浅谈留数及其应用

浅谈留数及其应用

徐松松41345053 计1304

1. 留数

留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系.

（1） 留数的概念及留数定理

定义5.4 设0z 是解析函数)(z f 的孤立奇点，我们把)(z f 在0z 处的洛朗展

开式中负一次幂项的系数1-C 称为)(z f 在0z 处的留数.记作]),([Re 0z z f s ，即]),([Re 0z z f s =1-C .显然，留数1-C 就是积分

dz z f i

C ⎰)(21π的值，其中C 为解析函数)(z f 的0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线.

关于留数，我们有下面定理. 定理5.7（留数定理） 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点

n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么∑⎰==n

k k C z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π.

一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内

的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数

更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本性奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数.

（2） 函数在极点的留数

法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则

)()(lim ]),([Re 000

z f z z z z f s z z -=- （5.4） 法则2：设)

()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且

)

()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. （5.5）

法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则

)]()[(lim !11]),([Re 011

00z f z z dz

d m z z f s m m m z z --=---）（. （5.6） （3） 无穷远点的留数

定义5.5 设∞为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+∞<

析，则称

dz z f i

C ⎰)(21π （R z C >=ρ：） 为)(z f 在点∞的留数，记为]),([Re ∞z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.

如果)(z f 在+∞<

n n n z C z f )(，则有

1],[Re --==∞C f s .

这里，我们要注意，∞=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在∞=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.

定理5.8 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.

关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.

法则4：]0,1)1

([Re ],[Re 2z

z f s z f s ∙-=∞）（. 2.留数在定积分计算中的应用

留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法.应用留数定理计

算实变函数定积分的方法称为围道积分方法.所谓围道积分方法，概括起来说，就是不求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算.要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，定积分可化为某个沿闭路的积分.现就几个特殊类型举例说明.

（1） 形如

θθθπd R )sin ,cos 20（⎰的积分 令θθθd ie dz e z i i ==, ，

iz z i e e i i 212sin 2-=-=-θθθ ， iz

z i e e i i 212cos 2+=+=-θθθ )sin ,cos θθ（R 是θθsin ,cos 的有理函数；作为θ的函数，在πθ20≤≤上连续.

当θ经历变程[π20，]时，对应的z 正好沿单位圆1=z 的正向绕行一圈，

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=iz z z z R z f 21,21)(22在积分闭路1=z 上无奇点，则

⎰⎰=-+=12220)21,21)sin ,cos z iz

dz iz z z z R d R （（π

θθθ ⎰==1

)(z dz z f

∑==n k k z z f s i 1

],)([Re 2π.

（2） 形如dx x R ⎰+∞

∞-)(的积分

令 )2()()()(1111≥-++++++==--n m b z b z a z a z z Q z P z R m

m m n n n ， [1] Q(z)比P(z)至少高两次，

[2] Q(z)在实轴上无零点，

[3] R(z)在上半平面Imz>0内的极点为)21(n k z k ，，=，则有

∑⎰=∞

+∞-=n

k k z z R s i dx x R 1],)([Re 2)(π.

（3） 形如)0()(>⎰+∞

∞-a dx e x R iax 的积分

R(x)是真分式，在实轴上无奇点，则 ⎰

⎰∞+∞-∞

+∞-=dx e x Q x P dx e x R iax iax

)()()( ∑==n k k z z f s i 1

],)([Re 2π，

其中iaz e

z R z f )()(=.