新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1.2勾股定理应用 利用勾股定理解决平面几何问题》课件_3
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理在实际生活中的应用
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
（3）利用勾股定理等列方程； 本章的难点是解一元二次方程。
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接 、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。
小技巧 化非直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型
归纳小结
1、勾股定理： 如__果__直_角__三__角__形_的__两__直__角_边__长__分__别_为__a_,_b_,_斜_边__为__c.
那__么____________________________ 2、勾股定理有广泛的应用.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题． 2．树立数形结合的思想．
勾股定理的应用
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m， 宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？
已知条件有哪些？
C
2m
A 1m B
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
3、学习反思：
____________________________ __________________ ____B
拓展迁移
在数轴上作出表示 20的点. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
2023-2024学年人教版 八年级数学下册17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用作业课件
10．如图，一只蚂蚁从点 A 出发，沿底面边长为 10 cm，侧棱长为 16 cm 的正四棱 柱的侧面到点 B 处吃食物，则它需要爬行的最短路径的长是__4___4_1__cm.
二、解答题(共 22 分) 11．(10 分)如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建了一个上方是一个半圆，下 方是长方形的仿古通道．现有一辆卡车装满家具后高 4 m，宽 2.4 m，请问这辆卡车能 否通过这个通道？
A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m 4．(4 分)如图，在水塔 O 的东北方向 32 m 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 24 m 处有一建筑工地 B，现要在 A，B 间建一条直水管，则水管的长度至少应为_4_0__m.
5．(4 分)如图，有两棵树，一棵高 10 m，另一棵高 5 m，两树相距 12 m．一只小 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行__1_3_m．
(2)设 BF 上点 D，G，使 AD＝AG＝200 km，∴△ADG 是等腰三角形，∵AC⊥BF， ∴AC 是 DG 的垂直平分线，∴CD＝GC，在 Rt△ADC 中，DA＝200 km，AC＝160 km， 由勾股定理得，CD＝ DA2－AC2 ＝ 2002－1602 ＝120(km)，则 DG＝2DC＝240(km)， 遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6(小时).
第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
1．(3 分)如图所示的是某校的长方形水泥操场，如果一学生要从 A 角走到 C 角， 至少要走( C )
A．70 m B．90 m C．130 m D．180 m
2．(3 分)一个长方形抽屉长 4 cm，宽 3 cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木 棒最长(不计木棒粗细)可以是( B )
人教版初中数学八下第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用
17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用
知识点 勾股定理的应用
1.如图，某公园有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠AOB而走“捷 径”，在草坪内走出了一条“路”AB.他们踩伤草坪，仅仅少走了（ A ）
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
第1题图
2.如图，一艘轮船以16 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以 12 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2 h后两船相距 （C）
第4题图
5.如图，若河岸的两边平行，河宽AC＝800 m，河岸上B，C两点之间的距离为600 m.一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，船的速度为200 m/min，求船从 A处到B处所需的时间.
答：船从A处到B处所需的时间为5 min.
7.（教材P25例2变式）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端B到左墙脚C的距离为0.7 m，顶端A距离地面2.4 m.如果保持梯子底端位置 不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端A'距离地面2 m，求小巷的宽度.
答：小巷的宽度为2.2 m.
8.如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，则至少需要地毯（ A ） A.17 m B.18 m C.25 m D.26 m
9.如图，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量 得AB＝3 cm，CD＝4 cm，则剪去的直角三角形的斜le
C.40 n mile
D.50 n mile
第2题图
3.已知一根竹子原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地， 抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为 3.2 尺.
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
新人教版第十七章勾股定理教案
新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标：1.知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2.过程与方法：通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。
3.情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。
教学重点：知道勾股定理的结果，并能运用于解题。
教学难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。
教学过程：一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示了本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
今天我们就来一同探索勾股定理。
二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。
他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗？用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其等量关系为：4S△+S小正=S大正，即4×ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。
下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。
已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
人教版数学八年级下册17.1.2《勾股定理的应用》教案
3.数学抽象：理解勾股定理的数学表达，提高学生的数学抽象思维能力。
4.问题解决：培养学生遇到问题时能主动运用所学知识进行解决的能力，提高数学问题解决技巧。
5.数据分析：通过实际案例分析，使学生能够从数据中提炼信息，培养数据分析素养。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，小组讨论的环节也让我有所启发。学生们在讨论中表现出了很高的热情，能够积极发表自己的观点，但有时候讨论的主题偏离了课程内容。为了使讨论更加有效，我应该在设置讨论主题时更加明确，同时在讨论过程中加强对学生的引导，确保讨论的方向与课程目标相符。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，部分学生提出了疑问，但我没有足够的时间一一解答。我意识到在以后的教学中，需要合理安时间，预留出更多的时间来解答学生的疑问，确保他们对所学知识的掌握。
最后，针对本节课的教学，我认为在以下几个方面进行改进：
1.增加课堂互动，让学生多参与，提高他们的学习兴趣和积极性。
2.加强对学生的个别辅导，关注他们的学习进度，及时发现并解决问题。
3.丰富教学手段，利用多媒体、实物等资源，使抽象的概念更加直观易懂。
4.注重培养学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学的魅力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
人教8年级下册数学17.1.2勾股定理的实际应用
第1节 勾股定理 第2课时 勾股定理的实际应用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点 1 求实际中长(高)度的应用
1．建立实际问题的数学模型时，关键是画出符合题意 的图形，把实际问题转化为几何中的直角三角形问 题，运用__勾__股____定理求解．
返回
2．如图，在校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高13 m， 另一棵树高8 m，一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟 至少要飞___1_3____m.
返回
方程思想 14．如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一
只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只 猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路 线为直线)．如果两只猴子所经过的路 程相等，求这棵树的高．
解： 设BD＝x m，由题意知BC＋AC＝BD＋AD， ∴AD＝(30－x)m. ∴(10＋x)2＋202＝(30－x)2， 解得x＝5，∴x＋10＝15. 答：这棵树的高为15 m.
点拨 返回
【思路点拨】 通过设未知数，根据两只猴子经过的路程相等表示 出AD的长度，再利用勾股定理列方程求解．
返回
(2)当把该隧道改为双向二车道时， 4÷2＝2(m)<3.2 m， 所以这时这辆卡车不能通过这条隧道．
返回
题型 2 勾股定理在求圆柱上两点最短距离中的应用
12．为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆柱形灯 罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示． 已知圆柱的高为108 cm，其横截面周长为 36 cm，如果在侧面上均匀缠绕油纸4圈， 应裁剪多长的油纸？
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）ห้องสมุดไป่ตู้
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理在实际生活中的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量距离或计算物体体积的情况？”（如测量房间的对角线长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理在实际生活中的奥秘。
4.培养学生的观察能力、解决问题的能力和合作交流的能力。
具体内容包括以下案例：
1.利用勾股定理测量房屋墙壁的长度；
2.计算不规则立体图形的体积，如斜放的长方体、四棱锥等；
3.分析实际生活中存在的勾股定理问题，如道路宽度、桥梁长度等；
4.探讨勾股定理在建筑设计、地理测量等领域的应用。
二、核心素养目标
1.知识与技能：通过勾股定理在实际生活中的应用，使学生在掌握勾股定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养运用数学知识解决实际问题的素养；
2.过程与方法：培养学生观察、分析、解决问题的能力，学会运用勾股定理进行实际测量和计算，提高数学思维和逻辑推理素养；
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养他们用数学眼光看待世界的观念，增强对数学学科的价值认同。
具体包括：
1.能够运用勾股定理解决实际问题，形成数学应用意识；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的应用步骤和计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件17.1 勾股定理第2课时 勾股定理的应用
=________，
=__________.
典例分享
例 某条道路限速80 km/h，如图17.1-12，一辆小汽
车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到
路对面车速检测仪处的正前方30 m的处，过了2 s，
小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的
图17.1-12
距离为50 m.
∵ 72 km/h < 80 km/h，
∴ 这辆小汽车没有超速.
方法感悟
在运用勾股定理解决实际问题时，要从实际问题中抽象出数学问题，
即建立直角三角形模型，把实际的量抽象成线段的长度，进而转化为求
直角三角形的边长．如果没有直角三角形，可以添加辅助线构造出直角
三角形.
轻松达标
1.如图17.1-13，，之间隔有一湖，在与方向成
图17.1-14
( C ) .
A. 5
B.2 2
C. 2
D.2.5
3.图17.1-15（a）是第七届国际数
学教育大会(ICME-7)的会徽，在其
主体图案中选择两个相邻的直角
三角形，恰好能组合成如图17.1-
图17.1-15
15 b 所示的四边形.若
= = 1，∠ = 30∘ ，则的长为( D ) .
图17.1-20
（1）该城市是否受到台风的影响？请说明理由.
[答案] 该城市会受到这次台风的影响．理由：如答图1，过作 ⊥
于点．在Rt △ 中，∵ ∠ = 30∘ ， = 240 km，
∴ =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2
= 120 km ． ∵ 城市所受风力达到或超过四级就会受台风影
在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理的应用》(第2课时)说课稿
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理的应用》（第2课时）说课稿一. 教材分析《勾股定理的应用》是人教版数学八年级下册第17.1节的内容，属于几何学的范畴。
本节内容是在学生已经掌握了勾股定理的基础上进行学习的，主要是让学生能够运用勾股定理解决实际问题。
教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，让学生了解勾股定理的发现过程，进而引导学生运用勾股定理解决实际问题。
教材内容丰富，既有理论知识的讲解，又有实际问题的应用，能够激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了勾股定理的基本知识，能够熟练地运用勾股定理进行计算。
但是，对于如何将实际问题转化为数学问题，如何运用勾股定理解决实际问题，学生的掌握情况参差不齐。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生合作学习的能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、探索问题的习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理解决实际问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题，如何运用勾股定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、提问法、小组合作法、讨论交流法等教学方法，结合多媒体课件、教学道具等教学手段，引导学生主动探究，提高学生的学习效果。
六. 说教学过程1.导入：通过回顾勾股定理的知识，引导学生进入本节内容的学习。
2.知识讲解：讲解勾股定理的应用，引导学生将实际问题转化为数学问题，运用勾股定理解决实际问题。
3.例题解析：分析并解析典型例题，让学生掌握解题思路和方法。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理(第2课时)勾股定理的应用一等奖优秀教学设计
如果在箱内的 A 处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到 B
处，至少要爬多远？
B
B
40
40
C
50 A 30 D 50
C
A
30
师：你能找到解决问题的方法吗？ 师：如何把没学过的立体图形求长度转化为学过的平面
图形？ 同桌讨论后汇报思路，老师画出展开后的平面图， 学生独立解决 总结：注意把立体图形转化为平面图形求线段长．
A A
C
Ｃ
OB
C
师：怎样转化为几何问题？你能否画出图形？ 师：独立思考、小组交流合作完成 师：小组互评，答案见课本 26 页
独立思考
检测学生
小组交流 对方法的掌握
小组互评 情况
2.勾股定理拓展探究
（1）例 2:我国《九章算术》中记载了一道有趣的问题，
大意是：有一个边长为 10 尺的正方形水池,在水池的中
新人教版八年级数学下册 17.1 勾股定理（第 2 课时）教学设计
一、 教材分析 1、 地位作用：
勾股定理是本章的重要内容，也是几何计算必备的知识基础．它从直角三角形的三 边关系入手，在直角三角形中进行边的计算，为今后几何计算打下基础。
勾股定理的应用是用勾股定理解决实际问题的重要一环，要让学生通过学习感受需 要把实际问题转化为数学问题，建立几何模型进行实际问题数学化．
3、4 题练 习学生应用方 程方法解决问 题的能力
5.如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是 40cm，高是 30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的 A 处，它想吃到上底与 下底面中间与 A 点相对的 B 点处的蜜糖，试问蚂蚁爬
行的最短的路程是多少？
独立思考 独立完成
第 5 题练 习学生立体图 形转化为平面 图形的能力
新人教版：八年级数学下册第十七章勾股定理 勾股定理第2课时勾股定理的实际应用课件
图 17－1－19
解：在 Rt△ABC 中，AC＝30 m，AB＝50 m，∠C＝90° . 由勾股定理，得 BC＝ AB2－AC2＝ 502－302＝40(m)， 40 ∴小汽车的速度为 v＝ ＝20(m/s)＝72(km/h)． 2 ∵72＞70， ∴这辆小汽车超速了．
6．如图 17－1－20，甲、乙两艘轮船同时从港口 O 出发，甲轮船以 20 海里/ 时的速度向南偏东 45° 方向航行，乙轮船向南偏西 45° 方向航行．已知它们离开港 口 O2 h 后，两艘轮船相距 50 海里，则乙轮船平均每小时航行多少海里？
图 17－1－13
解：(1)根据题意，得 AC＝25 m，BC＝7 m， ∴AB＝ 252－72＝24(m)． 答：这个梯子的顶端距地面有 24 m. (2)根据题意，得 A′B＝24－4＝20(m)， ∴BC′＝ 252－202＝15(m)， ∴CC′＝15－7＝8(m)． 答：梯子的底端在水平方向滑动了 8 m.
图 17－1－18
【解析】 已知直角三角形的一条直角边长是 3 m，斜边长是 5 m，根据勾股 定理，得水平的直角边长是 4 m. 故购买这种地毯的长是 3＋4＝7(m)，面积是 2×7＝14(m2)，价格是 14×30＝ 420(元)．
5．据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过 70 km/h.如图 17－1－ 19，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪 A 处的正前方 30 m 的 C 处， 过了 2 s 后， 测得小汽车与车速检测仪间的距离为 50 m． 这 辆小汽车超速了吗？
例 1 答图
【点悟】利用勾股定理解决实际问题的关键是构造含所求线段的直角三角形．
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4 000 m 处，过 20 s 飞机距离这个男孩头顶 5 000 m，飞机每小，AB＝5 000 m，∠C＝90° . ∵BC2＝AB2－AC2＝5 0002－4 0002＝9 000 000，BC>0， ∴BC＝3 000 m.
2022年八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用习题课件新版新人教版
4.小军发现学校旗杆上端的绳子垂到地面
还多了1 m，他把绳子斜着拉直，使下端 解：设旗杆的高AB为x m，则绳子AC的长为（x＋1）m.
刚好触地，如图.此时绳子下端距旗杆底 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2， ∴x2＋52＝（x＋1）2，解得x＝12.
部答：5旗m杆的，高那度为么12 m旗. 杆的高度为多少米？
45
”.已知点P，Q是线段AB的“勾股分割点 ”，若AP＝8，PQ＝12(PQ＞BQ)，那么 BQ的长为________.
13.(2019·扬州江都区月考)一种拉杆箱的示 意图如图所示，箱体长AB为65 cm，拉杆最 大伸长距离BC为35 cm，在箱体的底端装有 一圆形滚轮，其直径为6 cm.当拉杆拉到最
3600
（秒）.答：学校会受到噪音影响，受影响的时间为24秒.
【方法归纳】
1.应用勾股定理解决实际问题时，关键是画出符合题意的 图形，再利用直角三角形求解.若不是直角三角形，可以 通过添加辅助线构造直角三角形，将已知条件化归到直 角三角形中求解. 2.当题目所给的直角三角形的两边存在和差或倍分关系时
7.(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如 图所示.将一根长为20 cm的细木5 筷斜放在 该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少
有________cm.
8.(课本P29习题T10改编)印度数学家什迦
逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”
：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 解：如图，由题意，可知
八年级数学下册人教版
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用
知识点一 利用勾股定理解决实际问题
1.如图，某养殖场有一个长2米、宽1.5米的长方形栅栏， 现在要在相对角的顶点间加固一2.5条木板，则木板的长 应为________米.
新人教版八年级数学下册《十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 17.1.2勾股定理应用 数轴表示根号13》课件_24
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
通过本节课的学习你有那些收获：
1．能用勾股定理证明直角三角形全等 的“斜边、直角边”判定定理；
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示 无理数的点；
3．能运用勾股定理解决直角三角形相 关问题。
1、在数轴上画出表示 20的点。
2、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点
数轴交于C点l ，则点C即为表示 13 的点。
B
∴点C即为表示 13 的点
0 1 2 A3 C 4
你能在数轴上画出表示 17 的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为 1, 2 , 3, 4 , 5 的线段.
1
12
34 5
数学海螺图：
（三）、利用勾股定理解决有关的折叠问题
例3、一张长方形纸片宽AB=8cm，长
B C′ B′
证明“HL”
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C= ∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：
A
∵ AB=A′B′，
AC=A′C′，
∴ BC=B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′
（SSS）． C
A′ B C′ B′
（一）、勾股定理与三角形全等综合的证明题：
C
B
练习1：
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 + DB2 =DE2．
证明：∴ ∠B =∠CAE=45°，
∠DAE =∠CAE+∠BAC =45°+45°=90°．
新人教版八年级数学下《117.1.2勾股定理应用 利用勾股定理解决平面几何问题》优质课教学设计_52
教学设计教学目标：能说出勾股定理,能使用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这个模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和水平.2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提升学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：【重点】使用勾股定理解决实际问题.【难点】勾股定理的灵活使用.教学准备：【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】三角板、三角形模型.教学过程：一、新课导入：导入一：电视的尺寸是屏幕对角线的长度.小华的爸爸买了一台29英寸(74 cm)的电视机,小华量电视机的屏幕后,发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽.他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释是为什么吗?引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.[设计意图]让学生回忆勾股定理的内容,并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一,尝试解决生活中的实际问题,以激发学生学习的兴趣和探究的欲望.导入二：?上节课,我们学习了勾股定理,它的具体内容是什么呢?它有什么作用呢教师出示问题：求出下列直角三角形中未知的边.提出问题后让一位学生板演,剩下的学生在课堂作业本上完成.教师巡视指导答疑,在活动中重点注重：(1)学生能否准确应用勾股定理实行计算;(2)在解决直角三角形的问题时,需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边;(3)让学生了解在直角三角形中斜边最长.[设计意图]通过简单的提问协助学生回顾勾股定理,加深定理的记忆理解,为学习新课做好准备.二、新知建构：[过渡语] 勾股定理应用比较广泛,我们一起来看看下面几个问题.1.木板进门问题思路一(1)分析导入一提出的问题.教师在学生讨论基础上明确解决问题的方法：计算电视机对角线的长度,看是否为74 cm.解：根据勾股定理,得≈74(cm).所以,这台电视机符合规格.(2)自学教材第25页例1.教师提问：门框能通过薄木板的最大宽度是多少?学生带着问题阅读题目,试写解答过程.(3)变式练习：长方体盒内长、宽、高分别为3 cm,2.4 cm和1.8 cm,盒内可放的棍子最长为 cm.本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长,为=(cm).这根最长的棍子和长方体的高,以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形,则棍子最长为=3(cm).教师引导学生小结：遇到求木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否能够通过(放入).[设计意图]通过讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提升学生使用勾股定理解决简单问题的水平.思路二(教材例1)一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?逐步引导提问：(1)木板的短边比门的高还要长,是否一定不能通过?还能够分析比较哪两个长度?(2)这两个长度一个是木板的短边长,另一个是长方形的对角线的长,能求吗?如何求?学生先尝试后发现：木板横着进,竖着进,都不能从门框内通过.再试一试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度.求出AC,再与木板的宽比较,就能知道木板能否通过.解：如图所示,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2 m,所以木板能从门框内通过.[解题策略]在遇到木板进门或将物体放入立体图形内的问题,常常需要找到能通过(放入)物体的最大长度,与物体的长度比较大小,从而判断是否能够通过(放入).[设计意图]使用转化思想,将求门框的对角线的长转化为已知两直角边长求斜边长,从而用勾股定理解决.2.梯子靠墙问题如图所示,一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗?引导学生分析：利用勾股定理算出梯子底端B外移多少即可,转化为BD=OD-OB,需要根据勾股定理先计算OD,OB的长度.解：能够看出,BD=OD-OB.在Rt△AOB中,根据勾股定理,得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,OB==1.在Rt△COD中,根据勾股定理,得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,OD=≈1.77.BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时,梯子底端并不是也外移0.5 m,而是外移约0.77 m. [解题策略]已知直角三角形的两边长,能够根据勾股定理求出第三边长.已知直角三角形的一边长及两边之间的关系,也能够求出各边长.在求锐角三角形或钝角三角形的边长时,能够将其转化为直角三角形,应用勾股定理求解.[设计意图]巩固性练习,本题涉及已知斜边长和一直角边长求另一直角边长,也用勾股定理解决.3.表面距离最短问题(补充)如图所示,一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 ()A.aB.(1+)aC.3aD.a解析：将正方体侧面展开,部分展开图如图所示.由图知AC=2a,BC=a.根据勾股定理,得AB===a.故选D.[解题策略]平面图中,能够直接用勾股定理求两点之间的距离,而在求表面距离最短的问题时,需要将立体图形展开后,将实际问题转化成能够用勾股定理实行计算的问题.[设计意图]通过例题分析解决,建立数学模型,提升学生分析问题和解决问题的水平.[知识拓展]勾股定理应用的条件必须是直角三角形,所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.常见的应用类型为：①化非直角三角形为直角三角形;②将实际问题转化为直角三角形模型.三、课堂小结：用勾股定理计算时,要先画好图形,并标好图形,理清各边之间的关系,再灵活使用勾股定理计算.在利用勾股定理实行相关计算和证明时,要注意使用方程的思想;求直角三角形相关线段的长,有时还要使用转化的数学思想,或利用添加辅助线的方法构造直角三角形,再使用勾股定理求解.四、检测反馈：1.小明用火柴棒摆直角三角形,已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒,他摆完这个直角三角形共用火柴棒 ()A.20根B.14根C.24根D.30根解析：∵摆两直角边分别用了6根、8根长度相同的火柴棒,∴由勾股定理,得摆斜边需用火柴棒=10(根),∴他摆完这个直角三角形共用火柴棒6+8+10=24(根).故选C.2.为迎接新年的到来,同学们做了很多花布置教室,准备召开新年晚会.小刘搬来一架高2.5米的木梯,木梯放好后,顶端与地面的距离为2.4米,则梯脚与墙脚的距离应为 ()A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米解析：仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形,梯高为斜边,利用勾股定理解即可.梯脚与墙脚距离为=0.7(米).故选A.3.(2019·厦门中考节选)已知A,B,C三地的位置如图所示,∠C=90°,A,C两地相距4 km,B,C两地相距3 km,则A,B两地的距离是km.解析：∵∠C=90°,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,∴AB===5(km).故填5.4.(2019·潍坊中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是：如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.解析：将圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开,并连接其对角线,即为每段的最短长度,为=5,所以葛藤的最短长度为5×5=25(尺).故填25.5.如图(1)所示,两点A,B都与平面镜CD相距4米,且A,B两点相距6米,一束光由A点射向平面镜,反射之后恰好经过B点,求B点与入射点间的距离.解：如图(2)所示,作出B点关于CD的对称点B',连接AB',交CD于点O,则O点就是光的入射点,连接OB.因为AC=BD,∠ACO=∠BDO=90°,∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD.所以OC=OD=AB=3米.在Rt△ODB中,OD2+BD2=OB2,所以OB2=32+42=25,所以OB=5米.五、板书设计：第2课时1.木板进门问题例12.梯子靠墙问题例23.表面距离最短问题例3六、作业布置：一、教材作业【必做题】教材第26页练习第1,2题;教材第28页习题17.1第2,3,4,5题.【选做题】教材第29页习题17.1第9,10,11题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 ()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示的是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.12≤a≤13B.12≤a≤15C.5≤a≤12D.5≤a≤133.如图所示,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.4.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A 落在对角线BD上的点A'处,则AE的长为 .【水平提升】5.(2019·龙东中考)一圆锥体形状的水晶饰品,母线长是10 cm,底面圆的直径是5 cm,点A为圆锥底面圆周上一点,从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点,则彩带最少用(接头处重合部分忽略不计) ()A.10π cmB.10 cmC.5π cmD.5 cm6.如图所示,某会展中心准备在高5 m,长13 m,宽2 m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你协助计算一下,铺完这个楼梯至少需要元钱.7.如图所示,要制作底边BC的长为44 cm,顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架,则腰AB的长至少需要 cm.(结果保留根号的形式)8.甲、乙两位探险者到沙漠实行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不至于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8：00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10：00,甲、乙两人相距多远?还能保持联系吗?9.如图所示,有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6 m,8 m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边长的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.六、教学反思：本节课使用勾股定理解决实际问题,整节课注重基础,通过度类探索,由浅入深,注重讲练结合,引导学生独立分析,自主学习,提升学生使用勾股定理解决简单问题的水平；虽然仅仅勾股定理的实际应用这个知识点,但是涉及生产生活的各个方面,受时间约束无法一一列举,本课中的三个例子缺乏开放性.。
17.1 第2课时 勾股定理的应用
第17章勾股定理17．1勾股定理第2课时勾股定理的应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】勾股定理在实际问题中的应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC，AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米.6秒后，B′C＝13－0.5×6＝10米，则AB′＝B′C2－AC2＝53(米)，所以船向岸边移动的距离为(12－53)米．方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解．【类型二】利用勾股定理解决方位角问题如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100km，∴AC＝AB2＋BC2＝（1003）2＋1002＝200(km)，∴A、C两点之间的距离为200km.方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．【类型三】利用勾股定理解决立体图形最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分两种情况比较最短距离：如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝102＋（20＋5）2＝529(cm)，如图②所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型四】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5B．2C．2.25D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2. 在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型五】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB.解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2. 设AD＝x m，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，设AD＝x m.∵两猴子所经过的路程都是15m，则10＋BC＝x＋AC＝15.∴ BC＝5，AC＝15－x，AB＝x＋10.又∵在Rt△ABC中，由勾股定理得(10＋x)2＋52＝(15－x)2，解得x＝2，即AD＝2米．∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)．答：树高AB为12米．方法总结：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个己知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解．探究点二：勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1 B ．－5＋1 C.5－1 D. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是 5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的位置，再根据A 的位置来确定a 的值．➢ 练习1 如图，有两棵树，一棵高10m ，另一棵高4m ，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A.8mB.10mC.12mD.14m【解析】如图，设大树高为AB ＝10m ，小树高为CD ＝4m ，过C 点作CE ⊥AB 于E ，四边形EBDC 是长方形，连接AC ，⊥EB ＝4m ，EC ＝8m ，AE ＝AB －EB ＝6 m ，在Rt⊥AEC 中，m 1022=+=EC AE AC . 故选B.➢ 练习2 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1m 处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB ＝2m ，则树高为( ) A.5m B.3m C.(5+1)m D.3m【解析】在Rt △ABC 中，AC=1m ，AB=2m ，由勾股定理，得m 522=+=EC AE BC ;∴树的高度为AC+BC=(5+1)m. 故选C.➢ 练习3 如图，图中有一长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、变形忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )A.41cmB.34cmC.25cmD.35cm【解析】如图，连接BC ，BD ，在Rt △ABC 中，AB=5cm ，AC=4cm ，根据勾股定理，m 25222=++=CD AC AB 体对角线. 故选C.➢ 练习4 如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB于B ，已知DA ＝15km ，CB ＝10km ，现在要在铁路AB 附近建一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处?【解析】设AE ＝x km ，则AE ＝(25－x ) km ，因为C ，D 两村到E 站的距离相等，所以DE ＝CE ，即DE 2＝CE 2，由勾股定理，得152+x 2＝102+(25－x )2，解得x ＝10.故E 点应建在距A 站10km 处.➢ 练习5 如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P是母线BC 上一点且PC=32BC. 一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+π64cm B.5 cm C.53cm D.7 cm【解析】圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离为线段AP 的长. 在Rt⊥ACP 中，AC=621⨯=3(cm)，PC=32BC=4cm ，所以AP=√32+42=5(cm). 故选B.【归纳整合】应用勾股定理解决实际问题(1) 解决两点间距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边,利用勾股定理求第三边.(2) 解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程思想解题.(3) 解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.(4) 解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.三、板书设计1．勾股定理的应用方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想．2．勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，让学生充分体验到了数学思想的魅力和知识创新的乐趣，突现教学过程中的师生互动，使学生真正成为主动学习者．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.经历探索勾股定理的过程，会应用勾股定理进 行简单的计算。
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模 型，会用勾股定理解决实际问题。
重点与难点：
(1)重点：会应用勾股定理进行简单的计算。 (2)难点：勾股定理的应用。
第二步：自学自研（独学）
阅读教材P25~26，根据所学内容， 完成导学案相应内容。各小组组长循 环检查并打分。（注：一半以上没做 或不认真的扣1分/人，一个小题以上 未做一半以下的扣0.5分/人）
合学
利用8分钟对疑难部分进行合学。 （先展示 [（A）展（B）板]
①第 组 ②第 组 ③第 组 ④第 组 ⑤第 组
知识模块二 学习“例1”部分 知识模块二 学习“例2”部分 知识模块二 范例(同展） 知识模块二 教材P26练习1 知识模块二 教材P26练习2
第四步：检测反馈
1、在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、 ∠B、∠C所对的边分别为a、b、c （1） 已知a=1，b=2，求c （2） 已知a=10，c=15，求b
A
bc
C
aB
2、下列说法正确的是（ D ）
A.若a、b、c是△ABC的三边，则: a2 b2 c2
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则 a2 b2 c2 C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A 90 ， 则 a2 b2 c2
S1
S3
S2
第4题图
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第 三边的长为 。
第五步：学教反思
1、通过这堂课我学会了什么？ 2、这堂课我们需要注意的是什么？
作业
课本28页 复习巩固 第1、2题.
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理(二）
历史因你而改变 学习因你而精彩
复习提问
1、任意三角形三边满足怎样的关系？
2、对于直角三角形，三边之间存在 怎样的特殊关系？
如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地 面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，
这棵树折断前有多高？
4米
3米
小结
第一步：目标导学
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，C 90 ，
则 a2 b2 c2
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下
列说法正确的是（ C ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20 4、如图,三个正方形中,S1＝25，S2＝144，则另一个
的面积S3为__1_6_9____．