离散数学_第三部分_代数系统部分 - 副本
离散数学形考任务3布尔代数部分概念及性质
离散数学形考任务3布尔代数部分概念及性质布尔代数是一种数学分支，研究的是逻辑运算以及相关的逻辑结构和代数系统。
它是以数学家___（___ Boole）的名字命名的。
布尔代数在计算机科学、电路设计、逻辑推理等领域有广泛的应用。
1.布尔代数的基础概念1.1 变量（Variable）在布尔代数中，变量可以取两个值中的一个，分别为0和1.这些值分别代表了真和假。
1.2 运算符（Operators）布尔代数使用运算符进行逻辑运算，常见的包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
这些运算符可以用来对变量进行逻辑操作。
2.布尔代数的性质2.1 结合律（Associative Law）在布尔代数中，与和或运算符满足结合律。
即，对于任意的布尔变量a、b和c，以下等式成立：a AND (b AND c) = (a AND b) AND ca OR (b OR c) = (a OR b) OR c2.2 分配律（Distributive Law）在布尔代数中，与和或运算符满足分配律。
即，对于任意的布尔变量a、b和c，以下等式成立：a AND (b OR c) = (a AND b) OR (a AND c)a OR (b AND c) = (a OR b) AND (a OR c)2.3 吸收律（n Law）在布尔代数中，吸收律是与运算和或运算之间的关系。
即，对于任意的布尔变量a和b，以下等式成立：a AND (a OR b) = aa OR (a AND b) = a2.4 互补律（Complement Law）在布尔代数中，非运算满足互补律。
即，对于任意的布尔变量a，以下等式成立：NOT(NOT a) = a3.总结布尔代数是逻辑运算的数学基础，它提供了一套规则和性质，可以用来描述和分析逻辑问题。
熟悉布尔代数的概念和性质对于理解计算机科学和逻辑推理等领域的相关知识非常重要。
第三部分代数结构练习题
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；3、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
5、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
7、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
(1) 不可能是群(2) 不一定是群(3) 一定是群(4) 是交换群15、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶16、下列哪个偏序集构成有界格（ ）(1) （N,≤） (2) （Z,≥）(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),⊆)18、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质
离散数学形考任务3代数结构部分概念及性质一、概念介绍代数结构是离散数学中的一个重要概念。
它描述了在特定集合上定义的运算规则和性质。
常见的代数结构主要包括：1. 群（Group）：群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
它是一种基本的抽象代数结构，并具有丰富的性质和应用。
2. 环（Ring）：环是一种具有加法和乘法两种运算的代数结构。
它具有封闭性、结合律、单位元、交换律和分配律等性质。
3. 域（Field）：域是一种具有加法、乘法、减法和除法四种运算的代数结构。
它是一种高级的代数结构，并满足多种性质，如交换性、维数等。
二、性质探讨不同的代数结构具有不同的性质，下面我们分别探讨一下群、环和域的性质：1. 群的性质：- 封闭性：对于群G中的任意元素a和b，它们的运算结果ab 也属于G。
- 结合律：对于群G中的任意元素a、b和c，(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：群G中存在一个元素e，使得对于任意元素a，ae = ea = a。
- 逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b，使得ab = ba = e。
2. 环的性质：- 封闭性：对于环R中的任意元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于R。
- 结合律：对于环R中的任意元素a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)和(ab)c = a(bc)，即运算顺序不影响结果。
- 单位元：环R中存在一个元素0，使得对于任意元素a，a+0 = 0+a = a。
- 交换律：对于环R中的任意元素a和b，a+b = b+a和ab = ba。
- 分配律：对于环R中的任意元素a、b和c，a(b+c) = ab+ac和(a+b)c = ac+bc。
3. 域的性质：- 封闭性：对于域F中的任意非零元素a和b，它们的加法运算结果a+b和乘法运算结果ab都属于F。
- 结合律、单位元和逆元：与群和环的性质类似，域也具有结合律、单位元和逆元的性质。
离散数学中代数系统知识点梳理
离散数学中代数系统知识点梳理离散数学作为一门数学学科，研究的是离散化的对象和结构。
代数系统作为离散数学的一个重要分支，是对数学对象的代数性质进行研究的一种形式化工具。
在离散数学中，代数系统的概念和相关知识点是非常重要的。
一、代数系统的基本概念代数系统是指由集合和一组运算构成的数学结构。
其中，集合是代数系统中最基本的概念，可以是有限集或无限集；运算是指对集合中的元素进行操作并得到新的元素。
代数系统主要包括代数结构、代数运算和代数性质三个方面。
1. 代数结构：代数结构由集合和一组运算构成，可以包括加法、减法、乘法、除法等。
常见的代数结构有群、环、域等。
2. 代数运算：代数运算是指对集合中的元素进行操作，可以是二元运算也可以是多元运算。
常见的代数运算有加法、乘法、幂运算等。
3. 代数性质：代数系统具有一些特定的性质，如封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素等。
二、代数系统的分类根据代数运算的性质，代数系统可以分为群、环、域和向量空间等不同类型。
1. 群：群是一种代数系统，具有封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。
群分为有限群和无限群，可以是交换群或非交换群。
2. 环：环是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律和单位元素等性质。
环分为有限环和无限环，可以是可除环或非可除环。
3. 域：域是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
域是一种完备的代数系统，可以进行加、减、乘、除运算。
4. 向量空间：向量空间是一种代数系统，具有封闭性、结合律、交换律、单位元素、逆元素和分配律等性质。
向量空间是一种具有线性结构的代数系统。
三、代数系统的应用代数系统作为离散数学的一个重要分支，在计算机科学、密码学、通信工程等领域有着广泛的应用。
1. 计算机科学：代数系统在计算机科学中起到重要的作用，比如在数据库设计、编译原理、算法设计等方面都有应用。
代数系统可以描述和分析计算机系统的运行和性能。
离散数学-代数系统
代数系统
环的性质
• 设〈A，+， • 〉是一个环，则对任意的 • a, b,c∈A, 有 (1) a • θ= θ • a= θ（加法的幺元是乘法的零元） (2) a •(-b)=(-a) •b=-(a •b) (3) (-a) •(-b)=a •b (4) a •(b-c)=a •b-a •c (5) (b-c) •a=b •a-c •a 其中， θ是加法幺元，-a是a的加法逆元，并记 a+(-b)为a-b.
拉格朗日定理
• 设〈H，*〉是群〈G，*〉的一个子群， 那么 （1）R={〈a, b〉| a∈G, b∈G, a-1*b∈H} 是G中的一个等价关系；而且由R所确定 的等价类[a]R=aH。 （2） 如果G是有限集，|G|=n, |H|=m, 则 m|n (m整除n）。
代数系统
具有两个二元运算的代数系统
代数系统
代数系统的引入
• 设 f1, f2, …, fk 是在非空集合A上定义的运 算，这些运算与集合组成一个代数系统， 记作 <A, f1, f2, …, fk >. • 当运算只有一种时，通常写作<A, f>， • 而运算 f 通常表示成 *，•, ★, △, ◇, ⊕, ⊙等。
代数系统
封闭性与唯一性
代数系统
等幂性
• *是集合A上的一个二元运算，如果对于 任意的 x∈A, 都有 x*x=x, 则称运算*是等 幂的。
代数系统
运算表
• *是定义在集合A上的二元运算，A是有 限集，A={x1, x2, …, xn},那么对于任意的 xi, xj∈A, xi* xj 的结果放在以 xi 为行、xj 为列所组成的一个表格内。 • 例如
代数系统
子群
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
离散数学 代数结构-代数系统
代数系统
9.2 代数系统
代数或叫代数系统,应用抽象的方法，研究要处理的数学对 象集合上的关系或运算。 事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称代数 结构。 代数通常由三部分组成； 1．一个集合，叫做代数的载体。 载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。 代数载体一般是非空集合，不讨论载体是空集的代数。 2．定义在集合上的运算 定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值 叫做运算的元数。 3．特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等 代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n元组表示
代数系统
1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组 成的系统称为一个代数系统，简称代数， 记作： < S ，f1，f2，…，fk > ． 例如 < N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， < M(R)，+， * > 其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 < Zn ，+n ，*n > 是代数系统，其中 Zn={ 0，1，2 ，… n-1 } ，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法：
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
离散数学ch13[1]格与布尔代数
![离散数学ch13[1]格与布尔代数](https://img.taocdn.com/s3/m/d64acc4bcf84b9d528ea7a57.png)
有补格
定义 设<L,∧,∨,0,1>是有界格,a∈L,若 存在b∈L 使得 a∧b=0 和 a∨b=1 成立,则称b是a的补元 补元。 补元
有补格
定义 设<L,∧,∨,0,1>是有界格,若L中所 有元素都有补元存在，则称L为有补格。
L2,L3和L4是有补格，L1不是有补格。
布尔代数
定义 如果一个格是有补分配格,则称它 为布尔格 布尔代数 布尔格或布尔代数 布尔格 布尔代数。 例 设B为任意集合,证明B的幂集格 <P(B),∩,∪,~,Φ ,B>构成布尔代数,称为 集合代数。
格的性质:关于序的性质
定理 设L是格,则a,b ∈L有 a≤b a∧b=a a∨b=b 定理 设L是格, a,b,c,d∈L. 若a ≤ b且c ≤ d, 则 a∧c ≤ b∧d, a∨c ≤ b∨d.
格作为代数系统的定义
定理设<S,*, >是具有两个二元运算的 定理 代数系统,若对于*和运算适合交换律、 结合律、吸收律,则可以适当定义S中的 偏序≤,使得<S,≤>构成一个格,且 a,b∈S有a∧b=a*b, a∨b=ab. 定义设<S,*, >是代数系统,*和是二元 定义 运算,如果*和满足交换律,结合律和吸 收律,则<S,*, >构成一个格。
离散数学
第三部分 代数系统 格≤>是偏序集,如果x,y ∈S, {x,y}都 有最小上界和最大下界,则称S关于偏序≤作成 一个格。 格 说明 由于最小上界和最大下界的唯一性 把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的 二元运算∨和∧, 即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和 最大下界。
b∧(c∨d)=b∧e=b (b∧c)∨(b∧d)=a∨a=a c∨(b∧d)=c∨a=c (c∨b)∧(c∨d)=e∧d=d
《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件
解：(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元，d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元 r，则l = r = ，且A中零元是唯一的。
证明：(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元，则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元， ∴ * ’= ∴ = ’
定理3：设<A,*>是一个代数系统，且 | A |>1，若<A,*>中存在幺元e 和零元，则e ≠ 。 证明： 假设 = e ，则 对于A中任意元素，有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ，也都是e，所有元素都相同， ∴ | A |=1 与已知矛盾，假设错 ∴e≠
例：代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算 若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算*的左幺元； 若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中 关于运算*的右幺元； 若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4：设*是集合A上的二元运算 若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运 算*的左零元； 若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于 运算*的右零元； 若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于 运算*的零元。
离散数学课程教学大纲
离散数学课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的性质、目的与任务离散数学是中央广播电视大学电子信息类计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程。
该课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑等。
离散数学是计算机科学与技术专业的基础核心课程。
通过本课程的学习，使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。
同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力，为学生以后学习计算机基础理论与专业课程打下良好的基础。
本课程是一门理论性较强的课程，要求在完成基础知识教学任务的同时，通过适当的实际应用的介绍，提高学生的实际应用能力的培养。
二、与相关课程的衔接、配合、分工后续课程：数据结构、数据库应用技术、操作系统等课程。
三、课程的基本教学要求本课程是计算机科学与技术专业的基础核心课程，教学内容以基本概念、结论、算法、推理与证明方法，以及一般应用方法的介绍为主，课程内容突出简明扼要、体系结构清楚为原则。
本课程主要内容包括集合论、图论与数理逻辑等三个方面的内容。
具体要求为：1.了解离散数学的主要组成部分，各个部分所涉及的基本内容，及其在计算机科学与技术领域中的应用；2.理解离散数学的的基本概念、结论、算法、应用方法及适用范围；3.掌握离散数学的的基本推理与证明过程、基本算法及应用方法。
四、课程的教学方法和教学形式建议1.根据课程特点，建议采用多种教学媒体讲解、应用事例介绍等教学手段相结合的教学模式进行教学。
2.保证提供一定的教学辅导手段与途径，及时解答学生的疑问，同时注意培养学生独立思考问题和解决问题的能力。
3.充分利用网络教学技术进行授课、答疑和讨论。
五、教学要求的层次课程的教学要求分为了解、理解和掌握三个层次。
了解：要求学生能正确判别有关概念、结论和方法。
理解：要求学生能正确理解有关概念、结论、算法和方法的含义，并且能进行一定的逻辑推理与数学证明。
离散数学-第三部分-代数结构-第十章 群与环
6
7
群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1.a
例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元.
在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
10
群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
对于阿贝尔群G，因பைடு நூலகம்G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.
22
10.3 循环群与置换群
定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.
循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则
aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G.
证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n.
必有aj,ak∈G使得
离 散 的 数 学 结 构.
2. 房屋的结构
房屋由地基、墙、门、窗、地板、房顶等建筑物所组成。 基本材料是砖、瓦、钢筋、水泥、石灰等。
3. 学校的结构
学校由若干院、系、所、处、科室、班级等单位所组成。 基本成员是教师、学生、管理人员、实验人员等。
4. 计算机的结构
计算机由主板、CPU、内存条、硬盘、软驱、电源、机箱、 显示器、键盘、鼠标等部件所组成。 基本成员是各种超大规模集成电路芯片。
各个学科的结构
• 化学的结构 化学主要由无机化学和有机化学所组成。 基本成员是各种化学元素。 • 物理的结构 物理主要由力学、电学、光学、热学所组成。 基本成员是各种场。
• 数学的结构 数学主要由连续数学和离散数学所组成。 基本成员是各种集合的元素。
离 散 的 数 学 结 构
Discrete Mathematical Structures
《离散数学》参考书目
• 《离散数学》 祝颂和等编 西安交通大学出版社 • 《DICRETE MATHEMATICAL STRUCTURES》 BERNARD KOLMAN PRENTICE HALL • 《Discrete Mathematics and Its Applications》 Kenneth H.Rosen McGraw-Hill • 《离散数学结构及其在计算机科学中的应用》 J.P.Tremblay，R.manohar 著 罗远诠等译 • 《离散数学》S.Lipschutz 著 杜玮译 • 《离散数学基础》C.L.liu 著 刘振宏译 • 《离散数学结构导论》王遇科著 北京工业学院 • 《离散数学》王湘浩等编 吉林大学 • 《离散数学》左孝凌等编 上海交通大学 • 《离散数学导论》徐洁磐编 南京大学 • 《离散数学基础》洪帆编 华中工学院
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（3）可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算的单位元. 对于 x∈S，如果存在 yl（或 yr）∈S 使得 ylx=e（或 xyr=e）， 则称 yl（或 yr）是 x 的左逆元（或右逆元）. 关于运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则 称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
二、二元与一元运算的表示 1．算符 可以用, ∗, · , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy = z； 对一元运算, x 的运算结果记作x. 2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表 公式表示 例 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运算∗： x,y∈R, x∗y = x. 那么 3∗4 = 3， 0.5∗(3) = 0.5 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算. （6）S 为任意集合，则∪、∩、－、 为 P(S)上的二元运算. （7）SS 为 S 上的所有函数的集合，则合成运算为 SS 上的二元运算.
2. 一元运算的定义与实例 定义 10.2 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算. 例 （1）求相反数是整数集合 Z，有理数集合 Q 和实数集合 R 上的一元运算. （2）求倒数是非零有理数集合 Q*，非零实数集合 R*上的一元运算. （3）求共轭复数是复数集合 C 上的一元运算. （4）在幂集 P(S)上规定全集为 S，则求绝对补运算~是 P(S)上的一元运算. （5）设 S 为集合，令 A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数 的反函数为 A 上的一元运算. （6）在 n(n≥2)阶实矩阵的集合 Mn(R)上，求转置矩阵是 Mn(R)上的一元运算.
二元运算的运算表
一元运算的运算表
ai
a1 a1 a 1 a2 a 1
a2
…
an a1 an a2 an a1 a2 . . . an an an
a1 a2 . . . an
a1 a2 … a2 a2 …
.
a1 a2
.
. .
an a 1
an a2 …
an
例 A=P({a,b}), ,∼分别为对称差和绝对补运算（{a,b}为全集） 的运算表 {a} {b} {a,b} {a} {b} {a,b} {a} {a} {a,b} {b} {b} {b} {a.b} {a} {a,b} {a,b} {b} {a} ∼的运算表 x {a} {b} {a,b} ∼x {a,b} {a} {b}
主要内容 二元运算及其性质 一元和二元运算定义及其实例 二元运算的性质 代数系统 代数系统定义及其实例 子代数 与后面各章的关系 是后面典型代数系统的基础
第一节 二元运算及其性质
一、二元运算与一元运算的定义 1. 二元运算的定义与实例 定义 10.1 设 S 为集合,函数 f：S× S→S 称为 S 上的二元运算, 简称为 二元运算.也称 S 对 f 封闭. 例（1）加法、乘法是自然数集合 N 上的二元运算，减法和除法不是. （2）加法、减法和乘法是整数集合 Z 上的二元运算，而除法不是. （3）乘法、除法是非零实数集 R*上的二元运算，加法、减法不是. （4）设 S={a1,a2,…,an}, aiaj =ai 为 S 上二元运算.
例 Z, Q, R 分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实矩阵集合, n2； P(B)为幂集；AA 为从 A 到 A 的函数集，|A|2 集合 Z,Q,R Mn(R) P(B) 运算 普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法 并 交 相对补 对称差 AA 函数符合 交换律 有 有 有 无 有 有 无 有 无 结合律 有 有 有 有 有 有 无 有 有 幂等律 无 无 无 无 有 有 无 无 无
（2）代数系统的表示 列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在） 如<Z,+,0>, <P(S),∪,∩> 列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的 性质（无代数常数） 如<Z,+>, <P(S),∪,∩> 用集合名称简单标记代ห้องสมุดไป่ตู้系统 在前面已经对代数系统作了说明的前提下使用 如代数系统 Z, P(B)
例
特异元素的实例 集合 Z,Q,R 运算 普通加法+ 普通乘法 Mn(R) 矩阵加法+ 矩阵乘法 P(B) 并 交 对称差 单位元 0 1 n 阶全 0 矩阵 n 阶单位矩阵 B 零元 无 0 无 n 阶全 0 矩阵 B 无 逆元 x 的逆元x x 的逆元 x1 （x1给定集合） X 逆元X X 的逆元 X1 （X 可逆） 的逆元为 B 的逆元为 B X 的逆元为 X
3．惟一性定理. 定理 10.1 设为 S 上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关于运算的左和 右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于运算的惟一的单位元. 证：el = eler eler = er (er 为右单位元) (el 为左单位元)
所以 el = er, 将这个单位元记作 e. 假设 e也是 S 中的单位元，则有 e = ee = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
二、子代数系统 1．定义 定义 10.8 设 V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，B 是 S 的非空子集，如 果 B 对 f1, f2, …, fk 都是封闭的， 且 B 和 S 含有相同的代数常数， 则称<B, f1, f2, …, fk>是 V 的子代数系统，简称子代数. 有时将子 代数系统简记为 B. 2．实例 N 是<Z,＋>的子代数，N 也是<Z,＋,0>的子代数 N{0}是<Z,＋>的子代数，但不是<Z,＋,0>的子代数 说明： 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统 V=<S, f1, f2, …, fk>，其子代数一定存在.
第二节 代数系统
一、代数系统的定义与实例 1．代数系统的定义 定义 10.6 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1,f2,…, fk 组成的系统称 为一个代数系统, 简称代数，记做<S, f1, f2, …, fk>. 实例： <N,＋>,<Z,＋,· >,<R,＋,· >是代数系统， +和· 分别表示普通加法和乘法. <Mn(R),＋,· >是代数系统，＋和· 分别表示 n 阶(n≥2)实矩阵的加法和 乘法. <Zn,,>是代数系统，Zn＝{0,1,…,n-1}，和分别表示模 n 的加 法和乘法，对于 x,y∈Zn，xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn <P(S),,,~>也是代数系统，和为并和交，~为绝对补
例
Z, Q, R 分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实矩阵集合,n2； P(B)为幂集；AA 为从 A 到 A 的函数集，|A|2 集合 Z,Q,R Mn(R) P(B) 运算 普通加法+与乘法 矩阵加法+与乘法 并与交 交与对称差 分配律 对+可分配 +对不分配 对+可分配 +对不分配 对可分配 对可分配 对可分配 无 有 无 吸收律 无
三、二元运算的性质 1．主要算律 定义 10.3 设为 S 上的二元运算, （1）若对于任意的 x,y∈S 有 xy=yx, 则称运算在 S 上满足交换律. （2）若对于任意的 x,y,z∈S 有 (xy)z=x(yz), 则称运算在 S 上满足结 合律. （3）若对于任意的 x∈S 有 xx=x, 则称运算在 S 上满足幂等律. 定义 10.4 设和∗为 S 上两个不同的二元运算, （1） 若对于任意的 x,y,z∈S 有 (x∗y)z=(xz)∗(yz)， z(x∗y)=(zx)∗(zy), 则称运算对∗运算满足分配律. （2） 若和∗都可交换,并且对于任意的 x,y∈S 有 x(x∗y)=x，x∗(xy)=x, 则称和∗运算满足吸收律.
第三部分 代数结构
一、本部分的主要内容 代数系统----二元运算及其性质、代数系统和子代数 半群与群----半群、独异点、群 环与域-----环、整环、域 格与布尔代数----格、布尔代数 二、本部分的基本要求 掌握代数系统的基本概念 掌握各种重要的代数系统的定义和性质 了解和使用基本的证明方法
第十章 代数系统
（5）设 Mn(R)表示所有 n 阶(n≥2)实矩阵的集合，即
a11 a21 M n ( R) an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann aij R, i, j 1,2,..., n
当 |S| 2，单位元与零元是不同的；
当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元. .
定理 10.2 设为 S 上可结合的二元运算, e 为该运算的单位元, 对于 x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 则有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的惟一的逆 元. 证：由 ylx = e 和 xyr = e 得 yl = yle = yl (xyr) = (ylx) yr = eyr = yr 令 yl = yr = y,则 y 是 x 的逆元. 假若 yS 也是 x 的逆元,则 y= ye = y (xy) = (yx) y = ey = y 所以 y 是 x 惟一的逆元. 说明： 对于可结合的二元运算， 可逆元素 x 只有惟一的逆元， 记作 x1.
3．同类型与同种代数系统 定义 10.7 （1）如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代 数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统. （2）如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为同种的 代数系统. 例如 V1=<R, +, · , 0, 1>, V2=<Mn(R), +, · , , E>, 为 n 阶全 0 矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 V3=<P(B), ∪, ∩, , B> V1, V2, V3 是同类型的代数系统， 它们都含有 2 个二元运算, 2 个代数常数. V1, V2 是同种的代数系统，V1, V2 与 V3 不是同种的代数系统