第2章 稳态热传导
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工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念
0)
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景
第二章导热基本定律及稳态导热PPT课件
由(a)可得：
cw 1 说明热源与管子中心不重合。 由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
下面用此方法求地下埋管与土壤间的导热量
有一热力管道，外径d=2r，
埋于地平面下h米深处。土 壤为均质且导热系数λ为常
数。管子表面温度及地表面
tf
y0
温度也是均匀的常量，为tW h 和tF，设管道很长，求单位 管道的热损失。
r” x
M
p(x,y)
r’
r
N y
因管道很长，从而可以看作是二维稳定导热
1项
2项
＝控制体内内能的变化
3项
第一项 求沿x、y、z三个方向流入和流出的热量
把1、2、3项代入能量方程式
导温系数的物理意义：a越大，表明λ越大或ρC 越小，λ大，表示在相同的温度梯度下可以传 递更多的热量；ρC小表明温度上升1℃所吸收 的热量越小，从而可使相同的热量传递得更远 ，
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
三、利用“导热形状因子S”计 导热系数为算常数导，热无量内热源稳态导热体
内，两壁温度为定值，即有Q=λS(t1+t2)。
补充内容
稳定热传导的热源法 （虚拟热源法）
定义：如果一个物体有内热源作用时，我们可以通过
导热微分方程式和相应的单值性条件求温度分布。但 如果知道温度分布，我们反过来找导致这种温度分布 的原因—实际存在的热源或假想的热源。这种方法称 虚拟热源法或称映象法。
cw 1 说明热源与管子中心不重合。 由(a)、(b)可得：
将(c)代入(b)可得：
从而只能选正号，所以有： 等温线为一圆。
2 具有偏心空腔的圆柱体
由于是稳定导热，从而流过每一等温面的热流量是 相同的
对于等温面 1
y0
h2 h1
ε
对于等温面 2
热阻： 但h1和h2是未知的
下面用此方法求地下埋管与土壤间的导热量
有一热力管道，外径d=2r，
埋于地平面下h米深处。土 壤为均质且导热系数λ为常
数。管子表面温度及地表面
tf
y0
温度也是均匀的常量，为tW h 和tF，设管道很长，求单位 管道的热损失。
r” x
M
p(x,y)
r’
r
N y
因管道很长，从而可以看作是二维稳定导热
1项
2项
＝控制体内内能的变化
3项
第一项 求沿x、y、z三个方向流入和流出的热量
把1、2、3项代入能量方程式
导温系数的物理意义：a越大，表明λ越大或ρC 越小，λ大，表示在相同的温度梯度下可以传 递更多的热量；ρC小表明温度上升1℃所吸收 的热量越小，从而可使相同的热量传递得更远 ，
物体内各点温度更快地随界面温度的升高而升 高。
三、利用“导热形状因子S”计 导热系数为算常数导，热无量内热源稳态导热体
内，两壁温度为定值，即有Q=λS(t1+t2)。
补充内容
稳定热传导的热源法 （虚拟热源法）
定义：如果一个物体有内热源作用时，我们可以通过
导热微分方程式和相应的单值性条件求温度分布。但 如果知道温度分布，我们反过来找导致这种温度分布 的原因—实际存在的热源或假想的热源。这种方法称 虚拟热源法或称映象法。
传热学课件第 二 章 稳 态 热传导
d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：
t w1 t w 2
ql
Q l
t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1
i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0
传热学
等温线
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第2章-1
t f (x, y, z)
t f (x, y, z, )
2. 等温线，等温面
1) 定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为 等温线(Isotherm)或等温面(Isothermal surface)。
5/41
2）特点：
传热学 Heat Transfer 第5版
(1)等温线(面)不能相交(同一点不可能有两个温度)；
(1768-1830)
9/41
传热学 Heat Transfer 第5版
1. 导热基本定律的文字表达
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面 积，方向与温度梯度相反。
2. 导热基本定律的数学表达
q gradt t n
A
Φ
c
a c
称为热扩散率(Thermal diffusivity)
或导温系数，单位：m2/s，是物性参数；
2.λ=constant 并且t x 2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
Laplace算子
28/41
传热学 Heat Transfer 第5版
4/41
传热学 Heat Transfer 第5版
按温度场随空间与时间的变化特性，可以区分为：
稳态温度场 t f (x, y, z) 非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
传热学 Heat Transfer 第5版
代入能量平衡式， （1）＋（2）＝（3） 得导热微分方程的基本形式
t f (x, y, z, )
2. 等温线，等温面
1) 定义：同一瞬间温度相等的各点连成的线或面称为 等温线(Isotherm)或等温面(Isothermal surface)。
5/41
2）特点：
传热学 Heat Transfer 第5版
(1)等温线(面)不能相交(同一点不可能有两个温度)；
(1768-1830)
9/41
传热学 Heat Transfer 第5版
1. 导热基本定律的文字表达
在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量， 正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面 积，方向与温度梯度相反。
2. 导热基本定律的数学表达
q gradt t n
A
Φ
c
a c
称为热扩散率(Thermal diffusivity)
或导温系数，单位：m2/s，是物性参数；
2.λ=constant 并且t x 2
2t y 2
2t z 2
)
a2t
Laplace算子
28/41
传热学 Heat Transfer 第5版
4/41
传热学 Heat Transfer 第5版
按温度场随空间与时间的变化特性，可以区分为：
稳态温度场 t f (x, y, z) 非稳态温度场
t f (x, y, z, )
一维温度场 二维温度场 三维温度场
t f (x)
t f (x, )
t f (x, y)
t f (x, y, )
传热学 Heat Transfer 第5版
代入能量平衡式， （1）＋（2）＝（3） 得导热微分方程的基本形式
传热学第二章稳态热传导
n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t
金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
第二章--稳态热传导(导热理论基础)
具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态温 度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
2021/3/10
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
2021/3/10
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
传热学-第2章稳态热传导-习题课
保温材料的应用范围广泛，不 仅可以用于民用建筑，还可用 于工业和商业建筑等领域。
电子元件散热方案
随着电子技术的不断发展，电子元件的功率密度越来越高，散热问题越 来越突出。
电子元件的散热方案包括自然散热、强制风冷、液冷等，需要根据电子 元件的发热量、使用环境和可靠性要求等因素选择合适的散热方案。
良好的散热方案能够有效地降低电子元件的工作温度，提高其稳定性和 寿命。
稳态热传导通常发生在物体内部，当 热量传递速率与热量生成速率相平衡 时，物体内部温度分布达到稳定状态 。
稳态热传导的物理模型
01
稳态热传导的物理模型通常采用 一维导热模型，即温度随空间坐 标的变化而变化，忽略时间因素 对温度分布的影响。
02
在一维导热模型中，温度分布可 以用一维偏微分方程来描述，该 方程基于傅里叶导热定律和能量 守恒原理。
02
解析
首先，我们需要计算平壁的传热量，然后根据传热量和平壁的热导率计
算平壁的温度变化。由于平壁是稳态热传导，所以温度分布是线性的。
03
答案
平壁的另一面的温度升高了20℃。
习题二解析
题目
一圆筒壁，内径为1m，长度为2m，加热功率为50W，材料的热导率为0.02W/m·℃，求圆 筒壁的另一面的温度升高了多少？
常见问题解答
问题2
如何求解一维稳态热传导问题？
解答
一维稳态热传导问题可以通过分离变量法求解。首先将温度表示为x的函数，然后根据傅里叶定律和 边界条件建立方程，最后求解方程得到温度分布。在求解过程中，需要注意初始条件和边界条件的处 理。
下节课预告
重点内容
非稳态热传导的基本概念、扩散 方程的建立和求解、初始条件和 边界条件的处理。
第二章 稳态热传导2
环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻 之和。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
多层平壁
由热阻分析法：q
t1 tn1
n
ri
i 1
t1 tn1
n i
i1 i
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一层：
q
1 1
r2 d 0 50mm
40mm
r3
45mm
典型一维稳态导热问题的分析解
例题
21 tw1 tw 2 2 tw tw2
t 先假定界面温度为
而 2 0.099
w ，则由题意
0.0002
tw
tw2 2
ln
r2 r1
ln
dx dx
3
tw1
所以对情形3 有 dt dt >
dx dx
x
为什么东北的窗玻璃都采用双层玻璃？
讨论
导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就 越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
第一次积分
第二次积分
r
dt dr
c1
t c1 ln r c2
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
单层圆筒壁
应用边界条件
t1 c1 ln r1 c2 ; t2 c1 ln r2 c2
获得两个系数
c1
典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
多层平壁
由热阻分析法：q
t1 tn1
n
ri
i 1
t1 tn1
n i
i1 i
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一层：
q
1 1
r2 d 0 50mm
40mm
r3
45mm
典型一维稳态导热问题的分析解
例题
21 tw1 tw 2 2 tw tw2
t 先假定界面温度为
而 2 0.099
w ，则由题意
0.0002
tw
tw2 2
ln
r2 r1
ln
dx dx
3
tw1
所以对情形3 有 dt dt >
dx dx
x
为什么东北的窗玻璃都采用双层玻璃？
讨论
导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就 越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
第一次积分
第二次积分
r
dt dr
c1
t c1 ln r c2
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
单层圆筒壁
应用边界条件
t1 c1 ln r1 c2 ; t2 c1 ln r2 c2
获得两个系数
c1
传热学-第2章
第二章 稳态热传导 12
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
t t1
n i
x
i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
第二章 稳态热传导
三层平壁的稳态导热
30
q
t1 t n 1
由热阻分析法：
ri
i 1
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一章复习
(1) 导热
傅里叶定律：
(2) 对流换热 牛顿冷却公式： (3) 热辐射
斯忒藩－玻耳兹曼定律 ：
dt Φ A dx
Aht
A T 4
(4) 传热过程
(t f 1 t f 2 ) (t f 1 t f 2 ) Φ 1 1 Rh1 R Rh 2 Ah1 A Ah2
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？ tf2
32
三层平壁的稳态导热
第二章 稳态热传导
一台锅炉的炉墙由三层材料叠合而成.最里面的是耐火黏土砖,厚 115MM;中间是B级硅藻土砖,厚125MM;最外层为石棉板,厚 70MM.已知炉墙内外表面温度分别为485℃ 和60 ℃ , 试求每平方 米炉墙的热损失及耐火黏土砖和硅藻土砖分界面上的温度。 解：各层的导热系数可根据估计的平均温度从手册中查出。第一 次估计的平均温度不一定正确，待算得分界面温度时，如发现不 对，可重新假定每层的平均温度。经几次试算，逐步逼近，可得 合理的数值。这里列出的是几次试算后的结果： W 3 0.116 /(m K ) W 1 1.12W /(m K ) 2 0.116 /(m K )
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
t t1
n i
x
i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
第二章 稳态热传导
三层平壁的稳态导热
30
q
t1 t n 1
由热阻分析法：
ri
i 1
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一章复习
(1) 导热
傅里叶定律：
(2) 对流换热 牛顿冷却公式： (3) 热辐射
斯忒藩－玻耳兹曼定律 ：
dt Φ A dx
Aht
A T 4
(4) 传热过程
(t f 1 t f 2 ) (t f 1 t f 2 ) Φ 1 1 Rh1 R Rh 2 Ah1 A Ah2
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？ tf2
32
三层平壁的稳态导热
第二章 稳态热传导
一台锅炉的炉墙由三层材料叠合而成.最里面的是耐火黏土砖,厚 115MM;中间是B级硅藻土砖,厚125MM;最外层为石棉板,厚 70MM.已知炉墙内外表面温度分别为485℃ 和60 ℃ , 试求每平方 米炉墙的热损失及耐火黏土砖和硅藻土砖分界面上的温度。 解：各层的导热系数可根据估计的平均温度从手册中查出。第一 次估计的平均温度不一定正确，待算得分界面温度时，如发现不 对，可重新假定每层的平均温度。经几次试算，逐步逼近，可得 合理的数值。这里列出的是几次试算后的结果： W 3 0.116 /(m K ) W 1 1.12W /(m K ) 2 0.116 /(m K )
第二章-稳态热传导
传热学 Heat Transfer
Shanghai Jiao Tong University
2-2 导热问题的数学描述 温度场
导热微分方程
t f ( x, y, z, )
傅立叶定律
热流量
热流密度
导热微分方程的推导：傅立叶定律 + 能量守恒定律 导入导出微元体的净热流量＋ 微元体内热源生成热＝ 微元体内能的增量 导入热流量 导出热流量 内热源生成热
第一类 第二类 第三类 导热问题的数学描述＝ 导热微分方程+定解条件
稳态导热：给定边界条件即可。 非稳态导热：给定初始条件和边界条件。
SJTU-OYH
传热学 Heat Transfer
Shanghai Jiao Tong University
2-2 导热问题的数学描述 第一类边界条件（Dirichlet条件）：给定边界上的温度值。 稳态导热： 非稳态导热： 第二类边界条件（Neumann条件）：给定边界上的热流密度值。 稳态导热： 非稳态导热： 特例：绝热边界
SJTU-OYH
传热学 Heat Transfer
Shanghai Jiao Tong University
2-3 典型一维稳态导热分析解 通过多层平壁的导热
热阻分析法
热流密度
q
t1 t n 1
t1
ri
i 1
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
n为层数
t2
t3 t4
温度分布 第一层：
x
y
z
xdx
dxdydz
y dy
z dz
内能增量
t c dxdydz
SJTU-OYH
《传热学》第2章_稳态热传导
qt1t235 W3 /m 2
2021/5/23
第2章 稳态热传导
例2-2 一锅炉炉壁有三层材料组成，最里面的是耐火粘土砖，厚115mm，
中间层是硅藻土砖，厚125mm；最外面是石棉板，厚70mm，已知墙
壁内外表面的温度为495 ℃和60 ℃，试求每平方米炉强的热损失及分界
面上的温度。
假设：1. 一维问题；2. 稳态导热；3. 无接触热阻(界面紧密接触)
1,2，,导3 热系数
面温度t1，t4。
，1,两2,外3表
假设各层之间接触良好，可以近似地认
t2
t3 t4
为接合面上各处的温度相等
x 0
❖
第一类边界条件：
x
n i1
i
t t1 t tn1
t1
t2
t3
t4
❖
热阻：
2021/5/23
r1
1 1
....r.n.nn
三层平壁的稳态导热
关键点：界面热流密度、传热量处处相同
0时( n t)wf2()
3. 规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的 温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为
( n t)wh(twtf )
2021/5/23
第2章 稳态热传导
4. 如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射传热，称为
辐射边界条件。可表示为
T nTw 4Te4
更多的热量；2. 分母是单位体积的物体温度升高1℃所需要的
热量。a越大，表示物体内部温度扯平的能力越大。
2. 等号左边一项为非稳态项，也就是热力学能增量
3. 等号右边三项为通过界面的导热而使微元体增加的能量
4. 公式最后一项为源项
2021/5/23
第2章 稳态热传导
例2-2 一锅炉炉壁有三层材料组成，最里面的是耐火粘土砖，厚115mm，
中间层是硅藻土砖，厚125mm；最外面是石棉板，厚70mm，已知墙
壁内外表面的温度为495 ℃和60 ℃，试求每平方米炉强的热损失及分界
面上的温度。
假设：1. 一维问题；2. 稳态导热；3. 无接触热阻(界面紧密接触)
1,2，,导3 热系数
面温度t1，t4。
，1,两2,外3表
假设各层之间接触良好，可以近似地认
t2
t3 t4
为接合面上各处的温度相等
x 0
❖
第一类边界条件：
x
n i1
i
t t1 t tn1
t1
t2
t3
t4
❖
热阻：
2021/5/23
r1
1 1
....r.n.nn
三层平壁的稳态导热
关键点：界面热流密度、传热量处处相同
0时( n t)wf2()
3. 规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的 温度，称为第三类边界条件。第三类边界条件可表示为
( n t)wh(twtf )
2021/5/23
第2章 稳态热传导
4. 如果导热物体表面与温度为Te的外界环境只发生辐射传热，称为
辐射边界条件。可表示为
T nTw 4Te4
更多的热量；2. 分母是单位体积的物体温度升高1℃所需要的
热量。a越大，表示物体内部温度扯平的能力越大。
2. 等号左边一项为非稳态项，也就是热力学能增量
3. 等号右边三项为通过界面的导热而使微元体增加的能量
4. 公式最后一项为源项
第二章稳态热传导
向上热流分量Φx在x+dx点的值，其余类推。得到导入微元体 的热流量为：
xx d x xx x xd x xx x x t xd y d z d x yy d y yy y yd y yy y y t yd x d z d y
使微分方程获得适合某一特定问题的解的附加条件，
称为定解条件。
初始条件
非稳态导热
边界条件
稳态导热
边界条件
导热问题的数学描写
二、边界条件分类
1、第一类边界条件：指定边界上的温度分布。
如右图中：
x 0, t tw1 x ,t tw2
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时 ,twf1
zz d z zz zzd z zz z z t zd x d y d z
导热问题的数学描写
微元体热力学能（即内能）的增量= c t dxdydz
微元体内热源的生成热= d x d y d z
式中：ρ——微元体的密度； c ——微元体的比热容； Φ——单位时间内单位体积中内热源的生成热； τ ——时间;
导热问题的数学描写
2、第二类边界条件：指定边界上的热流密度值。 如右图中：
x
,t
x
qw
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时,-nt wf2
导热问题的数学描写
3、第三类边界条件：指定边界上物体与周围流体间的表面传 热系数h及周围流体的温度tf。 如右图中：
x, xtxqwhtwtf
各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称为温 度分布。
t f x,y,z,
稳态温度场（定常温度场）
t f x,y,z
瞬态温度场（非定常温度场）
xx d x xx x xd x xx x x t xd y d z d x yy d y yy y yd y yy y y t yd x d z d y
使微分方程获得适合某一特定问题的解的附加条件，
称为定解条件。
初始条件
非稳态导热
边界条件
稳态导热
边界条件
导热问题的数学描写
二、边界条件分类
1、第一类边界条件：指定边界上的温度分布。
如右图中：
x 0, t tw1 x ,t tw2
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时 ,twf1
zz d z zz zzd z zz z z t zd x d y d z
导热问题的数学描写
微元体热力学能（即内能）的增量= c t dxdydz
微元体内热源的生成热= d x d y d z
式中：ρ——微元体的密度； c ——微元体的比热容； Φ——单位时间内单位体积中内热源的生成热； τ ——时间;
导热问题的数学描写
2、第二类边界条件：指定边界上的热流密度值。 如右图中：
x
,t
x
qw
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时,-nt wf2
导热问题的数学描写
3、第三类边界条件：指定边界上物体与周围流体间的表面传 热系数h及周围流体的温度tf。 如右图中：
x, xtxqwhtwtf
各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称为温 度分布。
t f x,y,z,
稳态温度场（定常温度场）
t f x,y,z
瞬态温度场（非定常温度场）
第2章 稳态热传导
P50例题 例题2-2 一台锅炉的炉墙由三层材料叠合组成。最里面是耐火 一台锅炉的炉墙由三层材料叠合组成。 粘土砖， 级硅藻土砖， 粘土砖， 厚115mm；中间是 级硅藻土砖，厚 125mm；最外层为 ；中间是B级硅藻土砖 ； 石棉板， 石棉板，厚70mm。已知炉墙内、外表面温度分别为 。已知炉墙内、外表面温度分别为495oC和60oC， 和 ， 试求每平方米炉墙每小时的热损失及耐火粘土砖与硅藻土砖分界 面上的温度。 面上的温度。 解：关键问题 t = ? ， λ = ? 采用迭代法： 采用迭代法： ① 假设 t1、 t 2、t 3 ，查表λ1、λ 2 、 3 λ ② 计算
∂x ∂t ∂ d yd z d x =Φx + −λ ∂x ∂x
∂ ∂t Φ x + d x = Φ x + − λ d x d yd z ∂x ∂x ∂ ∂t Φ y + d y = Φ y + − λ d x d yd z ∂y ∂y ∂ ∂t Φ z + dz = Φ z + − λ dxdydz ∂z ∂z
& Φ d x d yd z
能量守恒： 能量守恒： 热力学能增量 导出热量） =（导入热量 −导出热量）+ 内热源热量
∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t & ∂t ρc = λ + λ + λ +Φ ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
λ 2 = 0.116 W (m ⋅ K )
(
)
λ 3 = 0.116 W (m ⋅ K )
∆t t1 − t 4 q= = = 224 W m 2 RA δ 1 δ 2 δ 3 + +
稳态热传导原理
稳态热传导原理稳态热传导原理是研究热传导过程中热量平衡的原理。
热传导是指热量从高温区沿着温度梯度传递到低温区的过程。
在热传导过程中，随着时间的推移，热量逐渐均匀分布，达到一个稳定的状态，称为稳态。
热传导的基本原理是热量通过物质内部的分子或电子的碰撞传递。
热量传递的速率与物质的热导率、温度梯度以及传导路径有关。
根据热传导的基本规律，我们可以推导出稳态热传导的数学模型。
在稳态热传导中，热量的传递是持续而稳定的，不会随着时间的变化而变化。
这意味着热量的输入和输出是平衡的，系统内部的温度保持不变。
因此，在稳态热传导中，我们可以利用热传导的数学模型来计算物体的温度分布。
热传导方程是稳态热传导模型的数学表示。
它描述了热量的传递速率与物体的温度梯度成正比。
热传导方程可以写成如下形式：∇·(k∇T) = 0其中，∇表示温度梯度算子，k表示物质的热导率，T表示温度。
这个方程告诉我们温度梯度的散度必须为零，即稳态热传导时热量的输入和输出必须平衡。
利用热传导方程，我们可以计算物体内部的温度分布。
通过合适的边界条件，我们可以确定物体表面的温度分布。
例如，如果物体的一侧暴露在一个恒定的温度环境中，我们可以将该侧设置为边界条件，并求解热传导方程来得到物体内部的温度分布。
稳态热传导原理在工程学和科学研究中具有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，我们可以利用稳态热传导原理来设计建筑物的保温层，优化能源利用。
在电子设备中，稳态热传导的研究可以帮助我们设计更高效的散热系统，保护设备免受过热的损害。
总结起来，稳态热传导原理是研究热量平衡的基本原理。
通过热传导方程和适当的边界条件，我们可以计算物体内部的温度分布。
稳态热传导原理在工程学和科学研究中有着广泛的应用，为我们解决热传导问题提供了有力的工具。
工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念
实用文档
分析： 假设 1 ）肋片在垂直于纸面方向 ( 即深度方向 ) 很长，不考虑温度沿该方向的变化，因此取单位长 度分析；
2 ）材料导热系数 λ 及表面传热系数 h 均 为常数，沿肋高方向肋片横截面积 Ac 不变；
3 ）表面上的换热热阻 1/h ，远大于肋片的 导热热阻 δ/λ ，即肋片上任意截面上的温度均 匀不变；
一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的 方向是如何变化的？
二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？
实用文档
1. 通过等截面直肋的导
热
已知：
(1)矩形直肋
(2)肋 根 温 度 为 t0 ， 且t0 > t
(3)肋 片 与 环 境 的 表
面传热系数为 h.
(4) ， h 和 Ac均 保 持
不变
(5)求：
温度场 t 和热流量
由前面我们已知一维稳态导热的方程式为如下
d 2t dx 2
0
边界条件为：
x 0:t t1 x :t t2
求解步骤： （1）积分求解
dt c1 dx t c1x c2
t t2t1xt1
（2）根据傅里叶定律，得到：
c2 t1 c1 t2 t1
qddxtt2t1t1t2
实用文档
分析：（和电路分析类比）
则有： Φx=-λAc t
x
Φx+dx=-λAc (t t dx)
x x
Φc= hPdxΔt= hPdx(t-t∞)
所以： Φx=-λAc t =Φx+dx+Φc=-λAc (t t dx) +hPdxΔt
x
x x
整理得： d2t hP(t t) dx2 Ac
实用文档
稳态热传导
其中 q——热流密度(单位时间内通过单位面
积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
式为:
q
gradt
t
n
n
gradt 是空间某点的温度梯度； n 是通过该点等温线上的法向单位矢量，
指向温度升高的方向； q 是该处的热流密度矢量。
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料. 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的.
压器铁芯等； 3.不均匀但每个区域均各向同性。如空心砖； 4.不均匀，且每个区域均各向异性，超高温时。
§2.2 导热问题的数学描写
由前可知： （1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律 积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （2）对于多维导热问题，首先获得温度场 的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
第三类边界条件中
更高温度时： （1）蜂窝固体结构的导热 （2）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料
采取的方法： （1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热
损失） （2）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射 换热.
同一种物质的导热系数也 会因其状态参数的不同而改 变，因而导热系数是物质温
B、正的非均布内热源 C、负的均布内热源 D、正的均布内热源
二 导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化 的关系，没有涉及具体、特定的导热过程，为 通用表达式。
定解条件：确定唯一解的附加补充说明条件， 包括四项：几何、物理、初始、边界
具体的导热过程的完整数学描述：导热微分 方程 + 定解条件
积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
式为:
q
gradt
t
n
n
gradt 是空间某点的温度梯度； n 是通过该点等温线上的法向单位矢量，
指向温度升高的方向； q 是该处的热流密度矢量。
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料. 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的.
压器铁芯等； 3.不均匀但每个区域均各向同性。如空心砖； 4.不均匀，且每个区域均各向异性，超高温时。
§2.2 导热问题的数学描写
由前可知： （1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律 积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （2）对于多维导热问题，首先获得温度场 的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间 各点的热流密度矢量。
第三类边界条件中
更高温度时： （1）蜂窝固体结构的导热 （2）穿过微小气孔的导热和辐射
超级保温材料
采取的方法： （1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热
损失） （2）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射 换热.
同一种物质的导热系数也 会因其状态参数的不同而改 变，因而导热系数是物质温
B、正的非均布内热源 C、负的均布内热源 D、正的均布内热源
二 导热过程的定解条件
导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。它描写物体的温度随时间和空间变化 的关系，没有涉及具体、特定的导热过程，为 通用表达式。
定解条件：确定唯一解的附加补充说明条件， 包括四项：几何、物理、初始、边界
具体的导热过程的完整数学描述：导热微分 方程 + 定解条件
3第2章 稳态热传导
2t 0
2.3 典型一维稳态导热问题的分析解 2.3.1 一维平壁稳态导热
首先是对一维平壁概念的认识。无限大 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平 壁两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以 归纳为一维稳态导热问题。 先考虑导热系数为常数的情况。 已知大平板的两个表面分别维 持均匀而恒定的温度t1和t2，壁厚为 δ。取坐标如图1所示。边界条件 为:
R RA
1
RDቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图6 结构尺寸示意图
解：该砌块沿高度方向可划分为并联的七 层，其串并联热阻可简化为如图所示。
1 0.115 4.85K / W 1 A1 0.79 0.03 1 0.0325 R2 2 0.457 K / W 2 A2 0.79 0.09 1
比较t2与t2’
若t2≈t2’,计算终止 若t2与t2’偏离
下面举一个例题来说明。 例：有一连续式加热炉的炉墙由内层粘土砖和外层 硅 藻 土 砖 砌 成 ， 它 们 的 厚 度 分 别 为 S1=230mm ， S2=115mm,炉墙内表面温度为t1=1100℃，外表面温 度t3=100 ℃，试求炉墙导出的热流密度？ 解：分析：若能求出t2问题就好解决了，如何求解？ 从附录4中查得：
R1
R3
3 0.05 1.916K / W 3 A3 0.29 0.09 1
R
1 4 3 R1 2 R2 R3
0.531K / W
当然还有另一种划分形式，同学们下去自己 思考一下。 小结：1.单层平壁的热传导公式、热阻公式。 2.多层平壁的热传导公式、热阻公式。
用图示表示就是
图2 通过单层平壁内的温度分布
同学们考虑一下，横坐标、纵坐标分别表示什么？ 下面来探讨另一个问题：热阻。类比：欧姆定律。 由 ，可得 ， 。
2.3 典型一维稳态导热问题的分析解 2.3.1 一维平壁稳态导热
首先是对一维平壁概念的认识。无限大 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平 壁两侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以 归纳为一维稳态导热问题。 先考虑导热系数为常数的情况。 已知大平板的两个表面分别维 持均匀而恒定的温度t1和t2，壁厚为 δ。取坐标如图1所示。边界条件 为:
R RA
1
RDቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图6 结构尺寸示意图
解：该砌块沿高度方向可划分为并联的七 层，其串并联热阻可简化为如图所示。
1 0.115 4.85K / W 1 A1 0.79 0.03 1 0.0325 R2 2 0.457 K / W 2 A2 0.79 0.09 1
比较t2与t2’
若t2≈t2’,计算终止 若t2与t2’偏离
下面举一个例题来说明。 例：有一连续式加热炉的炉墙由内层粘土砖和外层 硅 藻 土 砖 砌 成 ， 它 们 的 厚 度 分 别 为 S1=230mm ， S2=115mm,炉墙内表面温度为t1=1100℃，外表面温 度t3=100 ℃，试求炉墙导出的热流密度？ 解：分析：若能求出t2问题就好解决了，如何求解？ 从附录4中查得：
R1
R3
3 0.05 1.916K / W 3 A3 0.29 0.09 1
R
1 4 3 R1 2 R2 R3
0.531K / W
当然还有另一种划分形式，同学们下去自己 思考一下。 小结：1.单层平壁的热传导公式、热阻公式。 2.多层平壁的热传导公式、热阻公式。
用图示表示就是
图2 通过单层平壁内的温度分布
同学们考虑一下，横坐标、纵坐标分别表示什么？ 下面来探讨另一个问题：热阻。类比：欧姆定律。 由 ，可得 ， 。
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导热量的计算： 将λ取所涉温度范围内的平均值后作常数处理。
1 (1 2 ) 0 (1 bt ) 2 1 其中 : 1 0 (1 bt1 ); 2 0 (1 bt2 ); t (t1 t 2 ) 2
(3) 容重（密度）的影响：γ小，气孔多，λ就小； 但当γ过小时，气孔成沟，则λ亦增大 (4) 湿度：湿度大则λ大（对绝热保温材料尤应注意）
2.1.5 工程导热材料的一般分类
均匀且各向同性 : 一般工程材料 均匀介各向异性 : 木材、石墨、变压器铁芯等 不均匀但各向同性:如空心砖 不均匀且各向异性:多种不同材料压制而成的多层板 本书讨论对象 均匀且各向同性材料的导热问题, 且导热系数与 温度的关系已知.
2-2 导热问题的数学描写
——导热微分方程及定解条件
2
求解结果：
通解 : t C1 x C2 (c)
(t1 t 2 ) t 热流密度: q t Rt f (t1 , t 2 , , ) (2 20) A(t1 t 2 ) A t 热流量 : t Rtt
(微尺度时间)、极低温度 (接近于0K) 、过程发生的空间 尺度范围极小 。
3、复杂情况下的其他边界条件 (1) 辐射边界条件
T 4 4 (Tw Te ) (2 18) n
(2) 界面连续条件
t t t I t II , ( ) I ( ) II (2 19) n n
t t 实用形式： q ; A n n (标量式)
特例(一维问题)：
t t q ; A x x
其中 : gradt为温度梯度; n为单位法向量; t 为温度场在法线方向的方向导数; 为导热系数 n
几点注意： a. gradt为矢量，与热流方向的关系 ——相反
5、导热微分方程在特殊情况下的简化(掌握简化方法) (1)导热系数为常数：λ=C (2) 无内热源： (3) 稳态：
0
t 0
d 2t 0 2 dx
(4) 方程的最简形式: λ=C 、无内热源、稳态、一维
圆柱坐标系及球坐标系中的导热微分方程 (不作推导要求，结果见P44式(2-12)、(2-13)) 圆柱坐标系中的微元体
1、导热微分方程+边界条件，求解温度分布
（一维问题也可由傅里叶定律的相应数学表达式在 给定的边界范围内积分而得）； 2、根据傅里叶定律，由温度分布解得热流量 （或热流密度） 基本公式:导热微分方程, 傅里叶定律
求解实例
一维稳态导热
◆ 通过平壁的导热 ◆ 通过圆筒壁的导热 ◆ 通过球壳的导热
◆ 变截面或变导热系数的一维问题
1、导热基本定律: 几个基本概念、导热基本定律、导热系数 2、导热微分方程：一般形式、定解条件及求解方法 3、几种典型一维稳态导热问题的分析解 ——温度分布与导热量计算式 (1)无限大平壁 (2)无限长圆管壁与球壁
主 要 内 容
(3)肋片导热
4、具有内热源的导热问题(简介) 5、多维导热:求解方法(分离变量法、导热形状因子法)
会中断，它们或者是物体中完全封闭的
曲面（曲线），或者就终止与物体的边
界上.
等温面实例
方向导数(变化率)
数量场在点A0处沿l方向的导数
t A t A0 t lim l l 0 l
温度梯度
温度场中任意一点的温度沿等面法线方
向的变化率,记为gradt(矢量场) :
2.1.3 导热基本定律 ——傅里叶定律(实验定律)
λ纯金属>λ合金>λ非金属结晶、λ液体>λ绝热材料>λ气体
(2) 温度的影响 实用中，认为：λ= λ(t)=λ0（1+b t） 式中： λ0—λ- t直线的延长线在纵坐标上的截距
b—温度系数，可由实验测定
b<0 时,λ随t上升而减小(除水以外的 大多数液体和金属) b>0 时,λ随t上升而增大(除水蒸汽外 的气体，建筑、保温材料)
（即内热源强度或发热率）
化简得：笛卡尔坐标系中导热微分方程的一般形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) (2 7) * x x y y z z
t t t t c ( ) ( ) ( ) (2 7) * x x y y z z
由法国物理学家傅里叶于1822年提出
物理意义
数学表达式 适用场合
(1)定律的文字表述(物理意义) 在导热现象中，单位时间内通过给定截面的 热量正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率 (即温度梯度) 和截面面积，而热量传递的方向则
与温度升高的方向相反。
(2) 定律的数学表达式
t n 矢量形式： q gradt n t Agradt A n n
2-1 热基本定律——傅里叶定律
2.1.1 物体导热的微观机理
a、气体：导电固体— 自由电子在晶格间的运动
非导电固体— 晶格结构的振动 c、液体：观点1— 类似于气体（情况更复杂） 观点2— 类似于非导电固体
2.1.2 温度场及相关概念
温度场 各时刻物体中温度分布的总称(标量场) (或：在某一瞬间物体内各点的温度分布) 温度分布的一般数学表达式：t
球坐标系中的微元体
2.2.2 导热问题的定解条件—初始条件与边界条件
定解条件——使微分方程获得适合某一特定 问题的解(唯一解)的附加条件 包括： 初始条件：初始时刻的温度分布
t 0 f ( x, y, z )
边界条件：物体边界上的温度或换热情况
三类边界条件:
1、第一类边界条件：规定了边界上的温度值
(2) 微元体内热源的生成热：
g dV
其中： 为单位时间单位体积内热源的生成热
t (3) 微元体的热力学能增量dU： dU cdV
将 、 g 、dU代入能量守恒方程式(b)，得
t t t t [ ( ) ( ) ( )]dV dV cdV x x y y z z
b. 等温线与热流线的关系——垂直相交
c. 等温线与等温线不能相交
d. 热流线与热流线不能相交
(3) 定律的适用场合 常规的稳态及非稳态的一、二、三维 导热问题
2.1.4 导热系数
定义： 意义：
q (2 6) t n n
表征物质导热能力的大小。在数值上等于单位 温度梯度作用下物体内所产生的热流密度矢量的模。
导热微分方程的应用实例 ——稳态导热问题的分析与求解
稳态导热的特点： 沿途的导热热流量为常量，即：Φ=C 对于平壁导热，又有：q=C 该特点的应用: 1.分析热阻与温差间的关系; 2.分析温度分布曲线(斜率变化) 3.分析沿途热流密度的变化情况 等等.
2-3 典型一维稳态导热问题的分析解
目的：1、求解温度分布; 主要步骤： 2、求解热流量
影响的因素:
材料种类、温度、成分、结构、密度、含水量、 压办等。最主要的是材料种类和温度。
(1) 材料种类的影响 金属材料: 导热系数值大体与其导电率成正比(通常
认为两者的比值与绝对温度成正比);
绝热材料: 平均温度不高于350℃时,λ<=0.12W/m· K 的材料—99年的国家标准规定 各向异性材料:导热系数与方向有关 (木材、石墨、 晶体、多层抽空结构等) 一般，导电性能好的材料导热性能也好
t w C或t w f1 ( ), 0
2、第二类边界条件：规定了边界上和热流密度值
t q w C或 ( ) w f 2 ( ), 0 n
3、第三类边界条件：规定了边界上的换热条件
t ( ) w h(t w t f ) n
讨论
1、热扩散率的物理意义
导热理论的首要任务：确定导热体内部的温度场 方法： 一般方法：根据能量守恒定律与傅里叶定律建立 导热微分方程并求解 特 例： 直接对傅里叶定律的表达式进行积分 求解——此方法只限于一维问题
本节主要内容
一、导热微分方程 直角坐标系中的导热微分方程 圆柱坐标系及球坐标系中的导热微分方程
二、定解条件：初始条件与边界条件
(3)泰勒公式（取一阶近似）:
f ' ( x) f " ( x) f ( x dx) f ( x) dx (dx) 2 (c) 1! 2!
3、假定条件：材料各向同性。
4、方程的推导及结果
(1)导入微元体的总净热流量 x方向：
t x dydz x x t x dx x dx x ( dydz )dx x x x x , x x x dx dx x
第2章
稳态热传导
1.掌握有关基本概念。
基 本 要 求
2.熟记傅里叶导热定律；导热系数及影响因素。 3.熟记直角坐标系中的导热微分方程的一般形式， 能对简单导热问题写出其完整的数学描述。 4.能分析求解通过平壁、圆筒壁的导热问题。了解
通过其他变截面物体导热的特点。
5.掌握肋片导热的特点、规律及其计算。肋片效率 的概念及应用，减少测温误差的措施。
表示物体内部温度扯平(传导热量)的能力—热扩散率
表示物体(材料)传播温度变化的能力—导温系数 2、傅里叶定律及导热微分方程的适用范围
适用于一般工程技术中的非稳态和稳态导热过程—-傅里叶导热问题 (热流密度不很高、作用时间足够长、过 程发生的尺度范围足够大) ;
非傅里叶导热问题—热流密度极大、作用时间极短
t t ( dydz )dx ( )dV x x x x
同理得：
, y
所以：
t t ( )dV ; , z ( )dV y y z z
,x , y ,z
t t t [ ( ) ( ) ( )]dV x x y y z z