21.2公式法
21.2.2公式法-2024-2025九年级数学人教版课件(上)
x b b2 4ac (4) 36 4 6，
2a
25
10
即
x1
1，x2
1. 5
三、应用练习，拓展提升
例 2（4）x2 17 8x . 解：方程化为 x2 8x 17 0.
a 1，b 8，c 17. b2 4ac (8)2 4117 4 0.
x b b2 4ac 4 24 4 2 6 = 2 6 ，
2a
21
2
即 x1 2 6 , x2 2 6.
三、应用练习，拓展提升
练习（3）3x2 12x 12 . 解：方程化为 x2 4x+4=0.
a 1，b 4，c 4.
b2 4ac ( 4)2 41 4 0.
22 4 1 ( 4) 20 0.
x b b2 4ac 2 20 .
2a
21
x1 1 5，x2 1 5.
三、应用练习，拓展提升
章前引例 在设计人体雕像时，使雕像的上部和下部的高度比，等 于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高 为 2 m，那么它下部应设计为多高？（结果保留小数点后两位）
方程无实数根.
三、应用练习，拓展提升
公式法解一元二次方程步骤是什么？ 1.一元二次方程化为“一般形式”；
2.确定 a ，b ，c 的值； 3.判断 b2 4ac 的取值范围；
4.求解.
三、应用练习，拓展提升
练习 用公式法解下列方程：
（1）x2 2 5x 10 0 ； （2）x（x 4） 2 8x； （3）3x2 12x 12 .
(x n)2 p x1 n p ，x2 n p x1 x2 n 方程无实数根
配方
ax2 bx c 0(a 0)
人教版九年级数学上册第21章第2节《公式法》课件
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0， 解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数 根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解： 移项，得 x2+4x-2=0
第二十一章21.2.2公式法
栏目索引
易错点二 对形如ax2+bx+c=0的方程有实数根的问题理解错误 例2 (2018河南新乡辉县二模)关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根,则a的 取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a>-1 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1且a≠0 解析 当a≠0时,∵原方程有实数根, ∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1; 当a=0时,-2x-1=0有实数根.故选A.
根的判别 式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
21.2.2 公式法
栏目索引
例1 (2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 解析 A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,∴有两个不相等的实数根; B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴有两个不相等的实数根; C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴有两个相等的实数根; D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D选项中的方程没有实数根,故选D. 答案 D 点拨 不解方程可通过计算Δ的值来判断根的情况.特殊的方程可不必 计算Δ的值,如:当a与c异号,或b≠0且c=0时,方程有两个不相等的实数 根.
答案 A 点拨 首先根据一次函数的定义确定字母的取值范围,然后由字母的取 值范围得出判别式的取值范围,最后得出根的情况.
21.2.2 公式法
栏目索引
题型三 根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若关于x的一元二次方
人教版九年级上册数学第21章21.2一元二次方程解法--公式法
一元二次方程解法--公式法一、基本知识1. 把方程4x 2+4x+10=1-8x 化为一般形式为： ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．2. 用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=32-± B ．x=32± C ．x=32-± D ．x=32± 3. 下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 .4. 已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 . 思路与步骤：1. 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子. 合作探究1：用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2对应练习：1. 用公式法解下列一元二次方程（1）（x-2）（3x-5）=0 （2）4x 2-3x+1=0（3）3x 2+5(2x+1)=0 （4）0432=-+x x根的判别式1. 一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)根的判别式为：△=b 2-4ac.2.（1）△=b 2-4ac ＞0有 的实根.（2）△=b 2-4ac ＝0有 的实根.（3）△=b 2-4ac ＜.（3）△=b 2-4ac ≥.二、典型例题：例1：当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.对应练习：1. 若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ．2. 关于x 的方程()22410x x m -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．例题2：若关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2＋4a －5)＝0有实数根，试求正整数a 的值．【提示】：要注意两个条件：①有实数根，②a 是正整数．例题3：如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：
21.2.2_一元二次方程的解法-公式法
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
2
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
一般地，式子b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示它，即 Δ＝b2－4ac
归纳：
2－4ac Δ ＝ b 由根的判别式________________的值可以直接去判断方程
2
解：原方程变形为：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
即：
x1 x2 3
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 例 3 解方程： x 21 3 x 6
根的个数情况，而不用求解方程： 有两个不相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________ ； 有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________ ； 没有实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________ ．
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
人教版21.2.2公式法
C. k<1
D. k<1 且k≠0
2 2 b 4 ac ( 2 ) 4k (1) 4 4k ＞0 解:∵
∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
思考题： 1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当 a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
21.2 解一元二次方程
21.2.2
公式法
温 故 知 新
4x 6x 3 0
2
3 3 x x , 二次项系数化为1，得 2 4 2 2 3 3 3 3 2 x x , 配方，得： 2 4 4 4 2 3 21 x , 4 4
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
(a 0)
∵a 0,4a 0 当
2
b 4ac 0
2
即
b b2 4ac x 2a 2a
2
特别提醒 一元二次方程 的求根公式
b b 4ac x 2a
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 . 2a 2a
6 x1 ; x 2 2. 5
b b 2 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
解方程： 解方程： 解方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 7 x 18 0
2
b b 4ac x 2a
2
x 3 2 3x
2
解:移项，得：
4 x 6 x 3,
2
由此得:
3 21 x1 , 4 2
21.2解一元二次方程十一章一元二次方程导入新课讲授新课课堂小结21.2.2公式法
•b2 - 4 > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4 = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4 < 0时,方程无实数根.
例6:若关于x的一元二次方程2-21=0有两个不相
等的实数根，则k的取值范围是(
)
>-1
B
>-1
所以10或2. 将10代入原方程得x2-816=0，x12=4； 将2代入原方程得x2+44=0，x122（舍去）；
所以△ 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
课堂小结
公式法
求根 公式
x b b2 4ac 2a
根的判别式b2-4
务必将方程化 为一般形式
步骤
一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）；
∴方程有两个相等的实数根．
当堂练习
1.解方程：x2 &.
∵ b 2 - 4 =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0,
x7 121711.
21
2
即
x1 = -9, x2 = 2 .
2. 解方程（x - 2) (1 - 3x) = 6.
且k≠0
<1
<1
且k≠0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数
根，则b2-4>0，同时要求二次项系数不为0，
即 k≠0(，2)故2 选4Bk.0
，k≠0.解得k>-1且
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 75(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，34－3,
2122 一元二次方程的解法(二)公式法(解析版)
21.2.2一元二次方程的解法（二）公式法夯实双基，稳中求进公式法解一元二次方程知识点管理 归类探究 1 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac =->时，242b b ac x a-±-=.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b ac =-．①当240b ac =->时，原方程有两个不等的实数根242b b acx a-±-=；②当240b ac =-=时，原方程有两个相等的实数根； ③240b ac =-<当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的步骤：①变形：把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求△：求出24b ac -的值；④定根：240b ac -≥若，则利用公式242b b acx a-±-=求出原方程的解；若240b ac -<，则原方程无实根.题型一：一元二次方程的求根公式【例题1】（2021·全国九年级）关于x 的一元二次方程220(0,40)ax bx c a b ac ++=≠->的根是（ ）A B C D 【答案】D【详解】当20,40a b ac ≠->时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式为x .故选D.变式训练【变式1-1】（2020·福建省福州延安中学九年级月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（ ）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2x 2x 30--+=D ．23210x x --= 【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【详解】解：对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，方程的根为：2b x a-=．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．【变式1-2】（2019·全国八年级课时练习）解下列方程，最适合用公式法求解的是( ) A ．2(26)10x =＋－ B ．2(14)x =＋ C ．2121x ＝ D ．2350x x =－－【答案】D【分析】解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，根据每种方法的特点逐个判断即可．【详解】解：A 、用因式分解法好，故本选项错误； B 、用直接开平方法好，故本选项错误；C 、变形后用直接开平方法好，故本选项错误；D 、用公式法好，故本选项正确．故选D ．【变式1-3】（2019·全国九年级课时练习）用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、2【答案】D【详解】∵3x 2+4=12x ， ∵3x 2-12x+4=0， ∵a=3，b=-12，c=4，∵x =，故选D.题型二：公式法解一元二次方程【例题2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级二模）解方程：()86x x +=-．【答案】14x =-24x =-【分析】将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：原方程可化为：2860x x ++=， ∵1,8,6a b c ===， ∵2841640∆=-⨯⨯=，∵4x ==-，∵14x =-24x =-【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级其他模拟）解方程：2x 2＝3x －1 【答案】x 1＝1，x 2＝12【分析】将二次方程整理为二次方程的一般式，根据二次方程根的判别式可知该方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算即可．【详解】解：原式整理为：2x 2－3x ＋1＝0 ∵∵＝b 2－4ac ＝10>， ∵方程有两个不相等的实数根，∵x =， 故1314x +＝或2314x -=得x 1＝1；x 2＝12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，可以根据根的判别式判断根的情况，熟知公式法解一元二次方程的方法是解题关键．【变式2-2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）解方程：()2121x x +=- 【答案】方程没有实数根【分析】首先去括号合并同类项，化为一般式，根据0<可知，方程没有实数根． 【详解】解：去括号化简得：2+20x ，224041280b ac =-=-⨯⨯=-<，∵方程没有实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学九年级月考）解方程．2820x x --= 【详解】（1）∵1a =，8b =-，2c =- ∵2(8)4(2)720∆=--⨯-=> ∵方程有两个不相等的实数根．∵4x ===±∵14x =+24x =-判别式与方程的根的关系题型三：判别式求根的个数【例题3】（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级一模）定义运算：21m n mn mn =-+☆．例如：232323217=⨯-⨯+=☆，则方程40x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根【答案】B【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：4∵x =4x 2-4x +1=0， ∵∵=16-4×4×1=0， ∵有两个相等的实数根， 故选：B ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 变式训练【变式3-1】（2021·河南二模）关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根【答案】C2 1.一元二次方程根的判别式（1）∵＞0∵方程有两个不相等的实数根； （2）∵＝0∵方程有两个相等的实数根； （3）∵＜0∵方程没有实数根．2. 根据一元二次方程方程根的情况可以确定△的取值范围.3. 通过配方法对△进行变形可以得到含参方程的解的情况特别说明：（1）一元二次方程根的情况与判别式∵的关系是可以双向互相推导的.（2）考查一元二次方程根的情况的时候，注意讨论参数的取值，要注意题目中是否是关于未知数的一元二次方程，因此一定不要忘记讨论二次项系数为0时的情况．【分析】先计算根的判别式得到∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，再利用非负数的性质得到∵≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，∵（p﹣2）2≥0，即∵≥0，∵方程有两个实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与∵＝b2﹣4ac有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．x x-=-的根的情况，正确的是（）【变式3-2】（2021·河南九年级二模）关于x的方程()53A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况．x x-=-，即x2-5x+3=0【详解】解：∵()53∵Δ=(-5)2−4×1×3=25-12=13>0，∵原方程有两个不相等的实数根；故选择：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式．【变式3-3】（2021·河南焦作市·九年级二模）已知关于x的一元二次方程2-+=，其中b，c在x bx c20数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】由数轴可知：0b >，0c <，然后计算根的判别式的值即可得出答案． 【详解】由数轴可知：0b >，0c <； ∵280b c ∆=->； ∵有两个不相等的实数根 故选：A【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题． 题型四：根据根的个数求参数的取值范围【例题4】（2021·南京二模）若一元二次方程20x x a -+=有实数根，则a 的取值范围是____________． 【答案】14a ≤【分析】根据判别式大于等于0即可求解． 【详解】解：一元二次方程20x x a -+=有实数根 ∵2(1)40a ∆=--≥，解得14a ≤ 故答案为14a ≤． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】1k ≤【分析】根据一元二次方程判别式的性质，列一元一次不等式并求解，即可得到答案． 【详解】∵关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根 ∵()2240k ∆=--≥ ∵1k ≤故答案为：1k ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．【变式4-2】（2021·济南期末）关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≤且0a ≠ D ．1a <且0a ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得440a -≥，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根， ∵24440b ac a ∆=-=-≥，且0a ≠， 解得：1a ≤且0a ≠； 故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【变式4-3】（2020·四川巴中市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+（2a ﹣3）x +a 2+1＝0有两个实数根，则a 的最大整数解是（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(23)10x a x a +-++=有两个实数根，∵()22(23)410a a ∆=--+≥，解得512a ≤， 则a 的最大整数值是0．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.题型五：根的判别式综合应用【例题5】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根．【答案】（1）关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0有实数根；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【分析】（1）求出判别式的值即可判断．（2）由无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，又m （x 2-4x+3）-2x+6=0，推出x 2-4x+3=0，且-2x+6=0即可解决问题．【详解】解：（1）对于关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0，∵∵＝[﹣（4m+2）]2﹣4m （3m+6）＝16m 2+16m+4﹣12m 2﹣24m ＝4m 2﹣8m+4＝4（m ﹣1）2≥0， ∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0有实数根． （2）∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵m （x 2﹣4x+3）﹣2x+6＝0， ∵x 2﹣4x+3＝0，且﹣2x+6＝0 解得x ＝3，∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 变式训练【变式5-1】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +-+-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k 值代入方程，并求出此时方程的解． 【答案】（1）详见解析；（2）120,1x x ==-【分析】（1）先求出∵的值，再根据∵的意义即可得到结论； （2）任意取一个k 值代入，然后根据一元二次方程的解法解答即可. 【详解】解：（1）2(1)4(k 2)k ∆=---269k k =-+ ()230k =-≥∵0∆≥，∵方程总有两个实数根. （2）当2k =∵20x x +=解得120,1x x ==-【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确理解公式是解答本题的关键. 【变式5-2】（2016·甘肃白银市·中考真题）已知关于x 的方程x 2+mx+m -2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）12；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∵=b 2﹣4ac ：当∵＞0，方程有两个不相等的实数根；当∵=0，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根． （1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0， 得：1+m+m ﹣2=0， 解得：m=12； （2）∵∵=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∵不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【变式5-3】（2015·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由） 【答案】（1）见解析；（2）P=0、2、－2. 【详解】解：（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0， ∵∵=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∵不论p 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵ ∵方程有整数解，为整数即可，∵p 可取0，2，﹣2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式∵的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．【真题1】（2011·广东深圳市·中考真题）如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．【答案】1【详解】本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值．解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根∵∵=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为1【真题2】（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．14k >- B ．14k < C ．14k >-且0k ≠ D ．14k <0k ≠ 【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“∵>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．【详解】解：由题可得：()()2021420k k k k ≠⎧⎪⎨⎡⎤---->⎪⎣⎦⎩, 解得：14k >-且0k ≠； 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．链接中考【真题3】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，则实数m 的取值范围是_________．【答案】2m ≤【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，∵()4410m ∆=--+≥，解得2m ≤，故答案为：2m ≤．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【真题3】（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（ ）A ．6B ．12C ．12或2D ．6或2 【答案】D【分析】根据题意，先将方程27120x x -+=的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程27120x x -+=得13x =，24x =当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为134=62⨯⨯；当4为斜边，3=13=22；则该直角三角形的面积是6或2， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．【真题5】（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，∵()()22121410k k ∆=+-⨯⨯≥-，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．【拓展1】（2021·东莞外国语学校九年级一模）已知：关于x 的方程2x (k 2)x 2k 0-++=，（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，两个边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）∵ABC 的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a 为底边和a 为腰两种情况，当a 为底边时，b=c ，可得方程的判别式∵=0，可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值；当a 为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式∵=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k -2)²≥0，∵无论k 取任何实数值，方程总有实数根．满分冲刺（2）当a=1为底边时，则b=c，∵∵=(k-2)²=0，解得：k=2，∵方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∵∵ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∵1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∵方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∵1、1、2不能构成三角形，综上所述：∵ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵=0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．。
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
人教版数学九年级上册(新)教案：21.2《公式法》
（2）平方差公式的适用范围：学生需要理解平方差公式仅适用于形如a²-b²的差平方形式，而不仅仅是数字，也可以是含有变量的表达式。
举例：解释为什么x²-y²可以因式分解为(x+y)(x-y)，而x²+y²则不能。
（3）立方和与立方差公式的复杂性：这些公式相对复杂，学生需要克服对立方项分解的恐惧，理解并掌握公式的结构。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法的基本概念。公式法是指利用已知的数学公式来简化代数表达式或解决方程问题。它是数学中非常重要的一环，可以帮助我们快速准确地解决各种数学问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，利用完全平方公式将x²+6x+9分解为(x+3)²。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
举例：如x²+6x+9的因式分解，应能迅速识别为(x+3)²。
（2）平方差公式的应用：关键是掌握a²-b²=(a+b)(a-b)公式的适用条件，能够解决形如x²-4、9x²-16等类型的因式分解问题。
举例：如x²-9的因式分解，应能迅速得到(x+3)(x-3)。
（3）立方和与立方差公式的理解：重点在于掌握a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)和a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)两个公式的推导和应用，能够处理相应的因式分解问题。
学生小组讨论的部分，我尝试让每个小组记录并分享他们的讨论成果，这样的方式既能促进学生之间的交流，也能让全班同学从中受益。但我也发现，部分学生在表达自己的观点时还不够自信，可能是因为他们对知识的掌握还不够扎实。因此，我计划在接下来的课程中，多给予学生表达的机会，鼓励他们大胆地说出自己的想法。
21.2降次解一元二次方程21.2.2公式法(教案)
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了降次解一元二次方程的公式法，包括一元二次方程的求根公式和判别式的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些概念的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《降次解一元二次方程》中的“公式法”。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（例如，两个物品的价格相加等于一定金额）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的解法。
其次，判别式Δ的概念对学生来说是一个挑战。在讲解时，我应该更加细致地解释判别式的意义，并通过更多的例子来展示判别式与方程解的关系。这样，学生就能更直观地理解判别式的作用，并在解决实际问题时能够灵活运用。
另外，实践活动中的分组讨论非常有效，学生们在讨论中积极思考，相互学习。但我也注意到，有些学生在讨论中较为被动，可能是因为他们对问题的理解不够深入。在以后的教学中，我需要更加关注这现，将实际问题引入到课堂中，能够激发学生的兴趣和好奇心。他们对于将数学知识应用到日常生活中表现出很高的热情。因此，我计划在未来的课程中，设计更多与生活实际相关的案例，让学生在学习数学的同时，也能感受到数学的实用价值。
21.2.2 一元二次方程的解——公式法(优秀经典公开课比赛课件)
不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为( )
A．m＞9 B．m＜9 C．m＝9 D．m＜－9
4
4
4
4
2．若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x－1＝0 有实
数根，则实数 k 的取值范围是( )
A．k＞－1 B．k＜1 且 k≠0
B．C ．k≥－1 且 k≠0 D．k＞－1 且 k≠0
1．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋b－1＝有
三、知识点归纳
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当__
___时，x＝－b± b2－4ac， 2a
这个式子叫做一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 的__
___．
1．式子__ ___叫做一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，常用Δ表示，
Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__
____，b2－4ac＝_____．
5．一元二次方程 x2－x－6＝0 中，b2－4ac＝_____，
可得 x1＝_____，x2＝_____．
7．用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－2＝0；
(2)8x2－8x＋1＝0；
(3)2x2－2x＝5.
五、课堂检测
1.关于 x 的一元二次方程 kx2－3x＋m＝0 有两个
21．2.2 一元二次方程的 解 ——公式法
一、预习检测 1.用配方法解下列方程：
⑴6x2－7x+1=0
⑵4x2－3x=52
2.配方法解一元二次方程的步骤：
二、探究案
阅读教材 9–12,结合教材完成下面问题 ： 如果一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）， 请你试用配方法的步骤求出它们的两根？
公式法解方程
解：∵a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)
=44>0 ∴ 方程有两个不相等的实数根。
x b b2 4ac 2a
(4) 44 2 11 21
x1 2 11, x2 2 11
∴ 方程有两个相等的实数根。
x1
x2
=36>0
=-4＜0
∴ 方程有两个不相等的实数根。
b b2 4ac x
2a
方程无实数根
(4) 36 4 6
25
10
x1
1,
x2
1 5
22x2 2 2x 1 0
解：∵a=2，b= ，c=1， ∴Δ =b²-4ac =（ ）²-4×2 ×1=0 ∴方程的两个相等的实数根
Δ= b2－4ac=12-4×1×(-12)
a=1，b=2，c=-3
=49>0
Δ= b2－4ac=22-4×1×(-3)
x b b2 4ac 2a
1 49 21
=16>0
b b2 4ac 2 16
x
2a
21
x1 3, x2 1
x1 4, x2 3
解：（1）
倍
速
课 时 学
x 1 25 1 5 ,
21
2
练
2 x2 3x 1 0
4 倍 速 课 时 学 练
3 3x2 6x 2 0
倍 速 课 时 学 练
4 4x2 6x 0
倍 速 课 时 学 练
5 x2 4x 8 4x 11
九年级数学上册 21.2解一元二次方程21.2.2公式法2_1-5
=
3 − 15 3
.
（2）4x2 − 6x = 0 解： a = 4 , b = − 6 , c = 0 .
b2 − 4ac = (−6)2 − 4 4 0 = 36.
− (−6)
x=
3ห้องสมุดไป่ตู้ = 6 6 ,
24
8
3
x1
=
0, x2
=
. 2
他病好下床后，没用真正的牛来酬谢众神，而用面团做成了一百头牛，放在祭坛上烧了，并念念有词地祷告说：“诸位神明，请接受我所许下的承诺吧。它梦见，身子长了整整半尺，自己在吞食梭鱼。 几个月过去了，一只猎鹰已能傲然飞翔，另一只却一直待在枝头纹丝不动。
2、求出b2-4ac的值， 注意：当 b2 − 4ac 0 时，方程无解。 −b b2 − 4ac
3、代入求根公式: x = 2a
4、写出方程的解： x1、x2
四、课堂练习
1.用公式法解下列方程： (1)3x2-6x-2=0 (2)4x2-6x=0 (3) x2+4x+8=4x=11 (4) x(2x-4) =5-8x
玛特迪夫
“真是的，到现在还没来收。 镜子又问：“你不再考虑一下了吗?”狗蛋再次摇了摇头。，猴子在它的果园里种了桃树，兔子在房前菜地里种上蔬菜，山猫则在屋后不远处挖了个鱼塘养鱼
例2 用公式法解下列方程:
(4) x2 +17 = 8x
−b b2 − 4ac x=
2a
解：方程可化为: x2 − 8x +17 = 0
a =1,b = −8,c =17
= b2 − 4ac = (−8)2 − 4117 = −40
∴方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2公式法1
解方程
3x2 1 x10 22
2x222x10
x2x60
x2 3x 1 0 4
3x26x20
4x2 6x0 x24x84x11
x(2x4)58x
12/10/2021
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2a
4 256 4 16 .
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56
x ;x 1
2
5 12/10/2021
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
跟踪练习 用公式法解下列方程： 1.2x2 +5x-3=0 2.(x-2)(3x-5)=0
3.4x2-3x+1=0
12/10/2021
例题1
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6.
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49.
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
2、求出b2-4ac的值。
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
12/10/2021
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
人教版九年级数学上册21.2.3《公式法》教案
人教版九年级数学上册21.2.3《公式法》教案一. 教材分析《人教版九年级数学上册》第21.2.3节《公式法》是二次函数相关知识的重要部分。
本节内容主要介绍公式法在解二次方程中的应用，通过公式法的学习，使学生能够更好地理解和掌握二次方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次方程的基本概念和解法，对二次方程的解法有一定的了解。
但部分学生对于公式法的理解还不够深入，对于如何将实际问题转化为二次方程，并运用公式法求解还有一定的困难。
三. 教学目标1.使学生理解和掌握公式法在解二次方程中的应用。
2.培养学生将实际问题转化为二次方程，并运用公式法求解的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.重点：公式法在解二次方程中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次方程，并运用公式法求解。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作探讨的方式，理解和掌握公式法在解二次方程中的应用。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学视频或案例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何解决这个问题，从而引出公式法在解二次方程中的应用。
2.呈现（10分钟）讲解公式法的基本原理，并通过PPT课件展示公式法的步骤和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用公式法解二次方程。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）总结学生在练习中遇到的问题，再次强调公式法的步骤和注意事项。
5.拓展（5分钟）让学生思考如何将实际问题转化为二次方程，并运用公式法求解。
可以邀请学生分享自己的思路和经验。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调公式法在解二次方程中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，巩固本节课所学知识。
8.板书（5分钟）公式法解二次方程的步骤和注意事项。
教学过程每个环节所用的时间：导入5分钟，呈现10分钟，操练10分钟，巩固5分钟，拓展5分钟，小结5分钟，家庭作业5分钟，板书5分钟。
21.2解一元二次方程(公式法)
§21.2解一元二次方程（公式法）一、教学目标（一）知识与技能了解一元二次方程求根公式的推导；会利用公式法解一元二次方程。
（二）过程与方法通过一元二次方程求根公式的推导使学生会利用公式法解一元二次方程。
（三）情感态度与价值观通过配方法解一元二次方程的过程，进一步加强推理技能训练，同时发展学生的逻辑思维能力；向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。
二、教学重点、难点、关键点1、教学重点：一元二次方程的求根公式的推导过程2、教学难点：灵活地运用公式法解一元二次方程3、教学关键点：（1）掌握配方法的基本步骤（2）确定求根公式中 a 、 b 、 c 的值三、 学法引导1、教学方法：指导探究发现法2、学生学法：质疑探究发现法四、教法设计质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用五、 教学流程（一） 创设情境，导入新课： 前面我们学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。
教师；下面我们先用配方法解下列一元二次方程学生；（每组一题，每组派一名同学板演）1．2x 2-4x-1=0 2. x 2+1.5=-3x3．02122=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0 完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。
学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解。
教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生：独立思考（二）新知探索 教师：作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。
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2 用配方法解方程： 4x
6x 3 0
解:移项，得： 二次项系数化为1，得 配方，得：
∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
3.若一元二次方程 无实数根，则一次函数 的图像不经过 （ D ） A 第四象限 C 第二象限
B 第三象限 D 第一象限
mx 22m 1x 4m 1 0
2
4、m为何值时，关于x的一元二次方程
（1）方程有两个相等的实数根 （2）方程有两个不相等的实数根 （3）方程无实数根 （4）方程有两个实数根
3 x 4x 8 4x 11 (4) x2 x 4 5 8x
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
一元二次方程的根的情况
ax bx c 0 （a 0）
2
（ 1） 当
2
时，有两个不等的实数根。
2
b b 4ac b b 4ac x1 , x2 ; 2a 2a （2）当 时，有两个相等的实数根。 b x1 x 2 ; 2a （3）当 时，没有实数根。
一元二次方程的解的三种情况： •当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； •当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； •当b2-4ac<0时，方程没有实数根；
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x 2 x m 0 有两个实根，则m的取值范围是—— .
2
解：b2 4ac (2) 2 4 1 m 4 4m 0 ∴
2、求出 b 2 4ac 的值，
2 b 4ac 0 时，方程无解。 注意：当 b b2 4ac 3、代入求根公式: x 2a
x2 4、写出方程的解： x1、
师生互动 巩固新知
2
用公式法解下列方程：
1 3x 6x 2 0 2 2 4x 6x 0
2
b c 方程两边都除以 a ，得 x x a a
配方，得 即
b c b b x x a a 2a 2a
2 2 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
满足什 么条件 时可直 接开方？
用配方法解一般形式的一元二次方程
2
例1. 用公式法解下列方程: (3)
b b 2 4ac x 2a
5 x 3x x 1
2
例1. 用公式法解下列方程: (4)
b b 2 4ac x 2a
x 2 17 8 x
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
ax bx c 0 (a 0)
2
∵a 0,4a 0 当
2
b 4ac 0
2
即
b b2 4ac x 2a 2a
2
特别提醒 一元二次方程 的求根公式
b b 4ac x 2a
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 时，方程有实 数根吗
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别 式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac
b b 2 4ac x 2a
例1. 用公式法解下列方程： （１）x2 - 4x -7=0
b b 4ac x 2a 例1. 用公式法解下列方程：
2
(2)
2x 2 2x 1 0
3 2 21 (x ) 4 16
温 故 知 新
由此得:
3 21 x 4 4
3 21 x1 , 4 43 21 Fra bibliotek2 4 4
请问：一元二次方程的一般形式是什么？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0 (a 0)
2
解:
移项，得
ax2 bx c
m 1
注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两 个不等的实根，则k的取值范围是 （ B ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
2 2 b 4 ac ( 2 ) 4k (1) 4 4k ＞0 解:∵
5、已知关于X的方程 x 2 2mx 2m 4 0 ，求证： 不论m为何值时，这个方程总有两个不相等 的实数根