根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点一、一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆．（1）当△>0⇔一元二次方程有2个不相等的实数根；1x =2x =（2）当△=0⇔一元二次方程有2个相等的实数根；122b x x a==-（3）当△<0⇔一元二次方程没有实数根．例1：下列一元二次方程没有实数根的是（ ）A ．x 2+2x +1=0B ．x 2+x +2=0C ．x 2﹣1=0D ．x 2﹣2x ﹣1=0【变式一】不解方程，判断一元二次方程2210x ax a -++=的根的情况是（ ）．A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根例2．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【变式一】关于x 的方程()22210m x x ++-=有两个不等的实根，则m 的取值范围是知识点二、韦达定理1．如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x 、，那么有：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．例3：已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则α+β-αβ的值是（ ）A ．3B ．1C ．-1D ．-3知识点&例题【变式一】已知一元二次方程22210x x +-=的两个根为1x ，2x ，且1x ＜2x ，下列结论正确的是（ ）A ．1x + 2x =1B ．1x •2x =-1C ．|1x |＜|2x |D ．21112x x +=【变式二】已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121235x x x x +-=，那么b 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．3D ．-32、利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形①()2221212122x x x x x x +=+-；例4：设1x 、2x 是一元二次方程22410x x --=的两实数根，则的2212x x +值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则2212x x + = ．【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= ． ②()()221212124x x =x x x x -+-；例5：设1x 、2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则()212x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的两根，则()212x x - = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+7x ﹣6=0的两根，则()2α-β= ．③12x x =-±例6：设1x 、2x 是一元二次方程23450x x -+=的两实数根，则12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程215102x x --=的两根，则12x x - = ．【变式二】若α、β是一元二次方程2250x x +-=的两根，则α-β= ．④12x x -例7：若12x x 、是方程2350x x +-=的两根，那么12x x -=【变式一】已知12x x 、是关于x 的一元二次方程2-5+0x x a =的两个实数根，且125x x -=，则a =【变式二】已知一元二次方程x 2﹣4x ﹣k=0的两根分别为m ，n ，且6m n -=，求k 的值． ⑤12121211x x x x x x ++=⋅；例8． 已知12x x 、是方程2310x x --=的两根，则1211x x += ． 【变式一】已知一元二次方程2430x x --=的两根分别为m ，n ，则11m n+的值为 ． 【变式二】若非零实数m ，n （m≠n ）满足220160m m --=，220160n n --=，则11m n+= ．⑥()222121212222222121212211x x x x x x =x x x x x x +-++=⋅⋅；例9：若12x x 、是方程2350x x +-=的两根，那么221211x x +=_________． 【变式一】设12x x 、是一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1=0的两实数根，则221211x x += ． 【变式二】一元二次方程2230x x --=的解是12x x 、，那么221211x x +=_________．⑦()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==⋅⋅；例10：设x 1、x 2是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则2112x x x x +的值是（ ） A ．﹣6 B ．﹣5 C ．﹣6 或﹣5 D ．6或5【变式一】若方程x 2﹣3x ﹣4=0的两根分别为x 1和x 2，则2112x xx x +的值是（ ）A ．174B ．34-C ．34D ．174- 【变式二】若α，β是方程2220x x --=的两个实数根，则2112x xx x + = ．⑧12x x +例12：已知关于x 的方程()22+32+k 10x k x -+=的两个实数根分别是12x x 、，当127x x +=时，那么k 的值是 ．【变式一】关于x 的一元二次方程()222310x k x k --++=有两个不相等的实数根12x x 、．（1）求k 的取值范围； （2）求证：10x <，20x <；（3）若12126x x x x --=，求k 的值．【变式二】已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k ++++=有两个实数根12x x 、．（1）求实数k 的取值范围；（2）若12x x +=k 值．例13：已知：关于x 的方程()241210x k x k +++-=（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）若1x ,2x 是方程的两实数根,且()()122223x x k --=-,求k 值【变式一】已知k 为实数，关于x 的方程为()22210x k x k -++=．（1）请判断x =﹣1是否可为此方程的根，说明理由．（2）设方程的两实根为1x ，2x ，当1212221x x x x ++=时，试求k 的值．1、关于x 的方程260x mx ++=的一个根为-2，则另一个根是（ ）A ．-3B ．-6C ．3D ．62、设α，β是方程2910x x ++=的两根，则()()222009120091ααββ++++的值是（ ）A ．0B ．1C ．2000D ．4000000 3、设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为（ ）A ．2320x x m ---=B ．2320x x m +--= C．220x x -=D ．220x x += 4、若α，β是一元二次方程23290x x +-=的两根，则βααβ+的值是（ ） A ．427 B ．427- C ．5827- D ．58275、若1x ，2x 是方程22210x mx m m -+--=的两个根，且12121x x x x +=-，则m 的值为（ ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．1 6、已知实数a 、b （a≠b ）分别满足222a a +=，222b b +=．求11a b+的值．7、已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +-+=的两个不相等的实数根α、β满足111αβ+=，求m 的值．课后作业8、已知关于x 的方程()222310x k x k --++=有两个不相等的实数1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1x 、2x 满足121223x x x x +=-，求k 的值．9、已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别是1x ，2x ，且满足1212x x x x +=，求m 的值．10、已知关于x 的一元二次方程()()222220x m x m m --+-=（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为1x ，2x ，且221210x x +=，求m 的值。
一元2次方程求根公式
一元2次方程求根公式
求一元二次方程的根的公式，通常都是利用韦达定理和根的判别式。
一元二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。
假设其解为x1和x2，那么根据韦达定理，我们有如下等式：x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。
于是，我们可以使用这两个等式来求出一元二次方程的根。
若要解出一元二次方程的具体根，还需利用根的判别式，即 Δ = b² - 4ac，其中，Δ即为变量的讨论范围，也称为判别式。
如果判别式Δ小于0，那么方程无实根。
即方程的解为两个虚根。
如果判别式Δ等于0，那么方程有两个相同的实根，或者说有一对重根。
这时候，方程的解可以用以下的公式来求解：x1,2 = -b/2a。
如果判别式Δ大于0，那么方程有两个不相同的实根。
这时候，方程的解可以
用以下的公式来求解：x1,2 = [-b ± sqrt(Δ)] / 2a。
需要注意的是，以上这些公式只是一元二次方程的求解方法之一，对于一些特殊的情况，比如说完全平方，或者是可以通过因式分解来求解的情况，就需要选
用不同的求解策略。
但无论如何，以上这些公式是求解一元二次方程最常用，也是最基础的工具。
初三培优第2讲 一元二次方程根的判别式及韦达定理
17、已知实数 a,b 满足 a ab b 1 ，且 t ab a b ，请求出 t 的取值范围.
2
2
2
2
4
(3) ( x1 5)( x2 5) ；
(4) | x1 x2 | ．
4、若 x1 , x2 是方程 x x 2013 0 的两个根，则 x1 2014 x2 2013 _______. 5、若 x1 , x2 是方程 x 5 x 3 0 的两个实数根，且 2 x1 ( x2 6 x2 3) a 4 ，则 a=___ 6、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 x a 1 0 有两根为 x1 , x2 ，且 x1 x1 x2 0 ，则 a 的值为________. 7、已知关于 x 的方程 2 x mx 2m 1 0 的两个实数根的平方和是
一元二次方程根的判别式及韦达定理
考点摘要： 1）根的判别式; 2）根与系数的关系（韦达定理）; 3）与根相关的问题解法; 典例剖析：
一、利用根的判别式判定一元二次方程根的情况： 1、不解方程，判断下列方程的根的情况. (1) 2 x 3
2
(2) x 2kx k 1 0
2
2
2、 已知 a,b,c 分别是三角形的三边长,则方程 ( a b) x 2cx ( a b) 0 的根的情况是 （ A.没有实数根 C.有两个相等的实数根
） D. 非以上答案
二、利用根的判别式确定一元二次方程中字母系数的值： 1、关于 x 的方程 ( a 5) x 4 x 1 有实数根，则 a 满足的取值范围是_________________. 2、当 a,b 为何值时，方程 x 2(1 a ) x 3a 4ab 4b 2 0 有实数根？
一元二次方程根的判别式与韦达定理
一元二次方程根的判别式与韦达定理一.一元二次方程根的判别式.对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0),记Δ=b 2-4ac.那么有:Δ＞0⇔方程有两个不等实数根;Δ=0⇔方程有两个相等实数根;Δ＜0⇔方程没有实数根.注意：〔1〕使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。
〔2〕如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b 2-4ac≥0切勿丢掉等号.(3)根的判别式b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.(4)显然,当a 、c 异号时，Δ＞0，方程必有两不等的根，此结论宜熟记于心. 二.根的判别式有以下应用：① 不解一元二次方程，判断根的情况.例1.不解方程，判断以下方程的根的情况： (1)2x 2+3x-4=0;(2)2210x ax a ++-=.② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例2.求k 的何值时,关于x 的方程2(k+1)x 2+4kx+2k-1=0〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕没有实数根；(4)有一根.③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根.例3．求证方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
三.韦达定理(一元二次方程根与系数的关系).假设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为1x 、2x ，那么有：12b x x a +=-，12cx x a=.注意:此定理成立的前提是方程为一元二次方程(a ≠0),且方程有两根(包括相等的两根,即要满足Δ≥0) 四.韦达定理的应用. ① 求根或参数的值.例4.(1)方程20x px q ++=的两个根为2-和4,求p 、q 的值.(2)方程240x x m -+=的一个根是2+,求方程的另一个根及m 的值.(3)假设方程250x kx k --+=的一个根是2, 求方程的另一个根及k 的值.说明:这3个题目均有两种解法,即代根法与韦达定理法,其中(1)(2)用韦达定理更简单,(3)用代根法更简单. ② 求与两根有关的对称式的值.例5.设1x 、2x 是方程2430x x +-=的两根,试求以下各式的值:(1)12x x +;(2)12x x ;(3)2212x x +;(4)1211x x +;(5)12(1)(1)x x --;(6)12x x -; (7)3223112122x x x x x x +++;(8)2112x x x x +;(9)2212224x x x ++.说明(1)这类题目除了利用韦达定理解外,也可以直接求出方程的根代入各式求值,对于 此题这样做显然计算量大.但如果方程的根为全整数时,比方方程替换为2320x x -+=,那么宜选用带人求值的方法.(2)一般的,对于方程ax 2+bx+c=0(a≠0),当0∆≥时,有12x x -====a=,此结论及其推导过程必须牢记于心.③ 分析一元二次方程根的范围(主要指符号).x 的方程24(2)10x k x k -++-=.根据以下各条件分别求k 的取值范围.(1)两根异号;(2)两根均为正数;(3)两根异号,且负根绝对值大.④构造一元二次方程.理论依据是:以x 1、x 2为根的一元二次方程是x 2-〔x 1+x 2〕x+x 1x 2=0. 例7. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .例8.解以下方程组:(1)56x y xy +=⎧⎨=⎩; (2)56x y xy -=⎧⎨=⎩; (3)2312x y xy -=⎧⎨=⎩; (4)22135x y x y ⎧+=⎨+=⎩.1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．假设12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，那么1211x x +的值为()A ．2B ．2-C ．12D ．923．菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 等于( ) A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或4．假设t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，那么判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定5．假设实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，那么代数式1111b a a b --+--的值为()A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，那么,,a b c 之间的关系是 ______7．一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，那么这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．假设方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，那么k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2x qx p ++=的两实根，那么p = _____ ，q = _____ ．10．实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，那么a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．假设0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不管为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 假设方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．15．关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．16．关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．17．假设12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 假设1212x x =，求k 的值．练习答案:1． B 2． A 3．A 4．A 5．A6．2,a c b b c +=≠且 7． 38． 9或3-9．1,3p q =-=- 10．3,3,0a b c ===11．正确12．413．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=- 14．3(1) (2)22k k ≥= 15．13(1)112k k <≠且(2) 不存在 16．1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．17．(1) 314k k ≥≠且 ； (2) 7k =．。
根的判别式与韦达定理
根的判别式ac b 42-根的判别式的作用：①判定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 例3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )A.10≠≥且m mB.0≥mC.1≠mD.1>m例4、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
例5、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.例6、已知关于x 的方程0k x 4k 2x 2=++-有两个不相等的实数根，（1）求k 的取值范围。
（2）化简4k 4k 2k 2+-+--针对练习：1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠54．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根.5．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根.6. 已知a 、b 、c 是ABC ∆三条边的长，那么方程()042=+++c x b a cx 的根的情况是考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m⑴有两个实数根，则m 为 ,⑵只有一个根，则m 为 。
例2、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
韦达定理与根的判别式
韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点：1、根的判别式b24ac（1）b24ac 0 ，方程有两个不相等的实数根；（2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根；（3）b2 4ac 0，方程没有实数根；2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有xb1 x2ax1x2ca例1：已知一元二次方程x22x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x21,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值练习：1、方程x23 0的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（）A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x322，x1x2 2 D x31 x22，x1x2 23、已知方程x2 2 0，则此方程（）A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根，则3221x11x2的值为（）A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（）A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根，那么x1x2的值是（） A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a与c异号，则方程（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4，则这个方程为（） A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（） A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根，则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2，则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
韦达定理与根的判别式(解析版)
x 2 - 2 |x |-15 = ( )A. 0B. - 2C. 2D. 8 【解答】解：①当 x > 0 时，方程化为： x 2 - 2x - 15 = 0， 即 (x + 3) (x - 5) = 0， ∴ x + 3 = 0，x - 5 = 0， 解得 x 1 = -3( 舍去 )，x 2 = 5，②当 x < 0 时，方程化为： x 2 + 2x - 15 = 0， 即 (x - 3) (x + 5) = 0， ∴ x - 3 = 0，x + 5 = 0， 解得 x 3 = 3( 舍去 )，x 4 = -5，③当 x = 0 时，方程不成立．∴ 此方程的所有实数根的和为： 5 + (-5) = 0．或原方程可化为： (|x |-5) (|x |+3) = 0， 即 |x |-5 = 0，|x |+3 = 0， ∴ |x | = 5，|x | = -3( 舍去 )， 解得 x = 5 或 -5，∴ 此方程的所有实数根的和为： 5 + (-5) = 0．故选：A ．x x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 =(1(2【解答】解： (1) ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ b 2 - 4ac = (2m + 1)2 - 4(m 2 - 1) = 4m + 5 > 0，解得：m > - ，即 m 的取值范围是 m > - ；(2) 由 (1) 知：当 m > - 时，方程有两个不相等的实数根，∵ m 为不大于 1 的整数， ∴ m = 0，-1，1，又m = 0 时，方程北2+ 北 - 1 = 0 的根不是整数，当m = -1 时，则方程为北2- 北 = 0，解得：北1=1，北2=0，即当m = -1 时，方程的解是北1= 1，北2= 0．当m = 1 时，则方程为北2+ 3北 = 0，解得：北1= -3，北2= 0，即当m = 1 时，方程的解是北1= -3，北2= 0．(北 - 3)2 + (y - 3)2 =(北yy北【解答】解：设y= k北，则直线y= k北与圆 (北 - 3)2 + (y - 3)2 = 6 相切时k有最大值和最小值，把y = k北代入 (北 - 3)2 + (y - 3)2 = 6，得 (1 + k2)北2 - 6(k + 1)北 + 12 = 0，∴ Δ= 36(k + 1)2 - 4 × 12 × (1 + k2) = 0，即k2 - 6k + 1 = 0，解此方程得，k = 3 + 2 2 或3 - 2 2．所以y北= k 的最大值是3+ 2 2．北2北(北≥ 0)解：北2北28 = 2北 4 = 2(北 2 +北 2 ，因为北≥ 0，所以北 + 2 的最小值是2，所以北 2 的最大值是2，所以2 + 北 2 的最大值是4，即北2北 (北≥ 0) 的最大值是4．2北北【解答】解：2北北22210= 2北北2 6 = 2(北北2= 2 + 北2 2，∵ 北2≥ 0，∴北2 + 2 的最小值为2，∴北2 2的最大值为3，∴2 + 北2 2的最大值为5，∴分式2北北的最大值是5，故答案为：5．x(m - 4)x 2 + (2m - 1)x +1 = 0 s s【解答】解：根据题意得 m - 4 ≠ 0 且 Δ = (2m - 1)2 - 4(m - 4) ≥ 0，解得 m ≠ 4， x 1 + x 2 = - ，x 1x 2 =，s =+== -2m + 1，由于 m ≠ 4， 所以 s ≠ -7． 故答案为 s ≠ -7．x2x 2 - 4mx + 2m 2 + 3m - 2 = 0(1)m(2) x 1x 2mx 12+ x 22【解答】解： (1) ∵ 一元二次方程 2x 2 - 4mx + 2m 2 + 3m - 2 = 0 有两个实数根， ∴ b 2 - 4ac = (-4m )2 - 4 × 2(2m 2 + 3m - 2) ≥ 0， ∴ -24m + 16 ≥ 0， ∴ m ≤ ，∴ 实数 m 的取值范围为≤ ；(2) ∵ x 1 + x 2 = 2m ，x 1 •x 2 = (2m 2 + 3m - 2)，∴ x 12+ x 22= (x 1 + x 2)2 - 2x 1x 2 = (2m )2 - 2 × (2m 2 + 3m - 2) = 2m 2 - 3m + 2 = 2(m - 2+， ∵ m ≤ ， < ，∴ 当 m = 时，x + x 12 22= 2(- 2+ = ，∴ 当 m = 时，x 12+ x 22有最小值，最小值是 ．1.(x - 1) (x 2 - 2x + m ) =0m()A. 0 ≤ m ≤ 1B. ≤ mC. ≤ m ≤ 1D. < m ≤ 1【解答】解：∵ 方程(x- 1) (x2 - 2x+m) =0 有三根，∴ x1 = 1，x2 - 2x+m= 0 有根，方程x2 - 2x+m= 0 的Δ = 4 - 4m≥0，得m≤ 1．又∵ 原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴ 有x2 + x3 > x1 = 1，|x2 - x3 | < x1 = 1，而x2 + x3 = 2 > 1 已成立；当|x2 - x3 | < 1 时，两边平方得：(x2 + x3)2 - 4x2x3 < 1．即：4 - 4m<1．解得m>．∴ <m≤ 1．故选：D．x(k- 1)2x2 + (2k+ 1)x+1 =k( )A. k> k ≠ 1B. k≥ k≠ 1C. k >D. k ≥【解答】解：当k - 1 ≠ 0，即k≠ 1 时，此方程为一元二次方程．∵ 关于x的方程(k- 1)2x2 + (2k+ 1)x+1 = 0 有实数根，∴Δ = (2k+ 1)2- 4 × (k- 1)2× 1 = 12k- 3 ≥ 0，解得k≥；当k- 1 = 0，即k= 1 时，方程为3x+1 = 0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥，故选：D．3. m n x2 - 5x+ 1 = 0 S1= + S2= + ⋯St = + (t)S1 + S2 +⋯ S t= t2 - 56t( )A. 7B. 8C. 9D. 10【解答】解：∵ m，n是方程x2 - 5x+ 1 = 0 的两个根，∴m+n= 5，mn= 1，∴S1 = +1 + m+ 1 + n=(1 +m) (1 +n)2 + (m+ n)1+m+n+mn2 + 51 + 1 + 5= 1==，解得 - 3 < a < 1 2 2 ．1 + m2 1 + n 2 S 2 = +1 + m2 + 1 + n 2 =(1 + m 2) (1 + n 2) 2 + (m + n )2 - 2mn =1 + (m + n )2 - 2mn + (mn )22 + 5 - 21 + 5 -2 + 1= 1 …， ∴ S t =+= 1，∴ S 1 + S 2 +… S t = t 2 - 56， 1 + 1 +… +1 = t 2 - 56， t = t 2 - 56， t 2 - t - 56 = 0， (t - 8) (t + 7) = 0，解得： t = 8 或 t = -7( 舍去 )． 故选：B ．4.xx 2 - 2mx - 4m +1 = 0 (m - 2)2 - 2m (m - 1)【解答】解：由题意可知： Δ = 4m 2 - 2(1 - 4m ) = 4m 2 + 8m - 2 = 0， ∴ m 2 + 2m = ，∴ (m - 2)2 - 2m (m - 1) = -m 2 - 2m + 4 = - + 4= 7 2 ，故答案为： x 2 + 4ax - 4a + 3 = 0x 2 + (a - 1)x + 1 + a 2 = 0x 2 + 2ax - 2a + 3 = 0a(16a 2 + 16a - 12 < 0【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有〈(a - 1)2 - 4(a 2 + 1) < 0 ，(4a 2 - 4(3 - 2a ) < 01 1=，故答案为：a≤ - 或a≥．6. x (1 - 2k )x2 - 2x - 1 = 0 k【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程 (1 - 2k)x2 - 2x- 1 = 0 有两个不相等的实数根，(1 - 2k≠ 0∴〈k+ 3 ≥ 0 ，( △ = (-2)2 - 4(1 - 2k) × (-1) > 0解得： -3 ≤ k<4 且k≠ 1x x2 + ax- 1 = (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 =【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2 + ax- 1 = 0 的两个根分别为m、n，∴ m2 + am- 1 = 0，n2 + an- 1 = 0，设x+ 1 =m或n，则 (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 = 0，∴ (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 = 0 的根为x= m- 1 或n- 1，故答案为：x= m- 1 或n- 1．8. x y(2x+ 1)2 + y2 + (y- 2x)2 = x+ y【解答】解：由 (2x+ 1)2 + y2 + (y- 2x)2 = ，得(3x+ 1)2 + 3(x- y)2 = 0，则〈( x= -解得〈，故x+ y= - - = - ．x(a+ b)x2 + 2cx+ (b- a) =a b c△ABC(1x= -△ABC(2△ABC(3△ABC【解答】解： (1)△ABC是等腰三角形，理由：当x= -1 时，(a+ b) - 2c+ (b- a) = 0，2．故答案为： -3 ≤ k<4 且k≠．( y= - 312 ∴ b = c ，∴ △ABC 是等腰三角形，(2)△ABC 是直角三角形，理由： ∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = (2c )2 - 4(a + b ) (b - a ) = 0， ∴ a 2 + c 2 = b 2，∴ △ABC 是直角三角形；(3) ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ a = b = c ，∴ 原方程可化为： 2ax 2 + 2ax = 0， 即：x 2 + x = 0， ∴ x (x + 1) = 0， ∴ x 1 = 0，x 2 = -1，即：这个一元二次方程的根为 x 1 = 0，x 2 = -1．10.xax 2 + bx + c = 02t2tax 2 + bx + c = a (x - t ) (x - 2t ) = ax 2 - 3atx + 2t 2a b 2 - ac = 0K =b 2 - acK = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1x 2 - x - 2 = x 2 - 6x +8 = )(2(x - 2) (mx + n ) =4m 2 + 5mn + n(3) xx 2 -x + n = 0(m ≥ 0)A (m n )y =3x - 8【解答】解： (1) 在方程①x 2 - x - 2 = 0 中，K = (-1)2 - × 1 × (-2) = 10 ≠ 0；在方程② x 2 - 6x + 8 = 0 中，K = (-6)2 - × 1 × 8 = 0． ∴ 是倍根方程的是②x 2 - 6x + 8 = 0．故答案为：②．(2) 整理 (x - 2) (mx + n ) =0 得：mx 2 + (n - 2m )x - 2n = 0， ∵ (x - 2) (mx + n ) =0 是倍根方程， ∴ K = (n - 2m )2 - 9 m • (-2n ) = 0，∴ 4m2 + 5mn+n2 = 0．(3) ∵ x2 - x+ n= 0 是倍根方程，∴ K= (-)2 - × n= 0，整理得：m= 3n．∵ A(m，n) 在一次函数y= 3x- 8 的图象上，∴n= 3m- 8，∴n= 1，m= 3，∴ 此方程的表达式为x2 - 3x+ = 0．11. m-1 x x2 + 2(m - 2)x+ m2 - 3m+3 = 0x1x2(1) x2+ x22= 6m1(2) +【解答】解：∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ Δ = b2 - 4ac= 4(m- 2)2 - 4(m2 - 3m+ 3) = -4m+ 4 > 0，∴m< 1，结合题意知： -1 ≤ m< 1．(1) ∵ x2+ x22= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m- 2)2 - 2(m2 - 3m+ 3) = 2m2 - 10m+ 10 = 61∴ m= ，∵ -1 ≤ m< 1，∴ m= ；(2) + = == = 2(m2 - 3m+ 1) = 2(m- 2 - (-1 ≤ m< 1)．∵对称轴m= ，2 > 0，∴当m= -1 时，式子取最大值为10．12. x2 + px+ q= 0 x1x2x1 + x2 = -p x1 •x2 = q(1) p= -4q= 3x2 + px+ q= 0则 x 1 + x 2 = x 1x 2 = - n ，x 1 • x 2 = x 1x 2 = n ，(2) a b a 2 - 15a - 5 = 0b 2 - 15b - 5 = 0 +(3x x 2 + mx + n = 0(n ≠ 0【解答】解： (1) 当 p = -4，q = 3，则方程为 x 2 - 4x + 3 = 0，解得： x 1 = 3，x 2 = 1．(2) ∵ a 、b 满足 a 2 - 15a - 5 = 0，b 2 - 15b - 5 = 0， ∴ a 、b 是x 2 - 15x - 5 = 0 的解， 当 a ≠ b 时，a + b = 15，ab = -5， + ==== -47；当 a = b 时，原式 = 2．(3) 设方程 x 2 + mx + n = 0，(n ≠ 0)，的两个根分别是 x 1，x 2， 1 1 x 1 + x 2 m 1 1 1 1 则方程 x 2 + x + = 0 的两个根分别是已知方程两根的倒数．以上就是韦达定理与根的判别式的全部内容~。
韦达定理,根的判别式携手求最值
韦达定理,根的判别式携手求最值
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a：x1*x2=c/a；x1+x2=-b/a。
韦达定理公式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1/x12+1/x22=(x12+x22)/x1x2，
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)等。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为：（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
根的判别式与韦达定理
第3讲 一元二次方程根的判别式和韦达定理一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为 【典型例题】1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
【课堂练习】一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+yy C 、021=++x D 、0232=+-x x2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 一、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
根的判别式与韦达定理
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程ax?+bx+c = 0(a式0)，当判别式心= b?_4ac兰0时，其求根公式为：％、=―' b——4ac；当2ab c.：_0时，设一元二次方程的两根为X「x2，有：x-i x2，x-i x2;根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的a ab c逆定理也是成立的，即当x-i x2，x-i x2时，那么为、x2则是方程ax2bx c = 0(a = 0)的两根。
一元二次方程a a的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，除了要求熟记一元二次方程ax2 bx c =0(a =0)根的判别式厶二b2 -4ac存在的三种情况外，还常常要求应用韦达定理解答一些变式题目，以及应用求根公式求出方程ax2 bx 0(^- 0)的两个根为、x2，进而分解因式，即ax2bx • c = a(x-xj(x-x2)。
下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析，希望能带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于x的方程(1) X2 -(1-2a)x • a2 -3 =0有两个不相等的实数根，且关于x的方程⑵x2-2x，2a-1=：0没有实数根，问a取什么整数时，方程(1)有整数解？分析：在同时满足方程(1)，(2)条件的a的取值范围中筛选符合条件的a的整数值。
解：a的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定能和一定的逻辑推理，从而筛选出a,这是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例2：不解方程，判别方程2x2・3x-7=0两根的符号。
判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，倘若由题中x1 x^：： 0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若为x2 0，仍需考虑x1 X2的正负，倘若x1 x2 • 0，则方程有两个正数根；倘若x1 X2：：：0，则方程有两个负数根。
初中数学培优：韦达定理与根的判别式
初中数学培优：韦达定理与根的判别式一、利用根的判别式求字母的取值范围【典例】已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为（）A．0B．﹣2C．2D．8【解答】解：①当x＞0时，方程化为：x2﹣2x﹣15＝0，即（x+3）（x﹣5）＝0，∴x+3＝0，x﹣5＝0，解得x1＝﹣3（舍去），x2＝5，②当x＜0时，方程化为：x2+2x﹣15＝0，即（x﹣3）（x+5）＝0，∴x﹣3＝0，x+5＝0，解得x3＝3（舍去），x4＝﹣5，③当x＝0时，方程不成立．∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．或原方程可化为：（|x|﹣5）（|x|+3）＝0，即|x|﹣5＝0，|x|+3＝0，∴|x|＝5，|x|＝﹣3（舍去），解得x＝5或﹣5，∴此方程的所有实数根的和为：5+（﹣5）＝0．故选：A．【巩固】关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞−54，即m的取值范围是m＞−54；（2）由（1）知：当m＞−54时，方程有两个不相等的实数根，∵m为不大于1的整数，∴m＝0，﹣1，1，又m＝0时，方程x2+x﹣1＝0的根不是整数，当m＝﹣1时，则方程为x2﹣x＝0，解得：x1＝1，x2＝0，即当m＝﹣1时，方程的解是x1＝1，x2＝0．当m＝1时，则方程为x2+3x＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝0，即当m＝1时，方程的解是x1＝﹣3，x2＝0．二、利用根的判别式求最值【典例】满足（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6的所有实数对（x，y）中，的最大值是多少？【解答】解：设y＝kx，则直线y＝kx与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6相切时k有最大值和最小值，把y＝kx代入（x﹣3）2+（y﹣3）2＝6，得（1+k2）x2﹣6（k+1）x+12＝0，∴Δ＝36（k+1）2﹣4×12×（1+k2）＝0，即k2﹣6k+1＝0，解此方程得，k＝3+22或3﹣22．所以=k的最大值是3+22．【巩固】阅读下面的材料，并解答问题：分式2r8r2(≥0)的最大值是多少？解：2r8r2=2r4+4r2=2(r2)+4r2=2+4r2，因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以4r2的最大值是2，所以2+4r2的最大值是4，即2r8r2(≥0)的最大值是4．根据上述方法，试求分式22+102+2的最大值是．【解答】解：22+102+2=22+4+62+2=2(2+2)+62+2=2+62+2，∵x2≥0，∴x2+2的最小值为2，∴62+2的最大值为3，∴2+62+2的最大值为5，∴分式22+102+2的最大值是5，故答案为：5．三、韦达定理与根的判别式综合【典例】若关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+（2m﹣1）x+1＝0的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是．【解答】解：根据题意得m﹣4≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣4）≥0，解得m≠4，x1+x2=−2K1K4，x1x2=1K4，s=11+12=1+212=−2m+1，由于m≠4，所以s≠﹣7．故答案为s≠﹣7．【巩固】已知关于x的一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）设x1，x2是原方程的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求这个最小值．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣4mx+2m2+3m﹣2＝0有两个实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×2（2m2+3m﹣2）≥0，∴﹣24m+16≥0，∴m≤23，∴实数m的取值范围为≤23；（2）∵x1+x2＝2m，x1•x2=12（2m2+3m﹣2），∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m）2﹣2×12（2m2+3m﹣2）＝2m2﹣3m+2＝2（m−34）2+78，∵m≤23，23＜34，∴当m=23时，x12+x22＝2（23−34）2+78=89，∴当m=23时，x12+x22有最小值，最小值是89．巩固练习1．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．34≤m C．34≤m≤1D．34＜m≤1【解答】解：∵方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0有三根，∴x1＝1，x2﹣2x+m＝0有根，方程x2﹣2x+m＝0的Δ＝4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1＝1，|x2﹣x3|＜x1＝1，而x2+x3＝2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得m＞34．∴34＜m≤1．故选：D．2．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k≥14；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥14，故选：D．3．已知m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根．记S1=11++11+，S2=11+2+11+2，…，S t=11++ 11+（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵m，n是方程x2−5x+1＝0的两个根，∴m+n=5，mn＝1，∴S1=11++11+=1+r1+(1+p(1+p=2+(rp=＝1，S2=11+2+11+2=1+2+1+2(1+2)(1+2)=2+(rp2−2B1+(rp2−2B+(B)2=2+5−21+5−2+1＝1，…，∴S t=11++11+=1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t 2﹣t ﹣56＝0，（t ﹣8）（t +7）＝0，解得：t ＝8或t ＝﹣7（舍去）．故选：B ．4．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2mx ﹣4m +1＝0有两个相等的实数根，则（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）的值为．【解答】解：由题意可知：Δ＝4m 2﹣2（1﹣4m ）＝4m 2+8m ﹣2＝0，∴m 2+2m =12，∴（m ﹣2）2﹣2m （m ﹣1）＝﹣m 2﹣2m +4=−12+4=72，故答案为：725．设下列三个一元二次方程：x 2+4ax ﹣4a +3＝0；x 2+（a ﹣1）x +1+a 2＝0；x 2+2ax ﹣2a +3＝0，至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是．【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有162+16−12＜0(−1)2−4(2+1)＜042−4(3−2p ＜0，解得−32＜a ＜12．故答案为：a ≤−32或a ≥12．6．已知关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（1﹣2k ）x 2﹣2+3x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴1−2≠0+3≥0△=(−2+3)2−4(1−2p ×(−1)＞0，解得：﹣3≤k ＜4且k ≠12．故答案为：﹣3≤k ＜4且k ≠12．7．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，则（x +1）2+a （x +1）﹣1＝0的根为．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1＝0的两个根分别为m 、n ，∴m 2+am ﹣1＝0，n 2+an ﹣1＝0，设x+1＝m或n，则（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0，∴（x+1）2+a（x+1）﹣1＝0的根为x＝m﹣1或n﹣1，故答案为：x＝m﹣1或n﹣1．8．已知实数x，y满足（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，求x+y的值．【解答】解：由（2x+1）2+y2+（y﹣2x）2=13，得（3x+1）2+3（x﹣y）2＝0，则3+1=0−=0，解得=−13=−13，故x+y=−13−13=−23．9．已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2−92ac＝0；我们记“K＝b2−92ac”即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；方程②x2﹣6x+8＝0这两个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）关于x的一元二次方程x2−B+23n＝0（m≥0）是倍根方程，且点A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，求此倍根方程的表达式．【解答】解：（1）在方程①x2﹣x﹣2＝0中，K＝（﹣1）2−92×1×（﹣2）＝10≠0；在方程②x2﹣6x+8＝0中，K＝（﹣6）2−92×1×8＝0．∴是倍根方程的是②x2﹣6x+8＝0．故答案为：②．（2）整理（x﹣2）（mx+n）＝0得：mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，∴K＝（n﹣2m）2−92m•（﹣2n）＝0，∴4m2+5mn+n2＝0．（3）∵2−B+23=0是倍根方程，∴=(−p2−92×23=0，整理得：m＝3n．∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，∴此方程的表达式为2−3+23=0．11．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22＝6，求m值；（2）求B121−1+B221−2的最大值．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m ＜1．（1）∵x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝4（m ﹣2）2﹣2（m 2﹣3m +3）＝2m 2﹣10m +10＝6∴=∵﹣1≤m ＜1，∴=（2）B 121−1+B 221−2=n 12+22−12(1+2)](1−1)(1−2)=o23−82+8K2)2−=2oK1)(2−3r1)oK1)=2(2−3+1)=2(−32)2−52（﹣1≤m ＜1）．∵对称轴m =32，2＞0，∴当m ＝﹣1时，式子取最大值为10．12．如果方程x 2+px +q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣p ，x 1•x 2＝q ，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p ＝﹣4，q ＝3，求方程x 2+px +q ＝0的两根．（2）已知实数a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，求+的值；（3）已知关于x 的方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【解答】解：（1）当p ＝﹣4，q ＝3，则方程为x 2﹣4x +3＝0，解得：x 1＝3，x 2＝1．（2）∵a 、b 满足a 2﹣15a ﹣5＝0，b 2﹣15b ﹣5＝0，∴a 、b 是x 2﹣15x ﹣5＝0的解，当a ≠b 时，a +b ＝15，ab ＝﹣5，+=2+2B=(rp 2−2BB=152−2×(−5)−5=−47；当a ＝b 时，原式＝2．（3）设方程x 2+mx +n ＝0，（n ≠0），的两个根分别是x 1，x 2，则11+12=1+212=−，11•12=112=1，则方程x 2+x +1=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．。
根的判别式与韦达定理
根的判别式与韦达定理教学目的：（1）通过教学A 组同学能掌握韦达定理与根的判别式的简单应用；（2）通过教学B 或C 组同学能掌握韦达定理与根的判别式的综合应用； 教学重点与难点：韦达定理与根的判别式的综合应用； 教学过程：一、知识点复习：1、根的判别式：△=b 2-4ac ：⎪⎩⎪⎨⎧⇔〈-=∆⇔=-=∆⇔〉-=∆方程没有实数根时根方程有两个相等的实数时数根方程有两个不相等的实时040404222ac b ac b ac b 2、韦达定理：一元二次方程的一般式：ax 2+bx+c=0有两个实数根x 1、x 2，则有x 1+x 2=－b/a ，x 1·x 2=c/a ； 应用：（1）求值应用：x 12+x 22=-（x 1+x 2）2－2x 1x 2，（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2， x 13+x 23=-（x 1+x 2）3－3x 1x 2（x 1+x 2），()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-，21212111x x x x x x +=+，()222121221222122212221211x x x x x x x x x x x x -+=+=+，()2121221212x x x x x x x x ++=+=+，（x 1+k ）（x 2+k ）=x 1x 2+（x 1+x 2）+k 2，()212122121222112212x x x x x x x x x x x x x x ++=+=+， （2）求字母系的值；（此时要验证方程有没有实数根）（3）求作新方程：以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2+（x 1+x 2）x+x 1x 2=0； （4）解方程组：⎩⎨⎧==+bxy ay x 则能够把x 、y 看作是一元二次方程z 2-az+b=0的两根；（5）确定根的符号：若则方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆〉=〉-=+0002121a c x x a b x x 若x 1·x 2=c/a ＜0，则方程两根符号相反；若则方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆〉=〈-=+0002121a c x x ab x x3、注意点：（1） 方程有实数根时，要看一看是否是一元二次方程，否则要分两种情况考虑；若是一元二次方程还不能忘记考虑二次项系数不能为0；（2） 在求字母系数的值时水要忘记检验一元二次方有没有实数根； 二、双基训练：（A 组同学做练习1-6）1、 关于x 的方程4x 2+kx -6=0的一个根是否，另一根是x 1，则k=；x 1=；2、 关于x 的一元二次方程x 2-ax -3=0的根的情况是；3、 以2和－3为根的一元二次方程为；4、 若x 1、x 2是方程x 2+3x -1=0的两个根，则（x 1+x 2）2=；5、 若方程x 2－2x+k=0的两个根的倒数和为8/3，则k=；6、 若x 1、x 2是方程x 2+3x -1=0的两个根，则x 1+x 2=；x 1·x 2=；方程x 2-1-3x=0的两根之和等于；两根之积等于；7、 若x 1,x 2是方程x 2+3x -5=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)的值为；8、 已知a,b 是方程x 2+2x -5=0的两个根，则a 2+ab+2a 的值为 ；9、 如果a,b 是方程x 2+x -1=0的两个实数根，那么代数式a 3+a 2b+ab 2+b 3的值等于；10、关于x 的一元二次方程(k 2-1)x 2+(2k -1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ；11、已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为；12、已知实数x 1,x 2是满足x 12-6x 1+2=0和x 22-6x 2+2=0，那么2112x x x x +的值是 ； 13、已知关于x 的方程x 2-2(m -2)x+m 2=0问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
第14讲根的判别式与韦达定理(word版)
第14讲根的判别式与韦达定理模块一一元二次方程根的判别式知识导航式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，即△＝b2－4ac．当△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．计算判别式的值，可以判断一元二次方程根的情况；反之，若一元二次方程有两个不等实数根，则△＞0；若一元二次方程有两个相等实数根，则△＝0；若一元二次方程无实数根，则△＜0.注意：①当△＝0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根②当△≥0时，方程有两个实根（一元二次方程有实根）．例1(1)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有解，求m的范围．-1x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．(2)己知关于x的一元二次方程x2－m(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围(5) （2016武汉元月调考第9题）关于x的方程（m－2）x2＋2x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．拓展己知关于x的方程(n－1)x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，试说明关于y的方程m2y2—2my－m2—2n2＋3＝0的根的情况【总结】1、在处理【例1】和【练1】这类问题时，一定要注意先判断方程类型，若方程类型不确定，则需要分类讨论2、关于方程类型，题目在设问方面会有下列说法：(1)“关于x的一元二次方程有解”则方程一定为一元二次方程．(2)“关于x的方程有两实根”则方程一定为一元二次方程．(3)“关于x的方程有解”则方程类型不确定，需要分类讨论例2(1) 己知a、b、c是三角形三边，求证：关于x的方程(a＋b)x2＋2cx＋（a＋b）＝0无实根．(2) 己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．练习己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2 ＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．模块二 一元二次方程根与系数关系知识导航：由因式分解法可知，方程（x －x 1）(x －x 2)＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1和x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，即x 2一(x 1＋x 2)x ＋ x 1x 2＝0，则二次项系数为1，一次项系数为p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝ x 1x 2． 于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：x 1＋x 2＝－p ， x 1x 2＝q对于一般地一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，二次项系数a 未必是1．根据求根公式，x 1＝a ac b b 24-2-+， x 2＝aac b b 24-2-- 由此可知，x 1＋x 2＝－a b ， x 1x 2＝ac 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比．例3(1)若x 1，x 2是一元二次方程x 2—5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是____(2)一元二次方程x 2—4x －c ＝0的一个根是3，则另一个根是____，c ＝___________(3)若方程x 2－3x 一1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为____ (4)关于x 的一元二次方程x 2一mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12＋x 22＝7， 则(x 1－x 2)2的值是_____________练习(1)方程x 2—2x －1＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，(x 1－l )( x 2－1)＝______________cz ，设x 1、x 2是方程2x 2—6x +l ＝o 的两个实数根，则(x 1－21x )( x 2－11x )的值为__________ 【总结】1、用韦达定理，常见的恒等变形有：11x ＋21x ＝2121x x x x +,x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2,(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 21x x -＝212214)(x x x x -+x 13 ＋x 23＝(x 1 ＋x 2)(x 12＋x 22－x 1x 2)＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)2、韦达定理只有在两根存在的情况下才成立，故使用韦达定理的前提条件是b 2—4ac ≥0例4已知x 1，x 2是方程x 2—3x ＋l ＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________练习已知x 1，x 2是方程2x 2—3x －5 ＝0的两个根，求下列代数式的值：x 12＋x 22＝__________,12x x ＋21x x ＝_________; 21x x -＝___________ x 12－x 22＝________;12x x －21x x ＝___________,x 12＋3x 22－3x 2＝_________________例5已知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围．(2) 若x l ＋x 2 ＝1－x 1x 2，求k 的值．练习关于x 的方程x 2＋2(a －l )x ＋a 2 －7a －4＝0的两根为x 1. x 2，且x 1x 2 －3x l －3x 2 ＋2＝0，求a 的值例6关于一元二次方程x 2 ＋2x ＋k ＋l ＝0的实数解是x l 和x 2．(1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．练习己知关于x 的方程x 2 ＋2(m ＋2)x ＋m 2 －5＝0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．例7己知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2 －(2k ＋3)x ＋k 2 ＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长是5．(1)k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；(2)k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长．练习在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2＋mx ＋2－21m ＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 课后作业A 基础巩固1．已知x ＝l 是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是( )A .1B ．2C ．－2D ．－12． 已知一元二次方程x 2—4x ＋3＝0两根为x 1,x 2，则x 1·x 2＝( )A .4B ．3C ．－4D .－3 3． 己知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2—21+k x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．4． 关于x 的方程kx 2 ＋(l －k )x －l ＝0有两个不等实根，则k 的取值范围是____________．5． 关于x 的方程kx 2＋(l －k )x －l ＝0有实根，则k 的取值范围是_______________6． 求证：不论m 为何值时，关于x 的方程x 2一2mx －2m －4＝0总有两个不相等的实根．7． 如果一直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，b 为斜边，求证：关于x 的方程a (x 2 －1)一2cx ＋b (x 2 ＋1)＝0有两个相等的实数根8． 己知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________B 综合训练 9． （2015年汉阳区九上期中）己知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围；(2) 若x 1＋x 2＝1－ x 1x 2，求k 的值．10.已知关于x 的一元二次方程mx 2—2x ＋l ＝0．(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 2一x 1一x 2＝21，求m 的值 111.己知，关于x 的方程x 2一kx ＋k －1＝0(1)求证：无论k 取何值，方程总有两实数根(2)若等腰△ABC 的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC 的周长数学故事“石头剪刀布”或能揭示演化策略“石头剪刀布”是游戏中解决争端的常用方式，每人各出剪刀、石头、布中的一种，通过石头砸剪刀、剪刀剪布、布包住石头的规则，可以在两人甚至多人中决出胜负．不过，科学家发现，大自然也用自己的方式玩着类似“石头剪刀布”这样的游戏，数学家和生物学家利用这种方式研究了从人类社会到培养皿中的细菌的各种现象．如今，研究者又发现，当玩家不断改变策略时，三种武器的使用频率会轮流上升与下降，呈现出一种固定的模式．这一发现或许可以帮助我们理解生物在生存之争中是如何维持竞争策略的．一旦应用到生物中来，石头剪刀布就不仅仅是两个小孩子的游戏，而变成多玩家之间的复杂关系了．比方说，某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略就有三种：侵略、合作与欺骗，这三种策略就和石头剪刀布一样，有着环状的胜负关系（侵略战胜合作，欺骗战胜侵略，合作战胜欺骗），而对于蜥蜴来说，成功繁衍后代就意味着赢得游戏，在生物的“石头剪刀布”游戏中，通常是大的种群中随机产生一对玩家开始比拼，每个玩家通常都保持一种固定的策略一一即对每一个对手都出同样的姿势（石头、剪刀或者布）．每次对决之后，赢家就增加一个（对应着繁衍后代），使用同样的策略，而输家则消失．对这种模型进行仔细的数学研究以后发现，出石头、剪刀和布的玩家会随着时间波动．随着初始情况中每种策略所占比例不同，整个群体的情况会分别演变成不同的长期行为，比如用石头、剪刀、布的个体各占三分之一，或者一种策略大幅减少另两种上升，过一段时间又反过来，呈现剧烈的周期波动．受到计算机模拟的启发，康奈尔大学的两位数学家Steven Strogatz 和Danielle Toupo 决定研究一下如果玩家中途改变策略会发生什么．“我觉得这个想法很吸引人，就想找到一种最简洁的数学模型来描述它，”Strogatz 说．他们试图回到最基础的原理，寻找纯粹的公式，而非复杂的计算机模拟．Strogatz 和Toupo 修正了“石头剪刀布”方程，允许一些“突变子女”存在，它们所采用的策略和亲代不同．此前的研究者也研究了突变，但一直假设突变是对称的，即每种策略变成其他策略的几率相同，但Strogatz 和To upo 考虑到了其他的模式，比如出石头的玩家可能会生下出布的子女，但反过来则不尽然．每种突变最终都会导致一种循环，即出石头、剪刀和布的玩家数都各自不停地上下波动，循环不息．而更令人惊讶的是，他们还证明哪怕突变率极低甚至接近于0，整个游戏还是会进入这种循环模式，论文发表于本月的《物理评论E 》（Physical ReviewE ）中，只是增加了一点点突变的因素，游戏结果就不再是三种各占三分之一的稳定态或是剧烈波动态了， “我认为该研究最吸引入的一点是，这种‘游戏’在自然界中真的存在，”加州大学圣克鲁兹分校的生态学家BarrySinervo 说，他没有参与这项工作，“哪怕你不是数学家，也会欣赏这一研究．”Sinervo-直在研究加州一种侧斑鬣蜥，该蜥蜴的种群行为也会进入像“石头剪刀布”一样的振荡状态．Sinervo和同事通过野外的长期观察发现，采取侵略、合作和欺骗三种策略的蜥蜴数目有一个6年的变化周期，每一代新的蜥蜴诞生时，主导策略都会变化．Strogatz和Toupo的新研究为Sinervo的工作提供了数学模型，来解释了这种变化周期，“对我来说，这篇论文的有趣之处就在这里．”Sinervo说，由于数学方面的限制，康奈尔大学的研究者还不能证明他们的发现适用于所有的突变模式，但Strogatz说他们预测会如此．研究更广泛的突变模式也可以更进一步地提供数学基础，帮助我们解释自然界这个大剧场里物种策略的兴衰变迁．。
第六课 根的判别式与韦达定理
第六课 根的判别式与韦达定理一、知识点1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕根的判别式：2.韦达定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的两个根是12,x x ，那么有： 12x x +=_________ 12x x =_________ 二、例题例1 解关于x 的方程：〔1〕x 2－3x ＋3＝0 〔2〕x 2－2x ＋a ＝0 〔3〕2210mx x ++=例2 方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求以下式子的值：①1211x x +；②2212x x +；③3312x x +；④()()1211x x --；⑤12x x -例5 两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例6 求作一个方程，使它的根是方程2780x x -+=的两根的平方的负倒数.例7 假设关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．三、练习： 1．填空题：〔1〕假设关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是 ．〔2〕方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，那么k ＝ ．〔3〕关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，那么它的另一个根是 ．〔4〕如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 〔5〕一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，那么这个直角三角形的斜边长等于 ．2．关于x 的方程x 2－kx －2＝0．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．3．一元二次方程22450x x --=的两个根分别是12,x x ，求以下式子的值：〔1〕12(2)(2)x x ++ 〔2〕3312x x + 〔3〕12x x -4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．5．假设关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围．。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理一知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0a 、b 、c 属于R,a≠0根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程组,解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用;韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根；已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用;1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ 1当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 2当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 3当Δ< 0时⇔方程没有实数根,无解； 4当Δ≥0时⇔方程有两个实数根5根的判别式△＝b 2－4ac 的意义,在于不解方程可以判别根的情况,还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围;2、一元二次方程根与系数的关系韦达定理：1若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根,那么：a b x x -=+21,ac x x =⋅21 2以两个数21,x x 为根的一元二次方程二次项系数为1是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： 1已知方程的一根,求另一个根和待定系数的值; 2不解方程,求某些代数式的值;3已知两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程; 4已知两数和与积,求这两个数; 5二次三项式的因式分解;注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时,关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根;例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根;例3、已知方程的两实数根为、，不解方程求下列各式的值。
初中数学一元二次方程根的判别式与韦达定理
根的判别式与韦达定理中考要求例题精讲板块一 根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠） 【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零 ∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根． 【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=212x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220-+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】 已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（ ）． A ．有2个负根 B ．有2个正根 C ．有2个异号的实根 D ．无实根【解析】方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根 【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【解析】由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以 10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0 【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为 【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件 【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围． 【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】 关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】240k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴ 当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =； ⑵ 当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =． 【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，． 【答案】1，2，3【例6】 已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤． 又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-． 【答案】1a =，12b =-【例7】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根． 【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根． 【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+= ∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根 【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程 22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥ ∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根． 【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠ 故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>． 方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为： 224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二 韦达定理☞ 如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根， 则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积 【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥ 【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得12x x +==，12x x ⋅==【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=的值． 【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ+++=++===☞利用韦达定理求参数的值【例10】 若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q += 【解析】略 【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于 ，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
根的判别式,韦达定理
第3讲 根的判别式以及韦达定理新知探究：1、一元二次方程的根：有两个根，最多有两个实数根或没有实数根。
2、根的情况的判别：在)0(02≠=++a c bx ax 中，令ac b 42-=∆，其中，∆称为一元二次方程根的判别式。
（1） 当0≥∆时，_____________________________________； （2） 当0>∆时，_____________________________________； （3） 当0=∆时，_____________________________________； （4）当0<∆时，_____________________________________。
3、由求根公式可知：aacb b x a ac b b x 24,242221-+-=---=，则=+21x x _____， =∙21x x ______________。
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系（韦达定理）： 结论1．如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，=+21x x 即：两根之和等于_____________；=∙21x x 即：两根之积等于_____________。
4、如果把方程)0(02≠=++a c bx ax 的二次项系数化为1，则方程变形为)0(02≠=++----a acx x ， 我们就可把它写成02=++q px x ．的形式其中=p ab ，=q ac ，结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =∙-=+2121,。
则以21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x说明：（1）韦达定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 【典型例题】【例1】不解方程，判断下列方程根的情况：.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--变式练习：（2013•珠海）已知一元二次方程：①0322=++x x ；②0322=--x x ．下列说法正确的是（ ）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解【例2】证明方程的根的情况：1、求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
根的判别式和韦达定理(教案)
（2）韦达定理的掌握和运用：韦达定理描述了一元二次方程根与系数之间的关系，即x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。教师应强调韦达定理的记忆和应用，通过实际例题让学生学会运用韦达定理求解一元二次方程的根。
举例：方程x^2-3x-4=0，根据韦达定理，x1+x2=-(-3)/1=3，x1x2=(-4)/1=-4。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了根的判别式和韦达定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个数学工具的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程相关问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）根的判别式的理解和应用：本节课的核心内容是根的判别式Δ=b^2-4ac，以及其与一元二次方程根的关系。教师应重点讲解判别式的三种情况，并通过实例让学生掌握如何利用判别式判断一元二次方程的根的性质。
举例：方程x^2-5x+6=0，判别式Δ=(-5)^2-4×1×6=25-24=1>0，因此方程有两个不相等的实数根。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调根的判别式的推导和韦达定理的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与根的判别式和韦达定理相关的实际问题。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； （3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； （4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： （1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：abx x -=+21，ac x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
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九年级数学讲义
根的判别式与韦达定理
知识要点：
1． 根的判别式：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0），其根的判别式为Δ＝b 2－4ac
Δ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔方程没有实数根
2． 根与系数的关系：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2
x 1＋x 2＝－a b x 1·x 2＝a
c
例1、关于x 的两个方程x 2＋4mx ＋4m 2＋2m ＋3＝0，x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2＝0中至少有一个方
程有实数根，求m 的取值范围。
例2、求证：m 为任何实数时，方程21402
x m x m +-+-=()有两个不相等的实数根。
例3、已知x 1、x 2是方程x 2+3x －5=0的两根。
则x x -212
2+4x 1－2x 2= 。
例4、已知方程x 2+px +q =0的两根之积比两根的和大5，且两根的平方和为25，求p 和q 的值。
例5、已知α、β是方程x 2+5x +2=0的两根求
α
ββα+的值。
例6、已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c=0，abc=1。
求证：a 、b 、c 中必有一个大于2
3。
练习：
1、不解方程，判断下列方程的根的情况。
（）127302x x +-= （ ）（）221202()()y y y -++=（ ）
（）3912402x x ++= （ ）（）423402x x --= （ ）
（）551702
()x x +-= （ ）（）62102
x mx --= （ ）
2、一元二次方程ax x 2
210-+=有实数根，那么a 的取值范围是 。
3、方程380312
x x m m -+==的两根之比为，则:。
4、已知： 方程x x p p 2
2
6250-+-+=一根为2，则p ＝_______，它的另一个根为_________。
5、设0342,2
=-+x x 是方程βα的两个根，那么ααββ2
2
3-+= 。
6、当k= 时，方程0762
=--x kx 的两实数根的平方和等于2。
7、当m= 时，方程3x 2+(m 2－16)x +(m +3)=0的两根互为相反数。
8、已知方程x 2+x －1=0的两根为x 1、x 2，则（x 12+2x 1+1）(x 22+2x 2+1)＝。
9、关于x 的方程(a ＋c)x 2＋bx －(2c －a)=0的两根和为－1，两根差为1，则a:b:c= 。
10、已知关于x 的一元二次方程(1－2k)x 2－2k +1x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 。
11、已知关于x 的方程2x 2
＋2x ＋m=0的两根为x 1、x 2，且|x 1－x 2|=3，则m= 。
12、关于x 的方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5=0的两个实数根的平方和的最大值为 。
13、若关于x 的一元二次方程2(k ＋3)x 2＋4kx ＋3k －6=0的两根分别为α、β，且α2=β2，则k= 。
14、若x 1、x 2是方程x 2＋
p x ＋q=0的两个根，且满足x 12＋x 1x 2＋x 22=
23
，2511221
=+x x ，
则P= ，q= 。
15、若方程x 2－3x ＋1=0的两个根α、β也是方程x 4－px 2＋q=0的两根，则p ＋q= 。
16、设x 1、x 2是方程x 2＋x －3=0的两个根，则x 13－4x 22＋19= 。
17、求证：关于x 的方程x k x k k 2
2
210++-+=()有两个不相等的实数根。
18、已知：关于x 的方程2402
x mx --=的两根为x x x x 1212
112,，且
+= 求m 的值。
19、已知x 3－3x 2+(m +2)x －m =0的三个根可以作为一个三角形的三边，求m 的取值范围。
20、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋m 2x ＋n=0的两个根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2＋5my ＋7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2，x 2－y 2=2，求m 、n 的值。
21、已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足b +c =8，bc =a 2－12a +52。
判断△ABC 的形状，并证明你的结论。