人教版高中数学优质教案5：3.1.2 导数的概念 教学设计
教学设计4：3.1.2 导数的概念
3.1.2 导数的概念教学目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．例题讲解：一、求瞬时速度.例1：若一物体运动方程如下：(位移s ：m ，时间t ：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2 (0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度．(2)物体的初速度v 0.【解析】(1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？解： (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt＝3Δt －18， ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为0lim x ∆→ΔsΔt ＝0lim x ∆→(3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.规律方法：1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs Δt ，再用公式v ＝0lim x ∆→Δs Δt，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．变式训练：一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．解：设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率Δs Δt趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.二、求函数在某点处的导数例2：求函数f (x )＝3x 2＋ax ＋b 在x ＝1处的导数．【解析】求Δy →求Δy Δx →取极限→得f ′1解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx . Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . 0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .规律方法：1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致0lim x ∆→Δy Δx不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把Δy Δx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式． 变式训练：已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c )＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2a ·Δx ＋Δx 2Δx＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a . ∴2a ＝2，a ＝1.三、求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．【解析】本题已知函数解析式，求初速度即t ＝0时的瞬时速度，t ＝2时的瞬时速度和t ∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．解：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t ∈[0,2]时，Δt ＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分课堂小结：1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.。
3.1.2导数的概念 教案
3.1.2导数的概念教案
3.1.2导数的概念教案
【教学目标】：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。
2. 会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
【教学重难点】：
教学重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
教学难点：导数概念的理解
【教学过程】：
情境导入：
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t的关系为：2
=-++.通过上
() 4.9 6.510
h t t t
一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度。
这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t=1时的瞬时速度。
展示目标：略
检查预习：见学案
合作探究：
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是
新知：
瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速
并说明它们的意义.
(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t
s ∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度
有效训练：练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
练 2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2
()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度 反馈测评：见学案
板书设计：略
作业布置：略。
人教版高中数学优质教案3：3.1.2导数的概念 教学设计
3.1.2 导数的概念
1. 教学目标
（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.
（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．
（3）情感、态度与价值观目标：
①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．
②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．
2. 教学重、难点
重点：导数的定义和用定义求导数的方法．
难点：对导数概念的理解．
3．教学过程
【例1】
求函数y=x2+2x在点x=2处的导数.
解：（1）求增量△y=f（2+△x）-f（2）=（2+△x）2+ 2（2+△x）-（22+2×2）
=（△x）2+6△x，
（2）求平均变化率：
，
（3）取极限（△x+6）= 6
∴f′（2）=6或
【探讨3】怎样求新函数的[解析]式？
探讨后引出定义3：（函数
)
(x
f
y=在开区间)
,
(b
a内的导函数）
【例2】已知y=1
x
，求（1）y′;（2）y′|x=2.
解：
（2）y′|x=22
8
=-
4．板书设计
板书设计：。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 导数的概念》
导数的概念教学设计一、教学目标知识与技能：1.物体在时刻t的瞬时速度的概念2.在某点的导数的概念和导函数的定义过程与方法：1.掌握通过极限思想给瞬时速度下的准确定义2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度3.理解函数在某点的导数以及在某个区间内的导函数的关系情感态度与价值观：1.培养学生解决实际问题的能力2.平均速度与瞬时速度是互相联系、辩证统一的，培养学生联系的、辩证统一的思想3.理解导数的概念并会运用概念求导数二、重难点重点：1.用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度2.导数的概念以及求导数难点：1.理解物体的瞬时速度的定义2.导数的概念三、教材分析本课时是导数的概念的第一课时，主要从瞬时速度角度出发对导数下定义，并从导数的定义方面让学生对瞬时速度有更深入的理解。
在教学过程中要注意结合书本高台跳水的例题。
让学生通过研究教材表格中的变化情况探究导数的概念。
四、学情分析本节课从内容上讲难度不大，但文科生对速度这一物理概念有些无力。
在讲解时，要注意阐述这一概念，让学生有个更为深入的理解。
在引入时，可以用教材73页的探究引入，让学生对瞬时速度有一个较为直观的认识。
五、教学过程1.课前回顾：利用气球膨胀率问题和高台跳水问题回顾上节课所讲的平均变化率2.创设情境，引入新课问题1：书73页探究 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并回答 （1）运动员在这段时间里是否静止（2）平均速度是否能够准确描述运动员的运动状态设计意图：通过解决上节课的问题，引导出新课核心问题的解决思想3.小组讨论，新课讲解小组讨论：阅读教材74页至教材75页内容，并讨论如何由平均速度求瞬时速度设计意图：让学生自主探究并讨论，体会概念形成过程，帮助学生更加深刻地理解概念本身。
问题2：函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率如何表示？导数的定义（板书）函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x f x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000， 我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数，记作()0'x f 或0|'x x y =，设计意图：让学生自己从公式中总结归纳出一般规律，加深学生对公式的印象和理解4.例题讲解，巩固新知例1：求函数23x y =在1=x 处的导数解：先求x x f x f y ∆+∆=-∆+=∆6)()1()1(2 再求6+∆=∆∆x xy 再求6lim 0=∆∆→∆xy x 总结：先求函数变化量)()(00x f x x f y -∆+=∆再化简，求平均变化率xy ∆∆ 取极限xy x f x ∆∆=→∆lim 00')( “一化，二差，三极限”设计意图：通过例题让学生巩固定义，并且总结出求导数的方法5.课堂练习，强化训练练习：（课本例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．学生自主完成，并找学生作答解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆；同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．设计意图：通过书本例题加深学生对导数的计算，同回归到实际问题当中，让学生去解释结果的意义。
《导数的概念》教学设计(高效课堂教学模式)数学优质课评选活动参赛课例
导数的概念（高效课堂教学模式）
一、教材分析
《导数的概念》是高中新教材人教A 版选修2-2第一章1.1.2的内容,是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础.
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数.
问题1 高台跳水的平均速度--→瞬时速度
--
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点. 二、 教学目标
1、通过实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；
2、理解导数的概念，会用定义求导数；
3、通过导数概念的形成过程，体验逼近、类比、从特殊到一般的数学思想方法. 三、 重点、难点
重点：导数概念的形成，导数内涵的理解.
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵. 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点. 四、 教学设计。
5.1.2导数的概念及其几何意义教学设计高二上学期数学人教A版选择性
导数的概念及几何意义一、学习目标：1.从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养.2.通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.3.通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.二、重难点：教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.三、教学过程设计引言：前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．情景1：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0()f x x +∆．x 的变化量为x ∆，y 的变化量为00()()y f x x f x ∆=+∆-．我们把比值y x∆∆，即 y x ∆=∆ 叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的 ．问题1：更一般的对于函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率如何表示？练习：重温两个情境，如何用导数表示运动员在2t =时的瞬时速度(2)v ？如何用导数表示抛物线2()f x x =在点(0,0)P 处的切线的斜率k ？思考：它们的意义是什么？导数可以描述任何运动变化事物的小结：导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数．这样，当x 变化时，y ＝f ′(x )就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的 (简称导数)．y ＝f (x )的导函数记作 或 ，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx . 例1设1()f x x=，求(1)f '．例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第h x 时，原油的温度(单位：C )为2715(08)y x x x =-+≤≤．计算第2 h 与第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设s t 时汽车的速度(单位：m/s)为2()660y v t t t ==-++，求汽车在第2 s 与第6 s 时的瞬时加速度，并说明它们的意义．引言：我们知道，导数0()f x '表示函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数()y f x =在0x x =附近的变化情况．那么导数0()f x '的几何意义是什么？情景：观察函数()y f x =的图象（图5.13），思考：平均变化率00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆表示什么？思考：瞬时变化率00000()()()=limlim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆表示什么？追问：如图5.14，在曲线()y f x =上任取一点(,())P x f x ，如果当点(,())P x f x 沿着曲线()y f x =无限趋近于点000(,())P x f x 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线0P T 称为曲线()y f x =在点0P 处的切线（tangent line ）．此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？小结：1．割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，直线AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是 .当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝ .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ．例 4 图 5.16是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象．根据图象，请描述，比较曲线()h t 在0t t =，1t ，2t 附近的变化情况．四、课堂检测 1.函数2()e e x x f x a =-的图象存在与直线0x y -=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,22⎤-∞⎦B ．(],0-∞C ．)22,⎡+∞⎣D ．()0,∞+2.函数()y f x =的图象如图所示，()'f x 是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()''2(3)(2)3f f f f <-<B ．()()''32(3)(2)f f f f <<-C ．()()''23(3)(2)f f f f <<-D ．()()''(3)(2)23f f f f -<<3.函数2ln y x x 的图象在点()1,0处的切线方程为（ ）A ．21y x =-B ．22y x =-C ．1y x =-D ．1y x =+五、习题重现1.设()f x x =，求(1)f '．2.设函数2()1f x x =-．求：（1）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率；（2）函数在1x =处的导数．3．求曲线221y x =-+在点(1,1)-处的切线方程．。
高中数学新人教版A版精品教案《1.1.2 导数的概念》
人民教育出版社高中数学选修2-2（A版）第一章（教案设计）导数的概念课型：新授课教学目的: ⑴通过对高台跳水案例的研究分析——从平均速度到瞬时速度，与学生共同体会抽象出：从函数的平均变化率到瞬时变化率。
体会导数概念的实际背景。
⑵领会瞬时变化率的实质，形成导数的概念，了解导数的内涵。
⑶通过导数概念的形成过程，学习归纳，类比的推理方式。
体验无限逼近，从特殊到一般，化归与转化的数学思想。
提高广泛联系，抽象概括能力。
培养学生正确认识量变到质变，运动与静止的统一（逼近的思想，运动的变化美），形成正确的数学观。
教学要求: ⑴通过查阅资料（数学史的发展），让学生了解导数产生的背景。
⑵通过跳水视频的观看，让学生求知的欲望和兴趣得到进一步释放。
让学生明白数学与生活的联系。
⑶借助运动员的运动状态的描述的要求的变化（平均速度→瞬时速度），能让学生体会到导数产生的过程以及内涵（平均变化率→瞬时变化率）。
⑷借助熟悉的生活例子，体会导数的实际意义。
⑸通过例题的研究与讲解，让学生能简单的掌握导数的求解方法以及对相应的数学符号的把握。
并能简单的应用导数的概念解释实际生活现象。
教学重点: 形成导数的概念，了解导数的内涵。
教学难点: 对导数概念的理解，对瞬时速度的求解（逼近思想的理解）。
教学手段:⑴借助“设问式”的处理，与学生一起探究出导数的概念。
⑵通过“特殊→一般”的认知模式，提升学生对导数概念的理解。
⑶借助“图表”，“框图”比较直观的体会和解决这节课的重点和难点。
⑷利用“电子黑板”，“一体机”，“投影仪”等工具更好的促进和服务于课堂教学。
课前任务: （●第1张PPT图片——课前任务）布置课本第61页实习作业《走进微积分》,阅读,学生上网查阅牛顿,莱布尼兹生平简介,以及他们创立微积分的起始问题是什么有何差异让学生将查阅的资料做成word文档并打印出来教学过程：引入◆同学们,课前任务落实的怎么样啊哪位同学能否把你的成果给我们展示一下找一个同学的成果,用投影仪投影出来;找一个同学阅读他们创立微积分的起始问题老师评价◆显然，微积分的创立，牛顿从运动学出发，莱布尼茨从几何学出发。
全国高中数学优质课教学设计：导数的概念
全国高中数学优质课课题：导数的概念一、教学内容解析《导数的概念》是《选修2-2》第一章第1.1节中第1.1.2小结的内容，是高中数学的一节概念课.数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以一切概念为基础的.因此，数学教师必须要重视概念的教学.纵观《导数及其应用》这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法简化了中学数学中许多与函数相关的问题.导数的出现也为我们今后微积分的发展提供了方法和工具，从而使得它在其它学科领域也有了广泛的应用.但我们又不能将导数作为一种规则和步骤来学习，否则，学生很难体会导数的思想及其内涵，这样导数概念的学习就至关重要.一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数.我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将瞬时速度一般化，即抽象为一般的函数，从而形成导数的概念.第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学生在观察实验的同时，体会当||t ∆变小，趋于0时，ts∆∆趋于一个定值，这个定值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过程中，第一次体会逼近的数学思想.第二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表达式，完全转化为数学问题，在揭示研究瞬时变化率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均变化率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法.最后，建立导数的概念.因此，根据以上对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历导数概念的建立过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵.二、教学目标1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、几何直观感受、解析式抽象、类比等方法体会数学概念的发生和形成.2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导数的概念.3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴趣.三、学生学情分析1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从.2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t ∆趋于0时，th∆∆趋于一个定值；当||x ∆趋于0时，xy∆∆趋于一个定值.（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 四、教学策略分析根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题引导，学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有:1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经平均速度到瞬时速度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时变化率的概念.2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道2=t 是的瞬时速度以后，直观地理解运动员在任意时刻t 的瞬时速度.同样，在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率之后，可以归纳出一般函数在任意一点的瞬时变化率.3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”.4.利用计算器进行分组合作，取不同的t ∆，x ∆，计算t h ∆∆以及xy ∆∆的值.问：观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工作原理是什么？s=附近的平均速度变化：t3讲授：经过以上三个时刻的计算，大家都发现：当时间间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠讲授：由此可见，正如平均速度只能粗略反映物体在某个时间段的运动状态，而要想更为精确的刻画物体在某个时刻的运动状态，我们只能通过瞬用几何画板演示：。
人教版高中数学优质教案1：3.1.2导数的概念 教学设计
3.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图象，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论：当t ∆趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2 再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一定义法（略） 法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C o ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h o 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h o的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况． 四．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念五．布置作业。
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计
5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教学目标：1. 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；（2）体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
2. 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计 （一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =，则0t 到t 的平均速度为，t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =，，，))((000x f x P ，，))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为，x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在，，))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆（二）新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么？ xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ，x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义：)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线，将0P 附近的曲线不.因此，在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象，请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ，，=附近的变化情况.x处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t= 时，曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦；（2）当1t t =时，曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢；（3）当2t t = 时，曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 min 8.06.04.02.0，，，=t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t )在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如()0.910.7，则此刻切线的斜率，4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页，习题5.1复习巩固 1，2，3。
《1.1.2导数的概念》教学案3
《1.1.2导数的概念》教学案3教材分析导数的概念是高中新教材人教A 版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度--→根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平 ，制定如下教学目标和重、难点教学目标1、 知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、 过程与方法：① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法函数的平均变化率fx ∆∆ 函数的瞬时变化率0limx fx∆→∆∆（即导数）3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.重点、难点➢重点：导数概念的形成，导数内涵的理解➢难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。
（如问题2的处理）（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。
（如问题3的处理）（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
（如例题的处理）教学用具：电脑、多媒体、计算器➢教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。
②导——教师指导、循序渐进（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识（4）变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知二、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情景、引入新课幻灯片➢回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
高中数学导数的概念教案
高中数学导数的概念教案
一、教学目标：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 掌握导数计算的方法和规则；
3. 能够应用导数解决实际问题；
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
1. 理解导数的定义及其物理意义；
2. 导数计算的方法和规则；
3. 实际问题应用。
三、教学内容与安排：
第一课时：导数的基本概念
1. 定义：导数是函数在某一点处的瞬时变化率；
2. 物理意义：导数表示了函数的变化速率，可以用来解释速度、加速度等物理现象；
3. 讨论导数存在的必备条件。
第二课时：导数的计算方法
1. 导数的计算法则：和、差、积、商、复合函数的导数；
2. 高阶导数的计算方法；
3. 计算导数的基本技巧。
第三课时：导数的应用
1. 利用导数求函数的极值；
2. 利用导数解决优化问题；
3. 利用导数解决曲线的切线问题。
四、教学方法：
1. 讲授相结合，引导学生主动探究；
2. 注重示范和实例讲解，提高学生的问题解决能力；
3. 课堂小组讨论，促进学生之间的合作与交流。
五、教学评价：
1. 课堂练习与作业；
2. 实际问题解决能力的考核；
3. 学生的课堂表现和参与度。
六、教学反思：
1. 根据学生的理解情况调整教学内容和节奏；
2. 激发学生的学习兴趣，增强学生的主动学习意识；
3. 关注学生的学习过程，及时给予反馈和帮助。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。
引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。
1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。
强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。
1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。
通过实例引导学生理解导数性质的应用。
2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。
利用导数的运算法则进行函数求导。
2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。
利用导数判断函数的单调性。
3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。
利用导数求解函数的极值。
3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。
利用导数求解函数的拐点。
第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。
解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。
4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。
解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。
4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。
解释切线与法线的概念及几何意义。
第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。
强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。
导数的概念教学设计
导数的概念教学设计导数是微积分中的一个重要概念，它在解决函数的变化率以及求解极值等问题上具有重要的作用。
在教学中，如何引导学生准确理解导数的概念，并能够运用导数解决相应的问题，是一个关键的问题。
本文将从教学目标、教学内容、教学方法和教学评价四个方面，设计一节导数的概念课。
一、教学目标1. 知识目标：理解导数的概念，能够准确解释导数的定义，并能够应用导数解决函数的变化率和极值问题。
2. 能力目标：培养学生运用导数分析函数在给定区间上的变化趋势的能力，以及求解函数的极值的能力。
3. 情感目标：激发学生对微积分的兴趣和学习的积极性，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学内容1. 导数的概念：介绍导数的定义和符号表示，引导学生理解导数的意义和其在函数图像上的几何解释。
2. 导数的计算方法：以常见函数为例，说明导数的计算方法，包括使用导数的基本性质和导数的求导法则。
3. 导数的应用：通过具体问题引入导数的应用领域，如函数的变化率、切线方程和函数的极值等。
4. 综合应用：通过一些综合性的问题，既能够检验学生对导数概念的理解，又能够培养学生解决实际问题的能力。
三、教学方法1. 示范引导法：教师通过示例演示导数的概念和计算方法，引导学生思考并建立相关的概念框架。
2. 互动讨论法：教师提出问题并组织学生进行讨论与交流，激发学生的思维，促进学生之间的互动。
3. 问题解决法：教师提供一些实际问题，引导学生将导数与实际问题相结合，培养学生解决问题的能力。
四、教学评价1. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生互相交流、探讨问题，提高学生的合作与交流能力。
2. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用所学知识进行计算和分析，检验学生对导数概念的掌握程度。
3. 个体评价：对学生的课堂表现进行个体评价，包括对问题的思考与回答、对概念的理解和应用等方面。
综上所述，本节课的教学设计旨在通过引导学生准确理解导数的概念，掌握导数的计算方法以及应用导数解决实际问题的能力。
高中数学人教版导数教案
高中数学人教版导数教案教学目标：
1. 了解导数的概念和意义；
2. 能够计算常数函数、幂函数和指数函数的导数；
3. 理解导数在几何上的意义。
教学重点：
1. 导数的定义和计算方法；
2. 常数函数、幂函数和指数函数的导数计算；
3. 导数在几何中的应用。
教学难点：
1. 正确理解导数的概念和计算方法；
2. 理解导数在几何中的应用；
3. 解决导数计算的实际问题。
教学过程：
一、导入导数的概念（10分钟）
1. 引导学生思考：什么是导数？导数有什么作用？
2. 通过简单的例子引导学生理解导数的概念。
二、常数函数的导数（15分钟）
1. 讲解常数函数的导数计算方法；
2. 给出例题让学生练习计算。
三、幂函数的导数（15分钟）
1. 讲解幂函数的导数计算方法；
2. 给出例题让学生练习计算。
四、指数函数的导数（15分钟）
1. 讲解指数函数的导数计算方法；
2. 给出例题让学生练习计算。
五、导数在几何中的应用（15分钟）
1. 介绍导数在几何中的应用；
2. 通过求切线和法线斜率的例题让学生理解导数在几何中的意义。
六、课堂练习（10分钟）
1. 综合练习导数的计算方法和应用。
七、作业布置（5分钟）
1. 布置相关习题，巩固所学内容。
教学反思：
本节课主要介绍了导数的概念和计算方法，通过讲解常数函数、幂函数和指数函数的导数计算，让学生掌握了导数的基本应用。
同时，通过导数在几何中的应用，使学生更好地理解导数的意义。
需要继续引导学生多做练习，加强对导数概念的理解和运用能力。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 导数的概念》
基于此，确定本节课的教学重点是导数概念的形成。
学生情况：
学生已较好地掌握了一些函数的基本性质，函数的平均变化率以及高一物理学中的平均速度、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，高二年级的学生思维较活跃，并具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力；对导数这一新鲜的概念，具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度，这为本课的学习奠定了基础。
程岩
课件制作者
董丽
北京师范大学大兴附属中学
指导思想与理论依据
概念是反映一类事物的本质属性的思维形式，是数学思维的一个基本单位，概念的掌握一般是通过概念的形成和概念同化。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。许多数学概念需要用数学符号来表示。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。
由于瞬时变化率就是导数，又是用平均变化率“无限接近”进行研究，而“无限”是非常抽象的，是学生首次接触，要求学生既要具备一定的直观感悟能力，又要具有较高的抽象思维能力，这是本节学习必备的认知基础。
基于此，确定本节课的教学难点是导数概念的理解。
教学方式：
人教版高中数学《导数》全部教案设计的
导数的背景（5月4日）教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是221gt s =（其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ∆+∆=⨯-∆+=-∆+=∆从而，t tsv ∆+=∆∆=--9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，ts∆∆越接近29.4米/秒；当t ∆无限趋近于0时，t s ∆∆无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ∆趋向于0时，ts ∆∆的极限是29.4. 当t ∆趋向于0时，平均速度ts∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ∆）这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时，ts∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.析：设点Q 的横坐标为1＋x ∆，则点Q 的纵坐标为（1＋x ∆）2，点Q 对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(x x x y ∆+∆=-∆+=∆， 所以，割线PQ 的斜率x xx x x y k PQ∆+=∆∆+∆=∆∆=2)(22. 由此可知，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，x ∆变得越来越小，PQ k 越来越接近2；当点Q 无限接近于点P 时，即x ∆无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于2. 这表明，割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：12-=x y .一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P （00,y x ），Q （y y x x ∆+∆+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ∆趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜率xyk PQ ∆∆=无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ∆趋向于0时，割线PQ 的斜率xyk PQ ∆∆=的极限为k.3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(q q q C q C C ∆+∆=+⨯-+∆+=-∆+=∆. 产量变化q ∆对成本的影响可用：q q C ∆+=∆∆3300来刻划，q ∆越小，qC∆∆越接近300；当q ∆无限趋近于0时，qC∆∆无限趋近于300，我们就说当q ∆趋向于0时，qC∆∆的极限是300. 我们把qC∆∆的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本.一般地，设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率x y ∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本qC ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度.2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.导数的概念（5月4日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
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3.1.2导数的概念
教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.
2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
教学重难点：
重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用
难点：导数概念的理解.
教学过程：
情境导入：
高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：
2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度.
合作探究：
探究任务一：瞬时速度
问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的.
新知：
瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.
探究任务二：导数
问题2：瞬时速度是平均速度t
s ∆∆当t ∆趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x
x ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0
|x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在
(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)x
y ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率
(4)导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/
是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，
它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.
小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.
精讲精练：
例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第x h 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解:在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x
+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x
+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00
(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5, 说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h o 的速率下降
在第6h 附近,原油温度大约以5/C h o
的速率上升.
例2：已知质点M 按规律s =3t 2+2做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）．
（1）当t =2，△t =0.01时，求． （2）求质点M 在t =2时的瞬时速度．
[解析]根据导数的物理意义，求函数的导数即可得到结论．
解：（1）当t =2，△t =0.01时，
==12.03；
（2）∵s =3t 2+2，
∴s ′（t ）=6t ，
则质点在t =2秒时的瞬时速度为s ′（2）=6×2=12．
有效训练：一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s =gt 2（g =10m/s 2，位移单位：m ．时间单位：s ），求物体在t =2s 时的瞬时速度．
解：函数的导数为S ′=gt ，
则t =2秒时的瞬时速度为S ′|t =2=2g =10×2=20 m/s ．
反馈测评：板书设计作业布置。