4.D4_4单调性

华中科技大学管理学院
8
例4. 证明 证: 令
1 2 f ( x) x x ( x 1) ln( 1 x) , 2
因此，当 x > 0 时， f ( x) 0 ,从而 f ( x) 严格单调增，
这说明 f (x)严格单调增，故
得证。
华中科技大学管理学院
9
例5. 证明 证: 令
的单调区间.
2 解: f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)


2 0 1
( 2 , )
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
1
2 3 1
所以三个拐点共线.

1 3 8 4 3
1
2 3 1
华中科技大学管理学院
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx xx x x 1 x x 1 22 x 1 x 1 22 x 22
12
等价定义 . 若连接曲线y = f (x)上任意两点A，B的 弦恒在曲线段 AB 的上侧（或下侧），则称 f (x) 为凹（凸）函数；而称曲线为凹（凸）曲线。
由于连接点A,B的弦可以表示为
等价定义：若对任给 有
为[A,B]上的凹函数。若将 ≤换成<，则 称为严格凹函数。若将≤换成≥，则称为凸函数。
例2: 证明数列 {n2e-n} (n≥2) 单调减。 证： 令
6
可见 f (x) 在[2，∞）上单调减，从而{n2e-n}单调减.
某些不等式与单调性有关，因而可用定理1来证明。 例如
华中科技大学管理学院
7
例3. 证明不等式
证: 令
要证明不等式成立，只需证明 f (x) >1 即可。因
同理当x < 0 时，由
(2 2 x) ( x 2 1) 2 (1 2 x x 2 ) 2( x 2 1) 2 x y ( x 2 1) 4 2( x 3 3x 2 3x 1) ( x 2 1) 3 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) ( x 2 1) 3
单调，故必要性成立。 其次若条件满足但 f (x)不严格单调，即存在
x1 x2 , 使
f ( x1 ) f ( x2 ) ,
则由单调性得出 f (x) 于[ x1 , x2 ]上为常数，从而于 其上 f ( x) 0 , 这与条件矛盾。故充分性成立。
华中科技大学管理学院
4
例1. 确定函数
x1 x2 f ( x1) f ( x2 ) 2 f ( ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
(
1 2!
x2 x1 2 [f 2
)
(1 ) f ( 2 )]
当 f ( x) 0时,

x1 x2 f( ), 2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
华中科技大学管理学院
则称
定理2.(凹凸判定法) 设函数
13
在区间I 上有二阶导数 在 I 内图形是凹的 ;
(1) 在 I 内 (2) 在 I 内 证:
则
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得

f (1 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f ( ) ) ( x1 ) 2 ! ( x1 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 f ( 2 ) x1 x2 x1 x2 2 )( x2 f ( x2 ) f ( ) f ( ) ) 2 ! ( x2 2 2 2 2 两式相加
机动 目录 上页 下页 返回 结束
华中科技大学管理学院
14
几何解释:当曲线为凹的时,当 x 增大，曲线上的点 P 的切线斜率 亦随之增大，在 f (x) 二次
可微的条件下，这等价于 f ( x) 0 . 定理3：若 f (x) 在[a , b] 上严格凸（或严格凹） 的充要条件是：在 (a , b) 内
常用此来判定方程根的唯一性。 例6：设 (0,1/a) 内有唯一根。 证明方程 aeax = x 在区间
证：原方程等价于 xe-ax-a = 0 .令f (x) = xe-ax-a ， 则 f (0) = -a , f (1/a) = (ae)-1-a > 0 , 由介值定理， 方程 f (x) = 0 在(0,1/a)内至少有一根，另一方面，由 知f (x)在(0,1/a)内严格单调增，因此原方程恰有一根。
例9. 求曲线 解: 1) 求 y
17
的凹凸区间及拐点.
36 x( x 2 ) y 12 x3 12 x 2 , 3 2) 求拐点可疑点坐标 (0,1) ( 2 , 11 ) 3 27 2 11 x 0 , x , y 1 , y 对应 令y 0 得 1 2 3 1 2 27
3) 列表判别
2 3
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3

(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上向上凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 向上凸 , 3 27
华中科技大学管理学院
11
二、曲线的凹凸与拐点
定义1 . 设函数 (1) 若恒有 图形是凹的(下凸的); (2) 若恒有 在区间 I 上连续 ,
B
则称
则称
A 图形是凸的 (上凸的). y y y 连续曲线上有切线的凹凸分界点
称为拐点 .
华中科技大学管理学院
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o o o
因而只需证明 f ( x) 在 (0 , ) 内严格向上凹,而
1 f ( x) ln x 1 , f ( x) 0 ( x 0) x 故不等式得证.
华中调性判别 f ( x) 0 , x I 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
且使
的点 x 不充满 (a , b) 的任何子区间。 （证明略去）
华中科技大学管理学院
例7. 判断曲线
3 解: y 4 x ,
15
的凹凸性.
y
故曲线
在
上是向上凹的.
o
x
说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线 的一个拐点.
1
第四章 第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
华中科技大学管理学院
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
一、 函数单调性的判定法
在开区间 I 内可导, (1)若 在 I 内单调递增 (递减) .(反之亦然） (2) f (x)在[a,b]上严格单调增(或严格单调减)的充要条 定理 1. 设函数 ( f ( x) 0) , 则
1
;
) .
提示: y 2 e
x2
(1 2 x 2 )
华中科技大学管理学院
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
22
x 1 求证曲线 y 2 有位于一直线的三个拐点. x 1 1 2x x2 ( x 2 1) ( x 1)2 x 证明：y 2 2 ( x 1) ( x 2 1) 2
华中科技大学管理学院
机动 目录 上页 下页 返回 结束
18
例10. 设
证明
x y ( x y ) ln x ln x y ln y . 2
证：令 f ( x) x ln x ( x 0) ,
x y 1 则要证的不等式可改写成 f f ( x) f ( y ) 2 2
华中科技大学管理学院
机动 目录 上页 下页 返回 结束
23
令 y 0 得
x1 1 , x2 2 3 ,
从而三个拐点为
x3 2 3
(1 , 1) , (2 3 , 1 3 ) , (2 3 , 1 3 ) 84 3 84 3
因为
1 3 8 4 3
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
华中科技大学管理学院
机动 目录 上页 下页 返回 结束
21
2. 曲线 y 1 e
x2
1 , ( 的凹区间是 2 1 , ) 2
1 ) 2
;
) 及 ( 凸区间是 ( , 1 2
拐点为 (
1 2 , 1 e 2
( f ( x) 0) , 且使f ( x) 0的点x 件是：在(a,b)内 不充满(a, b)的子区间（即f ( x)不会在某个子区间上为常数）
证: 无妨设 由拉格朗日中值定理得 任取
0
故 这说明 在 I 内单调递增.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
华中科技大学管理学院