2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题六第3讲 导数的简单应用

1k-1,∴y1
=-ln
k+2,y2=-ln
k.即A

1 k
,- ln
k

2 ,B

1 k
-1,- ln
k
,∵A、B在直线y=kx+b上,
∴2-ln
-ln k
k k
k


1 k 1 k
b, -1
b
⇒
b k
1-ln 2.
2,
若a≤0,则f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减. 若a>0,则由f '(x)=0得x=-ln a.
高考导航
当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,-ln a)单
调递减,在(-ln a,+∞)单调递增.
e
考点一
栏目索引
3.在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过
点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是
.
高考导航
答案 (e,1)
解析
设A(x0,y0),由y'=
1 x
,得k=
1 x0
,
所以在点A处的切线方程为y-ln
x0=
1 x0
(x-x0).
因为切线经过点(-e,-1),
高考导航
考点二 栏目索引
考点二 利用导数研究函数单调性
高考导航
(2017课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)·ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
考点二 栏目索引
解析 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
栏目索引 高考导航
第3讲 导数的简单应用
总纲目录 栏目索引
总纲目录
高考导航
考点一 导数的几何意义及运算 考点二 利用导数研究函数单调性
考点三 利用导数研究极值、最值
考点一
栏目索引
考点一 导数的几何意义及运算
高考导航
1.(2019课标全国Ⅲ,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y= 2x+b,则 ( D ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
答案 D ∵y'=aex+ln x+1,y'|x=1=ae+1, ∴2=ae+1,∴a=e-1.故切点坐标为(1,1), 将切点坐标(1,1)代入y=2x+b, 得1=2+b,∴b=-1,故选D.
考点一
栏目索引
高考导航
考点一
栏目索引
2.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=
ln(x+1)的切线,则b=
.
答案 1-ln 2
高考导航
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,
y2),由y=ln x+2得y'=
1,由y=ln(x+1)得y'=
x
1 ,∴k=
x 1
1=
x1
1 x2
1,∴x1=
1k,x2=
考点一
栏目索引
3.(2019课标全国Ⅰ,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
.
高考导航
答案 y=3x 解析 ∵y'=3(x2+3x+1)ex,∴曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y'|x=0=3,∴曲线在点 (0,0)处的切线方程为y=3x.
考点一
栏目索引
4.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=
先设切点Q(x0,y0),然后根据过点P且切点为Q的切线方程的求法求解.
高考导航
[提醒] 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”
的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在
点P处的切线,必以点P为切点.
考点一
栏目索引
1.(2019河南林州一中调研)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且满足关系式f(x)=x2
考点一
栏目索引
总结提升
1.在点P处的切线方程的求法 设切点P(x0,y0),然后根据以下三个方面列方程:
高考导航
①切点在曲线上,即y0=f(x0);
②切线斜率等于函数在切点处的导数,即切线斜率k=f '(x0);
③切点在切线上,即切线方程为y-y0=k(x-x0).
考点一
栏目索引
2.过点P的切线方程的求法
2
4
考点一
栏目索引
2.(2019广西五市联考)已知e为自然对数的底数,曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处
的切线与直线2ex-y-1=0平行,则实数a= ( B )
A. e-1
e
C. e-1
2e
B. 2e-1
e
D. 2e-1
2e
高考导航
答案 B ∵y'=aex+1,∴曲线在点(1,ae+1)处的切线斜率为y'|x=1=ae+1,又该切 线与2ex-y-1=0平行,∴ae+1=2e,解得a= 2e-1.
高考导航
+3xf '(2)-ln x,则f '(2)的值为( B )
A. 7 B.- 7 C. 9 D.- 9
4
4
4
4
答案 B ∵f(x)=x2+3x f '(2)-ln x,∴f '(x)=2x+3f '(2)- 1,令x=2,得f '(2)=4+3f '(2)-
x
1 ,解得f '(2)=- 7 .
f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D ) A.y=-2x B.y=-x
高考导航
C.y=2x D.y=x
答案 D ∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴a-1=0,解得a=1,∴f(x)=x3+x,∴f '(x) =3x2+1,∴f '(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.
所以-1-lnx0=1ຫໍສະໝຸດ x0(-e-x0).所以ln
x0=
e x0
,
令g(x)=ln x- e (x>0),
x
则g'(x)=
1 x
+
e x2
,则g'(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上为增函数.
又g(e)=0,所以ln
x=
e x
有唯一解x=e.所以x0=e.
所以点A的坐标为(e,1).
考点一
栏目索引
(2)若a≤0,由(1)知, f(x)至多有一个零点.
若a>0,由(1)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1- 1 +ln a.
a
①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;