新教材苏教版高中数学必修第二册课件向量应用
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向量平行的坐标表示【新教材】苏教版高中数学必修第二册课件
[证明] 设点 E，F 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
小 结
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探 新
依题意有，A→C＝(2，2)，B→C＝(－2，3)，A→B＝(4，－1)．
提 素
知
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合 作
∵A→E＝13A→C，∴(x1＋1，y1)＝13(2，2)，
探
课 时
究
释 疑
∴点 E 的坐标为－13，23，
分 层 作 业
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知 以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．
养
合 作
2．本例也可以直接套用定比分点公式求解．
课
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提醒：注意方程思想的应用．
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1．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示．
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第9章 平面向量
堂 小
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新 知
9.3 向量基本定理及坐标表示
素 养
合 作
9.3.3 向量平行的坐标表示
课
探
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究
分
苏教版 高中数学必修第二册 向量的数量积 课件1
3.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝__|a_|_c_o_s_θ___ (2)a⊥b⇔ ___a_·b_＝__0___ (3)当a与b同向时，a·b＝ __|a_||_b_| _；当a与b反向时，a·b＝_－__|a_|_|b_| ，特别地，a·a＝|a|2 ___或|a|＝ a·a. 在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方 (4)|a·b|__≤__|a|·|b|.
如果 a 与 b 的夹角是π2，我们说 a 与 b__垂__直____，记作__a_⊥__b___.
2.向量的数量积及其几何意义
向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量_|_a_||_b_|c_o_s_θ__叫做向 量a与b的数量积(或内积)，记作___a_·b___，即a·b＝_|_a_||b_|_c_o_s _θ_. 规定：零向量与任一向量的数量积为___0_.
__正__确____
消去律 ab＝bc(b≠0)
__错__误____
例1 (多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下
列结论，正确的是
√A. a·c－b·c＝(a－b)·c
B.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
√C.|a|－|b|<|a－b| √D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
9.2.3 向量的数量积
1.向量的夹角
两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而 两直线夹角的范围为0，π2
(1)定义：已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作向量O→A
高二下学期数学苏教版选择性必修第二册6.2.2空间向量的坐标表示课件PPT
上运动，则当Q→A·Q→B取得最小值时，点 Q 的坐标为( )
A. 1，23，43
B. 43，43，83
C. 53，1，83
D. 23，53，83
【解析】 设 Q(x，y，z)，则O→Q＝(x，y，z)．因为点 Q 在直线 OP 上运动，所以O→P
∥O→Q，所以1x＝1y＝2z，即 y＝x，z＝2x，所以O→Q＝(x，x,2x)，所以Q→A·Q→B＝(O→A－O→Q)·(O→B
【答案】 2
解析 答案
例 2 已知 A(3,1,3)，B(1,5,0)，求：
(1) 线段 AB 的中点坐标和 AB 的长度；
(2) 到 A，B 两点距离相等的点 P(x，y，z)的坐标 x，y，z 满足的条件．
【解析】 (1) 设 M 是 AB 的中点，O 是坐标原点，
则O→A＝(3,1,3)，O→B＝(1,5,0)，
C. 90°
D. 120°
【解析】 因为向量 a＝(1,1,1)，b＝(0,1,－1)，所以 a·b＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0， 所以 a⊥b，则 a，b 的夹角为 90°.
解析 答案
2. 已知 O 为坐标原点，O→A＝(1,2,3)，O→B＝(2,1,2)，O→P＝(1,1,2)，点 Q 在直线 OP
(2) 因为点 A 的坐标为 23，12，0，B(0，－1,0)，
所以A→D＝－ 23，－1， 23，B→C＝(0,2,0)，
所以A→D与B→C夹角的余弦值为
cos〈A→D，B→C〉＝
→→ AD·BC →→
＝－
510.
|AD|·|BC|
解析
解析
活动二 空间向量的数量积的坐标运算及其应用
例 1 (1) 设 a＝(1,－1,1)，b＝(－2,0,1)，则 cos〈a，b〉＝________；
新教材苏教版必修第二册932第二课时向量数量积的坐标表示课件
向量坐标运算与平面几何的交汇
[例3] 已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．
[解] (1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， ∴―A→ B ＝(1，1)，―AD→＝(－3，3)， 则―A→ B ·―AD→＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴―A→ B ⊥―AD→，即AB⊥AD. (2)∵―AB→⊥―AD→，四边形ABCD为矩形，∴―AB→＝―D→C . 设点C的坐标为(x，y)，则―D→C ＝(x＋1，y－4)， 从而有xy－＋41＝＝11，，即xy＝＝50，，∴点C的坐标为(0，5)． ―AC→＝(－2，4)，―AC→＝ （－2）2＋42＝2 5， 故点C的坐标为(0，5)，矩形ABCD的对角线的长度为2 5.
若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？
提示：不一定，有可能θ＝180°.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，则a ⊥b . (2)若a ＝(1，2)，b ＝(－1，－2)，则a ＝b . (3)若a ＝(1，2)，b ＝(－1，－2)，则|a |＝|b |. (4)若a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，则|a ＋2b |＝4. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
π 答案： 4
向量数量积的坐标运算
[例1] (链接教科书第32页例1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －
3b )等于
A．10
B．－10
C．3
D．－3
[解析] ∵a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝( )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. [答案] B
苏教版 高中数学必修第二册 平面向量基本定理 课件2
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→D＝c， 则以 a，b 为基底时，A→C可表示为___a_＋__b__，以 a，c 为基底时，A→C可 表示为__2_a_＋__c__.
解析 以 a，b 为基底时，A→C＝A→B＋A→D＝a＋b； 以 a，c 为基底时，将B→D平移，使 B 与 A 重合，再由三角形法则或平行 四边形法则即得A→C＝2a＋c.
【训练1】 设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作 为 基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.eБайду номын сангаас和e1＋e2
解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作
牛刀小试
1．已知梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试以 a，b 为基底表示D→C，B→C， → EF.
[解] 如图所示，连接 FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点， ∴DC FB，
∴四边形 DCBF 为平行四边形． ∴D→C＝F→B＝12A→B＝12b；B→C＝F→D＝A→D－A→F＝A→D－12A→B＝a－12b； E→F＝D→F－D→E＝－F→D－D→E＝－B→C－12D→C＝－a－12b－12×12b＝14b－ a.
2.正交分解 对于分解a＝λ1e1＋λ2e2，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解．
平面向量基本定理的理解
【例1】 如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否 正确，并说明理由. (1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.
苏教版 高中数学必修第二册 向量的加减法(第2课时) 课件1
9.2.1 向量的加减法（第2 课时）
向量的减法 (1)向量减法的定义
若_b_＋__x_＝__a，则向量 x 叫作 a 与 b 的差，记为_a_－__b，求两个向量差的运算，
叫作向量的减法．
(2)向量的减法法则 如图所示，以 O 为起点，作向量O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即当向量 a，b 起点相同时，从 b 的终点指向 a 的终点的向量就是 a－b.
【例 6】 如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形，B 是该平行四
边形外一点，且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示
向量C→D，B→C，B→D. 解 因为四边形ACDE是平行四边形， 所以C→D＝A→E＝c，B→C＝A→C－A→B＝b－a， 故B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
பைடு நூலகம்
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解 方法一 如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c. 方法二 如图②，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b，再作C→B＝c，连接 OC，则O→C＝a＋b－c.
【解析】由题意可得C→B ＝O→B －O→C ＝D→O －A→O ＝b－a. 答案：b－a
3.已知△OAB 中，O→A ＝a，O→B ＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB 的面 积.
【解析】由已知得|O→A |＝|O→B |，以O→A ，O→B 为邻边作平行四边形 OACB，则可知 其为菱形， 且O→C ＝a＋b，B→A ＝a－b， 由于|a|＝|b|＝|a－b|，则 OA＝OB＝BA， 所以△OAB 为正三角形， 所以|a＋b|＝|O→C |＝2× 3 ＝2 3 ，S△OAB＝12 ×2× 3 ＝ 3 .
向量的减法 (1)向量减法的定义
若_b_＋__x_＝__a，则向量 x 叫作 a 与 b 的差，记为_a_－__b，求两个向量差的运算，
叫作向量的减法．
(2)向量的减法法则 如图所示，以 O 为起点，作向量O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即当向量 a，b 起点相同时，从 b 的终点指向 a 的终点的向量就是 a－b.
【例 6】 如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形，B 是该平行四
边形外一点，且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示
向量C→D，B→C，B→D. 解 因为四边形ACDE是平行四边形， 所以C→D＝A→E＝c，B→C＝A→C－A→B＝b－a， 故B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c.
பைடு நூலகம்
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解 方法一 如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b，再作O→C＝c，则C→B＝a＋b－c. 方法二 如图②，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b，再作C→B＝c，连接 OC，则O→C＝a＋b－c.
【解析】由题意可得C→B ＝O→B －O→C ＝D→O －A→O ＝b－a. 答案：b－a
3.已知△OAB 中，O→A ＝a，O→B ＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB 的面 积.
【解析】由已知得|O→A |＝|O→B |，以O→A ，O→B 为邻边作平行四边形 OACB，则可知 其为菱形， 且O→C ＝a＋b，B→A ＝a－b， 由于|a|＝|b|＝|a－b|，则 OA＝OB＝BA， 所以△OAB 为正三角形， 所以|a＋b|＝|O→C |＝2× 3 ＝2 3 ，S△OAB＝12 ×2× 3 ＝ 3 .
9.2.1向量的加减法课件高中数学苏教版必修第二册
量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的.
微练习
(1)在平行四边形 ABCD 中,下列结论错误的是(
)
A. =
B. + =
C. = +
D. + =0
(2)化简 + + =
答案 (1)C
.
(2)0
解析 (1)因为 = + ≠ + ,所以 C 错误.
(2) + + = + + =( + )+ = + =0.
(3) + + + + = + + + + = + +
+ = + + = + =0.
(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
名师点析 |a+b|与|a|,|b|之间的关系
对任意两个向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立.
微练习
已知非零向量a,b,c,则向量(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(b+a),c+(a+b)中,
名师点析 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区分与联系
区分:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起
点”;(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅
适用于不共线的两个非零向量求和.
苏教版高中数学选择性必修第二册6.2.1空间向量基本定理【教学课件】
解 因为P，N分别是D1C1，BC的中点， 所以P→N＝P→C1＋C→1C＋C→N＝12A→B＋(－A→A1)＋－12A→D＝－a＋12b－12c.
2.若把本例中“P 是 C1D1 的中点”改为“P 在线段 C1D1 上，且PCD1P1＝12”，其他条件不变，如何表示A→P？
解 A→P＝A→D1＋D→1P＝A→A1＋A→D＋23A→B＝a＋c＋23b.
随堂演练
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是
A.A→B，A→C，A→D
B.A→B，A→A1，A→B1
√C.D—1→A1，D—1→C1，D→1D
D.A→C1，A→1C，C→C1
解析 由题意知，D—1→A1，D—1→C1，D→1D不共面， 可以作为空间向量的一个基底.
－3λ＋μ＝1，
∴λ＋μ＝2， 2λ－μ＝－1，
此方程组无解，
∴O→A，O→B，O→C不共面，
∴{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底.
反思感悟 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是 否共面，若不共面，就可以作为一个基底. (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几 何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基 础上构造其他向量进行相关的判断.
第6章 §6.2 空间向量的坐标表示
学习目标
1.掌握空间向量基本定理及其推论. 2.会选择适当的基底表示任何一个空间向量.
导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2.我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底.类 似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量e1，e2，e3表 示呢？
2.若把本例中“P 是 C1D1 的中点”改为“P 在线段 C1D1 上，且PCD1P1＝12”，其他条件不变，如何表示A→P？
解 A→P＝A→D1＋D→1P＝A→A1＋A→D＋23A→B＝a＋c＋23b.
随堂演练
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是
A.A→B，A→C，A→D
B.A→B，A→A1，A→B1
√C.D—1→A1，D—1→C1，D→1D
D.A→C1，A→1C，C→C1
解析 由题意知，D—1→A1，D—1→C1，D→1D不共面， 可以作为空间向量的一个基底.
－3λ＋μ＝1，
∴λ＋μ＝2， 2λ－μ＝－1，
此方程组无解，
∴O→A，O→B，O→C不共面，
∴{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底.
反思感悟 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是 否共面，若不共面，就可以作为一个基底. (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几 何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基 础上构造其他向量进行相关的判断.
第6章 §6.2 空间向量的坐标表示
学习目标
1.掌握空间向量基本定理及其推论. 2.会选择适当的基底表示任何一个空间向量.
导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2.我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底.类 似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量e1，e2，e3表 示呢？