有限元基础理论教程_lecture03

2.1.1基本变量
弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位 移、应变。 体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性 力。 面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、 流体压力。 位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移， 用Fra Baidu bibliotek移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示， 沿坐标轴正方向为正。
应力(Stress) : 物体受到约束和外力作用，其内 部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。

e
0,
2

3
0
1
物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 应变可以理解为相对变形，无量纲。
由变形所产生的线段的单位长度的伸缩，称为正 应变，用ε表示，以伸长为正。 L

L
两个垂直线段之间的直角改变，用弧度表示，称 为剪应变，用γ表示，以角度变小为正。
为定义物体内任意一点P的变形，在P点沿坐标轴方 向取三个微小线段PA、PB、PC。 与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以 用六个应变分量表示。
弹性力学的基本假定
• 完全弹性(Elasticity)：物体在受到外载荷作用 下产生变形，当外载荷被移去后，物体变形完 全恢复的性质。 • 连续：物体所占的空间被介质充满，不考虑材 料缺陷，在物体内的物理量是连续的。 • 均匀 • 各向同性 • 小位移和小变形：物体所有点的位移远远小于 物体的几何尺寸。
在z方向上应力σz保持自平衡。
2.1.3平衡方程
在物体中取出一个单位厚度的微小单元体建立力 的平衡关系。单元体的楞边与坐标轴平行， x方向尺寸dx，y方向尺寸dy，z方向为单位长度。
平衡方程代表了力的平衡关系，建立了 应力分量和体力分量之间的关系。
( x x x
y y
dx)dy 1 x dy 1 ( yx
2 弹性力学平面问题的有限单元法
2.1弹性力学平面问题简介 2.2单元位移函数 2.3单元载荷移置 2.4单元刚度矩阵 2.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 2.6整体分析 2.7约束条件的处理 2.8整体刚度矩阵的特点与存储方法 2.9方程组解法
2.1弹性力学平面问题简介
• 弹性力学研究物体在约束和外载荷作用下，在 弹性阶段的内力和变形分布规律。 • 弹性力学：研究对象是复杂形状弹性体，不需 要关于变形状态的假定。 • 材料力学：研究对象是长度远远大于高度和宽 度的构件，梁弯曲的平面假定。
应力莫尔圆 一点的应力大小或应力强度应该如何表示？ 显然不能用应力分量来表示，也不能用主应力表示。 用等效应力(Equivalent stress)表示物体内某个点的应 力大小。等效应力定义为，

e

1 2
( 1 2 ) (
2
2
3 ) (
2
3
1)
2
单向拉应力状态： 1
剪应力互等
xy yx , yz zy , zx xz
物体内任意一点的应力状态可以用平行六面体 上的六个独立应力分量来表示：
x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx
应力分量的下标约定如下： 第一个下标表示应力的作用面的法线方向， 第二个下标表示应力的作用方向。
以柱体的任一横截面为XY平面，任一纵线为Z轴。 假定该柱体为无限长，则任一截面都可以看作对 称面。由对称性可得，
zx xz 0
w0
zy yz 0
z 0
未知的应力分量如下：
x ( x, y ), y ( x, y ), xy ( x, y ) yx ( x, y )
X 0 Y 0
2.1.4几何方程
物体的变形可以用位移来表示，几何方程表 示位移和变形之间的关系。
PB dy
，
PA dx
P点的位移为， u, v A点位移为，
uA u u x dx
vA v
v x
dx
B点位移为，
uB u u y dy v B v
x
u x 0
y
v y
0
xy
df ( y ) dy
u y


v x
0
u f ( y)
v g (x)
dg ( x ) dx
0
df ( y ) dy

g (x) dx
c
其中c为常数
u u0 cy v v0 cx
分别积分可得，
以上形式的位移函数对应怎样的物体移动方式？
yx y
dy )dx 1 yx dx 1 Xdxdy 1 0
( y
dy )dx 1 y dx 1 ( xy
xy x
dx)dy 1 xy dy 1 Ydxdy 1 0
x x y y

yx y xy x
v y
dy
根据小变形假定和应变的定义， 由位移计算出应变。
P A PA PA u u x dx u
几何方程为，
x
u x
x
dx
y
P B PB PB
v
v
v
v y
dy v
y
v y
u y v x
dy
dx v u u y dy u
xy
xy
x dx
dy
刚体位移
由位移u=0，v=0可以得到应变分量为零， 反过来，应变分量为零则位移分量不一 定为零。应变分量为零时的位移称为刚 体位移。
x 0 y 0 xy 0
u0 v0 u ? v?
刚体位移（续）
由三个应变分量均为零可得，
Q A S
A 0
lim
应力S在其作用截面 上的法向分量为正 应力σ ，
切向分量称为剪应 力，用τ 表示。
通过P点的平面可以任意选取，那么如何描述一 点处的应力状态？

N A

N sin A

N cos A
为分析点p的应力状态，在p点取出的一个平行六 面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。用六面体 表面的应力分量来表示p点的应力状态。
平面应力问题
设有很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板 面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面 且不沿厚度变化。
设板的厚度为t，在板的上下面上的边界条件：
z z t
2
0
zx z t
2
0

zy
z
t 2
0
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块 板上应力分量不沿厚度变化，
z 0
zx xz 0
zy yz 0
未知的应力分量如下：
x ( x, y ), y ( x, y ), xy ( x, y ) yx ( x, y )
平面应变问题
设有很长的柱形体，支承情况不沿长度变化， 在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化 的面力，体力也如此分布。挡土墙就很接近平 面应变问题。
应力分量的方向定义如下： 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这 个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正； 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这 个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。 用六个应力分量可以表示经过P点的任意斜面上 的应力。
物体内一点的应力分量数值与 坐标系方向的定义相关，但是 该点的三个主应力值不变。
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
x
y
线段PA的正应变 线段PB的正应变 线段PC的正应变
z

xy
线段PA、PB夹角的改变
线段PB、PC夹角的改变 线段PC、PA夹角的改变
yz

zx
2.1.2平面应力和平面应变问题
弹性体在满足一定条件时，其变形和应 力的分布规律可以用在某一平面内的变 形和应力的分布规律来代替，这类问题 称为平面问题。 弹性力学中的平面问题分为平面应力问 题和平面应变问题两类。