一种规约于可满足性问题SAT的知识推理算法
一种新的SAT问题预处理算法
２００７年第２４卷第１０期微电子学与计算机１９５蕴涵关系．实现传播闭包是预处理化简的最终日标。
为达到该目标．程序反复运用对称扩展后的一元推导并结合等价化简技术１７】直至分析完所有的文字再不能产生新的蕴含关系为止。
这个过程需要两个阶段。
在第一阶段里对每一个未赋值的文字进行对称扩展的一元推导．记录下相应的直接后代文字节点．构建出一个初始的蕴含图。
在这个过程中蕴含图的对称性始终得到保持．即每新添加一个蕴含关系如（一６）时．与其对称的蕴含关系（～６一ｍ）也会立即添加至蕴含图中。
此外如果在构建蕴含图的过程当中发现失败性文字或等价文字．程序将分别应用一元推导和等价化简进行化简处理。
比如当同时发现（ｒ＋６）和（口一一６）时，可判断文字ｄ是失败性文字必须赋值为Ｏ．程序会立即对ｑ以及ｑ的所有直接后代文字节点进行一元推导化简；当同时发Ｊ觅（ａ－－＇ｂ）和（６—＿，口）．即存在蕴涵环路的情况时，则可得出等价关系ａ＝ｂ．此时可以利用等价化筒技术去掉冗余文字和子句从而化简原问题。
第一阶段完成后，即建立了一个初始的蕴涵图。
第二阶段进一步分析并完善该蕴涵图．直至到达到传播闭包状态。
此阶段的处理与第一阶段处理十分类似．也是反复的应用对称扩展的一元推导和等价化简。
然而与第一阶段不同的是程序不断地在一个文字节点与其间接的后代文字节点之间添加直接的蕴涵关系。
这样使文字问的蕴涵关系更加直接．从而能进一步分析得出更多的文字间的蕴涵关系。
比如，蕴涵图中如果已存在两个文字蕴涵关系（ｒ岫）和（６—吣）．将添加新的蕴涵关系（ｒ～）到蕴涵图中，这样当以后分析文字口．即对。
和所有ｎ的直接后代文字节点进行一元推导时就能更快的发现失败性或等价的文字。
Ｓｎｏｗｂａｌｌ预处理器的具体算法如下：１一元推导所有一元子句第一阶段：构建初始蕴涵图２ｆｏｒｅａｃｈ￡ｈｍｓｏｒｔｅｄｌｉｓｔｏｆｌｉｔｅｒａｌＩ３＊化ｉｓｒｅｍｏｖｅｄ）ｃｏｎｔｉｎｕｅ；４ｃｈｉｌｄｒｅｎ＿ｓｅｔ：ＵＰＬ（Ｌ＆￡’ｌＣＵｎｍｎｔｃｈｉｌｄｒｅｎ）；５ｆｏｒｅａｃｈＺｉｎｅｈｉｌｄｒｅｎＪｅｔｌ６ｉｆ（ｆ—吐）ｆｅｑｕａｌｉｔｙＲｅｄｕｃｆｉｏｎ（１吐）；Ｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ（）；ｌ７ｅｌｓｅｉｆ（卜－－Ｌ）｛ＵＰ（吒）；Ｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ（）；１８ｅｌｓｅａｄｄｎｅｗｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ：（￡叫）＆（扣正）；｝｝第＝阶置：分析并进一步完善蕴涵图９ｆｏｒｅａｃｈＬｈｖｍｓｏａｅｄｌｉｓｔｏｆｌｉｔｅｒａｌ（１０埘Ｌｉｓｒｅｍｏｖｅｄ）ｃｏｎｔｉｎｕｅ；１１ｃｏｌｌｅｃｔａｌｌＬ’Ｊｃｕ．ｒｌ＿ｅｎｔｃｈｉｌｄｒｅｎｔｏｎｅｗｅｈｉｌｄｒｅｎ＿ｓｅｔ；１２ｄｏＩ１３ｆｏｒｅａｃｈＺｉｎｎｅｗｃｈｉｌｄｒｅｎ＿ｓｅｔｌ１４ｆｏｒｅａｃｈｌ’５ｃｈｉｌｄ：ｆ１５ｉｆ（ｚ＝Ｌ）｛ｅｑｕａｌｉｔｙＲｅｄｕｃｆｉｏｎ（１＝Ｌ）；Ｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ（）；ｌ１６ｅｌｓｅｉｆ（ｚ＝一Ｌ）｛ＵＰ（－Ｌａｎｄ－Ｌ’｛ｃｈｉｌｄｒｅｎ）；Ｒｅ－ｅｏ∞ｉｄｅｒａｔｉｏｒｔ（）ｄ１７ｅｌｓｅａｄｄｎｅｗｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，（￡—々）＆（＂屯）；｝｝１８ｎｅｗｃｈｉｌｄｒｅｎ＿ｓｅｔ＝ＵＰＬ（Ｌ＆Ｌ’Ｊｅｌｌｉｌ４ｍｎ）－ｎｅｗｃｈｉｌ－＆ｅｎ＿ｓｅｔ；１９｝ｗｈｉｌｅ（ｎｅｗｃｈｉｌｄｒｅｎｓｅｔｉｓｎ’ｔｅｍｐｔｙ）；ｌ３实验结果文中在实验中使用了两个当前较先进的ｓＪＡｌｒ解决器：ｚＣｈａｆｆ和Ｍｉｎｉｓａｔ。
基于SAT求解器的自动推理技术研究
基于SAT求解器的自动推理技术研究自动推理技术是指利用计算机程序对逻辑规则、数学推理和知识的自动处理，从而产生具有意义的结论的技术。
它可以使计算机能够完成人类难以甚至无法完成的推理任务。
SAT求解器是解决布尔可满足性问题的一种算法，也是一种自动推理技术。
通过研究基于SAT求解器的自动推理技术，可以优化算法，提升计算机的能力。
一. SAT求解器的原理及应用SAT求解器是用于解决布尔可满足性问题的一种算法，即在给定一组布尔变量的赋值下，判断是否存在一种赋值能够使得一个布尔公式为真。
求解器的基本原理是通过穷举给定变量的所有可能赋值进行验证，并给出满足公式的解，或者证明不存在解。
SAT求解器在计算机科学和工程等领域中有着广泛的应用，如在嵌入式系统的验证、计算机网络安全分析、社会选择理论中都发挥了重要作用。
二. 基于SAT求解器的自动推理技术SAT求解器通过构造布尔公式来判断可满足性。
如果公式可满足，则存在一种解决方案；否则就需要进一步分析公式的性质，寻找解决方法。
这种性质分析过程可以通过特定的算法，在给定的范围内有效地进行搜索，找出合理的解决方案。
基于SAT求解器的自动推理技术是指利用SAT求解器对各种逻辑问题进行自动处理并推理出结论。
在自动推理中，SAT求解器可以枚举变量的赋值，在逐步缩小解空间的同时，寻找满足条件的解。
这种搜索过程大致可分为两类：经典的自下而上的搜索和最新的自上而下的搜索。
自下而上的搜索是指从每个变量的可能赋值开始，逐一枚举所有变量，直到找到一个可行的解为止。
而自上而下的搜索则是从公式本身开始，通过对公式进行变换和化简，将其转化为一个更容易求解的形式，最终得到解。
三. 自动推理技术的发展自动推理技术的发展始于20世纪初。
当时，研究人员将数学公式表示为逻辑公式的形式，并应用原理证明与逆向推理技术进行求解。
之后，随着计算机科学的飞速发展，自动推理技术得到了快速的发展。
研究人员也不断探索新的算法和方法，以提升自动推理技术的效率和精度。
数字电路SAT可满足性算法研究
数字电路ＳＡＴ可满足性算法研究作者：王敬孚来源：《硅谷》2008年第07期[摘要]现代数字集成电路技术的飞速发展，对计算机辅助测试提出更多更高的要求，可满足性方法（SAT-Satisfiability）作为一种有效的完备测试生成方法，近年来在集成电路测试领域引起广泛的研究兴趣，并取得了一些应用上的成功。
对电子数字电路的SAT可满足性算法进行研究，希望能够有助于提升我们对相关问题的认识，以有助于数字电路测试的不断发展和进步。
[关键词]数字电路 SAT可满足性测试公式可满足性可满足性搜索问题中图分类号：TN7文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）0410017－01随着近年来数字电路应用的不断增加，对数字电路进行测试日益成为一项经常性的行为。
对于大规模和超大规模集成电路，依靠人力来测试故障已不可能，必须利用计算机生成和执行测试，数字电路可满足性测试方法是数字电路测试的一种有效方法。
一、数字电路测试其他基本算法测试生成算法就是针对具体的目标故障f产生一个测试模式t，将该模式用作输入以激活电路的故障，并在可观测点观测其行为是否与无故障电路的行为有区别。
若不相同的话，就说该测试模式t检测了该目标故障f。
这其中包括了两层含意：在故障点产生一个差错信号；传播该差错信号到原始输出端。
一般测试算法常见的有：穷举方法：测试生成的目的就是要查找一个具有最大故障覆盖率的测试集合。
测试生成最简单的方法就是穷尽真值表方法。
见图1。
图1代数方法：代数方法（也指布尔差分法，它是组合电路测试生成的一种方法。
它使用布尔方程来描述电路，它的描述严格而简洁，物理意义清晰。
因此在研究组合电路测试生成的理论和方法时具有重要的意义。
结构化方法：结构化方法是以网络的拓扑结构为出发点的各种测试产生算法。
在这种方法中，它不直接化简布尔方程，而是用一定的数据结构来表示电路。
即电路的功能由网表和模块库联合描述，网表描述电路的拓扑结构以及模块的类型，而库则提供了每个类型模块所实现的逻辑函数。
sat 问题 方法
SAT 问题方法
SAT问题是一种组合优化问题，旨在找到满足一组布尔表达式中至少一个的变星赋值。
解决SAT问题的方法有很多种，以下是一些常见的方法:
1.回溯法:回溯法是一种通过穷举所有可能的赋值来找到满足布尔表达式的解的方法。
这种方法简单直观，但当变量规模较大时，效率较低。
2.约束满足问题方法:约束满足问题方法是一种基于约束满足的算法，它通过不断添加约束来缩小解空间，直到找到满足所有布尔表达式的解或确定无解。
这种方法在处理具有大量约束的SAT问题时非常有效。
3.造传算法:造传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。
它通过选择、交叉和变异等操作来不断进化解空间，最终找到满足布尔表达式的解。
这种方法在处理大规模的SAT问题时具有一定的优势。
4. DPLL算法: DPLL算法是一种经典的解决SAT问题的算法。
它通过深度优先搜索和动态规划来找到满足布尔表达式的解。
DPLL算法在处理具有较大规模变星的SAT问题时具有较高的效率。
5.基于概率的方法:基于概率的方法是一种通过随机采样来找到满足布尔表达式的解的方法。
这种方法在处理大规模的SAT问题时具有一定的优势，但结果的可靠性较低。
以上是解决SAT问题的一些常见方法，选择哪种方法取决于问题的具体性质和规模。
在实际应用中，通常会根据问题的具体情况选择最适
合的方法来解决SAT问题。
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SAT问题求解讲解
SAT 问题研究小结预备知识：1.基于模型诊断的基本概念介绍：首先我们介绍基于模型诊断的主要思想和框架结构：基本定义：（1）诊断系统：一个诊断系统符号化定义即为一个三元组(SD,COMPS,OBS),其中SD 为系统描述，是一阶谓词公式集合；COMPS 是系统的组成部件集合，是一个有限常量集合，而OBS 是一个观测集合，是一阶谓词公式的有限集合。
简而言之就是把一个相关的系统抽象成符号化的几个部分，然后把系统模型化，根据逻辑关系和相关的硬件结构抽象成模型，根据模型推理出系统正常的输出，而往往在实际系统中得到的观测和预期的结果不符，此时便需要诊断出哪些元件可能出现故障，出现故障的原因，并找到故障元件并解决，其中最主要的是故障元件集合的找出即：诊断集合。
（2）我们把一个元件不正常工作符号化表示即为：AB(c):”abnormal ”,AB(c)为真当且仅当c 反常，其中c ∈COMPS 。
（3）基于一致性诊断：设组件集合COMPS ∈∆，称∆为关于(SD,COMPS,OBS)的一个基于一致性诊断，如果})({S D ∆-∈⌝COMPS c c AB OBS 是可满足的。
（4）极小诊断集：称一个关于(SD,COMPS,OBS)的一个基于一致性诊断∆是极小的(MCBD),if 不存在∆的任何真子集也是关于(SD,COMPS,OBS)的一个基于一致性诊断。
（5）由此我们可以知道：要想判断一个诊断集合是否是基于一致性诊断，只需要判断在这个诊断集合中的组件都是反常的(是故障的)，然后剩下的组件工作正常工作和系统的相关描述以及系统在这种情况下系统的观测是否逻辑上可以解释的。
（6）命题可满足性问题(propositional Satisfiability Problem,SAT)是人工智能里的一个分支，它是完全NP 问题，并且人工智能中很多的NP 问题都可以转化成SAT 问题，然后求解，相应的基于模型诊断问题(MBD)问题也可转化为SAT 问题，然后求解。
基于寻找可满足2-SAT子问题的SAT算法
领域 ， 可解决 自动测试 向量生成 、 时序分析 、 逻辑验证 、 等价性 检查 、 智能规划等问题 。 目前 Ｓ Ｔ问题 的算 法 有 完 全 算 法 和 不 完 全 算 法 两 大 Ａ
类 。前者 主要 是 以 Ｄ ｖ —ｕｎｍ＿ 算 法 为 原 型 的一 类 Ｄ ａｉＰ ｔ ３ ｓ ａ Ｐ算
０ 引言
命题逻辑合取范式 （ Ｎ ） Ｃ Ｆ 的可 满足性 问题 （ Ａ ） 当代 ＳＴ 是
理论计算机科学 的核心 问题。Ｓ Ｔ问题是典 型 的 Ｎ Ａ Ｐ完全 问 题 ， 其快速求 解方法不仅具有重要 的理论 意义 ， 还有 着直接
应 用 ； 的研 究 成果 广 泛 应 用 于 电 子 设 计 自动化 、 工 智 能 等 它 人
Ｓ ＡＴ． ＴｂｓＳＡＴ ｏｖ ｒｓ ｌｅ ｈｅｐ ｏ ｌ ｍ ｙ ｓ ａｃ ｉ ｇ ａｓ ｔｓ ａ ｌ ． ｉ ｓ ｌｅ ｏｖ ｄ ｔ ｒ ｂ ｅ ｂ ｅ ｒ ｈ ｎ ａ ｉｆ ｂｅ ２ ＳＡＴ ｕ ｏ ｅ ．ＳＡＴ ｓＮＰ ｃ ｍｐ ｅｅ．ｂ ｔｉ ｃ ｎ ｂ ｉ ｓ ｂ ｐｒｂｌｍ ｗａ ． ｏ ｌｔ ｕ ｔ ａ ｅ
傅阳春 ， 周育人
（ 南理 工大 学 计 算机 科 学与 工程 学院 ， 州 ５ ００ ） 华 广 １０ ６
摘
要 ：可满足 问题 （Ａ ） 一 个 Ｎ —ａ ＳＴ是 ＰＨ ｒ ｄ问题 。提 出 了一种 求解 Ｓ Ｔ的新 算 法 （Ｆ Ａ ） Ａ ＦＳ Ｔ 。该 算 法将 Ｓ Ｔ问 Ａ
题 转换 为寻找一个可 满足 的 ２ Ａ 一 Ｔ子 问题 。Ｓ Ｔ问题 虽然是 Ｎ Ｓ Ａ Ｐ完 全 问题 ， 是 当所 有子 句 长度 不 大于 ２时 ， 但 Ｓ Ｔ问题 可以在线性 时间求解 。使 用 ２Ｓ Ｔ算 法． ｉＳｔ 解 ２Ｓ Ｔ子 问题 ， Ａ －Ａ Ｂｎ ａ 求 一Ａ 当它 不满足 时， 根据 赋值 选择 新 的
LSAT逻辑推理是什么呢？
LSAT逻辑推理是什么呢？很多朋友不知道LSAT逻辑推理是什么，其实SAT逻辑推理很容易理解的，不懂得朋友赶快来看看吧！LSAT是Law School Admission Test（法学院入学考试）的缩写。
该考试做为美国法学院申请入学的参考条件之一，该成绩将作为预估申请入学者在法学院的正确且合理的推论与判断能力、分析及评估能力之表现，没有资格报考的限制。
考试包括三个方面的内容，每部分时间为35分钟，另加30分钟的写作。
三个方面的内容是阅读理解、逻辑推理及分析推理。
LSAT考试共有五个部分，包括三个方面的内容，每部分时间为35分钟，另加30分钟的写作。
三个方面的内容是阅读理解、逻辑推理及分析推理，主要测试考生下列几方面的能力:准确阅读并理解复杂文章的能力组织有关信息并得出合理结论的能力批判性地推理能力对他人的推理进行分析和评价的能力逻辑推理试题共有两个部分，每部分有24—26道试题。
一般每道题都有一篇小的短文或对话，然后针对此短文或对话提出问题。
短文或对话，然后针对此短文或对话提出问题。
短文或对话涉及的范围很广，包括哲学、文学、政治、科技、艺术、历史、体育等等。
逻辑推理试题主要测试考生的以下能力：确定中心思想找出推理中的假设从已知事实或前提得出合理结论确定推理的准则并将之应用于新的论证确定推理的方法或结构找出推理的错误及误解确定新的事实或论证对现有论证或结论的加强或削弱。
对论证进行分析采用系统图形或符号解法解逻辑推理题目，如美国法学院入学考试 LSAT 题目，是正确的方法。
下面我们推荐和示范一套图形解法, 读者可以自己建立，或采用其他图形解法，但是一套系统的，完备的，和固定的图形解法是非常必要的，这就像用方程组解数学问题一样。
任何逻辑推理题目，只要有一定的时间，不用图形解法也都可以解出来，但是时间是最重要的问题。
采用一套系统的，固定的图形解法的好处是：1、把题目文字和逻辑抽象为一组熟悉的图形或符号，从而解问题的时候关注这组图形就好。
sat原理
sat原理
SAT原理简介
SAT（Satisfiability）是一种重要的数学和计算机科学问题，涉及到布尔逻辑的可满足性问题。
SAT问题可以简单描述为：
给定一个布尔表达式，问是否存在一组变量的赋值，使得该布尔表达式成立。
SAT问题的解决方法被广泛应用于许多领域，例如电路设计、自动推理、人工智能等。
在现代计算机科学中，SAT问题也
是一个NP完全问题，即没有已知的高效算法可以在多项式时
间内解决该问题。
因此，对于大规模的SAT问题，通常只能
通过枚举法或启发式算法进行求解。
SAT问题的求解主要依赖于“可满足性”这个概念。
如果一个布尔表达式存在一组变量的赋值使得其为真，那么就称这个布尔表达式是可满足的。
反之，如果不存在这样的赋值，则称这个布尔表达式是不可满足的。
为了解决SAT问题，研究人员提出了许多高效的算法和数据
结构。
其中最著名的算法之一是DPLL算法（Davis–Putnam–Logemann–Loveland algorithm），该算法通过递归地分裂变量、化简公式和回溯来寻找可满足解。
此外，SAT问题还有一些扩展形式，例如部分可满足性问题（Partial Satisfiability）和最大可满足性问题（Maximal Satisfiability）。
这些问题在实际应用中具有重要意义，不仅
可以用于电路设计和自动推理，还可以应用于限制满足问题、人工智能规划和图形可靠性分析等领域。
总的来说，SAT原理是一种求解布尔逻辑可满足性问题的方法，其应用广泛且具有理论和实践意义。
通过解决SAT问题，我们可以在许多实际应用中获得有效的解决方案。
可满足性问题求解算法的研究与应用
可满足性问题求解算法的研究与应用随着信息时代的到来，计算机科学和人工智能等领域得到了前所未有的飞速发展，而可满足性问题求解算法（SAT）则成了这些领域中相当重要的一环，应用范围也越来越广泛，包括电路设计、自动化制造、计算机网络、人工智能、智能搜索等多个领域。
本文将从历史背景、算法原理、算法类型和应用等几个方面为读者介绍SAT算法相关知识。
一、历史背景SAT问题最早可以追溯到20世纪70年代，当时人们已经提出了它的NP完全性和困难性，但是一直没有一种有效的算法来解决这个问题。
相信很多读者已经接触了某些难以解决的逻辑问题或者数独游戏，都知道这种问题往往需要经过多次排查、检验、调整才能够解决，而且很容易就会陷入死胡同。
而SAT问题就是这样一种典型的需要经过大量计算才能够得出结果的难题。
随着计算机技术和算法的进步，SAT问题求解的速度和效率也得到了大幅提升。
目前，已经有很多高效的SAT求解算法被开发出来，并且在多个领域得到了广泛应用。
接下来我们将详细介绍SAT问题的算法原理和类型。
二、算法原理SAT问题的基本原理就是将一个大问题分解成多个小问题，然后分别解决这些小问题并把它们组合成为最终的解。
具体来说，SAT问题就是要寻找一种合适的变量取值方案，能够满足一定的逻辑关系。
例如，在一个电路设计中，我们需要确定每个输入和输出的变量取值，才能够确保整个电路的正常运行。
而SAT问题的求解就是要找到一个最小化的解答，能够满足已知条件的要求。
假设SAT问题的输入是一个布尔表达式，包含若干个变量和若干个逻辑运算符，我们可以通过以下几种方式来解决这个问题。
（一）穷举法穷举法是一种比较简单和直接的SAT求解方法，其主要思想是将变量的取值方案全部枚举出来，并且逐个验证，直到找到满足条件的解答。
然而，这种方法在实际应用中往往能够解决的问题比较小，因为枚举的取值方案实在太多了，很难在较短的时间内得到解答。
（二）Davis-Putnam-Logemann-Loveland算法（DPLL算法）DPLL算法是一种经典的SAT问题求解方法，目前得到了广泛应用。
2-sat问题的tarjan算法
2-sat问题是一种布尔可满足性问题，即判断一个由布尔变量和它们的逻辑运算构成的合取范式是否存在可满足的赋值。
在计算机科学和逻辑学中，2-sat问题具有重要的理论和实际意义。
为了解决2-sat问题，人们提出了许多有效的算法，其中tarjan算法是一种经典且高效的解决方法。
1. tarjan算法的概述tarjan算法是由美国的计算机科学家Robert Tarjan在1972年提出的，它主要用于解决有向图中的强连通分量问题。
在2-sat问题中，可以将布尔变量和它们的逻辑运算构成的合取范式转化为一个有向图。
然后利用tarjan算法来求解图中的强连通分量，从而判断2-sat问题是否可满足。
2. tarjan算法的原理tarjan算法的核心是利用深度优先搜索（DFS）来遍历图中的节点，并且通过维护一个栈来记录搜索路径上的节点。
在DFS的过程中，通过比较节点的深度和搜索路径上的节点的深度来判断是否存在环路，从而找到强连通分量。
利用tarjan算法求解2-sat问题的关键在于将逻辑运算转化为有向图，同时构建出正确的搜索路径和深度信息，以便进行强连通分量的判断。
3. tarjan算法的优势与其他算法相比，tarjan算法具有许多优势。
tarjan算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V为图中的节点数，E为图中的边数。
这意味着即使在大规模的图中，tarjan算法也能够在合理的时间内得到结果。
tarjan算法的实现相对比较简单，只需要进行一次DFS遍历和一些基本的数据结构操作即可完成。
另外，tarjan算法的结果也比较容易理解和解释，对于2-sat问题的求解具有很好的可解释性。
4. tarjan算法的应用由于tarjan算法在解决2-sat问题中具有较高的效率和可靠性，因此它在实际的计算机科学和工程领域得到了广泛的应用。
在编译原理中，可以利用tarjan算法进行程序的静态分析和优化；在人工智能和图像处理中，可以利用tarjan算法对逻辑规则进行推理和推导；在电路设计和布线规划中，也可以利用tarjan算法对逻辑电路进行布线和优化。
布尔可满足性问题的启发式求解算法
布尔可满足性问题的启发式求解算法引言布尔可满足性问题（Boolean Satisfiability Problem，简称SAT）是计算机科学中一个经典的问题。
给定一个布尔表达式，判断是否存在一组变量的赋值，使得该表达式为真。
SAT问题是一个NP完全问题，通常在实际应用中遇到大规模的情况下，求解时间较长。
为了加快求解速度，并找到最优解，研究人员发展了各种启发式求解算法。
本文将介绍一些常用的启发式求解算法。
1. 真值传播算法真值传播算法是一种广泛应用于SAT问题求解的启发式算法。
该算法利用逻辑公式的传播规则，对变量的真值进行推理，以便找到更多的可满足解。
算法的核心思想是根据已有的真值分配，推断出其他变量可能的取值，为下一步的决策提供参考。
2. 单子句传播算法单子句传播算法是真值传播算法的一种变体。
它通过从公式中抽取出单子句，将其直接赋值为真，从而简化了问题的形式，并约束了其他变量的取值范围。
这一过程可以减少搜索空间，加速求解过程。
3. 学习策略学习策略在SAT问题中起到了关键作用。
当求解算法在搜索过程中遇到冲突时，学习策略能够根据已有信息获得新的限制条件，提高求解效率。
一种常用的学习策略是学习子句的单位分辨，即从冲突子句中选择一个文字，反转它的取值，得到一个新子句，并添加到公式中。
这样可以避免再次遇到类似的冲突。
4. 启发式变量选择选择合适的变量进行赋值是求解SAT问题时的一个重要决策。
启发式变量选择策略可以根据一些指标，如出现频率、相互影响等，选取具有较高影响力的变量。
这样可以更快地找到满足条件的解。
5. 分支策略分支策略是SAT求解算法中的一项关键技术。
它根据已有的真值分配，选择一个变量进行赋值。
一般来说，该变量应该是具有较大的决策影响的变量。
分支策略的选择对求解效率有重要影响，需要根据问题的性质进行灵活调整。
结论布尔可满足性问题是一个经典而重要的问题，在许多实际应用中都有广泛的应用。
为了提高求解效率，研究人员提出了各种启发式求解算法。
maxsat问题的完备算法研究
摘要现实生活中会存在很多约束，需要在所有约束被满足或尽量满足的情况下制定出一种最优解决方案，这一类问题被称为约束满足问题（Constraint Satisfaction Problem , CSP）。
本文的研究重点最大可满足性问题（Maximum Satisfiability Problem , MaxSAT）是一类特殊的约束满足问题，其目标是对给定的子句集，找到关于其变元集合的一组完备赋值使得该子句集被满足的子句个数最多。
MaxSAT是典型的NP难问题，具有很重要的理论和工业价值。
MaxSAT的算法有两大类：完备算法以及启发式算法。
本文研究的重点是MaxSAT的完备算法，完备算法的最大特点是需要考虑每一种可能解，所以在基于分支限界的MaxSAT算法中，为了更早更多的排除非最优解，在下界预估阶段使用单子句传播规则、推理规则、失败文字探测等技术来提高下界，从而提高算法的求解效率。
本文结合了基于分支限界的MaxSAT算法maxsatz，提出了新算法Iter_maxsatz。
新算法Iter_maxsatz将子句集划分为多个子句分组，通过对各子句分组调用maxsatz 迭代求解，会得到各子句分组的局部最优解，这个局部最优解的值会被用到maxsatz 搜索过程的剪枝中：可以在线性时间复杂度内根据局部最优解的值计算出搜索树中各个结点上可满足子句个数的上界值，将该值与当前可满足子句个数的下界比较，判断对以该结点为根结点的子树进行搜索的必要性，从而提高算法的求解效率。
对MaxSAT竞赛网站上的公开的随机算例进行了测试，实验结果的深入分析表明算法Iter_maxsatz是一个可行且具潜力的算法。
关键词：NP难问题, MaxSAT问题, 完备算法, 剪枝策略AbstractThere are many constraints in real life, plans must be made in the condition that all the constraints or as many constraints as possible can be satisfied in the plans. They are called constraint satisfaction problems in computer science. MaxSAT is a special constraint satisfaction problem that will be mainly discussed in the thesis. MaxSAT problem is defined as follows: finding an assignment that maximizes the number of satisfied clause in a conjunctive normal form. It is a typical NP-hard problem which has great impact on theory and industry.There are two classes of algorithms for MaxSAT: complete algorithms and heuristic algorithms. We mainly discuss the kind of complete. A new algorithm called Iter_maxsatz which based on maxsatz is designed and implemented. Every possible solution must be considered is the greatest feature of complete algorithm. Branch-and-Bound (BnB) Max-SAT solvers use strategies like unit propagation, inference rules and failed literal detect to improve the value of lower bound which makes the algorithm more efficient. The original formula is divided into a number of subsets, and then algorithm maxsatz is called to solve every subset in Iter_maxsatz. The optimal solution of every subset is used to compute the upper value of satisfied clause on the node of search in maxsatz. And most importantly, the upper value can be compute in linear time and be used to decide whether it is necessary to search the subtree below the current node or backtrack to a higher level in the search tree.Benchmarks on the website of MaxSAT Evaluation are used to test the efficiency of the new algorithm. The results of the experiment show that Iter_maxsatz is a feasible and potential algorithm.Keywords: NP-hard problem，MaxSAT，Complete algorithm，Pruning strategy目录摘要 (I)Abstract..................................................................................................... I I 1 绪论1.1 研究背景与意义 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 课题的研究内容 (4)2 MaxSAT问题2.1 MaxSAT相关术语 (6)2.2 MaxSAT问题的分类 (7)2.3 本章总结 (8)3 基于分支限界的MaxSAT算法3.1 SAT完备算法框架 (9)3.2 MaxSAT完备算法框架 (13)3.3 下界预估算法 (14)3.4 本章总结 (23)4 基于迭代法的MaxSAT完备算法4.1 算法提出 (24)4.2 算法设计 (27)4.3 算法分析 (33)4.4 优化策略 (35)4.5 实验结果及分析 (37)4.6 本章总结 (40)5 总结与展望5.1 全文总结 (42)5.2 进一步展望 (42)致谢 (44)参考文献 (45)1 绪论计算机理论研究中有一个非常经典的课题：可满足性问题（Satisfability Problem，SAT）。
可满足公式
可满足公式在数学领域中，许多问题都可以用公式来解决。
一个能满足公式的意味着可以代入公式中的数值或变量，通过计算得出特定的结果。
以下是解决可满足公式的相关讨论。
在逻辑学中，可满足公式指的是一个由命题逻辑符号和逻辑连接词组成的命题，该命题存在至少一个赋值方式使其为真。
换句话说，可满足公式是一种可以通过为变量赋予不同的真值使得整个公式为真的命题。
布尔可满足性问题（Boolean Satisfiability Problem，简称SAT）是判断一个布尔公式是否有解的问题。
给定一个布尔公式，判断是否存在一组赋值使得公式成立。
SAT问题在计算机科学和工程领域中具有广泛的应用，例如硬件设计、编译器优化和人工智能等领域。
对于小规模的SAT问题，可以使用穷举搜索的方法来解决。
穷举搜索即尝试对每个变量赋予真值或假值，然后判断整个公式是否为真。
然而，随着问题规模的增大，穷举搜索的时间复杂度呈指数级增长，导致问题变得无法解决。
为了解决大规模的SAT问题，研究者们发展了许多高效的算法和技术。
其中，最著名的算法之一是DPLL算法（Davis–Putnam–Logemann–Loveland algorithm），它通过递归地进行单元传播、纯文字传播和分裂等步骤来搜索可满足解。
除了SAT问题，还存在许多其他类型的可满足性问题，如布尔不等式可满足性问题、整数线性可满足性问题等。
这些问题在实际应用中也扮演着重要的角色，在计算机科学和工程领域中得到广泛研究和应用。
总结起来，可满足公式是一种能够通过赋予变量不同的真值使得整个公式为真的命题。
解决可满足公式的问题是计算机科学中的一个重要领域，研究者们提出了各种算法和技术来高效解决这类问题。
随着技术的不断发展，我们可以更好地解决各种规模的可满足性问题，推动科学和工程的进步。
iqsat函数原理
iqsat函数原理
IQSAT（Integer Quadratic Satisfiability）是一种求解二次约束的整数规
划问题的算法。
它是一种基于回溯的算法，通过逐步构建满足约束的解，并在构建过程中进行剪枝来加速搜索。
IQSAT算法的基本原理如下：
1. 变量和约束: 对于一个二次约束的整数规划问题，可以表示为一组形式为$x_i - x_j = k$的约束，其中$x_i$和$x_j$是决策变量，$k$是一个整数常数。
2. 搜索空间: 算法使用一个搜索树来逐步构建满足约束的解。
搜索树的每个
节点表示一个解的状态，包括变量的取值和满足的约束。
3. 构建解: 在搜索过程中，算法尝试为每个变量赋予一个整数值，并检查是
否满足所有约束。
如果满足，则将该解添加到搜索树中。
如果不满足，则回溯到上一个状态并尝试其他可能的值。
4. 剪枝: 在构建解的过程中，算法使用一些启发式方法来剪枝，即提前终止
某些分支的搜索，以减少搜索空间的大小。
例如，如果一个变量的取值导致与已满足的约束冲突，则可以提前剪掉该分支。
5. 输出: 当搜索树被完全搜索或达到一定的时间限制时，算法输出所有找到
的解。
IQSAT算法的时间复杂度取决于问题的规模和约束的数量。
在实践中，IQSAT通常用于解决规模较小的问题，但对于某些特定类型的问题，它可以找到最优解或近似最优解。
对可满足性SAT问题求全解的算法研究及实现
北京交通大学硕士学位论文对可满足性（SAT）问题求全解的算法研究及实现姓名：赵伟楠申请学位级别：硕士专业：计算机科学与技术指导教师：吴为民20090601２可满足性求解器的实现本章主要介绍作为全解求解器基础的可满足性求解器的主要算法，并对各个相同功能的不同算法进行分析比较，从而选出效率相对较好且更适用于全解求解器的算法进行利用。
２．１ＤＰＬＬ算法框架于１９６０年被提出的ＤＰＬＬ算法，作为经典的完全求解算法，一直以来都作为大部分完备求解算法研究与发展的基础，其具体算法内容如下口１１：２．１．１原始ＤＰＬＬ算法原始的ＤＰＬＬ算法是递归形式的，如下所示：ＤＰＬＬ（ｆｏｒｍｕｌａ，ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ）｛ｎｅｃｅｓｓａｒｙ＝＝ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ（ｆｏｒｍｕｌａ，ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ）；ｎｅｗ＿ａｓｇｎｍｎｔ＝ｕｎｉｏｎ（ｎｅｃｅｓｓａｒｙ，ａｓｓｉｇｎｍｅｎｔ）；ｉｆ（ｉｓ＿ｓａｔｉｓｆｉｅｄ（ｆｏｒｍｕｌａ，ｎｅｗ＿ａｓｇｎｍｎｔ））ｒｅｔｕｒｎＳＡＴＩＳＦＩＡＢＬＥ；ｅｌｓｅｉｆ（ｉｓ＿ｃｏｎｆｌｉｃｔｉｎｇ（ｆｏｒｍｕｌａ，ｎｅｗ＿ａｓｇｎｍｎｔ））ｒｅｔｕｒｎＣＯＮＦＬＩＣＴ；ｖａｒ＝ｃｈｏｏｓｅｆｒｅｅ＿ｖａｒｉａｂｌｅ（ｆｏｒｍｕｌａ，ｎｅｗ＿ａｓｇｎｍｎｔ）；ａｓｇｎｌ＝ｕｎｉｏｎ（ｎｅｗ＿ａｓｇｎｍｎｔ，ａｓｓｉｇｎ（ｖａｒ，１））；１）一ＳＡＴＩＳＦＩＡＢＬＥ）ｉｆ（ＤＰＬＬ（ｆｏｒｍｕｌａ，ａｓｇｎｒｅｔｕｒｎＳＡＴＩＳＦＩＡＢＬＥ；ｅｌｓｅ｛ａｓｇｎ２＝ｕｎｉｏｎ（ｎｅｗ＿ａｓｇｎｍｎｔ，ａｓｓｉｇｎ（ｖａｒ，０））；ｒｅｔｕｒｎＤＰＬＬ（ｆｏｒｍｕｌａ，ａｓｇｎ２）；）｝ＤＰＬＬ（）方法的参数是一个合取范式和一组变量赋值。
ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ（）方法的返回值也是一组变量赋值，它是由当前的变量赋值推断出的要使合取范式被满足所必要的变量赋值。
算法的递归会在两种情况下结束，即在当前的变量赋值条件下，一种情况是输入的合取范式已经被满足（逻辑值为ｔｒｕｅ或１），另一种情况是输入的合取范式不能被满足（逻辑值为ｆａｌｓｅ或Ｏ）。
一类可分离SAT问题的O(1.890n)精确算法
一类可分离SAT问题的O(1.890n)精确算法黄金贵;王胜春【摘要】布尔可满足性问题(SAT)是指对于给定的布尔公式,是否存在一个可满足的真值指派.这是第1个被证明的NP完全问题,一般认为不存在多项式时间算法,除非P=-NP.学者们大都研究了子句长度不超过k的SAT问题(k-SAT),从全局搜索到局部搜索,给出了大量的相对有效算法,包括随机算法和确定算法.目前,最好算法的时间复杂度不超过O((2-2/k)n),当k=3时,最好算法时间复杂度为O(1.308n).而对于更一般的与子句长度k无关的SAT问题,很少有文献涉及.引入了一类可分离SAT 问题,即3-正则可分离可满足性问题(3-RSSAT),证明了3-RSSAT是NP完全问题,给出了一般SAT问题3-正则可分离性的O(1.890n)判定算法.然后,利用矩阵相乘算法的研究成果,给出了3-RSSAT问题的O(1.890n)精确算法,该算法与子句长度无关.【期刊名称】《软件学报》【年(卷),期】2018(029)012【总页数】9页(P3595-3603)【关键词】可满足性问题;NP完全问题;正则可分离性;精确算法;算法复杂性【作者】黄金贵;王胜春【作者单位】湖南师范大学信息科学与工程学院,湖南长沙410081;湖南师范大学信息科学与工程学院,湖南长沙410081【正文语种】中文【中图分类】TP301布尔可满足性(SATisfiability,简称SAT)问题是指:对于给定的布尔公式F,判定是否存在一个真值指派使得F满足.这是Cook[1]在1971年证明了的第1个NP完全问题,后来也被Levin[2]在1973年独立地证明.一般认为,不存在多项式时间算法除非 P=NP.这表明,要构造有效算法是非常困难的.简单直观的算法是:为每个变量分别指定0和 1两个真值指派,验证每种可能指派下输入公式F是否满足.显然,这是指数时间算法,在最坏情况下,需要poly(n)⋅2n步,这里,n是输入公式F包含的变量个数,poly(n)是n的多项式.在算法研究中,通常忽略多项式因子poly(n)而只关注指数2n.研究的目标是降低指数的基,即:寻求c＜2,使得算法在最坏情况下不超过O(cn). 已有的研究大都基于k-SAT,即限制公式F为合取范式(conjunctive normal form,简称为CNF)且每个子句最多包含k个文字,记为k-CNF公式.已经证明:2-SAT问题是P问题,可在多项式时间内判定[3];而k-SAT(k≥3)是NP完全问题.第1个上界小于2n的结果是c=21-ε(ε是与k有关的正数),由Monien和Speckenmeyer于1980年获得[4],且对于3-SAT为poly(n)⋅1.619n.这是第1次实现c=2的突破,此后,在SAT上的研究都是着眼于降低指数上界中的基数c[5-11].k-SAT问题的求解主要采用全局搜索或局部搜索方式的启发式算法,分为随机算法和确定算法两类.随机算法是随机选取一个真值指派,然后根据不满足子句随机调整某个变量指派,如此反复,以保证较大概率获得可满足指派.随机算法最好的结果是Schőning[7]于1999年得到的c=2-2/k,是一个非常简单的随机局部搜索算法.且当k=3,4时,分别有3-SAT为c=1.334和4-SAT为c=1.5.这个结果直到2014年被Hertli[8]改进,在PPSZ算法[10]基础上得到 3-SAT和 4-SAT的最好结果分别为c=1.308和c=1.469.k-SAT问题的确定算法的最好结果是c=2(k-1)/k+ε(ε是足够小的正数),2010年由Moser等人[10]改进Dantsin等人[9]2002年的算法而得.而3-SAT确定算法最好的结果是c=1.331[11],由Makino等人于2011年得到. 这些最好结果都是针对k-SAT问题,当k较大时,c=2-2/k将接近于2.目前还没有与子句长度k无关的结果.本文试图针对一类特殊的SAT问题,给出常数c(c＜2)的确定算法.该算法首先分析CNF公式的可分离性,然后对于 3-正则可分离公式,应用已有的矩阵相乘算法[12,13]得到了预期结果,即与子句长度无关的常数c≤1.890.这表明:当k≥19时,本文算法优于k-SAT问题的最好算法.本文第1节给出记号说明和可分离SAT问题的相关定义,并讨论3-正则可分离SAT问题的复杂性.第2节讨论3-正则可分离SAT问题的布尔矩阵表示,并提出3-正则可分离SAT问题的判定矩阵概念.第3节讨论一般SAT问题的3-正则可分离性的判定算法.第4节利用目前矩阵相乘结果,给出3-正则可分离SAT问题的与子句长度无关的O(1.890n)精确算法.1 问题的描述与定义1.1 记号说明本文中的布尔公式均为CNF公式.一个CNF公式F是有限个子句(clause)的集合.子句C是有限个两两互不相同的文字(literal)的集合.文字l是变量(variable)v或其否变量.如果变量v有1个文字出现在子句中,称该子句包含这个变量.用var(C),var(F)分别表示子句C、公式F所包含的变量的集合,记V:=var(F),n=|var(F)|.变量集V上的真值指派(truth assignment)是函数α:V→{0,1}n,为V中每个变量指派一个布尔值.文字l=v(或l=)对于指派α是满足的,如果α(v)=1(或α(v)=0).子句C对于指派α如果至少包含 1个满足的文字,则该子句是满足的,即α(C)=1.公式F 是满足的当且仅当它的所有子句都是满足的.一个公式是可满足的当且仅当对它的所有变量存在一个满足的真值指派.变量子集V′⊂V上的真值指派α′称为V的部分指派(partial truth assignment),它是V上真值指派α在子集V′上的投影,即α′=α|V′.两个不相交的变量子集V1⊂V,V2⊂V上的真值指派分别为α1,α2,联合指派记为α1α2=α1∪α2,它是变量集V1∪V2上的真值指派.变量集V的划分是指V的若干个两两互不相交的子集V1,V2,…,Vm(m≥2),满足V1∪V2∪…∪Vm=V,记为[V1,V2,…,Vm],也称为变量集V的m-划分.V上的真值指派α可以分解成m个部分指派α1,α2,…,αm,分别对应每个子集上的真值指派,即;反之,每个划分子集上的真值指派的联合为V上的真值指派,即α1α2…αm=α.1.2 CNF公式的可分离性CNF公式F的可分离性(separability)反映的是子句之间的关系,也是子句与变量之间的关系.这种分离性包括完全分离和不完全分离:完全分离的子公式之间是不相关的,即不含有相同变量.可完全分离的公式,一定可以分解为几个独立的变量规模更小的SAT问题,其时间复杂度将大大降低.我们一般假定所给定的CNF公式不可完全分离.对于变量集V的m-划分[V1,V2,…,Vm],其中,m≥2.公式中的每个子句只与其中的部分子集相关,这时的分离性又称为m-可分离,如果每个子集大小相等则称为正则可分离(regular separability).本文主要讨论 2-正则可分离性和3-正则可分离性,即,在变量集的平均2-划分或平均3-划分的基础上分离子句.下面给出具体定义.1.2.1 2-正则可分离定义定义F公式F称为是2-正则可分离的,如果存在变量集V=var(F)的一个平均2-划分[V1,V2],使得每个子句C∈F,要么 var(C)⊆V1,要么 var(C)⊆V2.这里假定了n=|V|是偶数,显然不会失去一般性.同时我们注意到,2-正则可分离是一种完全分离.例如公式,变量集存在一个平均2-划分,使得每个子句的变量都完全包含在其中一个划分子集中,所以F是 2-正则可分离的,且两个子公式是完全独立的,因此公式F是可完全分离的.1.2.2 3-正则可分离定义定义F公式F称为是3-正则可分离的,如果存在变量集V=var(F)的平均3-划分[V1,V2,V3],使得每个子句C∈F,至少有一个划分子集不含有子句C的变量.不失一般性,假定n=|V|是 3的倍数.显然,3-正则可分离是一种不完全分离.例如变量集上的 CNF公式,取变量集V的平均 3-划分,容易验证每个子句都与其中的一个子集不相关,因此,F是 3-正则可分离的.其分离子公式分别为.变量集的划分不必是惟一的,如平均3-划分也可将公式3-正则分离.容易验证,变量集V的任何划分都不能完全分离公式F,即F是不可完全分离的,更不是 2-正则可分离的.如果在公式中再增加两个子句,即设CNF公式,则找不到变量集V的任何平均3-划分,使得F′可3-正则分离,即说明F′不是3-正则可分离的.从上述讨论我们看到:3-正则可分离虽然不是完全分离,但也不是所有的 CNF公式都具备的属性,因此对CNF公式有严格的限制.从本文第 2节将知道,3-正则可分离CNF公式可以很方便地表示成布尔矩阵的乘积,这样就能应用矩阵乘积算法的研究成果,更有效地解决这类SAT问题.1.3 3-正则可分离SAT问题3-正则可分离SAT问题(3-regular separable SAT,简称3-RSSAT)是一类特殊的SAT问题,即,要判定3-正则可分离公式F的可满足性.下面的定理描述了该问题的复杂性.定理1.3-RSSAT问题是NP完全问题.证明:显然,3-RSSAT是NP问题,所以我们只要证明一般SAT问题可多项式时间归约为3-RSSAT问题,本定理即能得证.若SAT问题的实例公式F是3-正则可分离的,则该问题就是3-RSSAT问题;否则,取变量集V=var(F)的一个3-划分[V1,V2,V3],使得|V1|=n/2,|V2|=|V3|=n/4,其中,n=|V|(不妨假定n是4的倍数).令:其中,每个子句都同时含有V1,V2,V3中的变量.设,任取V1的一个2-划分.与V1x,V1y中的变量相对应,增加新变量集,使得.令 ,则易知是变量集V′的平均 3-划分,且.下面构造变量集V′上的CNF公式F′,其来源分为3个部分:1)F-F1中的所有子句全部加入到F′中.对每个子句C∈F-F1,存在i∈{1,2,3},使得.又,所以;2) 若,对每个子句,把每个变量换成其对应的X中的变量x或Y中的变量y,这样得到新子句C′,把C′加入到F′中.显然,,即3) 为保证X和Y中的变量与V1中对应的变量相等,在F′中新增如下子句集:显然,对每个子句对每个子句.从上述构造过程可知:对每个子句C∈F′,总是存在V′的一个划分子集,使得,因此由定义2,公式F′是3-正则可分离的.下面证明公式F和公式F′在可满足意义上等价.事实上,· 若公式F′是可满足的,即存在指派使得α′(F′)=1.取α=α′|V,显然α(F-F1)=1;而α′(Fx)=1,又保证了α(F1)=1,所以公式F可满足;· 反之,若公式F可满足,即存在指派使得α(F)=1.取指派使得,显然,α′是F′的满足指派.上述转化过程中,花费的时间主要体现在新增变量n/2个,新增子句2×n/4+2×n/4=n个,全部时间是多项式时间的.证毕. □3-RSSAT问题增加了对实例公式的3-正则可分离性约束,但定理1表明,其复杂性并没有降低.引入该问题可以起到过渡的作用:一方面,3-RSSAT问题与原问题难度接近,是否有可以接受的时间复杂度进行二者之间的转化;另一方面,3-RSSAT问题便于布尔矩阵表示,可以应用矩阵乘积的很好结果,以期寻求 SAT问题与子句长度无关的算法.2 3-RSSAT问题的布尔矩阵表示2.1 矩阵乘积对于正数m,用粗体大写字母表示实数域Rm×m上的m×m矩阵,如A,B,C.用相对应的带下标的小写字母表示矩阵元素,如,其中,表示矩阵A中的第i行第j列元素.布尔矩阵(或称为逻辑矩阵)指的是元素全为0或1的矩阵.两个m×m实数矩阵A,B的乘积定义为布尔矩阵也是实数矩阵,两个m×m布尔矩阵A,B的乘积可以按实数矩阵计算,即: 此外还定义两个m×m布尔矩阵A,B的与(∧)运算为对于两个m×m矩阵的乘法,传统算法需要花费时间O(m3).直到 1969年,Strassen[12]首先改变了这个现状,用一种巧妙而简单的方法将时间复杂度降到3次以下达到了O(m2.808).此后的研究就在O(mω)上不断刷新m的指数ω(ω∈[2,3]),使其更接近于 2.到 1989年,已经由 Coppersmith和 Winograd[13]改进到了ω＜2.376.这一结果保持了20多年,后来并无大的改进.矩阵乘积算法已有了很多应用,如图顶点最短路径算法的改进[14]、Max-2-SAT问题的求解[15]等.2.2 3-正则可分离公式的判定矩阵对于给定的3-正则可分离CNF公式F,其变量集V=var(F)必存在一个平均3-划分[V1,V2,V3],其中,|V1|=|V2|=|V3|=n/3,不妨假定n=|V|是3的倍数,使得公式F可3-正则分离,3个分离子公式记为令m=2n/3,设V1,V2,V3上的所有真值指派分别为对任意的,通过联合分别得到变量子集V1∪V3上的指派为αβ,βγ,αγ.变量集V上的指派为αβγ.定义3.令m=2n/3,m×m布尔矩阵称为 3-正则可分离公式F的分离子公式(2-4)的布尔矩阵表示,其中,从定义3可以看出,子公式的可满足性完全蕴含在其对应的布尔矩阵表示中.例如,子公式F12的布尔矩阵表示A=(aij)m×m中,若其中某个元素aij=(αiβj)(F12)=1,则表明子公式F12在指派αiβj下满足;反之亦然.定义4.设布尔矩阵A,B,C是 3-正则可分离公式F的分离子公式(4)的布尔矩阵表示,则布尔矩阵P=(A×B)∧C称为3-正则可分离公式F的判定矩阵.布尔矩阵的乘积运算、与运算参见公式(2)和公式(3).为了进一步分析判定矩阵,先给出如下引理.引理1.3-正则可分离公式F,对应变量集V的3-正则分离划分是[V1,V2,V3],ρ是V 上的真值指派,取其部分指派,则.证明:显然ρ=αβγ.假设ρ(F)=1,若,不妨设(αβ)(F12)=0,则必有子句C∈F12,使得(αβ)(C)=0,根据公式(4)知C与指派γ无关,所以ρ(C)=(αβγ)(C)==(αβ)(C)=0,与假设矛盾.假设ρ(F)=0,则必有一个子句C∈F,使得ρ(C)=0.由公式(4),不妨设C∈F12,所以(αβ)(C)=0,即(αβ)(F12)=0,因此(αβ)(F12)∧(βγ)(F23)∧(αγ)(F13)=0. □下面的定理说明了判定矩阵这个名称的含义,也是我们求解3-RSSAT问题的重要工具:定理2.3-正则可分离公式F是可满足的,当且仅当它的判定矩阵P有非零元素.证明:设3-正则可分离公式F的判定矩阵P=(pik)(m+1)×(m+1),这里m=2n/3,根据定义4,由公式(2)、公式(3)可得:由公式(6)及引理1得:其中,i,k=0,1,…,m-1.下面从两个方向证明定理.(1) 若 3-正则可分离公式F是可满足的,即存在指派ρ:V→{0,1}n使得ρ(F)=1,则存在i,j,k∈{0,1,…,m-1},使得.则有,即F的判定矩阵P中必有非零元素;(2) 若 3-正则可分离公式F的判定矩阵P有非零元素,不妨设pik=1,i,k=0,1,…,m-1,则必存在j∈{0,1,…,m-1},使得(αiβjγk)(F)=1.即有变量集V上的指派ρ=αiβjγk,使得ρ(F)=1,即F满足.证毕. □定理2表明:如果求出了3-正则可分离CNF公式的判定矩阵,实际上就可以判定3-RSSAT问题.如果判定矩阵P有非零元素则满足,否则不可满足.3 CNF公式的正则可分离性判定从上节讨论可知,定理2的前提条件是3-正则可分离CNF公式,所以对于任意给定的CNF公式,我们首先必须判定它是否是3-正则可分离的.对于3-正则可分离CNF 公式,为了能够得出其布尔矩阵表示及其判定矩阵,我们还必须求出其变量集的3-正则分离划分.本节给出3-正则可分离性的判定,并给出3-正则可分离CNF公式的正则分离划分.3.1 2-正则可分离性判定首先讨论2-正则可分离性问题.即:对于CNF公式F,是否能给出变量集V=var(F)的平均2-划分[V1,V2],使得每个子句C∈F,var(C)⊆V1或 var(C)⊆V2.注意到变量集的平均 2-划分与分离公式F与变量的不同文字表示无关,所以把每个子句当成是变量集V的子集,即得子集簇:要分离公式F就转化为分离子集簇F′.考虑到如果两个子集包含有相同变量,那么这两个子集必在V的同一个划分子集中,合并这样的子集,直到任意两个子集都不相交.从公式(7)最后得到的子集簇记为其中,1＜p=|F′|≤n≤|F|,不妨假定n=|V|是偶数.为了得到变量集的平均划分,只需考虑每个子集的大小,于是得到一个多重集:其中,是正整数,且1≤si≤n,i=1,…,p.显然,s1+s2+…+sm=n.这里的多重集是指集合中包含有值相同的元素,如S={1,1,2,3,2}.这说明2-正则可分离性判定问题实质上是子集和问题.一般的子集和问题是NP完全问题[16],文献[17]采用动态规划给出了子集和问题的一个伪多项式算法,其时间复杂度为O(rN),其中,r是集合中元素个数,N是集合中所有元素的和.于是我们有如下引理:引理2[17].对于公式(9)定义的多重集合S,给定正整数t,存在算法在O(n2)时间内判定S是否有多重子集和等于t.其中的算法在判定的同时也能给出这个子集划分,即子集簇公式(8)的划分.这其实已经解决了 2-正则可分离性判定以及正则划分问题,即有下面的引理:引理3.给定一个CNF公式F,存在一种算法能够在多项式时间内判定F的2-正则可分离性.如果F是2-正则可分离的,则同时给出其变量集V=var(F)的正则2-划分[V1,V2].3.2 3-正则可分离性的判定给定CNF公式F,V=var(F),不妨设n=|V|是3的倍数.如果公式F是3-正则可分离的,则根据定义2一定存在变量集V的平均3-划分,记为,且,使得每个C∈F,至少有一个划分子集不含有子句C的变量,即如果能找到这样的平均3-划分,则说明F是3-正则可分离的,否则不是.遗憾的是,目前还没有有效的办法获得这样的平均3-划分.简单直观的方法就是蛮力搜索,穷尽所有的平均3-划分方案,对每种方案验证F的所有子句.显然,枚举算法的时间复杂度是O(3n).本文给出的解决方案是采用部分枚举,使得时间复杂度大为降低.算法的基本思路是:首先枚举所有的n/3个变量的组合形成划分子集V1,然后对剩下的2n/3个变量应用第3.1节中的2-正则分离算法得到平均2-划分[V2,V3].算法过程描述见算法1.算法1.3-正则划分算法.引理4.对于任意的CNF公式F,算法1能在O(1.890n)时间内判定F的3-正则可分离性,且当F是3-正则可分离时,返回正确的正则分离划分.证明:CNF公式F的变量集V=var(F),不妨设n=|V|是 3的倍数.算法 1首先在步骤1划分出V1且保证了|V1|=n/3,且|V-V1|=2n/3是偶数.这时,未被2-划分[V1,V-V1]分离的子句集为:实际上,F′是与子句集对应的变量子集簇,且var(F′)⊆V-V1.若有变量v∈V-V1 但v∉var(F′),则令F′=F′∪{{v}},使得var(F′)⊆V-V1.(1) 若公式F是3-正则可分离的,则必存在正则分离划分.如果算法1在步骤1划分出V1后得到的公式F′不是2-正则可分离的,则根据引理3,子算法2-regularP artition(F′,V-V1,2n/3)返回0,由步骤5返回步骤 1重新选择下一个组合划分出新的V1,直至遍历完所有可能的组合.其中,必定有一次取到,这时得到的公式F′一定能被2-划分正则分离,即公式F′是 2-正则可分离的.由引理 3 可知,子算法2-regularPartition(F′,V-V1,2n/3)返回公式F′的正则分离划分[V2,V3].从而算法1步骤4返回公式F的正则分离划分[V1,V2,V3],算法终止;(2) 若公式F不是3-正则可分离的,则算法1在步骤1不论哪一次划分出的V1,所得到的公式F′都不会是2-正则可分离的.根据引理3,子算法2-regularPartition(F′,V-V1,2n/3)总是返回0.当V1穷尽所有可能的组合后,算法1执行到步骤6,返回0并终止.根据算法1,除了步骤1以外,其他步骤都是多项式时间.而步骤1的时间复杂度是从n个变量中取出n/3个的组合数,由Stirling估算公式得:引理得证. □4 3-RSSAT问题的求解对于3-RSSAT问题,它的每个实例都是3-正则可分离CNF公式,求解算法的基本思路是:首先求出3-正则划分,然后求得布尔矩阵表示及其判定矩阵,再应用矩阵乘积的优化算法计算出判定矩阵.下面描述主算法.算法2.3-RSSAT问题求解主算法.算法2中,Πω表示时间复杂度不超过O(mω)的矩阵乘积算法,m×m是矩阵的规模.布尔矩阵的普通乘积转化为实数矩阵计算(见公式(2)),然后将乘积矩阵转换为布尔矩阵Q.定理3.存在算法能够在O(poly(n)⋅1.890n)时间内判定3-RSSAT问题.证明:首先证明算法2能够判定3-RSSAT问题.设F是3-RSSAT问题的任意实例公式,则F是3-正则可分离CNF公式.由引理4,算法2步骤1返回F的正则分离划分[V1,V2,V3].于是,根据定义3和定义4能够得到F的判定矩阵P.由定理2知,算法2步骤5能够判定F的可满足性.其次,不难看出算法2所花费的时间:步骤1花费时间由引理4得出不超过O(poly(n)⋅1.890n);步骤2花费花费时间不超过O(poly(n)⋅22n/3);步骤 3花费时间由矩阵相乘算法得出为O(poly(n)×2ωn/3),且ω＜2.376;步骤4和步骤5花费时间均不超过O(poly(n)⋅22n/3).合计算法总时间不超过证毕. □5 结语通过约束公式得到的一类特殊SAT问题——3-正则可分离SAT问题,它仍然是NP 完全问题.这类问题的优势在于3-正则可分离CNF公式可以有很好的布尔矩阵表示,并且能得出判定矩阵.根据判定矩阵,利用矩阵乘积算法得出3-RSSAT问题的常数基指数判定算法.为探索一般SAT问题的常数基指数上界算法迈开了一步.定理3表明,算法时间主要花在正则分离划分上,所以还有改进空间.算法2仅限于3-正则可分离的CNF公式,离一般SAT问题差别很大.此外,CNF公式的3-正则可分离性判定问题的难度还是未知、判定算法优化等等这些问题都有待于后续进一步的研究. 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sat问题求解算法
sat问题求解算法
SAT（Boolean Satisfiability Problem，布尔可满足性问题）是
一个著名的NP完全问题，其问题描述为判断一个布尔公式是
否存在可满足的赋值。
求解SAT问题的主要方法有穷举搜索、启发式搜索、DPLL算法等。
下面简要介绍DPLL算法，它是求解SAT问题的一种常用的
搜索算法。
DPLL算法的基本流程如下：
1. 利用约简规则，去除可以确定的子句。
例如，如果一个子句中只有一个文字，则可以确定该文字的取值。
2. 如果存在一个子句为空，那么该分支不可满足，回溯到上一步进行其他分支的搜索。
3. 如果不存在子句为空的情况，选择一个未被确定取值的文字，尝试将其赋值为真，然后应用约简规则。
4. 如果通过赋值后得到的新公式中出现空子句，那么该赋值不满足，回溯到上一步进行其他赋值的尝试。
5. 如果通过赋值后得到的新公式中不存在空子句，那么继续递归调用DPLL算法进行深层搜索。
DPLL算法通过不断地应用约简规则和进行赋值操作来搜索可
满足的赋值。
在算法的执行过程中，可以使用一些优化技巧，如单位子句规则、纯文字规则、冲突-driven 子句学习等，以
加快求解过程。
总结来说，SAT问题的求解算法可以通过应用约简规则和赋
值操作进行搜索，通过递归深度优先搜索遍历可能的赋值情况，最终判断原始布尔公式是否可满足。
3-sat 证明 -回复
3-sat 证明-回复3SAT问题是一个经典的布尔可满足性问题，也是计算理论中一类NP 完全问题的代表。
在给定的布尔公式中，我们需要确定是否存在一组布尔变量的赋值，使得整个公式为真。
这个问题的NP完全性意味着它很难以多项式时间算法解决，但我们可以通过证明它来展示其难解性。
首先，让我们来定义什么是3SAT问题。
3SAT问题是指给定一个由布尔变量、逻辑符号（如与、或、非）和小括号构成的逻辑公式，其中每个子句由三个布尔变量或者其否定构成，并且整个公式是用与逻辑符号连接的。
我们的目标是确定是否存在一组布尔变量的赋值，使得整个公式为真。
接下来，我们可以通过构造一个规约来证明3SAT问题的难解性。
我们以某个已知是NP完全的问题（例如CNF-SAT问题）为例，证明3SAT 问题的难解性。
假设我们有一个CNF-SAT问题的实例，即一个由布尔变量和逻辑与、或、非构成的合取范式逻辑公式（CNF）。
首先，我们要将CNF-SAT问题的公式转化为3SAT问题的公式。
为了实现这一点，我们需要将CNF公式中的任何子句的长度超过3的情况转化为3个变量的子句。
考虑到这一点，我们可以将一个CNF公式中的大于3个变量的子句转化为一系列3个变量的子句。
为了做到这一点，我们可以使用附加的布尔变量，称为辅助变量。
这些辅助变量的目的是在子句中保持连续的“或”关系。
我们可以使用以下等效的逻辑等式来转换CNF公式中大于3个变量的子句：(A∨B∨C∨D∨E) 它等价于(A∨B∨Y)∧(¬Y ∨C ∨Z) ∧(¬Z ∨¬D ∨E)在这个例子中，我们引入了两个辅助变量Y和Z。
通过这种方法，我们可以将任何CNF公式转化为一个3SAT公式。
这个过程可以在多项式时间内完成。
因此，我们可以看到，如果我们能够通过多项式时间算法解决3SAT 问题，那么我们也可以在多项式时间内解决CNF-SAT问题。
这意味着3SAT问题是NP完全的。
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l S S N1673—94l8C O D E N J K Y TA8Jour nal of Fr ont i er s of C o m put er Sci ence and Tec hnol ogy 1673—9418／2007／01(01)一0079—08E—nm l l f cs t@n ci ac e l l hnp1lvn㈣eeaj or g T c l+86一l O一51616056一种规约于可满足性问题(SA T)的知识推理算法苏开乐．陈清亮+．岳伟亚SU K ai—l e，C H E N Q i ng—l i ang，Y U E W ei—ya中f『I大学计算机科学系．J'州510275D epar t m e n t of C om put,r S c i en ce．S u n Y at—sen U ni ve r si t y。
，G um l gzho u510275，C hi na+C m'r es pondi ng aut hor：E—m ai n：t si ngl i an gchen@94nai l．com术S U K a i—l e．C H l EN Q i ng—l i ang．Y U E W e i—ya．SA T—bas ed a l gor i t hm f or know l e dge r eas oni ng．J our nal of Fr o nt i e r s of C om pu t er Sci e nce a nd Technol ogy，2007，1(1)：79-86．A bs t r act：Tr adi t i onal know l edge r eas on i ngs r el y on t he gener al t he or em provers and m ay sul l；r t he st at e ex—pl os i on pr obl e m a nd ca n onl y deat w i t h t oy exam pl es．A m or e concr et e m odel of know l edge c al l ed know l edge s t r uct u r e has be en i nt r o duced i n(1】，w hi ch pres ent s aB D D-bas e d appr oa ch f or com put i ng know l edge and s ho w s gre at i m pr ovem ent．B ut t he B D D—bas e d appr oa ch s ti l l has a s ubs t a nt i al st at e expl o s i on pr ob l em．B as ed O F t t he know l edge s t r uc t ure，an al t er nat i ve a nd ef f ect i ve w ay by S A T s ol vi ng f or t he know l edge r eas o ni ng i n a gr o up of agen t s is i l l ust r at ed，si nc e S A T can be m uch m or e pow er f ul i n deal i ng w i t h t he st at e exp l os i on pr obl e m t han B D D s．Fi nal l y t he exper i m ent al re sul t s pr ove thi s．K e y w or ds：know l edge s t r u ct ur e；know l edge r eas oni ng；s at is6abi li t y(s A T)摘要：传统的知识推理算法主要依粕于通用的定理证明器．因此会有明显的组合爆炸问题和半自动化问题．只能处理小规模的问题。
在文『1]中，给出了一个实用而紧致的知识的语义模型——知识结构(know l edge s t r u c—t ur e)，并给出相应的利用B D D(B i nary D eci s i on D i agr am)的符号化计算方法，实验表明这种基于B D D的算法比传统方法有很大的优势，但这种基于B D D的方法在计算规模大的例子时仍存在明显的组合爆炸。
文章在知识结构(know l e dge s t r uct ur e)的语义基础上，通过挖掘知识结构语义中各元素的关系，把知识的计算规约于可满足性问题(SA T)，因为S A T Soh,er在符号化计算方面以及在计算规模和效率上都要明显优于B D D，、实验结果证实了这种方法的有效性．关键词：知识结构；知识推理；可满足性问题(SA T)文献标识码：A中图分类号：TP3叭8t he N at i o nal G r and Fu nda m e nt a l R ese s r eh973Progra m of C hi na un de r G r a nt N o．2005CB321902(囤家重点基础研究发展规划(973))；t he N a fi m m l N at ur al Sci ence Foundat i on of C h i na un de r G r a nt N o．60496327，10410638，60473004(国家自然科学基金)；t he N at ur al Sci ence Foundat i on of G uangdong P r ovi nc e of C h i na un de r G r a nt N o．04205407(r东省自然科学基金)；t he O pen Fund i n S ha n曲a i I nt el l i gent I N br m a f i o n P r oce ssi n g K e y L a bor a t or y und e r G r ar,t(k淘t市智能信息处理重点实验室开放课题资助项目) R ec e i ved2007—02，A cc ept e d2007—0480J our nal of F r ont i e r s of C om put e r Sci ence and T e chnol ogy计算机科学与探索2007，1(1l引言认识论，即对知识的研究，从古希腊哲学家开始，在哲学中有很长的研究历史以及良好的传统Ⅲ。
刘诸如“我们知道什么”。
“什么能够被知道”、“说某人知道什么到底意味州么”等问题，在哲学文献中有很多讨论。
r O D W ri ght在20世纪50年代的工作[31给出了对知识推理进行形式化分析的思想。
1962年．H i nt i kkat41第一个以书本的形式给出了认知逻辑一知识逻辑的形式化研究。
随后，关于知识的研究在哲学界蓬勃发展起来，主要兴趣之一是如何抓住知识的本质特征。
各种关于知识的公理系统建立起来。
最近，在不同领域(如经济学、语言学、人工智能以及理论计算机科学)的学者们都对知识推理产生兴趣。
关于知识的研究也随之扩大．并在很多领域蓬勃发展起来，如博弈论、经济学、机器人、知识库等领域，来研究如机器人如何获得知识并进行推理以采取下一步行动、数据库何时回答“不知道”、商务智能体(a．gent)女n何收集信息以做决策等问题。
其次．计算知识的复杂度也是一个研究方向。
另外．知识推理研究的重点是针对群体智能体(a gr oup of agent s)的情况(该文也如此)，而非单个智能体(哲学家们偏向于研究)的情况。
这是因为对话、谈判、或者是分布式系统中进程问的协议，都是智能体间的交互行为口。
认知逻辑(或知识逻辑)一般认为起源于J aakko H i nt i kka在20世纪60年代早期的工作H，他描述了如何使用特定的模态逻辑来刻画知识的本质。
在20世纪80年代中期，H ai vel'n和他的合作者发现s5认知逻辑能够给出在分布式系统中进程(一般称之为agent)状态的自然解释。
该模型即为所谓的解释系统(i nt er pret ed syst e m)模型日。
研究发现．该模型在分布式系统理论中起关键作用，已经成功应用到对通信协议的推理中日。
然而，关于认知逻辑的工作还主要集中于理论方面的研究．例如：模态逻辑的各种变种，完全性，计算复杂性。
以及衍生的概念(如分布式知识、公共知识)等。
对于认知逻辑相应的算法研究比较少．有基于证明的和基于语义的，例如文献[6—81。
基于证明的方法依赖于多命题模态逻辑的证明器．所以处理规模和效率，及表达能力都不高；基于语义的法主要面对的问题是状态爆炸问题。
闲此传统的法只能处理一尝小规漠的问题(t oy exam pl es)。
文【l】给出了一个吏用而紧致的知识的语义模型：知识结构(know l edge st l M et l n’e)。
这种方法本质上是基于语义的，但通过使用知识结构，给出了一种基于语法的简洁形式来表示K f i pke结构，而且可以随接转化成一个符号化布尔算法，借助符号化工具如B D D(B i nm3,D eci s i on D i agram n|_算，所以在一定程度上避免了状态爆炸问题。
该知识结构框架既简单又强大，足以用来分析应用中的协议，如广泛使用的安全协议．实验表明这种基于B D D的算法比传统方法有更大的优势。
但是这种基于J=；D D的方法存计算规模大的例子时还是有比较明显的组合爆炸问题。
艾章在知识结构(know l edge sr r uet m'e)的语义基础上，通过挖掘知识结构语义中各元素的关系．将把知识的计算规约于可满足性问题(SA T)，因为SA T Sol ver在符号化计算方面在计算规模和效率上都要远远优越于B D D，并EL S A T sol ve r的发展州当迅速。
通过这种关系的揭示，还可以在计算复杂的公共知识时避免基于B D D方法f11中的繁琐的不动点计算。
下面将用实验结果来证实这种方法的有效性。
文章结构如下：先简单介绍认知逻辑的基本概念，然后介绍知识结构巾的一些技术结果．给出将这种语义计算规约于可满足性问题(SA T)的一些具体结果，接着将该方法应用于著名的”泥巴小孩”游戏和安全协议验证的实验结果，最后是相关工作和结论。
2认知逻辑2．1语法给定一个命题原子集合。
，认知逻辑(知识逻辑)的良构公式(t he w el l f ounded f or m ul as(w f f))为以下定义的B N F：(删)：：=qbl q(删)I(埘)A(w ff>l K，(,4t'>LD，(w ff) l cc(w f f)简单的说，公式K。