空间向量及其加减与数乘运算学案
空间向量及其加减与数乘运算
空间向量及其加减与数乘运算学案编写：高慎云审核：任成宪教师寄语：让理想的灯塔指引着我们，在学习中成长，在实践中升华。
一、学习目标（1）通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。
（2）经历向量由平面向空间推广的过程，体会类比和归纳的数学思想方法，并体验数学在结构上的和谐性。
重点：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。
难点：空间向量加减法和数乘运算律的灵活应用。
二．学习过程：（一）平面向量、空间向量的基本概念（回忆并讨论：你学习了平面向量的哪（二）平面向量、空间向量的加减法法则（作出向量a ，b的和与差）（1）加法法则：（2）减法法则：ba（三）平面向量、空间向量的数乘运算实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝ .(2)当λ＞0时，λa 与a；当λ＜0时，λa 与aa ；当λ＝0时，λa ＝0a= .（四）平面向量、空间向量的运算律（你能给出结合律证明吗?尝试一下用图形证明）交换律， 结合律 分配律(五)典例分析111111112,,,=3 ,,, .a b a b a bA C A C m n p m n n p m p =====45A 1B 2例、给出以下命题：（）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（）若空间向量满足则（）在正方体ABCD-A B C D 中，必有（）若空间向量满足，，则（）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是（） .C 3D 4例2、 化简:○1 AB CD BC ++= . ○2 AP MN NP +-= .○3EF OF OE +-=例3、 已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.①AB BC + ； ② AB AD AA '++；③12A B A D C C '++ ； ④ 1()3A B A D A A '++思考:三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?变式训练1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1， 求满足下列各式的x 的值。
空间向量及其加减与数乘运算导学案3
3.1.1～3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算教学目标：（1）学生通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。
（2）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思想方法，并体验数学在结构上的和谐性。
预习探究案 1.在 ，我们把 ，叫做空间向量. ____________叫做向量的长度或模. 2.与平面向量一样，空间向量也用表示，此表示法为空间向量的 .如右图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作 ， 也可记作 .其模长记为__________或 . 3. 叫做零向量，记为 ,零向量的方向是 .当有向线段的起点A 与终点B 时，0AB = 4. 的向量称为单位向量.5.与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为-a .6. 的向量称为相等的向量.因此，在空间， 的有向线段表示或 .7.类似于平面向量，定义空间向量的加减运算如OB = = ,AB = = .推广: . 8.交换律： ;结合律： .9.实数λ与a的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为：(1)长度是 .(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . 10.空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.分配律： . 结合律： .11、对于空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b 的充要条件是 。
称它为共线向量定理。
12、如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是 。
称为共面向量定理。
13、已知点Ｍ在平面ＡＢＣ内，并且对于空间任一一点Ｏ，1133OM xOA OB OC =++例1. 1. 花简: AB CD BC ++= . AP MN NP +-= .EF OF OE +-= .2 已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++；③12AB AD CC '++； ④ 1()3AB AD AA '++3 若 ，求x.变式：在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ，△BCD 的重心为G ，① z y x ++=求x 、y 、z.② 求证： .=++++-n n A A A A A A A A 1433221 2AD BD xAC ''-=1()3AG AB AC AD =++例2： 设12e e 、是平面上不共线的向量，已知1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线，求k 的值。
高中数学《空间向量及其加减法运算》导学案 (2)
第三章 空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减法运算 一、学习目标 1.理解空间向量的有关概念； 2.掌握空间向量的加减运算法则及运算律； 【重点、难点】重点：空间向量的有关概念及其加减运算的运算法则；难点：空间向量的加减运算在空间几何体中的应用；二、学习过程【复习回顾】知识点1:平面向量的概念问题1.（1）向量的概念是什么？（2）向量如何表示？（3）什么是向量的长度？（4）有哪些特殊的向量？问题2.平面向量的加减法运算法则是什么？【探究新知】1. 空间向量（1）定义：在空间，把具有 和 的量叫做空间向量；（2）长度：向量的 叫做向量的长度或 ；（3）表示法：⎧⎨⎩几何表示法：用 表示；字母表示法： . 2. 几类特殊向量(1)零向量： 的向量叫做零向量，记为0.(2)单位向量： 的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向 且模 的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，称为a 的相反向量，记为2．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 【典型例题】例1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．① 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；② 单位向量都相等；③ 任一向量与它的相反向量不相等；④ 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤ 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥ 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.例2．如图所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，M 为11AC 与11B D 的交点，化简下列向量表达式．（1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2111D A ； （3）1AA +2111B A +11D A ； （4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;例3. 在平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=【变式拓展】1. 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC2. 已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式:(1)';AA CB - (2)'''''AB B C C D ++3. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段.（1） AB ＋AD →＋1AA ;；（2）11AB CC DD +-;.三、总结反思1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a b -表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．四、随堂检测 1．判断下列各命题的真假：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．在三棱柱ABCA′B′C′中，AC →与A′C′→是________向量；AB →与B′A′→是________向量．3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD + BC DA +的结果为________．4. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN = 1()2AB CD +。
教学设计1：3.1.1 空间向量及其加减运算
3．1.1空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？那么，空间中的向量应该如何表示呢？其定义及运算与平面向量又有什么关系呢？二.思考分析李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．三.抽象概括空间向量表示法几何表示法空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB＝OA＋AB＝a＋b；CA＝OA－OC＝a－b.加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．四.例题分析及练习[例1]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC[思路点拨]根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．[答案]B[感悟体会](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 训练题组11．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确． 答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA ，1A A ，1BB ，1B B ，1DD ，1D D ，1CC ，1C C 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD ，1D A ，1C B ，1BC ，1B C ，1CB ，1A D ，1DA .(3)向量1AA 的相反向量为1AA ，1B B ，1C C ，1D D ，共4个. [例2] 化简(AB －CD )－(AC －BD )．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点． [精解详析] 法一：∵AB －CD ＝AB ＋DC ， ∴(AB －CD )－(AC －BD )＝AB ＋DC －AC ＋BD ＝AB ＋BD ＋DC ＋CA ＝AD ＋DA ＝0.法二：(AB －CD )－(AC －BD )＝AB －CD －AC ＋BD ＝(AB －CD )＋(DC －DB )＝CB ＋BC ＝0. [感悟体会](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 训练题组24．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD －AB ＋BC 化简后的结果是( ) A ．1BD B ．1D B C ．1B D D ．1DB解析：由正方体的性质可得1DD －AB ＋BC ＝1DD －DC ＋BC ＝1CD ＋BC ＝1BD . 答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB ＝b ，AD ＝c ，则CD 等于( ) A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD ＝CB ＋BA ＋AD ＝CB －AB ＋AD ＝b －a ＋c ，所以CD ＝－a ＋b ＋c . 答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA －CB ； (2) 'AA ＋AB ＋''B C .解：(1) 'AA －CB ＝'AA －DA ＝'AA ＋AD ＝'AA ＋''A D ＝'AD . (2) 'AA ＋AB ＋''B C ＝('AA ＋AB )＋''B C ＝'AB ＋B ′C ′＝'AC . 向量'AD 、'AC 如图所示．五.课堂小结与归纳(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA ＋12A A ＋23A A ＋34A A ＋45A A ＋56A A ＝6OA .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． 六.当堂训练1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD 相等的向量共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：与AD 相等的向量有11A D ，BC ，11B C ，共3个． 答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''的模相等的向量有( ) A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''|＝|DC |＝|C D ''|＝|CD |＝|BA |＝|AB |＝|B A ''|＝|A B ''|. 答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD 的是 ( )①(11A D －1A A )－AB ②(BC ＋1BB )－11D C ③(AD －AB )－1DD ④(11B D －1A A )＋1DDA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：①(11A D －1A A )－AB ＝1AD －AB ＝1BD； ②(BC ＋1BB )－11DC ＝1BC －MN ＝1BD ； ③(AD －AB )－1DD ＝BD －1DD ≠1BD ；④(11B D －1A A )＋1DD ＝1BD ＋1DD . 答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则BC ＝( ) A ．－a －b B ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )解析：如图，∵OA ＝a ，OB ＝b ，∴BO ＝－b ，OC ＝－a ，∴BC ＝BO ＋OC ＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝________.解析：1A B ＝1B B －11B A ＝1B B －BA ＝1B B －(CA －CB ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB －AC ＋BC －BD －DA ＝________.解析：AB －AC ＋BC －BD －DA ＝AB ＋BC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AB .答案：AB7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1) CB ＋1BA ； (2) AC ＋CB ＋121AA ；(3) 1AA －AC －CB . 解：(1) CB ＋1BA ＝1CA .(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ＝121BB .又1AA ＝1BB ，所以AC ＋CB ＋121AA ＝AB ＋BM ＝AM .(3) 1AA －AC －CB ＝1CA －CB ＝1BA . 向量1CA ，AM ，1BA 如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC ＝AB ＋AD ，AB '＝AB ＋AA '，AD '＝AD ＋AA '，∴AC ＋AB '＋AD '＝(AB ＋AD )＋(AB ＋AA ')＋(AD ＋AA ') ＝2(AB ＋AD ＋AA ')． 又∵AA '＝CC '，AD ＝BC ，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC ＋CC '＝AC ＋CC '＝AC '， ∴AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.。
高二数学最新教案-§9.5.1空间向量及其加减与数乘运算 精品
空间向量及其运算（1）一、课题：空间向量及其运算（1）二、教学目标：1．理解空间向量的有关概念；2．掌握空间向量的运算法则，并能进行加减和数乘运算．三、教学重、难点：空间向量的有关概念；空间向量的运算． 四、教学过程：（一）复习：平面向量的有关概念及表示方法． （二）新课讲解：1．空间向量的有关概念：在空间，具有大小和方向的量叫做向量。
2．空间向量的表示方法：用有向线段表示，且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 3．空间向量的加法与减法及数乘运算：（和平面向量的相关运算类似） OB a b =+，AB OB OA =-，(OP a λλ=4．运算法则：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+5．平行六面体：平行四边形按非零向量a 平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，记作ABCD A B C D ''''-，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． （三）例题分析：例1．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列向量的表达式，并标出化简结果的向量： （1）AB BC +；（2）AB AD AA '++； （3）12AB AD CC '++；（4）1()3AB AD AA '++． 解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA '++AC AA '=+AC '=； （3）设M 是CC '的中点，abbPaλa a b +acbBCD A'B'C'D'MG A则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设G 是线段AC '的三等份点（靠近点A ），则11()33AB AD AA AC AG ''++==． 例2．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD ++； （2）1()2AB BD BC ++； （3）1()2AG AB AC -+． 解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=； （2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++ AB BM MG AG =++=；（3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-=． 五、课堂练习：课本第28页练习第2题．六、课堂小结：1．空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；2．平行六面体的概念；3．向量加法、减法和数乘运算．七、作业： 补充：1．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．2．已知2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+，把向量,x y 用向量,,a b c 表示． 3．如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，设AB a =，,AD b AA c '==，,E F 分别是,AD BD '中点，（1）用向量,,a b c 表示,D B EF '；（2）化简：2AB BB BC C D D E ''''++++；BCDMGABCDEFAA'BB'CC'DD'EFA。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
选修2-1教案 3.1空间向量及其运算
§3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0 . 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+ =a +b ， AB OB OA =- （指向被减向量）， OP = λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) +c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++= ； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴； 'AB AD AA ++ ⑵；1(3)'2AB AD CC ++ ； 1(')3AB AD AA ++ ⑷． 师生共练 → 变式训练6. 练习：课本P 927. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题.教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
3.1.1空间向量及其加减运算(教学设计)
通过类比平面向量学习空间向量以及推导证明空间向量运算性质，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生类比归纳能力，探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力，培养学生形成严谨的科学态度.
教学重难
点
教学重点
《课程标准》指出本节课的学习目标是：了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算.因此，我认为本节课的教学重点为：空间向量的概念认知过程以及空间向量的加减运算法则.
3、向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多立体几何问题的解决中有着重要的应用. 本章要学习的空间向量，为解决空间中图形的位置关系提供一个十分有效的工具.
学情
分析
这节课的授课班级是高二理科普通班，学生在高一时学习了平面向量的内容，能利用平面向量解决平面几何的问题.在本节学习过程中，应引导学生思考空间向量与平面向量的区别和联系，通过与平面向量及其运算作类比，数形结合等数学思想方法的渗透，让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.我认为本节课学生对于平面向量和空间向量其相同点与不同点的理解有一定的困难.
教学难点
根据学生的认知水平，，学生会在认知平面向量和空间向量的异同时有困难，因此我认为本节课教学难点：引导学生用类比的方法学习空间向量.
教学方法
运用探究式教学。教学中,在教师的主导下,坚持学生是探究的主体,引导学生对知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动。课堂上给学生自主学习和讨论的空间,使他们有机会进行独立思考、相互讨论,并发表各自的意见。
教学
目标
1、知识与技能
掌握空间向量的有关概念，会进行空间向量的加法、减法运算.
2、过程与方法
空间向量及其加减运算导学案
§3.1.1空间向量及其加减运算一、课标要求：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算.二、学习目标：（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
（2）了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算，理解其几何意义。
三、学法指导：结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算。
通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想。
预习案1.空间向量的概念（1）空间向量的定义在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 . （2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模。
如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作 ，其模记为 或 . （3）特殊向量零向量：规定长度为0的向量叫做 ，记为 .其方向 . 单位向量： 的向量叫做单位向量.相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，记为 .相等向量：长度 而方向 的向量称为相等向量， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的加法、减法类似平面向量（三角形法则、平行四边形法则、多边形法则），定义空间向量的加减法运算： OB OA OC =+= ；CA OA OC =-= ；3.空间向量加法的运算律（1）交换律 a b += ；（2）结合律 ()a b c ++= ； 探究案思考1、空间向量与平面向量有何共同之处？思考2、空间任意两个向量是否都可以转化为平面向量？为什么？ B a=++++-n n A A A A A A A A 1433221思考3、把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？思考4、如何从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?思考5、什么是平行六面体？它与平行四边形有何联系？它的特征有哪些？例1、判断以下命题的真假：①向量AB和向量BA的长度相等；②将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；③空间向量就是空间中的一条有向线段；④不相等的两个空间向量的模必不相等．例2、已知平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式 (如图)思考6、一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？变式练习：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的共有( )①()1AB BC CC ++②()11111AA A D D C ++ ③()111AB BB B C ++④()11111AA A B B C ++ A.１个 B.２个 C.３个 D.４个 BCAB +)1(DC BAC 'B 'D 'A 'DCB C A A +''-')3(A A AD AB ++)4(D D DC DA ++)5(B B BC BA ++)6(C C AB '+)2(D C BAD 1C 1B 1A 1反馈练习1、下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；(2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b ；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个2、在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数 是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( ) ①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4、在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. 5、化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________.6、如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→ (2)DD 1→－AB →＋BC →7、在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.。
空间向量及其加减运算教学设计
空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。
（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。
易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。
教学设计：1、（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（矢量，由大小和方向确定）。
（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）：通过这个实验，我们发现研究的问题是三个力的问题，但三角形钢板受到的三个力的特点是：（1）三个力不共面，（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平面上。
所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。
这就是我们今天所研究的内容：“空间向量及其运算”（板书黑板）。
实际上空间向量我们随处可见（同学们可先举）。
然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。
学案9：3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算
3.1.1 空间向量及其加减运算~3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用.(重点、难点) 基础·初探教材整理1 空间向量的概念阅读教材第二自然段内容，完成下列问题.名称 定义空间向量 在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的______单位向量 长度或模为______的向量零向量 ______的向量相等向量 方向______且模______的向量 相反向量 ______相反且______相等的向量预习自测在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，顶点连接的向量中，与向量AD →相等的向量共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 教材整理2 空间向量的线性运算 1.(1)空间向量的加、减法运算(如图)OB →＝OA →＋AB →＝________；CA →＝OA →－OC →＝________. (2)运算律：①a ＋b ＝________； ②(a ＋b )＋c ＝________. 2.空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积________仍然是一个________，称为向量的数乘运算.当λ>0时，λa 与向量a 方向__________；当λ<0时，λa 与向量a 方向________；当λ＝0时，λa ＝________；λa 的长度是a 的长度的________倍. (2)运算律：①λ(a ＋b )＝________；②λ(μa )＝________. 预习自测1.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A.a ＋b －cB.－a －b ＋cC.－a ＋b ＋cD.－a ＋b －c2.在三棱锥A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________.教材整理3 共线向量和共面向量 1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使________. 2.共面向量(1)定义：平行于________________的向量叫做共面向量.(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使________.推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使________；或对空间任一定点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →. 预习自测判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量.( )(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量.( ) (3)如果OP →＝OA →＋tAB →，则P ，A ，B 共线.( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量.( ) 合作探究类型1 空间向量的有关概念 例1 (1)给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________.(2)如图所示，在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________.(要求写出所有适合条件的向量)名师指导1.在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.2.由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决.3.零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性. 跟踪训练 1.下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →； ③若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →为相反向量； ④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合. 其中错误的个数为( )A.1B.2C.3D.4 类型2 空间向量的线性运算例2 如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值.(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→. 名师指导用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面： 1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律； 2.要注意数形结合思想的运用.跟踪训练2.如图，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.类型3 向量的共线及判定例3 如图，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形.名师指导1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.2.判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. 跟踪训练3.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线.探究共研型探究点 向量共面探究1 P ，A ，B ，C 四点共面的四种充要条件.探究2 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面.例4 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB→＋13OC →. (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内.名师指导1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a ，b ，c 共面；(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.2.对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或P A →∥MB →，或PB →∥AM →). 跟踪训练4.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心.试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面.课堂检测1.空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( ) A.2DB → B.3MG → C.3GM →D.2MG →2.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式的运算结果为向量AC 1→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A.1个 B.2个 C.3个D.4个3.有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线； ②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________.4.在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量.参考答案基础·初探教材整理1 空间向量的概念【答案】 大小 方向 长度或模 1 长度为0 相同 相等 方向 模 预习自测 【答案】 C【解析】 与向量AD →相等的向量有BC →，A 1D 1→，B 1C 1→共3个. 教材整理2 空间向量的线性运算1.【答案】 a ＋b a －b b ＋a a ＋(b ＋c )2.【答案】 (1)λa 向量 相同 相反 0 |λ| (2)λa ＋λb (λμ)a 预习自测 1.【答案】 C【解析】 CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c . 2.【答案】 0【解析】 延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB→＋12BC →－32DE →－AD →＝0.教材整理3 共线向量和共面向量1.共(1)互相平行或重合 共线向量 (2)a ＝λb2. (1)同一个平面(2)p ＝x a ＋y b AP →＝xAB →＋yAC → 预习自测【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)× 合作探究类型1 空间向量的有关概念例1 【答案】 (1)①② (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→【解析】 (1)①正确；②正确，因为AC →与A 1C 1→的大小和方向均相同；③|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知，正确命题为①②.(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→. 跟踪训练1.【答案】 C【解析】 ①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确.AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量. ④错误.由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合. 类型2 空间向量的线性运算 例2 解：(1)因为BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， 所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1. (2)因为AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， 所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.跟踪训练2. 解：OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →) ＝12OA →＋23⎝⎛⎭⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC → ＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤OB →－12OA →＋12(OC →－OB →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . 类型3 向量的共线及判定例3 解：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝⎛⎭⎫32CG →－32CF → ＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形. 跟踪训练3. 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.探究共研型探究点 向量共面探究1 【提示】 (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →. (2)对于空间任意一定点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.(3)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1). (4)P A →∥BC →.探究2 【提示】 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面.例4 解：如图：(1)由已知，得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，∴MA →＝BM →＋CM→＝－MB →－MC →.∴向量MA →，MB →，MC →共面.(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面，∴点M 在平面ABC 内.跟踪训练4.证明：分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，因为点E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，所以M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且 PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →. 由题意知四边形MNQR 是平行四边形，所以MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →). 又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →. 所以EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面.课堂检测1.【答案】 B【解析】 MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.2.【答案】 D【解析】 根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的.3.【答案】 ②③④【解析】 根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4·⎝⎛⎭⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确；易知④也正确.4.解：∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →，∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示).。
高中数学空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算学案
3.1.1空间向量及其加减运算3。
1.2空间向量的数乘运算教学目标:㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法;⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标:学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看待事物．教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师]在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了有关平面向量的一些知识,什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？[师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下:（1)|λa|＝|λ｜|a|（2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向;当λ＝0时，λa＝0。
[师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？[师]今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率,并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本Ⅱ.新课讲授［师]如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢?［师]由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？[师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢?请大家验证这些运算律．［师]空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：11433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图),化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量:；⑴BC AB +；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 例2、如图中，已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1体对角线的交点，点P 是任意一点,则．3. 1.2空间向量的数乘运算教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做 。
空间向量的加减与数乘学案
3.1.1空间向量的加减和数乘运算学习目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习重点：空间向量的加减运算及运算律． 学习难点：由平面向量类比学习空间向量． 过程：（预习教材P 84~ P 86，找出疑惑之处）一．空间向量的相关概念1.在空间，我们把具有 的量叫做空间向量，向量的________叫做向量的长度或模2.与平面向量一样，空间向量也用 表示，此表示法为空间向量的 ， 如右图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作 ， 也可记作 .其模长记为__________或 .3. 模长为 且方向________的向量叫做零向量，记为 ,零向量的方向是 .当有向线段的起点A 与终点B 时，=4. 的向量称为单位向量.5.与向量 的向量，称为的相反向量，记为______6. 模长 且方向________的向量称为相等的向量.7.平行向量（共线向量）：如果表示空间向量的有向线段的直线________或________二．空间向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的减法的运算法则有 法则，向量的加法法则有 和 法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)λ＝ . (2)当λ＞0时，λ与 ；当λ＜0时，a λ与a ；当λ＝0时，a λ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律对于空间向量任然成立加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb4.空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．典例分析：例一：给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |=|b | ，则a =b ；④若空间向量m 、n 、p 满足m=n ，n=p ，则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．⑥在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，= （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1例2.已知平行六面体ABC D －D C B A ''''（说明：平行四边形ABCD平移向量 到平行四边形A ’B ’C ’D ’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作平行六面体ABCD —A ’B ’C ’D ’ 平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱）化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.⑴AB BC + ； ⑵AB AD AA '++ ； ⑶12AB AD CC '++ ； ⑷1()3AB AD AA '++针对训练1：如图，已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)A A -'; (2)D C C B B A ''+''+'； (3)A '-+212121.2：在上图中， 把'',AC BD 和'DB 用',,AB AD AA 的形式表示出来例3 化简下列各式： ⑴ AB BC CA ++ ; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC -- .变式：化简下列各式： ⑴OA OC BO CO +++ ⑵AB AD DC -- ⑶NQ QP MN MP ++-例4：如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值. (1)A A z y x D B '++='; (2)A A z AB y AD x AE ++=.变式：1．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF ＝AD ＋x AB ＋y 'AA ，则x －y 等于( )．A ．0B ．1C ．12D ．－122．如图，平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，AM ＝12MC ，1A N ＝2ND ，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN ．课后作业： 1.平面向量中，下列说法正确的是 ( )A.如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B.如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C.如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等D.同向且等长的有向线段表示同一向量2.如下图，在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，能与向量A '相等的向量有( ) A.0个 B.3个 C.6个 D.9个3.如上题图在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量B A '的模相等的向量有( ) A.7个 B.3个 C.5个 D.6个4.两个向量(非零向量)的模相等，是两个向量相等的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则ADAB MC +-等于…( ) A.DB 23 B.MG 3 C.GM 3 D.MG 2 6.已知空间向量a 和b ，若命题P ：a =b 则命题Q ：|a |=|b |，则P 是Q 的______条件（ ）A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分又不必要7.已知四边形ABCD 为平行四边形，则AB ,CA ,BD 的和为 ( ) A.DC B.AD C. D.BA8.如果向量AB 、AC 、BC 满足||||||BC AC AB +=,则 ( ) A.+= B.--= C.与同向 D.与同向9.如右图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ,CB =b ,1CC =c 则B A 1等于 （ ）A.a +b -cB.a -b +cC.-a +b +cD.-a +b -c10. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,、向量表达式AB →+ CD + BC DA + =_______11.在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB =a ,AD =b ,1AA =c ，则AM =_________________.（用a ,b ,c 表示）12．空间四边形ABCD 中，连结AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简（1）AB →＋BC →＋CD →，（2）AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．13.在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ，△BCD 的重心为G ，z y x ++=, 求x 、y 、z .。
空间向量及其加减运算精品教案
空间向量及其加减运算【教课目的】1．认识向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教课要点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教课难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
【讲课种类】新讲课【课时安排】1课时【教课过程】一、复习引入：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量注：（1）空间的一个平移就是一个向量；（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）CbaBb baAOD' C'OB OA AB a b ； BA OA OB a b ；OPa(R)A' B'运算律：（ 1）加法互换律：ab b aaD CA B（2）加法联合律： (ab )c a (b c)（3）数乘分派律： (a b)ab3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a到 A B C D的轨迹所形成的几何体， 叫做平行六面体，并记作：ABCD － A B C D它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向同样或许相反的非零向量叫做平行向量。
因为任何一组平行向量都能够平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量 b 与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ，使 b ＝λ a。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意此中对向量a的非零要求。
二、解说新课：1．共线向量与平面向量同样，假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于 b 记作 a // b。
和上节我们学习的空间向量的定义、 表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推行同样， 空间向量共线（平行）的定义也是平面向量有关知识的推行。
选修《空间向量及其加减运算》教学设计
人教A版课程标准实验教材数学选修2－13.1.1空间向量及其加减运算教学设计【教学目标】1．了解空间向量的概念（1）经历向量由平面向空间推广的过程，尝试类比猜想，激发学生学习兴趣．（2）知道空间向量的含义，在具体情景中能用有向线段及记号表示空间向量．（3）知道空间零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义．2．掌握空间向量的加减运算（1）理解“平行四边形法则”、“三角形法则”在空间的适用性．（2）会运用“平行四边形法则”、“三角形法则”进行空间向量的加减运算．（3）体验空间向量加法的交换律、结合律．3．了解空间向量的内容和学习方法（1）类比平面向量，了解空间向量的内容，了解空间向量与立体几何的联系．（2）基于“推广”与“特殊化”的思考，体会向量的“维度”．关于目标的说明：“三维目标”是紧密联系的，我们以知识目标为框架，将“过程与方法”、“情感态度价值观”目标置于实现知识目标的教学过程，意图使目标能落到实处．【教学重点】理解空间向量、掌握加减运算【教学难点】向量的合理位移【教学流程】【过程设计】一．述说平面向量问题：平面向量？方式：以“让我们从已知的说起！”开始，由学生自主回顾平面向量的有关知识．设计合作交流活动，用开放性、参与性激发学生的兴趣．意图：有效的学习应以学生已有的认知为基础．平面向量是空间向量最直接的基础，学生已学过但有一定的时间间隔，并且本课需要用其内容作推广．二．尝试提出问题质疑：难道向量只能是平面上的吗？情景：（基于平面向量的特殊化与推广的思考方式）意图：合理地提出有价值的问题，是当前教学中的薄弱环节．我们期望学生能提出：是否应该有空间中的向量？直线上的向量？同时以此引出空间向量问题，让学生感受到“数学是自然的”．三．感悟空间向量活动：（凭直觉）举出一个“似乎是空间中的向量”的例子．素材：（1）空间直角坐标系（学过的）；（2）手中的一支笔（眼前的）；（3）钢板受力（教材上的）；（4）建筑物中的“向量影子”．方式：教师的适当引导．意图：在提出概念的形式化定义之前，让学生充分体验概念的内涵．四．学习空间向量问题：空间向量？方式：以“让我们大胆猜想！”开始，由学生类比平面向量的有关内容从文字表述直接推广到空间，得到空间向量的相关内容．教师再组织学生，以“手中的笔”为代表，体验空间向量及有关概念和加减运算法则．意图：让学生“猜想”、“比划”，不仅使数学学习的过程更加生动、有趣，而且是内容性质（推广学习）的需要．注意：必须让学生体会到“因为空间任意两个向量都能平移到同一平面内，所以空间两个向量的运算就是平面内两个向量的运算”这一核心思想方法的本质．同时，也应该让学生适度体会到“这两个向量所在的平面与那两个向量所在的平面，可能不是同一个平面”这一空间与平面的区别．五．训练实践能力情景：平行六面体目标：（1）相等向量、相反向量、单位向量；（2）向量的加减运算；（3）加法运算律． 方式：变式训练．意图：平行六面体是空间向量的基本模型，解题是知识的深化、理解的提升．六．归纳拓展提升情景：（1）类比、联系的思考方式；（2）特殊化的思考方式；（3）共面向量与共面直线． 方式：反思．意图：（1）归纳空间向量的学习方法（章导言的处理）；（2）体验向量的维度；（3）体会空间向量与立体几何的联系与区别． 【几点思考】1．对空间向量的概念（及相关概念）的学习目标定为“理解”比“了解”似乎更贴切．（课标要求为“了解”）2．“章前图”、“章导言”不一定在一章的起始课的开始阶段处理，特别是关于全章的内容介绍与学法指导，设计在起始课的“小结与提升”阶段更具有以点带面、启发拓展的作用．3．关于课外作业的说明：本节课教材上的练习、习题已在课内完成，课外作业可视学生的具体情况而定．2007年11月10日？空间 向量类比。
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3.1.1～3.1.2 空间向量及其加减与数乘运算
教学目标：（1）学生通过与平面向量及运算作类比并借助图形，理解空间向量的概念，掌握
空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，并思考两者的联系和区别。
（2）让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比和归纳的数学思
想方法，并体验数学在结构上的和谐性。
教学重点：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。
教学难点：空间向量加减法和数乘运算律的灵活应用。
一．新知预习
1.在 ，我们把 ，叫做空间向量.
____________叫做向量的长度或模.
2.与平面向量一样，空间向量也用 表示，此表示法为空间向量的 . 如右图，此向量的起点是A ，终点是B ，可记作 ，
也可记作 .其模长记为__________或 .
3. 叫做零向量，记为 ,
零向量的方向是 .当有向线段的起点A 与终点B 时，0AB =
4. 的向量称为单位向量.
5.与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为-a .
6. 的向量称为相等的向量.
因此，在空间， 的有向线段表示 或 .
7.类似于平面向量，定义空间向量的加减运算如下：
OB = = ,
AB = = .
推广
:
. 为什么平面向量的加减法运算法则能推广到空间? 你是如何理解的?
8.空间向量的加法运算满足：
交换律： ; 结合律： .你能尝试利用图形来进行说明吗?
9.实数λ与a 的积仍然是一个向量，记作 ,称为向量的数乘.长度与方向规定为：
(1)长度是 .
(2)方向：当λ>0时， ；当λ<0时， ;当λ=0时， . =++++-n n A A A A A A A A 1433221
10.空间向量的数乘运算满足分配律与结合律.
分配律： . 结合律： .
二．典例分析
例1. ⑴ 花简: AB CD BC ++= . AP MN NP +-= .
EF OF OE +-= .
⑵ 已知平行六面体ABC D －D C B A '''',化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.
①AB BC AA '+- ； ② AB AD AA '++ ； ③12AB AD CC '++ ； ④ 1()3
AB AD AA '++ 思考:三个不公面的向量的和与这三个向量有什么关系?
⑶ 若E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心 ，
且 ，求x,y.
⑷已知平行六面体ABC D -D C B A ''''1 , 若 , 求x .
⑸ 若
，求x.
变式：在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD ，△BCD 的重心为G ，
① z y x ++=, 求x 、y 、z . ② 求证： . 与例一（2）中④比较，你能得出什么结论，你能从几何角度给出证明吗？
y x ++=AC AD xAC '''
+=
2AD BD xAC ''-= 1()3AG AB AC AD =++。