动力学基本定律
为了在非惯性系中应用牛顿定律, 引入了惯性力． Fi T W 惯性力大小: 惯性力方向:
v a0
运动质点的质量 m 与 非 惯性 系加 速 度 a0 的乘积. 与非惯性系加速度的方向相反.
v v Fi = −ma0
在非惯性系中, 牛顿运动定律表示为:
v v v F + Fi = ma
NIZQ 第20页
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动力学基本定律
说明: • 惯性力没有施力者, 不存在“力是物体之间的相互作用”这 一特性. • 惯性力和真实力有区别的. 注意不要混淆:
F = ma Fi = −ma0
牛顿第二定律的表达式. 惯性力的定义式. 负号表示其方向与 非惯性系的加速度方向相反.
• 惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现.
Fmax = µ ′FN
µ ′ 称为静摩擦系数,它与两物体接触面的材料性质、粗糙
程度、干湿情况等因素有关,通常由实验测定. 滑动摩擦力 物体有相对运动, 滑动摩擦力与正压力成正比.
F f = µ FN
μ称为滑动摩擦系数, 通常比静摩擦系数稍小一些, 计算时 一般可不加区别, 近似地认为μ＝μ′.
NIZQ 第13页
v v v F + (−ma0 ) = ma
NIZQ 第21页
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动力学基本定律
非惯性系
电梯的失重和超重
太空舱的失重现象
NIZQ 第22页
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动力学基本定律
例题 4. 升降电梯相对于地面以加速度a沿铅直向上运动.电 梯中有一轻滑轮绕一轻绳,绳两端悬挂质量分别为m1和m2的 重物(m1 > m2 ). 求: (1) 物体相对于电梯的加速度; (2) 绳子 v 的张力. a 解: 设所求加速度为ar , 以电梯为参考系 对两物作受力分析如图
r
O
ϕ
B
C
v n
v FN
D
r τ
dv v 由①式得 − mg sin ϕ = m ⋅ dϕ r
即 vdv = − rg sin ϕ dϕ
ϕ v mg
v v
NIZQ 第律
vdv = − rg sin ϕ dϕ
∫
v
0
vdv =
∫ (− rg sin ϕ )d ϕ
ϕ π − 2
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§2-2 动量守恒定律
2-2-1 动量 同时考虑质量与速度两个因素, 才能全面地表达物体 的运动状态。
v v −1 (kg ⋅ m ⋅ s ) p = mv
危急 中 ,此 位 先 生 为什么 挡住小孩,而不去挡汽车？
NIZQ 第24页
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动力学基本定律
2-2-2 动量定理 牛顿第二定律
x Tx = F − m ( g + a ) l
若绳的质量忽略,则张力等于外力.
x
Tx
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