线性代数课件--第二节向量组的线性相关性-讲义
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1(1 ,2 ,3 ,4 ),2(2 ,2 ,0 ,0 ),3(3 ,0 ,3 ,0 ),4(4 ,0 ,0 ,4 )．
解 考 虑 向 量 方 程 k 1 1 k 22 k 3 3 k 44 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 3k3 4k4 0,
由 定 理 5 知 ， m 可 由 2 ,,m 1 线 性 表 示 ，
即 存 在 数 k2, ,km 1 ， 使 得
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定理 1 m个 n维向量 i (ai1,ai2, ,ain), i 1,2,,m
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 am1xm 0,
a12x1
a22x2 am2xm
0,
a1nx1 a2nx2 amnxm 0
(3.2)
有非零解．
精品
线性代数课件--第二节向量组的线性相 关性
特例： (1) 包 含 零 向 量 的 向 量 组 必 线 性 相 关 ．
(2 ) 单 独 一 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 0．
(3) 两 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 们 的 对 应 分 量
充 分 必 要 条 件 是 其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余m1个 向 量
线 性 表 示 ．
证明
推 论1 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 无 关 的
充 分 必 要 条 件 是 其 中 任 一 向 量 都 不 能 由 其 余m1个 向 量 线
性 表 示 ． 推 论 2 任 何 n 1 个 n 维 向 量 必 线 性 相 关 ． 证明 从而向量个数大于向3
0, 0,
4k1
4k4 0.
1234 因 2 2 0 0 192 0，
3030 4004
故 该 齐 次 线 性 方 程 组 仅 有 零 解 ，从而向量组1,2,3,4
线性无关．
North University of China
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推论3 当 mn时，齐次线性方程组
a11x1a12x2 a1nxn 0,
a21x1a22x2 a2nxn 0,
am1x1am2x2 amnxn 0
必有非零解．
定理5 若向量组1,2, ,m线性无关，而向量组 1,2, ,m,线性相关，则必可由1,2, ,m
线性表示，且表示式惟一．
证明
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例 3 设 向 量 组 1,2,3线 性 无 关 ， 试 证 向 量 组
12,23,31也 线 性 无 关 ．
证设 k1(1 2)k2(2 3)k3(3 1)0，
整 理 得(k 1 k 3 )1 (k 1 k 2 )2 (k 2 k 3 )3 0 ．
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例4 设1,2, ,m1（m3）线性无关，而
2, ,m1,m线性相关，试证：
(1) m可由1,2, ,m1线性表示；
(2) 1不能由2, ,m1,m线性表示．
证 (1)因1,2, ,m1线 性 无 关 ， 由定理2 知其部分组
2, ,m1也线性无关．又 2, ,m 1,m 线 性 相 关 ，
量 组1,2, ,m也 线 性 无 关 ．
注 证意 明 定理3的逆命题不成立．
例 如 ， 1(1,2,0)与 2(2,4,5)线 性 无 关 ， 但 1(1,2)与 2(2,4)线 性 相 关 ．
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定 理4 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 相 关 的
例 2 判 断 下 列 向 量 组 是 否 线 性 相 关 ：
1(1 , 1 ,2,3 ),2(2,2,0, 2),3(0,1 , 1 , 2)．
解 考 虑 向 量 方 程 k 11 k 22 k 33 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 0,
成 比 例 ． (4) n维单位坐标向量组
1(1,0, ,0), 2(0,1, ,0),
n(0,0, ,1)
线性无关，且 任 意 一 个 n维 向 量 都 可 由 它 们 线 性 表 示 ．
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例 1 判 断 下 列 向 量 组 是 否 线 性 相 关 ：
n维 向 量 组 ， 若 前 者 线 性 相 关 ， 则 后 者 也 线 性 相 关 ． 换
言 之 ， 若 后 者 线 性 无 关 ， 则 前 者 也 线 性 无 关 ．
定 证理 明 3 若n维 向 量 组1,2, ,m线 性 无 关 ， 则 在 每
一 向 量 的 对 应 位 置 上 添 加r个 分 量 所 得 到 的nr维 向
推 论 n 个 n 维 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 以 各 向 量 的 分 量 为 列 （ 或 行 ） 构 成 的 n阶 行 列 式 等 于 零 ．
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定 理2 设1,2, ,s与1,2, ,s, ,m是 两 个
因 为 1,2,3线 性 无 关 ， 所 以 有
k1k3 0, k1k2 0, k2 k3 0.
101 系数行列式 1 1 0 0，
011
故 方 程 组 仅 有 零 解 ： k10,k20,k30，
所 以 向 量 组 1 2 ,2 3 ,3 1 线 性 无 关 ．证 毕 ．
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k1 2k1
2k2
k3 k3
0, 0,
3k1 2k2 2k3 0.
由 消 元 法 可 知 ， 该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 ， 如
k 1 2 ,k 2 1 ,k 3 4 ， 故 向 量 组1,2,3线 性 相 关 ．
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解 考 虑 向 量 方 程 k 1 1 k 22 k 3 3 k 44 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 3k3 4k4 0,
由 定 理 5 知 ， m 可 由 2 ,,m 1 线 性 表 示 ，
即 存 在 数 k2, ,km 1 ， 使 得
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定理 1 m个 n维向量 i (ai1,ai2, ,ain), i 1,2,,m
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 am1xm 0,
a12x1
a22x2 am2xm
0,
a1nx1 a2nx2 amnxm 0
(3.2)
有非零解．
精品
线性代数课件--第二节向量组的线性相 关性
特例： (1) 包 含 零 向 量 的 向 量 组 必 线 性 相 关 ．
(2 ) 单 独 一 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 0．
(3) 两 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 们 的 对 应 分 量
充 分 必 要 条 件 是 其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余m1个 向 量
线 性 表 示 ．
证明
推 论1 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 无 关 的
充 分 必 要 条 件 是 其 中 任 一 向 量 都 不 能 由 其 余m1个 向 量 线
性 表 示 ． 推 论 2 任 何 n 1 个 n 维 向 量 必 线 性 相 关 ． 证明 从而向量个数大于向3
0, 0,
4k1
4k4 0.
1234 因 2 2 0 0 192 0，
3030 4004
故 该 齐 次 线 性 方 程 组 仅 有 零 解 ，从而向量组1,2,3,4
线性无关．
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推论3 当 mn时，齐次线性方程组
a11x1a12x2 a1nxn 0,
a21x1a22x2 a2nxn 0,
am1x1am2x2 amnxn 0
必有非零解．
定理5 若向量组1,2, ,m线性无关，而向量组 1,2, ,m,线性相关，则必可由1,2, ,m
线性表示，且表示式惟一．
证明
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例 3 设 向 量 组 1,2,3线 性 无 关 ， 试 证 向 量 组
12,23,31也 线 性 无 关 ．
证设 k1(1 2)k2(2 3)k3(3 1)0，
整 理 得(k 1 k 3 )1 (k 1 k 2 )2 (k 2 k 3 )3 0 ．
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例4 设1,2, ,m1（m3）线性无关，而
2, ,m1,m线性相关，试证：
(1) m可由1,2, ,m1线性表示；
(2) 1不能由2, ,m1,m线性表示．
证 (1)因1,2, ,m1线 性 无 关 ， 由定理2 知其部分组
2, ,m1也线性无关．又 2, ,m 1,m 线 性 相 关 ，
量 组1,2, ,m也 线 性 无 关 ．
注 证意 明 定理3的逆命题不成立．
例 如 ， 1(1,2,0)与 2(2,4,5)线 性 无 关 ， 但 1(1,2)与 2(2,4)线 性 相 关 ．
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定 理4 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 相 关 的
例 2 判 断 下 列 向 量 组 是 否 线 性 相 关 ：
1(1 , 1 ,2,3 ),2(2,2,0, 2),3(0,1 , 1 , 2)．
解 考 虑 向 量 方 程 k 11 k 22 k 33 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 0,
成 比 例 ． (4) n维单位坐标向量组
1(1,0, ,0), 2(0,1, ,0),
n(0,0, ,1)
线性无关，且 任 意 一 个 n维 向 量 都 可 由 它 们 线 性 表 示 ．
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例 1 判 断 下 列 向 量 组 是 否 线 性 相 关 ：
n维 向 量 组 ， 若 前 者 线 性 相 关 ， 则 后 者 也 线 性 相 关 ． 换
言 之 ， 若 后 者 线 性 无 关 ， 则 前 者 也 线 性 无 关 ．
定 证理 明 3 若n维 向 量 组1,2, ,m线 性 无 关 ， 则 在 每
一 向 量 的 对 应 位 置 上 添 加r个 分 量 所 得 到 的nr维 向
推 论 n 个 n 维 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 以 各 向 量 的 分 量 为 列 （ 或 行 ） 构 成 的 n阶 行 列 式 等 于 零 ．
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定 理2 设1,2, ,s与1,2, ,s, ,m是 两 个
因 为 1,2,3线 性 无 关 ， 所 以 有
k1k3 0, k1k2 0, k2 k3 0.
101 系数行列式 1 1 0 0，
011
故 方 程 组 仅 有 零 解 ： k10,k20,k30，
所 以 向 量 组 1 2 ,2 3 ,3 1 线 性 无 关 ．证 毕 ．
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k1 2k1
2k2
k3 k3
0, 0,
3k1 2k2 2k3 0.
由 消 元 法 可 知 ， 该 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 ， 如
k 1 2 ,k 2 1 ,k 3 4 ， 故 向 量 组1,2,3线 性 相 关 ．
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