计量经济学-中-单方程高级问题

否则，约束条件为假，意味着额外的变量对Ｙ 有较强的解释能力，则Ｆ统计量较大。
因此，可通过F的计算值与临界值的比较，来判 断额外变量是否应包括在模型中。
Ｆ统计量的另一个等价式
F
(RU 2RR 2)/q
(1RU 2)/n ((kq1))
R2U, R2R分别为无约束回归与受约束回归方程的可决系数，表 明通过变量增减前后回归方程的可决系数R2是否有“足够 大”的变化来判断变量的增减与否
9 43 .1
1 24 .6
112 .2
1994 2851.3 1422.5
1 25 .0
1 34 .2
2 11 8 .4
1 2 6 5 .6
1 34 .6
.4
1995 3537.6 1766.0
116 .8
1 23 .6
2 4 7 4 .3
1 5 6 4 .3
1 43 .0
112 .9
1996 3919.5 1904.7
1 01 .7
9 2 .4
1 98 9 1 211.0 6 60 .0
116 .3
114 .4
1 2 6 2 .5
7 02 .2
9 5 .9
9 4 .0
1 99 0 1 27 8.9 6 93 .8
1 01 .3
9 8 .8
1 2 7 8 .9
6 93 .8
1 00 .0
1 00 .0
1 99 1 1 45 3.8 7 82 .5
(*)式可看成是（**）式的受约束回归：
H0：
k 1k 2 k q 0
相应的Ｆ统计量为：
F (RSRSRSUS)/q RSUS/(n(kq1)) (ESUSESRS)/q ~F(q,n(kq1)) RSUS/(n(kq1))
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讨论：
如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1, …, Xk+q对Ｙ没有解释能力，则Ｆ统计量较小；
1 08 .8
1 07 .9
2 6 9 2 .0
1 6 8 7 .9
1 45 .6
112 .8
1997 4185.6 1942.6
1 03 .1
1 00 .1
2 7 7 5 .5
1 6 8 9 .6
1 50 .8
115 .0
1998 4331.6 1926.9
9 9 .4
9 6 .9
2 7 5 8 .9
或
Y * 0 1 X 1 * 3 X 3 k 1 X k * 1 * (**)
其 Y * Y 中 X 2X 1 * X 1 ： X 2X * k 1 X k 1 X K
如果对（**）式回归得出 ˆ0,ˆ1,ˆ3,,ˆk1
则由约束条件可得： ˆ2 1ˆ1
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(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1230
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件。
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表 3.5.1 中 国 城 镇 居 民 消 费 支 出 （ 元 ） 及 价 格 指 数
X
X1
GP
FP
XC
Q
P0
P1
(当 年 价 ) (当 年 价 ) (上 年 =100) (上 年 =100) (1990年 价 ) (1990年 价 ) (1990= 100 ) (1990= 100 )
于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著性水平下 的临界值作比较，对约束条件的真实性进行检验。若F>F， 表20明20/4约/29 束条件为假；若F≤F ，表明约束条件为真。
例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
Qf(X,P 1,P 0)
无约束回归:RSSU=0.00324， kU=3 受约束回归:RSSR=0.00332， KR=2 样本容量n=14， 约束条件个数kU - kR=3-2=1
F (0 .00 3 0 .0 30 1)3 /5 1 2 0 .2 43 01 0 .00/3 12 040
取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96 判断：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均
2001 5309.0 2014.0
1 00 .7
1 00 .7
2 7 6 4 .0
1 5 3 9 .9
1 92 .1
1 30 .8
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X：人均消费
X1：人均食 品消费
GP：居民消 费价格指数
FP：居民食品 消费价格指数
XC：人均消 费（90年价）
Q：人均食品 消费（90年价）
P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100）
1 07 .0
1 07 .2
8 26 .6
4 37 .8
9 6 .7
9 5 .7
1987
8 84 .4 4 72 .9
1 08 .8
112 .0
8 99 .4
4 90 .3
9 8 .3
9 6 .5
1 98 8 110 4.0 5 67 .0
1 20 .7
1 25 .2
1 0 8 5 .5
6 13 .8
6 72 .2
3 37 .0
7 5 .3
1 37 .7
1984
5 59 .4 5 14 .3
1 02 .7
1 04 .0
6 90 .4
3 50 .5
8 1 .0
1 46 .7
1985
6 73 .2 3 51 .4
111 .9
116 .5
7 72 .6
4 08 .4
8 7 .1
8 6 .1
1986
7 99 .0 4 18 .9
这意味着，通常情况下，对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力。
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但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束 回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。
可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性
根据数理统计学的知识：
RU S / 2 S ~2 (n k U 1 ) RR / S2~ S2 (n k R 1 )
P：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
中
1800
国
1600
城
Q
镇
1400
居
1200
民
1000
人
800
均
600
食
品
400
消
200 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
费
特征：
消费行为在 1981~2019年间表 现出较强的一致性
2019年之后呈现出 另外一种变动特征。
( R R S R U S ) S /2 ~ S 2 ( k U k R )
kU - kR恰为约束 条件的个数。
于是：F ( R R R S U R /S n S U ( ) k S / S U k U (1 S )k R )~ F ( k U k R ,n k U 1 )
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异较大，计算的 F值也较大。
1981
4 56 .8 4 20 .4
1 02 .5
1 02 .7
6 46 .1
3 18 .3
7 0 .7
1 32 .1
1982
4 71 .0 4 32 .1
1 02 .0
1 02 .1
6 59 .1
3 25 .0
7 1 .5
1 32 .9
1983
5 05 .9 4 64 .0
1 02 .0
1 03 .7
1 6 3 7 .2
1 57 .0
117 .7
1999 4615.9 1932.1
9 8 .7
9 5 .7
2 7 2 3 .0
1 5 6 6 .8
1 69 .5
1 23 .3
2000 4998.0 1958.3
1 00 .8
9 7 .6
2 7 4 4 .8
1 5 2 9 .2
1 82 .1
1 28 .1
ˆk ˆk1
然而，对所考查的具体问题能否施加约束？ 需进一步进行相应的检验。常用的检验有：
F检验、x2检验与t检验，
主要介绍F检验 在同一样本下，记无约束样本回归模型为
YXB ˆ e
受约束样本回归模型为
于是
YXB ˆ*e*
e * Y X B ˆ * X B ˆ e X B ˆ * e X ( B ˆ * B ˆ )
9.1 受约束回归
在建立回归模型时，有时根据经济理论需对 模型中变量的参数施加一定的约束条件。
如： 0阶齐次性 条件的消费需求函数 1阶齐次性 条件的C-D生产函数
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束 回归（restricted regression）;
不加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
RSU/Sn (k1)
(TSS RSU)S/k ESU/Sk RSU/Sn (k1) RSU/Sn (k1)
这里，运用了ESSR ＝0。
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二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个回归模型
Y 0 1 X 1 k X k
(*)
Y 0 1 X 1 k X k k 1 X k 1 k q X k q (**)
消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。
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这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：