山西省三区八所重点中学2017届高三上学期第一次适应性数学试卷(实验班) Word版含解析

2016-2017学年山西省三区八所重点中学高三（上）第一次适应性数学试卷（实验班）一、单项选择题：本题共12小题，每题5分；共60分．1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，]B．（，1）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）2．函数y=+的定义域为（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．设a，b，c依次是方程x+sinx=1，x+sinx=2，x+sinx=2的根，并且0＜x＜，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．已知a＞0且a≠1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．5．已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3+x2，则f（2）=（）A．2 B．3 C．4 D．56．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．27．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0（）A．外离B．外切C．相交D．内切8．对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是（）A．25 B．250 C．55 D．1339．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A ．2B ．5C ．2或5D ．或10．已知O 、A 、M 、B 为平面上四点，且=λ+（1﹣λ），λ∈（1，2），则（ ）A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O 、A 、M 、B 四点一定共线11．若，α是第三象限的角，则=（ ）A ．B ．C ．2D ．﹣212．若f （x ）是定义在R 上的可导函数，且满足（x ﹣1）f ′（x ）≥0，则必有（ ）A ．f （0）+f （2）＜2f （1）B ．f （0）+f （2）＞2f （1）C ．f （0）+f（2）≤2f （1） D ．f （0）+f （2）≥2f （1）二、填空题：每题5分，共25分．13．设p ：x ＜﹣1或x ＞1；q ：x ＜﹣2或x ＞1，则￢p 是￢q 的 条件．14．已知直线l 与双曲线x 2﹣y 2=1交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为C （2，1），则直线l 的斜率为 ．15．过三点（3，10），（7，20），（11，24）的线性回归方程是 ．16．已知函数f （x ）=+bx +c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x 1∈（﹣1，0），x 2∈（0，1），则的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，△AMC 的三边长是连续的三个正整数，且tan ∠C=．（1）判断△ABC 的形状； （2）求∠BAC 的余弦值．18．深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角；（Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC；（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．21．已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值；（3）当n＞m≥4时，证明（mn n）m＞（nm m）n．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数，且h=max{，， }，求h的范围．2016-2017学年山西省三区八所重点中学高三（上）第一次适应性数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共12小题，每题5分；共60分．1．设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，]B．（，1）C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合M，N，再根据集合的交集个补集计算即可【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2），∴M∩N=（﹣，1）∴∁R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞）故选：C【点评】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题2．函数y=+的定义域为（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【解答】解：要使函数有意义，则，解得x≥﹣1且x≠1，∴函数的定义域为{x|x≥﹣1且x≠1}，也即[﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：D【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3．设a，b，c依次是方程x+sinx=1，x+sinx=2，x+sinx=2的根，并且0＜x＜，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】正弦函数的图象．【分析】利用三角函数的性质，即可求解．【解答】解：先比较a，b∵a=1﹣sina，a∈（0，），∴0＜a＜1b=2﹣sinb，b∈（0，），∴1＜b＜2所以a＜b函数y=x+sinx与y=x+sinx都是单调增函数，前者在后者的上方，所以b＜c所以a＜b＜c故选：A．【点评】本题考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4．已知a＞0且a≠1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据a的取值分两种情况考虑：当0＜a＜1时，根据指数函数的图象与性质得到y=a x为减函数，即图象下降，且恒过（0，1），而对数函数为增函数，即图象上升，且恒过（﹣1，0），但是四个选项中的图象没有符合这些条件；当a＞1时，同理判断发现只有选项B的图象满足题意，进而得到正确的选项为B．【解答】解：若0＜a＜1，曲线y=a x函数图象下降，即为减函数，且函数图象过（0，1），而曲线y=log a﹣x函数图象上升，即为增函数，且函数图象过（﹣1，0），以上图象均不符号这些条件；若a＞1，则曲线y=a x上升，即为增函数，且函数图象过（0，1），而函数y=log a﹣x下降，即为减函数，且函数图象过（﹣1，0），只有选项B满足条件．故选B【点评】此题考查了指数函数及对数函数的图象与性质．这类题的做法一般是根据底数a的取值分情况，根据函数图象与性质分别讨论，采用数形结合的数学思想，得到正确的选项．学生做题时注意对数函数y=log a﹣x的图象与对数函数y=log a x的图象关于y轴对称．5．已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3+x2，则f（2）=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数性质得：当x＞0时，f（x）=x3﹣x2，由此能求出f（2）的值．【解答】解：∵f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3+x2，∴当x＞0时，f（x）=x3﹣x2，∴f（2）=23﹣22=4．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）=π，解得：r=，l=，故圆锥的高h==，故选：B【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键．7．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0（）A．外离B．外切C．相交D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心距与半径和与差的关系，判断即可．【解答】解：圆的圆心（﹣1，﹣1），半径为：2；圆的圆心（2，1），半径为2，圆心距为：=∈（0，4）．所以两个圆的位置关系是相交．故选：C．【点评】本题考查两个圆的位置关系的判断，是基础题．8．对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2011次操作后得到的数是（）A．25 B．250 C．55 D．133【考点】归纳推理．【分析】第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，所以操作结果，以3为周期，循环出现，由此可得第2011次操作后得到的数．【解答】解：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，∴操作结果，以3为周期，循环出现，∵2011=3×670+1，∴第2011次操作后得到的数与第1次操作后得到的数相同，∴第2011次操作后得到的数是133，故选D．【点评】本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以3为周期，循环出现．9．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量所成的角为α，则先求出的值即可求出，【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则=+++2（++）=11+2（||||cosα+||||cosα+||||cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C【点评】考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用=||||cosα的公式．10．已知O、A、M、B为平面上四点，且=λ+（1﹣λ），λ∈（1，2），则（）A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点一定共线【考点】平行向量与共线向量；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】将已知等式变形，利用向量的运算法则得到，利用向量共线的充要条件得到两个向量共线，得到三点共线，据λ∈（1，2），得到点B在线段AM上．【解答】解：∵∴即∴∴A，M，B共线∵λ∈（1，2）∴点B在线段AM上故选B【点评】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．11．若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【考点】半角的三角函数；弦切互化．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．12．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f （2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选D．【点评】利用导函数的符号能判断函数的单调性，当导函数大于0则函数递增；当导函数小于0则函数单调递减．二、填空题：每题5分，共25分．13．设p：x＜﹣1或x＞1；q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是￢q的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出￢p：﹣1≤x≤1，￢q：﹣2≤x≤1，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵p：x＜﹣1或x＞1；q：x＜﹣2或x＞1，∴￢p：﹣1≤x≤1，￢q：﹣2≤x≤1，根据充分必要条件的定义可判断：￢p是￢q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考察了命题的否定，充分必要条件的定义，属于容易题．14．已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l的斜率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线l的斜率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x12﹣y12=1，x22﹣y22=1，两式相减可得，（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，C为AB的中点，即有x1+x2=4，y1+y2=2，可得直线AB的斜率为k=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题．15．过三点（3，10），（7，20），（11，24）的线性回归方程是．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三对数据，做出y与x的平均数，把所求的平均数代入求b的公式，做出它的值，再把它代入求a的式子，求出a的值，根据做出的结果，写出线性回归方程．【解答】解：将给出的数据代入公式求解，可求得：=（3+7+11）=7，==18，b==1.75，a=18﹣1.75×7=5.75，∴所求回归直线方程为．故答案为：．【点评】本题考查线性回归方程的求法，在一组具有相关关系的变量的数据间，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再代入样本中心点求出a的值，本题是一个基础题．16．已知函数f（x）=+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（1，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求f′（x）=x2+ax+b，这样即可得到x1，x2是方程f′（x）=0的两个实数根，由韦达定理及已知的x1，x2的范围即可求出a，b的范围．而，所以分别求出的范围，这样即可求出的范围，从而求得的取值范围．【解答】解：f′（x）=x2+ax+b；根据极值的概念知，x1，x2是方程f′（x）=0的两个实数根；∴根据韦达定理得x1+x2=﹣a，x1x2=b；∵x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1）；∴﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜0；∴1＜a+2＜3，，0＜2b+2＜2；∴；∴；∴；∴的取值范围是（1，3）．故答案为：（1，3）．【点评】考查极值点的定义，函数在极值点处的导数为0，以及韦达定理，不等式的运算．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，点M是BC的中点，△AMC的三边长是连续的三个正整数，且tan∠C=．（1）判断△ABC的形状；（2）求∠BAC的余弦值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）假设∠BAM=α，∠MAC=β，根据正弦定理可找到α，β与B，C的正弦之间的关系，进而再由诱导公式可确定α与β的关系．（2）先设出3个连续的整数，再由勾股定理确定关系，根据余弦定理和二倍角公式可求出角BAC的余弦值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）设∠BAM=α，∠MAC=β，则由tanC=cotα，可得α+C=90°，∴β+B=90°．…△ABM中，由正弦定理得，即，同理得，…∵MB=MC，∴=，∴sin αsinC=sin βsinB ， ∵α+C=90°，β+B=90°， ∴sin αcos α=sin βcos β，…即sin2α=sin2β，∴α=β，或α+β=90°，当α+β=900时，AM=BC=MC ，与△AMC 的三边长是连续三个正整数矛盾，∴α=β，∴∠B=∠C ， ∴△ABC 是等腰三角形．…（2）在直角三角形AMC 中，设两直角边分别为n ，n ﹣1，斜边为n +1，由（n +1）2=n 2+（n ﹣1）2，得n=4，…由余弦定理或二倍角公式得cos ∠BAC=，或cos ∠BAC=﹣．…【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用．三角函数部分公式比较多，一定要强化记忆，属于中档题．18．深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i 个新球（即ξ=i ）”为事件A i （i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A 0B +A 1B +A 2B ．而事件A 0B 、A 1B 、A 2B 互斥，由此可得结论．【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2 设“第一次训练时取到i 个新球（即ξ=i ）”为事件A i （i=0，1，2）． 因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P （A 0）=P （ξ=0）==；P （A 1）=P （ξ=1）==；P （A 2）=P （ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2Pξ的数学期望为E ξ=0×+1×+2×=1 （2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A 0B +A 1B +A 2B ，而事件A 0B 、A 1B 、A 2B 互斥，所以P （A 0B +A 1B +A 2B ）=P （A 0B ）+P （A 1B ）+P （A 2B ）=++==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．19．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠A 1AB=∠A 1AC ，AB=AC ，A 1A=A 1B=a ，侧面B 1BCC 1与底面ABC 所成的二面角为120°，E 、F 分别是棱B 1C 1、A 1A 的中点（Ⅰ）求A 1A 与底面ABC 所成的角； （Ⅱ）证明A 1E ∥平面B 1FC ；（Ⅲ）求经过A 1、A 、B 、C 四点的球的体积．【考点】棱柱的结构特征．【分析】（Ⅰ）要求A1A与底面ABC所成的角，先作出直线与平面所成的角，通过解三角形即可．（Ⅱ）要证明A1E∥平面B1FC，可以在平面B1FC中作出直线FP（P为CB1的中点），证明A1E∥FP即可．（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积，找到球心H，求出球的半径，即可．【解答】解：（Ⅰ）过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H．连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线．又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．因此，由三垂线定理A1A⊥BC．∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC．于是∠AGE为二面角A﹣BC﹣E的平面角，即∠AGE．由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°．（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP．而FP⊂平面B1FC，A1E⊄平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC．（Ⅲ）连接A1C．在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a．又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A．在Rt△A1FO中，A1O===．故所求球的半径R=a，球的体积V=πR3=πa3．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和逻辑思维能力，直线与平面所成的角等有关知识，是难题．20．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；恒过定点的直线；圆的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证．（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y2﹣y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，代入①，整理得y2﹣4my+4=0，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4，点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．BD的斜率k1===，BF的斜率k2=．要使点F在直线BD上需k1=k2需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1），需4x2=y22，上式成立，∴k1=k2，∴点F在直线BD上．（Ⅱ）=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=，∴m2=，m=±．y2﹣y1==4=，∴k1=，BD：y=（x﹣1）．易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即|a+1|×=|（（a﹣1）|×，∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a=．∴半径r=，∴△BDK 的内切圆M 的方程为（x ﹣）2+y 2=．【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．21．已知函数f （x ）=ax +xlnx 的图象在点x=e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a 的值；（2）若k ∈Z ，且对任意x ＞1恒成立，求k 的最大值；（3）当n ＞m ≥4时，证明（mn n ）m ＞（nm m ）n ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f （x ）的导函数，把x=e 代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，根据切线斜率为3列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值；（2）将原来的恒成立问题转化为研究函数的最值问题，研究区间（1，+∞）上的最值问题，先求出函数的极值，研究极值点左右的单调性，最后确定出最小值，从而得出k 的最大值．（3）由（2）知，是[4，+∞）上的增函数，从而有当n ＞m ≥4时，由此式即可化简得到ln （n mn m m ）＞ln （m mn n n ．【解答】（1）解：因为f （x ）=ax +xlnx ，所以f'（x ）=a +lnx +1． 因为函数f （x ）=ax +xlnx 的图象在点x=e 处的切线斜率为3，所以f'（e ）=3，即a +lne +1=3．所以a=1．（2）解：由（1）知，f （x ）=x +xlnx ，所以对任意x ＞1恒成立，即对任意x ＞1恒成立．令，则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以函数在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以．所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）．故整数k的最大值是3．（3）证明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函数，所以当n＞m≥4时，．即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）．整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）．因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．即lnn mn+lnm m＞lnm mn+lnn n．即ln（n mn m m）＞ln（m mn n n）．所以（mn n）m＞（nm m）n．证明2：构造函数f（x）=mxlnx+mlnm﹣mxlnm﹣xlnx，则f'（x）=（m﹣1）lnx+m﹣1﹣mlnm．因为x＞m≥4，所以f'（x）＞（m﹣1）lnm+m﹣1﹣mlnm=m﹣1﹣lnm＞0．所以函数f（x）在[m，+∞）上单调递增．因为n＞m，所以f（n）＞f（m）．所以mnlnn+mlnm﹣mnlnm﹣nlnn＞m2lnm+mlnm﹣m2lnm﹣mlnm=0．即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．即lnn mn+lnm m＞lnm mn+lnn n．即ln（n mn m m）＞ln（m mn n n）．所以（mn n）m＞（nm m）n．【点评】此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PBPD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PAPC=BPPE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DBDE=DB（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PBPD，∴62=PB（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PAPC=BPPE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DBDE=9×16，∴AD=12【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016大东区一模）在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA||MB|=|t1||t2|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA||MB|=|t1||t2|=|t1t2|=2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2013春衡水校级月考）选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；（Ⅱ） 设maxA 表示数集A 中的最大数，且h=max {，， }，求h 的范围．【考点】绝对值不等式的解法；不等式比较大小． 【分析】（1）先解不等式得出其解集M ，再利用作差法比较大小即可；（2）不妨设0＜a ≤b ＜1，先找出其最大值，进而即可求出其范围．【解答】解：由不等式|2x ﹣1|＜1化为﹣1＜2x ﹣1＜1解得0＜x ＜1，∴原不等式的解集M={x |0＜x ＜1}， （Ⅰ）∵a ，b ∈M ，∴0＜a ＜1，0＜b ＜1．∴（ab +1）﹣（a +b ）=（1﹣a ）（1﹣b ）＞0，∴ab +1＞a +b ．（Ⅱ）∵a ，b ∈M ，∴0＜a ＜1，0＜b ＜1．不妨设0＜a ≤b ＜1，则，∴；．故最大，即＞2． ∴h ∈（2，+∞）．【点评】熟练掌握绝对值不等式的解法、作差法比较数的大小及不等式的基本性质是解题的关键．。