上海市格致中学2013届高三文科数学模拟试题

格致中学 二〇一二学年度第一学期 第一次测验高三年级数学(文科) 测试卷(测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷)一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）。

把答案直接填写在答题卷的相应位置上。

1、对于集合A 、B ，定义运算{}A B x x A x B -=∈∉且，若{}11A x x =-<<，{}02B x x =<<，则A B -=______________。

2、若复数z 满足211z i i =+，（其中i 为虚数单位），则z =__________。

3、不等式2201a xx a ->--（1a ≠）的解集为_____________。

4、若()y f x =是函数12x y -=的反函数，则()1f =___________。

5、已知数列{}n a 为等比数列，且满足12a =，414a =，则数列{}n a 所有项的和为_________。

6、若α为锐角，且1sin 33⎛⎫-=⎪⎝⎭πα，则sin =α____________。

7、二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为________。

8、侧面展开图是半径长为2cm 、圆心角为23π的扇形的圆锥的体积为___________3cm 。

9、用系统抽样法要从180名学生中抽取容量为20的样本，将180名学生随机地从1180 编号，按编号顺序平均分成20组(19 号，1018 号，…，172180 号)，若第16组抽出的号码为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是_________。

10、若变量x 、y 满足条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则3x y -的最小值为_________。

11、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数比个位数大的概率是____________。

12、已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项的和，对任意*n N ∈，有班级____________姓名________________学号____________准考证号______________11352n n n nn n k a a a a a k a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，其中为使为奇数的正整数，则当11a =时，123S S S S +++=___________。

13、已知二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b +-的最小值为___________。

14、设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，()1102011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪=+⎨≤≤⎪+⎩，其中,a b R ∈，若1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2a b -的值为___。

二、选择题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）。

每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的选项填在答题卷的相应位置上。

15、函数()22302ln 0x x x f x xx ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为 （ ）A ）0B ）1C ）2D ）3162个三角形的面积为 （ ） A ）1 BC ）2 D）17、设a 、b 都是非零向量，则下列四个条件：①a b =- ；②//a b ；③2a b = ；④a b =。

则其中可作为使a ba b= 成立的充分条件的有 （ ）A ）0个B ）1个C ）2个D ）3个 18、如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC和棱1AA 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是 （ ）A ）此四面体体积只存在最大值；B ）此四面体体积只存在最小值；C ）此四面体的体积为定值；D ）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值。

A BCD1A1B 1C1DEFG H第18题图三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分。

19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分） 已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若1a 、k a 、2k S +成等比数列，求正整数k 的值。

20、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，D 为AB 中点，1CB =，3AC =， 异面直线1C D 与11A B 所成角大小为1arccos 4。

（1）画出此三棱柱的左视图和俯视图； （2）求三棱锥1C CBD -的体积。

21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题10分，满分16分）1B主视图A1A B左视图俯视图已知圆22:20G x y y +--=经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 及上顶点B 。

（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆外一点()(),0M m m a >倾斜角为23π的直线l 交椭圆于C 、D 两点， 若点()3,0N 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围。

22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）定义非零向量(),OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），向量(),OM a b =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”（其中O 为坐标原点）。

记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S 。

（1）已知()()cos 2cos h x x x α=++，求证：()h x S ∈； （2）求（1）中函数()h x 的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点(),M a b 满足条件：3a =且0b <≤向量OM的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值。

当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围。

23、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分） 已知函数()kf x x b =+（常数,k b R ∈）的图像过点()4,2、()16,4两点。

（1）求()f x 的解析式；（2）问：是否存在边长为4正三角形12PQ Q ∆，使点P 在函数()f x 图像上，1Q 、2Q 从左至右是x 正半轴上的两点？若存在，求直线2PQ 的方程，若不存在，说明理由； （3）若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于直线y x =对称，且不等式()()222g x g x ax +->+恒成立，求实数a 的取值范围。

格致中学二〇一二学年度第一学期第一次测验高三年级数学(文科)参考答案（共4页）一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

每题解题过a ba b++当2,2x k k Z πϕπ+=+∈即02,2x k k Z ππϕ=+-∈时()f x 取得最大值--12’0tan tan 2cot 2a x k b ππϕϕ⎛⎫∴=+-== ⎪⎝⎭--------------------------------------------13’0022022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a b b ⨯∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭-----------------------------------------14’ b a 为直线OM 的斜率，由几何意义知30,3b a ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦--------------------------------15’ 令bm a=，则023tan 2,0,13x m m m ⎛⎤=∈ ⎥ ⎝⎦-12331210PQ k ==- ，∴直线1PQ 的倾斜角为3π--------------------------------8’∴这样的正三角形存在，且点()214,0Q ，直线2PQ 的方程为()314y x =--即31430x y +-=--------------------10’ （3）由题意知：()g x 为()f x 的反函数，()2g x x ∴=（0x ≥）------------------12’()()222g x g x ax +->+ 即()22222x x ax +->+当2x ≥恒成立-----13’22242ax x x ∴<-+即22422x x a x-+<当2x ≥恒成立，---------------------15’∴只需求函数22422x x x-+在[)2,x ∈+∞上的最小值即可，又2242122x x x x x-+=+-在[)2,x ∈+∞单调递增-----------------------------16’特别说明：新课程教育在线提供的免费学习资料取材于网络，仅供参考。

11。