华师版24.4解直角三角形

Ａ
a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； ∠ A＋ ∠ B＝ 90º 锐角三角函数 c cosA＝ b c a
Ｂ
b
Ｃ
复习
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 30° 三角函数 sin a cos a tan a
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
60°
3 2
2 2
1 2
1
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正） 对于cosα，角度越大，函数值越小。
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程, 叫
解直角三角形
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； ∠ A＋ ∠ B＝ 90º c a b cosA＝ c
Ａ
Ｂ
(3)边角之间的关系: a sinA＝ c tanA＝
a b
b
Ｃ
例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时发现入侵敌舰C, 炮台A测得敌舰在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C 在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米) 2000 解:在RTΔABC中, ∵∠CAB=90°-∠DAC=50°, tan∠CAB= BC AB ∴BC=ABtan∠CAB =2000tan50° AB ∵cos50°= AC AC=
∠A ∠B AB （3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元 素吗? 不能
两角
你发现 了什么
在直角三角形的六个元素中,除直角外, (, 其中至少有一个是边), 如果知道两个元素 就可以求出其余三个元素.
例题分析
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= 2 ,BC = 6 解这个直角三角形.
2
B
c a
A
b
C
在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素? 这5个元素之间有什么关系? 知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
在Rt△ABC中,
一角一边
A
（1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, 你能求出这三个角的其他元素吗？ ∠B AC BC
2
C
6
两边
6
B
（2）根据AC=
2 ，BC=
你能求出这个三角形的其他元素吗？
解：由勾股定理得： 解： tanA
AB AB2 BC 2
,
2 6
2
2
A 60
BC 6 3 2 AC
?

A
2 2
在Rt △ABC中，AB=2AC 所以， ∠B=30° ∠A=60°
B 90 - A 90 - 60 30
2 2 2
3 a 3 4 3
4 3
A
4 3
C
∴c=8，a=4 方法一
解得： a 4
∴c=8 方法二
比较这两种 方法哪个方 法更简单？
基础练习
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边
4 2、Rt△ABC中， ∠C=90°,若sinA= ， 3 5 8 AB=10，那么BC=_____ ，tanB=______ ． 4
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
小结
拓展
α A
a
D
模 型：
法 (一 )
DC BC tan DC AC tan DC DC AC BC a a tan tan
B
β┌
C
(二) （一） ∵ BC=DC·cotβ BC cot DC AC=DC·cotα
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系: (3)边角之间的关系: a sinA＝ c a2＋b2＝c2（勾股定理）； ； ∠ A＋ ∠ B＝ 90º c a b cosA＝ c
Ａ
Ｂ
a tanA＝ b 1 1 （4）面积公式： S▲ ABC a b c h
b
Ｃ
2
AB 2000 3111 cos 50 cos 50
A D
B
40°
C
如图,太阳光与地面成60°角,一棵倾斜的大树AB 与地面成30°角,这时测得大树在地面上的影长为 10m,请你求出大树的高.
解:过点作AD⊥BC于D, 设AD=x 则AB=2 x ∵cot60°= CD
AD
∴ 太阳光线
A
又∵tan30°=
例 1. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于 离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树 在折断之前高多少？
解
利用勾股定理可以求 出折断倒下部分的长度为:
102 + 242 = 26
26＋10＝36（米）.
答 : 大树在折断之前高为 36 米.
新知识 在直角三角形中,由已知元素求未知 元素的过程,叫 解直角三角形
解：由题可知∠ABC=α，在Rt△ABC中 AC AC sin ∠ABC=sinα= AB ,∴AB= sin =
1200 sin16 31
α
B C
A
4.2(米)
∴飞机A到控制点B的距离4.2米.
x x 3 tanACD , CD x CD tan60 3
北 东
A
数学化
?

AD 在RtABD 中 , tan B BD
x 3 20 x 3
3 BD CD 20 20 x 3
300 B C
600 ┌ D
3 解得x 10 3 17.3 (海里) 3
北 A
视线
30° 东
方位角
如图：点A在O的北偏东30°
西
O 45° B
点B在点O的南偏西45°（西南方向）
南
例
题
例题3：为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7 米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角 a＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米） 解 在Rt△BDE中， BE＝DE×tan a ＝AC×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17， 所以 AB＝BE＋AE ＝BE＋CD 图 25.3.4 ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米）． 答： 电线杆的高度约为10.4米．
复习
什么是解直角三角形？
由直角三角形中除直角外的已 知元素，求未知元素的过程，叫做解 直角三角形.
B
如图：RtABC中，C=90， 则其余的5个元素之间关系？
a
C
c
A
b
知 识回 顾
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？
有三条边和三个角，其中有一个角为直角 (1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系: (3)边角之间的关系: a sinA＝ c tanA＝ a b
• 解 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由 题意可知
• DE＝CF＝4.2（米）， • CD＝EF＝12.51（米）． DE 4.2 • 在Rt△ADE中，因为 i tan 32 AE AE 4 .2 • 所以 AE 6.72 (米) tan 32 4.2 7.90 (米) • 在Rt△BCF中，同理可得 BF
D、已知两角
解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
∠A＋ ∠ B＝90° 斜边c
归纳小结B∠A的对来自aa2+b2=c2
解直角 三角形 A
┌ ∠A的邻边b C
三角函数 关系式
a b sin A ,sin B c c b a cos A , cos A c c a b tan A , tan B b a
AC a DC cot AC BC a 在RtADC中 :
法 (二 )
DC DC BC AC a t an t an DC DC 在RtADC中 t an AC a DC t an DC t an DC a t an
AB 2AC 2 2
2
B
6
C
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°,
b= 4
3
.解这个直角三角形 .
B
a ab
解：在Rt△ABC中，∠B=60°,b= 4 3 ∴∠A=30°,c=2a
方法一：设a=x，c=2x
方法二：tan A
由勾股定理得：
tan30 即：
2 x x 4 3 解得：x 4或x 4(舍去 )
这样 做
• 如图，坡面的铅垂高度（h） 和水平长度（l）的比叫做坡 面坡度（或坡比）.记作i,即 h i=
l 坡面与水平面的夹角 叫做坡角，记作α， 有i＝tan α
坡度越大，坡角α 怎样变化？
例题4：一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地 面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的 宽．（精确到0.1米）
3 CD 3 x 3 CD x 3
AD BD
∴
30° 60°
3x 3 3 x 10 3 x x5 3 AB 10 3 10
3 3
x
B
10
C
地面
D
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角； 从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角. 视线 铅 垂 线 仰角 水平线 俯角
DC a DC tan DC AC DC cot cot a cot DC tan a DC cot
DC cot DC cot a
B
A
D