计算机软件基础(自考10)
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（1）将该二叉树还原成森林； （2）写出森林的先根遍历序列和后根遍历序列
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（2）写出森林的先根遍历序列和后根遍历序列
解（1）将该二叉树还原成森林；
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解（1）将该二叉树还原成森林；
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பைடு நூலகம்
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J
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B
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四、树、森林和二叉树
4. 森林变二叉树（续）
A
B C E F D H G J
I
L
K
M
四、树、森林和二叉树
5. 森林的遍历 森林的遍历有：先序和后序 注意：
森林的先序遍历结果与对应二叉树的先序遍历结果相同；
森林的后序遍历结果与对应二叉树的中序遍历结果相同。
例.（2010.4解答）已知下图所示的二叉树，要求：
（4）双亲节点：指的是这个节点的父亲节点。 （5）树的高度=树的层数
二、二叉树
1. 二叉树：最多具有两个树杈的树。其中，左边的 树杈称为该节点的左子树，右边的树杈称为该节点 的右子树。 2. 二叉树的基本形态：共5种
一个 节点 也没 有
只有 一个 根节 点
只有左子 树
只有右子 树
左、右子 树都有
二、二叉树
二、二叉树
例10-1 试写出具有3个节点的所有不同形态的树和 二叉树。 树有2种：① ②
二叉树有五种：
二、二叉树
6. 二叉树的存储结构———顺序存储 操作步骤为： step1：现将二叉树变成完全二叉树（给有关节点补 够两个孩子，所补节点为虚拟节点，仅占个空间）
step2：将这个完全二叉树中各节点从上到下，逐层 由左向右一次存放到计算机连续空间中。
三、二叉树的遍历
1. 先序遍历 如果二叉树不为空，则依次执行如下操作：
（1）先：访问根节点； （2）再：先序遍历左子树；
左子树 （3）最后：先序遍历右子树。
根
右子树
三、二叉树的遍历
例：如图所示二叉树，试写出对其先序遍历的结果。 先序遍历结果： ABDEGHCFI
A B D E C
F
G
H
I
三、二叉树的遍历
12 7
3
17 10
4 2
五、哈夫曼树及其应用
4.哈夫曼树的性质 （1）给定权值树所对应的哈夫曼树不是唯一的， 但是，该树的带权路径长度WPL肯定是唯一的； （2）权值越大的节点，距离根节点越近； （3）哈夫曼树中，不存在只有一个孩子的节点； （4）哈夫曼树的节点总数n：=2×叶子节点个数－1。
五、哈夫曼树及其应用 5. 哈夫曼编码
五、哈夫曼树及其应用
例：（09.4月）给定一组权值：4、1、12、2、10，构 造对应的哈夫曼树（权值小的为左子树，权值大的 为右子树），并求出该树的带权路径长度。 3 、 4 、10 、12 17 7 step1：按权值由小到大排序： 1 、2 step2：取两个最小权值， 构建一颗二叉树 step3：从原序列中划去1和2 将3插入到序列中 step3：重复步骤1~3 1 29
（3）第i个叶子节点的带权路径长度WPLi： WPLi=Wi×Li； （4）树的带权路径长度WPL：等于该树中所有叶子 的带权路径长度之和。
五、哈夫曼树及其应用
2
2
4
9
5
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4
5
2
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五、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树 哈夫曼树：也称为最优二叉树，就是带权路径长度为 最小的二叉树。 3.根据已知树，求对应哈夫曼树的方法
树的先序遍历结果与对应二叉树的先序遍历结果相同；
树的后序遍历结果与对应二叉树的中序遍历结果相同。
四、树、森林和二叉树
4. 森林变二叉树
step1: 把构成森林的每一棵树变成二叉树；
step2: 依次把后一棵二叉树连在前一棵二叉树根的 右子树上。
A A B E C D F H G H C I D L K
二、二叉树
6. 二叉树的存储结构———链式存储
（2）二叉树链式存储类型的定义
struct node { datatype data; struct node *Lchild,*Rchild;
};
二、二叉树
例10-5
A
A
^ ^
B
^
C
A A
D
^
A
^
三、二叉树的遍历
二叉树的遍历：按照一定的顺序访问树中所有节点， 而且每个节点仅被访问一次的操作。 1. 中序遍历 如果二叉树不为空，则依次执行如下操作： （1）先：中序遍历左子树； （2）再：访问根节点； （3）最后：中序遍历右子树。 左子树 根 右子树
二、二叉树
5. 二叉树的两种特殊情形： （1）满二叉树：除叶子节点以外，其它节点都有两个 孩子，而且叶子节点位于同一层上的二叉树。 注意：深度为k的满二叉树，有2k-1个节点
（2）完全二叉树：一个满二叉树的最下层，从右向左 连续缺少n个节点的二叉树。
满二叉树
完全二叉树
二、二叉树 例： （2010.4单选）一个深度为 k 的完全二叉树中 节点数至少有（ ）。 A 2k B 2k-1 C 2k+1 D 2k-1
口诀： 先序后序定树根； 中序区分左和右。
三、二叉树的遍历
例：（2010.4）已知二叉树的后序遍历序列是dabec， 中序遍历序列是debac，它的前序遍历序列 是 cedba 。
c e d b
a
三、二叉树的遍历
例10-7 已知二叉树的后序遍历序列和中序遍历序列结 果分别是DGHEBIFCA和DBGEHACIF，试确定这 个二叉树。
g
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i
解（1）将该二叉树还原成森林；
a
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c e
f b
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j
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解（2）先根遍历序列：abdgcefhij
后根遍历序列：bgdaecihjf
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五、哈夫曼树及其应用
1. 几个基本术语
（1）第i个叶子节点的权值Wi：给第i个节点所赋予的 重要程度值； （2）第i个叶子节点的路径长度Li：从根到第i个节点 所经路径的段数；
1. 后序遍历 如果二叉树不为空，则依次执行如下操作：
（1）先：后序遍历左子树； （2）再：后序遍历右子树； （3）最后：访问根节点 。 左子树
根
右子树
三、二叉树的遍历
例：如图所示二叉树，试写出对其后序遍历的结果。 后序遍历结果： DGHEBIFCA
A B D E C
F
G
H
I
三、二叉树的遍历
结论：由先序和中序或后序和中序遍历结果，可以确 定唯一的一棵二叉树。
一、树（tree）
2. 树的表示形式
自然表示法
A
集合表示法
层次表示法
1A 1.1A
B
C
D
A
B
C
E F D
1.2B 1.2.1E 1.2.2F
E
F
1.3D
一、树（tree）
3. 树的有关名词 （1）节点的度：节点的孩子数。
（2）树的度=树的叉=拥有孩子最多节点的孩子个数 （3）叶子节点=终端节点=没有孩子的节点
44
d
1 23
0
27
56 0 13
e
f
1 29 0 7
c
1 16
a
1 9
a: 1110 b: 1111 c: 110 d: 00
e: 01 f: 10
b
3. 二叉树与一般树的区别：
一般树
树中至少有一个根节 点（n>0） 树的度≥0 不要求子树木顺序 （无序树）
二叉树
可以一个根节点都没 有（n ≥ 0） 树的度≤2 子树有左、右之分 （有序树）
二、二叉树
4. 二叉树的性质
性质1：二叉树的第 i 层上最多有2i-1个节点（i ≥ 1）；
性质2：高度为 k 的二叉树最多有2k-1个节点（k ≥ 1） ； 性质3：任意一颗二叉树中，如果没有孩子的节点个数 为n0，有两个孩子的节点个数为n2，那么n0=n2+1
例：（2008.04）假设字符a，b，c，d，e，f使用的频率分别为 0.07，0.09，0.13，0.21，0.23，0.27，构造哈夫曼编码树（权 值小的为左子树，权值大的为右子树），并根据哈夫曼编码树 写出a，b，c，d，e，f的编码。 step1:构造哈夫曼树
0
0 21 100 1
step2:构造哈夫曼编码树 step3:求各字符哈夫曼编码
A B D E C F
G
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四、树、森林和二叉树
一、 树的存储结构
1、双亲静态链表存储法
A
序号
0 1 2 3 4 5
节点
A B C D E F
双亲
-1 0 0 0 2 2
B
E
C
D F
四、树、森林和二叉树
一、 树的存储结构
2、孩子链表存储法
data next
1 2 3
A
0
1
A
B C ^
^
B
E
C
D F
三、二叉树的遍历
例：如图所示二叉树，试写出对其中序遍历的结果。 中序遍历结果： DBGEHACIF
A B D E C
F
G
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I
三、二叉树的遍历
中序遍历的算法描述 void inorde ( bitree *root) //root为指向根节点的指针 { if ( root != null ) { inorde (root -> Lchild); //先遍历左子树 printf ("%c", root ->data); //然后访问根节点 inorde ( root-> Rchild); //最后遍历右子树 } }
step1：将该树的叶子权值由小到大进行排序；
step2：从所排序中取出两个最小的权值 Wi 和Wi 1 构造 二叉树，该二叉树的根节点为W（ W Wi Wi 1 ） step3：从权值序列中划去 Wi 和 Wi 1 。划去后，如果 序列为空，说明所要求的二叉树已经构成；否则， 将W加入权值序列中，重复step1~step3。
计算机 软件基础
第二篇 数据结构基础
第十章
树和二叉树
一、树（tree）
1. 树的定义
树：是一个具有n（n≥0）个节点的有限集合T。 满足以下两个条件： （1） 任意一颗树有且仅有一个特定的根节点（root node）。 （2）除根节点以外，其余节点可以分为m（m ≥0 ） 个互不相交的子集T1，T2, … Tm，其中每个子集本 身又是一颗树，称为根的子树。 结论：一棵树由若干子树构成，而每一颗子树由 若干颗子子树构成。
指向下一个兄弟
A
存储
^
C
^
B
E
^
E
^ ^ F ^ ^
D
四、树、森林和二叉树
一、 树的存储结构 1. 树变二叉树 step1:写出树的孩子兄弟表示； step2:将竖线变成左子树，横向变成右子树。
A A B E C A B C D F E F
D F
B
C D
E
四、树、森林和二叉树
3. 树的遍历 树的遍历有：先序和后序 注意：
二、二叉树
例10-2：
a b
c d 8 9 10 11 12 4 2 5 c 6 d 13 a 1 b 3 7
1
a
2
3 b
4
5
6 c
7
8
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10
11
12
13
d
二、二叉树
例10-3 一个深度为K且只有K个节点的二叉树顺序存储 最多需要多少个存储空间，最少需要多少个。
二、二叉树
（2）完全二叉树节点顺序编号的意义
1
2
3
4
5
6
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二、二叉树
例10-4 一个完全二叉树节点个数为1000，则n0、n1、n2 和高度h各为多少?
1
2
3
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二、二叉树
6. 二叉树的存储结构———链式存储
（1）二叉树链式存储中，每个节点有3个成员（域）
Lchild data Rchild
Lchild——存放该节点左孩子的地址； Rchild——存放该节点右孩子的地址； data——存放该节点的数据；
2
4
5
^
3
4 5
D
E F
^
^ ^
四、树、森林和二叉树
3、孩子兄弟链式存储法 1）树的孩子兄弟表示
口诀：竖线连接左孩子，横线连接亲兄弟。 例：将如图所示树，用树的孩子兄弟表示。
A
A B B E C D F E F C D
四、树、森林和二叉树
3、孩子兄弟链式存储法 2）用链连接各节点。 指向大孩子
A B C D F date
（1）定义：长度最小的二进制串电文编码。
（2）求哈夫曼编码的步骤： step1：构造哈夫曼树（依据：以电文中各字符出现的 次数为权值）；
step2：构造哈夫曼编码树（方法：在哈夫曼树左子 树的边上添0，右子树的边上添1）；
step3：求各字符的哈夫曼编码（从根到各字符节点 路径上的二进制序列）；
五、哈夫曼树及其应用
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（2）写出森林的先根遍历序列和后根遍历序列
解（1）将该二叉树还原成森林；
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解（1）将该二叉树还原成森林；
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四、树、森林和二叉树
4. 森林变二叉树（续）
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四、树、森林和二叉树
5. 森林的遍历 森林的遍历有：先序和后序 注意：
森林的先序遍历结果与对应二叉树的先序遍历结果相同；
森林的后序遍历结果与对应二叉树的中序遍历结果相同。
例.（2010.4解答）已知下图所示的二叉树，要求：
（4）双亲节点：指的是这个节点的父亲节点。 （5）树的高度=树的层数
二、二叉树
1. 二叉树：最多具有两个树杈的树。其中，左边的 树杈称为该节点的左子树，右边的树杈称为该节点 的右子树。 2. 二叉树的基本形态：共5种
一个 节点 也没 有
只有 一个 根节 点
只有左子 树
只有右子 树
左、右子 树都有
二、二叉树
二、二叉树
例10-1 试写出具有3个节点的所有不同形态的树和 二叉树。 树有2种：① ②
二叉树有五种：
二、二叉树
6. 二叉树的存储结构———顺序存储 操作步骤为： step1：现将二叉树变成完全二叉树（给有关节点补 够两个孩子，所补节点为虚拟节点，仅占个空间）
step2：将这个完全二叉树中各节点从上到下，逐层 由左向右一次存放到计算机连续空间中。
三、二叉树的遍历
1. 先序遍历 如果二叉树不为空，则依次执行如下操作：
（1）先：访问根节点； （2）再：先序遍历左子树；
左子树 （3）最后：先序遍历右子树。
根
右子树
三、二叉树的遍历
例：如图所示二叉树，试写出对其先序遍历的结果。 先序遍历结果： ABDEGHCFI
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三、二叉树的遍历
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五、哈夫曼树及其应用
4.哈夫曼树的性质 （1）给定权值树所对应的哈夫曼树不是唯一的， 但是，该树的带权路径长度WPL肯定是唯一的； （2）权值越大的节点，距离根节点越近； （3）哈夫曼树中，不存在只有一个孩子的节点； （4）哈夫曼树的节点总数n：=2×叶子节点个数－1。
五、哈夫曼树及其应用 5. 哈夫曼编码
五、哈夫曼树及其应用
例：（09.4月）给定一组权值：4、1、12、2、10，构 造对应的哈夫曼树（权值小的为左子树，权值大的 为右子树），并求出该树的带权路径长度。 3 、 4 、10 、12 17 7 step1：按权值由小到大排序： 1 、2 step2：取两个最小权值， 构建一颗二叉树 step3：从原序列中划去1和2 将3插入到序列中 step3：重复步骤1~3 1 29
（3）第i个叶子节点的带权路径长度WPLi： WPLi=Wi×Li； （4）树的带权路径长度WPL：等于该树中所有叶子 的带权路径长度之和。
五、哈夫曼树及其应用
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五、哈夫曼树及其应用
2.哈夫曼树 哈夫曼树：也称为最优二叉树，就是带权路径长度为 最小的二叉树。 3.根据已知树，求对应哈夫曼树的方法
树的先序遍历结果与对应二叉树的先序遍历结果相同；
树的后序遍历结果与对应二叉树的中序遍历结果相同。
四、树、森林和二叉树
4. 森林变二叉树
step1: 把构成森林的每一棵树变成二叉树；
step2: 依次把后一棵二叉树连在前一棵二叉树根的 右子树上。
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二、二叉树
6. 二叉树的存储结构———链式存储
（2）二叉树链式存储类型的定义
struct node { datatype data; struct node *Lchild,*Rchild;
};
二、二叉树
例10-5
A
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B
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C
A A
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三、二叉树的遍历
二叉树的遍历：按照一定的顺序访问树中所有节点， 而且每个节点仅被访问一次的操作。 1. 中序遍历 如果二叉树不为空，则依次执行如下操作： （1）先：中序遍历左子树； （2）再：访问根节点； （3）最后：中序遍历右子树。 左子树 根 右子树
二、二叉树
5. 二叉树的两种特殊情形： （1）满二叉树：除叶子节点以外，其它节点都有两个 孩子，而且叶子节点位于同一层上的二叉树。 注意：深度为k的满二叉树，有2k-1个节点
（2）完全二叉树：一个满二叉树的最下层，从右向左 连续缺少n个节点的二叉树。
满二叉树
完全二叉树
二、二叉树 例： （2010.4单选）一个深度为 k 的完全二叉树中 节点数至少有（ ）。 A 2k B 2k-1 C 2k+1 D 2k-1
口诀： 先序后序定树根； 中序区分左和右。
三、二叉树的遍历
例：（2010.4）已知二叉树的后序遍历序列是dabec， 中序遍历序列是debac，它的前序遍历序列 是 cedba 。
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三、二叉树的遍历
例10-7 已知二叉树的后序遍历序列和中序遍历序列结 果分别是DGHEBIFCA和DBGEHACIF，试确定这 个二叉树。
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解（2）先根遍历序列：abdgcefhij
后根遍历序列：bgdaecihjf
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五、哈夫曼树及其应用
1. 几个基本术语
（1）第i个叶子节点的权值Wi：给第i个节点所赋予的 重要程度值； （2）第i个叶子节点的路径长度Li：从根到第i个节点 所经路径的段数；
1. 后序遍历 如果二叉树不为空，则依次执行如下操作：
（1）先：后序遍历左子树； （2）再：后序遍历右子树； （3）最后：访问根节点 。 左子树
根
右子树
三、二叉树的遍历
例：如图所示二叉树，试写出对其后序遍历的结果。 后序遍历结果： DGHEBIFCA
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三、二叉树的遍历
结论：由先序和中序或后序和中序遍历结果，可以确 定唯一的一棵二叉树。
一、树（tree）
2. 树的表示形式
自然表示法
A
集合表示法
层次表示法
1A 1.1A
B
C
D
A
B
C
E F D
1.2B 1.2.1E 1.2.2F
E
F
1.3D
一、树（tree）
3. 树的有关名词 （1）节点的度：节点的孩子数。
（2）树的度=树的叉=拥有孩子最多节点的孩子个数 （3）叶子节点=终端节点=没有孩子的节点
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a: 1110 b: 1111 c: 110 d: 00
e: 01 f: 10
b
3. 二叉树与一般树的区别：
一般树
树中至少有一个根节 点（n>0） 树的度≥0 不要求子树木顺序 （无序树）
二叉树
可以一个根节点都没 有（n ≥ 0） 树的度≤2 子树有左、右之分 （有序树）
二、二叉树
4. 二叉树的性质
性质1：二叉树的第 i 层上最多有2i-1个节点（i ≥ 1）；
性质2：高度为 k 的二叉树最多有2k-1个节点（k ≥ 1） ； 性质3：任意一颗二叉树中，如果没有孩子的节点个数 为n0，有两个孩子的节点个数为n2，那么n0=n2+1
例：（2008.04）假设字符a，b，c，d，e，f使用的频率分别为 0.07，0.09，0.13，0.21，0.23，0.27，构造哈夫曼编码树（权 值小的为左子树，权值大的为右子树），并根据哈夫曼编码树 写出a，b，c，d，e，f的编码。 step1:构造哈夫曼树
0
0 21 100 1
step2:构造哈夫曼编码树 step3:求各字符哈夫曼编码
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四、树、森林和二叉树
一、 树的存储结构
1、双亲静态链表存储法
A
序号
0 1 2 3 4 5
节点
A B C D E F
双亲
-1 0 0 0 2 2
B
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四、树、森林和二叉树
一、 树的存储结构
2、孩子链表存储法
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三、二叉树的遍历
例：如图所示二叉树，试写出对其中序遍历的结果。 中序遍历结果： DBGEHACIF
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三、二叉树的遍历
中序遍历的算法描述 void inorde ( bitree *root) //root为指向根节点的指针 { if ( root != null ) { inorde (root -> Lchild); //先遍历左子树 printf ("%c", root ->data); //然后访问根节点 inorde ( root-> Rchild); //最后遍历右子树 } }
step1：将该树的叶子权值由小到大进行排序；
step2：从所排序中取出两个最小的权值 Wi 和Wi 1 构造 二叉树，该二叉树的根节点为W（ W Wi Wi 1 ） step3：从权值序列中划去 Wi 和 Wi 1 。划去后，如果 序列为空，说明所要求的二叉树已经构成；否则， 将W加入权值序列中，重复step1~step3。
计算机 软件基础
第二篇 数据结构基础
第十章
树和二叉树
一、树（tree）
1. 树的定义
树：是一个具有n（n≥0）个节点的有限集合T。 满足以下两个条件： （1） 任意一颗树有且仅有一个特定的根节点（root node）。 （2）除根节点以外，其余节点可以分为m（m ≥0 ） 个互不相交的子集T1，T2, … Tm，其中每个子集本 身又是一颗树，称为根的子树。 结论：一棵树由若干子树构成，而每一颗子树由 若干颗子子树构成。
指向下一个兄弟
A
存储
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B
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四、树、森林和二叉树
一、 树的存储结构 1. 树变二叉树 step1:写出树的孩子兄弟表示； step2:将竖线变成左子树，横向变成右子树。
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D F
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四、树、森林和二叉树
3. 树的遍历 树的遍历有：先序和后序 注意：
二、二叉树
例10-2：
a b
c d 8 9 10 11 12 4 2 5 c 6 d 13 a 1 b 3 7
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二、二叉树
例10-3 一个深度为K且只有K个节点的二叉树顺序存储 最多需要多少个存储空间，最少需要多少个。
二、二叉树
（2）完全二叉树节点顺序编号的意义
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二、二叉树
例10-4 一个完全二叉树节点个数为1000，则n0、n1、n2 和高度h各为多少?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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二、二叉树
6. 二叉树的存储结构———链式存储
（1）二叉树链式存储中，每个节点有3个成员（域）
Lchild data Rchild
Lchild——存放该节点左孩子的地址； Rchild——存放该节点右孩子的地址； data——存放该节点的数据；
2
4
5
^
3
4 5
D
E F
^
^ ^
四、树、森林和二叉树
3、孩子兄弟链式存储法 1）树的孩子兄弟表示
口诀：竖线连接左孩子，横线连接亲兄弟。 例：将如图所示树，用树的孩子兄弟表示。
A
A B B E C D F E F C D
四、树、森林和二叉树
3、孩子兄弟链式存储法 2）用链连接各节点。 指向大孩子
A B C D F date
（1）定义：长度最小的二进制串电文编码。
（2）求哈夫曼编码的步骤： step1：构造哈夫曼树（依据：以电文中各字符出现的 次数为权值）；
step2：构造哈夫曼编码树（方法：在哈夫曼树左子 树的边上添0，右子树的边上添1）；
step3：求各字符的哈夫曼编码（从根到各字符节点 路径上的二进制序列）；
五、哈夫曼树及其应用