新教材苏教版高中数学必修第二册课件向量应用

课堂 小结 提素 养
1．本节课的重点是平面向量在平面几何中的应用，难点是平面 向量在物理中的应用．
2．要掌握平面向量的应用 (1)利用平面向量解决平面几何中的平行、垂直问题； (2)平面向量在物理中的应用． (3)平面向量的综合应用．
1．力 F＝(－1，－5)作用于质点 m，使 m 产生的位移 s＝(4，6)，
则力 F 对质点 m 做的功是( )
A．34
B．26
C．－34
D．－26
C [∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4，6)＝－34， ∴力 F 对 m 所做的功是－34.]
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知O→A＝(－1，t)，O→B＝(2，2)．若 ∠ABO＝90°，则实数 t 的取值为________．
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由xy＝＝2－y－2x2＋，4，
得x＝65， y＝58，
∴点 P 的坐标为65，58.
∴|A→P|＝ 652＋852＝2＝|A→B|，即 AP＝AB．
平面向量的综合应用
【例 3】 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，A→B·A→C＝9，tan A＝
43，P
为线段
AB
上的点，且C→P＝x·C→ →A
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有A→B·B→C＝0． (2)若A→B∥C→D，则直线 AB 与 CD 平行． (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．
() () ()
[解析] (1)可能A→C·C→B＝0 或B→A·A→C＝0，故错误． (2)A→B∥C→D，AB，CD 亦可能在一条直线上，故错误． (3)W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，故错误．
2. 物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么关系？ 物理学中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么运算？
向量的应用 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(2)向量在物理中的应用 ①速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加 减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则． ②物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位 移的乘积，它的实质是向量的数量积．
→ ＋y·C→B
，则
|CA| |CB|
xy
的最大值为
________．
3 [在 Rt△ABC 中，由A→B·A→C＝9，得 AB·AC·cos A＝9， 因为 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝43， 所以 cos A＝35， 所以 AB·AC＝15，所以 AB＝5，AC＝3，BC＝4.
[跟进训练] 3. 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝ 120°，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD 上，且B→P＝λB→C，D→Q＝81λD→C， 则A→P·B→Q的最大值为( ) A．－2 B．－32 C．34 D．98
D [因为 AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°， 所以 ABCD 是直角梯形，作 CM⊥AB 交 AB 于 M 点，则 CM＝ 3， ∠BCM＝30°， 以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示 的平面直角坐标系，
[答案] 4
合作 探究 释疑 难
向量在物理中的应用
【例 1】 如图所示，在重 300 N 的物体上 拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅 垂线的夹角分别为 30°，60°，求当整个系统处于 平衡状态时，两根绳子拉力的大小．
[思路点拨] 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解 决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．
因为B→P＝λB→C，D→Q＝81λD→C，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD
上，则 λ∈18，1，
B(2，0)，P(2－λ，
3λ)，Q81λ，
3，
所以A→P·B→Q ＝(2－λ， 3λ)·81λ－2， 3＝5λ＋41λ－4－18.
令 f(λ)＝5λ＋41λ－4－18且 λ∈18，1， 由对勾函数性质可知，当 λ＝1 时可取得最大值， 则 f(λ)max＝f(1)＝5＋14－4－18＝98.]
(2)W＝F·A→B＝(F1＋F2)·A→B ＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)． ∴合力 F 对质点所做的功为－102 J.
向量在平面几何中的应用
【例 2】 如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE.
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．已知△ACB，A→B＝a，A→C＝b，且 a·b＜0，则△ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的形状为( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
[答案] A
3．已知 F＝(2，3)作用一物体，使物体从 A(2，0)移动到 B(4， 0)，则力 F 对物体作的功为________．
]
4．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 是⊙O 上任一点(不与 A， B 重合)，求证：∠APB＝90°.(用向量方法证明)
[证明] 连接 OP，设向量O→A＝a，O→P＝b， 则O→B＝－a，且P→A＝O→A－O→P＝a－b，P→B＝O→B－O→P＝－a－b， ∴P→A·P→B＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0， ∴P→A⊥P→B， 即∠APB＝90°.
[解] (1)A→B＝(－13，－15)， W1＝F1·A→B＝(3，4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． ∴力 F1，F2 对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，A→F＝(2，1)，D→E＝(1，－2)．
因为A→F·D→E＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
用向量法证明平面几何问题的方法，两种常见的思路： (1)向量的线性运算法 选取基底 → 把待证问题用基底线性表示 → 利用向量的线性运算或数量积找相应关系 → 把向量问题几何化
[解] 如图，作平行四边形 OACB，使∠AOC＝30°，
∠BOC＝60°.
在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝
90°.|O→A|＝|O→C|cos 30°＝300× 23＝150 3(N)，|O→B|＝
→ |OC|sin
30°＝12×300＝150(N)．
故与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是 150 3 N，与铅垂线成 60°
(3)向量在平面解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条 件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思 想，是高考考查的热点之一．解决此类问题的思路是转化为代数运算， 其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量 数量积的公式和性质．
角的绳子的拉力是 150 N.
1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加 法的平行四边形法则对力进行分解和合成．
2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位， 借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．
[跟进训练] 1．已知两恒力 F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之 由点 A(20，15)移动到点 B(7，0)． (1)求 F1，F2 分别对质点所做的功； (2)求 F1，F2 的合力 F 对质点所做的功．
(2)向量的坐标运算法 建立适当的坐标系 → 把相关量坐标向量化 → 利用向量的坐标运算找相应关系 → 把向量问题几何化 但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标 法更好用．
[跟进训练] 2．已知在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，AD 的中点，BE，
CF 交于点 P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．
[思路点拨] 法一：选取基底，并证明D→E·A→F＝0. 法二：建立平面直角坐标系证明A→F·D→E＝0.
[解] 法一：设A→D＝a，A→B＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2， 所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2 ＝－12a2－34a·b＋b22＝－12|a|2＋12|b|2＝0， 故A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB＝2，则 A(0， 0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)．
(1)∵B→E＝(－1，2)，C→F＝(－2，－1)． ∴B→E·C→F＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴B→E⊥C→F，即 BE⊥CF. (2)设点 P 坐标为(x，y)， 则F→P＝(x，y－1)，F→C＝(2，1)，∵F→P∥F→C， ∴x＝2(y－1)，即 x＝2y－2， 同理，由B→P∥B→E，得 y＝－2x＋4，
第9章 平面向量
9.4 向量应用
学习目标 1.会用向量方法解决简单的物理 问题及其他的一些实际问题. 2.会用向量方法解决某些简单的 几何问题．(重点、难点)
核心素养 通过学习向量的应 用，提升学生的数学 建模和数学运算核心 素养.
情景 导学 探新 知
1．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b 的夹角为 θ. 证明线线平行、 点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？证明垂直问题，可用向量 的哪些知识？
5 [A→B＝O→B－O→A＝(3，2－t)，由题意知O→B·A→B＝0， 所以 2×3＋2×(2－t)＝0，解得 t＝5.]
3．在 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，O→A＝(－3，1)，O→B＝(－ 2，k)，则实数 k＝________.
4 [如图所示，由于O→A＝(－3，1)，O→B＝(－2，k)，所以A→B＝O→B －O→A＝(1，k－1)．在矩形中，由O→A⊥A→B得O→A·A→B＝0，所以(－3， 1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得 k＝4.
又 P 为线段 AB 上的点，且C→P＝3x·C→A＋4y·C→B， 故3x＋4y＝1≥2 3x·4y， 即 xy≤3，当且仅当3x＝4y＝12， 即 x＝32，y＝2 时取等号．]
利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来， 要先将线段看成向量，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题 的条件结论明晰化，得以解决．