高中数学北师大版必修3估计总体的分布估计总体的数字特征课时作业Word版含答案
高中数学北师大版必修3估计总体的分布课时提升作业Word版含答案
估计总体的分布一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·马鞍山高一检测)在100个人中,有40个学生,21个干部,29个工人,10个农民,则0.29是工人的( )A.频数B.频率C.累计频率D.累计频数【解析】选B.0.29=,表示频率.2.(2014·郑州高一检测)200辆汽车通过某一段公路时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50,70)的汽车大约有( )A.60辆B.80辆C.70辆D.140辆【解析】选D.时速在[50,70)的频率为(0.03+0.04)×10=0.7,则200辆汽车中时速在[50,70)的汽车大约有0.7×200=140(辆).3.(2014·天津高一检测)观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在[2700,3000)内的频率为( )A.0.001B.0.1C.0.03D.0.3【解析】选D.由图可知当新生婴儿体重在[2700,3000)内时,=0.001,而组距为300,所以频率为0.001×300=0.3.故选D.【误区警示】解答此类题目时,常常把矩形的高误认为频率导致解答错误.【变式训练】有一个容量为20的样本数据,分组后各组频数如下:[10,20) 2, [20,30) 3, [30,40) 4,[40,50) 5, [50,60) 4, [60,70) 2.则样本在区间[10,50)上的频率为( )A.5%B.25%C.50%D.70%【解析】选D.在区间[10,50)上的频率为×100%=70%.4.(2014·潍坊高一检测)在样本频率分布直方图中共有11个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于所有各小矩形面积和的,样本容量是160,则中间一组的频数是( )A.0.2B.0.25C.32D.40【解析】选D.因为所有小矩形的面积和为1,所以中间这个小矩形的面积是=0.25,即这一组样本数据的频率是0.25,所以这组的频数是160×0.25=40.二、填空题(每小题5分,共10分)5.一个容量为n的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为50和0.25,则n=__________.【解析】n==200.答案:2006.(2014·大连高一检测)对一批数据进行整理,得到频率分布直方图后,已知某个小长方形的面积与其他各小长方形的面积之和相等,那么对应于这个小长方形的小组的频率是__________.【解析】小长方形的面积即为对应小组的频率,且频率之和为1,所以该小长方形所对应的小组的频率是.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.调查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下: 171 163 163 166 166 168 168 160 168165 171 169 167 169 151 168 170 168160 174 165 168 174 159 167 156 157164 169 180 176 157 162 161 158 164163 163 167 161(1)作出频率分布表.(2)画出频率分布直方图.【解析】(1)最低身高151cm,最高身高180cm,它们的差是180-151=29(cm),即极差为29cm;确定组距为3,组数为10,列表如下:(2)频率分布直方图如图所示.8.(2013·济源高一检测)2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2. 5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:(1)试确定x,y的值,并写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程).(2)完成相应的频率分布直方图.(3)求出样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.【解析】(1)x=4,y=0.3,众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米.(2)其频率分布直方图如图所示:(3)样本的平均数为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5.因为40.5>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2014·淮北高一检测)抽查某产品的尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b]是其中一组,抽查出的个体数在该组上的频率为m,该组上的直方图的高为h,则|a-b|等于( )A.hmB.C. D.与m,h无关【解析】选C.因为|a-b|·h=m,所以|a-b|=.2.(2013·陕西高考)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45【解题指南】根据频率分布直方图中纵轴的意义,计算样本数据落在区间[15,20)和区间[25,30)上的频率,用频率代替概率得二等品的概率.【解析】选D.组距为5,二等品的概率为1-(0.02+0.06+0.03)×5=0.45.所以,从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为0.45.【举一反三】在本题中,若二等品有90件,那么一等品有多少件?【解析】产品总数为90÷0.45=200件.200×0.06×5=60件.3.(2014·山东高考)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )A.1B.8C.12D.18【解题指南】本题考查了频率分布直方图,先利用已知数据估计总体数据,然后再根据比例计算第三组中有效的人数.【解析】选 C.由图知,样本总数为N==50.设第三组中有疗效的人数为x,则=0.36,解得x=12.【拓展延伸】巧用比例求频率在频率分布直方图中,有时所求的区间不恰好是组的端点值,这时可以根据同底小矩形的面积(即频率)与它们的高成比例,来求需要的频率.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2013·湖北高考改编)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量的度数在[50，350],频率分布直方图如图所示.。
高中数学北师大版必修3教学案第一章 §5 5.1 - 5.2 估计总体的分布 估计总体的数字特征 Word版含解析
．估计总体的分布估计总体的数字特征预习课本～，思考并完成以下问题()频率分布直方图纵轴的含义是什么？()频率分布直方图的制作步骤是什么？()如何画频率分布折线图？．频率分布直方图在频率分布直方图中，每个小矩形的宽度为Δ(分组的宽高为，度)小矩形的面积恰为相应的图中所有小矩形的面积之和等于.，，频率．作频率分布直方图的步骤()求极差．即一组数中最大值和最小值的差．()决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．()将数据分组．()列频率分布表，各小组的频率＝.()画频率分布直方图．[点睛]()一般地，样本容量越大，所分组数越多，为方便起见，组距的选择力求“取整”，当样本容量不超过时，按照数据的多少，通常分成～组．()画频率分布直方图时，同一组数据，分组时组距要相等，每个矩形的高与频率成正比，这点应特别注意．．频率分布折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间，从所加的左边，用线段依次连接各个矩形的区间的顶端中点中点开始，，就可直至右边所加区间的中点以得到一条折线，我们称之为频率折线图．，所划分的区间数也可以随之随着样本量的增大，增多而每个区间的长度则会相应随之减小相应的频率折线图就会越接近于一条光滑曲线．，．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数．( )()频率分布直方图的面积为样本的频数．( ) ()频率分布直方图中各小矩形的高(平行于纵轴的边)表示频率与组距的比．( )()从频率分布直方图中可以清楚地看出数据的内容．( )答案：()×()×()√()×．一个容量为的样本最大值是，最小值是，组距为，则可以分成( )．组．组．组．组解析：选组数＝极差组距，本题中的极差＝－＝，所以组数为≈.．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[，)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为，该组上的直方图的高为，则－＝( )．．＋解析：选＝，故－＝组距＝＝.．一个容量为的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为和，则＝.解析：由题意得＝，所以＝.答案：[] 为了了解某片经济林的生长情况，随机测量其中的棵树的底部周长，得到如下数据(单位：)：()列出频率分布表；。
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解析：分数大于或等于80的频率为1－0.05－0.15－0.35＝0.45，故优秀的调查报告有0.45×60＝27.
答案：D
6．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，求时速在[60,70)的汽车大约有__________辆．
解析：时速在[60,70)的汽车的频率为0.04×10＝0.4，故共有200×0.4＝80辆．
8．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，右图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是__________．
A．0.001 B．0.1
C．0.03 D．0.3
解析：由图可知当新生婴儿体重在[2 700,3 000)内时，＝0.001，而组距为300，所以频率为0.001×300＝0.3，故选D.
答案：D
2．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为()
A.B.
C.D.
解析：该组的频率为＝.
答案：A
4．将容量为n的样本中的数据分为6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n＝__________.
解析：由题意得·n＝27，即n＝27，∴n＝60.
答案：60
5．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图；由图中数据求身高在[120,130)内的学生人数．
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课时作业08估计总体的数字特征
(限时：10分钟)
1．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为22
答案：(1)0.32(2)36(3)0.08
(限时：30分钟)
．若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋，…，2＋x n，下列结论正确的是()
若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估
计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计设甲校高三年级学生总人数为n . 由题意知30n
＝0.05，解得n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数
学成绩的及格率为1－530＝56
. 设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1，x ′2.。
高中数学北师大版必修三估计总体的数字特征课后巩固·提能Word版含答案
⾼中数学北师⼤版必修三估计总体的数字特征课后巩固·提能Word版含答案温馨提⽰：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动⿏标滚轴，调节合适的观看⽐例，答案解析附后。
课后巩固·提能⼀、选择题1.(2012·济宁⾼⼀检测)甲、⼄两名学⽣的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所⽰.①甲同学成绩的中位数⼤于⼄同学成绩的中位数；②甲同学的平均分⽐⼄同学的平均分⾼；③甲同学的平均分⽐⼄同学的平均分低；④甲同学成绩的⽅差⼩于⼄同学成绩的⽅差.上⾯说法正确的是( )(A)③④(B)①②④(C)②④(D)①③④2.在⼀次考试中，从⾼⼀某班50⼈中随机抽取的10个同学的数学成绩如下：68,89,80,87,80,86,91,85,66,78，则全班同学的数学考试成绩平均分估计为( )(A)76 (B)79 (C)81 (D)833.甲、⼄两位同学在⼏次数学测验中，各⾃的平均成绩都是88分，甲的⽅差为0.61，⼄的⽅差为0.72，则( )(A)甲成绩⽐⼄成绩稳定(B)⼄成绩⽐甲成绩稳定(C)甲、⼄成绩⼀样(D)甲、⼄成绩⽆法⽐较4.⼀组数据的⽅差为s2，将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的⽅差是( )(A)13s2(B)2s2(C)19s2(D)4s25.⼀组数据每⼀个数都减去80,得⼀组新数据,若求得新数据的平均数为1.6,⽅差为4.4,则原来数据的平均数和⽅差分别为( )(A)81.6,4.4 (B)78.4,4.4(C)81.6,84.4 (D)78.4,75.6⼆、填空题6.某教师出了⼀份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学⽣所占的⽐例分别为30%、50%、10%和10%.(1)若全班共10⼈，则平均分为___________.(2)若全班⼈数不确定，则平均分为___________.7.(2012·⼴东⾼考)由正整数组成的⼀组数据x1,x2,x3,x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为____________________(从⼩到⼤排列).三、解答题8.某校从⾼⼀年级学⽣中随机抽取60名学⽣,将其期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：40～50,50～60,…,90～100后得到如下频率分布直⽅图.(1)求分数在70～80内的频率；(2)根据频率分布直⽅图,估计该校⾼⼀年级学⽣期中考试数学成绩的平均分.9.(2012·⼴东⾼考改编)某校100名学⽣期中考试语⽂成绩的频率分布直⽅图如图所⽰，其中成绩分组区间是：50～60，60～70，70～80，80～90，90～100.(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直⽅图，估计这100名学⽣语⽂成绩的平均分；(3)若这100名学⽣语⽂成绩某些分数段的⼈数(x)与数学成绩相应分数段的⼈数(y)之⽐如下表所⽰，求数学成绩在50～90之外的⼈数答案解析1.【解析】选A.由于甲的中位数是81，⼄的中位数是87.5，可知①错误；对于②，727680828690x 6+++++=甲 =81. 697887889296x 6+++++=⼄=85.可知②错误，进⽽可知答案.2.【解析】选C.可以⽤这10个同学的成绩估计全班同学的数学成绩，样本平均数为68898087808691856678x 10+++++++++==81，所以选C.3.【解析】选A.在甲、⼄平均成绩相同的前提下，甲的⽅差⽐⼄的⽅差⼩，说明甲的成绩⽐⼄的成绩稳定.4.【解析】选C.设原数据为x 1，x 2，…,x n ，其平均数为x ,新数据为13x 1, 13x 2，…，13x n ，其平均数为13x ，⽅差为2222212n1111111s [(x x)(x x)(x x)]n 333333=-+-+?+- ()()()222212n 11[x x x x x x ]s .9n 9=-+-+?+-= 【误区警⽰】由于对概念认识不清，有的同学误以为只要把原数据的⽅差也除以3就可得到新数据的⽅差为13 s 2.事实上：样本中各数据与样本平均数的差的平⽅的平均数才叫做⽅差.5.【解析】选A.设原数据为x 1,x 2,…,x n ,则()()()12n x 80x 80x 80x 1.6,n-+-+?+-==所以原数据的平均数为1.6+80＝81.6,⽅差()()()22212n 2x 801.6x 801.6x 801.6s n--+--+?+--= ()()()22212n x 81.6x 81.6x 81.6 4.4n-+-+?+-==，所以原数据的⽅差为4.4.6.【解析】(1)若全班共10⼈，得3分、2分、1分、0分的⼈数分别为3,5,1,1，故平均分为3325111010+++=2.(2)若全班⼈数不确定，则平均分为3×30%+2×50%+1×10%+0×10%=2.答案：(1)2 (2)27.【解析】不妨设x1≤x2≤x3≤x4,x1,x2,x3,x4∈N*，依题意得x1+x2+x3+x4=8,即(x1-2)2+(x2-2)2+(x3-2)2+(x4-2)2=4,所以x4≤3.⼜平均数是2，则只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1,1,3,3.答案：1,1,3,38.【解析】(1)分数在70～80内的频率为1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3.(2)平均分为x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.【举⼀反三】⾼⼀年级共有900⼈,若80分以上为优秀,则⾼⼀年级期中考试有多少学⽣获得优秀？【解析】由图可知80分以上的频率为0.3,则⾼⼀年级期中考试获得优秀的学⽣约为900×0.3=270(⼈).9.【解题指南】 (1)本题根据每个区间上的矩形的⾯积和为1，可建⽴关于a的⽅程，解出a的值.(2)由频率分布直⽅图求平均分：每个区间的中点值乘以区间上矩形⾯积之和.(3)本题关键是先把语⽂成绩在分数段50～60，60～70，70～80，80～90的⼈数求出来.根据每段的频率求出每段的频数.【解析】(1)由频率分布直⽅图知(0.04+0.03+0.02+2a)×10=1,∴a=0.005. (2)55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73.所以平均分为73分. (3)分别求出语⽂成绩在分数段50～60，60～70，70～80，80～90的⼈数依次为0.05×100=5,0.4×100=40,0.3×100=30,0.2×100=20.所以数学成绩在分数段50～60，60～70，70～80，80～90的⼈数依次为5,20,40,25.所以在50～90之外的⼈数有100-(5+20+40+25)=10(⼈). 【规律⽅法】不变的“平均数”在解题时常遇到这样⼀类题：在样本数据中再加上⼀个数据，加上的这个数据是原数据的平均数，再求其平均数.这时平均数是不变的.分析如下：设原n 个数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数为x ，则12nx x x x n++?+=，∴x 1+x 2+…+x n =n x ，则x 1,x 2,x 3,…,x n ，x 的平均数为12n x x x x nx xx n 1n 1++?+++==++.。
2020-2021学年北师大版数学必修三课时素养评价 1.5.1 估计总体的分布 Word版含解析
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课时素养评价六估计总体的分布(20分钟·35分)1.已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20,那么这组数据落在[8.5,11.5)内的频率为( ) A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2【解析】选B.样本的总数为20,数据落在[8.5,11.5)内的个数为8,故所求频率为=0.4.2.一个容量为80的样本最大值是140,最小值是51,组距为10,则可以分成( )A.10组B.9组C.8组D.7组【解析】选B.组数=极差/组距,本题中的极差=140-51=89,所以组数为8.9≈9.3.观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在[2 700,3 000)内的频率为( )A.0.001B.0.1C.0.03D.0.3【解析】选D.由图可知当新生婴儿体重在[2 700,3 000)内时,=0.001,而组距为300,所以频率为0.001×300=0.3.【误区警示】解答此类题目时,常常把矩形的高误认为频率导致解答错误.4.下列说法中错误的是( )①用样本的频率分布估计总体频率分布时,样本容量越大,所分的组数越多,估计越精确;②一个容量为n的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别是40,0.125,则n的值为240;③频率分布直方图中,小矩形的高等于该组的频率;④将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来,就可以得到频率折线图.A.①③B.②③C.②③④D.①②③④【解析】选C.大样本往往更接近于总体,所以①正确;②中n=40÷0.125=320,所以②错误;③中频率分布直方图中,小矩形的高等于该小组的,所以③错误;④中应将频率分布直方图中各小矩形上端的中点顺次连接起来得到频率折线图,所以④错误.5.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为________.【解析】志愿者的总人数为=50,所以第三组人数为50×0.36×1=18,所以有疗效的人数为18-6=12.答案:126.某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.组号分组频数频率第1组[160,165) 5 0.050第2组[165,170) ①0.350第3组[170,175) 30 ②第4组[175,180) 20 0.200第5组[180,185] 10 0.100合计100 1.000(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据,再作出频率分布直方图.(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试.【解题指南】由频率分布表的性质特点易知第2组的频数和第3组的频率,再根据分层抽样的方法计算出各组应抽取的人数.【解析】(1)由题意可知,第2组的频数为0.350×100=35,第3组的频率为=0.300,频率分布直方图如下:(2)因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,第3组:×6=3(名),第4组:×6=2(名),第5组:×6=1(名),所以第3,4,5组分别抽取3名,2名,1名.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数为( )A.4B.8C.12D.16【解析】选B.设该组样本频数为n,则=0.25,所以n=32×=8.2.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的,且样本容量为200,则中间一组的频数为( )A.0.2B.0.25C.40D.50【解析】选D.设中间一组的频率为x,则其他8组的频率为1-x,由题意知x=,得x=,所以中间一组的频数为×200=50.3.某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是( )【解析】选A.组距为5,故排除C、D,由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等,故频率、也分别相等,比较四个选项知A正确.4.对某种电子元件使用寿命跟踪调查得到如图所示的样本频率分布直方图,由图可知一批电子元件中寿命在100～300小时的电子元件的数量与寿命在300～600小时的电子元件的数量比是( )A. B. C. D.【解析】选C.因为“频率之比=数量之比”,所以所求为∶=1∶4.5.某地区对当地3 000户家庭的2018年所得年收入情况进行调查统计,年收入的频率分布直方图如图所示,数据(单位:千元)的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则年收入不超过6万的家庭大约为( )A.900户B.600户C.300户D.150户【解析】选A.由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为(0.005+0.010)×20=0.3.可得年收入不超过6万的家庭大约为3 000×0.3=900户.二、填空题(每小题5分,共15分)6.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量的度数在[50,350],频率分布直方图如图所示.(1)直方图中x的值为________.(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250]内的户数为________. 【解题指南】各小矩形的面积即每小组的频率,面积和为1,矩形的高是频率比组距.【解析】(1)50x=1-50×(0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+0.0060)=0.22,x=0.004 4.(2)100×(0.18+0.3+0.22)=70.答案:(1)0.004 4(2)707.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况,随机抽取了500户居民去年的用电量(单位:kW·h),将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图.直方图中从左到右前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3,该乡镇月均用电量在37～39(kW·h)的居民共有________户.【解析】设频率分布直方图中从左到右前3个小矩形的面积分别为P,2P,3P.由频率分布直方图可知,最后两个小矩形的面积之和为(0.087 5+0.037 5)×2=0.25.因为频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1,所以P+2P+3P=0.75,即P=0.125.则2P=0.25,那么可知月均用电量在37～39(kW·h)的居民共有0.25×500=125(户).答案:1258.为了了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为________.【解析】由题意和直方图知,第一小组和第二小组的人数为:(0.5+1.1)×0.1×100=16(人),第三小组的人数为:100-16-62=22(人),则第四小组的人数为:a-22(人),所以=0.32,解得a=54.答案:54三、解答题(每小题10分,共20分)9.抽查100袋洗衣粉,测得它们的质量如下(单位:g):494 498 493 505 496 492 485 483508 511 495 494 483 485 511 493505 488 501 491 493 509 509 512484 509 510 495 497 498 504 498483 510 503 497 502 511 497 500493 509 510 493 491 497 515 503515 518 510 514 509 499 493 499509 492 505 489 494 501 509 498502 500 508 491 509 509 499 495493 509 496 509 505 499 486 491492 496 499 508 485 498 496 495496 505 499 505 496 501 510 496487 511 501 496(1)列出样本的频率分布表;(2)画出频率分布直方图,频率折线图;(3)估计质量不足500 g的频率.【解析】(1)在样本数据中,最大值是518,最小值是483,它们相差35,若取组距为4,由于=8,要分9组,组数合适,于是决定取组距为4,分9组,使分点比数据多一位小数,且把第一组起点稍微减小一点,得分组如下:[482.5,486.5),[486.5,490.5),…,[514.5,518.5).列出频率分布表:分组频数频率[482.5,486.5) 8 0.08[486.5,490.5) 3 0.03[490.5,494.5) 17 0.17[494.5,498.5) 21 0.21[498.5,502.5) 14 0.14[502.5,506.5) 9 0.09[506.5,510.5) 19 0.19[510.5,514.5) 6 0.06[514.5,518.5) 3 0.03合计100 1.00(2)频率分布直方图与频率折线图如图.(3)设质量不足500 g的频率为b,根据频率分布表得,≈,故b≈0.54.因此质量不足500 g的频率约为0.54.10.为提高全省高中教师的新课程实施能力,全面推进素质教育,山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训.培训结束后,某市为了解参训教师的成绩情况,从本市参加培训的5 000名教师中随机抽取了100名,对他们的成绩(单位:分)进行统计分析,并画出了成绩的频率分布直方图如下.根据频率分布直方图,完成下面问题:(1)这100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组?请说明理由;(2)如果成绩在300分以上(含300分)者为优秀学员,估计该市优秀学员的人数.【解析】(1)100个数据的中位数是第50和第51两个数据的平均数,前两个小组的频率和为0.002×100×2=0.4,其频数为0.4×100=40<50,故中位数不在前两个小组;前三个小组的频率之和为(0.002+0.002+0.004)×100=0.8,频数之和为0.8×100=80>50,故中位数应在第三小组.(2)由频率分布直方图可知,优秀学员的频率为(0.001+0.001)×100=0.2,所以估计该市优秀学员的人数为5 000×0.2=1 000(人).关闭Word文档返回原板块。
2021学年高中数学第一章统计1.5.1估计总体的分布课时作业含解析北师大版必修3.doc
课时作业6 估计总体的分布时间：45分钟 满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．从一堆苹果中任取10个，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( C ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.5解析：依题意，样本数据落在[114.5,124.5)内的频数为4，故对应频率为4÷10＝0.4. 2．在样本频率分布直方图中，某个小矩形的面积是其他小矩形面积之和的14，已知样本容量是80，则该组的频数为( B )A ．20B ．16C ．30D ．35解析：本题考查样本的频率分布直方图，设该组的频数为x ，则其他组的频数之和为4x ，由样本容量是80，得x ＋4x ＝80，解得x ＝16，即该组的频数为16.3．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高为h ，则|a －b |等于( B )A ．hm B.mh C.h mD ．h ＋m解析：频率组距＝h ，故|a －b |＝组距＝频率h ＝m h .4．200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50,70)的汽车大约有( D )A．60辆B．80辆C．70辆D．140辆解析：时速在[50,70)的频率为(0.03＋0.04)×10＝0.7，则200辆汽车中时速在[50,70)的汽车大约有0.7×200＝140(辆)．5．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(B)A．588B．480C．450D．420解析：本题考查频率分布直方图的应用．成绩不少于60分的学生人数为600×(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)×10＝480.6．样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[6,10)内的频数为a，样本数据落在[2,10)内的频率为b，则a，b分别是(A)A．32,0.4 B．8,0.1C．32,0.1 D．8,0.4解析：由于样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，则a＝100×0.32＝32；由于样本数据落在[2,6)内的频率为0.02×4＝0.08；则样本数据落在[2,10)内的频率b＝0.08＋0.32＝0.4.7．下列说法中错误的是(C)①用样本的频率分布估计总体频率分布时，样本容量越大，所分的组数越多，估计越精确；②一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别是40,0.125，则n的值为240；③频率分布直方图中，小矩形的高等于该组的频率；④将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来，就可以得到频率折线图．A．①③B．③④C．②③④D．①②③④解析：大样本往往更接近于总体，所以①正确；②中n＝40÷0.125＝320；③中频率分布直方图中，小矩形的高等于该小组的频率/组距；④中应将频率分布直方图中各小矩形上端的中点顺次连接起来得到频率折线图．8．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数为(B)A．46 B．48C．50 D．60解析：前3个小组的频率和为1－0.037 5×5－0.012 5×5＝0.75.又因为前3个小组的频率之比为123，所以第2小组的频率为26×0.75＝0.25.又知第2小组的频数为12，则120.25＝48，即为所抽样本的人数．二、填空题(每小题5分，共15分)9．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2346 41，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60.解析：设第一组至第六组的样本数据的频数为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＝27，。
数学北师大必修三同步训练：估计总体的数字特征附答案 含解析
5.2估计总体的数字特征1．可以描述总体稳定性的统计量是()A．样本平均数x B．样本中位数C．样本方差s2 D．样本最大值2．下列数字特征一定是数据组中数据的是…()A．众数B．中位数C．标准差D．平均数3．在统计中，样本的标准差可以近似地反映()A．平均状态B．波动大小C．分布规律D．最大值和最小值4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人，现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分．5．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是______、______.答案：1.C2．A根据各数字特征的意义可知唯有众数一定是原数据中的数．3．B由定义知，数据的标准差反映数据的波动大小．4．85由题意知，所求平均成绩为：40×90＋50×8140＋50＝85(分)．5．10.510.5∵总体的个体数是10，且中位数是10.5，∴a＋b2＝10.5，即a＋b＝21，∴总体的平均数为10.要使总体的方差最小，只要(a－10)2＋(b－10)2最小，即(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221＝2(a－212)2＋12，∴当a＝212＝10.5时，上式取最小值，此时b＝21－a＝10.5.1．与总体单位不一致的是()A．s2B．s C.x D．x12．下列叙述不正确的是()A．样本均值可以近似地描述总体的平均水平B．极差描述了一个样本数据变化的幅度C．样本标准差描述了一组样本数据围绕样本均值波动的大小D．一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定3．(2009四川高考，文5)设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确的结论是…( )A ．甲批次的总体平均数与标准值更接近B ．乙批次的总体平均数与标准值更接近C ．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D ．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定4．一组观察值为4、3、5、6出现的次数分别为3、2、4、2，则样本均值为( ) A ．4.55 B ．4.5 C ．12.5 D ．1.64 5．( )A. 3B.2105 C ．3 D.856．在一次数据测量中，计算出18个数据的样本均值为50，但是后来发现其中一个数据应是86，被误记为68，那么这18个数据的正确的样本均值应该是． 7．从一批棉花中抽取9根棉花的纤维，长度如下：(单位：mm) 82,202,352,321,25,293,86,206,115.求样本均值、样本方差和样本标准差．8．甲、乙两台机床同时加工直径100毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下(单位：毫米)： 甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算上述两组数据的平均值与标准差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．答案：1．A 方差的单位是原始数据单位的平方，所以与总体单位不一致． 2．D 方差越大，说明成绩越不稳定，所以D 项错．3．A ∵x 甲＝15(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617， x 乙＝15(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613， ∴x 甲更接近0.618.∴选A.4．A x ＝4×3＋3×2＋5×4＋6×23＋2＋4＋2＝5011≈4.55.5．B 这100人成绩的平均数为x ＝5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3， 方差为1100[(5－3)2×20＋(4－3)2×10＋(3－3)2×30＋(2－3)2×30＋(1－3)2×10]＝85， ∴标准差为85＝2105.6．51 根据条件易知，实际18个数据的总和应该是：50×18＋(86－68)＝918，根据平均数的计算方法可得这组数据实际的均值应该是91818＝51.7．解：样本均值x ＝19(82＋202＋352＋321＋25＋293＋86＋206＋115)≈186.9(mm)． 样本方差s2≈19[(82－186.9)2＋(202－186.9)2＋…＋(115－186.9)2]≈12 184.1(mm2)． 样本标准差s ＝s2≈110.4(mm)．8．解：(1)x 甲＝100＋16(－1＋0－2＋0＋0＋3)＝100；x 乙＝100＋16(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2×2＋(103－100)2] ＝16[(－1)2＋02＋(－2)2＋02＋02＋32]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2×3＋(102－100)2＋(99－100)2] ＝16[(－1)2＋02＋22＋(－1)2＋02＋02]＝1.∴s 甲＝213，s 乙＝1，即这两组数据的平均值都是100，标准差分别为213与1. (2)由(1)知，x 甲＝x 乙，s 甲＞s 乙，∴乙机床加工的这种零件更符合要求．1．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60 m ；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50 m ，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为( ) A ．1.54 m B ．1.55 m C ．1.56 m D ．1.57 m 答案：C x ＝300×1.6＋200×1.5300＋200＝1.56.2.两个样本，甲：5,4,3,2,1；乙：4,0,2,1，－2.那么样本甲和样本乙的波动大小情况是( ) A ．甲、乙的波动大小一样 B ．甲的波动比乙的波动大 C ．乙的波动比甲的波动大D ．甲、乙的波动大小无法比较答案：C 平均数：x 甲＝15(5＋4＋3＋2＋1)＝3，x 乙＝15(4＋0＋2＋1－2)＝1； 方差为s2甲＝15[(5－3)2＋(4－3)2＋…＋(1－3)2]＝2，∴s 甲＝ 2.s2乙＝15[(4－1)2＋(0－1)2＋…＋(－2－1)2]＝4，∴s 乙＝2.∴s 甲＜s 乙．∴乙的波动比甲大． 3．从总体中抽取的样本数据有m 个a ，n 个b ，p 个c ，则总体的平均数μ的估计值为( ) A.a ＋b ＋c 3 B.m ＋n ＋p 3 C.ma ＋nb ＋pc 3 D.ma ＋nb ＋pc m ＋n ＋p答案：D 样本均值x ＝ma ＋nb ＋pc m ＋n ＋p，把它作为总体均值的估计4．(易错题)设有n 个样本数据x1、x2、…、xn ，其标准差为sx ，另有n 个样本数据y1、y2、…、yn ，且yk ＝3xk ＋5(k ＝1,2，…，n)，其中标准差为sy ，则下列关系正确的是( ) A ．sy ＝3sx ＋5 B ．sy ＝3sx C ．sy ＝3sx D ．sy ＝3sx ＋5答案：B 设x1、x2、…、xn 的平均数为x ，y1、y2、y3、…、yn 的平均数为y ，则y ＝y1＋y2＋…＋yn n ＝3x1＋5＋3x2＋5＋…＋3xn ＋5n ＝3(x1＋x2＋…＋xn)＋5nn＝3x ＋5， ∴s2y ＝[(3x1＋5－3x －5)2＋(3x2＋5－3x －5)2＋…＋(3xn ＋5－3x －5)2]÷n ＝9[(x1－x )2＋(x2－x )2＋…＋(xn －x )2]n＝9s2x . ∴sy ＝3sx.点评：对于求样本均值与样本标准差的问题，若给出具体数值，可直接应用公式代入数据运算，或用计算器计算，还较容易些．若用字母符号代替数值，去推导某结论，则显得繁琐且难度较大，易出错．本题条件中所给字母较多，要弄清两组数据标准差的关系，必须正确运用条件及公式进行数式运算，推出结论．本题很容易由条件yk ＝3xk ＋5(k ＝1,2,3，…，n)而误选A 项，这是常见错误，应引以为戒．5．一个样本方差是s2＝110[(x1－15)2＋(x2－15)2＋…＋(x10－15)2]，则这个样本均值x ＝______，样本容量是______．答案：15 10 由方差公式知，样本容量n ＝10，均值 x ＝15.6．在一次京剧电视比赛中，11个评委给现场每一个演员评分，并将11个评委的评分的平均数作为该演员的实际得分．对于某个演员的表演，4个评委给他评10分，7个评委给他评9分，那么这个演员的实际得分是______．(精确到小数点后两位)答案：9.36 实际得分为10×4＋9×711＝10311≈9.36. 7．若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数为x ，方差为0.20，则a1，a2，…，a20，x 这21个数据的方差约为______．答案：0.19 由题意得：120[(a1－x )2＋(a2－x )2＋…＋(a20－x )2]＝0.20， ∴(a1－x )2＋(a2－x )2＋…＋(a20－x )2＝4，且a1＋a2＋…＋a20＝20x ， ∴a1＋a2＋…＋a20＋x21＝20x ＋x 21＝x ，即a1，a2，…，a20，x 这21个数据的平均数也是x .∴这21个数据的方差是s2＝121[4＋(x －x )2]＝421≈0.19.8．(2009海南、宁夏高考，文19)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类，B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．(1)A 类工人中和B 类工人中各抽查多少工人？(2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如表1和表2所示．表2：①先确定x ，y ，再完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名．(2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.频率分布直方图如下图1A类工人生产能力的频率分布直方图图2B类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．②x A ＝425×105＋825×115＋525×125＋525×135＋325×145＝123， x B ＝675×115＋1575×125＋3675×135＋1875×145＝133.8， x ＝25100×123＋75100×133.8＝131.1，A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.。
北师大版2019高中数学必修3课时作业：第一章 统计 课时作业 6_含答案
课时作业 6 估计总体的分布估计总体的数字特征|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是( )A．频率分布折线图与总体密度曲线无关B．频率分布折线图就是总体密度曲线C．样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D．如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线解析：总体密度曲线通常是用样本频率分布估计出来的．而频率分布折线图在样本容量无限增大，分组的组距无限减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就是总体密度曲线．答案：D2.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D3．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5,15.5]，3；(15.5,18.5]，8；(18.5,21.5]，9；(21.5,24.5]，11；(24.5,27.5]，10；(27.5,30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的( )A．91% B．92%20×(0.005＋0.01)n ＝15，n ＝50，故选频率之比为：：3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝，设样本容量为n ，则10n＝0.25，即n ＝40.＋170×5＋3＋x＋8＋9＝177×7，甲、乙两名队员的最高得分各是多少？甲、乙两名队员的最高得分分别为51分，52分．从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分除一个天，统计每天上午：00：00甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？[10,40]间的频率是多少？甲、乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．甲交通站的车流量的极差为73－8＝65(百辆(1)为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t 表示某宿舍的用电量(单位：度)，以y 表示该宿舍的用电费用(单位：元)，求y 与t 的函数关系式？(2)求图中月用电量在(200,250]度的宿舍有多少间？ 解析：(1)根据题意，得：当0≤t ≤200时，用电费用为y ＝0.5t ； 当t >200时，用电费用为y ＝200×0.5＋(t －200)×1＝t －100；综上：宿舍的用电费用为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5t ，0≤t ≤200，t －100，t >200.(2)因为月用电量在(200,250]度的频率为50x ＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1－0.015 6×50 ＝0.22，所以月用电量在(200,250]度的宿舍有100×0.22＝22(间)．。
高中数学北师大版必修3估计总体的数字特征课时提升作业Word版含答案
估计总体的数字特征一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·南昌高一检测)下列说法正确的是 ( )A.甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习情况甲班比乙班好D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习情况甲班比乙班好【解析】选D.在平均成绩相同的情况下,方差小的说明成绩比较集中,学习状况较好.2.(2014·深圳高一检测)一个容量为40的样本数据依次为x1,x2,…,x40,若这个样本的标准差为s=,记s*=,则s*= ( )A.2B.C.D.4【解析】选A.设s*=x.由题意得:=,即=,所以x=2.3.若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是( )A. B.C. D.【解析】选C.该题考查平均数的概念及运算.共有M+N个数,这M+N个数的和为(MX+NY),故这M+N个数的平均数为.【变式训练】(2012·江西高考)样本(x1,x2,…,x n)的平均数为,样本(y1,y2,…,y m)的平均数为(≠).若样本(x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y m)的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m 的大小关系为( )A.n<mB.n>mC.n=mD.不能确定【解题指南】用,表示出,结合已知条件,建立α,m,n所满足的关系式,由α的范围获得n,m所满足的不等关系,进而判断出n与m的大小关系.【解析】选A.由已知得x1+x2+…+x n=n,y1+y2+…+y m=m,===α+(1-α),整理得(-)[αm+(α-1)n]=0,因为≠,所以αm+(α-1)n=0,即=,又α∈,所以0<<1,所以0<<1,所以n<m.4.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A.3.5B.-3C.3D.-0.5【解析】选B.错将数据105输入为15,则平均数少=3,即与实际平均数的差是-3.5.(2014·珠海高一检测)统计某校1000名学生的数学测试成绩,得到样本频率分布直方图如图所示(每组包含左端点,不包含右端点),若满分为100分,规定不低于60分为及格,则及格率是( )A.20%B.25%C.6%D.80%【解析】选 D.由样本频率分布直方图得成绩不低于60分的频率为(0.025+0.035+0.010+0.010)×10=0.8=80%.【误区警示】解答此题时往往因不能正确获取图中信息而致误.准确读图是解决此类问题的关键.6.(2014·陕西高考)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若y i=x i+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( )A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a【解析】选A.样本数据x1,x2,…,x10的均值=(x1+x2+…+x10)=1,方差s′2=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4,新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的均值=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a,新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的方差s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.二、填空题(每小题4分,共12分)7.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如表所示:则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人.【解析】在容量为500的随机样本中,生活不能自理的老人中男性比女性多2人,则在该地区约为2÷=60(人).答案:608.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列)【解题指南】要知道平均数及中位数(按从小到大或从大到小的顺序排列,若奇数个数据取中间的数,若偶数个数据取中间两个数的平均数)的求法,以及标准差公式.【解析】假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,则所以s===,又s=1,所以(x1-2)2+(x2-2)2=2,同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2,由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2上的点,分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3.答案:1,1,3,39.若k1,k2,…,k8的平均数为8,方差为3,则2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的平均数为__________.【解析】因为k1,k2,…,k8的平均数为=,2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的平均数为==2-6=2×8-6=10.答案:10【举一反三】本题中,2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的方差为__________.【解析】因为k1,k2,…,k8的方差为3,即3=[(k1-)2+(k2-)2+…+(k8-)2],所以2(k1-3),2(k2-3),…,2(k8-3)的方差s2=[(2k1-6-)2+(2k2-6-′)2+…+(2k8-6-′)2]=[(2k1-6-2+6)2+(2k2-6-2+6)2+…+(2k8-6-2+6)2]=[4(k1-)2+4(k2-)2+…+4(k8-)2]=4× [(k1-)2+(k2-)2+…+(k8-)2]=4×3=12.答案:12三、解答题(每小题10分,共20分)10.农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下: 甲:900,920,900,850,910,920;乙:890,960,950,850,860,890.哪种水稻的产量比较稳定?【解析】==900,==900.s甲===,s乙===,=,s甲<s乙,所以甲水稻的产量比较稳定.【一题多解】将甲、乙两组数据分别减去900得甲′:0,20,0,-50,10,20.乙′:-10,60,50,-50,-40,-10.因此,==0;==0.s甲′===,s乙′===,所以=+900=900,=+900=900,s甲=s甲′=,s乙=s乙′=.因此,=,s甲<s乙,故甲水稻的产量比较稳定.11.(2014·烟台高一检测)为了了解高中学生的体能情况,体育组决定抽取三个年级部分学生进行跳绳测试,并将所得的数据整理后画出频率分布直方图(如图).已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4,第一小组的频数是5.。
高中数学北师大版必修三学业分层测评第1章 5.1 估计总体的分布 5.2 估计总体的数字特征 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．下列说法不正确的是( )．频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率．频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于．频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大．频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上端中点得到的【解析】频率分布直方图的每个小矩形的高＝.【答案】.样本容量为的频率分布直方图如图--所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在[)内的频数为，样本数据落在[)内的频率为，则，分别是( )图--．．．．【解析】数据落在[)内的频率为×＝，则＝×＝.由于样本落在[)内的频率为×＝，则样本落在[)内的频率＝＋＝.【答案】．有一个容量为的样本，其频率分布直方图如图--所示，据图估计，样本数据在[)内的频数为( )图--．．．．【解析】由题意可知样本数据在[)之外的频率为(＋＋＋)×＝，所以样本数据在[)内的频率为－＝.所以样本数据在[)内的频数为×＝，选.【答案】．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图--所示)．已知图中从左到右的前个小组的频率之比为∶∶，第小组的频数为，则抽取的学生人数为( )图--．．．．【解析】前个小组的频率和为－×－×＝，又因为前个小组的频率之比为∶∶.所以第小组的频率为×＝，又知第小组的频数为，则＝.即为所抽样本的人数．【答案】．设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝≈，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：乙批次：根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值比较，正确结论是( )．甲批次的总体平均数与标准值更接近．乙批次的总体平均数与标准值更接近．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析】＝甲。
高中数学北师大版必修三估计总体的数字特征课时作业Word版含答案
(2)当8<x≤10时，原数据按从小到大顺序排列为8，x,10,10，中位数为(x＋10)，若(x＋28)＝(x＋10)，则x＝8，而8不在8<x≤10的范围内，所以舍去．
估计总体的数字特征
(限时：10分钟)
1．在某次考试中，10名同学得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为()
A．84,68B．84,78
C．84,81D．78,81
答案：C
2．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是()
A．0.6 h B．0.9 h
C．1.0 h D．1.5 h
答案：B
3．某学校对100间学生公寓进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四种等级，其中分数在[60,70)为D等级，有15间；分数在[70,80)为C等级，有40间；分数在[80,90)为B等级，有20间；分数在[90,100]为A等级，有25间．考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100间学生公赛评估得分的中位数是()
A．1B．2
C．3D．4
解析：由s2＝(x＋x＋…＋x)－2，得s2＝×100－32＝1，即标准差s＝1.
答案：A
3．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分．
甲
10
8
9
9
9
乙
高中数学北师大版必修三估计总体的分布课后巩固·提能Word版含答案
课后巩固·提能一、选择题1.(2012·惠州高一检测)一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：则样本数据落在10～40上的频率为( )(A)0.13 (B)0.39 (C)0.52 (D)0.642.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为( )(A)4 (B)8 (C)12 (D)163.(2012·昆明高一检测)为了了解电视对生活的影响,一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人,并根据所得的数据画出样本的频率分布直方图(如图),为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系,要从10 000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查,则在2.5～3小时时间段内应抽出的人数是( )(A)25 (B)30 (C)50 (D)754.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，对一天生产45件以上产品的人数进行统计，其频率分布直方图如图所示，若生产数量在85～95件的人数是90，则生产数量在55～65件的人数是( )(A)360 (B)720 (C)220 (D)2405.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5～18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如图,据图可得这100名学生中体重在56.5～64.5 kg范围内的学生人数是( )(A)20 (B)30 (C)40 (D)50二、填空题6.将一批数据分成5组，列出频率分布表,其中第1组的频率是0.1,第4组与第5组的频率之和是0.3,那么第2组与第3组的频率之和是_________________.7.(2012·漳州高一检测)下面是某中学2012年期末各分数段的考生人数分布表:表则分数在700～800的人数为________________人.三、解答题8.下表是100名学生身高的频率分布表,根据数据画出：(1)频率分布直方图；(2)频率分布折线图.9.(2012·杭州高一检测)为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在110次以上(含110次)为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？答案解析1.【解析】选C.先算出在10～40上的频数为13+24+15=52，则频率是0.52.2.【解析】选C.∵频率=频数容量,∴频数=频率×容量=0.375×32=12.3.【解题指南】先计算频率，再得到频数.【解析】选A.调查的100人中平均每天看电视的时间在2.5～3小时时间段内的频率是0.5×0.5=0.25,所以这10 000人中平均每天看电视时间在2.5～3小时时间段内的人数为10 000×0.25=2 500,又抽样比为100110 000100，故在2.5～3小时时间段内应抽出的人数为2 500×1100=25．4.【解析】选B.由图可知，生产数量在85～95件的频率为0.05，而频率=频数样本容量，所以一天生产45件以上产品的人数为1 800.生产数量在55～65件的频率为0.4，则生产数量在55～65件的人数为0.4×1 800=720.5.【解题指南】计算在56.5～64.5 kg范围内的矩形的面积即该范围对应的频率，根据频率的定义计算该范围内的人数.【解析】选C.在频率分布直方图中，矩形的面积就是数据落在这一范围的频率，在56.5～64.5 kg范围内的矩形的面积是(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，则数据落在这一范围的频率是0.4.所以这100名学生中体重在56.5～64.5 kg范围内的学生人数是100×0.4=40.【举一反三】若把所求的结论改为“100名学生中体重不在56.5～64.5 kg范围内的频率是多少？”【解析】体重在56.5～64.5这一范围内的频率是(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，故体重不在56.5～64.5 kg范围内的频率是1-0.4=0.6.6.【解析】第2组与第3组频率之和为1-0.1-0.3=0.6.答案：0.67.【解析】由于在分数段400～500内的频数是90,频率是0.075,则该中学共有=1 200,则在分数段600～700内的频数是1 200×0.425=510,则分数考生900.075在700～800内的频数,即人数为1 200-(5+90+499+510+8)=88.答案：88【举一反三】若本题已知不变，按要求把表补充完整.【解析】由上题可知，总数为1 200，则完整的表如下：8.【解析】(1)画频率分布直方图①根据频率分布表,作直角坐标系,以横轴表示身高,纵轴表示频率/组距.②在横轴上标上表示的点.③在上面各点中,分别以连接相邻两点的线段为底作矩形,高等于该组的频率/组距(如图)．(2)画频率分布折线图如图所示9.【解析】(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，因此第二小组的频率为424171593＋＋＋＋＋＝0.08.又因为第二小组的频率＝第二小组的频数样本容量，所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝120.08＝150.故第二小组的频率是0.08，样本容量是150. (2)由图可估计该校高一学生的达标率为17159324171593＋＋＋＋＋＋＋＋×100%＝88%.故该校全体高一学生的达标率约是88%.。
2020-2021学年北师大版数学必修三课时素养评价 1.5.2 估计总体的数字特征Word版含解析
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课时素养评价七估计总体的数字特征(20分钟·35分)1.样本101,98,102,100,99的标准差为( )A. B.0 C.1 D.2【解析】选A.样本平均数=100,方差为s2=2,所以标准差s=.2.一个容量为40的样本数据依次为x1,x2,…,x40,若这个样本的标准差为s=,记s*=,则s*=( )A.2B.C.D.4【解析】选A.设s*=x.由题意得:=,即=,所以x=2.3.对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,给出关于该同学数学成绩的以下说法:①中位数为83;②众数为83;③平均数为85;④极差为12.其中正确说法的序号是( )A.①②B.②③C.③④D.②④【解析】选B.将各数据按从小到大排列为:78,83,83,85,90,91,可见:中位数是=84,①错误,众数是83,②正确,=85,③正确.极差是91-78=13,④错误,所以,只有②③正确.4.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学高;③甲同学的平均分比乙同学低;④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.上面说法正确的是( ) A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③【解析】选A.甲的中位数81,乙的中位数87.5,故①错,排除B,D;甲的平均分=×(76+72+80+82+86+90)=81,乙的平均分′=×(69+78+87+88+92+96)=85,故②错,③对,排除C.5.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据《法制晚报》报道,某年2月15日至2月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人,如图是对这28 800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为________.【解析】(0.01×10+0.005×10)×28 800=4 320(人).答案:4 320【补偿训练】某校从甲、乙两班各随机抽取了5名学生的某课程的学分,用茎叶图表示(如图),s1,s2分别表示甲、乙两班各5名学生学分的标准差,则s1__________s2(填“>”“<”或“=”).【解析】由茎叶图可计算得=14,=14,则s1==,s2==,所以s1<s2.答案:<6.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图.(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为,,估计-的值.【解析】(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知=0.05,解得n=600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5,据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1-=.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为′1,′2.根据样本茎叶图可知30(′1-′2)=30′1-30′2=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77 +2+92=15.因此′-′=0.5,故-的估计值为0.5分.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一组数据的平均数、方差分别是,s2,将这组数据中的每一个数都乘以2,得到一组新数据,这组新数据的平均数、方差分别是( ) A.,s2 B.2,2s2 C.2,4s2 D.,s2【解析】选C.因为本题中新数据中每一个数都是原数据的2倍,所以新样本中的每一个数据是原样本中每个数据的2倍,所以新样本的平均数是原样本平均数的2倍,方差为原样本方差的4倍.2.(2020·天津高考)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A.10B.18C.20D.36【解析】选B.根据直方图,直径落在区间[5.43,5.47)内的零件频率为:(6.25+5.00)×0.02=0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为:80×0.225=18.3.某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试,从该年级学生中随机抽取部分学生,将他们的数学测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高二年级共有学生600名,若成绩不少于80分的为优秀,据此估计,高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为( )A.80B.90C.120D.150【解析】选D.根据频率分布直方图,得;成绩不少于80分的频率为(0.015+0.010)×10=0.25,所以估计成绩优秀的学生人数为600×0.25=150.4.(2020·太原高一检测)随着新政策的实施,海淘免税时代于2016年4月8日正式结束,新政策实施后,海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响,某网站调查了喜欢海淘的1 000名网友,其态度共有两类:第一类是会降低海淘数量,共有400人,第二类是不会降低海淘数量,共有600人,若从这1 000人中按照分层抽样的方法抽取10人后进行打分,其打分的茎叶图如图所示,图中有数据缺失,但已知“第一类”和“第二类”网民打分的平均数相等,则“第一类”网民打分的方差为 ( )A.159B.179C.189D.209【解题指南】根据分层抽样比,可得“第一类”抽取4人,“第二类”抽取6人.由茎叶图可知“第一类”缺失一个数据,设为m,根据平均数相等可求得m,由方差公式即可求得“第一类”的方差.【解析】选B.抽取的网民中,“第一类”抽取4人,缺失一个数据,设缺失的数据为m,“第二类”抽取6人,则=,解得m=56,其两组数的平均数都是65,则“第一类”网民打分的方差为:s2=[2(56-65)2+(60-65)2+(88-65)2]=179.5.胡萝卜中含有大量的β-胡萝卜素,进入人体消化器官后,可以转化为维生素A,现由a,b两个品种的胡萝卜所含的β-胡萝卜素含量(单位:mg)得到的茎叶图如图所示,则下列说法不正确的是( )A.<B.a的方差大于b的方差C.b品种的众数为3.31D.a品种的中位数为3.27【解析】选C.由茎叶图得:b品种所含β-胡萝卜素普遍高于a品种,所以<,故A正确;a品种的数据波动比b品种的数据波动大,所以a的方差大于b的方差,故B正确;b品种的众数为3.31与3.41,故C错误;a品种的数据的中位数为=3.27,故D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示),由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.【解析】因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.由频率分布直方图可知在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]内的学生人数为100×10×0.010=10,所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为×10=3.答案:0.030 37.设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若y i=x i+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为________.【解析】样本数据x1,x2,…,x10的均值′=(x1+x2+…+x10)=1,方差s′2=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4,新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的均值=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a,新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的方差s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.答案:1+a,48.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是2,则xy=________. 【解析】由平均数公式得=10,即x+y=20,=2,即+=8,即x2+y2-20+200=8,可得x2+y2=20+8-200=208,因为202==x2+y2+2xy=208+2xy,解得xy=96.答案:96三、解答题(每小题10分,共20分)9.某校高一学生共有500人,为了了解学生的历史学习情况,随机抽取了50名学生,对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计,得到不完整的频率分布直方图如图所示,后三组频数成等比数列.(1)求第五、六组的频数,补全频率分布直方图;(2)若每组数据用该组区间中点值(例如区间[70,80)的中点值是75)作为代表,试估计该校高一学生历史成绩的平均分.(3)估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数.【解析】(1)设第五、六组的频数分别为x,y.由题设得,第四组的频数是0.024×10×50=12.则x2=12y.又x+y=50-(0.012+0.016+0.03+0.024)×10×50,即x+y=9,所以x=6,y=3.补全频率分布直方图如图.(2)该校高一学生历史成绩的平均分=(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006)×10=67.6.(3)该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数为500×(0.024+0.012+0.006)×10=210.10.某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试,学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况,从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析,抽出的100名学生的地理、历史成绩如下表:地理[80,100] [60,80) [40,60)历史[80,100] 8 m 9[60,80) 9 n 9[40,60) 8 15 7若历史成绩在[80,100]区间的占30%,(1)求m,n的值;(2)请根据上面抽出的100名学生地理、历史成绩,填写地理、历史成绩的频数分布表:[80,100] [60,80) [40,60)地理历史根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差(同一组数据用该组区间的中点值为代表),并估计哪个学科成绩更稳定.【解析】(1)因为由历史成绩在[80,100]区间的占30%,所以=0.3,得m=13,所以n=100-8-9-8-15-9-9-7-13=22.(2)可得:[80,100] [60,80) [40,60)地理25 50 25历史30 40 30==70,==200,==70,==240.从以上计算数据来看,地理学科的成绩更稳定.关闭Word文档返回原板块。
北师版数学高一北师大陕西必修3 估计总体的数字特征课后作业
5.2 估计总体的数字特征一、非标准1.某商场买来一车苹果,从中随机抽取了10个苹果,其重量(单位:g)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147,由此估计这车苹果单个重量的平均值是( )A.150.2gB.149.8gC.149.4gD.147.8g解析:==149.8(g).答案:B2.若样本数据a,0,1,2,3的平均数是1,则样本方差为( )A. B. C. D.2解析:由已知得=1,解得a=-1,于是方差为s2=[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.答案:D3.若样本的频率分布直方图如图所示,则样本数据的中位数等于( )A.30B.40C.36.5D.35解析:设中位数为x,则由图可知:0.006×10+0.018×10+(x-30)×0.04=0.5,解得x=36.5答案:C4.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下:根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是( )A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定解析:由茎叶图可得,甲运动员得分的极差为47-18=29,乙运动员得分的极差为33-17=16,即可得A正确;甲运动员得分的中位数为30,乙运动员得分的中位数为26,即B正确;甲运动员得分的平均值为≈29.23,乙运动员得分的平均值为=25,即C正确;乙运动员的成绩分布较甲运动员的更集中,即D不正确,故应选D.答案:D5.已知样本数为9的四组数据,它们的平均数都是5,条形统计图如图所示,则标准差最大的一组是( )A.第一组B.第二组C.第三组D.第四组解析:第一组中,样本数据都为5,数据没有波动幅度,标准差为0;第二组中,样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6,标准差为;第三组中,样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为;第四组中,样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差为2,故标准差最大的一组是第四组.也可由标准差反映样本数据的离散程度的大小,从图中可以看出第四组中的数据波动最大.答案:D6.已知一个样本为1,3,2,5,x,它的平均数是3,则这个样本的标准差是.解析:=3,从而x=4,所以标准差为.答案:7.从甲、乙两人手工制作的圆形产品中,各自随机抽取6件,测得其直径如下(单位:cm): 甲:9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20;乙:8.90,9.60,9.50,8.54,8.60,8.90.据以上数据估计两人的技术稳定性,结论是.解析:方差越大时,数据越不稳定,方差越小时,数据越稳定.∵=9.00,≈0.057,≈9.01,≈0.1669,∴.∴甲的技术稳定性好,甲优于乙.答案:甲优于乙8.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示.人性数别生活能否自理男女能178278不能23 21则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多人.解析:在容量为500的随机样本中,生活不能自理的老人中男性比女性多2人,则在该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为2÷=60.答案:609.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据折线图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.解:(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.=13(分),=13(分),[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.(2)由可知乙的成绩较稳定.从折线图可以看出,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.10.为了了解汽车在某一路段上的速度,交警对这段路上连续驶过的50辆汽车的速度(单位:km/h)进行了统计,得到的数据如下表所示:速度区间[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)[100,110]车辆数1 4 10 15 12 6 2(1)试估计这段路上汽车行驶的平均速度;(2)试估计在这段路上,汽车行驶速度的标准差.(注:为了计算方便,速度取每个区间的中点) 解:(1)用各速度区间的中点值作为汽车在这一区间行驶的速度,则各区间速度的平均值分别为:45,55,65,75,85,95,105.则样本的平均数为=45×+55×+65×+75×+85×+95×+105×=76.8(km/h),即估计这一路段汽车行驶的平均速度为76.8km/h.(2)由上面各区间的近似速度和样本的平均数,可求得这一段路上汽车行驶速度的方差为s2=[1×(45-76.8)2+4×(55-76.8)2+10×(65-76.8)2+…+6×(95-76.8)2+2×(105-76.8)2]=174.76,从而,标准差s≈13.22km/h,即在这段路上,汽车行驶速度的标准差为13.22km/h.。
北师大版高中数学必修三5.2 估计总体的数字特征
5.2估计总体的数字特征双基达标(限时20分钟)1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：则参加奥运会的最佳人选应为( )．A．甲B．乙C．丙D．丁解析由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．答案 C2．用分层抽样抽取了容量为10的样本，其平均数为5.1，方差为0.2，则总体的平均数与方差分别估计是( )．A．5.1，0.2 B．0.2，0.2C．5.1，2 D．都不能估计解析由统计的基本思想知，样本的平均数为5.1，方差为0.2，从而总体的平均数也为5.1，方差为0.2.答案 A3．甲、乙两台机床同时生产一种零件，现要检查它们的运行情况，统计10天中，两台机床每天出的次品数如下表所示两台机床出次品较少的是( )．A．甲B．乙C．一样D．以上都有可能解析x－甲＝110(0＋1＋…＋2＋4)＝1.5(次)，x－乙＝110(2＋3＋…＋0＋1)＝1.2(次)；∵x－甲>x－乙，∴出现次品较少的是乙．答案 B4．已知一组数据x1，x2，…，x10的平均数是x－，则数据x1＋1，x2＋2，…，x10＋10的平均数是________．解析平均数为x－＋1＋2＋…＋1010＝x－＋5.5.答案x－＋5.55．一组数据是19，20，x，43，已知这组数据的平均数是整数且20<x<28，则这组数据的平均数及方差分别为________，________．答案26或27 97.5或92.56．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从甲、乙两种麦苗中各抽取10株，测得它们的株高分别是(单位：cm)：甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40(1)哪种小麦长得高？(2)哪种小麦长得齐？解x－甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，x－乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)，所以x－甲<x－乙，所以乙种小麦长得高．(2)s2甲＝104.2(cm2)，s2乙＝128.8(cm2)，所以s2甲<s2乙，所以甲种小麦的麦苗长得整齐．综合提高（限时25分钟）7．一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数都乘3，所得的一组新数据的方差是( )A.s23B．s2C．3s2D．9s2解析设数据x1，x2，…，x n的平均数为x－，则3x1，3x2，…，3x n的平均数为x－′＝1n(3x1＋3x2＋…＋3x n)＝3x－，∴s′2＝1n[(3x1－3x－)2＋(3x2－3x－)2＋…＋(3x n－3x－)2]＝9×1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x n－x－)2]＝9s2.答案 D8．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A.65B.65C. 2 D．2解析由题意知15(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故选D. 答案 D9．已知标准差s＝120∑i＝120（x i－4）2求得，则x1＋x2＋…＋x20＝________．解析由s＝120∑i＝120（x i－4）2得x－＝4，∴x1＋x2＋…＋x20＝20×4＝80.答案8010．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________．解析因为总体中位数是10.5，所以a＋b2＝10.5，即a＋b＝21，b＝21－a，所以总体平均数是x－＝110(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20)＝79（a＋b）10＝79＋2110＝10；总体方差是s2＝110[(2－10)2＋(3－10)2＋…＋(a－10)2＋(b－10)2＋…＋(20－10)2]＝a2＋b210＋13.758＝a2＋（21－a）210＋13.758＝15a2－215a＋57.858＝15(a－212)2＋35.808.因为7≤a≤b≤12，所以当a＝10.5时，s2取得最小值35.808，b＝10.5.答案10.5，10.511．已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差是2，且(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x10－3)2＝120，求x－.解∵s2＝110[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x10－x－)2]＝2，∴(x21＋x22＋…＋x210)－2x－(x1＋x2＋…＋x10)＋10·x－2＝20，即(x21＋x22＋…＋x210)－2x－·10x－＋10x－2＝20，∴(x21＋…＋x210)－10x－2＝20.又(x21＋x22＋…＋x210)－6(x1＋x2＋…＋x10)＋10×32＝120，∴(20＋10x－2)－6·10x－＋90＝120，即x－2－6x－－1＝0，∴x－＝3±10.12．(创新拓展)从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩．解(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在频率分布直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为75分．由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3.∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3>0.5，∴中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2，得x≈6.7，故中位数应为70＋6.7＝76.7(分)．(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74(分)，∴众数是75分，中位数约为77分，平均成绩约为74分．。
高中数学第一章统计1.5.2估计总体的数字特征备课资料北师大版必修3word版本
高中数学第一章统计 1.5.2 估计总体的数字特征备课资料北师大版必修3备选习题1.10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有（）A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a答案：D2.下列说法错误的是（）A.在统计里,把所需考察对象的全体叫作总体B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大答案：B3.下列说法中,正确的是（）A.数据5,4,4,3,5,2的众数是4B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C.数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数答案：C4.从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验,其测验成绩的方差分别为s12=13.2,s22=26.26,则（）A.甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B.乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C.甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D.不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度答案：A5.下列说法正确的是（）A.根据样本估计总体,其误差与所选择的样本容量无关B.方差和标准差具有相同的单位C.从总体中可以抽取不同的几个样本D.如果容量相同的两个样本的方差满足s12<s22,那么推得总体也满足s12<s22是错的答案：C1。
高中数学 第一章 统计 1.5.2 估计总体的数字特征课时作业(含解析)北师大版必修3-北师大版高一
课时作业7 估计总体的数字特征时间：45分钟 满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( D )A.65B.65C.2D ．2解析：由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则( D )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x解析：易知中位数的值m e ＝5＋62＝5.5，众数m 0＝5，平均数x ＝130×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈6，所以m 0<m e <x .3．已知两个样本数据如下：A.x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙B.x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙C.x 甲＝x 乙，s 2甲＝s 2乙D.x 甲≠x 乙，s 2甲＝s 2乙解析：通过计算可知x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙.4．一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得到的一组数据的方差是( D )A.13s 2 B ．s 2 C ．3s 2 D ．9s 2 解析：若一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，则ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2. 5．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( A )A ．6 B. 6 C ．66 D ．6.5解析：∵x ＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x )＝111(61＋x )＝6，∴x ＝5.方差为：s 2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611＝6. 6．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y ，10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( D )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：依题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧10＝x ＋y ＋10＋11＋95，2＝15[(x －10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝12，所以|x －y |＝4.7．如下图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和xB ，样本标准差分别为s A 和s B ，则(B )A.x A >x B ，s A >s BB.x A <x B ，s A >s BC.x A >x B ，s A <s BD.x A <x B ，s A <s B解析：方法1：直接根据图中数据计算出平均数和标准差，再比较大小．计算略． 方法2：观察图形可得：样本A 的数据均小于或等于10，样本B 的数据均大于或等于10，故x A <x B .又样本B 的波动X 围较小，故s A >s B .8．甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1、图2和图3，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则( D )A ．s 甲<s 乙<s 丙B ．s 甲<s 丙<s 乙C ．s 乙<s 甲<s 丙D ．s 丙<s 甲<s 乙解析：由频率分布条形图可得甲、乙、丙三名运动员的平均成绩分别为x 甲＝0.25×(7＋8＋9＋10)＝8.5；x乙＝0.3×7＋8×0.2＋9×0.2＋10×0.3＝8.5；x 丙＝0.2×7＋8×0.3＋9×0.3＋10×0.2＝8.5；∴s 2甲＝0.25×(1.52＋0.52＋0.52＋1.52)＝1.25；s 2乙＝0.3×1.52＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45；s 2丙＝0.2×1.52＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，∴s丙<s 甲<s 乙．二、填空题(每小题5分，共15分)9．从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量如下(单位：克)：125,124,121,123,127.则该样本的标准差s ＝2克(用数字作答)．解析：方法1：(定义法) 先计算这组数据的平均数：x ＝15×(125＋124＋121＋123＋127)＝124.再运用方差的计算公式可得s 2＝15×(12＋02＋32＋12＋32)＝4(克2)，所以标准差s ＝2克．方法2：(新数据法)将原数据都减去124，得新数据1,0，－3，－1,3，它们的平均数为0，方差为4，故原数据的方差为4，则所求标准差s＝2克．10．从甲、乙两人手工制作的圆形产品中，各自随机抽取6件，测得其直径如下(单位：cm)：甲：9.00,9.20,9.00,8.50,9.10,9.20；乙：8.90,9.60,9.50,8.54,8.60,8.90.据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是甲优于乙．解析：方差越大时，数据越不稳定，方差越小时，数据越稳定．∵x甲＝9，s2甲≈0.057，x乙≈9.01，s2乙≈0.166 9，∴s2甲<s2乙.∴甲的技术稳定性好，甲优于乙．11．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差为2，则xy＝96.解析：由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(2)2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192.∴xy＝96.三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12估计两个供货商的交货情况，并指出哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性？解：x甲＝110(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1(天)．s2甲＝110[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2＋(11－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49.x乙＝110(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)＝10.5(天)，s2乙＝110[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2＋(11－10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05.从交货天数的平均数来看，甲供货商的交货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲供货商的交货时间比较具有一致性与可靠性．13．(13分)某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82848589798091897974乙班：90768681848786828583(1)求两个样本的平均数；(2)求两个样本的方差和标准差；(3)试分析比较两个班的学习情况．解：运用公式求平均数和方差、标准差，并且能利用这些数字特征来描述两个班的学习情况．(1)x甲＝110(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2(分)，x乙＝110(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84(分)．(2)s2甲＝110[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，s2乙＝110[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13.2，∴s甲＝26.36≈5.13，s乙＝13.2≈3.63.(3)由于x甲<x乙，则甲班比乙班平均水平低，由于s甲>s乙，则甲班没有乙班稳定．∴乙班的总体学习情况比甲班好．——能力提升类——14．(5分)一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是81.2,4.4.解析：由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差不变，仍是4.4.15．(15分)某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．解：(1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为：120(30－19)2＋320(30－28)2＋320(30－29)2＋520(30－30)2＋420(30－31)2＋320(30－32)2＋120(30－40)2＝12.6.。
2019-2020学年数学北师大版必修3课件：1.5.1 估计总体的分布 Word版含解析
答案:B
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5.1 估计总体的分布
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Байду номын сангаас
课课前前篇篇 自自主主预预习习
课堂篇 探究学习
2.频率分布表、频率分布直方图、频率折线图的画法 (1)频率分布表的画法步骤
A.90 B.75 C.60 D.45
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5.1 估计总体的分布
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
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课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
解析:(1)在频率分布直方图中,分组的宽度为1,于是有
(0.1+0.15+2x+0.35)×1=1,解得x=0.2. (2)样本中成绩小于100分的频率为(0.050+0.100)×2=0.3. ∴样本容量为 n=03.63=120. ∴样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数为
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5.1 估计总体的分布
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探究二
思维辨析 当堂检测
②频率分布直方图和频率折线图如图所示.
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
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5.1 估计总体的分布
探究一
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反思感悟1.可按照画频率分布直方图的频一率般步骤画出频率分布 直方图,特别要注意的是纵坐标表示的是组距 ,而不是频率.
频数(ni)
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高中数学 第一章 统计 1.5.2 估计总体的数字特征学案(含解析)北师大版必修3-北师大版高一必修
5．2 估计总体的数字特征知识点平均数与方差、标准差[填一填]1．平均数如果有n个数x1，x2，…，x n，那么x＝x1＋x2＋…＋x nn，叫作这n个数的平均数．2．样本的方差与标准差(1)数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的元素为x1，x2，…，x n，样本的平均数为x，定义s2＝(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2n，s2表示样本方差．(2)为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根．s＝(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2n，s表示样本的标准差．(3)计算样本数据x1，x2，…，x n的标准差的算法步骤为：S1算出样本数据的平均数x.S2算出x i－x，其中i＝1,2，…，n；S3算出x i－x的平方，其中i＝1,2，…，n；S4算出样本方差；S5算出样本标准差．[答一答]平均数与标准差在估计总体时有何差异？提示：平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们对总体作出片面的判断，样本中的极端值对平均数的影响较大，所以平均数有时难以反映样本数据的实际状态．当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散．(1)从数字特征上描述一组数据的情况平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差、极差和标准差描述其波动大小，也可以说方差、标准差和极差反映各个数据与其平均数的离散程度．(2)方差和标准差的运用一组数据的方差或标准差越大，说明这组数据波动越大，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原单位相同．类型一方差、标准差的计算【例1】某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679求以上两组数据的方差及标准差．【思路探究】 解答本题的关键是掌握方差、标准差的计算公式和求解步骤． 【解】 x甲＝6＋7×3＋85＝7， x 乙＝6×2＋7×2＋95＝7，s 2甲＝15[(6－7)2＋3×(7－7)2＋(8－7)2]＝25＝0.4， s 2乙＝15[2×(6－7)2＋2×(7－7)2＋(9－7)2]＝65＝1.2， 所以它们的标准差分别为：105，305. 规律方法 (1)方差的计算①基本公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．②简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．(2)平均数、方差的性质①如果x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数是x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a .②数据x 1，x 2，…，x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等． ③如果x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2, 那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.本例中的各数据都增加1，试计算以上两组数据的平均数与方差． 解：x甲＝7＋8＋8＋9＋85＝8，x乙＝7＋8＋7＋8＋105＝8，s2甲＝15[(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2]＝0.4.s2乙＝15[(7－8)2＋(8－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2]＝1.2.类型二从茎叶图表示的数据估计总体【例2】从甲、乙两个品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，由抽测结果设计了如图所示的茎叶图．根据茎叶图，将甲、乙两个品种的棉花的纤维长度做比较，写出两个统计结论．【思路探究】分析出样本的分布，来估计总体的分布，分析出样本的数字特征，来估计总体的数字特征，从而达到比较两个总体的目的．【解】从不同的角度分析，可得如下结论：①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度)．②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中，或甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大)．③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm.④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在平均数附近．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，分布较均匀．注：答案不唯一，写出两个即可．规律方法 一般来讲，总体所包含的个体数往往是很多的，总体的数字特征，尤其是平均数与标准差很难求出，通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差，从而反映总体的平均水平和稳定性．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的，只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．若该日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中优秀工人的人数为4.解析：因为样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝22，所以样本中优秀工人占的比例为26＝13，而12×13＝4，故推断该车间12名工人中有4名优秀工人．类型三平均数、方差的应用【例3】两台机床同时生产直径(单位：cm)为10的圆形截面零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？【思路探究】在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．【解】(1)先计算平均直径：x甲＝14×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，x乙＝14×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10.由于x甲＝x乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣．(2)再计算方差：s2甲＝14×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，s2乙＝14×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.s2甲>s2乙，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．规律方法样本的平均数和方差是两个重要的数字特征．在应用平均数和方差解决实际问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由方差研究其与平均数的偏离程度．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)品种第一年第二年第三年第四年第五年甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.410.310.89.79.8根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广． 解：甲种冬小麦的平均单位面积产量 x 甲＝9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.25＝10，乙种冬小麦的平均单位面积产量x 乙＝9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.85＝10，则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同．甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为s 2甲＝15×[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，乙种冬小麦平均单位面积产量的方差为s 2乙＝15×[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244，则s 2甲＝0.02<s 2乙＝0.244，所以甲种冬小麦的平均单位面积产量比较稳定，因此选择甲种冬小麦进行推广．——易错警示—— 因不理解相关联的两个样 本的数据特征而出错【例4】 一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是( )A.12s 2 B ．2s 2 C ．4s 2 D ．s 2【错解】 B【错解分析】 因为本题中新数据的每一个数都是原数据的2倍，因而盲目地选B 得到方差也是原方差的2倍．【正解】 设一组数据x 1，x 2，…，x n ， 则s 2＝(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n ，将每一个数乘以2，则x ′＝2x .所以s ′2＝(2x 1－2x )2＋(2x 2－2x )2＋…＋(2x n －2x )2n＝4n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4s 2. 故答案选C. 【答案】 C【纠错心得】 若新样本中的每一个数据是原样本中每个数据的2倍，则新样本的平均数是原样本平均数的2倍，方差为原来的4倍，标准差为原来的2倍．如果数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均数为10，方差为2，则数据7x 1－2,7x 2－2,7x 3－2，…，7x n －2的平均数为68，方差为98.解析：平均数＝7×10－2＝68；方差＝72×2＝98，故答案为68,98.一、选择题1．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8；全年比赛进球个数的标准差为0.3.下列说法：①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．其中正确的个数有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：四种说法都正确，甲队的平均进球数多于乙队，故第一句正确；乙队标准差较小，说明技术水平稳定；甲队平均进球数是3.2，但其标准差却是3，离散程度较大，由此可判断甲队表现不稳定；乙队平均进球数是1.8，标准差只有0.3，每场的进球数相差不多，可见乙队的确很少不进球．2．期中考试以后，班长算出了全班40人数学成绩的平均分数为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起算出这41个分数的平均值为N ，那么MN 为( B )A.4041 B ．1 C.4140D ．2 解析：由于原来40个人的成绩的平均分当成一个同学的分数，那么这41个分数的平均值仍然为M ，即M ＝N .故应选B.二、填空题3．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如下图)．s 1，s 2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s 1<s 2.(填“>”“<”或“＝”)解析：由茎叶图可计算得x甲＝14，x 乙＝14，则s 1＝15(62＋32＋02＋12＋82)＝22， s 2＝15(82＋72＋42＋102＋92)＝62， ∴s 1<s 2.本题考查统计初步及茎叶图的信息处理问题，可以通过图中数据的对称性从直观上进行观察，也可以通过正确的计算进行比较．三、解答题4．甲、乙两人学习成绩的茎叶图如图所示.(1)分别求出这两名同学学习成绩的平均数和标准差；(2)比较这两名同学的成绩，谈谈你的看法．解：(1)x甲≈87，s甲≈12.7；x乙≈93，s乙≈11.2.(2)由于x甲<x乙，s甲>s乙，所以甲的学习成绩没有乙的学习成绩好，也没有乙的学习成绩稳定．。
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课时作业6估计总体的分布估计总体的数字特征
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是()
A．频率分布折线图与总体密度曲线无关
B．频率分布折线图就是总体密度曲线
C．样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线
D．如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线
解析：总体密度曲线通常是用样本频率分布估计出的．而频率分布折线图在样本容量无限增大，分组的组距无限减小的情况下会无限接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就是总体密度曲线．答案：D
2.
某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有() A．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定
B．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定
C．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定
D．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定
解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.
答案：D
3．有一个容量为45的样本数据，分组后各组的频数如下：(12.5,15.5]，3；(15.5,18.5]，8；(18.5,21.5]，9；(21.5,24.5]，11；(24.5,27.5]，10；(27.5,30.5]，4.由此估计，不大于27.5的数据约为总体的() A．91 B．92
C．95 D．30
解析：不大于27.5的样本数为：3＋8＋9＋11＋10＝41，所以约
则该班的学生人数是()
设该班人数为n，则20×(0.005＋0.01)
则抽取的学生人数为()
组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)
0.75×2
1＋2＋3
＝0.25，设样本容量为
其末位数为x，那么x的值为
×2＋1＋170×5＋3
乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图：
乙两名队员的最高得分各是多少？
哪名运动员的成绩好一些？
甲、乙两名队员的最高得分分别为
从茎叶图可以看出，甲运动员得分大致对称，乙运动员的得分以外，也大致对称．因此甲运动员的成绩好，总体得
[2 700,3 000)内的频率为()
乙两个交通站的车流量的极差分别是多少？甲交通站的车流量在[10,40]间的频率是多少？
乙两个交通站哪个站更繁忙？并说明理由．甲交通站的车流量的极差为73
－5＝66(百辆)．
度之间，其频率分布直方图如图所示．
(1)为降低能 损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量
不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t 表示某宿舍的用电量(单位：度)，以y 表示该宿舍的用电费用(单位：元)，求y 与t 的函数关系式？
(2)求图中月用电量在(200,250]度的宿舍有多少间？
解析：(1)根据题意，得：
当0≤t ≤200时，用电费用为y ＝0.5t ；
当t >200时，用电费用为
y ＝200×0.5＋(t －200)×1＝t －100；
综上：宿舍的用电费用为
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0.5t ，0≤t ≤200，t －100，t >200.
(2)因为月用电量在(200,250]度的频率为50x ＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50
＝1－0.015 6×50
＝0.22，
所以月用电量在(200,250]度的宿舍有100×0.22＝22(间)．。