七年级数学下册 8.4 因式分解《提公因式法》教案3 (新版)沪科版
沪科版七年级数学下册 8.4 《提公因式法因式分解》讲义设计 (无答案)
《提公因式法因式分解》讲义提公因式法分解因式主要考查确定公因式的方法，用提公因式的方法分解因式.(包括公因式是单项式和多项式的情况)一．方法解读1.提公因式法分解因式的前提：多项式各项有公因式.2.提公因式法分解因式的关键：确定多项式的公因式.3.确定公因式的方法(1)系数：当各项系数都是整数时，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)字母：取各项都含有的字母因式(也可以是多项式因式)作为公因式.(3)指数：取各项都含有的相同因式的最低次幂的指数作为公因式中该因式的指数. 二．例题解析例1.多项式3m2n3-6m3n2q-9m2nq2的公因式是 ( )A.3mnqB.3m2n2C.m2n2D.3m2n解：各项系数的最大公约数为，各项都含有的字母为和，m和n的最低指数分别为和，故公因式为 .变式练习：1.因式分解：x2-x=__ __.2.因式分解：a2+a=__ __.3.因式分解：a2b-a的结果为__ __.例2.因式分解：5a2b(x-y)2-10ab2(y-x)3.解：原式=5a2b(x-y)2+10ab2(x-y)3=5ab(x-y)2[a+2b(x-y)]=5ab(x-y)2(a+2bx-2by).注意：（x-y）2=（y-x）2变式练习：1.因式分解： 3x(x+y)-(x+y)22.因式分解：6(p+q)2-2(p+q)三．过关检测用提取公因式法因式分解. 1.2x2y+6xy22.6m2n-15mn2+30m2n2.3.3x(x+y)-(x+y)24.mn(m-n)-m(n-m)5.4(y-x)2-2(x-y)6.ｘ4-3ｘ3-28ｘ2.7.6x(x-y)2+3(y-x)38.x3-y3+x2y-xy29.分解因式（m+n）（p+q）-（m+n)(p-q).10.简便运算2020×106-2020×8+404011.若a+b=6,ab=5.求:(1)a2b+ab2.(2)a2b4+a4b2.12.若a、b、c是三角形的三条边，且满足：（a-b）(a2+b2)=(a-b)c2试判断三角形的形状.。
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 提公因式法》教案_30
5.小试牛刀
下列说法正确的是（ ）
6.你是如何确定公因式的呢？小组交流讨论
确定公因式的方法：（1）取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数。
（2）取各项都含有的相同字母或相同因式的最低次幂作为公因式的因式。
提公因式法：若一个多项式的各项含公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式，这种分解方法叫提公因式法。
2．例题讲解
例1 把下列各式分解因式
解：
解析：先正确找出公因式，提出公因式之后，接着用多项式/公因式=括号中的内容。
3．巩固练习
1.把下列各式分解因式
解析：1明确提公因式法分解因式的前提
2明确提公因式法的步骤
四．课堂小结
1.什么是因式分解？如何判断因式分解的结果是否正确？
2.什么是公因式，如何确定公因式？
教学设计
年级学科
主备教师
授新授课
课 题
8.4.（1）因式分解-提公因式法
学习目标
1.知识与技能：了解多项式的因式分解，知道因式分解与乘法运算之间的区别与联系，会用提公因式法进行简单的因式分解。
2.过程与方法：经历从分解因数到分解因式的类比过程，理解因式分解的概念。
3.情感态度与价值观：培养学生独立思考及类比学习的思想。
3.提公因式法分解因式时，有几步？
五．作业布置
课堂作业：教材P75 练习1,2,3
课外作业：同步练习50
六．板书设计
课后 反思
重难点
重点：理解因式分解的意义，掌握用提公因式法把多项式分解因式。
难点：正确确定多项式的公因式。
学法指导
师生札记
导
学
沪科版七年级数学下册 8.4因式分解 教案设计
8.4因式分解（二）第1课时运用平方差公式进行分解因式一、教学目标：1. 使学生进一步理解因式分解的意义.2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征.3. 会运用平方差公式分解因式.4. 通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力.5. 感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点.6. 培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力.7. 感悟换元的思想方法.说明以前学习运用公式法分解因式，主要的评价手段是能否牢记公式的特点，在运用公式解题时过分地追求问题的熟练和技巧，无形之中影响了学生学习数学的兴趣和信心.现在我们试图先通过对具体的数字运算或简单图形的面积计算让学生对公式有一个感性认识，让学生在与同伴交流中思考、感悟，使学生内心产生解决问题的欲望，从而进一步上升到理性认识.这种设计更符合学生从“特殊到一般”、从“具体到抽象”的认知特点.二、教学重点、难点：1. 理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征.2. 会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式三、教具、学具：投影仪、条件较好的使用多媒体演示四、教学过程：（一）设置情景：情景1：小组讨论：992－1是100的整数倍吗？你是怎样想的？说明：学生可能直接计算出结果，应予以肯定.在这儿可以设计系列问题予以引导：1.判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？如：12是3的整数倍吗？（学生知道就是把12分解因数.）2.类似地要判断992－1是100的整数倍呢？也可以想到尝试分解.3.992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？为什么可以这么写？9992－1可以吗？4.a 2－1可以写成（a+1）(a －1)吗？5.a 2－4可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样子呢？6.a 2－b 2呢？情景2：和老师比一比，看谁算的又快又准确：572－562 962－952 (2517)2－(258)2说明：算式的设计要体现出运用分解计算的简便性，以激发学生的好奇心和求知欲.问：为什么你们没有老师算的快呢？你想知道老师是怎么计算的吗？思考：在以上的这些算式中，你发现他们有什么共同点？用自己的语言说一说.情景3：计算图中的阴影部分面积（用a 、b 的代数式表示）问题一：整体计算可以怎样表示？问题二：分割成如图两部分可以怎样计算？问题三：比较两种计算的结果你有什么发现？说明：学生可能先分割再整体得出：(a+b)(a －b)=a 2－b 2 (1)也有的是先整体再分割得出 a 2－b 2=(a+b)(a －b) (2)两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系.思考：1.对于（1）式从左边到右边的变形叫什么？2.对于（2）式从左边到右边的变形叫什么？3.我们已经学习提公因式法分解因式.在（2）式的左边有公因式吗？但它写成右边的形式是分解因式吗？可见，没有公因式的某些多项式也可以用别的方法分解.（二）平方差公式的特征辨析：把乘法公式(a+b)(a －b)=a 2－b 2反过来得：a 2－b 2=(a+b)(a －b)我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式.这种方法叫运用平方差公式法.[议一议]：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x 2－y 2 （2）x 2+y 2 （3）－x 2－y 2（4）－x 2+y 2 （5）64－a 2 （6）4x 2－9y 2说明：这里是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨别哪些能用公式就可以，教师在具体使用时，可以先出示前面4道题，为了降低难度可以先把第5题写为82－a 2然后改写成64－a 2形式，让学生体会转化的数学思想.对于最后一题若学生对幂的运算较生疏，可以适当补充练习，如：填空：4a 2=( )2 94b 2=( )2 x 2y 2=( )2.进而让学生自己体会公式中的a 与b 可以表示一个数，也可以表示一个式子，渗透换元的思想方法.最后，教师可以用简练的语言总结平方差公式的特点：1.左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.2.右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差.3.在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式.（三）例题教学例1 把下列多项式分解因式：(1) 36－25x 2 (2) 16a 2－9b 2分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x 2、16a 2、9b 2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键.解： 36－25x 2=62－(5x)2=(6+5x)(6－5x)16a 2－9b 2=(4a)2－(3b)2=(4a+3b)(4a －3b)说明： (1)对于多项式中的两部分不是明显的平方形式,应先变形为平方形式,再运用公式分解,以免出现16a2－9b2=(16a+9b)(16a－9b)的错误.（2）在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所引起的现象.例2 如图，求圆环形绿化区的面积.解：352π－152π=π(352－152)=(35+15)(35－15)π=50×20π=1000π(m2)这个绿化区的面积是1000πm2说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，可能解释为逆运用乘法结合律，也可能解释为合并同类项，都要予以肯定，在这儿不要怕浪费时间，通过比较得出上述解法和前一节的提取公因式是一致的，从而为分解因式的一般步骤打下伏笔，即：先提公因式，再运用公式.例3 把下列多项式分解因式：1. (x+p)2－(x+q)22. 9(a+b)2－4(a－b)2分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察和心算，而后是进行变形.这一点在这儿尤为重要.解：(x+p)2－(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)－(x+q)]=(2x+p+q)(p－q)9(a+b)2－4(a－b)2=[3(a+b)]2－[2(a－b)]2=[3(a+b)+2(a－b)] [3(a+b)－2(a－b)]=(5a+b)(a+5b)说明：设计本题的目的是让学生加深平方差公式中的a、b不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式，进一步渗透整体、换元的思想.例4.（供选择）观察下列算式回答问题：32－1=852－1=24=8×372－1=48=8×692－1=80=8×10………问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？解： 任意一个奇数的平方与1的差是8的整数倍.(2n+1)2－1 =[(2n+1)+1][(2n+1)－1]= (2n+2)·2n=2(n+1)·2n=4n(n+1)因为n 是整数，所以n 、n+1是两个连续的整数，而两个连续的整数一定有一个是偶数，即n(n+1)是2的倍数，因此4n(n+1)是8的倍数.（四）练习1.下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x+y)(x －y)（2）9－25a 2=(3+25a)(3+25b)（3）－4a 2+9b 2=(－2a+3b)(－2a －3b)2.把下列各式分解因式：（1） 36－x 2 （2） a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2（4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2（7） 25(a+b)2－4(a －b)2 （8） 0.25(x+y)2－0.81(x －y)23.在边长为16.4cm 的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下的纸片的面积.4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y=21，求x －y 的值. （五）小结学生自己说出通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因式分解的关系.能用自己的语言说出平方差公式的特点.能体会出公式中的字母a 、b 不仅可以表示数字，而且可以是单项式、多项式.（六）作业利用因式分解计算：（1）22200120031001 （2）(1－221)(1－231)(1－241)…(1－291)(1－2101) （3）已知：4m+n=90，2m －3n=10，求(m+2n)2－(3m －n)2的值.。
沪科版 七年级下册 8.4因式分解--提取公因式法 教案设计
8.4因式分解--提取公因式法教学目标知识技能目标：理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解过程方法目标：初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式情感态度目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解教学难点：例2中涉及的添括号法则教学过程一、创设情景，利用旧知，引出问题1、如图一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m，如何计算这块菜园的面积呢？列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式)有简便算法吗?×(3.8+6.2)=3.7×10=37(m2)6.2（备注：可能有学生会提出把两个小的长方形补成一个大的长方形,那就更好,或其他的方法，教师都应该及时肯定学生思维中的闪光点。
）2、根据列出的式子由学生小结：（1）应用分配律，使计算简便（2）分配律的一般式m（a+b）=ma+mb（整式乘法运算）而上述的计算应用的是它的逆运算ma+mb=m（a+b）（*）从上节课的因式分解角度观察式（*）（1）可以看作是因式分解（2）做法是把每一项中都含有的相同的因式，提取出来二、探求新知，建构方法1、让学生观察多项式：ma+mb（让学生说出其特点：都有m，含有两种运算等，然后教师规范其特点，从而引出新知。
）教师规范说出概念：各项都含有一个公共的因式m，则m叫做这个多项式各项的公因式。
注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。
2、简单体验：多项式ab-b2各项的公因式是b多项式4x2y-6xy2z各项的公因式是2xy让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是 x 、 y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。
3、独立练习，巩固新知指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式）⑴ax+ay-a （a）⑵5x2y3-10x2y （5x2y）⑶24abc-9a2b2 （3ab）⑷m2n+mn2 （mn）⑸x(x-y)2-y(x-y) (x-y)显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳板书）⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）⑵字母取各项的相同字母，（3）其中相同字母的指数取最低次幂（4）公因式也可以是多项式4、说出下列多项式各项的公因式（检测性练习）（1）2ax+4ay (2) 9x+6x +3x (3) 4a-6a(4) 4xy-12xy (5) -5ax+15ax (6) –x+2x-3x5、根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 提公因式法》教案_13
8.4 因式分解教学设计【学习目标】1、了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系。
让学生感受数学知识的整体性和逆向思考问题的习惯。
2、会用提公因式法进行因式分解。
相当于用公因式去除已知多项式，所得的商式就是另一个因式，再把多项式写成两个因式的积。
3、经历因式分解的过程，提高学生的观察能力、逆向思维能力。
【学习重点】用提取公因式法进行因式分解。
【学习难点】正确理解因式分解的概念，准确找公因式。
【学习过程】一、温故知新回忆：运用前面所学的知识填空：（1）m(a+b+c) (2)x(x+1)(x-1) (3)(a+b)²结果是多项式。
探究：把下列多项式写成乘积的形式:（1）ma+mb+mc=m(a+b+c) (2)3x-1=x(x²-1)（3）a²+2ab+b²=（a+b）²结果是几个整式积的形式。
思考：x²-1与(x+1)(x-1) 的区别，联系小学的分解因数内容。
二、教学新知（一）关于因式分解定义的教学1、（x+1)(x-1)=x²-1→整式乘法 x²-1=（x+1)(x-1)→因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积。
2、辩一辩：下列变形是否是因式分解.（1）x²-3x+1=x(x-3)+1; (2)4x²-4x+1=(2x-1)²；(3)3a²+6a=3a(a+2); (4)18a²bc=3ab•6ac；); (6）x²-4y²=（x+2y)(x-2y).（5）x²+2x-1=x(x+2- 1x（二）关于提公因式法因式分解的教学1、从口袋里拿钱问题的思考。
2、找3x²-6xy的公因式。
沪科版数学七年级下册8.4.1.1因式分解提公因式法优秀教学案例
2.总结在解题过程中遇到的问题和解决方法。
3.强调因式分解的重要性及其在后续数学学习中的应用。
4.鼓励学生提出自己的疑问，并给予解答。
（五）作业小结
最后，我会布置一些与提公因式法相关的作业，包括基础题、提高题和应用题，以巩固学生对课堂所学知识的掌握。同时，我会要求学生在作业后写一小段小结，反思自己在学习提公因式法过程中的收获和不足。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我会以一个简单的数学问题引起学生的兴趣和好奇心：“假设你有5个苹果，每个苹果都被切成了相同的4份，那么你总共有多少份苹果呢？”这个问题能够引导学生从简单的数学运算中体会到因式分解的概念。接着，我会让学生尝试用他们已经学过的知识来解决这个问题，从而自然地引入提公因式法。
5.系统性作业设计，巩固知识提升能力
在本案例的作业设计中，我精心安排了基础题、提高题和应用题，旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提升解题能力。同时，要求学生在作业后写小结，培养他们自我反思的习惯，为后续学习打下坚实基础。
沪科版数学七年级下册8.4.1.1因式分解提公因式法优秀教学案例
一、案例背景
在沪科版数学七年级下册的教学过程中，因式分解作为代数学的一个基本技能，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。8.4.1.1节主要介绍了提公因式法，这是因式分解的一种常见方法。为了让学生更好地掌握这一方法，本教学案例将结合课程内容和学生的认知水平，设计一系列实用、富有启发性的教学活动。通过实际例题的讲解、互动讨论和练习，让学生在轻松愉快的氛围中学习提公因式法，并能在实际问题中运用自如。本案例注重培养学生的观察、分析、归纳能力，以及运用数学语言进行表达和交流的能力，从而提高学生的数学素养。
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 提公因式法》教案_4
提公因式法【理论支持】教学活动是学生与教师的双边活动，在这个过程中，学生应是学习的主体，教师应启发．指导学生进行探索活动，而不应越俎代庖．在提公因式的教学中，很容易演变成以教师的灌输式教学为主，而学生主要是进行模仿练习，从知识的掌握上看，这种做法更有效，更快，但学生的探究能力和意识没有提高,数学思想方法渗透也不充分,最后导致的是学生数学素养的降低．因而，在新课程理念下，我们应该倡导新型的教学形式——自主探究式的教学方式，即把学生置于主体地位，达到培养学生的创新能力的目的．教师在教学过程中不再是凌驾于学生之上的圣人，而是善于走进学生心灵世界真诚的合作者．学生由于主体性得到了体现，自然会产生求知和探究的欲望，会把学习当作乐事，最终达到学会．会学和乐学的境地；教师不再把自己视为工作者， 而是合作者．在合作中，教师与学生之间原有的“权威——服从”关系逐渐变成了“指导——参与”的关系．【教学重难点】1. 重点：会用提公因式法分解因式；2. 难点：如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．【课时安排】一课时【教学设计】课前延伸知识梳理：1．根据前面的知识填空；①)(c b a m ++=＿＿＿＿＿ ；②)1)(1(-+x x =＿＿＿＿；③2)(b a ±=＿＿＿＿＿＿．2． 把下列多项式写成乘积的形式；①mc mb ma ++=( )（ ）②12-x =( )( )③222b ab a +±=( )2 3．运用简便方法计算：914.3514.31214.3⨯-⨯+⨯〖答案〗1．mc mb ma ++；12-x ；222b ab a +±．2．)(c b a m ++；()()11-+x x ；2)(b a ±． 12.25814.3951214.3914.3514.31214.3=⨯=-+⨯=⨯-⨯+⨯）（〖设计说明〗在这个活动中，首先激活了学生原有的知识，体现了学生的学习是在原有知识上自我生成的过程．课内探究一．导入新课：活动一：因式分解概念1．提问：630能被哪些数整除？说说你是怎样想的？师生共同分析讨论：要解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=75322⨯⨯⨯．类比指出，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的积的形式．〖设计说明〗通过把630分解质因数，从而引出因式分解，符合学生的认知规律，在新旧知识间架起学习的桥梁．2．检查预习情况：明确检查方法．学生口答后论证．3．教师根据预习题（2）引导学生得出因式分解概念．我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把多项式进行因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．强调指出：分解因式和整式乘法是相反方向的变形．〖设计说明〗这是本章的理论基础，各种因式分解的方法都是以此作为基础而推导出来的，让学生体会到数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系．二．探索新知：活动二：公因式和提公因式法1．提问：多项式914.3514.31214.3⨯-⨯+⨯中，各项有相同的因式吗？多项式mc mb ma ++呢？给出公因式的概念：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式〖设计说明〗在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．2、 指出下列各多项式的公因式（1）a ay ax ++（2）263ny ny +（3）xy x 1042+ （4）()()22y b a y b a +++（5）()()4244912y x a y x a +++ 〖点拨方法〗每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数部分与字母部分分开讨论．在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后找到这个多项式的公因式．在学生具备初步的判断能力之后，应该将学生的能力进一步升华，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．〖参考答案〗a ；ny 3；x 2；()y b a +；()423y x a +． 〖设计说明〗由于上一个环节提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，而通过本环节中寻找多项式中各项的公因式，则可很顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力．3．因为ma +mb +mc =m （a+b+c ）．于是就把ma +mb +mc 分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式a +b +c 是ma +mb +mc 除以m 所得的商，•像这种分解因式的方法叫做提公因式法．也就是我们今天所学的内容《提公因式法》活动三：例题分析例1．分解因式c ab b a 323128+例2．分解因式()()c b c b a +-+32〖点拨方法〗例1：先找出8a 3b 2与12ab 3c 的公因式，再提出公因式．•我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分a 3b 2与ab 3c 都含有字母a 和b ．其中a 的最低次数是1，b 的最低次数是2．我们选定4ab 2为要提出的公因式．提出公因式4ab 2后，•另一个因式2a 2+3bc 就不再有公因式了〖参考答案〗：8a 3b 2+12ab 2c =4ab 2·2a 2+4ab 2·3bc =4ab 2（2a 2+3bc ）〖点拨方法〗例2：（b +c ）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．〖参考答案〗：2a （b +c ）-3（b +c ）=（b +c ）（2a -3）．〖设计说明〗：通过具体问题，让学生自主探索，教师引导学生比较．探究，并进行充分讨论，最后统一认识，总结归纳出提公因式因式分解的方法，在此过程中，教师要关注：（1）大部分同学能准确熟练的完成任务；（2）学生在活动中表现出来的情感与态度是否积极．活动四：诊断下列因式分解是否正确，如果不对，请改正．（1）把221812xy y x +分解因式解：原式 =()y x xy 326+（2）把4442124y x y x +分解因式 解：原式=()xy y y x 34222+ （3）把x xy x +-632分解因式 解：原式=()y x x 63-（4）把xz xy x -+-2分解因式 解：原式= ()z y x x ++-〖点拨方法〗：学生进行判断，并小结提公因式法分解因式的基本方法．〖参考答案〗：（1）对的．（2）4442124y x y x +=()242314x y x + (3) x xy x +-632=()163+-y x x (4)xz xy x -+-2=()z y x x +-- 〖设计说明〗：在学习了用提公因式法分解因式后，再观察类似的几个变式，判断分解因式的对错，达到检验．巩固和学以致用的目的，培养了学生有条理思考及语言表达能力．有助于让学生注意得到运用提公因式法进行因式分解的前提条件，以便为下一步较灵活的因式分解做好准备．四．课堂反馈：1．找出找出下列各多项式的公因式：（1）y x 84+ （2）an am + （3）322448n m mn - （4）ab ab b a +-222 〖点拨方法〗:学生独立完成，并小组批改订正．〖参考答案〗（1）4 ； (2) a ； (3) mn 24； (4) ab ．2．把下列各式分解因式(1)mn n m 282+;(2)212y 9x -xyz 2;(3)()()2222b a q b a p +-+; (4) ()()y z b z y a ---32;〖点拨方法〗学生独立完成，小结容易犯的错误．〖参考答案〗（1）)14(2282+=+m mn mn n m ;(2)()xy z xy y 9x -xyz 2343122-=; (3)()()()()222222b a q p b a q b a p +-=+-+; (4)()()()()z y b a y z b z y a -+=---3232;〖设计说明〗：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．五：课堂小结今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？ 〖设计说明〗通过学生的回顾与反思，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的哲学观点有一个初步认识．课后提升一．课后练习题及答案：1．把下列各式分解因式:（1）63+x ； （2）x x 2172-；（2）ab c ab b a +-323128； (4)()()2222+++x y x y ． 〖参考答案〗（1）()23+x ； （2）()37-x x ；（3） ()112822+-c b b a ab ； （4）()()y x x y +++22．2．先因式分解，再求值;()()73742+-+x b x a ，其中5-=a ，3=x ．〖参考答案〗()()3472-+a x ， 9703． 计算23436332435⨯+⨯+⨯．〖参考答案〗1620。
七年级数学下册8.4因式分解《提公因式法》教案3沪科版
提公因式法》教学目标：掌握提公因式法.教学重点：会利用提公因式法进行计算.教学过程用字母表示分配律的等式m (a+b+©二ma+mb+rtB这个式子表明了两个因式相等所得的结果，结果是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m．把① 式反过来写，就是ma+mb+mc=m( a+b+c) ②这个式子表明：如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m,那么这个多项式可化为因式m与另一个因式的积.这种把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式．① 式是做整式乘法, ② 式是进行因式分解,由此可以看出因式分解正好与整式乘法相反,就是说,因式分解是整式乘法的逆变形．看多项式ma+mb+mc,各项都含有一个公共的因式m,这时我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式．也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m,可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式m与a+b+c乘积的形式：ma+mb+mc=m (a+b+c).这里的m既可以是单项式，也可以是多项式.一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面, 将多项式写成因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.下面,我们用提公因式的方法把一些多项式分解因式.1．公因式是单项式的类型例 1 把8ab－12abc 分解因式．解：8ab－12abc=4ab2a—4ab3bc=4ab（2a－3bc）说明：怎样提公因式呢？公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．例 2 把3x—6xy+x 分解因式．解：3x—6xy+x=x 3x—x 6y+x 1=x（3x—6y+1）2222222323323说明：提公因式后，不能出现漏项的情况，1 作为项的系数，通常可以省略不写，但如果单独成一项时，如例2中的X,它在因式分解过程中不能漏掉，检查是否漏项的方法是用乘法进行验证．例 3 把—4m+16m—26m 分解因式．解：—4m+16m—26m=—( 4m—16m+26m)=－2m(2m－8m+13) 说明：如果多项式首项的系数是负的，一般要提取“－”号，使括号内的第一项系数是正的，在提取负号时，多项式的各项都要变号．2．公因式是二项式或三项式乘方的类型．例4把2a (b+c)— 3 (b+c)分解因式解：令m=b+c，贝卩：2a( b+c)—3( b+c)=( b+c)( 2a—3)例5把6 (x—2) +x (2—x)分解因式.解：6( x—2) +x( 2—x)=6( x—2)—x( x—2)=( x—2)( 6—x)例6把18b (a—b)—12 (a—b)分解因式.解：18b( a—b)—12( a—b)=6(a—b) 3b —6 (a—b) 2(a —b)=6( a—b) [3b—2( a—b) ]=6( a—b)( 3b—2a+2b)=6( a—b)( 5b—2a)例7把5 (x—y) +10 (y —x)分解因式.解：因为(y—x) =[ —(x—y) ]= (x—y)所以：5( x—y) +10( y—x)=5 (x—y) - (x—y) +5 (x —y) •=5( x－y)( x－y+2)说明：( 1)进行因式分解时常用的一些等式：22232222322222223232323232b—a=—( a—b)；( b —a) =( a—b) ;( b —a) =—( a—b) .3322（2）在提公因式后的多项式因式里，如果有同类项，要合并同类项，如例6；如果化简后的因式化为单项式，要把单项式因式写在前面，如m+n) （p+q）－（m+n）（p－q）（m+n）［（p+q）－（p－q）］（m+n( p+q－p+q)）（m+n2q=2q (m+n)）。
【最新沪科版精选】沪科初中数学七下《8.4 因式分解《提公因式法》教案2.doc
《提公因式法》教学目标：1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式.教学重难点教学重点：因式分解的概念及提取公因式法.教学难点：多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解.教学设计：（一）新课引入：回忆：运用所学知识填空（1）x （x +1）= （2）（x +1）（x -1）=（3）2ab （a 2+b +1）=反之：（1）x 2+x = （2）x 2-1=（3）2a ³b +2ab ²+2ab =观察以下式子的特点：（1）15=3×5（2）18=2×32 （3）x 2+x=x （x+1）（4）x²-1=（x+1）（x-1）（5）2a ³b +2ab ²+2ab =2ab （a ²+b +1）由分解质因数类比到分解因式.（二）新知学习：1、分解因式的概念，与整式乘法的关系.巩固概念：判断下列各式从左到右哪些是因式分解？（1）m （a +b ）=ma +mb（2）2a +4=2（a +2）（3）4a ²-6ab ²+2a =2a （2a -3b ²+1）（4）a ²-2a +1=a （a -2）+1（5）)10)(10(100)(2-+=-xy x y x y 2、确定公因式.问题：ma +mb +mc 这个多项式有什么特征？ 引入公因式概念.例1：找出6x ³y 5-3x ²y 4的公因式,归纳找公因式的办法.课堂练习一：找出下列各多项式中的公因式填在后面括号内.（1）3mx-6nx2（）（2）x4y3+x3y4 （）（3）12x2yz-9x2y2 （）（4）5a2-15a3+25a（）3、用提公因式法分解因式.m（a+b+c）＝ma+mb+mc可得ma+mb+mc＝m（a+b+c），观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的？m是这个多项式的公因式，而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.想一想：提公因式法的理论依据是什么?4、知识运用：例2：把8a²b²+12ab²c分解因式例3：把－24x³－12x²＋28x分解因式.判断下列各式分解因式是否正确？如果不对，请加以改正.（1）2a2+4a+2=2（a2+2a）（2）3x2y3－6xy2z=3xy（xy2－2yz）把下列各式分解因式.（1）x2+x6（2）12xyz-9x2y2（3）-6x2-18xy+3x（4）2a n+2-4a n+1-6a n-1例4：把3a（b+c）-3（b+c）分解因式将下列各式分解因式.（1）p（a2+b2）-q（a2+b2）（2） 2a² （y-z）2-4a（z-y）2例5：先分解因式，再求值.4a2（x+7）-3（x+7），其中a=-5，x=3.5、拓展与提高：（1）20112+2011能被2012整除吗？（2）利用因式分解进行计算：23.1×24-46.2×7（3）将2a（a+b-c）-3b（a+b-c）+5c（c-a-b）分解因式.（三）课堂小结：（1）什么叫因式分解？（2）确定公因式的方法.（3）提公因式法分解因式的步骤.（4）提公因式法分解因式的步骤.。
新沪科版七年级数学下册《8章整式乘法与因式分解8.4因式分解提公因式法》教案_5
的“单项式”、“多 项式”概念相联
定义：把一个多项式化为几个整式的积
系．
的形式，叫做因式分解。 （也叫做把这
个多项式分解因式）
思考 ：下列等式中， 从左到右的变形是
对于各种可能出现的为题， 基本
不是因式分解？
有牵涉到，让学生更深刻的理解因
（1）2a2 4ab 2a(a 2b) （2）a 2 b2 (a b)(a b) （3）3x2 2x 1 x(3x 2) 1 （4）3x( x y) 3x2 3xy （5） m2 4m 4 m(m 4 4 )
多项式 ma mb mc 各项的公因 式是 m ，一个多项式中每一项都含
有的因式叫做这个多项式各项的公 因式 ．（课本中，简称 “这个多项式 的公因式 ”．）
概念辨析 ,加深理 解.
在括号里，作为另一个因式 .这种分解 因式的方法叫做提取公因式法 .
另一个因式是 a b c ．
四、公因式
1. 找公因式
（4）x 2 x ___(x+1) (5)ax-ay =___(x-y) (6)4x 2 y2 _____(2x-y)
二、形成概念
从字母表示数的
整数的运算
整式的运算
相反的变形过程
意义上直接引出
因数 公因数
因式 公因式
整式乘法
因式分解
“积的因式”概 念，并与已经学过
分解素因数 分数的运算
分解因式 分式的运算
8.4.1 因式分解（第一课时）
教学目标：
1．通过分解质因数理解因式、公因式、因式分解等概念的意义； 2．知道因式分解和整式乘法的互逆关系，初步掌握提取公因式法进行因式分解； 3．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比 较，发展逆向思维能力。
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《提公因式法》
教学目标：
掌握提公因式法.
教学重点：
会利用提公因式法进行计算.
教学过程
用字母表示分配律的等式m（a+b+c）=ma+mb+mc①
这个式子表明了两个因式相等所得的结果，结果是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m．
把①式反过来写，就是ma+mb+mc=m（a+b+c）②
这个式子表明：如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可化为因式m与另一个因式的积．这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
①式是做整式乘法，②式是进行因式分解，由此可以看出因式分解正好与整式乘法相反，就是说，因式分解是整式乘法的逆变形．
看多项式ma+mb+mc，各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式．
也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式m与a+b+c乘积的形式：ma+mb+mc=m （a+b+c）．这里的m既可以是单项式，也可以是多项式．
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．
下面，我们用提公因式的方法把一些多项式分解因式．
1．公因式是单项式的类型
例1把8ab－12abc分解因式．
解：8ab－12abc
=4ab·2a－4ab·3bc
=4ab（2a－3bc）
说明：怎样提公因式呢？公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．
例2把3x－6xy+x分解因式．
解：3x－6xy+x
=x·3x－x·6y+x·1
=x（3x－6y+1）
22
22
222
323
323
说明：提公因式后，不能出现漏项的情况，1作为项的系数，通常可以省略不写，但如果单独成一项时，如例2中的x，它在因式分解过程中不能漏掉，检查是否漏项的方法是用乘法进行验证．
例3把－4m+16m－26m分解因式．
解：－4m+16m－26m
=－（4m－16m+26m）
=－2m（2m－8m+13）
说明：如果多项式首项的系数是负的，一般要提取“－”号，使括号内的第一项系数是正的，在提取负号时，多项式的各项都要变号．
2．公因式是二项式或三项式乘方的类型．
例4把2a（b+c）－3（b+c）分解因式
解：令m=b+c，则：
2a（b+c）－3（b+c）
=（b+c）（2a－3）
例5把6（x－2）+x（2－x）分解因式．
解：6（x－2）+x（2－x）
=6（x－2）－x（x－2）
=（x－2）（6－x）
例6把18b（a－b）－12（a－b）分解因式．
解：18b（a－b）－12（a－b）
=6（a－b）·3b－6（a－b）·2（a－b）
=6（a－b）[3b－2（a－b）]
=6（a－b）（3b－2a+2b）
=6（a－b）（5b－2a）
例7把5（x－y）+10（y－x）分解因式．
解：因为（y－x）=[－（x－y）]=（x－y）所以：
5（x－y）+10（y－x）
=5（x－y）·（x－y）+5（x－y）·2
=5（x－y）（x－y+2）
说明：（1）进行因式分解时常用的一些等式：2 22
32
222
32
2
2
2
22
23
23
2
32
32
32
b－a=－（a－b）；
（b－a）=（a－b）;
（b－a）=－（a－b）.
33
22
（2）在提公因式后的多项式因式里，如果有同类项，要合并同类项，如例6；如果化简后的因式化为单项式，要把单项式因式写在前面，如
（m+n）（p+q）－（m+n）（p－q）
=（m+n）[（p+q）－（p－q）]
=（m+n）（p+q－p+q）
=（m+n）·2q=2q（m+n）。