最新人教版高中数学必修2第二章《直线与平面垂直的性质》教案

2.3.3 直线与平面垂直的性质

整体设计

教学分析

空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用. 三维目标

1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.

2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点

直线与平面垂直的性质定理及其应用. 课时安排 1课时

教学过程

复习

直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：

图1

如图1，表示方法为：a ⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：

⎭

⎬⎫

⊥⊂ααb a ⇒b ⊥a. 导入新课

思路1.(情境导入)

大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？

思路2.(事例导入)

如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？

图2

推进新课

新知探究 提出问题

①回忆空间两直线平行的定义.

②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？

③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.

⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？

讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.

②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.

图3

③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？

图4 图5

棱AA′、B B′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：

垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：

⎭

⎬⎫

⊥⊥ααb a ⇒b ∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 应用示例

思路1

例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a ⊥α,b ⊥α. 求证：a ∥b.

图6

证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a ∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a ⊥α,b ⊥α,∴a ⊥c,b ⊥c.

∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O ∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β,

a ∥b′显然不可能，因此

b ∥a.

例2 如图7，已知α∩β=l,EA ⊥α于点A,EB ⊥β于点B,a ⊂α,a ⊥AB. 求证:a ∥l.

图7

证明：

⎭

⎬⎫

⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l ⊥平面EAB.

又∵a ⊂α,EA ⊥α,∴a ⊥EA.

又∵a ⊥AB,∴a ⊥平面EAB. ∴a ∥l.

思路2

例1 如图8,已知直线a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α. 求证：a ∥α.

图8

证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b′∥b ，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b′作平面β，设α∩β=a′,

∵b′∥b ，a ⊥b,∴a ⊥b′.∵b ⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α.

又∵a′⊂α,∴b′⊥a′.

由a ，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a ，b′⊥a′知a ∥a′.∴a ∥α.

例2 如图9，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ； （2）若∠PDA=45°，求证:MN ⊥面PCD.

图9

证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE ∥CD,NE=2

1

CD. 又∵AM ∥CD,AM=2

1

CD, ∴AM

NE.

∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE.

∵⎪

⎭

⎪

⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫

⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD ⊥AE.

(2)当∠PDA=45°时,Rt △PAD 为等腰直角三角形, 则AE ⊥PD.又MN ∥AE, ∴MN ⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN ⊥平面PCD. 变式训练

已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角.求证：l ⊥α.

证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO=BO=CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中，

∵PO=PO=PO ，AO=BO=CO ，∠POA=∠POB=∠POC ， ∴△POA ≌△POB ≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB 的中点D,

连接OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB ⊥平面POD. ∵PO ⊂平面POD,∴PO ⊥AB. 同理,可证PO ⊥BC.

∵AB ⊂α，BC ⊂α，AB∩BC=B,∴PO ⊥α，即l ⊥α.

若l 不经过点O 时，可经过点O 作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α， ∴l ⊥α. 知能训练

如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a, （1）求证：BD 1⊥平面B 1AC; （2）求B 到平面B 1AC 的距离

.

图10

（1）证明：∵AB ⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C ⊥面ABC 1D 1. 又BD 1⊂面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1. ∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC,

∴AC ⊥面BB 1D 1D.又BD 1⊂面BB 1D 1D,∴AC ⊥BD 1. ∴BD 1⊥平面B 1AC.

（2）解:∵O ∈BD,∴连接OB 1交BD 1于E. 又O ∈AC ，∴OB 1⊂面B 1AC. ∴BE ⊥OE ，且BE 即为所求距离.