3_01 运输问题模型与特点
第3章运输问题
§2 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1. 按某种规则找出一个初始基可行解； 2. 对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检 验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则 停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤； 3. 在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行 解，再按第2步进行判别，直至找出最优解。
21
用最小元素法确定例2初始调运方案
调 运 量 产地 销地
A
100
B
90
X12
C
70 100 100
X13
产量
200 100
250 100
甲
X11
80 150 65 100 75
乙
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
22
得到初始调运方案为：
x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
B
90
C
产量
甲
X11
70 100 100 -20
X12 X13
200
250
乙
销 量
15
80 150 65 100 75
X22 X23
X21
100
150
200
450
32
用沃格尔法确定的初始调运方案的检验数
调 运 量 产地 销地
A
50
B
90 150
X12
C
70 65 15 100
产量
200
甲 乙
销 量
为运输问题的一个基可行解。由于基变量 的检验数等于零，故有：
ui1 v j1 ci1 j1 u v c i2 j2 i2 j 2 uis v js cis js
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运输问题模型和求解方法的研究(可编辑)
运输问题模型和求解方法的研究摘要运输问题是运筹学的一个分支,是线性规划的特殊形式。
它研究的是如何在物资调运中,制定出一个由若干个产地将物资根据已知的运输交通网运到各个销售地的方案,使得总运费最小。
运输是整个物流活动中的核心,运输管理是物流活动统筹规划和管理的重要部分,对运输环节进行规划和优化,对提高物流活动的效率有着重要意义。
物流被称为“第三利润源泉”,而运输成本又在整个物流成本中占得比例最大。
合理的设计运输方案,可以降低企业的物流成本,也就意味着增加了企业的利润。
本文通过对运输问题模型和求解方法的研究,在产销平衡的条件下,运用不同的方法:表上作业法、Vogel法和Excel软件对运输问题进行求解。
运用表上作业法或Vogel法的基本思路是:初始方案的确定?最优解的检验?调运方案的调整。
其求解步骤相对较为繁琐,所以又介绍了Excel软件的求解方法,该方法相对简单,而且准确快速,但是转换建模相对困难。
总之,各种方法都有其优点和缺点,在解决实际问题中,我们可以根据实际情况选择一种或几种方法进行求解。
关键词:线性规划;运输问题;表上作业法;Excel;Vogel法目录1 前言 11.1 作业背景11.2 选题说明11.2.1 基本思路 11.2.2 作业目标 21.3 工作业绩21.3.1 个人主要工作 21.3.2 主要收获 21.3.3 自我评定 31.3.4 小组成员任务分工情况 32 物流运输概述 42.1 物流与运输 42.2.1 物流运输的概念 42.2.2 运输在物流中的地位 42.2 运输合理化 42.2.1 不合理运输42.2.2 影响运输合理化的因素 53 线性规划与运输问题 63.1 线性规划63.2 运输问题74 运输问题的求解方法104.1 单纯形法104.2 表上作业法104.2.1 初始方案的确定114.2.2 最优解的检验144.2.3 调运方案的改进154.3 Excel规划求解方法165 某物流企业煤炭运输项目方案求解20 结束语22参考文献231 前言1.1 作业背景本文根据《物流系统规划与设计》课程要求而做。
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
第 3章 运输问题
－1 1 1 1 －1 －1 0 1 0 [1] －1 0 0 0 0 0 1 1 －1 10 12
由上表看出x23为换出基的基变量，即对应闭回路标“－”号顶 点最小元素对应的变量为换出变量.
5. 迭代运算. 由于主元素总是为1，而最小比值θ=1这样 在P24列中为“1” (闭回路中标“－”的顶点)对应的变量减去θ, 在P24列中为“－1” (闭回路中标“＋”的顶点)对应的变量加上 θ，在P24列中为“0” (非闭回路上的)对应的基变量值不变. 表上作业法计算步骤、过程Байду номын сангаас单纯形法相同，但具体计 算是却不必画出单纯形表，而只需再产销平衡表上进行.
第 3章 运输问题
王秋萍
§1运输问题的数学模型
对偶问题？
max z = ∑ ai ui + ∑ b j v j
i =1 j =1
m
n
min z = ∑∑ cij xij
i =1 j =1
m
n
由产地调运出的 物资总量等于产 地的供应量 运到销地的物 资总量等于销 地的需求量
ui + v j ≤ cij ui , v j 无约束 s.t. i = 1, 2,L , m j = 1, 2,L , n
从线性规划的对偶理论可知
C B B 1 = (u1 , u 2 , L , u m ; v1 , v 2 , L , v n )
而每个决策变量 xij 的系数向量 pij = ei + em + j，所以
C B B 1 Pij = u i + v j
于是检验数
由单纯形法得知所有基变量的检验数等于0，即
p xij对应的系数列向量（约束条件中） ij 的
运输问题模型
运输问题摘要运输问题是运筹学的一个分支，是线性规划的特殊形式。
它研究的是如何在一个大宗物资调运中，制定出一个由若干个产地将物资根据已知的运输交通网运到各个销售地的方案，使得总运费最小。
物流是整个物流活动中核心，运输管理是物流活动的统筹规划和管理的一重要部分，对运输环节进行规划和优化，对提高物流活动的运行效率有重要意义。
本文通过对运输问题模型和求解方法的研究，在产销平衡的条件下，运用不同的软件Excel、Lingo、和Matlab等对运输问题进行求解，同时对内点法求解运输问题进行了研究，最终在计算机上得以实现。
通过研究得出结果如下：（1）三个软件Excel、Lingo和Matlab在求解简单的运输问题，其结果表上作业法求解的结果是一样的。
（2）在进行比较复杂的运输问题求解时，Excel出现可变单元格过多而无法进行继续求解，而Lingo和Matlab的求解结果相同，在时间耗费上差异不大，在内存占用上Matlab比Lingo 的大。
（3）根据内点法的原理和方法进行研究，编写出对运输问题进行求解的代码，并实现求解。
关键词：运输问题表上作业法Excel Lingo Matlab 内点法Study on the Solution and Practice of the Model of LogisticsTransportion ProblemAbstractTransportion problem is a branch of Operations Research，it is a special form of linear programming. It researchs how to build a program that in a bulk material dispatching to delivered all these materials based on the known traffic network to all sales from a number of producer, bringing the total freight minimum. Logistics is the core of the logistics activities, transportation management is an important part of overall planning and management in the logistics activities. Planning and management the transport link is very important for improving the efficiency of logistics activities.Based on the study of the transportion model and its solution, under the conditions of production and marketing balance, used different software such as Excel, Lingo, Matlab and so on to solve the transportion problem, and also studied the solving of the transportion problem by using the internal point method, and eventually can be achieved in the computer. Through the results of the study are as follows:(1)Threesoftware, Excel, Lingo, and Matlab in solving a simple transportation problems, the result and result of suing Tabular method were the same.(2) When solved the more complex transportation problem, Excel appears too much variable to solve, however the results of using Lingo and Matlab is the same, and little difference in time spenting and in the memory footprint Matlab is larger than the Lingo .(3) Based on the study of the principles and methods of interior point method, to write a program to solve the transportion problem.Keywords: The Transportation Problems Tabular Method Excel LingoMatlab Interior Point Method目录第一章绪论 0课题的来源 0本课题的实现目标 0运输问题的发展现状及研究意义 (1)本课题的主要工作 (2)第二章线性规划与运输问题 (2)线性规划 (2)运输问题 (3)第三章运输问题求解实践 (4)单纯形法 (4)表上作业法 (5)工具求解实践 .................................................................. 错误！未定义书签。
运输问题模型与性质
相同, j1 , j2 ,, js 互不相同。
例3-1 设m=3，n=4，决策变量xij表示从产地 Ai到销地Bj的调运量，列表如下，给出闭回路
{x11, x13 , x33 , x34 , x24 , x21} 在表中的表示法——
用折线连接起来的顶点变量。
三、运输问题的求解方法
1、单纯形法（为什么？） 2、表上作业法
由于问题的特殊形式而采用 的更简洁、更方便的方法
ai bj
i1
j 1
产销平衡条件
二、运输问题的特点与性质
1．约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构
写出式（3-1）的系数矩阵A，形式如下：
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1 , xm2 ,xmn
1 1 1
111
m行
1
1
1
1
1
1
n行 1
A 的秩小于m+n； ？
由 A 的第二至m+n行和前n列及 x21, x31,, xm1
对应的列交叉处元素构成m+n-1阶方阵D 非奇 异； ？
因此 A 的秩恰好等于m+n-1，又D本身就含于 A中，故A的秩也等于m+n-1
x11, x12 ,, x1n ; x21, x22 ,x2n ,,,,, xm1, xm2 ,xmn
关系：
Pi1 j1 Pi1 j2 Pi2 j2 Pi2 j3 Pis js Pis j1 0
注意：列向量Pij =(0,…,0,1,0,…,0,1,0,…0)T中两 个元素1分别处于第i行和第m+j行，直接计算 即可得到结果。
第三章 运输问题
第三章 运 输 问 题一． 问题的提出及模型运输问题是一类常见而且极其典型的LP 问题。
从理论上讲，运输问题可以用单纯型来求解。
但由于运输问题数学模型具有特殊的结构，存在一种比单纯型法更简便的计算方法——表上作业法。
用表上作业法来求解运输问题比单纯型可节约计算时间与计算费用，但表上作业法实质上仍是单纯型法。
§1运输问题的一般数学模型例1 某部门有3个生产同类产品的工厂（产地）,生产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、个销售点的销售量（假定单位均为t)以及各工厂到个销售点的单位云价（元/t)示于下表，试研究如何调运才能使总的运费最小？解：设ij x 为从A i 到A j 的发送量，则有Min z =411x +1212x +413x +1114x +221x +1022x +323x +924x +831x +532x +1133x +634x s.t 11x +12x +13x +14x =16 21x +22x +23x +24x =10 31x +32x +33x +34x =2211x +21x +31x =812x +22x +32x =1413x +23x +33x =1214x +24x +34x =14ij x ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3，411x 12x 13x 14x 21x 22x 23x 24x 31x 32x 33x 34x系数矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111111111111111111 以下我们把这一问题一般化：设有m 个生产点（发点）A 1，A 2，…A m ，可供应某种物资，其生产量（或称为供给量、发送量）分别为a 1,a 2,…a m .另有n 个销售点（收点）B 1，B 2…B n ，其销售量（或成为需求量、接收量）分别为b 1,b 2,…b n ,从A i 到A j 运送单位物资的运价为c ij ,若在产销平衡的条件下：∑∑===nj jm i i ba 11，要求总运费最小的调运方案。
运输问题(2021整理)
运输问题运输问题及其数学模型表上作业法产销不服衡的运输问题应用举例运输问题及其数学模型一、运输问题的数学模型单一品种运输问题的典型情况：设某种物品有m个产地A1,A2,…,A m，各产地的产量别离是a1,a2,…,a m；有N个销地B1,B2,…,B n，各销地地销量别离为b1,b2,…,b n。
假定从产地A i(i=1,2,…,m)向销地B j(j=1,2,…,n)运输单元物品的运价是c i j，问怎样调运这些物品才能使总运费最小？数据如下标所示。
表1 产销平衡表表2单元运价表有时可把两表合一。
如果运输问题的总产量等于其总销量，即有则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不服衡运输问题。
运输问题的数学模型如下：这就是运输问题的数学模型，它包含M×n个变量，(M十M)个约束方程．其系数矩阵的布局比拟松散，且特殊．二、运输问题数学模型的特点1、运输问题有有限最优解，即必有最优根本可行解2、运输问题约束条件的系数矩阵A的秩为(m+n-1)该系数矩陈中对应于变量xij的系数向量pij，其分量中除第i个和第m十j个为1以外，其余的都为零．即Pij＝(0…1…1…0)’=e i+e m+j对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：特点：(1)约束条件系数矩阵的元素等于0或1(2)约束条件系数矩阵的每一列有两个非零元素，对应于每一个变量在前m个约束方程中呈现一次，在后n个约束方程中也呈现一次。
∴R(A)≤m+n-1此外，对于产销平衡问题，还有以下特点(3)所有布局约束条件都是等式约束(4)各产地产量之和等于各销地销量之和表上作业法一、解题步调第1步：用西北角法或最小元素法确定初始根本可行解。
第2步：位势法求非基变量的查验数(解的最优性查验)，假设最优准则σi j≥0，则当前解最优，计算遏制，不然转第3步。
第3步：取一个查验数最小的非基变量做进基变量。
第4步：用闭回路法调整当前根本可行解，转第2步1. 确定初始根本可行解〔初始调运方案〕以实例介绍：例某公司出产糖果，它有三个加工厂A1,A2,A3,每月产量别离为7t,6t,5t,6t。
运筹学第三版之第三章运输问题
其中i1 ,i2 ,...,is互不相同，j1 , j2 ,..., js互不相同形式的变量
由于cij 0 i 1,...,m , j 1,...,n，所以对于任意一个可行解xij，
问题3.1的目标函数值都大于等于零，即目标函数值
有下界零。对于求极小值问题，目标函数值有下界，则必有最优值
x11 x12 x1n x21x22 x2n xm1xm2 xmn
1 1 ... 1
A 1
1
试制定一个调运方案，使得总运费最省？
设xij为运量
min Z 2 x11 9 x12 10 x13 7 x14 x21 3x22 4 x23 2 x24
8x31 4 x32 2 x33 5x34
x11 x12 x13 x14 9
x21
x22
x23
x24
5
x31
x32
x33
x34
7
s .t
.
x11 x12
x21 x22
x31 x32
3 8
x13
x23
x33
4
x14 x24 x34 6
xij
0i
1,2,3,
j
1,2,3,4
数学模型的一般形式 已知资料如下：
单位 销 运价 地
产地
B1
Bn
产 量
A1
c11 c1n a1
Am
销量
cm1 cmn am b1 bn
运输问题的数学模型
运输问题的数学模型
运输问题是指将一定数量的物资从一个地点运输到另一个地点，
在实现最优运输方案的过程中，可能途径多个中间节点。
由于数据可
能很庞大，特别是考虑到影响运输成本的一系列不确定因素，因此，
将运输问题的解决变成一个数学优化模型就显得尤为重要。
数学优化模型是一种描述和尝试求解优化问题的表达型语言，其
中包括一系列变量、目标函数和约束。
根据优化原理，通常优化模型
可以定义为如下公式：
min/max f(x)
s.t. g(x,y) = 0
h(x,y) ≥ 0
其中，f(x)是目标函数，用来描述给定的优化问题的目标；g(x,y) = 0和h(x,y) ≥ 0分别是约束函数，用来限制优化变量的取值，以达到问题的最优解。
运输问题的数学模型包括以下三个部分：
首先，定义运输问题的优化变量。
一般来说，优化变量包括运输量、源点到各中间节点的运输量以及中间节点到收货站的运输量。
其次，描述给定优化变量的目标函数，也就是运输成本最低的最
优化目标，也称为最低成本目标函数：
Minimize Sum[i=1->n] (c(i,j)xij)
其中，c(i,j)是从源点i到收货点j的运输单价，xij是从源点i
到收货点j的运输量。
最后，定义运输问题的限制条件，比如发货量不能大于源点库存；收货量不能大于收货点需求；各中间节点运输出量不能大于运输入量，即xij-xji≥0。
由以上确定的运输问题数学模型，就可以通过解析或者随机算法
等方法进行优化，以获得最优运输解决方案，尽可能地降低运输成本。
运筹学07-运输问题
X
0
A3 X
X
1
6
0
销量 0
0
0
0
B1 B2 B3 B4 产量
A1 3
6
A2
2
3
A3
1
6
销量
• 首先是一个可行解 • 其次个数正好等于6 • 可以证明，这是一个基可行解，
B1 B2 B3 B4 产量
A1 3
6
2
9
A2
2
3
3
4
A3 销量
1
6
2
5
Z (0) 3*2 6*9 2*3 3*4 1* 2 6*5 110
• 也就是从运价表的西北角位置（即x11处） 开始，依次安排m个产地和n个销地之间 的运输业务，从而得到一个初始调运方 案，我们称这种方法为西北角法（或左 上角法）．
说明
• 西北角法所遵循的规则纯粹是一种人为 的规定，没有任何理论依据和实际背 景．
• 但它容易操作，特别适合在计算机上编 程计算，因而仍不失为一种制定初始调 运方案的好方法，受到广大实际工作者 青睐．
• 在剩下最后一个空格时，只能填数（必 要时可取0）并画圈，以保证画圈的数为 m+n-1．
• 在某一行（或列）填最后一个数时，如 果行和列都同时饱和，则规定只划去该 行（或列)下次再遇到该列时，应写0并 画圈．
B1 B2 B3 B4 产量
A1 2
1
X
X
0
A2 X
0
5
X
0
A3 X
X
8
销量 0
0
2
6
1
7
8
A2
0
5
6
运输问题数学建模
运输问题数学建模
运输问题是一个经济管理中常见的问题，而其解法基于线性规划和网络流。
下面简述几个数学建模的步骤：
1. 确定目标：一般是最小化运输成本。
2. 确定决策变量：一般是表示从一个地方到另一个地方的运输量。
3. 确定约束条件：一般包括供应约束（供应地点运输量上限）、需求约束（需求地点运输量下限）和容量约束（限制运输线路容量）等。
4. 建立数学模型：利用决策变量和约束条件来建立一个数学模型。
5. 求解问题：使用线性规划的工具来求解该最优解。
6. 验证结果：将模型结果与实际情况对比，进行检验。
运输问题的数学建模过程需要对问题进行深入的分析和细致的思考，考虑到在实际应用中特定需求的特殊性，有时需要参考现有的运输问题升级其数学模型。
运输模型的结构特点___概述说明以及解释
运输模型的结构特点概述说明以及解释1. 引言1.1 概述：运输模型是指为了解决运输规划问题而建立的数学模型，通过对运输系统中各个要素和影响因素的分析和建模，以便进行全面、科学、高效的运输规划和决策。
在现代社会中，运输模型被广泛应用于交通领域，包括城市交通规划、物流管理、运输成本优化等方面。
它可以帮助我们理解和预测不同交通网络下的交通流量和拥堵情况，从而为城市规划者、政府部门以及企业提供重要的决策支持。
1.2 文章结构：本文将围绕运输模型的结构特点展开详细论述。
首先，在第2节中，将给出对运输模型进行定义和基本原理的介绍，并讨论其组件和要素。
随后，在第3节中，将对运输模型的概述说明进行探讨，包括其发展历程、应用领域以及常见类型和特点分析等内容。
在第4节中，将解释不同类型的运输模型，并给出一些实际应用案例分析及经验总结。
最后，在第5节中，将总结运输模型的结构特点与作用，并展望其未来的发展方向。
1.3 目的：本文旨在全面阐述运输模型的结构特点以及其在交通领域的应用。
通过对运输模型进行概述说明和解释，可以帮助读者更好地理解运输模型的基本原理和组成要素，并了解其在实际问题求解中的应用案例。
同时，展望其未来发展方向，为相关领域的研究者和专业人士提供参考。
最终，该文可为交通规划、物流管理等决策者提供决策支持和思路，推动城市交通系统的优化与发展。
2. 运输模型的结构特点2.1 定义和基本原理运输模型是描述货物、人员或信息从一个地点到另一个地点的方式和过程的数学模型。
它可以用来分析和优化运输网络、制定运输方案以及预测运输效果。
在数学上，运输模型通常采用线性规划方法进行建模和求解。
基本原理是通过设立变量、约束条件和目标函数来描述和控制运输过程中的各种因素，并找到最优的解决方案。
2.2 组件和要素运输模型由以下几个组件和要素构成：- 源点（origin）：代表货物、人员或信息的起始位置。
- 目标点（destination）：代表货物、人员或信息的目标位置。
运输问题数学模型
0 0 1 0 xij的列向量Pij 0 1 0 0
运输问题
i
m+j
对产销平衡问题
–约束条件（不包括非负约束）均为等式； –产量之和=销量之和； –约束条件的独立方程最多有m+n-1个。 （约束条件中，前m行相加之和减去后n行相 加之和结果是零向量，说明m＋n个行向量线 型相关。可以证明，m＋n个约束方程中的任 意m＋n－1个方程都是线型无关的。非零变 量的个数不大于独立的约束方程的个数，从 而在运输表上填有数字的格子数不大于m+n1个。）
从产地到销地的单位运价是决策变量表示由22211211销量产量运输问题ijij产销平衡问题的数学模型产销平衡问题的数学模型产量产量约束约束销量销量约束约束具有具有mmnn个变量个变量mmnn个等式约束条件的线型规划可个等式约束条件的线型规划可以用单纯形法求解以用单纯形法求解运输问题22211211运输问题数学模型的特点运输问题数学模型的特点11约束条件系数矩阵的元素等于约束条件系数矩阵的元素等于00或或11
典型背景——物资运输调度问题 一般提法为：设某种物品有: A m个产地： 1 , A2 ,, Am 产量：a1 , a2 ,, am B n个销地： 1 , B2 , , Bn 销量：b1 , b2 ,, bn 从产地 Ai 到销地 Bj 的单位运价是cij 。
求总运费最小的调度方案。
运输问题
运输问题
前言
前两章讨论了一般线性规划问题的求解 方法。但在实际工作中，往往碰到一些 特殊的线性规划问题，它们的约束方程 的系数具有特殊的结构，这样就有可能 找到比单纯形法更为简单的求解方法。 本章所讨论的运输问题就属于这样一类 问题。
运输问题
运输问题数学建模
产量 a1 a2 ┇ am
cm2 … cmn b2 … bn
分两种情况来讨论：
（1） a i
i1 m
b
j1
n
j
。即运输问题的总产量等于其总
销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 （2）
m
ai
i1
b
j1
n
j
。即运输问题的总产量不等于总
销量，这样的运输问题称为产销不平衡的运输问题。
本章主要内容:
§3.1 运输问题及其数学建模
§3.2 表上作业法
§3.3 产销不平衡的运输问题
§3.4 应用举例
教学要求：
1．掌握运输问题的数学模型、系数矩阵特殊形 式 2．掌握用西北角法、最小元素法求初始基可行 解 3．掌握回路、位势法求解过程和表上作业法求 解运输问题过程
一、 运输问题及其数学模型
问应如何调运，可使得总运输费最小?
1、确定初始方案
即初始基本可行解的确定，与一般线性规划 问题不同，产销平衡运输问题总是存在可行解。 确定初始基本可行解的方法很多，一般希望方 法是既简便，又尽可能接近最优解。下面介绍两种 方法：最小元素法，西北角法、 Vogel 法
（1）最小元素法
最小元素法的基本思想是优先满足单位运价最小的 供销业务。 首先找出运价最小的，并以最大限度满足其供销量 为原则确定供销业务。同样的方法反复进行直到确定了所 有的供销业务，得到一个完整的调运方案即初始基本可行
A1 A2 A3 3 6
4 1
3
11 9 4
3 2 10
10 8 5
3
11=3 - 3+2 - 1=1 22= 9-2+3–0+5–4 =1 31= 7-5+10–3+2–1=10
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... ... ... ... ...
Байду номын сангаас
Bn x1n x2n ... xmn
产量 a1 a2 ... am
A1 A2 ... Am
销量
b1
b2
...
bn
Xij－第i个供应点到第j个需求点的运量
模型 ——产销平衡
产量约束
s.t.
销量约束
二、系数矩阵A的特点
特点 1.由0和1组成 2. 每列只有两个1,列向量可表成
第三章 运输问题 Transportation Problem
主要内容
• • • • 运输问题模型 运输问题特点 运输问题求解 运输问题应用
第一节
运输问题及其 数学模型
•运输问题模型
•运输问题特点
例1
产地
销地
B1
4
B2
12
B3
4
B4
11
产量 16 10 22
A1 A2 A3
2 8
10 5
3 11
A2
A3 销量
X21
X31 8
X22
X32 14
X23
X33 12
X24
X34 14
10
22 48
模型
s.t.
系数矩阵 A
一、 平衡运输问题数学模型
销地
产地
B1
单位运价
c12
B2
...
...
Bn
c1n
产量
a1
A1
c11
A2
...
c21
...
c22
...
...
...
c2n
...
a2
产销平衡 ...
？3. 秩A=m+n-1
三、平衡运输问题解的特点
•必有可行解
令
•必有最优解
可行域存在且有界
•基解（或基可行解）中有m+n-1个基变量
基变量个数＝秩A＝m+n-1
•ai, bj是整数＝>基可行解分量都是整数
第一节
运输问题及其 数学模型
9 6
销量
8
14
12
14
48
问：如何调运，使总运费最低？
网络图
B1
－8
4
16
A1
10
A2
2 10 3 9 8
11
12 4
B2
－14
5 11 6
B3
－12
22
A3
B4
－14
决策变量
销地 产地
Xij－第i个供应点到第j个需求点的运量
B1 X11 B2 X12 B3 X13 B4 X14 产量 16
A1
am
Am
销量
cm1
b1
cm2
b2
...
...
cmn
bn
问：如何调运，使总运费最低？
网络图
C11
a1
C12 C1n C21 a2 A2 C22 C2n
A 1
B 1 B 2
-b1
-b2
am Am
…
…
Cm1 Cm2
Cmn
Bn
-bn
决策变量
销地
产地
B1 x11 x21 ... xm1
B2 x12 x22 ... xm2