期末专项训练专题一探索数与式的运算性质及规律
八上数学每日一练：探索数与式的规律练习题及答案_2020年综合题版
八上数学每日一练：探索数与式的规律练习题及答案_2020年综合题版答案解析答案解析2020年八上数学：数与式_代数式_探索数与式的规律练习题1.(2020沈阳.八上期末) 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：例1： 例2： =, =，利用以上结论解答以下问题：（不必证明）（1）；；。
（2） 利用上面结论，求下列式子的值。
考点： 探索数与式的规律;分母有理化;二次根式的混合运算;2.(2020赉.八上期末)（1） 计算：（a ﹣2）（a +2a +4）＝．（2x ﹣y ）（4x +2xy +y ）＝．（2） 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式（请用含a ，b 的字母表示）．（3） 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是．A ．（a ﹣3）（a ﹣3a +9）B ．（2m ﹣n ）（2m +2mn +n ）C ．（4﹣x ）（16+4x +x ）D ．（m ﹣n ）（m +2mn +n ）考点： 探索数与式的规律;多项式乘多项式;3.(2020安陆.八上期末) 观察以下等式:第1个等式: ，第2个等式: ，第3个等式: ，第4个等式: ，第5个等式: ，……按照以上规律，解决下列问题：222222222小明同学在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+6，并且最高次项为： x•2x•5x72，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数.根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：（ x+6若计算（1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
《探索数与式的规律》尖子生试题库(培优提高题)
《探索数与式的规律》练习题《探索数与式的规律》练习题一、选择题1. (2009 天津市) 若x y ，为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2. (2009 湖北省鄂州市) 为了求231222++++…+20082的值，可令231222S =++++…20082+，则23422222S =++++…20092+，因此2009221S S -=-，所以231222++++…20082009221+=-．仿照以上推理计算出231555++++…20095+的值是（ ）A ．200951- B ．201051- C ．2009514- D ．2010514-3. (2010 安徽省) 下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数100位的所有数字之和是（ ）A ．495 B.497 C.501 D.5034. (2009 四川省眉山市) 一组按规律排列的多项式：a b +，23a b -，35a b +，47a b -，……，其中第10个式子是（ ）A ．1019a b +B ．1019a b -C ．1017a b -D ．1021a b -5. (2009 贵州省贵阳市) 有一列数12341n n a a a a a a -，，，，，，，其中1521a =⨯+，2532a =⨯+，3543a =⨯+，4554a =⨯+，5565a =⨯+，，当2009n a =时，n 的值等于（ ）A ．2010B ．2009C ．401D ．3346. (2009 福建省南平市) 观察下列数对：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，那么第32个数对是（ ）A ．（4，4）B ．（4，5）C ．（4，6）D ．（5，4）7. (2009 福建省泉州市) 点A 1、 A 2、 A 3、 …、n A （n 为正整数）都在数轴上．点A 1在原点O 的左边，且A 1O =1；点A 2在点A 1的右边，且A 2A 1=2；点A 3在点A 2的左边，且A 3A 2=3；点A 4在点A 3的右边，且A 4A 3=4；……，依照上述规律，点A 2008 、A 2009所表示的数分别为（ ） A ．2008、2009- B ．2008-、 2009 C ．1004、1005- D ．1004、 1004- 8. (2009 辽宁省营口市) 计算：1314+=，23110+=，33128+=，43182+=，531244+=，，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测200931+的个位数字是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．89. (2009 江苏省) 下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数10. (2007 湖南省株洲市) 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，……，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（ ）A ．31B ．33C ．35D ．37 11. (2007 江苏省扬州市) 有一列数1a ，2a ，3a ，，n a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2007a 为（ ） Ａ．2007Ｂ．2Ｃ．12Ｄ．1-12. (2007 内蒙古鄂尔多斯市) 观察表1，寻找规律．表2是从表1中截取的一部分，其中a b c ，，的值分别为（ ）表1表2A ．20，25，24B ．25，20，24C ．18，25，24D ．20，30，25 12. (2007 内蒙古呼和浩特市) 观察下列三角形数阵：则第50行的最后一个数是（ ） Ａ．1225 Ｂ．1260 Ｃ．1270 Ｄ．1275 12. (2007 山东省济南市) 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：1112 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 17 142 1105 1140 1105 142 17……………………………………………………则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ） A ．1132B ．1360C ．1495D ．166015. (2007 湖南省张家界市) 观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ） A ．20072B ．200721 C ．20082D ．2006216. (2008 内蒙古自治区赤峰市) 给定一列按规律排列的数：111113579，，，，，它的第10个数是（ ） A ．115B ．117C ．119D ．12117. (2008 浙江省台州市) 课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为100的微生物会出现在（ ）12 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15A ．第3天B ．第4天C ．第5天D ．第6天18. (2008 内蒙古鄂尔多斯市) 小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2009时对应的指头是（ ） A ．大拇指 B ．食指 C ．中指 D ．无名指19. (2009 浙江省台州市) 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完．全对称式．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++； ③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③二、填空题1. (2008 北京市) 一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a-，114b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）． 2. (2008 福建省南平市) 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，……，依此类推，则2009a = 3. (2008 广东省梅州市) 观察下列等式:1. 32-12=4×2；2. 42-22=4×3；3. 52-32=4×4；4. （ ）2 -（ ）2=（ ）×（ ）； ……则第4个等式为_____________________________________，则第n 个等式为_____________________________________．（n 是正整数）4. (2008 广东省深圳市) 观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a +b 的值为 ．表一 表二 表三12 3 4 5 67 8 910 11 12 13 14 1516 1718 195. (2008 广东省湛江市) 将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ．6. (2008 广东省肇庆市) 已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，…… 观察上面规律，试猜想20082的末位数是 .7. (2008 湖北省鄂州市) 下列给出的一串数：2，5，10，17，26，？，50．仔细观察后回答：缺少的数？是 ．8. (2007 广西河池市) 古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为 ．9. (2007 广西河池市) 填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = ．10. (2007 广西玉林市) 瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据95，1612，2521，3632，中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数 ．11. (2007 陕西省) 小说《达芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：112358，，，，，，…，则这列数的第8个数是 ．12. (2007 山东省临沂市) 如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数．例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3．而且6123=++，所以6是完全数．大约2200多年前，欧几里德提出：如果21n-是质数，那么12(21)n n --是一个完全数，请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数是 ． 13. (2007 山东省烟台市) ===，请你将发现的规律用含自然数(1)n n ≥的等式表示出来．14. (2007 湖北省荆门市) 观察下面的单项式：a ，22a -，34a ，48a -，．根据你发现的规律，第8个式子是．CBA 5567532053115. (2007 湖北省宜昌市) 1766年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离那么第7颗行星到太阳的距离是 天文单位． 16. (2007 内蒙古自治区赤峰市) 观察下列各式：22151(11)1005225=⨯+⨯+= 22252(21)1005625=⨯+⨯+= 22353(31)10051225=⨯+⨯+=……依此规律，第n 个等式（n 为正整数）为 ．17. (2007 辽宁省沈阳市) 有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ． 18. (2007 山东省威海市) 观察下列等式：223941401⨯=-，224852502⨯=-，225664604⨯=-，226575705⨯=-， 228397907⨯=-…请你把发现的规律用字母表示出来：m n = ．19. (2007 山西省临汾市) 如图，表中的数据是按一定规律排列的，从中任意框出五个数字，请你用含其中一个字母的代数式表示a b c d e ，，，，这五个数字的和为 ．20. (2007 四川省德阳市) 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为____________．ac db e那么，当输入数据是7时，输出的数据是22. (2007 重庆市) 将正整数按如图所示规律排列下去．若用有序实数对()n m ，表示第n 排、从左到右第m 个数，如：(43)，表示实数9，则(72)，表示的实数是 ．1 第1排2 3 第2排 4 5 6 第3排 7 8 9 10 第4排23. (2009 浙江省绍兴市) 李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后（点A 与B 重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的14，34均变成12，12变成1，等）．那么在线段AB 上（除A ，B ）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________．24. (2009 浙江省台州市) 将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列为32， 则①n = ；②第i 行第j 列的数为 （用i ，j 表示）．第1列第2列第3列… 第n 列 第1行 1 2 3 … n第2行 1+n 2+n 3+n … n 2 第3行 12+n22+n32+n… n 3………………25. (2009 湖北省荆门市) 定义2*a b a b =-，则(12)3**=______．26. (2009 湖北省孝感市) 对于任意两个实数对()a b ，和()c d ，，规定：当且仅当a c =且b d =时，()()a b c d =，，，定义运算“⊗”：()()()a bc d a c b d a d b c ⊗=-+，，，．A B若()()()1250p q ⊗=，，，，则p = ，q = ． 27. (2009 山东省枣庄市) a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2009a = ．28. (2010 北京市) 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母 A ，B ，C ，D .请你按图中箭头所指方向（即 A →B →C →D →C →B →A →B →C → … 的方式）从 A 开始数连续的正整数 1，2，3，4，…，当数到 12 时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）.29. (2010 甘肃省白银九市) 观察：1234111111113243546a a a a =-=-=-=-，，，，…，则n a = (n=1，2，3，…).30. (2010 广东省肇庆市) 观察下列单项式： a ，22a -，34a ，48a -，516a ，…，按此规律第n 个单项式是 ．（n 是正整数）14. (2010 广东省珠海市) 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将()2101，()21011换算成十进制数应为：()51042120211010122=++=⨯+⨯+⨯=；()11120821212021101101232=+++=⨯+⨯+⨯+⨯=．按此方式，将二进制数()21001换算成十进制数的结果是 ．31. (2010 辽宁省抚顺市) 观察下列数据:32x , 153x , 354x , 635x , 996x ，…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n 个数据是________ .32. (2010 山东省莱芜市) 已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…，1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 3 4 5 6 5 4 3 4 5 6 7 6 5 4 5 6 7 8 7 6 5 6 7 8 9 8 7 6 7 8 9 10 9 8 7观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ．33. (2010 湖南省常德市) 如图，一个数表有7行7列，设ij a 表示第i 行第j 列上的数(其中i=1,2,3,…,7,j=1,2,3,…,7). 例如：第5行第3列上的数537a =.则（1）23225253()()a a a a -+-= ； （2）此数表中的四个数,,,np nk mp mk a a a a 满足()()np nk mk mp a a a a -+-= .34. (2010 重庆市江津区) 先观察下列等式：111122=-⨯1112323=-⨯ 1113434=-⨯ …… 则计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ．35. (2010 重庆市江津区) 我们定义a b c d ad bc =-，例如2345＝２×５－３×４＝10－12＝－２．若x 、y 均为整数，且满足１＜14xy ＜３，则x y +的值是_________．36. (2010 辽宁省铁岭市) 有一组数： 269,177,105,53,21，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为________________.37. (2010 湖南省怀化市) 有一组数列：2，3-，2，3-，2，3-，2，3-，…… ，根据这个规律，那么第2010个数是_______．38. (2010 湖北省黄石市) 若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为33+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25生产了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为__________. 39. (2010 广西贺州市) 数列： —12，13，—110， 115，—126，……则这个数列的第100个数是 ．40. (2010 广西南宁市) 古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为1a ，第二个三角形数记为2a ，……，第n 个三角形数记为n a ，计算213243a a a a a a ---，，，……，由此推算，10099a a -=____________，100a =__________. 41 (2010 浙江省丽水市) 已知a ≠0，12S a =，212S S =，322S S =，…，201020092S S =，则2010S = (用含a 的代数式表示)．26. (2010 贵州省贵阳市) 某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，……按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数是 粒．42 (2010 甘肃省天水市) 正整数按图示的规律排列，请写第10行，第5列的数字： ．43. (2010 湖北省荆门市) 观察下列计算：111122=-⨯ 111232311134341114545=-⨯=-⨯=-⨯. … … 从计算结果找规律，()11n n =⨯+，利用规律计算111112233445++++⨯⨯⨯⨯…120092010+⨯＝_______________.44. (2009 四川成都) 已知21(123)(1)n a n n ==+，，，,记112122(1)2(1)(1)b a b a a =-=--，，， 122(1)(1)(1)n n b a a a =---，则通过计算推测出n b 的表达式为n b = ．（用含n 的代数式表示）45. (2009 四川省广安市) 如下图1是二环三角形， 可得S =∠A 1+∠A 2+ … +∠A 6=360°， 下图2第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 …… 第一行 1 2 5 10 17 第二行 4 6 18 第三行 9 8 7 12 19 第四行 16 15 14 13 20 第五行 25 24 23 22 21 ……是二环四边形, 可得S =∠A 1+∠A 2+ … +∠A 7=720°, 图3是二环五边形, 可得S =1080°， …… 聪明的同学， 请你根据以上规律直接写出二环n 边形（n ≥3的整数）中，S =_________________度（用含n 的代数式表示最后结果）．46. (2009 四川省绵阳市) 将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第 行第 列．12. (2009 广东省广州市) 如图①，②，③，④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是 ，第n 个“广”字中的棋子个数是 ． 47. (2009 广东省茂名市) 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：32101202121211⨯+⨯+⨯+⨯=．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为 ．48. (2009 福建省龙岩市) 观察下列一组数：21，43，65，87，…… ，它们是按一定规律排列的． 那么这一组数的第k 个数是 ．49. (2009 辽宁省朝阳市) 下列是有规律排列的一列数：325314385，，，，……其中从左至右第100个数是__________．50. (2009 黑龙江省鸡西市) 有一列数1234251017--，，，，，那么第7个数为 ． 51. (2009 广东省肇庆市) 观察下列各式：11111323⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111135235⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，111157257⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭，…，根据观察计算：1111133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+＝ ．（n图① 图② 图③ 图④ ……为正整数）52. (2009 辽宁省沈阳市) 有一组单项式：2a ， 23a -，34a ，45a -，……．请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为 ．53 (2009 广西贺州市) 将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段；将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段；依此类推，将一根绳子对折n 次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成 段． 54. (2009 辽宁省营口市) 为了估计水库中鱼的数量，先从水库中捕捉50条鱼做记号，然后放回水库里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞300条鱼，发现有10条鱼做了记号，则估计水库中大约有 条鱼．55. (2009 广西钦州市) 一组按一定规律排列的式子：－2a ，52a ，－83a ，114a ，…，（a ≠0）则第n 个式子是_▲_（n 为正整数）．56. (2007 广东省深圳市) 若单项式my x 22与331y x n -是同类项，则n m +的值是 . 57. (2007 广西钦州市) 按一定规律排列的一列数依次为23，58，1015，1724，2635，，按此规律排列下去，这列数的第n 个数是 （n 是正整数）． 58. (2007 湖南省岳阳市) 观察下列等式：第1行 341=- 第2行 594=- 第3行 7169=- 第4行 92516=- … …按照上述规律，第n 行的等式为 ．59. (2007 青海省) 观察规律并填空：111123248，，，…，第5个数是 ，第n 个数是 ．60. (2007 四川省德阳市) 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探究可得，第100个点的坐标为 ．61. (2007 四川省雅安市) 观察一组数2、5、11、23、（ ）、95、…，括号内的一个数应该是 ．62. (2007 山东省莱芜市) 观察下列各式：12=，23=，34=，45=，…，请你将猜想的规律用含自然数(1)n n≥的代数式表示出来．63. (2007 山东省潍坊市) 观察下列等式：16115-=；25421-=；36927-=；491633-=；… …用自然数n（其中1n≥）表示上面一系列等式所反映出来的规律是．64. (2008 湖北省恩施自治州) 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形．若用有序实数对()m n，表示第m行，从左到右第n个数，如（4，3）表示分数112．那么（9，2）表示的分数是．65 (2007 湖南省常德市) 观察下列各式：3211=332123+=33221236++=33332123410+++=……猜想：333312310++++=．66. (2008 湖北省咸宁市) 观察右表，依据表格数据排列的规11第1行11221113631111412124第2行第3行第4行……律，数2 008在表格中出现的次数共有 次．67. (2008 江苏省泰州市) 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数15n =，计算211n +得1a ；第二步：算出1a 的各位数字之和得2n ，计算221n +得2a ；第三步：算出2a 的各位数字之和得3n ，计算231n +得3a ；……依此类推，则2008a = ．68. (2008 江苏省扬州市) 按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为48，我们发现第一次得到的结果为24，第2次得到的结果为12，……，请你探索第2009次得到的结果为___________．69. (2008 山东省济宁市) 1766年德国人提丢斯发现，太阳系中的行星到太阳的距离遵循下表所示的规律：根据表格，第颗行星到太阳的距离是 天文单位．70. (2008 山东省威海市) 如图，在平面直角坐标系中，点A 1是以原点O 为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x 轴的直线l 1的一个交点；点A 2是以原点O 为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x 轴的直线l 2的一个交点；……按照这样的规律进行下去，点A n 的坐标为 ．71. (2008 山东省烟台市) 表2是从表1中截取的一部分，则a = ．72. (2008 山西省太原市) 已知22m n ≥，≥，且m n ，均为正整数， 如果将nm 进行如下方式的“分解”，那么下列三个叙述： （1）在52的“分解”中最大的数是11． （2）在34的“分解”中最小的数是13．（3）若3m 的“分解”中最小的数是23，则m 等于5．221 3 321 5 3 233 5 337 11 9 43其中正确的是 ．73. (2008 四川省巴中市) 大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则5()a b += ．74. (2008 四川省宜宾市) 如图，将一列数按图中的规律排列下去，那么问号处应填的数字为 ．75. (2008 浙江省湖州市) 将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第 行第 列．76. (2008 贵州省黔南州) 观察下列各式，探索发展规律：22113-=⨯； 2411535-==⨯； 2613557-==⨯；2816379-==⨯； 210199911-==⨯； ……用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为 ．77. (2009 青海省) 观察下面的一列单项式：x ，22x -，34x ，48x -，…根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第n 个单项式为 ．78. (2009 山西省) 李师傅随机抽查了本单位今年四月份里6天的日用水量（单位：吨）结果如下：7，8，8，7，6，6，根据这些数据，估计四月份本单位用水总量为 吨．三、猜想、探究题、开放题、猜想题1. (2007 四川省资阳市) 设a 1=32-12，a 2=52-32，…，a n =(2n +1)2-(2n -1)2 （n 为大于0的自然数）． （1） 探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2） 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”． 试找出a 1，a 2，…，a n ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数（不必说明理由） ．11 1 12 11 3 3 1 1 4 6 4 1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． Ⅰ 1222332234432234()()2()33()464a b a b a b a ab b a b a a b ab ba b a a b a b ab b +=++=+++=++++=++++Ⅱ2．(2009 四川省凉山州) 我们常用的数是十进制数，如32104657410610510710=⨯+⨯+⨯+⨯，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中21110121202=⨯+⨯+⨯等于十进制的数6，543210110101121202120212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？观察上表中的结果，你能发现之间有什么关系吗？请写出关系式．4. (2009 广东省佛山市) （1与下列哪些数相乘，结果是有理数？ A ． B ．2- C D E ．0 问题的答案是（只需填字母）： ；（2相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式 表示）.5. (2009 安徽省) 观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…… （1）猜想并写出第n 个等式；（2）证明你写出的等式的正确性． 6. (2009 甘肃省白银九市) 若20072008a =，20082009b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a 、b 大小． 观察本题中数a 、b 的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．7．(2009 湖南省张家界市) 有若干个数，第1个数记为1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ，第n 个数记为n a ，若113a =-，从第二个数起，每个数都等于．．．．．．．．．．．．．1．与前面那个数的差的倒数．．．．．．．．．．．． （1）分别求出234a a a ，，的值． （2）计算12336a a a a ++++的值．8. (2008 广东省湛江市) 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．111122=-⨯ 1112323=-⨯ 1113434=-⨯ ┅┅ (1) 计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ． （2）探究1111......122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+ ．（用含有n 的式子表示） （3）探究并计算：111124466820062008++++⨯⨯⨯⨯．（4）若1111......133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+的值为1735，求n 的值． 9. (2007 贵州省贵阳市) 如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 上．（3分）（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3分） （3）“2007”在哪条射线上？（3分）10. (2007 山东省东营市) 根据以下10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20． （1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明） 11. (2007 山东省德州市) 根据以下10个乘积，回答问题：1129⨯ 1228⨯ 1327⨯ 1426⨯1525⨯ 1624⨯ 1723⨯ 1822⨯ 1921⨯ 2020⨯ （1）试将以上各乘积分别写成一个“22-”（两数平方差）的形式，并将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（2）若乘积的两个因数分别用字母a b ，表示（a b ，为正数），请观察给出ab 与a b +的关系式．（不要求证明） （3）若用11a b ，22a b ，，n n a b 表示n 个乘积，其中1a ，2a ，3n a a ，，，123nb b b b ，，，，为正数．请根据（1）中乘积的大小顺序猜测出一个一般结论．（不要求证明）12. (2007 浙江省舟山市) 给定下面一列分式：3579234,,,,x x x x y y y y--…，（其中x ≠0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律．试写出给定的那列分式中的第7个分式．。
八上数学每日一练：探索数与式的规律练习题及答案_2020年压轴题版
八上数学每日一练：探索数与式的规律练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年八上数学：数与式_代数式_探索数与式的规律练习题1.(2019下陆.八上期末) 小明同学在学习多项式乘以多项式时发现：（ x+6）（2x+3）（5x ﹣4）的结果是一个多项式，并且最高次项为： x•2x•5x ＝5x ， 常数项为：6×3×（﹣4）＝﹣72，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数.根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×3×（﹣4）+2×（﹣4）×6+5×6×3＝36，即一次项为36x.认真领会小明同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征.结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题.（1） 计算（x+1）（3x+2）（4x ﹣3）所得多项式的一次项系数为.（2） （ x+6）（2x+3）（5x ﹣4）所得多项式的二次项系数为.（3） 若计算（x +x+1）（x ﹣3x+a ）（2x ﹣1）所所得多项式的一次项系数为0，则a ＝.（4） 若（x+1）＝a x +a x +a x +a x …+a x++a ，则a ＝.考点： 探索数与式的规律;多项式乘多项式;2.(2018海淀.八上期末) 对于0，1以及真分数p ，q ，r，若p<q<r ，我们称q 为p和r 的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数、、，有，所以为和的一个中间分数，在表中还可以找到和的中间分数，， ， ．把这个表一直写下去，可以找到和 更多的中间分数．（1） 按上表的排列规律，完成下面的填空：①上表中括号内应填的数为；②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的和的中间分数是；（2） 写出分数和（a 、b 、c 、d 均为正整数，，）的一个中间分数（用含a 、b 、c 、d 的式子表示），并证明；（3） 若与（m 、n 、s 、 t 均为正整数）都是和 的中间分数，则 的最小值为．考点： 探索数与式的规律;3.(2017扶沟.八上期末) 综合题。
浙江省历年(2018-2022年)真题分类汇编专题 探索数、式、图的规律和定义新运算
浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题探索数、式、图的规律和定义新运算一、单选题(共3题；共6分)1．（2分）（2021·绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形.如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形.下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【答案】B【解析】【解答】解：用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形，用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，用5个相同的菱形放置，最多能得到22个菱形，用6个相同的菱形放置，最多能得到29个菱形，故答案为：B.【分析】分别根据题意画出图形，求出用2个、3个、4个、5个和6个相同的菱形放置时，最多得到的菱形的数量，即可解答.2．（2分）（2018·义乌）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形(作品不完全重合)，现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉(例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图)，若有34枚图钉可供选用，则最多可以展示绘画作品()A．16张B．18张C．20张D．21张【答案】D【解析】【解答】A. 16=1×16=2×8=4×4，最少需要图钉(4+1)(4+1)=25枚，A不符合题意.B. 18=1×18=2×9=3×6，最少需要图钉(3+1)(6+1)=28枚，B不符合题意.C. 20=1×20=2×10=4×5，最少需要图钉(4+1)(5+1)=30枚，C不符合题意.D. 21=1×21=3×7，最少需要图钉(4+1)(7+1)=32枚.还剩余2枚图钉，D符合题意.故答案为：D.【分析】分别算出四个答案中给定的画全部展出的各种展出方法，根据展出方法中求出需要的图钉的最少数量，再比较即可得出答案。
2020年小升初数学专题复习训练—数与代数：探索规律(1)(知识点总结+同步测试)
2020年小升初数学专题复习训练——数与代数探索规律（1）知识点复习一．算术中的规律【知识点归纳】在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．例如：1×1=1；11×11=121；111×111=12321；1111×1111=1234321；通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．①一个数乘11，101的规律一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算．如：123×11=1353一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算．如：58734×101=5932134②一个数乘5，15，25，125的规律一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2．如：28×5=28×10÷2=280÷2=140这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10．如：28×5=28÷2×10=14×10=140．即“求半添0”的方法．一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上．如：264×15=264×10+264×5=2640+264×10÷2=2640+2640÷2=2640+1320=3960．这种情况可以概括为“添0补半”一个数乘125，因为125×8=1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000．如：864×125=864×1000÷8=864000÷8=108000．【命题方向】常考题型：例1：4÷11的商用循环小数表示，则小数点后面第20位数字是（）A、0 B、3 C、7 D、6分析：把4÷11的商用循环小数表示出来，看看循环节有几位小数，然后用20除以循环节的位数即可判断．解：4÷11=••63.0，循环节是36两个数字；20÷2=10，所以20位上的数是6；故选：D．点评：此题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力．例2：按规律计算．3+6+12=12×2-3=213+6+12+24=24×2-3=453+6+12+24+48=48×2-3=933+6+12+24+…+192=192×2-3=381a+2a+4a+8a+16a+…+1024a=2047a．分析：由3+6+12=12×2-3=21，3+6+12+24=24×2-3=45，3+6+12+24+48=48×2-3=93可知：结果都是算式中的最后一个数乘以2再减去第一个数所得，由此得出结论．解：（1）3+6+12+24+…+192=192×2-3=381；（2）a+2a+4a+8a+16a+…+1024a=1024a×2-a=2048a-a=2047a．故答案为：381，2047a．点评：此题在于考查学生总结规律的能力．二．数列中的规律【知识点归纳】按一定的次序排列的一列数，叫做数列．（1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中．例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1；1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系．（2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律．例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组；1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和．（3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律．例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15．（4）相邻两数的关系中隐含着规律．例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12…【命题方向】常考题型：例1：一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…．中的第35个数为（）A、6B、7C、8D、无答案分析：从这组数可以得出规律，当数为n时，则共有n个n，所以第35个数为n，则1+2+3+…+n-1＜35＜1+2+3+…+n，可以求出n所以n=8．故选：C．点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．例2：一对成熟的兔子每月繁殖一对小兔子，而每对小兔子一个月后就变成一对成熟的兔子．那么，从一对刚出生的兔子开始，一年后可变成144对兔子．分析：从第二个月起，每个月兔子的对数都等于相邻的前两个月的兔子对数的和．找到这个数列的第12项即可．解：兔子每个月的对数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以，从一对新生兔开始，一年后就变成了144对兔子．故答案为：144．点评：本题属于斐波那契数列，先找到兔子增加的规律，再根据规律求解．三．“式”的规律【知识点归纳】把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索．【命题方向】常考题型：例：观察1+3=4 4+5=9 9+7=16 16+9=25 25+11=36这五道算式，分析：观察所给出的式子，知道从第二个算式起，第一个加数分别是前一算式的和；从第二个式子起，第二个加数分别是前一算式中的第二个加数加2所得；由此得出要求的算式．解：因为，要求的算式的前一个算式是：25+11=36，所以，要求的算式的第一个加数是：36，第二个加数是：11+2=13，所以要求的算式是：36+13=49，故答案为：36+13=49．点评：解答此题的关键是观察所给出的算式，找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．四．数与形结合的规律【知识点归纳】在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．【命题方向】常考题型：例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用31根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n-1）=3n+1．当n=10，3n+1=31，答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．故答案为：31，3n+1．点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．五．数表中的规律【知识点归纳】【命题方向】常考题型：例：如图是一张月历卡，用形如的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数．框出的3个数的和最大是84，一共可以框出20种不同的和．分析：框出3个数是27，28，29时和最大．根据月历卡可知第2，3，4，5行每行有5种不同的和，依此即可求解．解：27+28+29=28×3=84，5×4=20（种）．故答案为：84，20．点评：考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答．2020年小升初数学专题复习同步测试卷题号一二三四五六总分得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）循环小数的小数部分的第50位上的数字是（）A．5 B．6 C．72．（2分）根据3×4＝12、33×34＝1122、333×334＝111222，推测3333×3334＝（）A．11111222 B．11122222 C．11112222 D．111111123．（2分）2.22，2.30，2.38，2.46，（）括号里应填（）A．2.22 B．2.50 C．2.544．（2分）一列数1，，，，，，，，，……中的第27个数是（）A．B．C．D．5．（2分）下面算式中，与1+3+5+7+9+7+5+3+1的得数相等的是（）A．52+32B．42+52C．52﹣326．（2分）小红用计算器探索计算规律，她算出了以下3个算式的积．7×9＝63，77×99＝7623，777×999＝776223．照此规律，第7个算式的积是（）A．7777777622222223 B．77777762222223C．7777776222223 D．77777622222237．（2分）把正方形桌子拼在一起，一张正方形桌子能坐8个人，两张正方形桌子能坐12个人，如图．如果10张桌子拼在一起能围坐（）人．A．36 B．40 C．44 D．488．（2分）在如图的百数表中，用十字架框住五个数（如图），这五个数之和可能是（）A．205 B．216 C．220 D．2249．（2分）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：输入… 1 2 3 4 5 …输出……那么，当输入数据是8时，输出的数据是（）A．B．C．D．10．（2分）一个自然数表如下（零除外，表中下一行数的个数是上一行的2倍），第六行最后一个数是（）第一行 1第二行 2 3第三行 4 5 6 7……A．31 B．63 C．64 D．127二．填空题（共9小题，满分19分）11．（5分）通过计算发现规律．6543﹣2345＝9876﹣5678＝7654﹣3456＝按找到的规律，再写两个算式．12．（1分）德国数学家马力欧•西格麦尔于1980年发明了一个非常特别的数列．数列的规律与数的大小无关，从第二个数起，每个数都是对上一个数的描述．第一个数：1，第二个数：11，第三个数：21，第四个数：1211，第五个数：111221，第六个数是．13．（3分）找规律填数，6.877、6.872、6.867、、、．14．（2分）根据前面三道算式，直接填出括号里的数9×8＝7299×88＝8712999×888＝8871129999×8888＝99999×88888＝15．（2分）找规律，填数字．0.9+0.09+0.009+0.0009++……照这样加下去，结果越来越接近．16．（2分）如图，强强用小棒搭房子，照这样搭下去，搭5间房子要用根小棒；搭间房子要用61根小棒．17．（2分）看图回答下面的问题．展览了张照片．一共用了个图钉．18．（1分）A 1 6 7 12 13 18 19B 2 5 8 11 14 17 20C 3 4 9 10 15 16 21将所有数如此排列，2018在第组（填A/B/C）19．（1分）先找规律，然后填上合适的数．三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）20．（2分）将化成小数以后，小数点后第2008位上的数字是7．．（判断对错）21．（2分）若一列数为：2，4，6，8，10，……96，98，100，则这列数的和是2550．（判断对错）22．（2分）下面一组有规律排列的数：60、75、90、105、120，则1415不是这组数中的数．．（判断对错）23．（2分）在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的和是49．．（判断对错）24．（2分）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形，一共需要31根小棒．．（判断对错）四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分）25．（6分）已知：＝+ ＝+ ＝+利用上面的规律计算：1+﹣+﹣+﹣．五．应用题（共5小题，满分25分，每小题5分）26．（5分）如图，小朋友们玩多米诺骨牌的游戏，假设每一张牌倒下去所用的时间是0.2秒，并且每一张骨牌倒下后会碰倒它后边的两张骨牌，那么照这样下去，1秒钟内所倒下的骨牌数是多少？27．（5分）用6根同样长的小棒可以摆成一个正六边形（如图①），再接着摆下去（如图②、③、④），图⑧一共需要多少根小棒？28．（5分）用小棒按下面的方式拼图形．（1）如果按下面的规律拼成5个这样的五边形，一共要用根小棒．五边形个数拼成的形状小棒根数1 52 93 134 17（2）接着拼下去，一共用了57根小棒，你知道一共拼成了多少个五边形吗？29．（5分）一张桌子可以坐6人，两张桌子拼起来可以坐10人，三张桌子拼起来可以坐14人．像这样共几张桌子拼起来可以坐50人．30．（5分）如图：自然数按照顺序排列成下列的三角数阵，那么2019上方的数是多少？31．六．操作题（共1小题，满分5分，每小题5分）31．（5分）根据前面3个图形的变化规律把第4个图形画完整．七．解答题（共3小题，满分15分，每小题5分） 32．（5分）从左到右按顺序填空．2018171533．（5分）下列各图是用“”按一定规律排列而成的图案，第1个由4个组成，第2、3、4个图案由几个组成？第n （n 是整数）个图案由几个组成？ 图案 1234……n“”个数4……34．（5分）如图所示，第一张卡片上写有1，第二张卡片上写有1～4，第三张卡片上写有1～9，并按如图的规律将其中的一组数画上○，照这样第四张、第五张、…继续写下去．回答下列各题．（1）把由第五张卡片中画有○的数字，按由大到小的顺序排列起来．（2）试求81是由哪几张卡片上圈出来的数字？（本题只需写出答案即可）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．【分析】根据循环小数的特征，循环小数的小数部分的数字是6767…，每两个数（67）一个循环，所以用50除以2，根据商和余数的情况，判断出循环小数的小数部分的第50位上的数字是多少即可．【解答】解：循环小数的小数部分的数字是6767…，每两个数（67）一个循环，因为50÷2＝25，所以循环小数的小数部分的第50位上的数字是7．故选：C．【点评】此题主要考查了循环小数的特征，以及算术中的规律的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：循环小数的小数部分的数字是6767…，每两个数（67）一个循环．2．【分析】根据观察知：当因数是3和4时，它们的积是12，当因数是33，34时，积是1122，当因数是333，334时积是111222，它们的规律是当在每个因数的前面添上一个3时，它的积的前面就是添一个1，后面就要添一个2．也就是因数有3的个数与积中1的个数和2的个数相同．据此解答．【解答】解：根据观察知：因数有3的个数与积中1的个数和2的个数相同．3333×3334＝11112222．故选：C．【点评】本题的关键是找出题目中的规律再进行解答．3．【分析】2.30﹣2.22＝0.08，2.38﹣2.30＝0.08，2.46﹣2.38＝0.08，规律：依次增加0.08．【解答】解：2.46+0.08＝2.54故选：C．【点评】数列中的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题．4．【分析】从这组数的分母可以得出规律，当分母数为n时，则共有n个，所以第27个数为，则1+2+3+…+n﹣1＜27＜1+2+3+…+n，可以求出n，进而得解．【解答】解：根据规律，设第27个数为，则1+2+3+…+n﹣1＜27＜1+2+3+…+n，所以＜27＜；所以n＝7，则第27个数是．故选：B．【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．5．【分析】1+3+5+7+9+7+5+3+1＝（1+3+5+7+9）+（1+3+5+7）＝52+42，进而判断即可．【解答】解：1+3+5+7+9+7+5+3+1＝（1+3+5+7+9）+（1+3+5+7）＝52+42；故选：B．【点评】解答此题的关键是根据各算式的特征（从1开始的相邻奇数相加）找算式中加数的个数与算式的序数之间关系，然后根据这一关系解答．6．【分析】通过上面的四个算式可得出规律：积中的数字“7”和“2”的个数等于因数中“7”的个数减去1；数字“6”和“3”的个数只有一个，数字“6”在“7”和“2”之间；数字“3”在末尾，依照这个规律填写即可．【解答】解：第7个算式是：7777777×9999999＝77777762222223，故选：B．【点评】考查了“式”的规律，要利用已知的式子去观察、对比找出规律，然后解答．7．【分析】根据题意，1张桌子可以坐8人可以写成1×4+4人，2张桌子可以坐12人可以写成2×4+4人，3张桌子16人，可以写成3×4+4＝16人，…，y张桌子就可以坐4y+4人，由此即可解决问题．【解答】解：1张桌子可以坐8人可以写成1×4+4人，2张桌子可以坐12人可以写成2×4+4人，3张桌子16人，可以写成3×4+4＝16人，…，则y张桌子就可以坐4y+4人，当y＝10时，学生总数为：4×10+4＝44（人），答：如果10张桌子拼在一起能围坐44人．故选：C．【点评】此类规律题一定要注意结合图形进行分析，发现规律：每多一张桌子，多坐4人．从而得出y张桌子可以坐4y+4人．8．【分析】由图表可知，设中间数为x，则上下两个数是x﹣10、x+10，左右两个数是x﹣1、x+1，所以框住的5个数的和就是x﹣10+x﹣1+x+x+1+x+10＝5x，即用十字架框住五个数，这五个数之和就是中间数的5倍，也就是五个数之和应是5的倍数，根据5的倍数的特征，逐项分析判断即可得解．【解答】解：设中间数为x，则上下两个数是x﹣10、x+10，左右两个数是x﹣1、x+1，所以框住的5个数的和就是：x﹣10+x﹣1+x+x+1+x+10＝5x，所以十字框中五个数的和是中间的数的5倍．因为205、216、220、224中只有205和220是5的倍数，205÷5＝41，220÷5＝44，而41在图表的最边上，不能框在中间位置，而44能框在中间，所以这五个数之和可能是220．故选：C．【点评】读懂图意找到所框住的5个数之间的关系是解决本题的关键，要耐心仔细地观察．9．【分析】观察表格发现，输入的数字是几，输出数的分子就是几；输入1，输出数的分母是12+1＝2，输入2输出数的分母是22+1＝5，输入3输出数的分母是32+1＝10，输入4输出数的分母是42+1＝17，输入5输出数的分母是52+1＝26，输入几，输出数的分母就是这个数的平方再加上1，由此求解．【解答】解：输入8，输出数的分子就是8；分母是：82+1＝64+1＝65输出的数就是．故选：C．【点评】解决本题关键是找出输入数据与输出的数据之间的关系，再由此进行求解．10．【分析】第一行，只有1；第二行，有2个数，最后一个数字是1+2＝3；第三行，有4个数字，是2个2的积，最后一个数字是1+2+4＝7，…，第六行，应该有5个2的积个数，最后一个数应该是1+2+4+8+16+32，即可得解．【解答】解：1+2+4+8+16+32＝63，答：第六行最后一个数是63，故选：B．【点评】先找到规律，再根据规律求解．二．填空题（共9小题，满分19分）11．【分析】通过计算可以得出：被减数从低位到高位各数位上的数字依次加1，减数从高位到低位各数位数字依次减1，且被减数的最高位上的数字比减数的最高位数字大4．【解答】解：6543﹣2345＝41989876﹣5678＝41987654﹣3456＝4198另外两个算式：8765﹣4567＝41985432﹣1234＝4198故答案为：4198，4198，4198．【点评】仔细观察被减数和减数的特征以及差的规律，是解答此类题的关键．12．【分析】根据规律：第一个数是“1”，第二数是对第一个数的理解“1个1”，也就是“11”；第三个数就是对第二个数“11”的理解“2个1”，也就是“21”；第四个数就是对第三个数的理解“1个2，1个1”，即“1211”；第五个数是对第四个数的理解“1个1，1个2，2个1”，即“111221”；那么，第六个数就是对第五个数的理解，即“3个1，2个2，1个1”，即“312211”，据此解答．【解答】解：本题的规律是：第一个数是“1”，第二数是对第一个数的理解“1个1”，也就是“11”；第三个数就是对第二个数“11”的理解“2个1”，也就是“21”；第四个数就是对第三个数的理解“1个2，1个1”，即“1211”；第五个数是对第四个数的理解“1个1，1个2，2个1”，即“111221”；那么，第六个数就是对第五个数的理解，即“3个1，2个2，1个1”，即“312211”．故答案为：312211．【点评】解答本题的关键是找出规律，然后利用规律解题．13．【分析】6.877﹣6.872＝0.005，6.872﹣6.867＝0.005，可得后一个数比前一个数少0.005；据此解答．【解答】解：6.867﹣0.005＝6.8626.862﹣0.005＝6.8576.857﹣0.005＝6.852即6.877、6.872、6.867、6.862、6.857、6.852．故答案为：6.862、6.857、6.852．【点评】先根据给出的数据找出规律，再利用规律进行求解．14．【分析】根据观察，第一个因数中9个数与第二个因数中8的个数相同，积中8的个数比因数9或8的个数少1，然后写一个数字7，接下来写数字1，1的个数比因数9或8的个数少1，最后写一个数字2即可．【解答】解：9×8＝7299×88＝8712999×888＝8871129999×8888＝8887111299999×88888＝8888711112故答案为：88871112，8888711112．【点评】解答本题的关键是仔细观察前三个算式的特征，找出特点或规律．15．【分析】根据小数加法的计算法则计算，发现这个算式的整数部分是0，小数部分从十分位起依次是99999999……，可得结果是循环小数，越来越接近1，据此解答．【解答】解：根据题意，后面一个加数依次比前一个多一位小数，且前几位小数都是0，最后一位小数是9，所以算式是：0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+……＝0.，结果越来越接近1．故答案为：0.00009，1．【点评】此题考查了式的规律，要求学生掌握循环小数的意义．16．【分析】搭一间房用6根小棒，2间房用11根小棒，3间房用16根小棒，以后每增加一间房就多用5根小棒，所以搭n间房子需要（1+5n）根小棒．由此解决问题．【解答】解：搭一间房用6根小棒，可以写成1+1×5；2间房用11根小棒，可以写成1+2×5；3间房用16根小棒，可以写成1+3×5；…所以搭n间房子需要（1+5n）根小棒．当n＝5时，需要小棒1+5×5＝26（根），61根小棒可以搭：（61﹣1）÷5＝60÷5＝12（间）答：搭5间房子要用26根小棒；搭12间房子要用61根小棒．故答案为：26，12．【点评】主要考查了通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．17．【分析】根据图示可知：展览1张照片需要4个图钉；展览2张照片，需要4+2＝6（个）图钉；展览3张照片需要4+2+2＝8（个）图钉．【解答】解：1张照片需要4个图钉；展览2张照片，需要4+2＝6（个）图钉；展览3张照片需要4+2+2＝8（个）图钉．答：展览了3张照片，一共用了8个图钉．故答案为：3；8．【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．18．【分析】通过观察分析：A组：1，6，7，12，13，18，19，…B 组：2，5，8，11，14，17，20，…C组：3，4，9，10，15，16，21，…，可知它们6个数分成一组，用2018除以6，2018÷6＝336…2，余数是2，所以2018和2在同一组，据此解答即可．【解答】解：由表可知，6个数分成一组，2018÷6＝336…2，余数是2，所以2018和2在同一组，所以应该在B组．答：2018在第B组．故答案为：B．【点评】解答本题关键是清楚6个数分成一组，看看2018里有几个6，余数是几，据此计算可知．19．【分析】60÷12＝5，20÷4＝5，90÷18＝5．每个表中第一行的第二个数是第一个数的5倍，第二个表中第二行的第一个数字已知，据此即可求出第二个表示中第二行的第二个数．【解答】解：由分析可知，每行中第二个数是第一个数的5倍6×5＝30【点评】解答此题的关键是根据两个表中每行两个数之间的关系描出规律，然后再根据规律求出未知的数填表．三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）20．【分析】把分数化成小数，就会发现小数点后的数字是有规律的：＝0.142857142857…，一直重复142857，所以小数点后的数字周期为6，2008÷6＝334…4，每个周期第四个数为8，所以小数点后第2008位上的数字是8．【解答】解：＝1÷7＝0.142857142857…，一直重复142857，所以小数点后的数字周期为6．2008÷6＝334…4，故小数点后第2008位上的数字是8．故答案为：×．【点评】考查了小数与分数的互化，算术中的规律，本题的关键是得到转化为小数，找出数字循环周期为6．21．【分析】求2，4，6，8，10，……96，98，100的和即为求：2+4+6+8+10+…+100＝？n＝50，根据等差数列的求和公式完成计算．【解答】解：2+4+6+8+10+…+100＝＝＝2550所以原题计算正确．故答案为：√．【点评】根据等差数列求和公式进行计算，找出等差数列的公差，首项，尾项和项数是计算的关键．22．【分析】这组数每次递增15，所以用1415减去60，看能否被15整除即，如果能整除就是，否则不是；据此解答．【解答】解：75﹣60＝15，90﹣75＝15，…，所以这组数每次递增15，（1415﹣60）÷15≈90.33，所以，1415不是这组数中的数．故答案为：√．【点评】此题考查了数列的规律，关键是求出每次递增的数．23．【分析】在1+3+5+7+9+…中首先求出“13”是第几项（由于项数比较少，可能用数的方法），由于相邻两数的差是1，所以项数等于（末项﹣首项）÷2+1，据即可求13是第几项；前n项和的计算公式是（末项+首项）×，根据公式可求出前13项的和，根据计算结果进行判断．【解答】解：在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的项数为：（13﹣1）÷2+1＝12÷2+1＝6+1＝7前6项的和为：（13+1）×＝14×3.5＝49因此，在1+3+5+7+9+…中，从“1”到数“13”的和是49，原题的说法是正确的．故答案为：√．【点评】此题项数较少，写出所有项，通过计算即可得到正确的结果．如果项数较多，只能先总结出求项数、前n项和公式解答．24．【分析】摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒（4+3）根，即7根；摆三个正方形要小棒（4+3×2）根，即10根，由此得到摆n个正方形要小棒4+3×（n﹣1）＝3n+1根；然后把n＝10代入3n+1中即可求出摆10个正方形需要的小棒数．【解答】解：摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒（4+3）根，即7根；摆三个正方形要小棒（4+3×2）根，即10根，…，所以摆n个正方形要小棒：4+3×（n﹣1）＝3n+1（根）；n＝10，3×10+1＝31（根）；答：摆10个正方形一共需要31根小棒．原题说法正确．故答案为：√．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分）25．【分析】由已知条件可以看出：分母是相邻自然数，分子是1的两个分数相加，这两个自然数的和为分子，积为分母．根据这规律先算式中的、、、、，然后再计算．【解答】解：1+﹣+﹣+﹣＝1+﹣（+）+（+）﹣（+）+（+）﹣（+）＝1+﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣＝1﹣＝【点评】解答此题的关键是把算式中的、、、、，分别用+、+、+、+代换，相同的分数加、减相抵消，可使计算简便．五．应用题（共5小题，满分25分，每小题5分）26．【分析】1÷0.2＝5，即1秒里面有5个0.2秒．第一张倒下后过0.2秒（1个0.2秒）会倒下2张、再过0.2秒（2个0.2秒）后会倒下4张、再过0.2秒（3个0.2秒）后会倒下8张、再过0.2秒（4个0.2秒）会倒下16张、再过0.2秒（5个0.2秒）会倒下32张．1、2、4、8、16、32．是公比为2的等比递增数列．最后把这些张数相加．【解答】解：1÷0.2＝5，即1秒里面有5个0.2秒倒下第1张后第1个0.2秒后会倒下2张第2个0.2秒后会倒下4张第3个0.2秒后会倒下8张第4个0.2秒后会倒下16张第5个0.2秒后会倒下32张1+2+4+8+16+32＝1+2+（4+16）+（8+32）＝1+2+20+40＝63（张）答：1秒钟内所倒下的骨牌数是63张．【点评】这个数列项数是有限的，可以求出每次倒下的张数，然后再把倒下的总张数相加．如果项数较多要找规律解答．用小学知识只能这样解答．27．【分析】摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1+1；摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2+1；摆3个需要16根小棒，可以写成：5×3+1；…由此可以推理得出一般规律解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1+1；摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2+1；摆3个需要小棒：5×3+1＝16；摆n个需要小棒：5×n+1＝5n+1；当n＝8时，5n+1＝5×8+1＝41；答：图⑧一共需要41根小棒．【点评】根据题干中已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键．28．【分析】（1）由图示可知，拼1个五边形，需要小棒根数：5根；拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根）；拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根）；……有摆n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）．根据规律计算即可．（2）由（1）的规律可知，当4n+1＝57时，n＝14．【解答】（1）拼1个五边形，需要小棒根数：5根拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根）拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根）……有拼n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）当n＝5时，所需小棒根数：4×5+1＝20+1＝21（根）答：拼成5个这样的五边形，一共要用21根小棒．（2）解：设一共拼成了x个五边形．4x+1＝574x＝56x＝14答：一共拼成了14个五边形．故答案为：21．【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图示排列的规律，并运用规律做题．29．【分析】由一张桌子坐6人，两张桌子坐10人，三张桌子坐14人，可以发现每多一张桌子多4个人，由此用字母表示这一规律，然后代值计算．【解答】解：1张桌子可坐2×1+4＝6人，2张桌子拼在一起可坐2×4+2＝10人，3张桌子拼在一起可坐4×3+2＝14人，…所以五张桌子坐4×5+2＝22人，…那么n张桌子坐（4n+2）人．当共有50人时，4n+2＝504n＝48n＝12答：这样共12张桌子拼起来可以坐50人．【点评】此题考查图形的变化规律，找出规律，利用规律解决问题．30．【分析】第1个奇数为1，第2个奇数为3，第3个奇数为5…，第k个奇数为2k﹣1，前k个奇数之和为1+3+5+…+（2k﹣1）＝k2，于是，在如图所示的三角形数阵中，前k行共有k2个奇数，前k﹣1行共有（k﹣1）2个奇数，于是第k行第1个奇数为2[（k﹣1）2+1]﹣1＝2（K﹣1）2+1．现在2×312＝1922，2×322＝2048故2019位于第32行上．第32行第1个数为1923，1923～2019共有（2019﹣1923）÷2+1＝49个奇数，因此，2019为第32行，第49个数．第31行，第48个奇数位：2×302+1+（48﹣1）×2＝1895，即2019上面的奇数位1895．【解答】第1个奇数为1，第2个奇数为3，第3个奇数为5…，第k个奇数为2k﹣1，前k个奇数之和为1+3+5+…+（2k﹣1）＝k2，于是，在如图所示的三角形数阵中，前k行共有k2个奇数，前k﹣1行共有（k﹣1）2个奇数，于是第k行第1个奇数为2[（k﹣1）2+1]﹣1＝2（K﹣1）2+1．现在2×312＝1922，2×322＝2048故2019位于第32行上．第32行第1个数为1923，1923～2019共有（2019﹣1923）÷2+1＝49个奇数，因此，2019为第32行，第49个数．第31行，第48个奇数位：2×302+1+（48﹣1）×2＝1801+94＝1895答：2019上方的数是1895．【点评】本题主要考查数列中的规律，关键根据所给图示，发现规律，并运用规律做题．六．操作题（共1小题，满分5分，每小题5分）31．【分析】（1）每个图形对比，发现规律：5个花瓣是顺时针旋转一个瓣；（2）把三个小正方形看做一个整体，顺时针旋转90°就是下一个图形；。
七下数学每日一练：探索数与式的规律练习题及答案_2020年综合题版
（1） 猜想:
=
（2） 归纳:根据你的观察，猜想，请写出一个用n(为正整数)表示的等式:
（3） 应用:计算
考点： 探索数与式的规律;
答案
~~第3题~~ (2019昆山.七下期中) 观察下列等式: 31－30=2×30,
32－31=2×31,
33－32=2×32,
（1） 试写出第 个等式，并说明第 个等式成立的理由;
考点： 探索数与式的规律;
答案
~~第5题~~ (2019贵池.七下期中) 观察下列各式：
（1） 根据上面各式的规律可得：
（ ，且n为整数）；
（2） 利用（1）的结论求
的值；
（3） 若
，求 的值.
考点： 探索数与式的规律;整式的除法;
答案
2020年 七 下 数 学 ： 数 与 式 _代 数 式 _探 索 数 与 式 的 规 律 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案：
3.答案：
4.答案： 5.答案：
七下数学每日一练：探索数与式的规律练习题及答案_2020年综合题版
2020年 七 下 数 学 ： 数 与 式 _代 数 式 _探 索 数 与 式 的 规 律 练 习 题
~~第1题~~ (2019越城.七下期末) 杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我 国南宋数学家杨所著的《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律
012
2018 2019
（2） 计算30+31+32+…+32018+32019的值.
考点： 代数式求值;探索数与式的规律;
答案
~~第4题~~ (2019泰兴.七下期中) 观察下列各式：
专题1 数与式的运算
专题01数与式的运算本专题在初中、高中扮演的角色初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幂运算律的推广）、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂），掌握运算性质，能够区别n的异同. 通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离； 例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x = . （1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8．（3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边．若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5，∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5，∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5．（4）在数轴上找出|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若x对应的点在5的右边，可得203x=；若x对应的点在－2的左边，可得103x=-，∴方程|x-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是103x=-或203x=.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简.a-2b解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，所以b-a>0，a-b＜0原式=|a|-（b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：.(1) −1<a<3；(2).(1)①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，代入①得：y=2+2a，根据题意得：xy=(3−a)(2+2a)>0，解得−1<a<3；(2)∵−1<a<3，∴当−1<a<3时，高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b ab +-=-； （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b aab b a b +-+=+； （2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】 （1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- （1）3（2）4ab-8b 2解：（1）原式=4+1+（-8）÷4 =5-2=3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2)=a 2-4b 2-a 2+4ab-4b 2=4ab-8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+-（1）8 （2）－6x+13(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4)=x 2-6x+9-x 2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示） (1)ab;(2)a b ;(3)2a b. 解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ； （2）2x ＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （3）20x ＝x x 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭．高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b 212x ++，22x y ++1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2(1) 56-;(2)（1）×3﹣6＝﹣＝﹣（2）x 4﹣4x＝2x 4x2x ．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．不正确，见解析解：不正确，正确解答过程为：【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+，其中，．2a a b -． 解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2b a b-+ =()()()()()2a b a b b a b a b a b a b a 2b ---++⋅+--=2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a ba 2b -⋅-- =2a a b -， 当+3，-3时，原式22=33．高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式 像a b c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0．21x x -,1. 解：原式＝()()()221-211121x x xx x x x x ---=-+210x x +﹣＝，21x x ∴＝﹣，∴原式＝1.【变式训练】化简：22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）y x +2122442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）=2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+-=y x +21.【能力提升】已知：112a b -=，则ab b a bab a 7222+---的值等于多少？43-.解：∵112a b -=，∴a-b=-2ab ，则2ab 2ab44ab 7ab 3--=--+专题验收测试题1．如图，若实数m ＝﹣7+1，则数轴上表示m 的点应落在（）A ．线段AB 上 B ．线段BC 上 C ．线段CD 上D ．线段DE 上B∵实数m+1，23<<∴﹣2＜m＜﹣1，∴在数轴上，表示m的点应落在线段BC上．故选：B．2．观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66 B（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．3．已知1-1xx=，则221xx+等于（）A．3 B．2 C．1 D．0 A∵1-1 xx=，∴21-1x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即221-2+1x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴221-=3x x．故选A ． 4．设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：① a 是无理数；② a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a<4；④ a 是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是 A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①③④C根据勾股定理，边长为3的正方形的对角线长为a = 根据实数与数轴上的一点一一对应的关系，a 可以用数轴上的一个点来表示，故说法②正确．∵216<a 18<25=，∴4<a =，故说法③错误．∵2a 18=，∴根据算术平方根的定义，a 是18的算术平方根，故说法④正确． 综上所述，正确说法的序号是①②④．故选C ．5．定义一种关于整数n 的“F ”运算：一、当n 为奇数时，结果为3n ＋5；二、当n 为偶数时,结果为2k n（其中k 是使2k n为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n ＝58,第一次经F 运算是29,第二次经F 运算是92,第三次经F 运算是23,第四次经F 运算是74……，若n ＝449,求第2020次运算结果是（ ） A ．1 B ．2C ．7D ．8A设449经过n 次运算结果为n a ，则11352a =，2169a =，3512a =，41a =，58a =，61a =，⋯，21n a ∴=，218(2n a n +=且n 为整数）．∵2020为偶数，20201a ∴=．故选：A6．如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为1a ，第2幅图形中“•”的个数为2a ，第3幅图形中“•”的个数为3a ，…，以此类推，则123191111a a a a ++++…的值为（ ）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760C∵第一幅图中“•”有1133a =⨯=个；第二幅图中“•”有2248a =⨯=个； 第三幅图中“•”有33515a =⨯=个；∴第n 幅图中“•”有()2na n n =+（n 为正整数）个∴111122n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴当19n =时123191111a a a a ++++ (1111)3815399=++++11111324351921=++++⨯⨯⨯⨯ 1111111111112322423521921⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324351921⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11111222021⎛⎫=⨯+-- ⎪⎝⎭589840=．故选：C 7．定义新运算，*(1)a b a b =-，若a 、b 是方程2104x x m -+=（0m <）的两根，则**b b a a -的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关A根据题意可得()()22**11b b a a b b a a b b a a -=---=--+，又因为a ，b 是方程2104x x m -+=的两根，所以2104a a m -+=，化简得214a a m -=-，同理2104b b m -+=，214b b m -=-，代入上式可得()()222211044b b a a b b a a m m ⎛⎫⎛⎫--+=--+-=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．8．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足()()122018232019Mx x x x x x =++++++，()()122019232018N x x x x x x =++++++，则M ，N 的大小关系是()A ．M N <B ．MN >C ．MN D ．M N ≥B根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，∴1p q x -=，∴()()12201823201920192019()Mx x x x x x p q x pq p x =++++++=•+=+•； ()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++++++=+•=+•；∴20192019()MN pq p x pq q x -=+•-+•=2019()x p q •- =201910x x •>；∴MN >；故选：B.9．下列运算正确的是( )A ．1a b a b b a -=--B ．m n m na b a b --=- C ．11b b a a a+-=D ．2221a b a b a b a b+-=--- D根据分式的减法法则，可知：a b a b b a ---=a b a b a b +--=a ba b +-，故A 不正确；由异分母的分式相加减，可知m n a b -==bm an bm anab ab ab --，故B 不正确；由同分母分式的加减，可知11b b a a a+-=-，故C 不正确； 由分式的加减法法则，先因式分解通分，即可知2221a b a b a b a b+-=---，故D 正确.故选：D. 10．已知a ，b 为实数且满足1a ≠-，1b ≠-，设11=+++a b M a b ，1111=+++N a b ．①若1ab =时，M N ；②若1ab >时，M N >；③若1ab <时，M N <；④若0a b +=，则0M N ≤．则上述四个结论正确的有（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4D对于①，可知(1)(1)2(1)(1)(1)(1)a b b a a b ab M a b a b +++++==++++，2(1)(1)a b N a b ++=++，若1ab =时，M N ，正确；对于②，也可分析得到；对于③④同样如此.11．若11122299919991a +=+，22233399919991b +=+，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b > B ．a b =C ．a b <D ．无法确定A∵11122299919991a +=+，22233399919991b +=+， ∴1112222223339991999199919991a b ++-=-++ =()()()()()211133322222222299919991999199919991++-+++=()()111333222222333999999999999199291++-⨯+=()()()1112222222223339999999999991999211⨯+-++⨯＞()()111222222222333999999999999199291+⨯-⨯+＞0，∴a b >．故选A ．12．已知实数x ，y ，z 满足1x y ++1y z ++1z x +＝76，且z x y x y y z z x+++++＝11，则x +y +z 的值为（ ）A ．12B ．14C ．727D ．9A11z x y x y y z z x ++=+++， 11114z x y x y y z z x∴+++++=+++， 即14x y z x y z x y zx y y z z x ++++++++=+++，11114x y y z z x x y z∴++=+++++， 而11176x y y z z x ++=+++， 1476x y z ∴=++，12x y z ∴++=．故选：A ．13．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a ba b+-的值为( )A B ．C ．2D ．±2A∵a 2+b 2=6ab ，∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ， ∵a ＞b ＞0，∴a+b=a-b=∴a ba b +-= A.14有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A根据二次根式的概念，可知a≥0，ab＞0，解得a＞0，b＞0，因此可知A（a，b）在第一象限.故选A15．已知a的最小值为()A．0 B．3 C．D．9B根据题意，由，可知当（a﹣3）2=0，即a=3时，代数的值最小，为故选B．16．已知m、n m，n）为（）A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是Cm、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．17．已知31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187……．则3+32+33+34+…+32019的末位数字是____．9．∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187……，∴尾数四个一循环，∴每四个的尾数和是0．∵2019÷4=504…3，∴3+32+33+34+…+32019的末位数字是9．故答案为：9．C，最小正方形的周长是18．如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是12C，则12C C =_____.432如图，设,AB x BC y ==，最大正方形标记为0号，被分割成的11个正方形标记为1-11号，其中最小正方形标记为11号，各个正方形的边长求解过程如下： 0号：1号+2号得x y +5号：1号-2号得y x -3号：2号-5号得()2x y x x y --=-4号：0号-2号-3号得(2)22x y x x y y x +---=- 7号：3号-4号得2(22)43x y y x x y ---=- 6号：4号-7号得22(43)56y x x y y x ---=- 10号：0号-1号得x9号：0号-4号-6号-10号得(22)(56)86x y y x y x x x y +-----=- 8号：10号-9号得(86)67x x y y x --=- 11号：6号-7号得56(43)810y x x y y x ---=- 或9号-6号得86(56)1411x y y x x y ---=- 因此x 和y 满足等式：8101411y x x y -=- 整理得：1924x y =所以最大正方形（0号）的周长1434()6C x y y =+=最小正方形（11号）的周长214(1411)3C x y y =-=则12432C C =.19．对于整数a ，b ，c ，d ，定义a d b c ＝ac ﹣bd ，已知1＜1d 4b＜3，则b+d 的值为_______．±3根据题意，得1<4–bd <3，化简，得1<bd <3， a ，b ，c ，d 均为整数，∴db =2， ∴当d =1时b =2或当d =–1时b =–2， ∴b +d =3或b +d =–3．20． 已知21x y =⎧⎨=⎩，是二元一次方程组81mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则m+3n 的平方根为______．±3把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组得：2821m n n m +=⎧⎨-=⎩①②，①×2-②得：5m =15， 解得：m =3，把m =3代入①得：n =2，则m +3n =3+6=9，9的平方根是±3， 故答案为：±3 21．若m 满足关系式35223x y m x y m +--+-199199x y x y =---+m =________．201由题意可得，199-x-y ≥0，x-199+y ≥0， ∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．=0，∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，联立①②③得，1993520230x y x y m x y m +=⎧⎪+--=⎨⎪+-=⎩①②③，②×2-③×3得，y=4-m ， 将y=4-m 代入③，解得x=2m-6，将x=2m-6，y=4-m 代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201． 故答案为：201．22．若214x x x++=，则2211x x ++= ________________.8∵214x x x ++=可化为13x x +=，2211x x ++化为211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴原式=211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=32-1=823．已知22143134m n m n =--+，则11m n+的值等于______． 1322143134m n m n =--+221(2)(6)04m n -++=，则20m -=，60n +=， 所以2m =，6n =-， 所以11111263m n +=-=． 故答案是：13． 24．已知函数1x f xx，那么1f _____．2+因为函数1x f xx，所以当1x =时， 211()2221f x ．25．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =..原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x == 26．观察下列等式：1)131====-====回答下列问题：（1（2；（3+…．（1（2；（3）1 （12575752227575 527755=（222121212121n n n n n 2222212121n n n n 22212121n n n n 22221n n2121n n（3）由（22121121n n n n3153757573 =153757573 31537573717573175 531270=（1）求实数,a b 的值；（2的整数部分为x ，小数部分为y①求2x y +的值；②已知10kx m =+，其中k 是一个整数，且01m <<，求k m -的值．（1）7a =；21b =；（2）①4（10=，2490a -=且70a +≠，∴30a b -=，2490a -=且70a +≠， 即7,21a b ；（2）∵162125，∴45<<，即的整数部分为4，小数部分为4，①244)4x y +=+=；②∵12<<，∴8109<<，又∵104kx m k m =+=+，k 是一个整数，且01m <<，∴2,10242k m ==-⨯=∴2(2k m -=--=28．已知下面一列等式： 111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：（2）验证一下你写出的等式是否成立；（3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++. （1）一般性等式为111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x+. （1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；…，知它的一般性等式为111=(+11n n n n -+）； （2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1n n n n ==⋅++， ∴原式成立；（3）11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114x x =-+ 244x x =+. 29．对有理数a 、b 、c ，在乘法运算中，满足：①交换律：ab ba =；②对加法的分配律：()ca b ca cb +=+.现对a b ⊕这种运算作如下定义，规定：a b a b a b ⊕=⋅++.（1）这种运算是否满足交换律？（2）举例说明：这种运算是否满足对加法的分配律？（1）运算满足交换律；（2）加法的分配律不满足．（1）∵a b a b a b ⊕=⨯++，b a b a b a ⊕=⨯++，∴a b b a ⊕=⊕，∴该运算满足交换律；（2）根据规定，()()()a b c a b c a b c +⊕=+⨯+++a c b c a b c =⨯+⨯+++，∵a c a c a c ⊕=⨯++，b c b c b c ⊕=⨯++， ∴a c b c a c a c b c b c⊕+⊕=⨯+++⨯++2a c b c a b c =⨯+⨯+++， ∵2a c b c a b c a c b c a b c ⨯+⨯+++≠⨯+⨯+++，∴()a b c a c b c +⊕≠⊕+⊕，∴对加法的分配律不满足．30．李狗蛋同学在学习整式乘法公式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：（1）探究：()()a b a b -+=____；()()22a b a ab b -++=___；()()3223a b a a b ab b -+++=_____；（2）猜想：()()1221...n n n n a b a a b ab b -----++++=______（n 为正整数，且2n ≥）； （3）利用上述猜想的结论计算：98732222...2221-+-+-+-的值．（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）341 （1）()()22a b a b a b -+=-，()()22322223a b a ab b a a b ab a b ab b -++=++---33=-a b ，()()32234322332234a b a a b ab b a a b a b ab a b a b ab b -+++=+++----44a b =-，故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；（2）根据（1）的结果可知：()()1221...n n n n a b a a b ab b -----++++=n n a b -， 故答案为：nn a b -； （3）原式987236278922(1)2(1)...2(1)2(1)2(1)(1)=+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+- 98723627891[2(1)][22(1)2(1)...2(1)2(1)2(1)(1)]3=⨯--⨯+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+-10101[2(1)]3=⨯-- 10213-= 102413-= 341=．。
2025中考复习数学考点专题探究课件：专题1 数与式规律探究
数与式
专题1
规律探究(一)
刷难关
专题1
刷难关
专题1
类型1
规律探究(一)
数或式规律探究
1. [2023湖南常德中考，中]观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中
的规律，分数
若排在第 a 行 b 列，则 a － b 的值为(
A. 2 003
B. 2 004
C. 2 022
下去，则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ an ＝ 2 n2－ n
1
2
3
4
5
6
7
.(结果用含 n 的代数式表示)
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专题1
规律探究(一)
【解析】∵题图(1)有1个三角形，记作 a1＝1；题图(2)有5个三角形，记作 a2＝
5＝1＋4＝1＋4×1；题图(3)有9个三角形，记作 a3＝9＝1＋4＋4＝1＋
这 n 个自然数中，任取两数之和大于 n 的取法种数 k 进行了探究.发现：当 n ＝
2时，只有{1，2}一种取法，即 k ＝1；当 n ＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取
法，即 k ＝2；当 n ＝4时，可得 k ＝4；….若 n ＝6，则 k 的值为
n ＝24，则 k 的值为
144
9
；若
.
【解析】当 n ＝6时，从1，2，3，4，5，6中取两个数的和大于6，则取法有
{23，2}，{23，3}，…，{23，22}，
{22，3}，{22，4}，…，{22，21}，…，
{14，11}，{14，12}，{14，13}，
{13，12}，
∴ k ＝23＋21＋19＋…＋3＋1＝144.
故答案为9，144.
数与式的变化规律
数与式的变化规律在数学中，我们经常会遇到数与式的变化规律。
数与式的变化规律是指数的变化和与之相关的式子的变化之间的关系。
在本文中，我们将探讨数与式的变化规律的几个常见情况，并通过一些例子来加深理解。
一、数列的变化规律数列是指按照一定规则排列的一组数。
数列中每个数称为项，而数列中的规则则被称为变化规律。
常见的数列变化规律有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
常用的表示方式为a₁, a₂, a₃, ..., aₙ，其中a₁是首项，aₙ是第n项。
等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1) * d，其中d为公差，表示每项之间的差值。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，首项a₁为1，公差d为2。
那么该等差数列的第n项通项公式为an = 1 + (n-1) * 2。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
常用的表示方式为a₁, a₂, a₃, ..., aₙ，其中a₁是首项，aₙ是第n项。
等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中r为公比，表示每项与前一项的比值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，首项a₁为2，公比r为2。
那么该等比数列的第n项通项公式为an = 2 * 2^(n-1)。
二、代数式的变化规律代数式是由一系列数字和字母以及运算符号组成的式子。
在代数式中，字母表示未知数或变量，而数字则表示常数。
代数式的变化规律描述了代数式中变量与结果之间的关系。
1. 线性变化规律线性变化规律是指代数式中变量与结果之间呈线性关系的变化规律。
线性变化规律通常可以表示为y = kx + b，其中y是结果，x是变量，k和b为常数。
例如，当y表示某物体的距离，x表示时间时，线性变化规律可表示为y = kx + b，其中k代表速度，b代表初始距离。
2. 指数变化规律指数变化规律是指代数式中变量与结果之间呈指数关系的变化规律。
专题01 数与式的运算
专题1：数与式的运算高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ． 例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x +2|=3的解为 ； （2）解不等式：|x －2|＜6； （3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9； （4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【答案】（1）1x =或x =－5；（2）－4＜x ＜8；（3）x ≥4或x ≤－5；（4）103x =-或203x =. 【解析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3 解得1x =或x =－5．（2）在数轴上找出|x －2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8， ∴方程|x －2|=6的解为x =－4或x =8，∴不等式|x －2|＜6的解集为－4＜x ＜8． （3）在数轴上找出|x －3|+|x +4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x 的值． ∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在3的右边或－4的左边． 若x 对应的点在3的右边，可得x =4；若x 对应的点在－4的左边，可得x =－5， ∴方程|x －3|+|x +4|=9的解是x =4或x =－5， ∴不等式|x －3|+|x +4|≥9的解集为x ≥4或x ≤－5． （4）在数轴上找出|x -2|+|x +2|+|x -5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x 的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x 对应的点在-2的左边或5的右边．若x 对应的点在5的右边，可得203x =；若x 对应的点在－2的左边，可得103x =-， ∴方程|x -2|+|x +2|+|x -5|=15的解是103x =-或203x =. 【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【答案】a-2b 【解析】解：由数轴知：a ＜0，b>0，|a|＞|b|， 所以b-a>0，a-b ＜0 原式=|a|-（b-a ）-(b-a) =-a-b+a-b+a =a-2b【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围； (2)化简：.【答案】(1) −1<a <3；(2). 【解析】 (1)①+②得：5x =15−5a ，即x =3−a ， 代入①得：y =2+2a ，根据题意得：xy =(3−a )(2+2a )>0， 解得−1<a <3； (2)∵−1<a <3， ∴当−1<a <3时，高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +---【答案】（1）3 （2）4ab-8b 2 【解析】解：（1）原式=4+1+（-8）÷4 =5-2 =3（2）原式=a 2-4b 2-(a 2-4ab+4b 2) =a 2-4b 2-a 2+4ab-4b 2 =4ab-8b 2【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+-- （2）2(3)(2)(2)x x x --+- 【答案】（1）8 （2）－6x+13 【解析】(1)原式=1+16-9=8； (2)原式=x 2-6x+9-(x 2-4) =x 2-6x+9-x 2+4 =-6x+13.【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求： （1）50x 的值； （2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）【答案】(1)ab;(2)a b ;(3)2a b . 【解析】解：（1）50x ＝10x ×5x ＝ab ； （2）2x＝xx x 1010a 55b ⎛⎫== ⎪⎝⎭；（3）20x＝xx 2x x 1010a 101055b ⎛⎫⨯=⨯= ⎪⎝⎭．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b 212x ++，22x y ++，1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2【答案】(1) 56-;(2) 【解析】（1））×3﹣＝＝﹣（2）x 4﹣4x＝2x 4x2x ．【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【解析】解：不正确，正确解答过程为：.【能力提升】先化简，再求值：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2ba b-+，其中，．【答案】2a a b -．【解析】 解：(2a b a b -+-b a b -)÷a 2ba b-+=()()()()()2a b a b b a b a ba b a b a 2b ---++⋅+--=2222a 3ab b ab b 1a b a 2b-+--⋅-- =()2a a 2b 1a b a 2b-⋅--=2a a b-， 当3，-3时，原式22．高中必备知识点4：分式1．分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A MB B M ⨯=⨯； A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x xx x x x +++-÷--+，其中x 满足x 2+x ﹣1＝0． 【答案】21x x-,1. 【解析】解：原式＝()()()221-211121x x xx x x x x---=-+210x x +﹣＝， 21x x ∴＝﹣， ∴原式＝1.【变式训练】化简：22442x xy y x y-+-÷（4x 2－y 2）【答案】yx +21【解析】22442x xy y x y -+-÷（4x 2－y 2）=2(2)12(2)(2)x y x y x y x y -⨯-+-=yx +21. 【能力提升】已知：112a b-=，则ab b a b ab a 7222+---的值等于多少？【答案】43-.【解析】解：∵112 a b-=，∴a-b=-2ab，则2ab2ab44ab7ab3--=--+专题验收测试题1．下列计算结果为a2的是（）A．a8÷a4（a≠0）B．a2•aC．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a2【答案】C【解析】A、a8÷a4＝a4，故此选项错误；B、a2•a＝a3，故此选项错误；C、﹣3a2+(﹣2a)2＝a2，故此选项正确；D、a4与a2不是同类项，不能合并，故此选项错误，故选C．2．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【答案】B【解析】∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选B．3．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x3【答案】B【解析】A、不是同类项，无法计算，故此选项错误；B、正确；C、故此选项错误；D、故此选项错误；故选：B．4．下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7B．a4•a5＝a9C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a6【答案】B【解析】解：A、a3+a4，无法计算，故此选项错误；B、a4•a5＝a9，正确；C、4m•5m＝20m，故此选项错误；D、a3+a3＝2a3，故此选项错误．故选：B．5．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（）①a3÷a﹣1＝a2②（2a3）2＝4a5③（12ab2）3＝16a3b6④2﹣5＝132⑤（a+b）2＝a2+b2A．2道B．3道C．4道D．5道【答案】C【解析】①a3÷a﹣1＝a4，故此选项错误；②（2a3）2＝4a6，故此选项错误；③（12ab2）3＝18a3b6，故此选项错误；④2﹣5＝132，正确；⑤（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，故此选项错误； 则错误的一共有4道． 故选：C ．6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】B 【解析】设第n 次跳到的点为a n （n 为自然数），观察，发现规律：a 0=1，a 1=3，a 2=5，a 3=2，a 4=1，a 5=3，a 6=5，a 7=2，…， ∴a 4n =1，a 4n+1=3，a 4+2=5，a 4n+3=2． ∵2019=504×4+3， ∴经2019次跳后它停的点所对应的数为2． 故答案为：2．7．下列计算中，正确的是 A ．24±= B ．a a ≥C ．236·a a a =D ．211-=【答案】B 【解析】 解：A.42=，故A 错误；B. a a ≥，正确；C. 235a a a =，故C 错误；D. 211-=-，故D 错误； 故选：B ．8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ） A ．11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯⎪⎝⎭B ．2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC ．0.11010.33x x --= D ．a （b ﹣1）＝ab ﹣a 【答案】C 【解析】 解：A 、11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯⎪⎝⎭，单项式乘多项式；B 、2（x ﹣y ）＝2x ﹣2y ，单项式乘多项式；C 、0.11010.33x x --=，根据分式的性质； D 、a （b ﹣1）＝ab ﹣a ，单项式乘多项式； 则变形依据与其它三项不同的是C ， 故选：C ．9．下列运算正确的是（ ） A ．a 5﹣a 3＝a 2 B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2 C ．2212a2a-=D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3【答案】D 【解析】A 、a 5﹣a 3，无法计算，故此选项错误；B 、6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝6x 3y 2÷9x 2＝23xy 2，故此选项错误； C 、2a ﹣2＝22a，故此选项错误； D 、（﹣2a ）3＝﹣8a 3，正确． 故选D ．10．下列运算：其中结果正确的个数为（ ） ①a 2•a 3＝a 6 ②（a 3）2＝a 6 ③（ab ）3＝a 3b 3 ④a 5÷a 5＝aA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】解：①a 2•a 3＝a 5，错误； ②（a 3）2＝a 6，正确； ③（ab ）3＝a 3b 3，正确； ④a 5÷a 5＝1，错误． 故选：B ．11．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____． 【答案】﹣2． 【解析】∵a 与b 互为相反数， ∴a+b=0，∴a 2+ab-2=a(a+b)-2=0-2=-2. 故答案为：-2.12．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________． 【答案】6 【解析】解：2222242816510165(2)162(21)(4)a a a a a a a a a a a =++++=++=+++++，∵a 2+2a=-2，∴原式=25(2)165(2)166a a ++=⨯-+=，故答案为：6.13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______． 【答案】-2 【解析】解：（﹣2）2019×0.52018＝（﹣2×0.5）2018×（﹣2）＝﹣2 故答案为：﹣214．已知23xy=⎧⎨=-⎩是方程组23ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a2﹣b2＝_____．【答案】1 【解析】解：∵23xy=⎧⎨=-⎩是方程组23ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，∴232 233a bb a-=⎧⎨-=⎩①②，解得，①﹣②，得a﹣b＝15 -，①+②，得a+b＝﹣5，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣5）×（15-）＝1，故答案为：1．15．已知关于x、y的方程组31223x y ax y a+=-⎧⎨-=-⎩，则代数式32x•9y＝___．【答案】1 9 .【解析】解：将两方程相加可得2x+2y＝﹣2，则32x•9y＝32x•32y＝32x+2y＝3﹣2＝19，故答案为：19．16．计算：（x﹣y）2•（y﹣x）3+（y﹣x）4•（x﹣y）＝_____．【答案】0【解析】原式＝﹣（x ﹣y ）5+（x ﹣y ）5＝0， 故答案为：017．张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x ＋1)2－(4x －5)，并分别求出当x ＝和x ＝－时代数式的值． 小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．【答案】小亮说的对,理由见解析 【解析】2（x+1）2﹣（4x ﹣5） =2x 2+4x+2﹣4x+5， =2x 2+7，当x=时，原式=+7=7； 当x=﹣时，原式=+7=7． 故小亮说的对．18．先化简，再求值：(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)，其中x ＝3 【答案】x 2﹣3，9. 【解析】(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)， ＝x 2﹣4+4x 2﹣4x +1﹣4x 2+4x ， ＝x 2﹣3，当23x =(2331239=-=-=．19．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值．【答案】5【解析】 解： ∵13a a+=（a ＞1）， ∴21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝9，化简得221a a+＝7， 两边平方，可得441a a+＝49﹣2＝47，∵21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝221a a +﹣2＝7﹣2＝5，且a ＞1，∴1a a-=， ∴242241111()()()()a a a a aa a a-⨯+⨯+⨯-7×47×5＝20．请你将下式化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1． 【答案】3x 2﹣9x +4，7 【解析】(x +2)(x ﹣2)+(x ﹣2)2+(x ﹣4)(x ﹣1)， ＝x 2﹣4+x 2﹣4x +x 2﹣5x +4， ＝3x 2﹣9x +4， 当x 2﹣3x ＝1时， 原式＝3x 2﹣9x +4， ＝3(x 2﹣3x )+4， ＝3×1+4， ＝7．21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：22334422,33,4112233⨯=+⨯=+⨯=+4，…， （1）写出第5个等式；（2）写出第n个等式，并证明该等式成立．【答案】（1）第5个等式为：6666 55⨯=+；（2）第n个等式为：11(1)(1) n nn nn n++⨯+=++．【解析】解：（1）∵第1个等式为：222=11⨯+2，第2个等式为：333=22⨯+3，第3个等式为：444=33⨯+4，∴第4个等式为：54×5＝54+5，第5个等式为：65×6＝65+6；（2）第n个等式为：n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）．证明如下：∵n+1n×（n+1）＝2n+n+n+1n＝2n+nn+n+1n＝n+1n+（n+1），∴n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）．化类，通过观察得出第n个等式为：n+1n×（n+1）＝n+1n+（n+1）是解题的关键．22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。
七上数学每日一练：探索数与式的规律练习题及答案_2020年压轴题版
；第二次再 ；第三次将
四个 圆周分成 圆周 如图 ，在新产生的分点标上相邻的已标的两数之和的 ，记8个数的和为 ；第四次将八个
圆周分成 圆周，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 ，记16个数的和为 ；
如此进行了n次.
用含m、n的代数式表示 ；
当
时，求
的值.
考点： 探索数与式的规律;
答案解析
5. (2019北仑.七上期末) 观察以下图案和算式，解答问题：
1.答案：
答案解析
2.答案： 3.答案： 4.答案：
5.答案：
2. (2019扬中.七上期末) 观察下表三组数中每组数的规律后，回答下列问题：
序号
123
4
5
6
7
，……① 那么
，即
且 ）的值是________.
答案解析
…
n
A组
357
9
11
13
15
…
______
B组
5 8 13
20
29
40
______
…
n2+4
C组
4 8 16
32
64
128
256
…
______
（1） 请完成上表中三处空格的数据； （2） 可以预见，随着n值的逐渐变大，三组数中，值最先超过10000的是组； （3） 在A组的数中任意圈出连续的三个数，例如圈出5、7、9求它们的和为21.问能否圈出这样的三个数，使它们的和 为607？若能，请求出这三个数；若不能，请说明理由； （4） 下面再给出D组数，观察它与C组的关系，写出D组的第n个数：. D组1，11，13，35，61，131，253，…
（1） （2） （3） 请猜想
初中数学知识归纳数的性质与运算规律
初中数学知识归纳数的性质与运算规律数学是一门重要的学科，也是初中阶段必修的学科之一。
在数学学习的过程中，数的性质与运算规律是基础，掌握这些知识对于进一步学习和应用数学是至关重要的。
本文将对初中数学中常见的数的性质与运算规律进行归纳总结。
一、数的性质1. 自然数的性质自然数是我们最早接触到的数字，包括1、2、3、4……等。
自然数的性质有以下几点：（1）自然数是无穷的，没有最大的自然数。
（2）自然数的前一个数是它的前驱，后一个数是它的后继。
（3）自然数按大小顺序呈递增趋势。
2. 整数的性质整数包括正整数、负整数和0，其性质如下：（1）正整数比0大，负整数比0小。
（2）两个正整数相加或者相乘的结果仍为正整数。
（3）负整数与正整数相加或者相乘的结果可能为正整数、负整数或者0。
3. 分数的性质分数是由整数除法引入的，具有如下性质：（1）分数是有理数的一种表现形式。
（2）分数可以表示小于1的数，也可以表示大于1的数。
（3）分数相加或者相乘的结果仍为分数。
4. 小数的性质小数是不完全的数字，它的性质如下：（1）小数可以用无限的小数位来表示一个数。
（2）有限小数可以通过化简得到分数形式。
（3）循环小数可以通过运算转换为分数形式。
（4）小数相加或者相乘的结果仍为小数。
二、数的运算规律1. 加法运算规律加法满足以下基本规律：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（3）加法的零元素：a + 0 = a2. 减法运算规律减法的规律主要包括：（1）减去一个数等于加上这个数的相反数：a - b = a + (-b)（2）减法不满足交换律。
3. 乘法运算规律乘法有以下几个基本规律：（1）交换律：a × b = b × a（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)（3）乘法的单位元素：a × 1 = a（4）乘法的零元素：a × 0 = 04. 除法运算规律除法的规律包括：（1）除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数：a ÷ b = a ×(1/b)（2）除法不满足交换律。
数学下册综合算式专项练习题数与式的性质与证明分析
数学下册综合算式专项练习题数与式的性质与证明分析数学是一门基础学科，其重要性不言而喻。
在学习数学的过程中，算式是不可避免的一个重要内容，掌握算式的性质与证明方法对于解题和推理都具有至关重要的作用。
本文将就数学下册综合算式专项练习题中的数与式的性质进行分析和讨论。
一、数的性质在数学中，我们常常需要考虑数的性质，比如自然数、整数、有理数和无理数等。
这些不同类型的数在算式中的运用会体现出不同的特点和规律。
1. 自然数的性质自然数是最基础的数集，它包括了1、2、3、4等等一系列正整数。
自然数具有简洁明了的性质，具体包括：自然数的任意两个数相加仍然是自然数，自然数的相乘结果也必定是自然数。
此外，自然数还满足交换律、结合律和分配律等基本运算性质。
2. 整数的性质整数是自然数的扩展，包括了自然数及其相反数和0。
整数的性质相对复杂一些，但其性质的形成和推导仍然遵循自然数的性质。
整数的加法和乘法仍然满足交换律、结合律和分配律等运算规律。
此外，整数的减法和除法也有一些特殊的性质，比如减法可以看作加上相反数，除法中的分子分母均为整数时结果也一定是整数。
3. 有理数的性质有理数是可用分数表示的数，包括了整数和分数。
有理数的性质可以通过整数和分数的性质来推导得出。
有理数的加法、减法、乘法和除法都服从交换律、结合律和分配律，同时有理数的乘法和除法还满足消去律。
有理数的四则运算在代数表达式中经常被使用。
4. 无理数的性质无理数是不能被任何分数表示的数，比如π 和√2 等。
无理数的性质与有理数略有不同，无理数与有理数的任意运算结果都是无理数。
在实际问题中，无理数经常出现在几何图形的测量和描述中。
二、式的性质与证明在数学下册综合算式专项练习题中，掌握式的性质和证明方法是解题的关键。
下面我们将从等式、不等式和恒等式三个方面进行分析和讨论。
1. 等式的性质与证明等式是数学中最基本的一种符号关系，表达了两个量的相等关系。
在算式中，等式的性质与证明常被用于推导和解题。
初三数学下册综合算式专项练习题数的运算性质
初三数学下册综合算式专项练习题数的运算性质数的运算性质是初中数学中基础且重要的内容之一，在数学学习中起到了桥梁的作用。
通过深入理解数的运算性质，我们能够更好地解决数学问题，提高数学的实际运用能力。
本文将以初三数学下册综合算式专项练习题为例，系统介绍数的运算性质及其在实际问题中的应用。
一、四则运算的基本性质1. 加法的交换律加法的交换律是指无论加法的顺序如何变换，得到的结果都相同。
例如，对于任意的数a、b和c，满足a + b = b + a。
在综合算式的练习题中，我们常常需要利用加法的交换律来简化计算过程，将算式中的数按照大小或特性进行重新排列，以便更好地进行加法运算。
2. 加法的结合律加法的结合律是指在多个数相加时，加法的顺序不影响最终的结果。
例如，对于任意的数a、b和c，满足(a + b) + c = a + (b + c)。
在解答综合算式时，利用加法的结合律可以通过调整括号的位置，从而简化计算过程，使得计算更加方便和快捷。
3. 乘法的交换律和结合律乘法也具有交换律和结合律。
乘法的交换律是指无论乘法的顺序如何变换，得到的结果都相同。
例如，对于任意的数a和b，满足a × b = b × a。
乘法的结合律是指在多个数相乘时，乘法的顺序不影响最终的结果。
例如，对于任意的数a、b和c，满足(a × b) × c = a × (b × c)。
在解答综合算式时，我们常常需要利用乘法的交换律和结合律来进行运算的重新排列，从而简化计算过程。
二、数的运算性质在实际问题中的应用1. 简化运算数的运算性质可以帮助我们在解决实际问题时简化运算过程，提高计算的效率。
例如，在求解质数因子时，可以利用数的因数的对称性，将因数划分成两组，从而简化运算过程。
2. 推导等式数的运算性质也可以用于推导等式，从而解决实际问题。
例如，在解决几何问题时，可以利用加法和乘法的分配律，将复杂的运算转化为简单的运算，从而得到等式。
数学下册综合算式专项练习题数与式的性质与推理分析
数学下册综合算式专项练习题数与式的性质与推理分析数学下册综合算式专项练习题中数与式的性质与推理分析数学是一门抽象而又实用的学科，而在数学的学习中，算式的运用是必不可少的一部分。
本文将从数与式的性质与推理分析角度，对数学下册综合算式专项练习题进行探讨。
一、数与式的基本性质在数学中，数与式都有其独特的性质。
首先我们来讨论数的性质。
实数可以表示为有限小数、无限小数或分数等形式。
不同形式的数在计算中有着不同的特点和运算法则。
其中，有理数和无理数是实数的两个重要子集。
有理数可表为两个整数的比值，例如2/3、5/7等。
而无理数则不能用两个整数的比值表示，如π、e等。
式是数的组合，通常由运算符、数、未知数等组成。
式的性质与数的性质不同，主要体现在运算中。
例如，在四则运算中，加法和乘法满足交换律和结合律，而减法和除法却不满足交换律。
此外，加法和乘法还满足分配律，这是式的另一个重要性质。
二、数与式的推理分析1. 数的推理分析在数学中，我们常常需要通过已知条件推导出未知结果。
这就需要进行数的推理分析。
数的推理分析是一个逻辑思维过程，通过已知数及其性质，运用数学规律和运算法则，推导出所需结果。
例如，已知两角的和是60°，其中一个角为30°，则可以通过相减得到另一个角的度数。
2. 式的推理分析式的推理分析与数的推理分析相似，也需要通过已知条件推导出未知结果。
式的推理分析可以运用数的性质和式的性质进行计算。
例如，在解一元一次方程时，可以利用等式两边的性质进行等价变换，从而推导出未知数的值。
三、综合算式专项练习题接下来，我们将给出一些数学下册综合算式专项练习题，通过对这些题目的性质与推理分析，加深对数与式的理解和应用。
1. 已知a和b是两个正整数，且a > b，求a和b的最大公因数。
解析：根据欧几里得算法，最大公因数可以通过连续除法进行求解。
首先，用a除以b得到商q和余数r，然后将除数b作为新的被除数，余数r作为新的除数，继续进行除法运算，直到余数为0。
六年级数学下册综合算式专项练习题运算规律性质分析
六年级数学下册综合算式专项练习题运算规律性质分析数学是一门需要逻辑思维的学科，在学习过程中，我们经常遇到各种数学运算，其中综合算式是数学运算的重要组成部分。
而在综合算式中，运算规律性质是一个非常重要的概念，它能够帮助我们更好地理解和解决问题。
在本文中，我们将对六年级数学下册综合算式专项练习题的运算规律性质进行深入分析。
首先，我们来看一个例子。
例题：已知 a = 3，b = 5，c = 2，计算 a + b · c - b。
解析：根据运算规律性质，我们知道乘法具有优先级高于加法和减法的特点，所以我们首先计算乘法部分，然后再进行加法和减法。
计算过程如下：a +b ·c - b= 3 + 5 · 2 - 5= 3 + 10 - 5= 13通过这个例题，我们可以看到，在综合算式中，根据运算规律性质，我们需要按照特定的顺序进行计算，以确保计算结果的准确性。
接下来，我们进一步探讨运算规律性质在综合算式中的使用。
1. 加法和减法的运算规律性质在综合算式中，加法和减法具有可交换性和结合性的运算规律性质。
可交换性：对于任意的实数 a 和 b，a + b = b + a，a - b = b - a。
结合性：对于任意的实数 a、b 和 c，(a + b) + c = a + (b + c)，(a - b) - c = a - (b - c)。
通过这些性质，我们可以改变综合算式中的加法和减法的顺序，从而简化计算过程。
2. 乘法的运算规律性质在综合算式中，乘法具有可交换性、结合性和分配性的运算规律性质。
可交换性：对于任意的实数 a 和 b，a · b = b · a。
结合性：对于任意的实数 a、b 和 c，(a · b) · c = a · (b · c)。
分配性：对于任意的实数 a、b 和 c，a · (b + c) = a · b + a · c。
专题-数与式的运算(解析版)
专题01 数与式的运算知识梳理在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．知识结构模块一绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【例1】解不等式：13x x -+-＞4．【难度】★★【答案】0<x 或4>x【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间典例剖析的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【难度】★★【答案】（1）当x=3时，3-x =0为最小值；（2）当x=-2时，25+-x =5为最大值；（3）当54≤≤x 时取最小，则54-+-x x =1为最小值；（4）当x=8时取最小，则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB，当A、B两点中一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，babOBAB-===；当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边baababOAOBAB-=-=-=-=；②如图3，点A、B都在原点的左边()baababOAOBAB-=---=-=-=；③如图4，点A、B在原点的两边()bababaOBOAAB-=-+=+=+=.综上，数轴上A、B两点之间的距离baAB-=.（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，如果2=AB，那么x为；③当代数式21-++xx取最小值时，相应的x的取值范围是；④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-xxxx的最小值.【难度】★★★【答案】①3，3,4；②|x+1|,1或-3；③21≤≤-x；④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得最小值，最小值是998+997+....+2+1+0+1+2+. (998)()299899812⨯+⨯=997002.对点精练1.解绝对值方程：3xx．-x-2=1--【难度】★★【答案】4x=【解析】分类讨论：x＜1，1≤x＜2，x≥2，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．解：当x＜1时，原方程等价于1﹣x﹣（2﹣x）=x﹣3．解得x=2（不符合范围，舍）；当1≤x＜2时，原方程等价于x﹣1﹣（2﹣x）=x﹣3．解得x=0（不符合范围，舍）；当x≥2时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）=x﹣3．解得x=4，综上所述：x=4．本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，此外也可以通过数形结合来解题．模块二乘法公式（1）平方差公式22+-=-；()()a b a b a b（2）完全平方公式222±=±+；a b a ab b()2（3）立方和公式2233+-+=+；()()a b a ab b a b（4）立方差公式2233-++=-；a b a ab b a b()()（5）三数和平方公式2222()2()++=+++++；a b c a b c ab bc ac（6）两数和立方公式33223+=+++；a b a a b ab b()33（7）两数差立方公式33223-=-+-．a b a a b ab b()33引申：n次方差公式；()()()()()()322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a a b a b a b ab a b a b a b a b a b a 根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数） 这个公式称为n 次方差公式；由这个公式易得())(n n b a b a --；定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++；（2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22)312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ．【难度】★★【答案】（1）解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．（2）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=．（3）原式22]31)2([+-+=x x典例剖析222222111()(2)()2(2)22(2)333x x x x x x =+-++-+⨯+⨯⨯-432822122339x x x x =-+-+． （4）1116--=a a 原式．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++；（2）432673676x x x x +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++=22(68)(58)x x x x ++++=2(2)(4)(58)x x x x ++++（2）原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++--=22226(1)7(1)36x x x x -+--=22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+=22(232)(383)x x x x --+-=(21)(2)(31)(3)x x x x +--+．对点精练1．已知335252-++=x ，求533-+x x 的值．【难度】★★【答案】1-【解析】()()()()()1552525131353333531152,52,52,52332233333333-=-++-=-+++++=-+++++=-+++=-=⇒-=⇒+=-==+=-ab b ab a b a b a ab b a b a b a b a ab ab b a b a 原式即令2．已知96333=-+z y x ，4=xyz ，12222=++-++xz yz xy z y x ，求z y x -+的值．【难度】★★★【答案】9【解析】()()()()[]()()()()9123333310812963222222222233333333=-+∴=-++++-++++-+=-+-++++-+=+---+=+-+=+=+-+z y x xy yz xz z y x xyyz xz z y x z y x z y x xy z y x z y x z y x xyz xy y x z y x xyzz y x xyz z y x 解：3．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．【难度】★★【答案】令a x y =+，b xy =，则原式=2(1)(2)(2)b a a b -+--=221222a b a b ab ++-+-=2(1)a b --=2(1)x y xy +--=2[(1)(1)]x y ---=22(1)(1)x y --1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．2、二次根式2a 的意义 2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩【例7】试比较下列各组数的大小：（1）1211-和1110-； （2）264+和226－． 【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++， 模块三：二次根典例剖析===，>，∴（2）∵===∴6＋4＞6＋22，＜【例8】化简：（1（21)<<．x【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）原式====．2=2（2）原式1=-，xx∵01<<，x∴11x>>，x所以，原式＝1x-．x【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ） A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n nD ．1111+--n n 【难度】★★ 【答案】C【解析】方法一：通过通分，然后整理配平方来解题1111)()1()1(1)(2)1()1()1()1()1(111222222222222222222+-+=+++=+++++=+++++=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 方法二：可利用特值法将A 、B 、D 一一排除。
初中数学解题：规律问题探索—数与式
二 小结：
教
学
反
思
二度备课（手写稿）
一、知识探究
数字规律探究
例题讲解：
练习：
3．(2015·绥化)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a＋b＋c＝．
数式规律探究
例题讲解：
5．(2015·铜仁)请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：
根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝
练习：
循环规律探究பைடு நூலகம்
例题讲解：
学校集体备课纸
课 题
10.规律问题探索—数与式
学期第（）课时
课时目标
1.经历规律问题的探究及其概念的形成过程；
2.会运用规律问题的探究模型解决简单的问题；
3.体验从特殊到一般的数学思想，感受数式规律变化中的数学本质.
教学重难点
1．重点：规律问题探索的解决方法.
2．难点：找到数与式的变化规律.
教学过程
八年级数学探索规律之数与式的规律专题(人教版)(含答案)
探索规律之数与式的规律专题（人教版）一、单选题(共11道，每道9分)1.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是( )A.74B.66C.52D.38答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2013应标在( )A.第504个正方形的左上角B.第504个正方形的右下角C.第503个正方形的左上角D.第503个正方形的右下角答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数字规律3.如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是( )A.-4B.-2C.6D.不能确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：周期规律4.有这样一组数据，，，…，，满足以下规律：，，，…，（且为正整数），则的值为( )A.-1B.2C. D.不能确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：周期规律5.一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是( )A.升B.升C.升D.升答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：探索规律6.观察下面一列数：2，5，10，x，26，37，50，65，…，根据规律，可知x表示的数是( )A.15B.16C.17D.18答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律7.观察下列单项式：，，，，…，根据你发现的规律，写出第n个单项式是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律8.观察下面的一列单项式：，，，，…，根据你发现的规律，第8个单项式为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律9.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…，若分裂后，其中有一个奇数是2103，则m 的值是( )A.45B.46C.47D.48答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数的规律10.李老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那么，当输入数据为6时，输出的数据是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分数规律11.观察下列等式：①；②；③；④；……；请你根据观察得到的规律，判断下列各式中正确的是( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：式的规律。