差分方程

练习 18 证明：若 a>1，对任意的 >0,>0，若 ≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足
.
这样，我们得到了计算 的一个方法： 1． 给定 （作为误差控制），任取初始值 ，
令 n=1;
2． 若
，
则终止计算，输出结果；否则 ，令 n ：=n+1，转
第3步；
3． 令，转第2步.
练习 19 对 a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
由 ，得
.
从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的 n 换为 n+1，得到
（8.6）
方 程（ 8.6 ）和（ 8.5 ）相 减 得
.
于是可将原来的非齐次线性差
分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.
练习17 分别求差分方程 及 的通解.
能 够 使 国 民 经 济 处 于 一 种 良 性 循 环 之 中 。如 何 配 各 部 分 投 资 的 比 例 ，才 能 使 国 民 经 济
处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：
1． 国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2． 记 分别为第
k 个周期的国民收入水平和消费水平。的值与前一个周期的国民收入成正比例。即
定理8。1 若数列的通项是关于 n 的 k
次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定
理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多
项式，
练习4 根据差分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3
例3
例
4
解 设 Sn=∑i3 表
Sn △ Sn △ 2Sn △ 3Sn △ 4Sn △ 5Sn
λ2-λ-1=0
其根为 λ1=，λ2= .利用 λ1λ2可将差分方程写为
Fn-
（ λ1+λ2)Fn-1+λ1λ2Fn-2=0,
即
Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)
数列
{Fn-λ1Fn-1}满足一个一阶差分方程．显然
()
同理可得
()
由以
上两式可解出 的通项。
练习9 证明若数列{ }满足二阶差分方程 ，其特征方程
利用 §1 基
差分方程
1. 差分
2. 任意数列{xn },定义差分算子 Δ 如下：
数列再应用差分算子，有
Δ2xn=Δ（Δkxn).
Δxn=xn+1-xn
对新
性质
性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn
性质2 Δk(cxn)=cΔkxn
性质3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j
性质4 数列的通项为 n 的无限次可导函数，对任意 k>=1，存在 η，有 Δkxn=f(k）
方程的通解。
练习12 若数列{ } 满足差分方程
且 求{ }的通项。
例6
若实系数差分方程的根为虚数，则其解也是用虚数表示的，这给讨论问题带来不便。
差分方程
xn-2xn-1+4xn-2=0
求出其特解为：
的特征值为 i.若 x1=1,x2=3，由下面的程序易 xn=( )(1+ i)n+ （ － )(1 － i)n
程， x 取值[0,1]
(注：解为 y(x)=e^(-x));
要实现微分方程的离散化，可以
把 x 的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]
这样上述微分方程可以离散化为：Fra bibliotek差分方程
y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （ n 个 离 散 方 程 组 ） y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。 本理论
练习11 证明：
若数列{ } 所满足的三阶差分方程的特征方程由三个相等的根 ，则差分方程的通解
为。 一般的，设 ···，为差分方程的特征方程所有不同的解，其重数分别为 ···， ，
则差分方程对应于其中的根 （i=1，2，···，l）的特解 ···。
对于一般的 k 阶齐
次线性差分方程，我们可以通过其特征方程得到上述形式的 k 个特解，进而得到差分
=A,(8.9）其中 A 为常数（0 3． 用 表示第 k 个周期内用于再生产的投资水平，它
取决于消费水平的变化，即 . (8.10)
数数列，四阶为0。
练习1 对{1}， {n},{n2},{n4},{n5},分别 求各阶 差分数列。
练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列.
{Xn}的通项为 n 的
三次函数，
Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0
证明它为常数数列。
证明 由
Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。
根.
练习 23 求方程 的绝对值最大的根.
事实上，若方程（8.7）的互不相
同的根满足
≥ ≥…≥
（ 其 重 数 分 别 为 ）， 则 练 习 22 中 的 结 论 仍 然 成 立 .
2.4 国民收入4 国民收入的稳定问题
一个国家的国民收入可用于消费，再生产
的 投 资 等 。一 般 地 说 ，消 费 与 再 生 产 投 资 都 不 应 该 没 有 限 制 。合 理 的 控 制 各 部 分 投 资 ，
来求呢？
设二阶线性齐次差分方程的特征方程有两个相等的根 ，则差分方程可
写为。差分方程的两边同时除以 ，有。设，则 (n>=3）。由于该式在 n>=3式均成立，
我们将它改写为 (n>=1）。（8.2)
方程（8.2）的左边是 的二阶差分，从而有，
于是 是 n 的 一次函数，设为 则有。上是即为差分方程的通解。
来 求 解 方 程（ 8 .7 ）呢 ？
设方程（8.7）有 k 个互不相同的根满足
， （8.8）
则对应的差分方程的通解形式为
.
练习 22 设方程（8.7）的根满足条件
（8.8），任取初始值 用差分方程（8.1）（取 b=0）构造数列{ }.若通解中 的系数 ≠0，
证明：
.
利用练习22得到的结论，我们可以求多项式方程的绝对值最大的
上述方法的收敛速度不够快，我们可以加以改进
设整数 u 满足，令，则 ， 是
方程 的两个根.
练习 20 根据上 面的差 分方程的构件数列 { x },使得
.
练习 21 对练习19中的 a，用上面的方法来计算 ，并比较两种方法的收敛速度.
代数方程
（8.7）
是差分方程（8.1）的特征方程，是否可以用此差分方程
··· 由练习16，若已知非齐次线
性 差 分 方 程 （ 8.5） 的 一 个 特 解 ， 就 可 以 将 它 化 为 齐 次 线 性 差 分 方 程 .
显然方程
（8.5）的最简单的形式为 （其中 p 为常数），代入（8.5）得
··· 若 ··· 则
有
称 p = 为非齐次线性差分方程（8.5）的平衡值。在（8.5）中， 令 则有
2.3 代数方程求根
由 Fibonacci 数列的性质，我们可以用 来逼近 ，用这一性
质可以来计算 的近似值。一般地，对 a>0，可以用构造差分方程的方法来求 的近似
值.
对给定的正数 a，设 λ1= ，λ2= ，则 λ1 ，λ2是方程 λ2-2λ+(1+a)=0的根.
该方程是差分方程 的特征方程。于是，选定，利用差分方程 可以构造一个数列{ }.
解 的 任 意 常 数 ，得 到 差 分
的特解。
例4对差分方程 xn-5xn-1+6xn-2=0，若
已知 x1=1,x2=5，则可以得到该差分方程的特解为 xn=3n-2n.
我们首先研究齐次
线性差分方程的求解。
xn=rxn-1
对一阶差分方程
x1=a
显然有
xn=arn-1 。因 此 ，若 数 列 满 足 一 阶 差 分 方 程 ，则 该 数 列 为 一 个 等 比 数 列 。
1 8 19 18 6
0
9 27 37 24 6 0
36 64 61 30 6 0
100 125 91 36 6 0
225 216
127 42
441 343 169
784 512
1296
设
Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0,s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225
，
得
设 =rei，则 =re，我们可将（8．4）
中的表达式改写为
xn=re (2e )n+re (2e )\n
=r
=2r Cos( )
=(2rCos )
=
可以看出，通项可以写成 的形式．那么， 与 是不是差分方
程的特解呢？
练习13 验证 与 是差分方程（8.3）的特解.
对于差分方程
（8.3），我们找出了它的两个实型的特解，从而可以将通解表示成实数的形式 .这一方
a0=0,a1=0,a2=1/4,a3=1/2,a4=1/4.
所以，
Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.
练习 {Xn}的通项 Xn 为 n 的 k 次多项式，证明∑xi 为 n 的 k+1次多项式；求
∑i4.
由练习 2 {Crn-1}可得。
2.2差分方程
对 于 一 个 差 分 方 程 ，如 果 能 找 出 这 样
例5 求
Fibonacci 数列{Fn}的通项，其中 F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2.
Fibonacci 数列的
前几项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…。该数列有着非常广泛的
应用。
Fibonacci 数列所满足的差分方程为
Fn-Fn-1-Fn-2=0,
其特征
方程为
差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
数学意义及性质
意义
差 分 方 程 是 微 分 方 程 的 离 散 化 。一 个 微 分 方 程 不 一 定 可 以 解 出 精 确 的 解 ，把 它 变
成差分方程，就可以求出近似的解来。
比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方
c1=Simplify[Re[c1]]+Simplify]*I;
c2=Simplify[Re[c2]]+Simplify]*I;
Print[“xn=（ “， c1 ， ”）（ “， l 1， ”） ^n+（ “， c2 ， ”）（ “， l2， ”） ^n”]
解的形式
相 当 复 杂 ，是 否 可 以 将 它 们 用 实 数 表 示 呢 ？
（η）
差分方程
定义8。1 方程关于数列的 k 阶差分方程：
xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1，……）
其中 a1,a2,------ak 为常数，
ak≠0. 若 b=0 ， 则 该 方 程 是 齐 次 方 程
关于 λ 的代数方程
λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0
法对于一般的方程也是成立的.
练习14 设 的两个特征值为 .证明该差分方程
的通解可表示为 .
练习 15 用实数表示差分方程 的特解.
上次我们讨论
了其次线性差分方程的求解方法.那么，非齐次线性差分方程是否可以化为齐次线性
差分方程呢?
练习16 若已知非齐次线性差分方程
··· （8.5）
的一个
特解为 求证：若令 则 满足齐次差分方程
由两个不相等的根 ，则 为该差分方程的两个特解。从而其通解为。
由练习9，
若二阶差分方程的特征方程有两个不相等的根，可写出其通解的一般性式。再由 的
值 可 解 出 其 中 的 系 数 ，从 而 写 出 差 分 方 程 的 特 解 。
练习10 具体求出 Fibonacci
数 列 的 通 项 ，并 证 明 。那 么 ，若 二 阶 线 性 齐 次 差 分 方 程 有 两 个 相 等 的 根 ，其 解 有 如 何
的数列通项，将它带入差分方程后，该方程成为恒等式，这个通项叫做差分 方程的解。
例3 对差分方程 xn-5xn-1+6xn-2=0，可直接验证 xn=c13n+c22n 是该方程的解。
例3中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解叫
做差分方程的通解。
若 k 阶差分方程给定了数列前 k 项的取值，则可以确定通
为对应的特征方程，根为特征值。
例题
1． 实验内容与练习
2．1 插分
例1 Xn={n3},求各阶差分数列： xn
△ xn △ 2xn △ 3xn △ 4xn
1 7 12 6 0
8 19 18 6 0
27 37 24 6 0
64
61 30 6
125 91 36
216 127
343
可见，{n3},三阶差分数列为常
Clear[x1,x2,c1,c2,l1,l2,solution];
x1=1;x2=3;
solution=Solve[1^2-2l+4==0,1];
l1=l/.solution[[1,1]];
l2=l/.solution[[2,1]];
c=Solve[{c1*l1+c2*l2==x1,c1*l1^2+c2*l2^2==x2},{c1,c2}];